二次函数与几何变换教案

二次函数教案（3篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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《二次函数与图形变换》教案《二次函数与图形变换》教案一、学生知识状况分析学生在前面已经学习了二次函数的图像及其性质，会确定二次函数的表达式，配方法，平移旋转轴对称的性质等知识。

九年级的学生也有了一定的看图能力和理解能力。

二、教学任务分析二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用.为此，本课时的教学目标是：1．理解二次函数图形变换就是a的变化和顶点坐标的变化。

体会把函数图像变换问题转化为顶点坐标的变换问题。

2．能够熟练求出二次函数图形变换后的函数表达式3．感受数形结合思想。

三、教学过程分析通过本课时的学习，学生可以体会二次函数图形变换就是a 的变化和顶点坐标的变化。

体会把函数图像变换问题转化为顶点坐标的变换问题。

所以本课时设计了五个教学环节：复习回顾、新课、例题精炼、课堂小结、布置作业.第一环节复习回顾1已经学过的图形变换有哪些？2二次函数的图像是什么，决定抛物线的形状是谁的系数，开口方向呢？3如果已知a，要确定抛物线的解析式，至少需要几个点？第二环节新课教学内容：探究规律通过：1、平移问题；2、轴对称问题；3、旋转问题。

理解二次函数的变换的实质，能够熟练运用变换规律解决问题。

（一）探究规律教学目的：从一般情况出发进行推导，得出规律。

发展有条理地进行思考和语言表达的能力，运用点的变换来推理想象抛物线的变换情况．(二)学以致用将抛物线：1. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线函数表达式-----------------------------2. 关于Y轴对称所得抛物线函数表达式为------------------3. 关于X轴对称所得抛物线函数表达式为------------------4关于原点O对称所得抛物线函数表达式为------------------5关于直线y=1对称所得抛物线函数表达式为------------------6关于直线x=1对称所得抛物线函数表达式为----------------7.绕点p(1,0)旋转180°所得抛物线函数表达式为--------------。

《二次函数与图形变换》教学设计教学目标：1、理解二次函数图形变换就是a 的变化和顶点坐标的变化。

体会把函数图像变换问题转化为顶点坐标的变换问题。

2、能够熟练求出二次函数图形变换后的函数表达式。

3、感受数形结合思想。

教学重难点：重点：能熟练求出二次函数图形变换后的函数表达式。

难点：理解函数图像的不同变化与对应函数表达式之间的关系。

教学过程：一、知识整合问题1：已经学过的图形变换有哪些？问题2：二次函数的图像是什么，其开口方向和大小与什么有关？问题3：如果已知a,要确定二次函数的表达式，最少需要几个点？设计意图：以问题串的形式复习旧知，整合与本节课有关的基础知识，引入新课的讲授。

二、新课讲授变换1：平移二次函数图像经过平移变换，不会改变图形的形状和开口方向,因此a 值不变。

顶点位置将会随着整个图像的平移而变化,因此只要按照点的移动规律,求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

例1：将抛物线 2)1(2y 2+-=x 向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线表达式是练1：抛物线22x y =向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线表达式是练2：抛物线2632++-=x x y 向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线表达式是变换2：轴对称:主要包括x 轴对称和关于y 轴对称两种方式。

二次函数图像关于x 轴对称的图像,其形状不变，但开口方向相反,因此a 值为原来的相反数。

顶点位置改变,只要根据关于x 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标,即可确定其解析式。

二次函数图像关于y 轴对称的图像,其形状和开口方向都不变，因此a 值不变。

但是顶点位置会改变,只要根据关于y 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标,即可确定其解析式。

例2：抛物线2)1(2y 2+-=x 关于Y 轴对称的抛物线表达式是 抛物线2)1(2y 2+-=x 关于X 轴对称的抛物线表达式是 抛物线2)1(2y 2+-=x 关于Y=1对称的抛物线表达式是 练3：抛物线142y 2+-=x x 关于Y 轴对称的抛物线表达式是 抛物线142y 2+-=x x 关于X 轴对称的抛物线表达式是 练4：抛物线142y 2+-=x x 关于Y=-1翻折的抛物线表达式是 抛物线142y 2+-=x x 关于X=4翻折的抛物线表达式是 变化3：中心对称二次函数图形的形状不变，开口方向相反，因此a 值变为原来的相反数，再根据中心对称的点的坐标变化特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

中考解决方案二次函数解析式及几何变换学生姓名：上课时间：能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．知识点一 二次函数解析式的确定一、待定系数法（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠．如果已知二次函数的图象上的三点坐标（或称函数的三对对应值）()11x y ，、()22x y ，、()33x y ，，那么方程组211122222333y ax bx cy ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩就可以唯一确定a 、b 、c ，从而求得函数解析式2y ax bx c =++．总结：1．任何二次函数都可以整理成一般式2(0)y ax bx c a =++≠的形式； 2．已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式． （2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．由于222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以当已知二次函数图象的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 时，就可以设二次函数形如22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线2bx a=-又称为二次函数图象的对称轴． 总结：1．已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式．2．已知二次函数的顶点和图象上的任意一点，都可以用顶点式来确定解析式． （3）交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠．我们知道，()()22212424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛⎫=++=++=-- ⎪⎝⎭，这里12x x ，分别是方程20ax bx c ++=的两根．当已知二次函数的图象与x 轴有交点（或者说方程20ax bx c ++=有实根）时，就可以令函数解析式为()()12y a x x x x =--，从而求得此函数的解析式． 总结：自检自查必考点中考怎么考二次函数解析式及几何变换1．已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．2．已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图象上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式． 3．已知二次函数与x 轴的交点坐标()()12,0,,0x x ，可知二次函数的对称轴为122x x x +=． 4．根据二次函数的对称性可知，对于函数图象上的两点()()12,,,x a x a ，如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x x x +=． 5．对于任意的二次函数2y ax bx c =++，当0x =时，利用求根公式可得2142b b ac x a-+-=，2242b b ac x a---=，可知22212444||22b b ac b b ac b ac x x a a a -+------=-=． （4）对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠．总结：当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函数的解析式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．知识点二、二次函数的几何变换一、平移变换 （1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax = 的图象，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k ．具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”． 二、对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1． 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2． 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 三、旋转变换在二次函数的旋转变换中，将抛物线绕顶点旋转90︒或180︒，之后抛物线的开口大小不变，方向改变，但是顶点坐标不改变，这也是解题的关键，具体如下： 1． 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；2． 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．3． 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-【例1】 已知一个二次函数过原点、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式．【例2】 已知图象经过点(0,3)，(3,0)-，(2,5)-，且与x 轴交于A 、B 两点．试确定此二次函数的解析式；【例3】 已知一个二次函数的图象过点(1,0)，它的顶点坐标是(8,9)，求这个二次函数的关系式．【例4】 已知抛物线的顶点是(2,4)-，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．例题精讲【例5】 已知抛物线的对称轴为3x =-，且抛物线经过(1,0)-，与y 轴的交点到原点的距离为52，求此抛物线的解析式．【例6】已知一抛物线与x 轴的交点是(2,0)A -、(1,0)B ，且经过点(2,8)C ，求这个二次函数的解析式．【例7】已知二次函数的图象与x 轴有两个交点(3,0)A -，(1,0)B ，且顶点到x 轴的距离为4，求此二次函数解析式．【例8】已知二次函数的图象经过(1,3)A -、(1,3)B 、(2,6)C ； 求它的解析式．【例9】已知二次函数的图象经过(1,2)-、(3,2)、(2,4)，求它的解析式．【例10】已知一个二次函数，当1x =时，2y =；当0x =时，2y =；当5x =时，3y =．求这个二次函数的解析式．【例11】已知一抛物线的形状与21722y x =+的形状相同．它的对称轴为2x =-，它与x 轴的两交点之间的距离为2，求此抛物线的解析式．【例12】将二次函数22y x =的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图象的解析式为( )A ．()2213y x =-- B ．()2213y x =-+ C ．()2213y x =+- D ．()2213y x =++【例13】 函数25(1)2y x =+-的图象可由函数25y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A.右移一个单位，下移两个单位B.右移一个单位，上移两个单位C.左移一个单位，下移两个单位D.左移一个单位，上移两个单位【例14】函数23(1)2y x =-+-的图象可由函数23(5)3y x =--+的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A.右移六个单位，下移五个单位B.右移四个单位，上移五个单位C.左移六个单位，下移五个单位D.左移四个单位，上移五个单位【例15】如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,0)，二次函数2y x =的图象记为抛物线。

教学过程一、复习预习我们逐步地学习了二次函数的特殊形式和一般形式的解析式以及图像和性质：1.二次函数基本形式：y =ax2 （b、c 为 0 时）的性质：2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。

3.y=a(x-h)2 的性质：左加右减。

4.y=a(x-h)2 +k的性质：二次函数y =ax2 +bx +c今天学习二次函数图像的变换以及解析式的确定二、知识讲解考点1 二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成y =a(x -h)2 +k 的形式，确定其顶点(h, k ) ，然后做出二次函数y =ax2 的图像，将抛物线y =ax2 平移，使其顶点平移到(h, k ) .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。

2 考点 2 二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ；y = a (x - h )2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2- k ； 2. 关于 y 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ；y = a (x - h )2 + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2+ k ； 3. 关于原点对称y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；y = a (x - h )2 + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )2- k ； 4. 关于顶点对称= 2 + + 关于顶点对称后，得到的解析式是 = -2 - + - b ；y ax bx cy ax bx c 2a y = a (x - h )2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 + k ．5. 关于点(m ，n )对称y = a (x - h )2 + k 关于点(m ，n )对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2+ 2n - k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点3 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．三、例题精析【例题1】【题干】抛物线 y=﹣2x2 经过平移到 y=﹣2x2﹣4x﹣5，平移方法是（）A．向左平移 1 个单位，再向上平移 3 各单位B．向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位C．向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位D．向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位【答案】B【解析】试题分析：把 y=﹣2x2﹣4x﹣5 转化为顶点式形式并写出顶点坐标，然后根据顶点的变化确定出平移方法是解题的关键．∵y=﹣2x2﹣4x﹣5=﹣2（x+1）2﹣3，∴y=﹣2x2﹣4x﹣5 的顶点坐标为（﹣1，﹣3），∴抛物线 y=﹣2x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位得到 y=﹣2x2﹣4x﹣5．故选 B．考点: 二次函数图象与几何变换.【例题2】【题干】如图，在平面直角坐标系中，抛物经过平移得到抛物，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】试题分析：如图，过点 C 作CA⊥y，∵抛物线x2−2x=（x2-4x）=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，∴顶点坐标为 C（2，-2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，考点：二次函数图象与几何变换．【例题3】【题干】如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（－1，0），点 C （0，5），点 D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．求（1）抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积．【答案】（1）y=-x2+4x+5．（2）15．【解析】试题分析：（1）由 A、C、D 三点在抛物线上，根据待定系数可求出抛物线解析式；（2）把 BC 边上的高和边长求出来，就可以得出面积．（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线 y=ax2+bx+c 上，则有 0=a-b+c 5=c 8=a+b+c解方程得 a=-1，b=4，c=5 所以抛物线解析式为 y=-x2+4x+5．（2）∵y=-x2+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）2+9∴M（2，9），B（5，0）即．由 B、C 两点坐标得直线 BC 的解析式为：l：x+y-5=0，则点 M 到直线 BC 的距离为，则×BC×d=15．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数图象与系数的关系；3．待定系数法求二次函数解析式【例题4】【题干】如图，抛物线x2 通过平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 B（6，0）和 O（0，0），它的顶点为 A，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线x2 交于点 C，连接 AC，则图中阴影部分的面积为【答案】﹣12．【解析】试题分析：先求出抛物线 m 的解析式，得到顶点 A 的坐标，求出 OA 的长度，根据抛物线的对称性，可知阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积．试题解析：∵抛物线 m 经过点 B（6，0）和 O（0，0），∴抛物线 m 的对称轴为直线 x=3，∵抛物线x2 通过平移得到抛物线 m，∴设抛物线 m 的解析式为（x﹣3）2+k，将 O（0，0）代入，（0﹣3）2+k=0，解得 k=4，∴抛物线 m 的解析式为（x﹣3）2+4，顶点 A 的坐标为（3，4），由勾股定理，得 OA=5．连接 OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知 C 的坐标为（3，﹣4），阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积•π•52﹣×8×3=﹣12．考点: 二次函数图象与几何变换．四、课堂运用【基础】1、在平面直角坐标系中，将抛物线 y=3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2【答案】C【解析】试题分析：∵抛物线 y=3x2 的对称轴为直线 x=0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线 y=3x2 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为 y=3（x﹣1）2+2．故选 C．考点：二次函数图象的变换2、将函数变形为的形式，正确的是（）A．C．B．D．【答案】C.【解析】试题分析；故选 C.考点: 二次函数的三种形式.3、.在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-x-6 向上（下）或向左（右）平移 m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值（）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B.【解析】试题分析：当 x=0 时，y=-6，故函数图象与 y 轴交于点 C（0，-6），当 y=0 时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得 x=-2 或 x=3，即 A（-2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移 2 个单位恰好过原点，故|m|的最小值为 2．故选 B考点: 二次函数图象与几何变换．【巩固】1、已知二次函的图象经过点 A（2，－3），B（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）观察函数图象，要使该二次函数的图象轴只有一个交点，应把图象轴向上平移几个单位？【答案】(1) y=x2-2x-3；(2)4.【解析】试题分析：（1）把点 A、B 的坐标代入二次函数解析式求出 a、b 的值，即可得解；（2）先求出原二次函数图象的顶点点坐标，然后根据向上平移横坐标不变，纵坐标加解答．试题解析：（1）∵二次函数 y=ax2+bx-3 的图象经过点 A（2，-3），B（-1，0），∴，解，故二次函数解析式为 y=x2-2x-3；（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）故要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴向上平移 4 个单位. 考点: 1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象与几何变换.2、若二次函数【答案.【解析】试题分析：∵配方后为，则.，∴考点：配方法3、抛物关于 x 轴对称的抛物线的解析式是．【答案.【解析】试题分析：∵抛物的开口向上，顶点坐标为（0，），∴根据关于 x 轴对称的性质，抛物关于 x 轴对称的抛物线开口向下，顶点坐标为（0，1），∴抛物关于 x 轴对称的抛物线的解析式.考点：1.二次函数的性质；2.关于 x 轴对称的点的坐标特征【拔高】1、如图，已知抛物与 x 轴分别交于 O、A 两点，它的对称轴为直线 x=a，将抛物线向上平移 4 个单位长度得到抛物，则图中两条抛物线、对称轴与 y 轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C.【解析】试题分析：先求出 l1的顶点坐标，再根据平移的性质求出 l2的顶点坐标，C 的坐标，求出平行四边形 OFEC 的面积即可．在抛物线x2-2x 中，l1的顶点 F 的坐标为（2，-4），由于抛物线l1向上平移4 个单位长度得到抛物线l2，故 E 点坐标为（2，0），C 点坐标为（0，4）．故平行四边形 OFEC 的面积为4×2=8．故选 C.考点: 二次函数图象与几何变换．2、在平面直角坐标中，抛物经过点（0，），（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设关于原点的对称点，是抛物线对称轴上一动点，记抛物线，之间的部分为图（包，两点）．若直与图有公共点，结合函数图像，求纵坐的取值范围．【答案】(1)抛物线的表达式，对称轴(2)t 的取值范围是【解析】试题分析：（1）将所给的点的坐标代入就可求得解析式，利用对称轴公式就可以（2）先确定点 C 的坐标，当 D 点为抛物线的顶点时，此时 t 最小，当 D 为 BC 与对称轴的交点时，此时的 t 最大试题解析经过点 A（0，-2），B（3，4）．代入得：∴抛物线的表达式为对称轴(2)由题意可知 C（-3，-4）二次函数的最小值为-4由图象可以看出 D 点纵坐标最小值即为-4，最大值即 BC 与对称轴交点直线 BC 的解析式为当 X=1 时所以 t 的取值范围是考点：1、二次函数；2、中心对称；3、数形结合3、已知关于 x 一元二次方有两个不相等的实数根（1）求 k 取值范围；（2）当 k 最小的整数时，求抛物的顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直有三个不同公共点时 m 值．【答案】（1）k＞-1；（2）（1，-4）；（-1，0），（3，0）；（3）画图见解析，1 或．【解析】试题分析：（1）根据一元二次方有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出 k 的取值范围.（2）根据 k 的取值范围可得当 k=0 时，为 k 最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标.（3）由（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有 3 个交点，可以有两种情况：①直线经过原二次函数与 x 轴的交点 A（即左边的交点），可将 A 点坐标代入直线的解析式中，即可求出 m 的值；②原二次函数图象 x 轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x 轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于 x 的一元二次方程，那么该方程的判别式△=0，根据这一条件可确定 m 的取值．试题解析：（1）由题意，，∴k＞-1，∴k 的取值范围为 k＞-1.（2）∵k＞-1，且 k 取最小的整数，∴k=0．∴.则抛物线的顶点坐标为（1，-4）.∵的图象与 x 轴相交，∴，∴解得：x=-1 或 3.∴抛物线与 x 轴相交于 A（-1，0），B（3，0）；（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线 y=x+m 知：直线位于 l1 和 l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于 l1时，此时 l1过点 A（-1，0），∴0=-1+m，即 m=1．②当直线位于 l2时，此时 l2与函的图象有一个公共点，∴方程 x+m=-x2+2x+3，即 x2-x-3+m=0 有两个相等实根.∴△=1-4（m-3）=0，即．当 m= 时，x1=x2= 满足-1≤x≤3，由①②知 m=1 或．考点：1.抛物线与 x 轴的交点；2.二次函数图象与几何变换；3.一元二次方程根的判别式；4.分类思想的应用．课程小结二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。

个性化辅导授课案教师： 学生： 时间： 年 月 日 段 第 次课授课内容：二次函数图象的几何变换教学目标:1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；3．能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；4．能从函数图像上认识函数的性质；5．会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；6．会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；重点难点: 1．能用二次函数解决简单的实际问题；2．能解决二次函数与其他知识结合的有关问题教学过程：一、二次函数图象的平移变换先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.“上加下减”【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【巩固】函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位【例2】 将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =- 【巩固】把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+-C ．()213y x =--+D ．()213y x =-++【例3】 把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．【巩固】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．【例4】 如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．D CBA O【巩固】抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，． ⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【例5】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例6】 已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式；⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式；⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【巩固】已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例7】 已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【巩固】设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．。

《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。

《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。

重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。

教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。

活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。

(3)求方程x2-x-6=0的解。

(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。

（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。

《二次函数》教案（优秀7篇）《二次函数》教案篇一教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。

2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。

教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y ＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。

教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b 与抛物线y＝ax2的关系。

教学过程：一、提出问题导入新课1．二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？2．猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？二、学习新知1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗？同学试一试，教师点评。

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（既y）之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。

师：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗？小组相互说说（一人记录，其余组员补充）2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝1。

3、做一做在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系？ 2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质？四、作业：在同一直角坐标系中，画出 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像五：板书《二次函数》教案篇二1、会用描点法画二次函数=ax2+bx+c的图象。

二次函数图象的变换教学案【教学目标】 熟练掌握二次函数的三种表达式的之间变换.【重点、难点】 重点：二次函数的三种表达式； 难点：二次函数三种表达式的变换.【知识要点】1．二次函数的表达式：①一般式：2y ax bx c =++ (a ≠0)②顶点式：2()(0)y a x h ka =++≠顶点坐标：（－h,k ）,对称轴：x=－h ③一般式向顶点式的转化： 2224()24b ac b y ax bx c y a x a a -=++⇔=++ ∴顶点坐标24(,)24b ac b a a -- 2．二次函数图象的平移规律①二次函数2(0)y ax bx ca =++≠是通过2(0)y ax a =≠平移得到的2y ax =顶点（0，0）①h>0，k>0,平移2yax=的图象。

Ⅰ．沿x 轴向右平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =+Ⅱ．沿x 轴向左平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =-Ⅲ．沿y 轴向上平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =+Ⅳ．沿y 轴向下平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =-3．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2 2ax k =+的图象0，k ） 2()y a x h =+的图象顶点（－h,0） ()k h x a y +--=2的图象顶点（－h,k ）（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=24．求抛物线c bx ax y ++=2绕其顶点旋转0180对应的抛物线解析式时：首先把抛物线配成顶点式()k h x a y +-=2，再把a 变为其相反数-a 就得到对应解析式：()k h x a y +--=2. 【典题精讲】例1．（1）抛物线22(1)3y x =-+是由抛物线22y x =怎样平移得到的？（2）若抛物线2y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。

二次函数教案【精选3篇】总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的总结，它能使我们及时找出错误并改正，快快来写一份总结吧。

那么如何把总结写出新花样呢？这里给大家分享一些关于数学二次函数解题技巧，方便大家学习。

为朋友们精心整理了3篇《二次函数教案》，亲的肯定与分享是对我们最大的鼓励。

二次函数教案篇一一、教材分析：《34.4二次函数的应用》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》(冀教版)九年级上册第三十四章第四节，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象及性质的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。

这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。

这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。

本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

数学思考：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。

2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。

3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。

解决问题：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。

平移变换点的平移xy抛物线的平移(-2,-1)(3,-1)P y =2(x-3)2 -1转化二、顶点式下的变换y =2(x+2)2 -1P 2(-2,3)y =2(x+2)2 +3轴对称变换xy(-2,-1)P y =2(x+2)2 -1P 2(2,-1)点的轴对称抛物线的轴对称转化P 1(-2,1)y =-2(x+2)2 +1y =2(x-2)2 -1顶点式下的变换旋转变换xy(-2,-1)P y =2(x+2)2 -1点的旋转抛物线的旋转转化P 1(2, 1)y =-2(x+2)2 -1y =-2(x-2)2 +1顶点式下的变换y=a （x-h ）2+k a 顶点（h ，k ）平移变换不变变轴对称变换旋转变换（h ，k ）（h, －k ）（－h, k ）（－h ,－k ）x 轴y 轴相反数不变绕顶点（1800）相反数相反数绕原点（1800）变式1：将该抛物线关于y 轴对称，所得抛物线的解析式为将该抛物线关于x 轴对称，所得抛物线的解析式为变式2：将该抛物线关于原点对称，所得抛物线的解析式为y=（x+1）2-4y= -（x-1）2+4练习2：已知抛物线y= -（x+1）2+4.y= （x-1）2-4变式1：将该抛物线关于y 轴对称，所得抛物线的解析式为将该抛物线关于x 轴对称，所得抛物线的解析式为变式2：将该抛物线关于原点对称，所得抛物线的解析式为y=（x+1）2-4y= -（x-1）2+4练习2：已知抛物线y= -（x+1）2+4.y= （x-1）2-4练习3：已知抛物线y=-（x+1）2+4.变式：将该抛物线绕原点旋转180°，所得抛物线的解析式为将该抛物线绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y=（x+1）2+4y=（x-1）2-4y=a（x-h）2+k a顶点（h，k）平移变换不变变轴对称变换旋转变换（h，k）（h, －k）（－h, k）（－h,－k）x轴y轴相反数不变绕顶点（1800）相反数相反数绕原点（1800）。

数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案（精选8篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，就不得不需要编写教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。

优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编收集整理的数学《二次函数》优秀教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

数学《二次函数》优秀教案篇1教学目标（一）教学知识点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

2、进一步发展估算能力。

（二）能力训练要求1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。

2、利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想。

（三）情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。

教学重点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学方法学生合作交流学习法。

教具准备投影片三张第一张：（记作§2.8.2A）第二张：（记作§2.8.2B）第三张：（记作§2.8.2C）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可。

但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算。

本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根。

数学《二次函数》优秀教案篇2一.学习目标1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

九年级上册二次函数变换的全章教案一、教学目标1. 了解二次函数的基本概念和性质；2. 掌握二次函数的图像变换规律；3. 能够应用二次函数进行简单问题的解答。

二、教学重点1. 二次函数的基本概念和性质；2. 二次函数图像的平移、翻折和压缩。

三、教学准备1. 教学课件和题册；2. 讲台、黑板、粉笔。

四、教学过程第一课时：二次函数的基本概念和性质1. 引入二次函数的概念，介绍二次函数的定义和表达式；2. 讲解二次函数的图像特点，即对称轴、顶点和开口方向；3. 强调二次函数的性质，包括奇偶性和单调性。

第二课时：二次函数图像的平移1. 复二次函数的基本概念和性质；2. 引入二次函数图像的平移概念，讲解平移的定义和规律；3. 给出几个例子，通过对比图像变化进行练。

第三课时：二次函数图像的翻折1. 复二次函数的基本概念和性质；2. 引入二次函数图像的翻折概念，讲解翻折的定义和规律；3. 给出几个例子，通过对比图像变化进行练。

第四课时：二次函数图像的压缩1. 复二次函数的基本概念和性质；2. 引入二次函数图像的压缩概念，讲解压缩的定义和规律；3. 给出几个例子，通过对比图像变化进行练。

第五课时：应用二次函数解答问题1. 引入应用二次函数解答问题的概念，讲解应用的基本思路；2. 给出一些实际问题，引导学生应用二次函数进行解答；3. 结合题进行练，培养学生的解决问题的能力。

五、教学总结1. 总结二次函数的基本概念和性质；2. 总结二次函数图像的变换规律；3. 强调二次函数在实际问题中的应用。

六、教学延伸1. 鼓励学生独立探索更多二次函数图像变换的规律；2. 给予学生更多实际问题的应用训练。

以上是九年级上册二次函数变换的全章教案，希望能帮助学生更好地理解和掌握二次函数的变换规律，提升解决实际问题的能力。

《二次函数的应用（1）》教学设计
一、教学目标
知识与技能：
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并且能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值，增强解决问题的能力。

过程与方法：
通过分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，经历求最大面积问题的探索过程，提高学生用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学应用能力。

情感态度与价值观：
1．经历探究矩形最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．在独立思考问题的基础上，敢于发表自己的观点，从交流讨论中获得成功的体验，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。

二、教学重点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．
三、教学难点
把实际问题转化成“二次函数”模型，从而解决问题
四、课程类型
新授课
五、教学方法
分组交流讨论法、自主探究法.
六、教学工具
多媒体课件
六、教学过程。

二次函数数学教案(优秀11篇) 二次函数教案作为一名无私奉献的老师，时常需要用到教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？它山之石可以攻玉，本页是爱岗敬业的小编小月月给大家整理的二次函数数学教案【优秀11篇】，希望对大家有所帮助。

《1.1二次函数》教学设计篇一【知识与技能】1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

【过程与方法】经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。

【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系，学会与他人合作交流，培养合作意识。

【教学重点】二次函数的概念。

【教学难点】在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程。

一、情境导入，初步认识1.教材p2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积s(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是s=-2x2+100x,(0x50)；电脑价格y（元）与平均降价率x的关系式是y=6000x2-1+6000,(0x1).它们有什么共同点？一般形式是y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)这样的函数可以叫做什么函数？二次函数。

2.对于实际问题中的二次函数，自变量的取值范围是否会有一些限制呢？有。

二、思考探究，获取新知二次函数的概念及一般形式在上述学生回答后，教师给出二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意：①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时，要连同符号一起指出。

《1.1二次函数》教学设计篇二二次函数的教学设计马玉宝教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页教学目标：1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

7-4-3二次函数图象的几何变换讲义教师版二次函数的一般形式可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。

当a > 0时，二次函数的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，二次函数的图像为开口向下的抛物线。

本讲义将讨论二次函数图像的几何变换，包括平移、伸缩、翻转和旋转等变换。

1.平移变换：平移变换是指将二次函数图像整体上下左右移动一段距离。

设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，则g(x)=f(x-h)+k，其中h为沿x轴平移的距离，k为沿y轴平移的距离。

当h>0时，函数图像沿x轴正方向平移h个单位长度；当h<0时，函数图像沿x轴负方向平移，h，个单位长度。

当k>0时，函数图像沿y轴正方向平移k个单位长度；当k<0时，函数图像沿y轴负方向平移，k，个单位长度。

2.伸缩变换：伸缩变换是指将二次函数图像沿x轴和y轴分别进行缩放。

设原函数为f(x)，伸缩后的函数为g(x)，则g(x) = af(bx) + c。

当，a，>1时，函数图像沿y轴方向进行纵向伸缩，缩放倍数为，a；当0<，a，<1时，函数图像沿y轴方向进行纵向压缩，缩放倍数为1/，a。

当，b，>1时，函数图像沿x轴方向进行横向压缩，缩放倍数为1/，b；当0<，b，<1时，函数图像沿x轴方向进行横向伸缩，缩放倍数为，b。

3.翻转变换：翻转变换是指将二次函数图像进行对称。

常见的翻转包括关于x轴、y轴和原点的翻转。

关于x轴的翻转：设原函数为f(x)，关于x轴的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=-f(x)。

关于y轴的翻转：设原函数为f(x)，关于y轴的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=f(-x)。

关于原点的翻转：设原函数为f(x)，关于原点的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=-f(-x)。

4.旋转变换：旋转变换是指将二次函数图像按一定角度进行旋转。

二次函数的几何变换教学目标1、熟悉并掌握二次函数的图像与性质2、熟练的把二次函数的三种表示方法互相转化，特别是把一般式与交点式转化成顶点式3、能从图象上认识二次函数的性质，确定图象的顶点坐标、对称轴、开口方向及函数的增减性，掌握二次函数图象的平移规律4、用数形结合的思想去了解二次函数的的几何变换，培养学生观察、分析、比较、抽象、概括、类比的能力，渗透有特殊到一般的辩证唯物主义的思想教学重点与难点1、重点，二次函数的图像的性质与特点2、难点，把几种二次函数的图像之间的联系与区别课前热身1．将二次函数542+-=x x y 化为k h x y +-=2)(的形式，则=y ．2．抛物线221y x x =-+的顶点坐标是A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）3．下列二次函数中，图象以直线x =2为对称轴、且经过点(0，1)的是A ．y =(x －2)2+1B ．y =(x +2)2+1C ．y =(x －2)2－3D ．y =(x +2)2－3考点一：二次函数图像平移二次函数图象的平移包括左右平移和上下平移，或者它们的综合。

偶尔会有坐标系的平移出现。

二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a 值不变。

顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

例题（1）求二次函数y ＝x 2图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位后的二次函数关系式。

（2）二次函数y ＝x 2－4x ＋3图象经过怎样平移得到二次函数y ＝x 2的函数图象。

（3）已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3，将坐标系沿y 轴方向向下平移2个单位，再沿x 轴方向向右平移3个单位后，图象所对应的关系式。

练习：1、（2010荆州）若把函数y ＝x 的图象用E （x ，x ）记，函数y ＝2x ＋1的图象用E （x ，2x ＋1）记，……则E （x ，x 2－2x ＋1）可以由E （x ，x 2）怎样平移得到（ ）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位2、将函数y ＝x 2＋x 的图象向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y ＝x 2－3x ＋2的图象，则a的值为__________。

初中数学教案二次函数的性质与变化初中数学教案：二次函数的性质与变化一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解二次函数的定义和基本形式；2. 掌握二次函数的性质，如定义域、值域、对称轴等；3. 理解二次函数图像的变化规律，如平移、拉伸和翻折等。

二、教学重点1. 二次函数的基本形式和性质；2. 二次函数图像的变化规律。

三、教学内容1. 二次函数的定义和基本形式二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

其中，a决定二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。

2. 二次函数的性质2.1 定义域和值域：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其定义域为全体实数R；- 当a > 0时，二次函数的值域为[f(c+Δ), +∞)，其中Δ = -(b^2 - 4ac)/(4a)；- 当a < 0时，二次函数的值域为(-∞, f(c+Δ)]，其中Δ = -(b^2 - 4ac)/(4a)。

2.2 对称轴：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴为x = -b/(2a)。

2.3 最值：- 当a > 0时，二次函数的最小值为f(c+Δ)，其中Δ = -(b^2 -4ac)/(4a)；- 当a < 0时，二次函数的最大值为f(c+Δ)，其中Δ = -(b^2 -4ac)/(4a)。

3. 二次函数图像的变化规律3.1 平移：将二次函数y = ax^2的图像沿x轴平移h个单位，得到y = a(x-h)^2的图像，其中h为平移量。

3.2 拉伸和压缩：将二次函数y = ax^2的图像沿y轴拉伸或压缩k倍，得到y = a(kx)^2的图像，其中k为拉伸或压缩倍数。

3.3 翻折：将二次函数y = ax^2的图像沿x轴或y轴翻折，得到y = -ax^2或y = a(-x)^2的图像。

四、教学步骤1. 导入活动通过展示一张二次函数图像，引出二次函数的概念，并提问学生对二次函数的认识。