人教新课标版数学高一A版必修1课件1.函数的最大(小)值

(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最 大值
M是函数y＝f(x)的 最小值
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1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数 的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
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2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的 最大值为 2，求 a 的值． 解析： 首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性： 设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
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2．二次函数的最值 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线， 当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2， 当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
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3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大 值为________． 解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)， 在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
第二十八页，共42页。
②当 t≤1≤t＋1， 即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单 调递减，

解：当－12≤x≤1 时，由 f(x)＝x2 得 f(x)最大值为 f(1)＝1， 最小值为 f(0)＝0；
当 1＜x≤2 时，由 f(x)＝1x 得 f(2)≤f(x)＜f(1)， 即12≤f(x)＜1． 综上 f(x)max＝1，f(x)min＝0．
【题后总结】求分段函数的最值，关键是正确地求出各段 上的最值，再进行比较．而各段上的最值的求解要根据各段函 数的特点灵活选用图象法或单调性法等．
其图象如图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3， 无最大值．
函数的单调性与最值
对函数最值与单调性的认识 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别 是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法． (2)函数最值与单调性有如下关系： ①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c) 上是减函数，那么函数y＝f(x)，(x∈(a，c))在x＝b处有最大值 f(b)；
【借题发挥】利用函数图象求最值是求函数最值的常用方 法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且 图象易作出的函数求最值较常用．图象法求最值的一般步骤 是：
1．试求函数 y＝|x＋1|＋ x－22的最值．
解：原函数变为 y＝|x＋1|＋|x－2| －2x＋1 x≤－1，
＝3 －1＜x≤2， 2x－1 x＞2，
如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、 最小值．
【思路点拨】利用图象法求函数最值，要注意函数的定义 域．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵 坐标．
解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)， 最低的点是(－1．5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3， 当x＝－1．5时取得最小值，最小值是－2．

课堂 小结
1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法.
2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：
(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论.
随堂演练
1.函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为
设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个， 销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个， 则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000. 故当x＝70时，ymax＝9 000. 即售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元.
60 000－100x，x>400.
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益 ＝总成本＋利润)
当 0≤x≤400 时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000； 当x>400时，f(x)＝60 000－100x单调递减， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000. 即月产量为300台时利润最大，最大利润为25 000元.
三
探究生活中的实际问题
例3 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪 器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝ 400x－12x2，0≤x≤400，其中x(单位：台)是仪器的月产量. 80 000，x>400， (1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x元， 从而 f(x)＝－12x2＋300x－20 000，0≤x≤400，

●你是否曾遇到过这种情形,离下课还有一点时间时,你对学生 说:“如果你们保持安静,我就不会再布置更多的任务了。”学生 会有哪些反应? 你是否曾发现自己预先安排的内容已经讲完了,却还没到下课时 间,于是决定给学生布置课堂任务来填补这段空白,此时学生有哪 些反应?
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.

由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减 少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大 值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到 1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然 气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增 大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．
类型二 利用单调性求函数最值 【例2】 求函数f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最大值 与最小值．
思路分析：先用定义研究函数在区间上的单调性，再 求最值．
∵2≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0， x2－1>0， x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0. ∴f(x2)<f(x1)． ∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是单调减函数．
(1)证明f(x)为R上的增函数． (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2. ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1.
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1. 又∵x1<x2，∴x2－x1>0， ∴f(x2－x1)>1，∴f(x2－x1)－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0， 即f(x1)<f(x2)． 所以函数f(x)在R上是增函数．
当a>0时，区间[a，b]内的数距对称轴x＝－2ba越 近，在该点处的函数值越小，越远值越大．
当a<0时，区间[a，b]内的数距对称轴x＝－2ba越 远，在该点处的函数值越小，越近值越大．
②求含参变量的二次函数在指定区间上的最值，通 常按照顶点横坐标在区间内，区间左，区间右三种情况 来分类讨论．

Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
解:设售价为x元,利润为y元, 则单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个. y=(x-40)[500-10(x-50)] =-10(x-70)2+9 000, 当x=70时,ymax=9 000, 即售价为70元时,利润最大为9 000元. 反思解应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,建立数学 模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,这里要注意 自变量的取值范围.在实际应用问题中,最大利润、用料最省等问 题常转化为求函数的最值来解决.
-2-
M 第2课时 函数的最大(小)值
目标导航
UBIAODAOHANG
12
1.最大值和最小值
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-3-
M 第2课时 函数的最大(小)值
目标导航
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12
Z 知识梳理 HISHI SHULI
错因分析:在求函数最值时,只有判断出函数的单调性,才能确定 函数最值在何处取得,不能直接代入区间的端点来求.如本例函数 在区间[2,+∞)内先减后增,故最小值不在x=2处取得.
-18-
M 第2课时 函数的最大(小)值
目标导航
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
知识拓展1.定义中M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如 函数f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0.

知识点二 函数的最大(小)值的几何意义 思考 函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如右： 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案 x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时， y有最小值0，对应的点为图象中的最低点. 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低 点，它们不一定只有一个.
只需 a≤(x12－1x)min. 设 t＝1x，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
x12－1x＝t2－t＝(t－12)2－14. 当 t＝1 时，(t2－t)min＝0，即 x＝1 时，(x12－1x)min＝0， ∴a≤0.
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1 23 45
1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分 别是( C )
答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应， 不是函数值.
答案
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意 x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x) 的最大值. 如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使 得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.
解析答案
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
解 ∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
A.10,6 C.8,6

.



∵x1<x2,∴x1-x2<0.
∵1≤x1<x2≤2,∴x1x2>0,1<x1x2<4,
即x1x2-4<0.
∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.

(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2), f(2)=2+=4 ;f(x)的最大值为
f(1),f(1)=1+4=5,


整理得 y=-+162x-21 000=-(x-4 050)2+307
050.
故当 x=4 050,即每辆车的租金为 4 050 元时,租赁公司的月收
益最大,最大月收益是 307 050 元.
思 想 方 法
利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
【典例】 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上
的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;
当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
方法点睛
1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出
y=f(x)的草图,再根据图象的单调性进行研究.特别要注意二次
2.观察下面两个函数的图象,回答下列问题.
(1)比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?
(2)通过观察图①你能发现什么?
提示:(1)题图①中函数y=x2的图象有一个最低点.
题图②中函数y=x的图象没有最低点.
(2)对任意x∈R,都有f(x)≥f(0).
3.

即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
解实际应用题的四个步骤 1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和 因变量的条件关系. 2建模：建立数学模型，列出函数关系式. 3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变 量的取值范围. 4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已 知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应 为多少元？最大利润为多少？
[解] 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－ 10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
2[解．]求函设数1≤f(xx)1＝<xx2<＋2，4x在则[1f(,4x1])上－的f(x最2)值 ＝． x1＋x41－x2－x42＝x1－x2＋ 4xx21－x2x1＝(x1－x2)·1－x14x2＝(x1－x2)x1xx12x－2 4＝x1－x2x1xx21x2－4.
∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数． 同理f(x)在[2,4]上是增函数． ∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
D [∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2 －1，x∈[0,3]，∴当 x＝1 时，函数 y 取得最小值为－1，
当 x＝3 时，函数取得最大值为 3， 故函数的值域为[－1,3]，故选 D.]
3．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上

谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
人教A版必修1高中数学课件：函数的最 大(小)值
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 Байду номын сангаас抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比

1.3.1 函数的最大值、最大值
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？
定义法和图象法（一次函数、二次函数、反比例函数）
引例：画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
(1) f (x) 2x 3
y
（0，3）
-1
（3/2，0）
o
x
(2) f (x) x2 2x 1
1 .说出y=f(x)的单调区间，以及在
(1）对于任意的x∈R，都有f(x)≤2;
(2）存在x0=-1∈R，使得f(-1) = 2
f (x) x2 2x 1的最大值是 2
思考:设函数 f (x) 1 x2，则 f (x) 2成立吗？ f (x) 的最大值是2吗？为什么？
2．最小值
你（2）不是我们中间的
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
例：求f (x) x2 2x 3的最小值？
-1
1
3
f (x)的最小值是 4
-4
例1.（学海导航P24)如图为函数f(x),x [-4,7]的 图象，则它的单调增区间为_[_-1_.5_,__3]_和__[5_，__6]___;
1．最大值
我M是 “老大”
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
我M是你们中间的
那么，称M是函数y=f(x)的最大值 记作：f (x)max M
例：f (x) x2 2x 1

(2)若不等式f(x)＞a在[3,5]上有解，求实数a的取值范围.
2 +2+
练习4：已知函数f(x)=

求实数的取值范围.
, ∈ [1, +∞），()＞0恒成立，
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
c
课件
函数的概念
课件
一次函数
做函数值。
解释举例
1.设A，B是非空的数集
A
学生，名人都要有
名人
学生
a
B
C
d
B
钱学森
袁隆平
2.使对于集合A中的任意一个x，在集合B中
都有唯一确定的数f(x)和它对应
一个学生追一个名人
邓稼先
多个学生追一个名人
钟南山
一个学生追多个名人
3.学生不可以剩，名人可以剩
例题一：判断下列是否为函数？
1
2
3
4
5
间，即表示为例如{x|a<x≤b}=(a,b]，{x|a≤x<b}=[a,b)等形式
集合表示
区间表示
数轴表示
。
。
(a , b)
{x a＜x＜b}
{x a≤x≤b}
[a , b]
.
.
。
[a , b)
.
{x a≤x＜b}
。
.
(a , b]
{x a＜x≤b}
。
(－∞, a)
{x x＜a}
.
(－∞, a]
练习2: 已知函数f(x)=

40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
人教A版必修1高中数学课件：函数的 最大(小)值
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联