2020届中考数学一轮复习专项练习：圆(含答案)

中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。

考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。

2020年中考数学 圆综合专项复习（含答案）一、单选题1.下列结论正确的是（ ）A ．弦是直径B ．弧是半圆C ．半圆是弧D ．过圆心的线段是直径2.两圆半径分别为2和3，圆心距为5，则这两个圆的位置关系是（ ）．A ．内切B ．相交C ．相离D ．外切3.如图，在⊙O 中，»»AB AC =，∠A ＝30°，则∠B ＝（ ）A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°．4.如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为( )A.40°B.50°C.80°D.100°5.已知⊙1O 的半径1r =2，⊙2O 的半径2r 是方程321x x =-的根，1O ⊙与2O ⊙的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ）A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切6.如图，⊙O 中，弧AB 和弧AC 相等，∠BAC=50°，则∠AEC 的度数为（ ）度。

A.30B.75C.507.已知⊙O 的半径r=3，设圆心O 到直线的距离为d ，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m ，给出下列命题中正确命题的个数是（ ） ①若d ＞5，则m=0； ②若d =5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4.A.1B.2C.3D.58.如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝6，OP＝8，则⊙O的半径是( )A．4 B．C．5 D．10C是⊙O上的三点，若∠OBC=50°,则∠A的度数是（）A.40°B.50°C.80°D.100°10.下列命题中，假命题．．．是（）A．经过两点有且只有一条直线 B．平行四边形的对角线相等C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形 D．圆的切线垂直于经过切点的半径11.如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB = 45°，则弦AB的长为( )A．2B．2 C．22D．412.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，△ABC绕点A逆时针旋转30°后，得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（）CDA.2512π B.45π C.34π D.512π13.如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ）A. 3≤OM ≤5B. 4≤OM ≤5C. 3＜OM ＜5D. 4＜OM ＜514.已知圆柱体的底面半径为3 cm,髙为4 cm,A.2cm 24πB.2cm36π C.2cm 12 D.2cm 2415.如图，从⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．如果∠APB=60°，PA=8，那么⊙O 的半径是（ ） A B C ． D ．16.如图，要拧开一个边长为a =6cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（ ）A ．B ．12cmC ．D ．17.圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为（ ） A ．90° B ．120° C ．150° D ．180°二、填空题18.如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积是A O B19.如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ，连结OB ，OD ．若∠ABC ＝40°，则∠BOD 的度数是 ．20.如图，若AB 是⊙O 的直径，AB =10cm ，∠CAB =30°,则BC = cm ．21.在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为___________．22.如图,正六边形ABCDEF 的边长为2，则对角线AE 的长是 .23.如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ．24.已知⊙O 的半径为l 和点O 的距离为d ，如果直线l 与⊙O 有唯一公共点，那么d 的值为 。

2020年中考数学第一轮复习第六章圆第二十三讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【注意：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【注意：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【注意：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【注意：三类三角形内心都在三角形 若△ABC 三边为a 、b 、c 面积为s ，内切圆半径为r ，则s= ，若△ABC 为直角三角形，则r= 】 三、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有 种，若⊙O 1半径为R ，⊙O 2半径为r ，圆心距为d ，则 ⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝> ⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【注意：两圆相离（无公共点）包含 和 两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆 此时d= 】 四、反证法：假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【注意：反证法证题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】 【典型例题解析】 考点一：切线的性质例1（2019年菏泽）（本题10分）如图，BC 是⊙O 的直径，CE 是⊙O 的弦，过点E 作⊙O 的切线，交CB 的延长线于点G ，过点B 作BF ⊙GE 于点F ，交CE 的延长线于点A . （1）求证：⊙ABG=2⊙C ；（2）若GF=33，GB=6，求⊙O 的半径.对应练习1－1（2019年济南）如图，AB 、CD 是O e 的两条直径，过点C 的O e 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ． （1）求证：ABD CAB ∠=∠；（2）若B 是OE 的中点，12AC =，求O e 的半径．对应练习1－2(2019聊城中考)如图，ABC △内接于O e ，AB 为直径，作⊥OD AB 交AC 于点D ，延长BC ，OD 交于点F ，过点C 作O e 的切线CE ，交OF 于点E （1）求证：EC ED =；（2）如果4OA =，3EF =，求弦AC 的长． 考点二：切线的判定例2( 2019山东济宁)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是⌒AC 的中点，E 为OD 延长线上一点，∠CAE ＝2∠C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若DH ＝9，tan C ＝34，求直径AB 的长．对应练习2－1（自贡）如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积． （结果保留π）对应练习2－2（玉林）如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，若AC=FC ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若BF=8，DF=40，求⊙O 的半径r ．考点三：直线与圆的位置关系 例3（2019年日照）探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB 上的三点A （1，3）、B （2，5）、C （4，9），有k AB ＝5321--＝2，k AC ＝9341--＝2，发现k AB ＝k AC ，兴趣小组提出猜想：若直线y ＝kx+b （k≠0）上任意两点坐标P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）（x 1≠x 2），则k PQ ＝2121y y x x --是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，k PQ 是定值，并且是直线y ＝kx+b （k≠0）中的k ，叫做这条直线的斜率．请你应用以上规律直接写出过S （﹣2，﹣2）、T （4，2）两点的直线ST 的斜率k ST ＝ ．探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图2，直线DE 与直线DF 垂直于点D ，D （2，2），E （1，4），F （4，3）．请求出直线DE 与直线DF 的斜率之积． 综合应用如图3，⊙M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆，M （1，2），N （4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N 的⊙M 的切线的解析式．对应练习3－1（2019年枣庄）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O e ，点D 为O e 上一点，且CD CB =，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E ． （1）判断直线CD 与O e 的位置关系，并说明理由； （2）若2BE =，4DE =，求圆的半径及AC 的长．对应练习3－2（盘锦）如图，△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定 考点四：圆与圆的位置关系例4（攀枝花）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是方程x 2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切对应练习4－1（黔东南州）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与直线AB 相切，则r 的值为（ ） 对应练习4－2（东营）已知⊙O 1的半径r 1=2，⊙O 2的半径r 2是方程321x x =-的根，⊙O 1与⊙O 2的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ） A ．内含 B ．内切 C ．相交D ．外切第二十三讲 与圆有关的位置关系 参考答案【典型例题解析】 考点一：切线的性质 例1 答案：解：（1）连接OE ，GE 是⊙O 的切线，因此GE ⊙OE ，BF ⊙GE ，所以AB ⊙OE ，所以 ⊙ABG=⊙EOG=⊙CEO ＋⊙C ，而OE=OC ，所以⊙CEO=⊙C ，因此⊙ABG=2⊙C ；（2）BF⊙GE ，所以⊙GFB=90°，GF=33，GB=6，因此cos⊙FGB=GF GB=333=, 所以⊙FGB=30°, GE 是⊙O 的切线， 因此⊙GEO=90°，因此OG=2OE ，而OG=GB ＋OB ，设圆的半径是r ，则OG=6＋r ， 所以6＋r=2r ，因此圆的半径是6. 对应练习1－1答案：（1）证明：⊙AB 、CD 是O e 的两条直径， ⊙OA OC OB OD ===，⊙OAC OCA ∠=∠，ODB OBD ∠=∠， ⊙AOC BOD ∠=∠，⊙OAC OCA ODB OBD ∠=∠=∠=∠， 即ABD CAB ∠=∠； （2）连接BC ．⊙AB 是O e 的两条直径，⊙⊙ACB ＝90°， ⊙CE 为O e 的切线， ⊙90OCE ∠=o ， ⊙B 是OE 的中点， ⊙BC OB =， ⊙OB OC =，⊙OBC ∆为等边三角形， ⊙60ABC ∠=o ， ⊙30A ∠=o ， ⊙343BC AC ==， ⊙43OB =， 即O e 的半径为43． 对应练习1－2答案：（1）证明：连接OC ，∵CE 与O e 相切，OC 是O e 的半径， ∴OC CE ⊥，∴90OCA ACE ︒∠+∠=. ∵OA OC =， ∴A OCA ∠=∠， ∴90ACE A ︒∠+∠=. ∵⊥OD AB ， ∴90ODA A ︒∠+∠=. ∴CDE ACE ∠=∠， ∴EC ED =. （2）∵AB 为直径， ∴90ACB ∠=o .在Rt DCF ∆中，90DCE ECF ︒∠+∠=， 又DCE CDE ∠=∠， ∴90CDE ECF ︒∠+∠=， 又∵90CDE F ︒∠+∠=， ∴ECF F ∠=∠， ∴EC EF =. ∵3EF =， ∴3EC DE ==.在Rt OCE ∆中，4OC =，3CE =， ∴2222435OE OC EC =+=+=. ∴2OD OE DE =-=.在Rt OAD ∆中，22224225AD OA OD =+=+=. 在Rt AOD ∆和Rt ACB ∆中， ∵A A ∠=∠，∴Rt AOD Rt ACB ∆∆∽， ∴AO AD AC AB =，即425AC =， ∴1655AC =.考点二：切线的判定 例2 答案： （1）证明：连接AD ， ∵D 是⌒AC 的中点， ∴⌒AD =⌒DC ，∴∠DAC ＝∠C .∵∠CAE ＝∠EAD ＋∠DAC ，∠CAE ＝2∠C ， ∴∠EAD ＝∠C . ∵∠C ＝∠B ， ∴∠B ＝∠EAD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线.（2）解：在△ADH中，∠ADH＝90°，DH＝9，∵∠DAH＝∠C，tan C＝34，∴tan∠DAH＝34 DHAD=，∴934BD=，∴AD＝12.在△BAD中，∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝tan∠C＝34，∴tan∠B＝34 ADBD=，∴BD＝16.∵∠ADB＝90°，∴AB＝2222121620AD BD+=+=．对应练习2－1 答案：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．（1）证明：如图，连接OC、OD，根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°-30°-60°=90°，即OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．由垂径定理可知，MD=MB=12BD=33．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=33cos303MB=o=6．在△CDM与△OBM中，3090CDM OBM MD MBCMD OMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△CDM ≌△OBM ∴S △CDM =S △OBM∴阴影部分的面积S 阴影=S 扇形BOC =606360π⨯=6π（cm 2）． 对应练习2－2 答案：（1）证明： 如图，连接OA 、OD ， ∵D 为弧BE 的中点， ∴OD ⊥BC ， ∠DOF=90°， ∴∠D+∠OFD=90°， ∵AC=AF ，OA=OD ，∴∠CAF=∠CFA ，∠OAD=∠D ， ∵∠CFA=∠OFD ，∴∠OAD+∠CAF=90°， ∴OA ⊥AC ， ∵OA 为半径，∴AC是⊙O 切线；（2）解：∵⊙O 半径是r ， 当F 在半径OE 上时， ∴OD=r ，OF=8-r ，在Rt △DOF 中，r 2+（8-r ）2=（40）2， r=6，r=2；当F 在半径OB 上时， ∴OD=r ，OF=r -8，在Rt △DOF 中，r 2+（r -8）2=（40）2， r=6（舍去），r=2（舍去）； 即⊙O 的半径r 为6或2． 考点三：直线与圆的位置关系 例3 答案：解：（1）∵S （﹣2，﹣2）、T （4，2） ∴k ST ＝2(2)4(2)----＝23故答案为：23（2）∵D （2，2），E （1，4），F （4，3）．∴k DE ＝4212--＝﹣2，k DF ＝3242--＝12， ∴k DE ×k DF ＝﹣2×12＝﹣1， ∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1． （3）设经过点N 与⊙M 的直线为PQ ，解析式为y ＝k PQ x+b ∵M （1，2），N （4，5）， ∴k MN ＝5241--＝1， ∵PQ 为⊙M 的切线 ∴PQ ⊥MN ∴k PQ ×k MN ＝﹣1， ∴k PQ ＝﹣1，∵直线PQ 经过点N （4，5）， ∴5＝﹣1×4+b ，解得 b ＝9 ∴直线PQ 的解析式为y ＝﹣x+9． 对应练习3－1答案：解:（1）证明：连接OC ．CB CD =Q ，CO CO =，OB OD =，()OCB OCD SSS ≌∴∆∆， 90ODC OBC ∴∠=∠=︒， OD DC ∴⊥， DC ∴是O e 的切线；（2）解：设O e 的半径为r ．在Rt OBE ∆中，222OE EB OB =+Q ，222(4)2r x ∴-=+，1.5r ∴=，tan OB CDE EB DE∠==Q ， 1.524CD∴=，3CD BC ∴==，在Rt ABC ∆中，22223332AC AB BC =+=+=．∴圆的半径为1.5，AC 的长为32对应练习3－2 答案：解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DE 于点N ， ∴AM×BC=AC×AB ， ∴AM=6810⨯=4.8， ∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=12BC=5， ∴AN=MN=12AM ， ∴MN=2.4， ∴以DE 为直径的圆半径为2.5， ∵r ＞2.5＞2.4，∴以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是：相交． 故选：A ．考点四：圆与圆的位置关系 例4 答案： 解：∵x 2-4x+3=0， ∴（x -3）（x -1）=0， 解得：x=3或x=1，∵⊙O 1与⊙O 2的半径r 1、r 2分别是方程x 2-6x+8=0的两实根， ∴r 1+r 2=3+1=4，∵⊙O 1与⊙O 2的圆心距d=4，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是外切． 对应练习4－1 答案：B 对应练习4－2 答案：B【聚焦中考真题】 一、选择题1．（青岛）直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为6，则r 的取值范围是（ ） A ．r ＜6 B ．r=6 C ．r ＞6 D ．r≥62．（烟台）如图，已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为2cm ，将⊙O 1，⊙O 2放置在直线l 上，如果⊙O 1在直线l 上任意滚动，那么圆心距O 1O 2的长不可能是（ ） A ．6cm B ．3cm C ．2cm D ．0.5cm3．（枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°4．（泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是⌒EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE5．（济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4B．33C．6D．236．（铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定7．（云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙O2的半径是2cm，O1O2=6cm，则两圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切8．（泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2B．3C．6D．129．（南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．内含10．（重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O 的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm11．（杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径12．（河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC13．（毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°14．（安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题15．（日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．16．（舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为．17．（天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是．18．（平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．19．（天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是．20．（晋江市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=43．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．（1）当点D运动到线段AC中点时，DE= ；（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C 与直线AB相切．21．（张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．22．（南宁）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为．23．（黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为．24．（永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．三、解答题25．（济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．26．（临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．27．（东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C 作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．28．（烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为⌒AD上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．（1）求证：CB=CF；（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=35，求⊙O的半径．29．（潍坊）如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．（1）求证：四边形BEDF为矩形；（2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．30.（义乌）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．31．（扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．32．（巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组1212263-57r rr r+=⎧⎨=⎩的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．33．（凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（0，-3）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（-2，-2），E（0，-3），判断直线l与⊙P的位置关系．34．（永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．35．（株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．36．（天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．37．（苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=35，求⊙O的半径．38．（湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=253，求AC的长．39．（莆田）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：△AED≌△DCA；（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．40．（新疆）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD 延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积．41．（泸州）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD ． （1）求证：CD 2=CA•CB ；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan ∠CDA=23，求BE 的长．42．（滨州）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，EF ⊥AC ，垂足为F ．求证：直线EF 是⊙O 的切线．第二十三讲 与圆有关的位置关系 参考答案【聚焦中考真题】 一、选择题 1-5 ADDDB 6-10 BCCDC 11-14 BCAC二、填空题 15答案：（3π-349）cm 2 16答案：外切 17答案：2＜r ＜8 18答案：2或4 19答案：4-98π 20答案：（1）3（2）23或233 21答案：22πa 22答案：94π3－23答案：236－24答案：60 三、解答题 25答案：解：（1）连接BD ，则∠DBE=90°，∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=12AD=1，则AD=2；（2）连接OB，∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，则BC为圆O的切线．26答案：（1）证明：连接OD，∴∠ODB=90°，∴BE=OE=OD=2，∴∠B=30°，∠DOB=60°，∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC=12∠DOB=30°，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∴∠A=2∠DCB；（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=23，∴阴影部分的面积S=S△ODB-S扇形DOE=12×23×2-602360π⨯=23-23π．27答案：解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OC．∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM，∴OC∥AM，∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴直线CD与⊙O 相切．（2）∵OC=OA，∴∠BAC=∠ACO，∵∠CAB=30°，∴∠COE=2∠CAB=60°，CE=OC•tan60°=33．∴在Rt△COE中，OC=3，28答案：（1）证明：如图1，∵AE2=EF•EB，∴AE EF EB AE=．又∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△AEB，∴∠1=∠EAB．∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，∴∠2=∠3，∴CB=CF；（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．∴．⌒AE=⌒ED∴OE⊥AD，∵cos∠C=35，且∴EG=1．∴sin∠GAO=35，∠C+∠GAO=90°，∴OGOA=35，即135rr-=，解得，r=52，即⊙O的半径是52．29答案：（1）证明：∵BD为⊙O直径，∴∠DEB=∠DFB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=90°，∴四边形BEDF为矩形；（2）解：直线CD与⊙O的位置关系是相切，理由是：∵BD2=BE•BC，∴BD BC BE BD=，∵∠DBC=∠CBD，∴△BED∽△BDC，∴∠BDC=∠BED=90°，即BD⊥CD，∴CD与⊙O相切．30答案：解：（1）连接OD，∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，∴OB=12OA=4，BC=BD=12CD，∴在Rt△OBD中，BD=22OD OB-=43，∴CD=2BD=83；（2）∵PE 是⊙O 的切线， ∴∠PEO=90°，∴∠PEF=90°-∠AEO ，∠PFE=∠AFB=90°-∠A ， ∵OE=OA ， ∴∠A=∠AEO ， ∴∠PEF=∠PFE ， ∴PE=PF ；（2）过点P 作PG ⊥EF 于点G ， ∴∠PGF=∠ABF=90°， ∵∠PFG=∠AFB ， ∴∠FPG=∠A ， ∴FG=PF•sinA=13×513=5， ∵PE=PF ，∴EF=2FG=10． 31答案：（1）证明：∵BF 是⊙O 的切线， ∴∠3=∠C ，∵∠ABF=∠ABC ， 即∠3=∠2， ∴∠2=∠C ， ∴AB=AC ；（2）解：如图，连接BD ，在Rt △ADB 中，∠BAD=90°， ∵cos ∠ADB=ADBD， ∴BD=44cos cos 5AD AD ADB ABF ==∠∠=5，∴AB=3．在Rt △ABE 中，∠BAE=90°， ∵cos ∠ABE=AB BE ，∴BE=3154cos 45AB ABE ==∠， ∴AE=22159()344-=， ∴DE=AD -AE=4-94=74． 32答案： 解：∵⎩⎨⎧②7＝5r 3r ①6＝2r +r 2211－，①×3-②得：11r 2=11，解得：r 2=1，把r 2=1代入①得：r 1=4； ∴⎩⎨⎧1＝r 4＝r 21， ∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4， ∴两圆的位置关系为相交． 33答案：解：（1）如图所示：△ABC 外接圆的圆心为（-1，0），点D 在⊙P 上；（2）连接PD ，设过点P 、D 的直线解析式为y=kx+b ， ∵P （-1，0）、D （-2，-2）， ∴0--2-2k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得22k b =⎧⎨=⎩，∴此直线的解析式为y=2x+2；设过点D 、E 的直线解析式为y=ax+c ， ∵D （-2，-2），E （0，-3），∴-2-2-3a c c =+⎧⎨=⎩， 解得1-2-3a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴此直线的解析式为y=-12x -3， ∵2×（-12）=-1， ∴PD ⊥DE ，∵点D 在⊙P 上，∴直线l 与⊙P 相切． 34答案：证明：（1）∵AB 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥AB ， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°， ∵OB=OC ， ∴∠OCB=∠OBC=12∠AOB=30°， ∴∠A=∠OCB ，∴AB=BC ； （2）如图，连接OD ， ∵∠AOB=60°，∴∠BOC=120°，∵D 为BC 的中点，∴⌒BD =⌒CD，∠BOD=∠COD=60°， ∵OB=OD=OC ，∴△BOD 与△COD 是等边三角形， ∴OB=BD=OC=CD ， ∴四边形BOCD 是菱形． 35答案：解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°， BD ⊥AC ，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD ， 在△ABD 和△CBD 中，ADB CDB BD BDABD CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABD ≌△CBD （ASA ）， ∴AB=CB ，∵直线BC 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ABC=90°，∴∠BAC=∠C=45°；（2）证明：∵AB=CB ，BD ⊥AC ， ∴AD=CD ． 36答案：解：（Ⅰ）如图①，连接OC ， ∵直线l 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥l ， ∵AD ⊥l ， ∴OC ∥AD ，∴∠OCA=∠DAC ， ∵OA=OC ，∴∠BAC=∠OCA ，∴∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°-∠B ，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°， 在⊙O 中，四边形ABFE 是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°-108°=72°，∴∠BAF=90°-∠B=90°-72°=18°．37答案：（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=12 BF，又∵OE=12 BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=312x+，AO=AB-OB=5x-312x+=712x-，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=cosB，即35OEOA=，即31327152xx+=-，解得：x=43，则圆O的半径为312x+=52．38答案：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°，∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半径，∴PA 为⊙O 的切线；（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5， ∴OA=OB=5． 又∵OP=253， ∴在直角△APO 中，根据勾股定理知203=， 由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°． ∵∠BAC=∠P ， ∴△ABC ∽△POA ，∴AB ACPO PA =． ∴10252033AC =， 解得AC=8．即AC 的长度为8． 39答案：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AD ∥BC ， ∴四边形AECD 是梯形， ∵AB=AE ， ∴AE=CD ，∴四边形AECD 是等腰梯形， ∴AC=DE ，在△AED 和△DCA 中，AE DC DE AC AD DA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△DCA （SSS ）； （2）解：∵DE 平分∠ADC ， ∴∠ADC=2∠ADE ，∵四边形AECD 是等腰梯形， ∴∠DAE=∠ADC=2∠AED ， ∵DE 与⊙A 相切于点E ， ∴AE ⊥DE ， 即∠AED=90°， ∴∠ADE=30°， ∴∠DAE=60°，∴∠DCE=∠AEC=180°-∠DAE=120°，∵四边形ACD 是平行四边形， ∴∠BAD=∠DCE=120°，∴∠BAE=∠BAD -∠EAD=60°，∴S 阴影=60360×π×22=23π． 40答案：（1）证明：如图，连接OA ． ∵AB=AC ，∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=30°． ∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴在△ABO 中，∠AOB=180°-∠ABO -∠AOB=90°，即AB ⊥OA ，又∵OA 是⊙O 的半径， ∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：如图，连接AD ． ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DAC=90°．∵由（1）知，∠ACB=30°， ∴AD=12CD=4， 则根据勾股定理知AC=22CD AD -=43，即弦AC 的长是43； （3）解：由（2）知，在△ADC 中，∠DAC=90°，AD=4，AC=43，则S △ABC =12AD•AC=12×4×43=83． ∵点O 是△ADC 斜边上的中点， ∴S △AOC =12S △ABC =43． 根据图示知，S 阴影=S 扇形ADO +S △AOC =604360π⨯+43=83π+43，即图中阴影部分的面积是83π+43． 41答案：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD ，∠C=∠C ， ∴△ADC ∽△DBC ， ∴AC DCDC BC=，即CD 2=CA•CB ； （2）证明：如图，连接OD ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∵OA=OD ， ∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD ，即∠4=∠1， ∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE．∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=23，∴tan∠OEB=23 OBBE=，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴23 CD OD OBCB BE BE===，∴CD=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．42答案：解：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，又∵OB=OE，∴∠ABC=∠OEB，∵∠FEC+∠C=90°，∴∠FEC+∠OEB=90°，∴OE ⊥EF，∵OE是⊙O半径，∴直线EF是⊙O的切线．第二十四讲与圆有关的计算【基础知识回顾】一、正多边形和圆：1、各边相等，也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫可用用α表示，α= ，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示3、每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的三角形，被它的半径和边心距分成个全等的三角形【注意：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】二、弧长与扇形面积计算：⊙O的半径为R，弧长为L，圆心角为n0，扇形的面积为S扇，则有如下公式：L=S扇= =【注意：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴已知规则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为h,底面半径为R则有：⑴S圆柱侧=⑵S圆柱全=⑶V圆柱=2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有：⑴S圆锥侧= 、⑵S圆锥全=⑶V圆锥=【注意：1、圆柱的高有条，圆锥的高有条2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的，扇形的弧长是圆锥的4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n，若l=2r，则n= l=3r,则n= l=4r则n= 】【典型例题解析】考点一：正多边形和圆例1（2019年山东滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆的半径为_________．对应练习1－1（2019年莱芜）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分△BFDC．AC2+BF2=4CD2 D．DE2=EF•CE对应练习1－2（绵阳）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．6mm B．12mmC．63mm D．43mm考点二：圆周长与弧长例2（2019年德州）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠P AC＝30°，AC＝2√3．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A、PC围成的封闭图形的面积．对应练习2－1（2019青岛中考）如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC =BD = 4 ，∠A=45°，则弧CD的长度为（）A. πB. 2πC. 22πD. 4π对应练习2－2（黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为．考点三：扇形面积与阴影部分面积例3（2019年山东滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．对应练习3－1(2019山东东营) 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C在⊙O 上，且AC＝CD，∠ACD＝120°.（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积.对应练习3－2( 2019山东济宁14)如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝3，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4（2019山东东营）如图所示时一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D 处，则最短路线长为（ )A ．23B ．233 C ．3 D ．33 对应练习4－1（2019年莱芜）一个圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的高是（ ） A ．RB ．C ．D ．对应练习4－2(2019聊城中考)如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm ），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为_______．考点五：圆的综合题例5（2019年莱芜）如图1，在△O 中，E 是弧AB 的中点，C 为△O 上的一动点（C 与E 在AB 异侧），连接EC 交AB 于点F ，EB=（r是△O 的半径）． （1）D 为AB 延长线上一点，若DC=DF ，证明：直线DC 与△O 相切； （2）求EF •EC 的值；（3）如图2，当F 是AB 的四等分点时，求EC 的值．对应练习5－1（攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F 过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．对应练习5－2（茂名）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=34，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2-GB2=DF•GF．第二十四讲与圆有关的计算参考答案【典型例题解析】考点一：正多边形和圆例1答案：解析：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为，因此本题填．对应练习1－1 答案：解：△五边形ABCDE是正五边形，△AB=BC=CD=DE=AE，BA△CE，AD△BC，AC△DE，AC=AD=CE，△四边形ABCF是菱形，△CF=AF，△△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A说法正确；△四边形ABCF是菱形，△AC△BF，。

2020年九年级数学中考一轮专题汇编考点圆检测卷含答案一、选择题(每小题6分,共30分)1.如图D6-1,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为()图D6-1A.60°B.50°C.40°D.20°2.如图D6-2,△ABC是☉O的内接三角形,∠A=119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为()图D6-2A.32°B.31°C.29°D.61°3.如图D6-3,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,若AB=10,AC=8,则BD的长为()图D6-3A.2√5B.4C.2√13D.4.84.如图D6-4,线段AB经过☉O的圆心,AC,BD分别与☉O相切于点C,D.若AC=BD=4,∠A=45°,则圆弧CD的长度为()图D6-4A.πB.2πC.2√2πD.4π5.如图D6-5,在△ABC中,O是AB边上的点,以O为圆心,OB为半径的☉O与AC相切于点D,BD平分∠ABC,AD=√3OD,AB=12,CD的长是()图D6-5A.2√3B.2C.3√3D.4√3二、填空题(每小题5分,共30分)6.用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的面积为.7.在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为.8.如图D6-6,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6 cm,则该莱洛三角形的周长为cm.图D6-6⏜上.若∠BAC=66°,则∠EPF等于9.如图D6-7,☉O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧EDF度.图D6-710.如图D6-8,∠AOB=90°,∠B=30°,以点O为圆心,OA为半径作弧,交AB于点A,C,交OB于点D,若OA=3,则阴影部分的面积为.图D6-8则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为.(结果不取近似值)图D6-9三、解答题(共40分)12.(8分)如图D6-10,已知四边形ABCD内接于圆O,连接BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.(1)求证:BD=CD;⏜的长.(2)若圆O的半径为3,求BC图D6-1013.(10分)如图D6-11,点A,B,C在半径为8的☉O上.过点B作BD∥AC,交OA延长线于点D,连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.(1)求证:BD是☉O的切线;(2)求图中阴影部分的面积.图D6-11E,F是DE的中点,连接CF.(1)求证:CF是☉O的切线;(2)若∠A=22.5°,求证:AC=DC.图D6-1215.(12分)已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.⏜的中点,求∠ABC和∠ABD的大小;(1)如图D6-13①,若D为AB(2)如图②,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.图D6-13答案1.B [解析]如图,连接AD ,∵AB 为☉O 的直径,∴∠ADB=90°. ∵∠A 和∠BCD 都是BD⏜所对的圆周角, ∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B .2.A [解析]记线段OP 交☉O 于点F .连接CO ,CF , ∵∠A=119°,∴∠BFC=61°,∴∠BOC=122°,∴∠COP=58°. ∵CP 与圆相切于点C ,∴OC ⊥CP ,∴在Rt △OCP 中,∠P=90°-∠COP=32°,故选A .3.C [解析]∵AB 是直径,∴∠C=90°,∴BC=√AB 2-AC 2=6. ∵OD ⊥AC ,∴CD=AD=12AC=4, ∴BD=√BC 2+CD 2=2√13,故选C .4.B [解析]连接CO ,DO ,因为AC ,BD 分别与☉O 相切于C ,D ,所以∠ACO=∠BDO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4, 因为AC=BD ,CO=DO ,所以OD=BD ,所以∠DOB=∠B=45°,所以∠DOC=180°-∠DOB -∠AOC=180°-45°-45°=90°,CD⏜=90π×4180=2π,故选B . 5.A [解析]∵☉O 与AC 相切于点D ,∴AC ⊥OD ,∴∠ADO=90°,∵AD=√3OD ,∴tan A=OD AD =√33,∴∠A=30°,∵BD 平分∠ABC ,∴∠OBD=∠CBD , ∵OB=OD ,∴∠OBD=∠ODB ,∴∠ODB=∠CBD ,∴OD ∥BC ,∴∠C=∠ADO=90°, ∴∠ABC=60°,BC=12AB=6,∵∠CBD=30°,∴CD=√33BC=√33×6=2√3.故选A . 6.4π [解析]设此圆锥的底面半径为r ,由题意可得2πr=120π×6180,解得r=2,故这个圆锥的底面圆的面积为4π.7.5√2 [解析]如图,已知☉O ,圆内接正方形ABCD.连接OB ,OC ,过O 作OE ⊥BC ,设此正方形的边长为a ,由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=a2,由勾股定理得OE 2+BE 2=OB 2,即a 22+a 22=52,解得a=5√2.8.6π [解析]以正三角形的顶点为圆心,边长为半径画弧,这三段弧的半径为6 cm,圆心角为60°,每段弧长为60·π·6180=2π(cm),所以周长为2π×3=6π(cm).9.57 [解析]连接OE ,OF .∵☉O 分别切∠BAC 的两边AB ,AC 于点E ,F ,∴OF ⊥AC ,OE ⊥AB ,∴∠BAC +∠EOF=180°,∵∠BAC=66°,∴∠EOF=114°.∵点P 在优弧EDF ⏜上, ∴∠EPF=12∠EOF=57°.故填:57.10.34π [解析]连接OC ,过点C 作CN ⊥AO 于点N ,CM ⊥OB 于点M ,∵∠AOB=90°,∠B=30°, ∴∠A=60°,∵OA=OC ,∴△AOC 为等边三角形,∵OA=3,∴CN=32√3,CM=ON=32, ∴S 扇形AOC =32π,S △AOC =94√3,在Rt △AOB 中,OB=√3OA=3√3,S △OCB =94√3, ∠COD=30°,S 扇形COD =34π,∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC +S △OCB -S 扇形COD =34π.11.1912π+√32[解析]在Rt △ABC 中,AB=1,∠A=60°,∴BC=√3,∠BCB'=150°,∠B'A'E=120°,点B 第一次转动的路径是以点C 为圆心,BC 为半径的BB'⏜,根据扇形面积公式得, S 扇形BCB'=5π4,第二次转动的路径是以A'为圆心,A'B'为半径的B 'E ⏜,S 扇形B'A'E =π3.△A'B'C 的面积为12×1×√3=√32, 所求面积为5π4+π3+√32=19π12+√32. 12.解:(1)证明:∵四边形ABCD 内接于圆O , ∴∠DCB +∠BAD=180°, ∵∠BAD=105°,∴∠DCB=180°-105°=75°. ∵∠DBC=75°, ∴∠DCB=∠DBC , ∴BD=CD.(2)∵∠DCB=∠DBC=75°, ∴∠BDC=30°,由圆周角定理,得BC ⏜所对的圆心角的度数为60°, 故BC ⏜的长=nπR 180=60π×3180=π.13.解:(1)证明:连接OB 交AC 于E , ∵∠BCA=30°, ∴∠AOB=60°.在△AOE 中,又∵∠OAC=30°, ∴∠OEA=90°,∴OB ⊥AC. ∵BD ∥AC , ∴OB ⊥BD.∵OB 为☉O 的半径,∴BD 为☉O 的切线.(2)由半径为8,得OA=OB=8. ∵OB ⊥BD , ∴∠OBD=90°. ∵∠AOB=60°,∴BD=BO ·tan ∠BOD=8√3. ∴△OBD 的面积为12×8×8√3=32√3,扇形OAB 的面积为60π×82360=32π3,∴阴影部分的面积为32√3−32π3.14.证明:(1)∵AB 是☉O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACD=90°. ∵点F 是ED 的中点, ∴CF=EF=DF ,∴∠AEO=∠FEC=∠FCE. ∵OA=OC , ∴∠OCA=∠OAC. ∵OD ⊥AB ,∴∠OAC +∠AEO=90°, ∴∠OCA +∠FCE=90°, 即OC ⊥FC , ∵OC 是☉O 的半径, ∴CF 与☉O 相切.(2)∵OD ⊥AB ,AC ⊥BD , ∴∠AOE=∠ACD=90°.∴∠OAE=∠CDE=22.5°.连接AD,∵AO=BO,OD⊥AB,∴AD=BD,∴∠ADO=∠BDO=22.5°,∴∠ADB=45°,∴∠CAD=90°-∠ADB=45°=∠ADB,∴AC=CD.15.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°.又∵∠BAC=38°,∴∠ABC=90°-38°=52°.⏜的中点,得AD⏜=BD⏜.由D为AB∠ACB=45°.∴∠ACD=∠BCD=12∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如图,连接OD.∵DP切☉O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.∵DP∥AC,∠BAC=38°,∠AOD是△ODP的外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=∠ODP+∠CAB=128°.∠AOD=64°.∴∠ACD=12∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=38°.∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.。