1.2 类比推理

§1.2 类比推理 姓名一、学习目标：1、结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；2、能利用类比进行简单的推理；3、体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

二、 学习过程（一）复习：归纳推理的定义、特征及其步骤。

定义：根据一类事物中 具有某种属性，推断该类事物中 都具有这种属性。

我们将这种推理方式称为归纳推理。

特征：归纳推理是由部分到整体，从个别（特殊）到一般的推理 。

步骤：（二）引入：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的. 思考：这个推理过程是归纳推理吗？（三）阅读课本P5~P6 ，然后思考、回答以下问题： 类比等式的性质： (1) a=b ⇒a+c=b+c; (2) a=b ⇒ ac=bc; (3) a=b ⇒a 2=b 2;等等。

2、类比推理定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也_____________________，这种推理方式称为类比推理(简称类比)．特点：①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类事物特征之间的推理．③利用类比推理得出的结论不一定是正确的．一般地，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠. 类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想)． 类比推理的一般思维过程:归纳推理和类比推理的过程思考：我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”.你是否想过“等和数列”、“等积数列” ？ 从第二项起，每一项与其前一项的差等于一个常数的数列是等差数列.等和数列： ； 等积数列： 。

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第 三 章 推 理 与 证 明
依此类推， 依此类推，在四面体 P－DEF 中，∠PDF＝∠PDE － ＝ 分别表示△ ＝∠EDF＝90°.设 S1，S2，S3 和 S 分别表示△PDF， ＝ 设 ， 的面积；如图②所示， △PDE，△EDF 和△PEF 的面积；如图②所示，相 ， 应于图① 条直角边 ， 应于图①中的直角三角形的 2 条直角边 a，b 和 1 条 直角面” 斜边 c，图②中的四面体有 3 个“直角面”S1，S2， ， S3 和 1 个“斜面”S，于是，类比勾股定理的结构， 斜面” ，于是，类比勾股定理的结构， 我们猜想 S2＝S2＋S2＋S2成立． 1 2 3成立．
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第 三 章 推 理 与 证 明
在等差数列{a 中 【解】 ∵在等差数列 n}中，a10＝0， ， ∴a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a8＋a12＝a9＋a11＝0， ＝ ， 即a19－n＋an＋1＝0， ， － ＋ a18－n＋an＋2＝0， ， － ＋ a17－n＋an＋3＝0， ， － ＋ …… ∴a1＋a2＋…＋an ＋ ＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n. ＋ ＋ － ＋ ＋ ∵b15＝1，∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1， ， ＝ ， 即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1. ＝ － ＋ － ＋ ∴有b1b2…bn＝b1b2…b29－n(1≤n≤29，n∈N＋)． ， ∈ ． －

1.2 类比推理1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式． 合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”C [由实数运算的知识易得C 项正确．]2．下列推理是合情推理的是( )(1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；(3)a ≥b ，b ≥c ，则a ≥c ；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． ①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]n n n 有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解]数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p ＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1q p －1，b r ＝b 1q r －1，于是b m b n b p ＝b 1q m －1·b 1q n －1·b 1q p －1＝b 31q m ＋n ＋p －3＝b 31q 3r －3＝(b 1q r －1)3＝b 3r ，故结论成立．a b c P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a＋p b h b ＋p c h c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解]p ah a＝12BC·p a12BC·h a＝S△PBCS△ABC，同理，p bh b＝S△P ACS△ABC，p ch c＝S△P ABS△ABC.∵S△PBC＋S△P AC＋S△P AB＝S△ABC，∴p ah a＋p bh b＋p ch c＝S△PBC＋S△P AC＋S△P ABS△ABC＝1．类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a，h b，h c，h d分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为p a，p b，p c，p d，可以得到结论p ah a＋p bh b＋p ch c＋p dh d＝1．证明：p ah a＝13S△BCD·p a13S△BCD·h a＝V P-BCDV A-BCD，同理，p bh b＝V P-ACDV A-BCD，p ch c＝V P-ABDV A-BCD，p dh d＝V P-ABCV A-BCD.∵V P-BCD＋V P-ACD＋V P-ABD＋V P-ABC＝V A-BCD，∴p ah a＋p bh b＋p ch c＋p dh d＝V P-BCD＋V P-ACD＋V P-ABD＋V P-ABCV A-BCD＝1．1．在本例中，若△1．平面图形与空间图形类比2．(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示]类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝n2＋2n－n2＝n(n＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n2的和．[提示]因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝13⎝⎛⎭⎪⎫n3＋3n2＋3n－3n2＋5n2＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6.【例3】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明[解]类似性质：若M，N为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2， 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ，所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程．[解] 已知：13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误B[根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22 B.l22C.lr2D．无法确定C[扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr 2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8[由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，有如下方法：先改写第k项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n＋1)＝13[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)．11/11 类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n (n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n (n ＋2)＝16[n (n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n (2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝16n (n ＋1)(2n ＋7)．。

1.2类比推理[学习目标]1．通过具体实例理解类比推理的意义．2．会用类比推理对具体问题作出推断．[知识]类比推理的结论能作为定理应用吗？答不能．因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用．[预习导引]1．类比推理(1)类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．(2)类比推理的特征类比推理是从特殊到特殊的推理，简称类比．(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的．(4)思维过程流程图：观察、比较―→联想、类推―→猜想新的结论2．合情推理(1)合情推理的含义根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．(2)思维过程流程图从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想3．演绎推理根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．要点一平面图形与空间图形的类比例1三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练1类比平面正三角形的“三边相等，三角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．要点二解题方法的类比例2已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，…22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝n2＋2n－n2＝n(n＋1)2.类比以上过程求12＋22＋32＋…＋n2的和．解因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，…23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2 ＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.规律方法 典型的数学方法往往可以解决一类问题，培养学生总结、反思、举一反三的习惯，可以提高学生的知识迁移能力和灵活应用知识的能力．而解决问题需要我们展开丰富的联想，利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难度，先解决较简单的问题，再类比到复杂问题，常常可达到柳暗花明的成效． 跟踪演练2 设f (x )＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值是________． 答案 32解析 本题要求类比课本中等差数列的求和方法，即“倒序相加法”． 令t ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)， 则t ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)， 两式相加，类似于等差数列的情形，易得t ＝3 2. 要点三 等差数列与等比数列的类比例3 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n(n ＜19，n ∈N ＋)成立．类比上述性质，相应的，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有什么样的等式成立？解 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0， 即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n ， 相应的，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则可得 b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N ＋)．规律方法 1.在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量三个方面.2.在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂． 如通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)db n ＝b 1·q n －1.跟踪演练3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．答案 T 8T 4 T 12T 8解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．1．下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形答案 C2．下面几种推理是类比推理的是( )A ．因为三角形的角和是180°×(3－2)，四边形的角和是180°×(4－2)，…，所以n 边形的角和是180°×(n －2)B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D ．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除 答案 B3．已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________． 答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0.4．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题______________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案 夹在两平行平面间的平行线段相等类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．一、基础达标1．对命题“正三角形的切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的切球切于四面体各正三角形的( ) A ．一条中线上的点，但不是中心 B ．一条垂线上的点，但不是垂心 C ．一条角平分线上的点，但不是心 D ．中心 答案 D解析 由正四面体的切球可知，切球切于四个侧面的中心．2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr2 D ．不可类比 答案 C解析 我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇形的半径r ，∴S 扇＝12lr . 3．(2013·模拟)已知x >0，由不等式x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，我们可以得出推广结论：x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a ＝( ) A ．2n B ．n 2 C ．3n D ．n n 答案 D解析 再续写一个不等式：x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x 3＝4， 由此可得a ＝n n .4．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，切圆半径为r，则r＝2 Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4答案C解析设四面体的切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A－BCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.5．若数列{a n}(n∈N＋)是等差数列，则数列b n＝a1＋a2＋…＋a nn也为等差数列，类比上述性质，若数列{c n}是等比数列，且c n＞0(n∈N＋)，则有d n＝________也是等比数列．答案nc1c2c3…c n解析nc1c2c3…c n＝nc n1q1＋2＋3＋…＋(n－1)＝＝c1q，是等比数列6．平面正三角形有很多性质，如三条边相等．类似地写出空间正四面体的两条性质：①______________________________________；②___________________________.答案①三个侧面与底面构成的二面角相等②四个面都全等(答案不唯一)7．就任一等差数列{a n}，计算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？解设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d，可得a7＋a10＝a8＋a9.同理a10＋a40＝a20＋a30.由此猜想，任一等差数列{a n}，若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有a m＋a n＝a p＋a q成立．类比等差数列，可得等比数列{a n}的性质：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有a m·a n＝a p·a q成立．二、能力提升8．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()A．V＝13abcB．V＝1 3ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)答案C解析△ABC的心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A ­BCD 的切球球心为O ，连结OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .9．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题： 已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．答案 3S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数解析 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 由上述定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.10．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM ＝________.”答案 3 解析如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的棱长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33， AM ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63， R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63－R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332， 解得R ＝64.于是，AO OM ＝6463－64＝3. 11．观察：①tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1，②tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．解 观察得到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，猜测推广式子为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ均不为k π＋π2，(k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明 由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ，∵tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－γ＝1tan γ， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， ∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝1tan γ(1－tan αtan β)∴tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)1tan γ＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN→·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN→·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a )，依题意，得A (－a,0)，B (a,0)．所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )． 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a， 所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M)， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。