《高等工程数学》试题(2005年)

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]Ta 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R 2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：T T T T 1234=[1,0,0,0],=[0,1,0,0],=[0,0,1,0],=[0,0,0,1]αααα和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：11234205612927331336112923x 112190018101373926x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦－－－－－1＝－－27－－6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第I 卷一、选择题：1．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（ ） A ． I S I ∩（S 2∪S 3）= B ．S 1⊆（ I S 2∩ I S 3）C ． I S I ∩ I S 2 ∩ I S 3=D ．S 1⊆（ I S 2∪ I S 3）2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （ ）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π3．已知直线l 过点（－2，0），当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）A ．)22,22(-B ．)2,2(-C ．)42,42( D ．)81,81(-4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A ．32 B ．33C ．34 D ．23 5．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A ．23 B ．23 C ．26 D ．332 6．当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．4D ．347．设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使x x f 的0)(<取值范围是（ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a9．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||3,1x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23 C ．223 D ．210．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A ③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．②③ 11．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 12．复数=--ii 2123（ ）A ．iB ．i -C ．i -22D ．i +-22第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3．本卷共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则14．9)12(xx -的展开式中，常数项为 .（用数字作答）15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m= .16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形.②四边形BFD ′E 有可能是正方形.③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数)(),0)(2sin()(x f y x f =<<-+=ϕπϕπ图象的一条对称轴是直线.8π=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切.18．（本小题满分12分） 已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面 ABCD ，且PA=AD=DE=21AB=1，M 是PB 的中点. （1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角；（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小. 19．（本小题满分12分）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和S n >0（n=1，2，…）（1）求q 的取值范围； （2）设,2312++-=n n n a a b 记}{n b 的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小. 20．（本小题满分12分） 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01） 21．（本小题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.22．（本小题满分12分）（1）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （2）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ， 求证.log log log log 222323222121n p p p p p p p p n n -≥++++2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）证明：,2|)432cos(2||))432(sin(|||≤-='-='ππx x y所以曲线)(x f y =的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线025=+-c y x 的斜率为225>，所以直线025=+-c y x 与函数)432sin(π-=x y 的图像不相切. 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE.510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM ⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PBAC PB AC PB AC PB AC 所以故（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.).32arccos(.32||||),cos(.54,530||,530||--=⋅=∴-=⋅==故所求的二面角为BN AN BNAN BN AN BN AN BN AN19． 本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分. 解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,11>==na S q n 时),2,1(,011,01)1(,11 =>-->--=≠n qqq q a S q nn n 即时当上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n②解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-（Ⅱ）由得1223++-=n a n a a b .)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n).2)(21(-+=q q S n.,0,2,21;,0,0221;,0,2211,,001,0n n n n n n n n n n n n n S T S T q q S T S T q q S T S T q q q q S ==-=-=<<-≠<<->>->-<<-><<->即时或当即时且当即时或当所以或且又因为 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .87811=-3个坑都不需要补种的概率,670.0)87()81(303=⨯⨯ C恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C恰有2个坑需要补种的概率为,041.087)81(223=⨯⨯C3个坑都需要补种的概率为.002.0)87()81(0333=⨯⨯C补种费用ξ的分布为ξ的数学期望为75.3002.030041.020287.010670.00=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力，满分14分.（I ）解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a c x x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.22．本小题主要考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.（Ⅰ）解：对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f.2ln 12ln 1)1(log log 22-+--=x x ).1(log log 22x x --=于是.0)21(='f当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x <--='<时在区间)21,0(是减函数， 当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x >--='>时在区间)1,21(是增函数.所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.（ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p 满足， 则.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足 令.,,,,222211221xp q x pq x p q p p p x k k k ===+++= 则k q q q 221,,, 为正数，且.1221=+++k q q q由归纳假定知.log log log 222222121k q q p p p q k k -≥+++kk k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++,log )()log 22x x k x x +-≥+ ①同理，由x p p p k k k -=++++++1122212 可得1122212212log log ++++++k k k k p p p p).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥ ②综合①、②两式11222222121log log log +++++k k p p p p p p).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x即当1+=k n 时命题也成立.根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 证法二：令函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=],log )1(log )1(log [)(222c cxc x c x c x c x g +--+=利用（Ⅰ）知，当.)(,)2(21取得最小值函数时即x g cx c x == 对任意都有,0,021>>x x2log 22log log 21221222121x x x x x x x x ++⋅≥+ ]1)()[log (21221-++=x x x x . ① 下面用数学归纳法证明结论.（i ）当n=1时，由（I ）知命题成立.（ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p11111122212212222121221221222222121log log log log .1,,,,1.log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p p p k n k p p p p p p 令满足时当由①得到,1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H 因为由归纳法假设得到,)(log )()(log )(1111212221221221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++-- ).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k 即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立.。

2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国2文科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）（1）函数f(x)=|sin x+cos x|的最小正周期是(A)4π (B) 2π(C) π (D)2π 见理1(2)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点.那么，正方体的过P 、Q 、R 截面图形是(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形 见理2（3）函数y=x 2-1(x ≤0)的反函数是(A)y=1+x (x ≥-1) (B) y=-1+x (x ≥-1) (C) y=1+x (x ≥0) (D) y=-1+x (x ≥0)【思路点拨】本题考查反函数的求法.【正确解答】解法1：21y x x =-⇒=0x ≤得x =1y ≥-）所以反函数为1)y x =≥- 解法2：分析定义域和值域，用排除法.【解后反思】遇到反函数的选择题考查时，可根据互为反函数的性质，验证定义域和值域即可.（4）已知函数y=tan ωx 在(-2π,2π)内是减函数，则 （A ）0<ω≤1 (B)-1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤-1 见理4(5)抛物线x 2=4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【思路点拨】本题关键在于能由方程确定焦点坐标.【正确解答】抛物线的焦点为（0，1），A 点的横坐标为4±，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.【解后反思】对于抛物线22(0)y px p =>要理解它的一些重要几何性质：①p 的几何意义是焦点到准线的距离②焦点坐标是一次顶系数的14，只要概念清楚，本题易解. (6)双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 （A ）y=±32x (B)y=±x 94 (C)y=±23x (D)y=±49x 【思路点拨】本题直接考查双曲线渐近线方程的定义. 【正确解答】y=±23x. 【解后反思】不要与椭圆基本方程混淆，双曲线a,b 大小关系不确定，一般地22221x y a b -=的渐近线方程是22220x y a b -=即b y x a =±. (7)如果数列{}n a 是等差数列，则（A ）a 1+a 8<a 4+a 5 (B) a 1+a 8=a 4+a 5 （C ）a 1+a 8>a 4+a 5 (D) a 1a 8=a 4a 5 见理11(8)(x-2y)10的展开式中x 6y 4项的系数是（A ）840 （B ）-840 （C ）210 （D ）-210 【思路点拨】本题考查二项式定理和二项展开式的性质，正确记住其通项公式是解好本题的关键.【正确解答】由二项式公式可知，10()x 的展开式的一般项为1010()t tt C x -，当6t =时，x 6y 4项的系数为6410(210C =.【解后反思】求二项式展开式的某一项系数是指除字母以外的数，一般采用通项公式确定r.（9）己知点A （3，1），B （0，0），C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有→BC =λ→CE ，其中λ等于 （A ）2 （B ）21 （C ）-3 （D ）-31见理8（10）己知集合M={x|-4≤x ≤7},N={x|x 2-x-6>0},则M ∩N 为（A ）{x|-4≤x<-2或3<x ≤7} (B) {x|-4<x ≤-2或3≤x<7} (C) {x| x ≤-2或x>3} (D) {x| x<-2或x ≥3}【思路点拨】本题考查求不等式的解法和集合的运算，可利用数轴或文氏图进行集合的运算..【正确解答】{|47}M x x =-≤≤，{|23}N x x x =<->或，{|4237}M N x x x ∴=-≤<-<≤ 或.【解后反思】子集、补集、并集是集合的核心，是数学语言的充分体现，在解有关集合问题时，简化集合是上策，数形结合是良策.（11）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，-3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）.设开始时点P 的坐标为（-10,10）,则5秒后点P 的坐标为（A ）（-2，4） （B ）（-30，25） （C ）（10，-5） （D ）（5，-10） 见理10（12）△ABC 的顶点B 的平面α内，A 、C 在α的同一侧，AB 、BC 与α所成的角分别是30°和45°.若AB=3，BC=42，AC=5，则AC 与α所成的角为 （A ）60° （B ）45° （C ）30° （D ）15°【思路点拨】本题考查直线与平面所成角的概念和求法，考查空间想象能力，找出AC 在平面α内的射影是解决本题的关键.【正确解答】分别过点A 与点C 作平面α的射影，交点分别为D 、E ，过A 作AF CE ⊥于F ，则CAF ∠是所要求的夹角. 由题意知，3sin 302AD AB =⋅︒=，sin 454CE BC =⋅︒=，52CF CE AD =-=，因此1sin 2CF CAF AC ∠==，即30CAF ∠=︒. 【解后反思】思考2个问题：1.求△ABC 所在平面与平面α所成的二面角的大小； 2. A 、C 在α的两侧，如何求AC 与α所成的角. 二、填空题（4分⨯4= 16分）（13）在22738和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________________.【思路点拨】本题考查等比数列的基本概念和基础知识. 【正确解答】设插入三个数为2,,a aq aq ，则aq 是22738和的等比中项，且0aq >，即3827366()21832aq aq ==⇒=∴= 2（aq ），所以，插入的三个数的乘积为218.【解后反思】要熟悉等差（等比）中项的性质，恰当地设项便于问题的解决.一般地，等差数列的连续三项可设为,2,3a d a d a d +++或,,a d a a d -+，等比数列的连续三项可设为2,,a aq aq 或,,aa aq q. （14）圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为_________________. 见理13(15)在数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_________________ 个. 见理15（16）下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边的三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是_____________________.（写出所有真命题的编号） 见理15三．解答题(6小题，共74分)（17）（本小题满分12分） 己知α为第二象限的角，sin α=53，β为第一象限的角，cos β=135，求tan （2α-β）的值. 【思路点拨】本题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力，考查条件和结论的差异，消除差异，达到转化. 【正确解答】解法1：tan 2tan tan(2)1tan 2tan αβαβαβ--=+，α为第二象限的角，3sin 5α=，所以4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-.所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， β为第一象限的角，5cos 13β=，所以12sin 13β==，12tan 5β=.所以241220475tan(2)24122531(1)75αβ---==+-⨯. 解法2：α为第二象限的角，3sin 5α=，所以4cos 5α==-，β为第一象限的角，5cos 13β=，所以12sin 13β==故 24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos 21sin 25αα=-=，204sin(2)sin 2cos cos 2sin 325αβαβαβ-=-=-，253cos(2)cos 2cos sin 2sin 325αβαβαβ-=+=-.所以 sin(2)204tan(2)cos(2)253αβαβαβ--==-.【解后反思】①熟练掌握同角三角函数的基本关系，②在求同角三角函数值时三角函数的符号必须由已知角的范围来确定. （18）（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率； （Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率. （精确到0.001） 【思路点拨】见理19【正确解答】单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4. （1）记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则3()0.60.216P A ==，223()0.60.40.432P B C =⨯⨯=，所以，前三局比赛甲队领先的概率为()()0.648P A P B +=.（2）若本场比赛甲队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜所以，所求事件的概率为22230.40.60.40.138C ⨯⨯⨯=.【解后反思】 见理19（19）（本小题满分12分）已经知{a n }是各项为不同的正数的等差数列lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列.又b n =na 21,n=1,2,3,……. 证明{b n }为等比数列；（Ⅱ）如果数列{b n }前3项的和等于247，求数列{a n }的首项a 1和公差d.. 【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识以及运用这些知识的能力，第（Ⅰ）问中要利用等差、等比的转化关系，并将数列问题转化为首项、公差处理是常规方法. 【正确解答】（1）证明：124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，2142lg lg lg a a a ∴=+，即2214a a a =⋅，又设等差数列{}n a 的公差为d ，则2111()(3)a d a a d +=+， 这样 21d a d =，从而1()0d d a -=0d ≠ ，10d a ∴-=，12(21)2n n n a a d d =+-=，21112n n n b a d ==⋅. 这时，{}n b 是首项112b d =，公比为12的等比数列. （2）1221117(1)22424b b b d ++=++= ，3d ∴=，所以13a d == 【解后反思】在证明一个数列是等比数列时往往漏掉证明每一项为零，而导致出错；当项数较少求和时，可写这些所求的项，而不必用求和公式.（20）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E 、F 分 别为CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设AB=2BC ，求AC 与平面AEF 所成的角的大小. 见理20（21）（本小题满分12分）设α为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a.（Ⅰ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.【思路点拨】本题注意考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.【正确解答】（1）2()321f x x x '=--，若()0f x '=，则1,13x =- 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以()f x 的极大值是()327f a -=+，极小值是(1)1f a =-. （2）函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-.由此可知x 取足够大的正数时，有()0f x >，x 取足够小的负数时，有()0f x <，所以曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点.结合()f x 的单调性可知： 当()f x 的极大值5027a +<，即5(,)27a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点，它在(1,)+∞上；当()f x 的极小值10a ->时，即(1,)a ∈+∞上时，它的极大值也小于0，()y f x =与x 轴仅有一个交点，它在1(,)3-∞-上. 所以，当5(,)(1,)27a ∈-∞-+∞ 时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点. 【解后反思】1、求可导函数f(x)的极值的步骤:①求导函数()f x '，②求方程()0f x '=的根，③检验方程()0f x '=的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这一根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这一根处取得极小值.2、理解极值概念时要注意以下几点：①按定义极值的0x 是区间[],a b 内部的点，不会是端点；②若f(x)在(),a b 内有极值，那么f(x)在(),a b 绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值；③极值是一个函数在局部区域上的性质，极大值与极小值之间没有必然的大小关系，也就是说极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小④函数f(x) 在区间[],a b 上有极值的话，它的极值分布有规律，相邻两个极大值之间，必有一个极小值点，同样相邻两个极小值之间，必有一个极大值点，即f(x) 在区间[],a b 上的极小值点、极大值点是交替出现；⑤导数为零的点是该点成为极值点的必要不充分条件；⑥极值只能在函数不可导的点和导数为零的点取得.（22）（本小题满分14分）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆x 2+22y =1上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.己知→PF 与→FQ 共线，→MF 与→FN 共线，且→PF ²→MF =0.求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 见理22。

率
Pn
(k)

C
k n
P
k
(1

P)nk
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1．圆 (x 2)2 y 2 5 关于原点（0，0）对称的圆的方程为
）
A． (x 2)2 y 2 5
b2 4
2b
4

4
4
4 b2
(0 b 4) (b 4)
解：由题意可设 x=2cosα,y=bsinα,则 x2+2y=4cos2α+2bsinα=-4sin2α+2bsinα+4
=-2(sin2α-bsinα-2)=-2(sinα-
b
2
10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所
） A．5
B．7
解： x3 的项的系数为 Cn3 23 ,x 的项的系数为 Cn1 2 ,由题意得 Cn3 23 =8 Cn1 2 解之得 n=5,选(A)
一了
9．若动点 (x, y) 在曲线 x2 y 2 1(b 0) 上变化，则 x 2 2 y 的最大值为
）
A．
b2
C．

③存在直线 l ，直线 m ，使得 l // m ；
④存在异面直线 l、m，使得 l //,l // , m //, m // .
其中，可以判定 α 与 β 平行的条件有
A．1 个
解：命题①③是真命题,选(B)
B．2 个
8．若 (1 2x)n 展开式中含 x3 的项的系数等于含 x 的项的系数的 8 倍，则 n 等于 （