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高考数学回归课本教案：数列

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高考数学回归课本教案整理：卢立臻 第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。

其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。

若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。

定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞→定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为qa -11（由极限的定义可得）。

定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。

竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。

通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n .例2 已知数列{a n }满足a 1=21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1=21,又a 1+a 2=22·a 2, 所以a 2=231⨯，a 3=4311322⨯=-+1a a ,猜想)1(1+=n n a n (n ≥1).证明；1）当n =1时，a 1=121⨯，猜想正确。

2）假设当n ≤k 时猜想成立。

当n =k +1时，由归纳假设及题设，a 1+ a 1+…+a 1=[(k +1)2-1] a k +1,，所以)1(1231121+⨯++⨯+⨯k k =k (k +2)a k +1, 即1113121211+-++-+-k k =k (k +2)a k +1,所以1+k k =k (k +2)a k +1,所以a k +1=.)2)(1(1++k k 由数学归纳法可得猜想成立，所以.)1(1+=n n a n 例3 设0<a <1，数列{a n }满足a n =1+a , a n -1=a +na 1，求证：对任意n ∈N +,有a n >1.【证明】 证明更强的结论：1<a n ≤1+a . 1)当n =1时，1<a 1=1+a ，①式成立；2)假设n =k 时，①式成立，即1<a n ≤1+a ，则当n =k +1时，有.11111111121=++>+++=++≥+=>++a a a a a a a a a a a kk由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2．迭代法。

数列的通项a n 或前n 项和S n 中的n 通常是对任意n ∈N 成立，因此可将其中的n 换成n +1或n -1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{a n }满足a n +pa n -1+qa n -2=0, n ≥3，q ≠0，求证：存在常数c ，使得121+++n n pa a ·a n +.02=+n n cq qa 【证明】121+++n n pa a ·a n+1+221++=n n a qa (pa n +1+a n +2)+21+n qa =a n +2·(-qa n )+21+n qa =21221[)(+++=-n n n n a q a a a q +a n (pq n +1+qa n )]=q (2121n n n n qa a pa a ++++).若211222qa a pa a ++=0，则对任意n , n n n a pa a 121++++2n qa =0，取c =0即可.若211222qa a pa a ++≠0，则{n n n a pa a 121++++2nqa }是首项为211222qa a pa a ++，公式为q 的等比数列。

所以n n n a pa a 121++++2n qa =)(211222qaa pa a ++·q n . 取)(212122qa a pa a c ++-=·q1即可. 综上，结论成立。

例5 已知a 1=0, a n +1=5a n +1242+n a ，求证：a n 都是整数，n ∈N +. 【证明】 因为a 1=0, a 2=1，所以由题设知当n ≥1时a n +1>a n . 又由a n +1=5a n +1242+n a 移项、平方得.01102121=-+-++n n n n a a a a ①当n ≥2时，把①式中的n 换成n -1得01102112=-+---n n n n a a a a ，即 .01102121=-+-++n n n n a a a a ②因为a n -1<a n +1，所以①式和②式说明a n -1, a n +1是方程x 2-10a n x +2n a -1=0的两个不等根。

由韦达定理得a n +1+ a n -1=10a n (n ≥2).再由a 1=0, a 2=1及③式可知，当n ∈N +时，a n 都是整数。

3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

例6 已知a n =100241+n (n =1, 2, …)，求S 99=a 1+a 2+…+a 99.【解】 因为a n +a 100-n =100241+n +100100241+-n =10010010010010010021)44(2244422=++⨯++⨯--n n n n ， 所以S 99=.29929921)(21101100991100=⨯=+∑=-n n n a a例7 求和：43213211⨯⨯+⨯⨯=n S +…+.)2)(1(1++n n n【解】 一般地，)2)(1(22)2)(1(1++-+=++k k k kk k k k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=)2)(1(1)1(121k k k k ， 所以S n =∑=++nk k k k 1)2)(1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=)2)(1(1)1(143132132121121n n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)2)(1(12121n n .)2)(1(2141++-=n n 例8 已知数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n , S n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2的前n 项和，求证：S n <2。

【证明】 由递推公式可知，数列{a n }前几项为1，1，2，3，5，8，13。

因为nn n a S 228252322212165432+++++++= ， ① 所以1543222523222121++++++=n nn a S 。

② 由①-②得12222222121212121+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n nn n n a a S ， 所以122412121+--+=n n n n a S S 。

又因为S n -2<S n 且12+n na >0, 所以412121+<n S S n , 所以2141<n S ，所以S n <2，得证。

4．特征方程法。

例9 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=4n +1-4a n ，求a n . 【解】 由特征方程x 2=4x -4得x 1=x 2=2. 故设a n =(α+βn )·2n -1，其中⎩⎨⎧⨯+=+=2)2(63βαβα，所以α=3，β=0，所以a n =3·2n -1.例10 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=2a n +1+3a n ，求通项a n . 【解】 由特征方程x 2=2x +3得x 1=3, x 2=-1,所以a n =α·3n+β·(-1)n，其中⎩⎨⎧+=-=βαβα9633，解得α=43，β43-=，所以11)1(3[41++-+=n n n a ·3]。

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高中数学数列教案高三

高中数学数列教案高三

高中数学数列教案高三【教学目标】1. 熟练掌握数列的定义和常见数列的性质；2. 能够求解数列的通项公式和各种数列的前n项和；3. 能够运用数列知识解决实际问题。

【教学重点】1. 数列的定义和常见数列的性质；2. 求解数列的通项公式和前n项和。

【教学难点】1. 运用数列的性质解决实际问题；2. 掌握数列的发散和收敛性质。

【教学准备】1. 教师准备：准备好教学课件、教材、板书等；2. 学生准备：学生自备文具。

【教学过程】一、引入教师在板书上写出以下几个数列：1. 1，3，5，7，9，...2. 2，4，8，16，32，...3. 1，-1，1，-1，1，...让学生观察这几个数列，并思考它们之间的规律。

二、概念介绍1. 数列的定义：数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。

2. 常见数列的性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

三、数列的通项公式1. 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d2. 等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)3. 斐波那契数列的通项公式：an = F(n)四、数列的前n项和1. 等差数列的前n项和：Sn = n/2 * (a1 + an)2. 等比数列的前n项和：Sn = a1 * (q^n - 1)/(q - 1)五、实例分析教师给出一些实际问题，让学生运用所学数列知识进行解答。

【课堂检测】1. 1，4，7，10，...，求出第n项的值；2. 某等比数列的前3项分别是2，6，18，求出通项公式和第10项的值。

【作业布置】1. 完成课堂检测中的题目；2. 撰写一篇关于数列应用的小论文。

【教学反馈】教师对学生完成的作业进行检查，并对错误的地方进行指正。

【拓展延伸】学生可以自行搜索更多关于数列的知识，进行拓展学习。

以上为高中数学数列教案，希望对您有帮助。

高中数学教案详细数列教案设计

高中数学教案详细数列教案设计

高中数学教案详细数列教案设计
教学目标：
1. 掌握数列的基本概念和常用性质。

2. 能够根据题目要求找出数列的规律并求解问题。

3. 提高学生数学运算能力和逻辑思维能力。

教学重点：
1. 数列的定义和常用性质。

2. 数列的求和公式和通项公式。

教学难点：
1. 通过数列的一般项来求和。

2. 利用数列的概念解决实际问题。

教学过程：
一、导入新课（5分钟）
教师引导学生回顾之前学过的等差数列和等比数列的性质，通过简单的例题引入本节课的教学内容。

二、讲解数列的基本概念和常用性质（15分钟）
1. 定义：数列是按照一定的顺序排列的一组数字的集合。

2. 常用性质：等差数列和等比数列的性质，以及其他常见数列的性质。

三、讲解数列的通项公式和求和公式（15分钟）
1. 通项公式：数列的一般项的公式。

2. 求和公式：数列的前n项和的公式。

四、练习与巩固（15分钟）
教师给学生出一些练习题，让学生独立解答，并检查学生的答案。

学生也可以互相讨论，共同解决问题。

五、拓展与应用（10分钟）
教师给学生出一些拓展题目，让学生灵活运用数列的概念解决实际问题。

六、课堂总结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生需要重点复习的内容。

教学反思：
本节课主要是讲解数列的基本概念和常用性质，以及数列的通项公式和求和公式。

在教学过程中，要注重引导学生理解数列的概念和规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

同时，要注意巩固学生基础知识，并引导学生通过实际问题运用数列的知识。

文科数学回归教材 6数列

文科数学回归教材 6数列

新课标——回归教材数列1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集*N (或它的有限子集{1,2,3,,}n )的特殊函数数列的通项公式也就是相应函数的解析式.典例:1)已知*2()156n n a n N n =∈+,则在数列{}na 的最大项为125; 2)数列{}n a 的通项为(,)1n ana ab R bn +=∈+,则n a 与1n a +的大小关系为1n n a a +<;3)数列{}n a 的通项为2n a n n =+λ,若{}n a 递增,则实数λ的取值范围3>-λ;4)一给定函数()y f x =的图象在下列图中,并且对任意1(0,1)a ∈,由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足*1()n n a a n N +>∈,则该函数的图象是( A )A B C D 2.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法:①定义法*1(n n a a d d +∈-=为常数,n N ）、 ②等差中项法1111(2)2(2)n n n n n n n a a a a n a a a n +-+--=-≥⇔=+≥.典例:设{}n a 是等差数列,求证:以b n =12(*)na a a n N n+++∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列.(2)等差数列的通项:1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-.典例:1)等差数列{}n a 中,1030a =,2050a =,则通项n a =210n +;2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是833d <≤;(3)等差数列的前n 和:1()2n n n a a S +=,1(1)2n n n S na d -=+. 典例:1)数列 {}n a 中,11(2)2n n a a n -=+≥,32n a =,152n S =-,则1a -3 ,n = 10 ;2)已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-,求数列{||}n a 的前n 项和.n T （答:2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. (4)等差中项:若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且2a bA +=. 提醒:(1)等差数列的,n n a S 公式中,涉及到5个元素:1,,,,n n a d n a S 其中1,a d 称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2.(2)为减少运算量,要注意设元的技巧:如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）; 偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 3.等差数列的性质:(1)当公差0d ≠时,等差数列的①通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 所以, 1)若公差0d >,则{}n a 为递增等差数列;2)若公差0d <,则{}n a 为递减等差数列, 3)若公差0d =,则{}n a 为常数列.②前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 提醒:若2(0)n S an bn c c =++≠时,{}n a 不是等差数列,但从第二项起(含第二项)为等差数列. (3)当m n p q +=+时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.典例:1)等差数列{}n a 中,12318,3,1n n n n S a a a S --=++==,则n ＝ 27 ; 2)在等差数列{}n a 中,10110,0a a <>,且1110||a a >,n S 是其前n 项和,则( B ) A.1210,S S S 都小于0,1112,S S 都大于0 B.1219,S S S 都小于0,2021,S S 都大于0 C.125,S S S 都小于0,67,S S 都大于0 D.1220,S S S 都小于0,2122,S S 都大于0(4)若{}n a ,{}n b 是等差数列,则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列(注:其新公差与原数列的公差关系为:2d m d '=),而{}n a a 成等比数列;若{}n a 是等比数列,且0n a >,则{lg }n a 是等差数列.典例:等差数列的前n 项和为25,前2n 项和为100,则它的前3n 和为 225 ;(5)等差数列{}n a 中,项数为偶数2n 时,S S nd =偶奇－;项数为奇数21n -时,S S a -=奇偶中,21(21)n S n a -=-⋅中(这里a 中即n a );:(1):S S k k =+奇偶.典例:1)在等差数列中,S 11＝22,则6a ＝ 2 ;2)项数为奇数的等差数列{}n a 中,80,75S S ==奇偶,求此数列的中间项与项数(答:5;31).(6)若等差数列{}n a ,{}n b 的前n 和分别为n n A B 、,则2121(21)(21)n n n n n n a n a A b n b B ---==-. 典例:若{n a },{n b }是等差数列,它们前n 项和分别为n S ,n T ,若3143n n S n T n +=-,则n n a b =6287n n --.(7)等差数列{}n a 的前n 项和n S 的最值求法:法一(二次函数法):由21()22n d dS n a n =+-解析式结合二次函数图象求解;法二(通项比较法):具体操作如下①当0d <时,可求n S 的最大值;第一,若10a <时,显然max 1()n S S =;若10a >时,设前m 项和最大,则应满足10m m a a +>⎧⎨≤⎩;特别地,当10m a +=时,则max 1()n m m S S S +==;②当0d >时,可求n S 的最小值;第一,若10a >时,显然min 1()n S S =;若10a <时,设前m 项和最小,则应满足10m m a a +<⎧⎨≥⎩;特别地,当10m a +=时,则min 1()n m m S S S +==;典例:1)等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,则数列前 13 项和最大,最大值为 169 . 2)若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 4006 ; 4.等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法:①定义法1(n naq q a +=为常数）,其中0,0n q a ≠≠;②等比中项法11(2)n n n n a an a a +-=≥或211(2,0)n n n n a a a n a +-=⋅≥≠. 注:211(2,0)n n n n a a a n a +-=⋅≥≠是数列{}n a 等比的 必要不充分条件 .(想想为什么?)典例:1)一个等比数列{n a }共有21n +项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则1n a +为56; 2)数列{}n a 中,141(2)n n S a m -=+≥且1a =1,若12n n n b a a +=-,求证:数列{}n b 是等比数列.(2)等比数列的通项:11n n a a q -=或n m n m a a q -=.典例:数列{}n a 等比,166n a a +=,21128n a a -=,126n S =,求n 和公比q .(答:6n =,12q =或2) (3)等比数列的前n 和:当1q =时,1n S na =;当1q ≠时,11(1)11n n n a a qa q S q q--==--.典例:1)等比数列中,2q =,9977S =,求3699a a a +++（答:44）;2)已知{}n a 等比,其123,2,3S S S 成等差数列,则公比q =13. 特别提醒:等比数列前n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q 是否为1时,要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解.（4）等比中项:若,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等比中项.提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个典例:两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ,等比中项为B ,则A 与B 的大小关系为A B >.提醒:(1)等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、q 、n 、n a 及n S ,其中1a 、q 称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2;(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,22,,,,a aa aq aq q q…（公比为q ）;但偶数个数成等比时,不能设为…33,,,a aaq aq q q,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为2q .典例:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数.(答:15,,9,3,1或0,4,8,16) 5.等比数列的性质:(1)当m n p q +=+时,则有m n p q a a a a ⋅=⋅,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a ⋅=. 典例:1)在等比数列{}n a 中,3847124,512a a a a +==-,公比q 是整数,则10a = 512 ; 2)等比数列{}(0)n n a a >中,若569a a ⋅=,则3132310log log log a a a +++= 10 .(2)若{}n a 是等比数列,则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列;若{}{}n n a b 、成等比数列,则{}n n a b 、{}nna b 成等比数列; 若{}n a 是等比数列,且公比1q ≠-,则数列232,,n n n n n S S S S S -- ,…也是等比数列(其新公比与原数列公比之间关系式为m q q '=).注:当1q =-,且n 为偶数时,数列232,,n n n n n S S S S S -- ,…是常数数列0,它不是等比数列. 典例:1)已知0a >且1a ≠,设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈,且12x x +++100100x =,则101102200x x x +++=100100a ;2)在等比数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,若3010103013,140S S S S =+=,则20S 的值为 40 . (3)若10,1a q >>,则{}n a 为递增数列;若10,1a q <>,则{}n a 为递减数列;若10,01a q ><<,则{}n a 为递减数列;若10,01a q <<<,则{}n a 为递增数列; 若0q <,则{}n a 为摆动数列;若1q =,则{}n a 为常数列.(4)当1q ≠时,1111n n n a aS q aq b q q-=+=+--,这里0a b +=,但0,0a b ≠≠,这是等比数列前n 项和公式的一个特征,据此很容易根据n S ,判断数列{}n a 是否为等比数列.典例:1)若{}n a 是等比数列,且其前n 项和n S 满足:3n n S r =+,则r ＝ -1 .2)等比数列{}n a 前n 项和2,n n S a =+等差数列{}n b 前n 项和22,n T n n b =-+则a b += -1 . (5)m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.典例:1)设等比数列{}n a 的公比为q ,若12,,n n n S S S ++成等差数列,则q 的值 -2 .2)在等比数列{}n a 中,公比1q ≠,设前n 项和为n S .若2224246,()x S S y S S S =+=+,则,x y 的大小关系是( B )A. x y >B. x y =C. x y <D. 不确定(6)数列{}n a 等比,当项数为偶数2n 时,S qS =偶奇;项数为奇数21n -时,1S a qS =+奇偶. (7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列,那么数列{}n a 是非零常数数列. 提醒:故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件. 典例:设数列{}n a 的前n 项和为(N)n S n ∈,关于数列{}n a 有下列三个命题: ①若1(N)n n a a n +=∈,则{}n a 既是等差数列又是等比数列;②若()2R n S a n b n a b =+∈、,则{}n a 是等差数列; ③若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列.这些命题中,真命题的序号是 ②③ . 6.数列的通项求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.典例:已知数列11113,5,7,9,481632试写出其一个通项公式:11212n n a n +=++. ⑵已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a ,用作差法:11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.典例:1)已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+,求n a .（答:3(1)2(2)n n n a n =⎧=⎨≥⎩）;2)数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+,求n a .（答:114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩）⑶已知12()n a a a f n =求n a ,用作商法:(1)(1)()(2)(1)n f n a f n n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩. 典例:数列{}n a 中,11,a =对所有的2n ≥都有2123n a a a a n =,则35a a +=6116. ⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法:112211()()()(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥典例:已知数列{}na 满足11a =,1n n a a--=(2)n ≥,则n a 1.⑸已知1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法:121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥.典例:已知数列{}n a 中,12a =,前n 项和n S ,若2n n S n a =,求n a （答:4(1)n a n n =+）⑹已知递推关系求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)..(1)形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a .典例:1)已知111,32n n a a a -==+,求n a (答:1231n n a -=⨯-); 2)已知111,32n n n a a a -==+,求n a (答:11532n n n a -+=⨯-);(2)形如11n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项.典例:1)已知1111,31n n n a a a a --==+,求n a (答:132n a n =-);2)已知数列满足1a ,求n a (答:21n a n=) 注意:(1)用1n n n a S S -=-求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥,当1n =时,11a S =）;(2)一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时,常需运用关系式1n n n a S S -=-,先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式,然后再求解.典例:数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=,求n a (答:14(1)34(2)n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩)7.数列求和的常用方法:(1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式.③其它常用公式:1123(1)2n n n ++++=+;2135(21)n n ++++-=;21122221n n -++++=-.222112(1)(21)6n n n n +++=++,33332(1)123[]2n n n +++++=.典例:1)等比数列{}n a 的前n 项和21nn S =-,则2222123n a a a a ++++＝413n -;2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即”逢2进1”,如2(1101)表示二进制数,将它转换成十进制形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=,那么将二进制220051(11111)个转换成十进制数是200521-.(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.典例:求1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--（答:(1)n n -⋅）(3)并项法求和:将数列的每两项(或多项)并到一起后,再求和,这种方法常适用于摆动数列的求和.典例:求2224121234(1)n n S n -=-+-++-（答:1(1)(1)2n n n -+-⋅;先分奇偶性讨论） (4)倒序相加法:将一个数列倒过来排序,它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项易于求和.(这也是等差数列前n 和公式的推导方法).典例:已知22()1x f x x =+,则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝72(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 和公式的推导方法).典例:1)设{}n a 为等比数列,121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++,已知11T =,24T =.①求数列{}n a 的首项和公比;(答:11a =,2q =)②求数列{}n T 的通项公式.（答:122n n T n +=--）2)若2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-,数列{}n a 满足12,()n a f a =1()()()n n n a a g a n N ++=-⋅∈. ①求证:数列{1}n a -是等比数列;(答:略;)②令212()(1)(1)(1)n n h x a x a x a x =-+-++-,求函数()h x 在点83x =处的导数8()3h ',并比较8()3h '与22n n -的大小.(答:8()(1)213n h n '=-⋅+,当1n =时,8()3h '＝22n n -;当2n =时,8()3h '<22n n -;当3n ≥时,8()3h '>22n n -).(5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:①111(1)1n n n n =-++;②1111()()n n k k n n k=-++; ③2211111()(2)1211k k k k k <=-≥--+,211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--; ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++;⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++;⑥=<=. ⑦1112211(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n ---==-+⋅+++++典例:1)求和:1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+31nn +; 2)在数列{}n a 中,n a =,且S ｎ＝９,则n ＝ 99 ;(6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和.典例:1)求数列1×4,2×5,3×6,…,(3)n n ⨯+,…前n 项和n S =(1)(5)3n n n ++）;2)求和111112123123n ++++=+++++++21nn +. 8.“分期付款”、“森林木材”型应用问题(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. (2)利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金p 元,每期利率为r ,则n 期后本利和为:(1)(1)(12)(1)()2n n n S p r p r p nr p n r +=+++++=+.(等差数列问题);②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利率为r (按复利),那么每期等额还款x 元应满足:12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++(等比数列问题).典例:1)从2008年到2019年期间,甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄.若年利率为q 保持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期,到2019年6月1日,甲去银行不再存款,而是将每年所有的存款的本息全部取回,则取回的金额是( D )A.4(1)m q + B. 5(1)m q + C.4[(1)(1)]m q q q +-+ D.5[(1)(1)]m q q q+-+2)陈老师购买安居工程集资房272m ,单价为1000元/2m ,一次性国家财政补贴28800元,学校补贴14400元,余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款,即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时．．．．．．．所生的利息合计,应等于个人负担的购买房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和,每期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一次,再过一年又付款一次,等等,共付10次,10年后付清.如果按年利率7.5%,每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本金生息),那么每年付款多少元?(参考数据:910111.075 1.917,1.075 2.061,1.075 2.216≈≈≈)【解】由题知余款额为72000288001440028800--=元; 设每期(年)付款为x 元,依题意得,9891.075 1.075 1.07528800 1.075x x x x ⋅+⋅++⋅+=⨯所以101028800 1.0750.07541961.0751x ⨯⨯=≈-元.。

高中数学数列优秀教案

高中数学数列优秀教案

高中数学数列优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：掌握数列的概念及相关性质，能够求解数列的通项公式和前n项和。

2. 过程与方法：培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

3. 情感态度价值观：培养学生对数列的兴趣，增强学生的数学学习动力，激发学生对数学的热爱。

二、教学重难点1. 重点：数列的概念、等差数列和等比数列的性质、求解数列的通项公式和前n项和。

2. 难点：分析问题并找出解决问题的方法，形成自己的解题思路。

三、教学过程1. 导入（激活学生对数列的认知，引发学生的学习兴趣）教师通过提出一个简单的问题让学生思考：1, 3, 5, 7, …… 这组数字有什么规律？这组数字又是什么？引导学生进入数列的概念。

2. 学习（理解数列的概念及性质）教师讲解数列的概念和等差数列、等比数列的性质，引导学生理解数列通项公式和前n项和的概念。

3. 练习（掌握数列的求解方法）教师让学生进行一些练习，巩固数列的求解方法，并引导学生分析问题，找出解决问题的方法。

4. 深化（拓展数列的应用）教师通过举一些实际问题引导学生拓展数列的应用，如数列在日常生活中的运用等。

5. 归纳总结（总结数列的相关知识点）教师对本节课的内容进行总结，强调数列的重要性及应用。

四、作业布置1. 完成相关练习题，巩固数列的相关知识点。

2. 思考数列在日常生活中的应用，并写出一些例子。

五、教学反思本节课通过引导学生分析问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，激发学生对数学的兴趣，取得了良好的教学效果。

在后续的教学中，需要加强数列的应用，让学生更加深入地理解数列，并应用于实际生活中。