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3．4．2 根本不等式的应用导学目标：会用根本不等式解决简单的最大小值问题和实际应用问题。
教学重点：根本不等式在最值问题中的应用和简单实际应用。
教学过程：一、问题情境：在问题“＞，＞，且，求的最小值〞的求解中，小明同学给出了如下的解法：解：由，得，∴，。
思考：你认为小明同学的做法对不对？为什么？因为两个不等式中，不能同时取“等号〞，即不存在满足题设条件的，使得。
你能给出正确的解法吗？你有几种解法？解：方法一：∵＞，＞，，∴≥。
当且仅当，又。
即，时，上式“=〞号成立。
故当，时，那么的最小值为。
方法二：由，得，∴，又知＞，＞。
∴≥，从而≥，即的最小值为。
解法三：由＞，＞，且，得当且仅当即时，。
思维提升：根本不等式的功能在于“和与积〞的相互转化，使用根本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合根本不等式，往往需要拆添项或配凑因式一般是凑和或积为定值的形式，构造出根本不等式的形式再进行求解．根本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等〞，“三相等〞就是必须验证等号成立的条件．二、自主检测：１，叫做这个数的算术平均数，叫做这个数的几何平均数。
2根据课本98页图3-4-1，你能给出根本不等式的几何解释吗？答：“圆的半径不小于半弦〞。
因此根本不等式还可以用几何方法证明。
3．一些常用的重要不等式及其变形：；；；；，以上公式均当且仅当时等号成立。
4．根本不等式在最值问题中的应用：当〔定值〕时，有最小值，有最小值〔当且仅当时，取得最值〕；当〔定值〕时，有最大值；当〔定值〕时，有最大值〔当且仅当时，取得最值〕。
三、探究活动：探究一利用根本不等式求最值例1．g3＋g ＝g＋＋1．1求的最小值；2求＋的最小值．解由g3＋g ＝g＋＋1，得错误!1∵＞0，＞0，∴3＝＋＋1≥2错误!＋1∴3－2错误!－1≥0即3错误!2－2错误!－1≥0∴3错误!＋1错误!－1≥0∴错误!≥1∴≥1当且仅当＝＝1时，等号成立．∴的最小值为12∵＞0，＞0，∴＋＋1＝3≤3·错误!2∴3＋2－4＋－4≥0∴[3＋＋2][＋－2]≥0∴＋≥＝＝1时取等号，∴＋的最小值为2探究提高利用根本不等式的方法构造关于所求变量的不等式解决变量的最值问题。
等差数列【教学目标】1．理解等差数列的定义，掌握等差数列通项公式的推导方法以及简单应用．2．在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维能力．3．通过自主的探索活动，获得新知识，感受到成功的喜悦，培养理性思维和创新意识．【学情分析】本节内容选自江苏教育出版社出版的?普通高中课程标准实验教科书?必修5第2章“数列〞第2节“等差数列〞第一课时．对于本节内容学生在小学和初中已有初步的浅层次的认识。
对于新学内容，学生容易理解是等差数列定义的数学文字语言表述及等差数列通项公式的简单运用．学生不容易理解的的等差数列定义的数学符号语言表述及等差数列通项公式的推导方法．为此，教学中需培养学生数学抽象能力和数学语言表达能力，在时间和空间上给予学生更多的探究时机．【教学重点】等差数列的定义，等差数列通项公式的推导及应用．【教学难点】等差数列通项公式的推导以及通项公式的函数意义的理解．【教学过程】一、问题情境1．情境：教材P29 2．1节开头第一个问题：某剧场有30排座位，第一排有2021位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20212，24，26，28，…．2．问题：说出第30排有多少个座位？设计意图：①从学生熟悉的问题情境引入实际生活中等差数列的模型．②让学生再次理解数列通项的概念．二、学生活动活动一：设计自主学习方式，引导学生对定义初步认识．问题1：观察以下数列有何共同特点？怎样用数学语言刻画你所观察出来的数列的特点？1 ；2 ；3 ；4 ．活动二：设计探究学习方式，引导学生对定义再认识．问题2：在等差数列中，假设公差为，请根据等差数列的定义，写出与相邻两项相关的等式．活动三：选择合作学习方式，引导学生对定义再拓展〔即等差数列通项公式的推导〕．问题3：设是一个首项为，公差为的等差数列，你们能得出更一般的结论，写出它的第项的表达式吗？设计意图：根据学生的身心特征，针对不同的教学内容，设计不同的学习方式，鼓励学生在参与的过程中获得体验，产生学习数学的积极情感．三、意义建构〔一〕关于等差数列定义的学习过程1、等差数列定义的初认识以问题1为背景，教师首先指出：“具有上述规律的数列，我们称之为等差数列，你能给出等差数列的定义吗？〞然后教师在学生归纳表达的根底上，完整揭示等差数列的定义，并对定义中关键字词进行重点说明，出示课题．再次提出新问题，引出公差的概念及符号表示，“以上四个等差数列从第2项起，每一项与前一项的差是多少？〞2、等差数列定义的再认识以问题2为载体，首先让学生就等差数列定义进行数学文字语言与符号语言的互译．课堂巡视发现学生大致会写出如下两种形式的等式：一是根据定义列出具体两项之间的等量关系，如：，，…；或，，…；或，，…；或，，…．二是能列出连续两项之间的一般关系，如或．然后教师选择有代表性的列式让学生进行自我投影展示，相互评述．得出等差数列定义的符号语言：．这就进一步加深了学生对定义的理解，并为等差数列通项公式的推导设好铺垫．〔二〕关于等差数列通项公式的学习过程以问题3为载体，对等差数列定义的进行再拓展．首先组织学生4人小组讨论，然后进行班级交流，学生展示不同的讨论结果．课堂实况大致有以下4种．状况一：，状况二：，，，……．．各式相加，得各式相加，得，．即．状况三：，状况四：，，……，，即．即．然后教师根据学生展示中的具体情况进行评价，选用两种或三种方法对等差数列通项公式的推导方法进行归纳总结，如不完全归纳法、累加法、迭代法等．设计意图：①由于学生较易理解等差数列的定义，而且也具备这方面的根底，所以首先设计自主学习的方式对定义进行初认识，逐步引导学生用数学语言刻画等差数列的共同特征，培养学生观察、分析的能力和语言表达能力．②为了突出重点，解决难点，选择探究学习的方式，通过数学文字语言与符号语言的互译，探究得出用符号语言表示等差数列定义的一般形式．一方面加深学生对等差数列定义的理解，另一方面尽可能的把学生头脑中的问题引出来，使他们探究问题的思维过程暴露出来，以便加以指导，激发学生学习数学的兴趣，培养他们自主探索的能力．③学生根据等差数列定义所列的等式中，已蕴含等差数列通项公式的推导方法，但有的学生的列式并不完善，学生自己可能也没意识到列式中所蕴含的方法，所以有些学生单凭自行探究还不能完成等差数列通项公式的推导，为此进一步采用组织学生合作学习的方式，以到达导出等差数列的通项公式的教学目的．引导学生在进一步认识等差数列定义的过程中，建构新的数学知识．四、数学运用选择例1〔教材P37例3：等差数列的通项公式为，求和公差．〕让学生自主完成解答，感受等差数列与一次函数的关系．而后联系“思考〞，引导学生合作探究等差数列通项公式反映的一些本质特征：如是以正整数为自变量的特殊的一次函数；这个特殊函数的图像是位于轴右半平面上的一些孤立的点，而且这些点都在直线上；等差数列的公差便是图像上各点所在直线的斜率，进一步还可得出公差与数列单调性的关系．通过例2〔教材P36例2：等差数列中=10，=28，求．〕的教学，先让学生自主运用方程〔组〕的思想方法解决此类问题，再启发学生发现，然后引导学生探究推广到等差数列通项公式更一般的形式：．设计意图：①充分挖掘教材中例题的内涵，以发挥例题的示范性，实现其开展性和培养性．如例1从函数观点出发，由特殊到一般，利用数形结合，加深学生对等差数列通项公式的理解．例2通过讨论，明确推广后的等式与通项公式的关系以及该等式的作用在于：Ⅰ．等差数列的某一项与公差可求出任意指定项；Ⅱ．等差数列的任意两项可求出公差．②在例题的教学中，让学生用不同的学习方式处理数列中不同能级要求的问题，这样既加深了学生对通项公式的理解，又让学生在应用过程中进一步体验数学，促进学生观察、归纳能力以及分析问题、解决问题的能力的提高．五、回忆反思请同学们交流本节课的学习收获．设计意图：①通过回忆，学生再次体会本课所学数学知识和涉及到的数学思想方法．感受从根本定义、概念出发，运用旧知，通过探索得出一些新的结论，这是学习数学常用的方法．②通过交流表述，培养学生的语言表达能力和理性思维．六、课外作业1、必做题：教材P35练习第4、5题；教材P37练习第2、5题；教材P38习题第2、3、4、题；2、选做题：教材P38习题第5、6、7题．设计意图：①进一步强化等差数列概念和通项公式的运用．②设计选做题实施分层作业，让学生尝试应用等差数列的模型解决实际问题．一方面减轻局部学生的学业负担，另一方面也让学有余力的同学发挥更大的潜能．。
B第 3 课时： §1.2 余弦定理（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 二、过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点与难点】：重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：向量方法证明余弦定理. 【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题1.正弦定理的内容？2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知 1．余弦定理的向量证明：方法1：如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵−→−AC +=−→−AB −→−BC ，∴⋅−→−AC −→−AC +=−→−AB (⋅−→−)BC +−→−AB ()−→−BC −→−=AB2⋅+−→−AB 2+−→−BC −→−BC2−→−=AB2⋅+−→−||2AB )180cos(||0B BC -−→−+−→−BC222cos 2a B ac c +-= 即 B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．方法2：建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A =-+=+-+=+-，同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注意：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论． 于是得到以下定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
二模试卷讲评---轨迹法在三角中的应用一、教学目标：1、通过反应测试评价的结果，让学生分析错题，找出错因，解决学习中存在的问题，完善认知结构，深化常见题型的答题技巧。
2、引导学生正确看待考试分数，以良好的心态面对考试开阔解题思路，优选解题方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点：1、查漏补缺，发现缺乏。
2、进一步加强各类题型的解题方法指导。
三、教学难点：1、对试卷中出现的根本概念做本质剖析，对易错易混知识点进行分类辨析与变式训练2、通过对基此题型的分析、讲解，从而提高数学综合素质。
四、教学方法：反应交流归纳总结讲练结合五、突破措施1统计各题的解答情况，特别是试卷中的典型错误，分析出错原因；2在错因分析、错题纠错、标准表述、反思提高、方法总结等环节上调动学生积极参与，相互讨论学习六、教学过程：一、试卷分析1、成绩分析、学生分析2、试卷存在的问题二、重点试题分类辨析与变式训练------轨迹法的应用第12题小结：轨迹法的应用近年在高考和模考中经常可见，我们要有轨迹意识。
课后请同学每人各举5个题，有关轨迹的应用。
三、课堂小结1回忆本节课主要内容。
2复习时要注重反思，不断总结，提炼方法四、作业五、课后反思：本节课是试卷讲评课，通过本节课总结如下：要重视学生的学习过程，注意培养学生良好的学习习惯，从数学思想入手来解题，通过数学思想方法的指导可以更好的发现解题途径。
继续加强根底知识教学，调动学生学习主动性和积极性，注意知识点的讲解透彻，在立足于教材、把握教材的根底上挖掘教材；善于把握数学思想，善于提炼数学思想，并不失时机地对学生进行数学思想教育。
本节课中的数学思想主要有：数形结合的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想。
因此，在试卷评讲后，一定要引导学生及时进行试卷自我分析，自我反思。
借此让学生再次反思自己之所以做错某些题目的原因，并采取相应的改良措施，以免类似错误一犯再犯。
等差数列的概念
【教学目标】
1 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．
2 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．
3 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．
【教学过程】。
1.1 正弦定理一、学习目标1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．二、教学过程1、复习旧知：三角形函数定义2、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =，那么边角之间有哪些关系？探索2 在Rt ABC ∆中，我们得到sin sin sin a b c A B C==，对于任意三角形，这个结论还成立吗？3、学生活动把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立．学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理． 四、问题解决探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证明结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论成立？师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理．探索5 这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题？正弦定理可以解决两类三角形问题：（1）（2）五、数学运用例题 在ABC ∆中：（1）已知16a =，26b =，30A =，求B ，C ，c ；（2）已知30a =，26b =，30A =，求B ，C ，c ；（3）已知25a =，11b =，30B =，解这个三角形．学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？六、.课堂练习1.（口答）一个三角形的两角和边分别是30和45，若45角所对边的长为8，那么30角所对边的长是 .2. 在ABC ∆中：（1）已知75,45,32A B c ===C ，b ；（2）已知30,120,12A B b ===，求a ，c ．3.根据下列条件解三角形：（1）40b =，20c =，25C =（2）15a =，20b =，108A =七、课堂小结八、课后作业1、在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． 2、在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．3、在ABC ∆中，30bc =，ABC S ∆=，则A ∠= ．4、在△ABC 中，已知∠B=045，334b 22==，c ,则∠A 的值是 5、△ABC 中6=a ，36=b ，A=030，则边c =6、在△ABC 中，已知2=a ，22=b ，∠A=030，则∠B=7、在△ABC 中，B a b 222sin 4=，则∠A= ____8、在三角形ABC 中，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且Ac C b B a sin sin sin ==，则△ABC 是 三角形。
苏教版高二数学必修5全套学案§1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又，从而在直角三角形ABC中，．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=，则，同理可得，从而．类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即．试试：（1）在中，一定成立的等式是（）．A．B.C.D.（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如；．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※典型例题例1.在中，已知，，cm，解三角形．变式：在中，已知，，cm，解三角形．例2.在．变式：在．三、总结提升※学习小结1.正弦定理：2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※知识拓展，其中为外接圆直径.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在中，若，则是（）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶D．2∶2∶3.在△ABC中，若，则与的大小关系为（）.A.B.C.≥D.、的大小关系不能确定4.已知ABC中，，则=．5.已知ABC中，A，，则=．课后作业1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．2.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，求实数k的取值范围为．§1.2余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．复习2：在△ABC中，已知，，，解此三角形．。
教学设计基本不等式及其应用教学目标1．利用基本不等式求最值2．利用基本不等式求最值的条件一正：参与运算的两个数为正数二定：求和的最值，积必须是定值；求积的最值，和必须是定值三相等：参与运算的两式必须能相等重点难点：重点：应用基本不等式求函数的最值难点：通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设应用基本不等式的情境教学过程考题再现21.(20112.30y x y z R x y z xz ∈+-+=湖南卷）已知，，，，的最小值为 22021·山东卷若对任意>0， ≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ()3.(20112.)xOy f x x P Q PQ =在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函江苏数的图象交于、两点，则线段长的最小值是______卷144.002(2011)a b a b y a b+==+已知＞，＞，，则的最小值是重庆卷____ 22415.(2011)2x y x y xy x y ++=+浙设，为实数，若，则的最大值是_江卷____知识点回顾两个变形 1错误!≥错误!2≥aba ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号；2 错误!≥错误!≥错误!≥错误!a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号．小题热身1．已知，都为正实数，且3＋＝1，231xx x ++2,()(2a b a b ab a b ≥+≤=若均为正数，则a+b 积定和小）（和定积大） 当且仅当时等号成立）则的最大值为 ．＝og 2－2，若实数m ，n 满足fm ＋f 2n ＝3，则m ＋n 的最小值是_____>0，b >0，a ＋b ＝2，则不等式：①ab ≤1；② ；③a 2＋b 2≥2；④ ≥2中，对一切满足条件的a 、b 恒成立的________写出所有正确命题的序号典型例题例1：1已知＜54 ，求函数=4-2 145x -的最大值； 2已知＞0，＞0，且191x y+=，求的最小值； 3求例2：若、、∈0,1，求证：1113111x y y z z x++≥-+-+-+ 延伸拓展设a 、b 为正实数，且ab =11求证：1144ab ab +≥+ ； 2探索、猜想：将结果填在括号内：22221a b a b +≥（）；33331a b a b+≥（） 3由1、2你能归纳出更一般的结论吗？ 并证明你给出的结论课堂小结 ≤11a b +2。
二元函数的最值的处理
常州市第二中学徐远锋
教学目标：1、掌握解决二元函数的最值问题的常见方法；
2、掌握用数形结合的思想方法解决一类二元函数问题；教学重难点：代数法、数形结合思想的运用
教学过程：
一、课前自我检测：
1.正数满足，那么的最小值为：
2.正数满足，那么的最小值为：
3.实数满足求的最大值
4.假设满足，那么的最小值是：
方法感悟：
二、典型例题：
1、假设正数满足求的最大值；
2、实数满足求的最大值
3、假设且那么的最小值为
4、实数满足，求的最小值；
三、感悟总结
四、稳固提高
1、假设实数满足，那么的最小值是：
2、设实系数一元二次方程有两相异实根，其中一根在区间内，另一根在内，那
么的取值范围是：
3、设等差数列的前项和为假设，，那么的取值范围是：
4、三角形的三边长分别为，满足，那么的取值范围是：。
2.2 .1等差数列的概念七、教学过程（一）创设情景，引入概念（设计意图：通过对实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程）情景1：把班上学生学号从小到大排成一列：如：1，2，3，4，…，63，64.问题1：请学生归纳出上一个数列的通项公式),521(,+∈≤≤=N n n n a n 。
问题2：把上面的数列各项依次记为64321,,,,a a a a ，学生填空：()()()1,,1,163642312+=+=+=a a a a a a问题3：上面的数列有什么特点，你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？(教师引导，学生完成）11+=-n n a a （2≥n ），或者写成 11=--n n a a （2≥n ）.注：强调2≥n ，原因在于1-n 有意义。
问题4：提问学生，能用普通语言概括上面的规律吗？数列后一项等于前一项加“1”，或者 数列后一项与前一项的差为“1”. 上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。
情景2：看幻灯片上的实例（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg ）： 48，53，58，63.（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。
如果一个水库的水位18m ，自然放水每天水位下降2.5m ，最低降至5m 。
那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m ）：18，15.5，13，10.5，8，5.5.（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。
如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是：10072， 10144， 10216， 10288， 10360.（4）全国统一鞋号中，成年女鞋的尺码最小的是21码，相邻两个鞋号间隔0.5码，最大的是25码，组成的数列：21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25.问题5：请学生写出上面的数列，观察这些数列的特点，并用数学语言（符号）描述这些特点:（1）51=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（2）5.21-=--n n a a ，2≥n ，+∈N n（3）721=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（4）5.01=--n n a a ，2≥n ，+∈N n 问题6：观察并归纳上面这些数列的共同特征，用数学语言（符号）描述这些特点:1n n a a d --=（d 是常数），（2≥n ，+∈N n ）满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？）--等差数列。
启迪学生数学思维，营造课堂数学文化———“数列的概念〞教学设计与研究数学是探索自然现象、社会现象规律的工具和语言，数学又是一种文化素养，需要平时的点滴积淀与熏陶。
前苏联著名数学教育家A．A．斯托利亚尔曾说过：“数学这个术语可以表示一种思维活动，或者表示这种活动的结果——理论。
〞本节课的教学内容“数列的概念〞为数列的起始课，属于概念教学，看似简单而机械，但其间却蕴含了重要的数学思想和极大的数学价值，笔者尝试在本节课中，通过营造课堂数学文化气氛，使学生通过思维活动形成理论结果，将理论融入思维。
一．教学整体思路及重难点把握：本节课的教学内容根本可分为三局部，一是数列概念的建构，二是数列的表示方法，三是数列与函数的关系。
其中，数列的概念及其表示方法为本节课的重点，数列与函数关系的理解那么为难点。
三局部内容看似零散而琐碎，教师假设只是着眼于将其“陈列〞于学生面前，那便是抛弃这节课的精华与灵魂。
数学从微观上看是一种思维活动，数学教育是思维的教育；从宏观上看，又是一种文化，一种观念系统，数学教育是数学文化的教育。
笔者用一条主线将三个教学内容按逻辑顺序串联起来：用数学的眼光来看世界→用数学的语言来描述世界→用数学的思想方法来研究世界。
这条主线既是我们这节课的教学顺序，推动了学生思维的递进，又渗透着数学文化，从本质上来说也是我们“学数学〞和“用数学〞的根本环节。
二．课堂教学的层次结构及设计思路：为了开展学生的数学思维、营造数学文化，新教材更加强调数学概念形成的背景；重视介绍数学知识发生开展的来龙去脉；注重帮助学生学会运用数学语言去描述周围世界出现的数学现象；注重帮助学生体验数学在解决实际问题中的作用，拓展学生的视野，从而体会数学的应用价值。
我们更希望学生能在解决实际问题中，感悟数学的作用，体验数学与日常生活及其他学科的联系，逐步形成和开展数学应用意识，提高实践能力。
基于上述原因及目的，在本节课的课堂教学上，笔者采用了三个递进的层次结构逐步展开教学活动：一、通过“用数学的眼光来看世界〞引导学生进行从特殊到一般的数列概念生成，培养学生的数学意识；二、通过“用数学的语言来描述世界〞引导学生从“数〞与“形〞两个方面描述数列，表示出所要研究的数学对象。
课题：数列授课教师：太仓市明德高级中学高莉芳1．教学目标：使学生理解数列的概念；掌握数列的通项公式的定义；会由数列的通项公式写出数列的各项；会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
2．教学重点、难点：重点是数列的概念及数列的通项公式；难点是根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
3．教学方法和教学手段：教学方法：探索发现法。
教学手段：运用多媒体技术，创设情境，提供丰富、生动、直观的材料，激发学生学习主动性和积极性。
4．教学过程：引例一：从1984年到2021年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌数依次为：15，5，16，16，28，32。
引例二：这是一堆钢管的截面图，根据下列图形，按一定的次序写出一组钢管数：由学生写出几组数，可能有如下几种可能：4，5，6，7，8，9，10；10，9，8，7，6，5，4；1，2，3，4，5，6，7，7，7，7；24，16，8，1．引例三：对于,当时，请把相应的数值写下来：引例四：我们再看一个自然界的一种现象：某种放射性物质不断变为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%，设这种物质的某年开始时质量为1，将这种物质从这年起各年开始时剩留量排成一列数：1，，，，…。
研究刚才得出的几组数，和集合类比得出数列的数有序排列，引出数列的概念。
类比集合中元素的性质，得出集合的元素和数列的数性质的差别，引出数列的一系列概念：按一定次序排列的一列数叫数列；数列中的每一个数叫做这个数列的项；各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，···，第n项，···；数列的一般形式：a 1，a 2，a 3 ,…，a n ，…简记为{a n }，其中a n 是数列的第n 项。
项数有限的数列叫做有穷数列。
项数无限的数列叫做无穷数列。
结合钢管堆放的例子，研究每一项的序号与这一项之间有什么对应关系？ 序号（a n ） 1 2 3 4 5 6 7 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 项（n ） 4 5 6 7 8 9 10 得出a n ＝n ＋3，n ＝1，2，3，4，5，6，7。
课题：数列的概念与简单表示江苏省滨海中学殷瑞鑫【教学目标】1了解数列的概念及其表示方法，理解数列通项公式的有关概念；2给出数列的通项公式，会写出数列的前几项；给出简单数列的前几项，会写出它的通项公式；3给出问题情境，引导学生经历观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程，进行反思、交流，并培养学生观察分析、探究归纳的能力；4通过本级课的学习，让学生体会数学习的兴趣【教学重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用【教学难点】根据数列前几项抽象、归纳出数列的通项公式【教学方法】在教师的引导下，创设情境，通过开放性问题的设置来启发学生思考，让学生在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，并使之获得内心感受【教学过程】一、创设情境，感受实例我们生活的美丽世界里蕴含着无数的自然规律，从细胞分裂到鹦鹉螺壳花纹的排列，从树木的生长模式到葵花的花瓣数……它们各有其消长的方式和特点情境1：某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝，那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8，……情境2：从1984年到2021年，我国共参加了7次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32，51；情境3：某剧场有30排座位，第一排有2021位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20212、24、26、28；情境4：某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，……问题1：观察上述四个问题，它们有什么共同特点？学生交流（1）上述问题中都有一系列数；（2）这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒，并且有些数可以相同二、观察分析，抽象概括1数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项。
思考1： 数列15,5,16,16,28,32改为16,5,15,16,28,32，请问是不是同一数列？试试看：你能举一些数列的例子吗？师生共同点评，找几个有代表性的例子进行分析例如: ①11111,,,,,2481632⋅⋅⋅ ②班级所有同学的学号按从小到大的顺序排序1,2,3,4，…… 49；③2，4，6，8，10,……④1，-1,1，-1,1,-1，1，-1,……⑤1，1，1，1，1，1，1问题2：通过刚才的讨论，你对数列有什么新的认识？2数列的分类（1）按项数分：有穷数列，无穷数列；（2）按项的变化规律：递增数列，递减数列，常数列，其它数列问题3：数列的概念与集合的概念有何区别？学生交流（1）数列{}n a 中是一列数，而集合中的元素不一定是数；（2）数列{}n a 中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序；（3）数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复3数列的记法数列的一般形式写成123,,,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅简记为{}n a 其中1a 称为数列{}n a 的第1项（或称为首项）。
苏教版高二数学必修五全册教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第八课时等比数列教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.教学重点：.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?若a，A，b成等差数列a＝a＋b2，A为等差中项.那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，……则即Ga＝bG，即G2＝ab反之，若G2＝ab，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列∴a，G，b成等比数列G2＝ab总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G＝±ab，另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap ＋aq，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp －1，aq＝a1•qq－1不难发现：am•an＝a12qm+n－2，ap•aq＝a12qp+q－2若m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq下面看应用这些性质可以解决哪些问题?［例1］在等比数列{an}中，若a3•a5＝100，求a4.分析：由等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则am•an ＝ap•aq可得：解：∵在等比数列中，∴a3•a5＝a42又∵a3•a5＝100，∴a4＝±10.［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an•bn}是等比数列.分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列{an}的首项是a1，公比为p；{bn}的首项为b1，公比为q.则数列{an}的第n项与第n＋1项分别为a1pn－1，a1pn 数列{bn}的第n项与第n＋1项分别为b1qn－1，b1qn.数列{an•bn}的第n项与第n＋1项分别为a1•pn－1•b1•qn－1与a1•pn•b1•qn，即为a1b1n－1与a1b1n∵an+1an•bn+1bn＝a1b1（pq）na1b1（pq）n－1＝pq它是一个与n无关的常数，∴{an•bn}是一个以pq为公比的等比数列.特别地，如果{an}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c•an}是等比数列.［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.解：设m，G，n为此三数由已知得：m＋n＋G＝14，m•n•G＝64，又∵G2＝m•n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10 ∴m＝2n＝8或m＝8n＝2即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.Ⅲ.课堂练习课本P50练习1，2，3，4，5.Ⅳ.课时小结本节主要内容为：若a，G，b成等比数列，则G2＝ab，G叫做a与b的等比中项.若在等比数列中，m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aqⅤ.课后作业课本P52习题5，6，7，9等比数列．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）A.5B.10c.15D.202．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于（）A.9B.10c.11D.123．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（）A.10B.12c.14D.164．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，yx能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列答案．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）A.5B.10c.15D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3＋a5的方法是不行的，而应寻求a3＋a5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1q•a1q3＋2a1q2•a1q4＋a1q3•a1q5＝25即a12q42＝25，又an＞0，得q＞0∴a1q2＝5解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25由等比数列性质得a32＋2a3a5＋a52＝25即2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于（）A.9B.10c.11D.12解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－1又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11.答案：c3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（）A.10B.12c.14D.16解：由已知得2y＝x＋zy2＝（x＋1）zy2＝x（z＋2）2y＝x＋zy2＝（x＋1）zz＝2x2y＝3xy2＝（x＋1）2xy＝12答案：B4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d则（x－d）2＝ax①a＋（x－d）＋x＝19②（x－d）＋x＋（x＋d）＝12③解得x＝4，代入①、②得（4－d）2＝4aa－d＝11解得a＝25d＝14或a＝9d＝－2故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：2bn＝an＋an＋1①an＋12＝bnbn＋1②∴an+1＝bnbn＋1，an＝bnbn－1代入①得2bn＝bnbn＋1＋bnbn－1即2bn＝bn＋1＋bn－1∴{bn}成等差数列，设公差为d又b1＝2，b2＝a22b1＝92，∴d＝b2－b1＝322－2＝22∴bn＝2＋22（n－1）＝22（n＋1），bn＝12（n＋1）2，当n≥2时，an＝bnbn－1＝n（n＋1）2③且a1＝1时适合于③式，故anbn＝nn＋1.评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，yx能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下来只需讨论yx和x－y的大小关系，分成两种情况讨论.解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而yx＜1＜x －y当yx＜x－y时，由yx，x－y，x＋y，xy顺次构成等比数列.则有yx•xy＝（x－y）（x＋y）（x＋y）2＝（x－y）xy解方程组得x＝7＋52，y＝5＋722∴所求等比数列为22，2＋322，12＋1722，70＋9922.当yx＞x－y时，由x－y，yx，x＋y，xy顺次构成等比数列则有yx•xy＝（x＋y）2yx（x＋y）＝（x－y）xy 解方程组得y＝112，这与y＞2矛盾，故这种情况不存在.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为（x－d）2x，x－d，x，x＋d，根据题意有（x－d）2x＋（x＋d）＝21（x－d）＋x＝18，解得x ＝12d＝6或x＝274d＝92274∴所求四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为xq，x，xq，则第四个数为2xq －x.依题设有xq＋2xq－x＝21x＋xq＝18，解得x＝6q＝2或x＝454q＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得：y2＝x（18－y）2（18－y）＝y＋（21－x），解得x＝3y ＝6或x＝754y＝454∴所求四数为3，6，12，18或754，454，274，94.。
