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二项式定理中展开式系数的六种常见类型--学生版

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二项式定理中展开式系数的六种常见类型
一 、)()(*∈+N n b a n 型
例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ）
（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210
例2．8)1
(x x -展开式中5x 的系数为 。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型
例3．843)1()2(x
x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）
(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10
三 、
),()()(*∈++N m n d c b a m n 型 例5．72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。

例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）
（A ）14- （B ）14 （C ）28- （D ） 28
四 、)()(*∈++N n c b a n 型
例7．5)212(++x
x 的展开式中整理后的常数项为 .
五 、1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型
例8．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是 。

例9．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3
的项的系数是( )
(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121
六 、求展开式中若干项系数的和或差 例10．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈， 则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。

(用数字作答)
例11．423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2312420)()(a a a a a +-++的值为（ ）
(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2。

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二项式定理展开式公式系数

二项式定理展开式公式系数

二项式定理展开式公式系数如下：
二项式展开公式：(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，
n-1)ab^(n-1)+b^n。

二项展开式是依据二项式定理对（a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克·牛顿于1664-1665年
间提出，二项展开式是高考的一个重要考点。

在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数。

二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。

二项展开式的要点
1、项数：总共二项式展开有n+1项，通常通项公式写的是r+1项。

2、通项公式的第r+1项的二次项系数是Cnk，二次项系数不是项的系数。

3、如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项二次项系数最大。

如果是奇数，则最中间2项最大并且相等。

4、指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n。

第03讲 二项式定理 (精讲)(学生版)

第03讲 二项式定理 (精讲)(学生版)

0,1,2,
n ），(a n n a C b a 100+n n a C b 211+-
0,1,2,
n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,
n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：2C n n n +
+=C n
n +
+=（的展开式中各项的二项式系数之和为．
展开式中，含__________．n
的展开式中第项的二项式系数相等，
(n n a x n +
+1
2n
n na -++
的值200200a x +
+200a ++的值．2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知
20222022a x +
+2022a ++；5
2021a +；
22022a a ++；展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；332022a a ++88a x +
+
8a +
+；
2C n n n +
+=C n
n +
+=
D ．16
29292830C 2C +除以10所得
D ．8
1010
1010(1)8080k k k
C C +
+-+
+除
(n n a x ++255n a +
+=D ．。

二项式定理的常见题型及解法特全版

二项式定理的常见题型及解法特全版


Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3

1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
(完整版)二项式展开式系数的性质

(完整版)二项式展开式系数的性质


(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2