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2017年全国初中数学联合竞赛试题
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．
第一试(A)
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
1. 已知实数a b c ，，满足2133903972a b c a b c ++=++= ，
，则32b c
a b
+=+ ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1− 2. 已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论：
(1) (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在；
(3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3. 若正整数a ，b ，c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，
好数组的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4. 设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180︒，且BC ＝3，
AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则
DO
OB
＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．43
5. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB
的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．215
6. 对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1
a 200
＝( )
A ．1917
B ．1927
C ．1937
D ．194
7
二、填空题(本题满分28分，每小题7分)
7.
成立的实数a 的值为______．
8. 如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝72︒，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若
DE ＝2AB ，则∠AED ＝______．
9. 设m ，n 是正整数，且m ＞n ．若9m 与9n 的末两位数字相同，则m －n 的最小值为____．
10. 若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋3xy ＝1，则x 2＋ y 2的最小值为______．
第一试(B)
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数y ＝a 3x 2＋b 3x ＋c 3
的图象与x 轴的交点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定 2．题目与(A )卷第1题相同． 3．题目与(A )卷第3题相同．
4．已知正整数a ，b ，c 满足a 2－6b －3c ＋9＝0，－6a ＋b 2＋c ＝0，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A ．424． B ．430． C ．441． D ．460．
5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，DO
OB
＝( )
A ．43
B ．65
C ．87
D ．109
6．题目与(A )卷第5题相同．
二、填空题(本题满分28分，每小题7分) 1．题目与(A )卷第1题相同．
2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D ，E 分别为线段BC ，OA 的中点，∠ACB ＝7∠OED ，∠ABC ＝5∠OED ，则∠OED ＝______． 3．题目与(A )卷第3题相同． 4．题目与(A )卷第4题相同．
第二试(A)
一、(本题满分20分)已知实数x ，y 满足x ＋ y ＝3，1x ＋y 2＋1x 2＋y ＝1
2，求x 5＋y 5的值．
二、(本题满分25分)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC ＝45︒，E 是∠BAC 的外角平分线与△
ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF ⊥AB ．已知AF ＝1，BF ＝5，求△ABC 的面积．
三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a ，b )，使得a 3＝49×3b ＋8．
第二试(B)
一、(本题满分20分)已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，a ＋b ＋c ＝16，a 2＋b 2＋c 2＋1
4
abc ＝ ，
求c 的值．
二、(本题满分25分)求所有的正整数m ，使得22m －
1－2m ＋1是完全平方数．
三、(本题满分25分)如图，O 为四边形ABCD 内一点，∠OAD ＝∠OCB ，OA ⊥OD ，OB ⊥OC ．求
证：AB 2＋CD 2＝AD 2＋BC 2．
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