宁夏银川一中2020届高三第六次月考数学(文)试题Word版含答案

宁夏回族自治区银川市一中2020 Jg高三数学12月月考试题文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回•一、选择题如本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知z = 那么复数亍对应的点位于复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算求得z,进而得乏，从而可得解.-/ -/（1-0 1 i【详解】由（l+0-z = -»,可得Z 1+7 2 2 2.__ 1 i，1 1、Z —---- 1—（—,—）所以2 2对应的点2 2位于复平面内的第二象限.故选B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轴复数的概念，属于基础题.2.己知集合狄={"2|蛆<1} jV={xeR|-l<x<2）则McN=（）A. {—B. {°mC. {—L0}D. {1}【答案】B【解析】此题考查-元二次不等式的解法、集合的运算；因为M={T<U},所以MF = {O,1},选B3.已知数列为等差数列，且巧+0+<3=”,则sm（%+/）=（1 西也A. 2B. 2C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质可得，G+qanZo,可求多，进而可求.+4=20,，代入所求式子即可得答案.【详解】由等差数列的性质可得，巧+.3=20,. / 、. 2 勿y/3/.sin(^+^) = sin—=—故选C.【点睛】本题主要考查等差中项及特殊角的三角函数值，考查基本运算求解能力，属于基础试题，旦 A ——4.设向量a = (41+x)»6 = (x，D,则"x = i-是的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出浏片的充要条件，判断前者成立是否能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论.【详解】洲片的充要条件为2=(1 +小，即工=-2或x = l,“ x = 1 ”是“ x = -2或* = 1 ”成立的充分不必要条件，■■- “ x = l ”是“洲A ”的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要 条件的定义加以判断.5. 直线3工一4^+3 = 0与圆'+/=］相交所截的弦长为（）48A. 5B . 5C. 2D. 3【答案】B 【解析】【详解】圆'+『=1的圆心（o,o ）,半径为1,因为直线A"+3 = 0,3可得圆心到直线的距离为 则利用勾股定理可知相交所截的弦长为 V 25 5, 故选B6. 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图 轮廓为正方形，则此几何体的表面积是【答案】B 【解析】【详解】由题意可得该几何体为一个正四棱锥， 底面是一个边长为2的正方形，其面积为4. 侧面是的底边长为2,高为山子+1=2的等腰三角形， 四个侧面积为8.所以全面积为4+8=12. 故选B.侧视国主视图7.己知函数‘°）（9岫诲，实数％是方程的解，若0<X1<X°,则，（为）的值（）A.恒为负数B.等于零C.恒为正数D.可正可负【答案】C【解析】【分析】利用指数函数’一勺）和对数函数厂喝、在（"B上的单调性，可得函数六°的单调性,再利用函数零点的意义即可得出.【详解】二•实数〜是方程/（*）= °的解，•••函数"（9与尸蛔工在（°，机）上分别单调递减、单调递增，.••函数了3）是减函数.又vO<X!<x0故选C.【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数值的正员，求解时要会利用两个增函数的和仍是增函数这一知识，属于基础题，7C8.将函数y = cos2x的图象向左平移彳个单位长度，所得函数的解析式是（）【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用三角函数图象的平移变换法则求解即可.瓦【详解】函数y=cos2x的图象向左平移彳个单位长度，y = cos2| x + — 1 = cos! 2x + — I = -siriZx 得到 V 4J I 2) 的图象,即所得函数的解析式是 故选C.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌 握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识 理解的深度.21土 +匕=19.己知点&凡分别是椭圆' (a>d>0)的左、右焦点，过R 且垂直于*轴的直线与椭圆交于』、E 两点，若△碎为正三角形，则椭圆的离心率是( )A. 2B.次C. 3D. 3【答案】D 【解析】 【分析】盆30。

银川一中2020届高三年级第六次月考文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.32ii-=+（ ） A. 1i - B. 22i -C. 1i +D. 22i +【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项. 【详解】原式()()()()32551225i i i ii i ---===-+-.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.2.设集合22{(,)|1},97x y M x y =+={(,)|2}x N x y y ==,则M N ⋂的子集的个数是（ ）A. 8B. 4C. 2D. 0【答案】B 【解析】 【分析】画出集合,M N 表示的图像，根据图像交点的个数，判断出M N ⋂元素的个数，由此求得M N ⋂的子集的个数.【详解】画出集合,M N 表示的图像如下图所示，由图可知M N ⋂有两个元素，故有224=故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函数的图像，属于基础题.3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（ ） A. 7尺 B. 14尺C. 21尺D. 28尺【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用等差数列前n 项和公式列方程，解方程求得第30天织布.【详解】依题意可知，织布数量是首项为15a =，公差5d =的等差数列，且13030303902a a S +=⨯=，即()30155390a ⨯+=，解得3021a =（尺）. 故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题. 4.已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A. 35-B. 10C.45D.13【答案】C【分析】由两角和的正切公式求出tan α，利用22sin cos 1αα+=化简sin 2α，代入tan α即可得解. 【详解】tan 11tan 3tan 41tan 2παααα+⎛⎫+==⇒= ⎪-⎝⎭Q ， 2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15ααααααα∴===++. 故选：C【点睛】本题考查两角和的正切公式，利用同角三角函数的关系进行化简，属于基础题.5.若p ：12log 1a <，q ：1113a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则p 是q 的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性解不等式，由解集的包含关系即可判断.【详解】因为p ：121log 12a a <⇒>，q ：11113a a -⎛⎫<⇒> ⎪⎝⎭， 所以p 是q 的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查必要不充分条件的辨析，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题. 6.设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. ,//m m n n αα⊥⊥⇒B. ,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥C. ,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥D.,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒【答案】B 【解析】根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，直线n 可能在平面α内，故A 选项错误.对于B 选项，由于,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，所以m n ⊥正确，故B 选项正确. 对于C 选项，,αβ可能平行，故C 选项错误. 对于D 选项，,αβ可能相交，故D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行、线线垂直、面面垂直的知识，属于基础题. 7.某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且甲、丙两个车间共抽取的产品数量为60，则乙、丁两车间生产的产品共有（ ） A. 1000件 B. 1200件C. 1400件D. 1600件【答案】D 【解析】 试题分析：因为280020140=，所以甲、丙两车间产品的数量为，从而乙、丁两车间产品的数量为1600. 考点：分层抽样法.8.若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A. 0B. 3-C.32D. 3【答案】B 【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<2π)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式是( )A. f(x)＝sin(3x ＋3π)B. f(x)＝sin(2x ＋3π) C. f(x)＝sin(x ＋3π)D. f(x)＝sin(2x ＋6π) 【答案】D 【解析】 由图象知15-41264T πππ==，所以T π=，2ω=，又图象过点(,1)6π，代入解析式得：sin()13πϕ+=，又2πϕ<，所以6π=ϕ，故选D.10.已知()f x 在R 上是可导函数,则()f x 的图象如图所示，则不等式()223()0x x f x '-->的解集为（ ）A. (,2)(1,)-∞-+∞UB. (,2)(1,2)-∞-UC. (,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞D. (,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 图像判断()'fx 的符号，由此求得不等式()223()0x x f x '-->的解集.【详解】由()f x 的图像可知，在区间()(),1,1,-∞-+∞上()'0f x >，在区间()1,1-，()'0f x <.不等式()223()0x x f x '-->可化为()()()'310x x f x -⋅+⋅>，所以其解集为(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题. 11.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.34π B.24π+ C.12π+ D.324π+ 【答案】D 【解析】【详解】该几何体的体积为34的圆锥体积与三棱锥p ADB V -的体积之和，即2311113+2=13+3=.43234V ππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯几何体选D.12.点P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上一点，其左，右焦点分别为1F ，2F ，直线1PF 与以原点O 为圆心，a 为半径的圆相切于A 点，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则双曲线的离心率为（ ） A.32B.43C.53D.54【解析】 【分析】运用线段的垂直平分线的性质可得2122PF F F c ==，设1PF 的中点为M ，由中位线定理可得22MF a =，再由勾股定理的和双曲线的定义可得422b c a -=，结合a ，b ，c 的关系可得a ，c 的关系，即可求得离心率.【详解】因为线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，所以2122PF F F c ==， 因为直线1PF 与以原点O 为圆心，a 为半径的圆相切于A 点，所以||OA a =， 设1PF 的中点为M ，由中位线定理可得22MF a =，在直角三角形2PMF 中，22||442PM c a b =-=，则14PF b =， 由双曲线的定义可得122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+， 所以()222224()4()b ac c a a c =⇒=+-+， 解得35a c =， 所以53c e a ==. 故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及垂直平分线的性质，中位线定理，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()2,1a =r ，()3,b m =r，若()a ab ⊥-r r r ，则m 等于______.【答案】1-【分析】求出a b -r r的坐标，由()a a b ⊥-r r r 推出()0a a b ⋅-=r r r ，列出方程即可求得m .【详解】(1,1)a b m -=--r r，()a ab ⊥-r r r Q ，()02(1)1(1)0a a b m ∴⋅-=⇒⨯-+⨯-=r r r，解得1m =-故答案为：1- 【点睛】本题考查向量的坐标表示，两垂直向量的数量积关系，属于基础题.14.已知抛物线2:8C y x =,O 为坐标原点,直线x m =与抛物线C 交于,A B 两点,若OAB ∆的重心为抛物线C 的焦点F ,则AF =___________________；【答案】5 【解析】 由题意得22,33AA x x == ，由抛物线定义得2 5.A AF x =+= 15.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==,则数列{}3log n a 的前n 项和为___________.【答案】22n n- 【解析】 【分析】先求得数列{}n a 的通项公式，由此求得数列{}3log n a 的通项公式，进而求得其前n 项和.【详解】由于等比数列{}n a 中，253,81a a ==，所以141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得11,3==a q ，所以13-=n n a ，所以3log 1n a n =-，所以数列{}3log n a 是首项为0，公差为1等差数列，其前n项和为20122n n nn +--⋅=. 故答案为：22n n-【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和，属于基础题.16.在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),A a b ，若函数()y f x =满足：[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，就称这个函数是点A 的“限定函数”.以下函数：①12y x =，②221y x =+，③sin y x =，④()ln 2y x =+，其中是原点O 的“限定函数”的序号是______.已知点(),A a b 在函数2xy =的图象上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，则实数a 的取值范围是______.【答案】 (1). ①③ (2). 0a ≤ 【解析】 【分析】(1)当[1,1]x ∈-，求出各序号中y 的取值范围A ，若[1,1]A ⊆-则此函数是原点的“限定函数”； (2) 由题意知2a b =，当[]1,1x a a ∈-+时112[2,2]x a a y -+=∈，若2x y =是点A 的“限定函数”，则11[2,2][21,21]a a a a -+⊆-+，由集合的包含关系列出不等式组即可求得a 的取值范围.【详解】(1) ①当[1,1]x ∈-时，111[,]222y x =∈-，因为11[,][1,1]22-⊆-，所以函数①是原点的“限定函数”；②因为221y x =+在[1,0)-上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当[1,1]x ∈-时，221[1,3]y x =+∈，因为[1,3][1,1]⊄-，所以②不是原点的“限定函数”；③因为sin y x =在(,)22ππ-上单调递增，所以当[1,1]x ∈-时，sin [sin1,sin1]y x =∈-，因为[sin1,sin1][1,1]-⊆-，所以③是原点的“限定函数”；④因为()ln 2y x =+在(2,)-+∞上单调递增，所以当[1,1]x ∈-时，()ln 2[0,ln3]y x =+∈，因为[0,ln 3][1,1]⊄-，所以④不是原点的“限定函数”. (2)因为点(),A a b 在函数2x y =的图象上，所以2a b =，因为2xy =是点A 的“限定函数”，并且当[]1,1x a a ∈-+时，112[2,2]x a a y -+=∈，所以1111221[2,2][21,21]221a a a a aaa a--++⎧≥-⎪⊆-+⇒⎨≤+⎪⎩，解得0a ≤. 故答案为：①③；0a ≤【点睛】本题考查函数的概念与性质，涉及基本初等函数及正弦函数的单调性，根据集合的包含关系求参数，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分）17.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2sin()(2sin )(2sin ).a B C B C b C B c +=-+（1）求角A 的大小；（2）若4a =，b =ABC ∆的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得cos A的值，进而求得角A 的大小.（2）利用正弦定理求得sin B ，进而求得角B 的可能取值，由此求得角C ，进而求得ABC ∆的面积.【详解】（1）由已知及正弦定理可得22(2)(2)a b b c c =-+， 整理得222bc a +-=，所以222cos 2b c A bc a +===-． 又(0,)A π∈，故6A π=．（2）由正弦定理可知sin sin a b A B=，又4a =，b =6A π=，所以sin B =． 又5(0,)6B π∈，故3B π=或23π．若3B π=，则2C π=，于是12ABC S ab ∆==若23B π=，则6C π=，于是1sin 432ABC S ab C ∆==． 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E ，F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点F 到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析（2）3010【解析】 【分析】（1）由中位线定理推出//FQ DC 且12FQ CD =、AE CD P 且12AE CD =，所以//AE FQ 且AE FQ =，从而推出//AF EQ ，由线线平行即可证明线面平行；（2）由（1），点F 到平面PEC 的距离等于点A 到平面PEC 的距离，利用等体积法列出A PEC P AEC V V --=，即可得解.【详解】（1）设PC 的中点为Q ，连接EQ ，FQ ，由题意，因为FQ 是PDC △的中位线，所以//FQ DC 且12FQ CD =， 因为底面ABCD 为菱形且E 为AB 的中点，所以AE CD P 且12AE CD =故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 则//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面AEC ， 所以，//AF 平面PEC（2）连接DE ，由（1），点F 到平面PEC 的距离等于点A 到平面PEC 的距离，设为d ，由条件易求=PC AC =1,2BE BC ==，120EBC ∠=o ，在EBC V 中，22121cos 2122EC EBC EC +-∠==-⇒=⨯⨯易知ADB △为等边三角形，则DE AB ⊥，DE ==，因为PD ⊥平面ABCD 且DE ⊂平面ABCD ，所以PD DE ⊥,所以PE =因为PE EC =，所以EPC V 为等腰三角形，EQ PC ⊥，所以EQ ==故12PEC S ∆=⨯=112AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=123d =，解得d =. 【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，点到平面的距离问题，属于中档题.19.2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计 捐款超过500元 30 捐款低于500元 6 合计（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率. 附：临界值表0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82820()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）有把握；（2）218. 【解析】 【分析】(1)由直方图得到22⨯列联表，利用公式求得2K 的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，得到试验的全部结果所构成的区域及事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”， 根据几何概型，利用面积比可求()78PA =，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果. 【详解】(1)如下表：经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计捐款超过500元 30 9 39 捐款低于500元 5 6 11 合计 351550()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． (2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，则(,x y )可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为(){,|78,7.58.5}Q x y x x =≤≤≤≤，则S Ω＝1，事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|y ≥x ，7≤x ≤8,7.5≤y ≤8.5}，即图中的阴影部分面积为111712228A S =-⨯⨯=，所以()78A QS P A S ==，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布73,8B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，721388E ξ=⨯=. 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．20.如图，已知圆E ：221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点1F ，2F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在与直线OA （O 为原点）平行的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点.使32OM ON ⋅=-u u u u r u u u r ，若存在，求直线l 的方程，不存在说明理由.【答案】（1）2222142x y +=（2）存在，212y x =±【解析】 【分析】（1）求出圆E 与x 轴的交点即可求得c ，由1F ，E ，A 三点共线推出1F A 为圆E 的直径且13F A =，勾股定理求出2F A ，利用椭圆的定义即可求出a ，进而求出b ，即可求得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程22y x m =+，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出12x x +、12x x 的表达式，对OM ON ⋅u u u u r u u u r进行数量积的坐标运算即可求得参数m .【详解】（1）令0y =，则2219024x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得x =2F⇒c =因为1F ，E ，A 三点共线，所以1F A 为圆E 的直径，且13F A =， 所以212F A F F ⊥.因为2222112981AF AF F F =-=-=，所以21F A =，则1224a AF AF =+=，2a =，b ==所以椭圆C 的方程为2222142x y +=.（2）由)A，则2OA k =，假设存在直线l：2y x m =+满足条件，由222142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2220x m ++-= 设直线l 交椭圆C 于点()11,M x y ，()22,N x y ，则12x x +=，2122x x m =-，且()222420m m ∆=-->，即22m -<<，1212121222OM ON x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+=+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r()()()22212123322222x x x x m m m m =+++=-++ ()2322m =-， 32OM ON ⋅=-u u u u r u u u r Q ，()233222m ∴-=-，解得1m =±，故存在直线l ：1y x =±满足条件 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系综合应用，涉及韦达定理求直线与椭圆的交点，向量数量积的坐标运算，属于中档题. 21.已知函数()()ln 1,f x x a x a R =--∈. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当1x ≥时，()ln 1xf x x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，1a =时，()1xf x x-'= 令()001f x x '>⇒<<，∴()f x ()0,1上单调递增；令()01f x x '<⇒<，∴()f x 在()1,+∞上单调递减 综上，()f x 的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）()()2ln 1ln 11x x a x x f x x x ---=++， 令()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，()ln 12g x x ax +'=-，令()()ln 12h x g x x ax ==+-'，则()12axh x x-'=（1）若()0,0a h x '≤>，()g x '在[)1,+∞上为增函数，()()1120g x g a ≥=-'>' ∴()g x 在[)1,+∞上为增函数，()()10g x g ≥=，即()0g x ≥. 从而()ln 01xf x x -≥+，不符合题意. （2）若102a <<，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()g x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()1120g x g a ''>=->，同Ⅰ），所以不符合题意（3）当12a ≥时，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立. ∴()g x '在[)1,+∞递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'. 从而()g x 在[)1,+∞上递减，∴()()10g x g ≤=，即()ln 01xf x x -≤+. 结上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)P 作倾斜角为6π的直线l ，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，将曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线2C ，直线l 与曲线2C 交于不同的两点,M N . （1）求直线l 的参数方程和曲线2C 的普通方程；（2）求11PM PN+的值. 【答案】（1）直线l的参数方程为1(12x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=；（2）3【解析】 【分析】（1）根据直线参数方程的知识求得直线l 的参数方程，将1C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后通过图像变换的知识求得2C 的普通方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得11PM PN+的值.【详解】(1)直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），由1ρ=两边平方得21ρ=，所以曲线1C 的直角坐标方程式221x y +=,曲线2C 的方程为22()12x y +=,即2214x y +=.(2)直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入曲线2C 的方程得：27120,t +-=设,M N 对应得参数分别为12,t t ,则121212.7t t t t +==-12121212121111t t t t PM PN t t t t t t +-∴+=+==== 【点睛】本小题主要考查直线的参数方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查图像变换，考查直线参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题. 23. 选修4—5：不等式选讲 设函数()31 3.f x x ax =-++ （1）若a=1，解不等式()5f x ≤；（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）13{|}.24x x -≤≤；（2）33a -≤≤ 【解析】试题分析：（1）绝对值不等式3135x x -++≤，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号；（2）函数1(3)2,()3()313{1(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ++≥=-++=-+<是分段函数，它要存在最小值，则两部分应满足左边是减函数，右边是增函数．试题解析：（Ⅰ）1a =时，()313f x x x =-++．当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤； 当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得1123x -≤<．综上可得，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤5分（Ⅱ）1(3)2,()3()313{1(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ++≥=-++=-+< 函数()f x 有最小值的充要条件为30,{30,a a +≥-≤即33a -≤≤10分考点：解绝对值不等式，分段函数的单调性与最值．。

银川一中2017届高三年级第六月考数 学 试 卷(文）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}224,log 1M x x N x x =≤=≤,则M N ⋂=A ．[]2,2-B ．{}2C ．(]0,2D ．(],2-∞ 2．在复平面内，复数iiz 212+-=的共轭复数的虚部为A ．52-B ．52C ．i 52D ．i 52-3．“q p ∨是假命题"是“p ⌝为真命题"的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设tan ,tan αβ是方程0232=-+x x 的两个根,则tan()αβ+的值为A ．3-B ． 1-C ．1D ．35．各项不为零的等差数列{}n a 中，02211273=+-a a a ,数列{}n b 是等比数列且77a b =，则=86b bA ．2B ．4C ．8D ．166．如图，虚线部分是平面直角坐标系四个象限的角平分线,实线部分是函数()x f y =的部分图像，则()x f 可能是 A ．x x sin 2 B ．x x sinC ．x x cos 2D ．x x cos7。

《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线 平分矩形的面积，则该 “堑堵"的侧面积为. A 。

2 B. 224+C 。

244+ D. 246+ 8。

若无论实数a 取何值时，直线01=+++a y ax 与圆02222=+--+b y x y x 都相交，则实数b 的取值范围。

A. )2,(-∞ B 。

),2(+∞ C. )6,(--∞ D 。

),6(+∞-9．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆()()03222>=+-r r y x 相切，则=r A ．错误! B ．2 C ．3 D ．6 10．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是A ．35π B ．65π C ．2πD ．6π11．已知抛物线的方程为x y 42=，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于B A ,两点，若BOF AOF S S ∆∆=3（O 为坐标原点）,则|AB ｜=A ．316 B ．38 C 。

2019-2020学年宁夏银川一中高三（下）第六次考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2≥16}，B={m}，若A∪B=A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[4，+∞）C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）2．（5分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y=sin2x B．y=tan2xC．y=sin2x+cos2x D．y=sinxcosx3．（5分）“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知i是虚数单位，复数z=（a∈R），若|z|=（sinx﹣）dx，则a=（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．±5．（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若m∥α，m∥β，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若m⊥α．n⊥α，则m∥n上述命题中，所有真命题的序号是（）A．①④B．②③C．①③D．②④6．（5分）已知2x=3y=5z，且x，y，z均为正数，则2x，3y，5z的大小关系为（）A．2x＜3y＜5z B．3y＜2x＜5z C．5z＜3y＜2x D．5z＜2x＜3y7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=3，则a 等于（）A．2 B．C．3 D．8．（5分）已知直线和椭圆交于不同的两点M，N，若M，N在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．9．（5分）函数y=asinx﹣bcosx的一条对称轴为x=，则直线l：ax﹣by+c=0的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°10．（5分）已知x，y为正实数，且x+y++=5，则x+y的最大值是（）A．3 B．C．4 D．11．（5分）过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．1912．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞） B．[6，+∞）C．（﹣∞，15] D．（﹣∞，6]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）抛物线y=﹣4x2的准线方程是．14．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为．15．（5分）已知x，y满足，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则m的值为．16．（5分）已知等腰△OAB中，|OA|=|OB|=2且，那么的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．18．（12分）已知等差数列{an }的前n项的和为Sn，非常数等比数列{bn}的公比是q，且满足：a 1=2，b1=1，S2=3b2，a2=b3．（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）设cn =2bn﹣λ•，若数列{cn}是递减数列，求实数λ的取值范围．19．（12分）已知在边长为4的等边△ABC（如图1所示）中，MN∥BC，E为BC的中点，连接AE交MN于点F，现将△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB（如图2所示）．（1）求证：平面ABC⊥平面AEF；（2）若SBCNM =3S△AMN，求直线AB与平面ANC所成角的正弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C1的短轴长为2．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A（0，），N为抛物线C2：y=x2上一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于B，C两点，求△ABC面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（其中k∈R，e=2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（0，1]时，f′（x）=0都有解，求k的取值范围；（3）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．2019-2020学年宁夏银川一中高三（下）第六次考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2≥16}，B={m}，若A∪B=A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[4，+∞）C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）【分析】化简集合A、B，根据A∪B=A，得出B⊂A；从而求出实数m的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2≥16}={x|x≤﹣4或x≥4}，B={m}，且A∪B=A，∴B⊂A；∴m≤﹣4，或m≥4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．故答案为：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y=sin2x B．y=tan2xC．y=sin2x+cos2x D．y=sinxcosx【分析】根据题意，依次分析选项，求出函数的周期与奇偶性，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=sin2x=，为偶函数，周期为=π，不符合题意；对于B、y=tan2x，为奇函数，其周期为，不符合题意；对于C、y=sin2x+cos2x=sin（2x+），为非奇非偶函数，不符合题意；对于D、y=sinxcosx=sin2x，为奇函数，且其周期为=π，符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角函数的周期的计算，关键是正确将三角函数化简变形．3．（5分）“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】都存在斜率的两直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1，所以根据这个结论，便容易判断出a=1能得到“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”，而这两直线垂直得不到a=1，所以根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）a=1时，直线x+y+1=0的斜率为﹣1，3x﹣3y﹣2=0的斜率为1；∴这两直线垂直；（2）若直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，则：；∴解得a=1，或﹣3；∴“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直“不一定得到“a=1“；∴综上得“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的充分不必要条件．故选B．【点评】考查存在斜率的两直线垂直的充要条件，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．4．（5分）已知i是虚数单位，复数z=（a∈R），若|z|=（sinx﹣）dx，则a=（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．±【分析】求定积分得到|z|，然后利用复数代数形式的乘除运算化简z，代入复数模的公式求得m的值．【解答】解：|z|=（sinx﹣）dx=（﹣cosx﹣）|=（﹣cosπ﹣1）﹣（﹣cos0﹣0）=1，∵z===+i，∴（）2+（）2=1，解得a=±1，故选：A．【点评】本题考查定积分的求法，考查复数模的求法，是基础题．5．（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若m∥α，m∥β，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若m⊥α．n⊥α，则m∥n上述命题中，所有真命题的序号是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【分析】根据空间直线，平面间的位置关系的判定定理和性质定理，结合选项进行逐个判断即可．同时利用反例的应用．【解答】解：若m⊥α，m⊥β，则α∥β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故①成立；若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故②不成立；若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，则③错误；由垂直与同一平面的两直线平行可知：④为真命题，故选：A．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的关系，包含两条直线和两个平面，这种题目需要认真分析，考虑条件中所给的容易忽略的知识，是一个中档题．6．（5分）已知2x=3y=5z，且x，y，z均为正数，则2x，3y，5z的大小关系为（）A．2x＜3y＜5z B．3y＜2x＜5z C．5z＜3y＜2x D．5z＜2x＜3y【分析】令2x=3y=5z=k，利用指对数互化求出x、y、z，得2x、3y、5z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系【解答】解：令2x=3y=5z=k，由x、y、z均为正数得k＞1，则 x=log2k，y=log3k，z=log5k，∴2x=2log2k，3y=3log3k、5z=5log5k，∴﹣=logk 2﹣logk3=logk=logk（）＜0，∴＜，∴2x＞3y．同理可得5z＞2x，故选：B【点评】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=3，则a 等于（）A．2 B．C．3 D．【分析】由已知条件和余弦定理可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得c=a+2，b=3，cosA=，∴由余弦定理可得cosA=•，代入数据可得=，解方程可得a=2故选：A【点评】本题考查余弦定理，属基础题．8．（5分）已知直线和椭圆交于不同的两点M，N，若M，N在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【分析】由题意求得M点坐标，将M代入直线方程，利用椭圆的性质，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M（c，），则=×c，则3b2=2ac，即3c2+2ac﹣3a2=0，两边同除以a2，整理得：3e2+2e﹣3=0，解得：e=﹣或e=，由0＜e＜1，故e=，故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．（5分）函数y=asinx﹣bcosx的一条对称轴为x=，则直线l：ax﹣by+c=0的倾斜角为（）9．A．45°B．60°C．120°D．135°【分析】函数f（x）=asinx﹣bcosx图象的一条对称轴方程是，推出f（+x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，化简函数的表达式，求出a，b的关系，然后求出直线的倾斜角，得到选项．【解答】解：f（x）=asinx﹣bcosx，∵对称轴方程是x=，∴f（+x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，asin（+x）﹣bcos（+x）=asin（﹣x）﹣bcos（﹣x），asin（+x）﹣asin（﹣x）=bcos（+x）﹣bcos（﹣x），用加法公式化简：2acos sinx=﹣2bsin sinx 对任意x∈R恒成立，∴（a+b）sinx=0 对任意x∈R恒成立，∴a+b=0，∴直线ax﹣by+c=0的斜率K==﹣1，∴直线ax﹣by+c=0的倾斜角为．故选D．【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简，对称轴的应用，考查计算能力，转化思想的应用．10．（5分）已知x，y为正实数，且x+y++=5，则x+y的最大值是（）A．3 B．C．4 D．【分析】两次利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵x+y++=5，∴（x+y ）[5﹣（x+y ）]=（x+y ）（+）=2++≥2+2=4， ∴（x+y ）2﹣5（x+y ）+4≤0， ∴1≤x+y ≤4，∴当且仅当x=y=2时，x+y 取最大值4． 故选：C ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．11．（5分）过双曲线x 2﹣=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．19【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x 2﹣=1的左右焦点为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C 1：（x+4）2+y 2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r 1=2； 圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1的圆心为（4，0），半径为r 2=1， 设双曲线x 2﹣=1的左右焦点为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF 1|2﹣r 12）﹣（|PF 2|2﹣r 22） =（|PF 1|2﹣4）﹣（|PF 2|2﹣1）=|PF 1|2﹣|PF 2|2﹣3=（|PF 1|﹣|PF 2|）（|PF 1|+|PF 2|）﹣3=2a （|PF 1|+|PF 2|﹣3=2（|PF 1|+|PF 2|）﹣3≥2•2c ﹣3=2•8﹣3=13． 当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选B ．【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞） B．[6，+∞）C．（﹣∞，15] D．（﹣∞，6]【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：因为p≠q，不妨设p＞q，由于，所以f（p+1）﹣f（q+1）＞p﹣q，得[f（p+1）﹣（p+1）]﹣[f（q+1）﹣（q+1）]＞0，因为p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）﹣（x+1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，因为x∈（0，1）时（2x+3）（x+2）＜15，所以实数a的取值范围为[15，+∞）．故选：A．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据不等式进行转化判断函数的单调性，结合参数分离法进行转化是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）抛物线y=﹣4x2的准线方程是．【分析】化抛物线的方程为标准方程，可得p值，结合抛物线的开口方向可得方程．【解答】解：化抛物线方程为标准方程可得，由此可得2p=，故，，由抛物线开口向下可知，准线的方程为：y=，故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质，涉及抛物线准线方程的求解，属基础题．14．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为π．【分析】直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即可得出结论．【解答】解：直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即=π．故答案为π．【点评】本题考查由三视图求体积，确定直观图的形状是关键．15．（5分）已知x，y满足，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则m的值为 5 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到m的值．然后即可得到结论．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，为3x+y=10由，解得，即C（3，1），此时C在2x﹣y﹣m=0上，则m=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16．（5分）已知等腰△OAB中，|OA|=|OB|=2且，那么的取值范围是[﹣2，4）．【分析】用表示出，将平方可得的范围，再利用数量积的定义得出的最值．【解答】解：∵=||，∴≥（），又，∴≥﹣2．又=2×2×cosA＜4，∴﹣2≤＜4．故答案为：[﹣2，4）．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得tanA=﹣，结合范围A∈（0，π），即可计算求解A 的值．（2）由（1）可求sinA=，利用三角形面积公式可求b=，利用余弦定理可求a=，由正弦定理即可计算求解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵asinB=﹣bsin（A+）．∴由正弦定理可得：sinAsinB=﹣sinBsin（A+）．即：sinA=﹣sin（A+）．可得：sinA=﹣sinA﹣cosA，化简可得：tanA=﹣，∵A∈（0，π），∴A=…6分（2）∵A=，∴sinA=，∵由S=c2=bcsinA=bc，可得：b=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=7c2，可得：a=，由正弦定理可得：sinC=…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{an }的前n项的和为Sn，非常数等比数列{bn}的公比是q，且满足：a 1=2，b1=1，S2=3b2，a2=b3．（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）设cn =2bn﹣λ•，若数列{cn}是递减数列，求实数λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，计算即可得到；（Ⅱ）化简cn =2bn﹣λ•=2n﹣3nλ，由题意可得cn+1＜cn对n∈N*恒成立，运用参数分离和数列的单调性，求得最大值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则2+a2=3q，且a2=q2，即有q2﹣3q+2=0，解得q=2或1（舍去），即有a2=4，d=2，则an =2n，bn=2n﹣1；（Ⅱ）cn =2bn﹣λ•=2n﹣3nλ，由题意可得cn+1＜cn对n∈N*恒成立，即有2n+1﹣3n+1λ＜2n﹣3nλ，即2λ3n＞2n，即2λ＞（）n对n∈N*恒成立．由f（n）=（）n为递减数列，即有f（n）的最大值为f（1）=，则有2λ＞，解得．故实数λ的取值范围为（，+∞）．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，同时考查数列的单调性，注意转化为不等式的恒成立问题，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）已知在边长为4的等边△ABC（如图1所示）中，MN∥BC，E为BC的中点，连接AE交MN于点F，现将△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB（如图2所示）．（1）求证：平面ABC⊥平面AEF；（2）若SBCNM =3S△AMN，求直线AB与平面ANC所成角的正弦值．【分析】（1）推导出AE⊥BC，AF⊥MN，MN⊥EF，从而MN⊥平面AEF，进而BC⊥平面AEF，由此能证明平面ABC⊥平面AEF．（2）由S四边形BCNM =3S△AMN，得，以F为原点，FE，FN，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出直线AB与平面ANC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵MN∥BC，∴AF⊥MN，MN⊥EF，又AF∩FE=F，∴MN⊥平面AEF，∵BC∥MN，∴BC⊥平面AEF，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面AEF．解：（2）由S四边形BCNM =3S△AMN，得，∵△ABC∽△AMN，且MN∥BC，∴（）2=，∴MN=，以F为原点，FE，FN，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角系，则F（0，0，0），A（0，0，），B（），N（0，1，0），C（），=（0，1，﹣），=（），设平面ANC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣1，，1），=（），设直线AB与平面ANC所成的角为α，则sinα==，∴直线AB与平面ANC所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，考查空间想象能力，是中档题．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C1的短轴长为2．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A（0，），N为抛物线C2：y=x2上一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于B，C两点，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由题意的离心率公式求得a2=4b2，由b=1，求得a的值，求得椭圆C1的方程；（2）设曲线C：y=x2上的点N（t，t2），由导数几何意义求出直线BC的方程为y=2tx﹣t2，代入椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式及二次函数的最值，即可求出△ABC 面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴e﹣==，∴a2=4b2，椭圆C1的短轴长为2，即2b=2，b=1，a2=4，∴椭圆方程为：；（2）设曲线C：y=x2上的点N（t，t2），B（x1，y1），C（x2，y2），∵y′=2x，∴直线BC的方程为y﹣t2=2t（x﹣t），即y=2tx﹣t2，①将①代入椭圆方程，整理得（1+16t2）x2﹣16t3x+4t4﹣4=0，则△=（16t3）2﹣4（1+16t2）（4t4﹣4）=16（﹣t4+16t2+1），且x1+x2=，x1x2=，∴|BC|=|x1﹣x2|=•=，设点A到直线BC的距离为d，则d=，∴△ABC的面积S=|BC|d=••=≤，当t=±2时，取到“=”，此时△＞0，满足题意，∴△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（其中k∈R，e=2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（0，1]时，f′（x）=0都有解，求k的取值范围；（3）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【分析】（1）求出当k=2时，f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）由f′（x）=0可得k=，运用导数求得右边函数的最大值，即可得到k的范围；（3）由f′（1）=0，可得k=1，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价为1﹣x﹣xlnx＜（e﹣2+1），先证1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，可由导数求得，再证＞1．即可证得对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【解答】解：（1）当k=2时，f（x）=的导数为f′（x）=（x＞0），f′（1）=﹣，f（1）=，在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即为y=﹣x+；（2）f′（x）=0，即=0，即有k=，令F（x）=，由0＜x≤1，F′（x）=﹣＜0，F（x）在（0，1）递减，x→0，F（x）→+∞，F（x）≥1，即k≥1；（3）证明：由f′（1）=0，可得k=1，g（x）=（x2+x）f′（x），即g（x）=（1﹣x﹣xlnx），对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价为1﹣x﹣xlnx＜（e﹣2+1），由h（x）=1﹣x﹣xlnx得h′（x）=﹣2﹣lnx，当0＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，h（x）递增，当x＞e﹣2时，h′（x）＜0，h（x）递减，则h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），φ′（x）=e x﹣1，x＞0时，φ′（x）＞0，φ（x）＞0，φ（x）＞φ（0）=0，则x＞0时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0即＞1．即1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1＜（e﹣2+1），故有对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，运用分离参数和不等式恒成立问题转化为不等式的传递性是解题的关键．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；（2）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若∃x0∈R，使得f（x）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）①当x＜﹣2时，f（x）=1﹣2x+x+2=﹣x+3，令﹣x+3＞0，解得x＜3，又∵x＜﹣2，∴x＜﹣2；②当﹣2≤x≤时，f（x）=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1，令﹣3x﹣1＞0，解得x＜﹣，又∵﹣2≤x≤，∴﹣2≤x＜﹣；③当x时，f（x）=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，令x﹣3＞0，解得x＞3，又∵x，∴x＞3．综上，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．（Ⅱ）由（I）得f（x）=，∴fmin（x）=f（）=﹣．∵∃x0∈R，使得f（x）+2m2＜4m，∴4m﹣2m2＞﹣，整理得：4m2﹣8m﹣5＜0，解得：﹣＜m＜，∴m的取值范围是（﹣，）．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法及分段函数的应用，分情况讨论去绝对值符号是关键．。

-1 -银川一中2020届高三年级第二次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}21|<<-=x x A ，{}02|2<-=x x x B ，则=B AA ．(－1，0)B ．(0，2)C ．(－2，0)D ．(－2，2) 2．在复平面内，复数)2(i i -所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设函数()()1232e ,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则=)]2([f f A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里5．已知向量＝(1，2)，＝(2，－2)，＝(m ，1）．若∥(2＋)，则m=A ．0B ．1C ．2D ．36．设3log π=a ，3.0π=b ，π3.0log =c ，则A.a b c>> B.a c b >> C.b c a >> D.b a c >>7．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则)22cos(πα+的值为 A ．54B ．54-C ．53D ．53-8．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前8项和为A ．－48B ．－96C ．36D ．729．记不超过实数x 的最大整数为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，取整函数在科学和工程上有广泛应用．下面的程序框图是与取整函数有关的求和问题，若输出的S的值为5，则判断框内填入的条件可以是- 2 -A ． ?6≤kB ．?4≤kC ．?5≤kD ．?3≤k10．已知数列{}n a 满足n a a n n 21+=+，11=a ，则=15aA ．111B ．211C ．311D ．41111．已知正方形ABCD 的边长为2，M 为平面ABCD 内一点(包含边界)，则AC MB MA ⋅+)( 的最小值为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，且()()()01x f x a g x a a =>≠且，()()()()115112f f g g -+=-，若数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和大于20202019，则n 的最小值为A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数ax x a x x f 3)1()(23--+=．若()f x 为奇函数，则函数)(x f 的单调递减区间 为____________.14．已知向量a 与b 的夹角为120°，2||=，1||=b ，则=-2|b ________.15．函数x x x f sin 3cos )(2+= ])2,0[(π∈x 的最大值是 ． 16．已知数列{}n a 满足11=a ，12+=+n n n a a a (*∈N n )，数列{}n b 是单调递增数列， 且k b -=1，nn n a a k n b )1)(2(1+-=+(*∈N n ),则实数k 的取值范围为____________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.- 3 - （一）必考题：共60分.17．(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，52-=a ，126-=S ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n s ，并求当n 取何值时n S 有最小值.18．(12分) 已知)cos 3,sin 2(x x a =→，)cos 2,(cos x x b -=→，函数3)(+⋅=→→b a x f ，(1)求函数y ＝f (x )的单调增区间和对称轴方程；(2)若1)(≥x f ，求x 的取值范围.19.（12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足22k s n n += (k ∈R)． (1)求k 和数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1（2n ＋1）log 2（a n ·a n ＋1），求数列{b n }的前n 项和T n .20．（12分）在平面四边形ABCD 中，π=∠+∠C A ,1=AB ,3=BC ,2==DA CD .(1)求C ∠和四边形ABCD 的面积；(2)若E 是BD 的中点，求CE .21．(12分)已知R a ax x x x f ∈+-=,2ln )(2.(1)若0=a ，求)(x f 在],1[e 上的最小值；(2)求)(x f 的极值点；(3)若)(x f 在],1[e e内有两个零点，求a 的取值范围.- 4 -(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程] 已知圆⎪⎩⎪⎨⎧θ+=θ+=sin 22cos 22:y x C （θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点,A B 的极坐标分别为()()1,,1,0π.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若P 为圆C 上的一动点，求22||PA PB +的取值范围.23．[选修4－5：不等式选讲]已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++++≥．。

宁夏银川一中2020届高三年级第六次月考理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.32ii-=+（ ） A. 1i - B. 22i -C. 1i +D. 22i +【答案】A 【分析】利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项. 【详解】原式()()()()32551225i i i ii i ---===-+-.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.2.设集合22{(,)|1},97x y M x y =+={(,)|2}x N x y y ==,则M N ⋂的子集的个数是（ ）A. 8B. 4C. 2D. 0【答案】B 【分析】画出集合,M N 表示的图像，根据图像交点的个数，判断出M N ⋂元素的个数，由此求得M N ⋂的子集的个数.【详解】画出集合,M N 表示的图像如下图所示，由图可知M N ⋂有两个元素，故有224=个子集. 故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函数的图像，属于基础题.3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（ ） A. 7尺 B. 14尺C. 21尺D. 28尺【答案】C 【分析】根据题意利用等差数列前n 项和公式列方程，解方程求得第30天织布.【详解】依题意可知，织布数量是首项为15a =，公差5d =的等差数列，且13030303902a a S +=⨯=，即()30155390a ⨯+=，解得3021a =（尺）. 故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题. 4.以下四个结论，正确的是（ ）①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔15分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②在回归直线方程0.1.3ˆ1y x =+中，当变量ˆx 每增加一个单位时，变量ˆy增加0.13个单位； ③在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；④对于两个分类变量X 与Y ，求出其统计量2K 的观测值k ，观测值k 越大，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度就越大.A. ②④B. ②③C. ①③D. ③④【答案】D 【分析】利用系统抽样和分层抽样的知识判断①的正确性；利用回归直线方程的知识判断②的正确性；利用频率分布直方图的知识判断③的正确性；利用独立性检验的知识判断④的正确性. 【详解】①，是系统抽样，不是分层抽样，所以①错误. ②，$y 增加0.1，所以②错误. ③，在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1，所以③正确. ④，对于两个分类变量X 与Y ，求出其统计量2K 的观测值k ，观测值k 越大，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度就越大，所以④正确.综上所述，正确的序号为③④. 故选：D【点睛】本小题主要考查抽样方法、回归直线方程、频率分布直方图和独立性检验等知识，属于基础题.5.在8(1)(1)x x -+的展开式中3x 的系数是（ ） A. －14 B. 14 C. -28 D. 28【答案】C 【分析】根据二项式展开式，求得3x 的系数.【详解】依题意，8(1)(1)x x -+的展开式中3x 的系数是65238888285628C C C C -=-=-=-.故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式，属于基础题. 6.抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A.B.C.D.【答案】B【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF∆中222AB AF BF=+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF=++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤B ．考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系． 7.设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. ,//m m n n αα⊥⊥⇒B. ,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥C. ,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥D.,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒【答案】B 【分析】根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，直线n 可能在平面α内，故A 选项错误.对于B 选项，由于,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，所以m n ⊥正确，故B 选项正确. 对于C 选项，,αβ可能平行，故C 选项错误. 对于D 选项，,αβ可能相交，故D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行、线线垂直、面面垂直的知识，属于基础题. 8.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为()1F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为()0,2，则此双曲线的方程是（ ）A. 22132x y -=B. 2214y x -=C. 22123x y -=D.2214x y -= 【答案】B试题分析：设双曲线的标准方程为()222210,0,x y a b a b -=>>由1PF 的中点为()0,2知，2PF x ⊥，),P即22224,4,54,1,2b b a a a a b a==∴-===，∴双曲线方程为2214y x -=，故选B.考点：1、待定系数法求双曲线的标准方程为；2、双曲线的简单性质.9.已知向量1sin ,2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r与向量(3,sin )n A A =+r 共线，其中A 是ABC ∆的内角，则角A 的大小为（ ） A.2πB.4π C.3π D.6π 【答案】C 【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得A 的大小.【详解】由于,m n u r r 共线，所以()1sin sin 3cos 302A A A ⋅+-⨯=，即23sin 3sin cos 02A A A +-=，1cos 233sin 2022A A -+-=， 31sin 2cos 212A A -=，sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由于()0,A π∈，所以2,623A A πππ-==.故选：C【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，考查降次公式和辅助角公式，属于基础题.10.已知()f x 在R 上是可导函数,则()f x 的图象如图所示，则不等式()223()0x x f x '-->的解集为（ ）A. (,2)(1,)-∞-+∞UB. (,2)(1,2)-∞-UC. (,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞D. (,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞【答案】D 【分析】根据()f x 图像判断()'fx 的符号，由此求得不等式()223()0x x f x '-->的解集.【详解】由()f x 的图像可知，在区间()(),1,1,-∞-+∞上()'0f x >，在区间()1,1-，()'0f x <.不等式()223()0x x f x '-->可化为()()()'310x x f x -⋅+⋅>，所以其解集为(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题.11.已知正四面体ABCD 的棱长为3，则其外接球的体积为（ ）A.83π B.92π C.82π D.92π 【答案】B 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积.【详解】将正四面体11B ACD -放在正方体1111ABCD A B C D -中如图所示，正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为x ，由于13AB =，即323,2x x ==，所以正方体的外接球半径为()133322222x ⨯=⨯=，所以外接球的体积为34923822ππ⨯= ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.已知椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的斜率的取值范围为（ ） A. (1,)+∞B.)+∞C. (0,1)D.【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的焦点相同，求得,m n 的关系式，由此求得渐近线斜率的取值范围.【详解】根据方程表示椭圆或双曲线得1030130m n m n mn +>⎧⎪->⎪⎨+≠-⎪⎪<⎩，即1320m n m n mn >-⎧⎪<⎪⎨+≠⎪⎪<⎩. 当0,0m n ><时，双曲线的焦点在x 轴上，所以椭圆的焦点也在x 轴上，则有130m n +>->，即13200m n m n m n >-⎧⎪<⎪⎪+>⎨⎪>⎪<⎪⎩，且()()13m n m n +--=+-，解得1n =，这与0n <矛盾.当0,0m n <>时，双曲线的焦点在y 轴上，所以椭圆的焦点也在y 轴上，则有310n m ->+>，即13200m n m n m n >-⎧⎪<⎪⎪+<⎨⎪<⎪>⎪⎩，且()()31n m n m --+=+-，解得1n =，此时10m -<<，11m ->.1=>. 故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线的焦点，考查双曲线渐近线，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学检测成绩（满分100分）分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生800名，据此估计，该数学检测成绩不少于60分的学生人数为_______人.【答案】640 【分析】求得数学检测成绩不少于60分的学生的频率，由此求得数学检测成绩不少于60分的学生人数. 【详解】数学检测成绩不少于60分的学生的频率为()0.030.0250.0150.01100.8+++⨯=，所以数学检测成绩不少于60分的学生人数为8000.8640⨯=人. 故答案为：640【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图进行计算，属于基础题.14.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==,则数列{}3log n a 的前n 项和为___________.【答案】22n n- 【分析】 先求得数列{}n a 通项公式，由此求得数列{}3log n a 的通项公式，进而求得其前n 项和.【详解】由于等比数列{}n a 中，253,81a a ==，所以141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得11,3==a q ，所以13-=n n a ，所以3log 1n a n =-，所以数列{}3log n a 是首项为0，公差为1的等差数列，其前n项和为20122n n nn +--⋅=. 故答案为：22n n-【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和，属于基础题.15.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个． 【答案】192 【分析】分3步：先个位、然后千位、排最后百位与十位.【详解】分3步：个位共有4种排法，然后千位有4种排法，最后百位与十位有2412A =种排法，不能被5整除的数共有44192⨯⨯个， 故答案为：192.【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，考查了元素位置有限制的排列问题，属于基础题.16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，112n n n a S S ++=-，则2020S =______． 【答案】14039【分析】根据已知条件求得{}n S 的通项公式，再求得2020S 的值.【详解】由于11a =，112n n n a S S ++=-，所以112n n n n S S S S ++-=-，1112n nS S +-=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a ==，公差为2的等差数列，所以()111221n n n S =+-⨯=-，所以121n S n =-，故2020112202014039S ==⨯-.故答案为：14039【点睛】本小题主要考查根据递推关系求通项公式，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin()(2sin )(2sin ).a B C B C b C B c +=-+（1）求角A 的大小；（2）若4a =，b =ABC ∆的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）见解+析.【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得cos A 的值，进而求得角A 的大小. （2）利用正弦定理求得sin B ，进而求得角B 的可能取值，由此求得角C ，进而求得ABC ∆的面积.【详解】（1）由已知及正弦定理可得22(2)(2)a b b c c =+，整理得222b c a +-=，所以222cos 222b c A bc bc a +===-． 又(0,)A π∈，故6A π=．（2）由正弦定理可知sin sin a b A B=，又4a =，b =6A π=，所以sin B =． 又5(0,)6B π∈，故3B π=或23π．若3B π=，则2C π=，于是12ABC S ab ∆==若23B π=，则6C π=，于是1sin 2ABCS ab C ∆==【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，点M 是BC 的中点，1AMC ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形.（1）求点B 到平面1AMC 的距离； （2）求二面角1M AC C --的大小. 【答案】（16（2）4π【分析】（1）利用等体积法求得点B 到平面1AMC 的距离.（2）建立空间直角坐标系，利用平面1MAC 和平面1CAC 的法向量，计算出二面角1M AC C --的余弦值，进而求得其大小.【详解】（1）设点B 到平面1AMC 的距离为h .则11B AMC A BMC V V --= 由（I ）知 1AM C M ⊥，AM CB ⊥， ∴AM ⊥平面11C CBB ∵1AB =，12BM =可求出： 132AM MC ==，12CC =111133AMC C MB S h S AM ∆∆⋅=⋅，即⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯113311123322232222h ， 得66h =. （2）过M 作11//MM CC 交11B C 于1M .以M 为坐标原点，1,,AM BC MM 分别为x 轴，y 轴，z 轴方向，建立如图所示空间直角坐标系设面1ACC 的一个法向量为(,,)u x y z =r,由100AC u CC u ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v 得130220x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取1y =，则3,0x z ==,()3,1,0u ∴=-r,同理可求得面1AMC 的一个法向量为()2,0,1v =-r,设二面角1M AC C --的大小为θ，由图知θ为锐角,故62cos cos ,223u v θ===r r, 故二面角1M AC C --的大小为4π. 【点睛】本小题主要考查点面距的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.2019年7月，超强台风登陆某地区．据统计，本次台风造成该地区直接经济损失119.52亿元．经过调查住在该地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，经过调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（3）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由王师傅和张师傅两人进行维修，王师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求王师傅比张师傅早到小区的概率．附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．【答案】（1）3360；（2）有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关；（3）78【分析】（1）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出平均损失.（2）根据已知条件填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关. （3）利用面积型几何概型的概率计算方法，计算出所求概率. 【详解】（1）记每户居民的平均损失为x 元，则：(10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.00003)20003360x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）如图：2250(30695)391135154.046 3.841K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯=>， 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（3）设王师傅，张师傅到小区的时间分别为,x y ，则(,)x y 可以看成平面中的点． 试验的全部结果所构成的区域为{}(,)78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，则1S Ω=，事件A 表示王师傅比张师傅早到小区，所构成的区域为{}(,),78,7.58.5A x y y x x y =≥≤≤≤≤，即图中的阴影部分：面积111712228A S =-⨯⨯=，所以7()8A S P A S Ω==， ∴王师傅比张师傅早到小区的概率是78.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算平均数，考查22⨯列联表独立性检验，考查面积型几何概型概率计算，属于基础题.20.已知动圆Q 过定点()0,1F -，且与直线:1l y =相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点()0,2A 在椭圆N 上． （1）求动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程和椭圆N 的标准方程；（2）若过F 的动直线m 交椭圆N 于B C 、点，交轨迹M 于D E 、两点，设1S 为ABC ∆的面积，2S 为ODE ∆的面积，令ODE ∆的面积，令12Z S S =，试求Z 的取值范围.【答案】（1）24x y =-，22143y x +=（2）[)9,12Z ∈试题分析：（1）动圆圆心Q 满足抛物线的定义：Q l QF d -=，所以方程为24x y =-，而椭圆标准方程的确定，利用待定系数法：1,2c a ==（2）先表示面积：抛物线中三角形面积，利用焦点，底边OF 为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解；椭圆中三角形面积，利用A 点为定点，底边AF 为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求解；研究12Z S S =函数关系式：是一元函数，可根据直线斜率k取值范围求解()2122236111121121934344k Z S S k k +⎛⎫⎛⎫===-≥-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭试题详细分析：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点Q 的轨迹M 的标准方程为：24x y =-依题意可设椭圆N 的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，显然有1,2c a ==，∴b =∴椭圆N 的标准方程为22143y x +=（2）显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：1y kx =-①联立椭圆N 的标准方程2222143y x +=，有()2234690k x kx +--=，设()()1122,,,B x y C x y则有12234x x k -=+，再将①式联立抛物线方程24x y =-，有2440x kx +-=，设()()1144,,,D x y E x y得34x x -=∴2341·2S OF x x =-=， ∴()2122236111121121934344k Z S S k k +⎛⎫⎛⎫===-≥-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴当0k =时，min 9Z =，又12Z <，∴[)9,12Z ∈考点：抛物线的定义,直线与抛物线位置关系，直线与椭圆位置关系【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，易得动点Q 的轨迹．2．若P(x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px(p ＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 21.已知函数()ln f x x x =. （1）设实数12a e>（e 为自然对数的底数），求函数()f x 在[],2a a 上的最小值； （2）若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值． 【答案】（1）1e-；（2）3 【分析】（1）求得函数()f x 的定义域和导函数，对a 分成1a e ≥和112a e e<<两种情况讨论()f x 的单调区间，由此求得()f x 在区间[],2a a 上的最小值. （2）将不等式()()1f x k x k >--分离常数得到ln 1x x xk x +>-，构造函数ln ()(1)1x x xg x x x +=>-，利用导数求得()g x 取得最小值时对应的x 的取值范围，由此求得k 的最大值.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e=, 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0fx <，()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增．当1a e≥时，()f x 在[,2]a a 单调递增，min [()]()ln ,f x f a a a == 当112a e e <<时，得12a a e <<，min 11[()]f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （2） ()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立， 即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立， 即ln 1x x xk x +>-对任意1x >恒成立.令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x-=-->⇒=>⇒在(1,)+∞上单调递增. ∵(3)1ln30,(4)2ln 40,h h =-<=->∴所以()h x 存在唯一零点0(3,4)x ∈，即00ln 20x x --=. 当0(1,)x x ∈时，0()()0'()0h x h x g x <=⇒<； 当0(,)x x ∈+∞时，0()()0'()0h x h x g x >=⇒>；∴()g x 在0(1,)x x ∈时单调递减；在0(,)x x ∈+∞时，单调递增；∴0000min 0000(ln 1)(1)[()]()11x x x x g x g x x x x +-====--由题意min 0[()]k g x x <=，0(3,4)x ∈. 又因为k Z ∈，所以k 的最大值是3.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 22.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)P 作倾斜角为6π的直线l ，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，将曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线2C ，直线l 与曲线2C 交于不同的两点,M N . （1）求直线l 的参数方程和曲线2C 的普通方程；（2）求11PM PN+的值. 【答案】（1）直线l的参数方程为12(12x t t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=；（2【分析】（1）根据直线参数方程的知识求得直线l 的参数方程，将1C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后通过图像变换的知识求得2C 的普通方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得11PM PN+的值.【详解】(1)直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），由1ρ=两边平方得21ρ=，所以曲线1C 的直角坐标方程式221x y +=,曲线2C 的方程为22()12x y +=,即2214x y +=.(2)直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入曲线2C 的方程得：27120,t +-=设,M N 对应得参数分别为12,t t ,则121212.7t t t t +==-12121212121111t t t t PM PN t t t t t t +-∴+=+==== 【点睛】本小题主要考查直线的参数方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查图像变换，考查直线参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题. 23. 选修4—5：不等式选讲 设函数()31 3.f x x ax =-++（1）若a=1，解不等式()5f x ≤；（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）13{|}.24x x -≤≤；（2）33a -≤≤试题分析：（1）绝对值不等式3135x x -++≤，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号；（2）函数1(3)2,()3()313{1(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ++≥=-++=-+<是分段函数，它要存在最小值，则两部分应满足左边是减函数，右边是增函数．- 21 - 试题详细分析：（Ⅰ）1a =时，()313f x x x =-++． 当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤； 当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得1123x -≤<． 综上可得，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤5分 （Ⅱ）1(3)2,()3()313{1(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ++≥=-++=-+< 函数()f x 有最小值的充要条件为30,{30,a a +≥-≤即33a -≤≤10分 考点：解绝对值不等式，分段函数的单调性与最值．。

宁夏回族自治区银川市宁一中2020届高三数学12月月考试题 理（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A. {}1,3- B. {}1,0 C. {}1,3 D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2.设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z =（ ） A. 10 B. -10C. 9i -+D. 9i --【答案】B 【解析】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，由13z i =+， 所以23z i =-+，所以12(3)(3)9110z z i i =+-+=--=，故选B. 3.已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A. 1 B.12C. 2D. 3【答案】B【解析】 【分析】可求出()21a b x -=--，，根据()a ab ⊥-即可得出()0a a b ⋅-=，进行数量积的坐标运算即可求出x ．【详解】()21a b x -=--，； ∵()a ab ⊥-；∴()()2230a a b x ⋅-=--=； 解得12x =． 故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 2 B. 3C. 6D. 9【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出数列{a n }的公差．【详解】由题意，可得112723,54535,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得3d =，故选B.【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的通项公式、前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m nB. 若m α⊂，αβ∥，则m βC. 若n β⊥，αβ⊥，则n αD. 若m α⊂，n β⊂，l αβ=，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥【答案】B 【解析】【详解】两个平行平面中的两条直线可能异面，A 错；两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行，B 正确；C 中直线n 也可能在平面α内，C 错；任一二面角的平面角的两条边都二面角的棱垂直，但这个二面角不一定是直二面角，D 错.故选B.6.某学校计划周一到周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能再周一和周四演，《茶馆》不能在周一和周三演，《天籁》不能在周三和周四演，《马蹄声碎》不能在周一和周四演，那么下列说法正确的是（ ）．A. 《雷雨》只能在周二上演B. 《茶馆》可能在周二或者周四上演C. 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D. 四部话剧都可能在周二上演 【答案】C 【解析】由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C. 7.函数()2(1)cos 1xf x x e=-+（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ） A. B. C .D.【答案】B 【解析】因为()211cos cos 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，满足()()0f x f x +-=. 所以()f x 为奇函数，排除A,C. 又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <排除D. 故选B.8.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m =的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒，则22cos 271=︒-（ ） A. 41C. 21【答案】C 【解析】 【分析】由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4cos 218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解．【详解】由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4（1﹣sin 218°）＝4cos 218°，∴22cos 271︒-＝2sin184sin18cos1821cos541sin 36︒︒︒︒==+-． 故选C ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．9.已知,x y 满足约束条件20200x y x y y m ++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值为3，则实数m 的值为（） A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，由2z x y =-得到2y x z =-，平移直线2y x z =-并结合图形得到最优解，再根据最大值求出实数m 的值即可． 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由2z x y =-得到2y x z =-，平移直线2y x z =-，由图形得，当直线2y x z =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最大值．由20x y y m --=⎧⎨=-⎩，解得2x m y m =-+⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为(2,)m m -+-．由题意得max 2(2)()43z m m m =⨯-+--=-+=， 解得1m =． 故选C ．【点睛】线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．10. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A.203πB. 8πC. 9πD.193π【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，O 为球心，F 为等边三角形BCD的外心，由图可知2222213192212R OF CF ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故外接球面积为193π.考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 222a b c ++长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 11.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ） A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)22【答案】B 【解析】 【分析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， 所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈故选B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.12.若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ）A. B. 18C. 1D.19-【答案】D 【解析】 【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m=，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为d ==()2119=-故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___.【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．14.已知函数()(ln 1f x x =+,若()2f a =,则()f a -=__________．【答案】0 【解析】 【分析】根据对数性质进行化简求值. 【详解】因为()()ln(1ln(1f a f a a a +-=++-+22ln(1)22a a =+-+=所以()2()0f a f a -=-= 故答案为0【点睛】本题考查对数运算性质，考查基本分析与求解能力，属基础题.15.已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则1220...a a a +++=__________．【答案】20- 【解析】 【分析】对n 的取值分奇数、偶数求得n a ，再利用分组求和法求和即可． 【详解】当n 为奇数时，()()1n a f n f n =++()()()()2222cos 1cos 1211n n n n n n n ππ=+++=-+⎦=⎤⎣+⎡. 当n 为偶数时，()()1n a f n f n =++()()()()2222cos 1cos 2111n n n n n n n ππ=+++=-=-+⎡⎣⎦-⎤.()21,21n n n a n n 为奇数，为偶数+⎧⎪∴=⎨-+⎪⎩所以1220...357911133941a a a +++=-+-+-++-()()()()()35791113394121020-+-+-++-=-⨯=-=【点睛】本题主要考查了分类思想及分组求和方法，考查计算能力，属于中档题． 16.已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1A C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①//BN 平面1A DM ，且BN②三棱锥N DMC -的最大体积为3； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①② 【解析】 【分析】取AD 的中点E ，连接EM 、EN ，证明四边形BMEN 为平行四边形，得出//BN EM ，可判断出命题①的正误；由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥1A DMC -的一半，并由平面1A BM ⊥平面BCDM ，得出三棱锥1A DMC -体积的最大值，可判断出命题②的正误；取DM 的中点F ，连接AF ，由1A E DM ⊥，结合1AC DM ⊥得出DM ⊥平面1A CF ，推出DM CF ⊥得出矛盾，可判断出命题③的正误. 【详解】如下图所示：对于命题①，取1A D 的中点E ，连接EM 、EN ，则112A D A M ==，11A E =，190MA E ∠=，由勾股定理得22115EM A E A M =+=，易知//BM CD ，且12BM CD =，E 、N 分别为1A D 、1A C 的中点，所以，1//2EN CD ， ∴四边形BMEN 为平行四边形，5BN EM ==，//BN EM ，BN ⊄平面1A DM ，EM ⊂平面1A DM ，//BN ∴平面1A DM ，命题①正确；对于命题②，由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥1A DMC -的一半，当平面1A BM ⊥平面BCDM 时，三棱锥1A DMC -体积取最大值， 取DM 的中点F ，则1A F DM ⊥，且11122222A F DM ==⨯= 平面1A DM ⊥平面BCDM ，平面1A DM ⋂平面BCDM DM =，1A F DM ⊥，1A F ⊂平面1A DM ，1A F ∴⊥平面BCDM ，DMC∆的面积为1142422DMCS CD BC∆=⋅=⨯⨯=，所以，三棱锥1A DMC-的体积的最大值为111424233DMCS A F∆⋅=⨯⨯=，则三棱锥N DMC-的体积的最大值为223，命题②正确；对于命题③，11A D A M=，F为DM 的中点，所以，1A F DM⊥，若1AC DM⊥，且111A C A F A⋂=，DM∴⊥平面1A CF，由于CF⊂平面1A CF，CF DM∴⊥，事实上，易得22CM DM==，4CD=，222CM DM CD∴+=，由勾股定理可得CM DM⊥，这与CF DM⊥矛盾，命题③错误. 故答案为①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题.（一）必考题：共60分17.已知函数()sin()3f x A xπϕ=+，x∈R，0A>，02πϕ<<.()y f x=的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1,)A.（1）求()f x的最小正周期及ϕ的值；（2）若点R的坐标为(1,0)，，求A的值.【答案】（1）6，6π；（23.【解析】【详解】(1)由题意得T ＝23ππ＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin 3x πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上，所以sin 3πϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝1.因为0<φ<2π，所以φ＝6π.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A)．由题意可知3πx 0＋6π＝32π，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得 cos ∠PRQ ＝222222212229RP RQ PQ RP RQ A A⋅⋅＋－＋＋－（＋）＝＝－＋，解得A 2＝3.又A>0，所以A 318.已知数列{}n a 满足112,(1)2(1)n n a nS n S n n +==+++. （1）证明数列{}nS n是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设2482n n b a a a a =+++⋅⋅⋅+，求n b .【答案】(1)证明见解析；42n a n =- (2) 3228n n b n +=-- 【解析】 【分析】（1）先化简条件为121n nS S n n+-=+，再根据等差数列定义判断证明，最后利用等差数列通项公式求得22n S n =，利用和项与通项关系得结果，（2）根据分组求和法以及等比数列和项公式求结果. 【详解】解：（1）由()()1121n n nS n S n n +=+++得121n nS S n n+-=+， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列，所以()2212nS n n n=+-=，即22n S n =， 当2n ≥时，()22122142n n n a S S n n n -=-=--=-，由于12a =也满足此式， 所以{}n a 的通项公式42n a n =-（2）由42n a n =-得2242222n n n a +=⨯-=-， 所以248n b a a a =+++…2n a +()()()345222222=-+-+-+…()222n ++-(345222=+++…)222n n ++-()33212222812n n n n +-=-=---．【点睛】本题考查等差数列定义、通项公式、利用和项求通项以及分组求和法，考查综合分析与求解能力，属基础题.19.如图，菱形ABCD 的边长为12，60BAD ∠=，AC 与BD 交于O 点．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，62DM =． （I ）求证：平面ODM ⊥平面ABC ；（II ）求二面角M AD C --的余弦值．【答案】(I)详见解析；（II 393【解析】试题分析：（Ⅰ）利用菱形的性质与勾股定理推出OD ⊥平面ABC ，从而利用面面垂直的判定求证即可；（Ⅱ）以O 为原点建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，从而求得平面MAD 与ACD 的法向量，进而利用空间夹角公式求解即可． （Ⅰ）证明：ABCD 是菱形，AD DC∴=,OD AC⊥ADC∆中，12,120AD DC ADC==∠=, ∴6OD=又M是BC中点，16,622OM AB MD∴===222,OD OM MD DO OM+=∴⊥,OM AC⊂面,,ABC OM AC O OD⋂=∴⊥面ABC又OD⊂平面ODM∴平面ODM⊥平面ABC（Ⅱ）由题意，,OD OC OB OC⊥⊥, 又由（Ⅰ）知OB OD⊥建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知()()()6,0,0,0,63,0,0,33,3D A M-故()()0,93,3,6,63,0AM AD==设平面MAD 的法向量(),,m x y z=，则·0{·0m AMm AD==即9330{6630y zx+=+=令3y=3,9x z==所以，()3,3,9m=-由条件易证OB⊥平面ACD，故取其法向量为()0,0,1n=所以，·393cos,31m nm nm n〈〉==由图知二面角M AD C--为锐二面角，故其余弦值为39331点睛：高考对二面角的考法主要是以棱柱和棱锥为载体进行考查，通常可采用两种方法求解，一是传统法，即通过作出二面角的平面，然后计算，其过程体现“作、证、求”；二是利用几何体的垂直关系建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量所成角来求解．20.如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点 ．（Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值． 【答案】（1）见解析 ； （2）63 ；（3）357. 【解析】 【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD 的法向量 0n AM ⋅=即可证明AM∥平面SCD ； （Ⅱ）分别求出平面SCD 与平面SAB 的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】（Ⅰ）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--，设平面SCD 的一个法向量为n (),,x y z =则SD CD ⎧⋅⎨⋅⎩ 00n n == 2020x z x y -=⎧∴⎨--=⎩，令1z =，得n ()2,1,1=-，∴AM ⋅ 0n =，即AM ⊥n∵AM ⊄平面SCD ∴AM ∥平面SCD ．（Ⅱ）取平面SAB 的一个法向量m ()1,0,0=，则cos ,n m =n m n m ⋅⋅ 616==⨯∴平面SCD 与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为3． （Ⅲ）设()(),22,12N x x x -≤≤，则(),23,1MN x x =--，平面SAB 的一个法向量为m()1,0,0=∴sin |cos ,MN θ=< m >1010==当135x =，即53x =时，sin θ取得最大值，且()max sin 7θ=． 【点睛】本题考查利用空间向量解决立体几何问题，属中档题. 21.已知函数2()(1)()xf x xe a x a R =++∈ (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) (0,)+∞ 【解析】 【分析】（1）先求导数，再讨论导函数零点，最后根据区间导函数符号确定单调性， （2）结合函数单调性以及零点存在定理分类讨论零点个数，即得结果 【详解】解（1）()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =++=++'+（ⅰ）0a ≥时，当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x <；当(1,)x ∈-+∞时，'()0f x >， 所以f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增； （ⅱ）0a <时 ①若12a e=-，则1()(1)()x f x x e e -=-'+，所以f (x )在(,)-∞+∞单调递增； ②若12a e>-，则ln(2)1a -<-，故当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-⋃-+∞时，'()0f x >，(ln(2),1)x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减；③若12a e<-，则ln(2)1a ->-，故当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-⋃-+∞，'()0f x >， (1,ln(2))x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；综上：0a ≥时，f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增； 12a e=-时，f (x )在(,)-∞+∞单调递增； 12a e >-时，f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减； 12a e <-时，f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；（2）（ⅰ）当a >0,则由（1）知f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增，又1(1)0e f -=-<，(0)0f a =>，取b 满足1b <-，且2ln 2ab -<， 则223(2)(2)(1)()022a fb b a b a b b ->-+-=->，所以f (x )有两个零点（ⅱ）当a =0,则()xf x xe =，所以f (x )只有一个零点 （ⅲ）当a <0,①若12a e≥-,则由（1）知，f (x )在(1,)-+∞单调递增．又当1x ≤-时，()0f x <，故f (x )不存在两个零点 ②12a e<-，则由（1）知，f (x )在(1,ln(2))a --单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增，又当1x ≤-，f (x )<0,故f (x )不存在两个零点 综上，a 的取值范围为(0,)+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）2ρ=,4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+.【解析】试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝.(2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+，.23.已知函数|2|f x x k x k R =-++∈（）（），|2|g x x m m Z =+∈（）（）.（1）若关于x 的不等式1g x ≤（）的整数解有且仅有一个值4-，当2k =时，求不等式f x m ≤（）的解集；（2）若223h x x x =-+（），若120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）[-4，4]（2）][40--+（，，）∞∞【解析】 【分析】（1）由不等式1g x ≤（），解得79m <<，得到8m =，分类讨论，即可求解不等式的解集； （2）由绝对值三角不等式得2|f x k ≥+（），利用二次函数的性质求得12min h x h ==（）（），再由120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，得到则22k +≥，即可求解.【详解】（1）由题意，不等式1g x ≤（），即21x m +≤，所以1122m m x ---+<<， 又由1154322m m ---+<≤-≤<--，解得79m <<， 因为m Z ∈，所以8m =，当2k =时，2,2224222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=<-<<⎨⎪>⎩（），， 不等式8f x ≤（）等价于228x x <-⎧⎨-≤⎩，或2248x -≤≤⎧⎨≤⎩，或228x x >⎧⎨≤⎩，即42x -≤<-，或22x -<≤，或24x <≤，综上可得44x -≤≤，故不等式8f x ≤（）的解集为[-4，4] . （2）因为|2|2|2|f x x k x x k x k =-++≥--+=+（）（）（）， 由222312h x x x x =-+=-+（）（），0x ∈+∞（，），可得12min h x h ==（）（）， 又由120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，则22k +≥，解得4k ≤-或0k ≥， 故实数k 的取值范围为(,4][0,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理应用绝对值三角不等式求最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.。