新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析概率统计大题、解析几何大题

绝密★启用前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是（ ）(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200C 的月份有5个 （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b <<（7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （ ） （A ）31010 （B ）1010 （C ）1010- （D ）31010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ） （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一,选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0},T={x|x＞0},则S∩T=（）A．[2,3]B．（﹣∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）2．（5分）若z=1+2i,则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（,）,=（,）,则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=,则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=,b=,c=,则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点,F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点．P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二,填空题：本大题共4小题,每小题5分.13．（5分）若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数,当x＜0时,f（x）=ln（﹣x）+3x,则曲线y=f（x）在点（1,﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=．三,解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.（2）若S5=,求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（℃）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明.（℃）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32,t i y i=40.17,=0.55,≈2.646．参考公式：相关系数r=.回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=,=﹣．19．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB.（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点．（℃）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ.（℃）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）,其中a＞0,记|f（x）|的最大值为A．（℃）求f′（x）.（℃）求A.（℃）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.（2）设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时,求不等式f（x）≤6的解集.（2）设函数g（x）=|2x﹣1|,当x∈R时,f（x）+g（x）≥3,求a的取值范围．参考答案一,选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0},T={x|x＞0},则S∩T=（）A．[2,3]B．（﹣∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想,4O：定义法,5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S,找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3,即S=（﹣∞,2]∪[3,+∞）.∵T=（0,+∞）.∴S∩T=（0,2]∪[3,+∞）.故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i,则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题,29：规律型,35：转化思想,5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则,化简求解即可．【解答】解：z=1+2i,则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．3．（5分）已知向量=（,）,=（,）,则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题,41：向量法,49：综合法,5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：,.∴.又0°≤∠ABC≤180°.∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算,根据向量坐标求向量长度的方法,以及向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围,已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合,4A：数学模型法,5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上,正确B．七月的平均温差大约在10°左右,一月的平均温差在5°左右,故七月的平均温差比一月的平均温差大,正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同,都为10°,正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,故D错误.故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用,根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图,利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=,则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题,35：转化思想,4R：转化法,56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α）,再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=.∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值,“弦”化“切”是关键,是基础题．6．（5分）已知a=,b=,c=,则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性,奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想,4R：转化法,51：函数的性质及应用．【分析】b==,c==,结合幂函数的单调性,可比较a,b,c,进而得到答案．【解答】解：∵a==.b=.c==.综上可得：b＜a＜c.故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性,幂函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档．7．（5分）执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题,27：图表型,4B：试验法,5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a,b,s,n的值,当s=20时满足条件s ＞16,退出循环,输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序,可得a=4,b=6,n=0,s=0执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=6,n=1不满足条件s＞16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=10,n=2不满足条件s＞16,执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=16,n=3不满足条件s＞16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=20,n=4满足条件s＞16,退出循环,输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的a,b,s的值是解题的关键,属于基础题．8．（5分）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想,44：数形结合法,58：解三角形．【分析】作出图形,令∠DAC=θ,依题意,可求得cosθ===,sinθ=,利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A,B,C,对应的边分别为a,b,c,AD⊥BC于D,令∠DAC=θ.∵在△ABC中,B=,BC边上的高AD=h=BC= a.∴BD=AD=a,CD= a.在Rt△ADC中,cosθ===,故sinθ=.∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中,作出图形,令∠DAC=θ,利用两角和的余弦求cosA是关键,也是亮点,属于中档题．9．（5分）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积,体积．【专题】11：计算题,5F：空间位置关系与距离,5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱,进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱.其底面面积为：3×6=18.侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18.故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱,棱锥,棱台的体积．【专题】11：计算题,5F：空间位置关系与距离,5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为,代入球的体积公式,可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC,AB=6,BC=8.∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2.又由AA1=3.故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为.此时V的最大值=.故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征,根据已知求出球的半径,是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点,F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点．P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想,48：分析法,5D：圆锥曲线的定义,性质与方程．【分析】由题意可得F,A,B的坐标,设出直线AE的方程为y=k（x+a）,分别令x=﹣c,x=0,可得M,E的坐标,再由中点坐标公式可得H的坐标,运用三点共线的条件：斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c,0）,A（﹣a,0）,B（a,0）.设直线AE的方程为y=k（x+a）.令x=﹣c,可得M（﹣c,k（a﹣c））,令x=0,可得E（0,ka）.设OE的中点为H,可得H（0,）.由B,H,M三点共线,可得k BH=k BM.即为=.化简可得=,即为a=3c.可得e==．另解：由△AMF∽△AEO.可得=.由△BOH∽△BFM.可得==.即有=即a=3c.可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的方程和性质,以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等,考查化简整理的运算能力,属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题,23：新定义,38：对应思想,4B：试验法．【分析】由新定义可得,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,当m=4时,数列中有四个0和四个1,然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,若m=4,说明数列有8项,满足条件的数列有：0,0,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,1,0,1,1,1, 0,0,0,1,1,0,1,1, 0,0,0,1,1,1,0,1, 0,0,1,0,0,1,1,1.0,0,1,0,1,0,1,1, 0,0,1,0,1,1,0,1, 0,0,1,1,0,1,0,1, 0,0,1,1,0,0,1,1, 0,1,0,0,0,1,1,1.0,1,0,0,1,0,1,1, 0,1,0,0,1,1,0,1, 0,1,0,1,0,0,1,1, 0,1,0,1,0,1,0,1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题,考查数列的应用,关键是对题意的理解,枚举时做到不重不漏,是压轴题．二,填空题：本大题共4小题,每小题5分.13．（5分）若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大.由得D（1,）.所以z=x+y的最大值为1+.故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划,一般步骤是：①画出平面区域,②分析目标函数,确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想,4R：转化法,57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）,则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）,依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣）,由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）,可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）,y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）.∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0）.令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣）.则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）.即φ=﹣2kπ（k∈Z）.当k=0时,正数φmin=.故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）的图象,得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键,也是难点,属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数,当x＜0时,f（x）=ln（﹣x）+3x,则曲线y=f（x）在点（1,﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想,51：函数的性质及应用,52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义,可得f（﹣x）=f（x）,即有x＞0时,f（x）=lnx﹣3x,求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数,可得f（﹣x）=f（x）.当x＜0时,f（x）=ln（﹣x）+3x,即有x＞0时,f（x）=lnx﹣3x,f′（x）=﹣3.可得f（1）=ln1﹣3=﹣3,f′（1）=1﹣3=﹣2.则曲线y=f（x）在点（1,﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1）.即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程,同时考查函数的奇偶性的定义和运用,考查运算能力,属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题,35：转化思想,49：综合法,5B：直线与圆．【分析】先求出m,可得直线l的倾斜角为30°,再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意,|AB|=2,∴圆心到直线的距离d=3.∴=3.∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°.∵过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查弦长的计算,考查学生的计算能力,比较基础．三,解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.（2）若S5=,求λ．【考点】87：等比数列的性质,8H：数列递推式．【专题】34：方程思想,4R：转化法,54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推,结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n,λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1.即（λ﹣1）a n=λa n﹣1.∵λ≠0,a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1.即=,（n≥2）.∴{a n}是等比数列,公比q=.当n=1时,S1=1+λa1=a1.即a1=.∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=.则若S5=1+λ[•（）4]=.即（）5=﹣1=﹣.则=﹣,得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用,根据n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（℃）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明.（℃）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32,t i y i=40.17,=0.55,≈2.646．参考公式：相关系数r=.回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=,=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题,35：转化思想,5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,将已知数据代入相关系数方程,可得答案.（2）根据已知中的数据,求出回归系数,可得回归方程,2016年对应的t值为9,代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,理由如下：∵r==≈≈≈0.993.∵0.993＞0.75.故y与t之间存在较强的正相关关系.（2）==≈≈0.103.=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92.∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92.2016年对应的t值为9.故=0.10×9+0.92=1.82.预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程,回归分析,计算量比较大,计算时要细心．19．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB.（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行,MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题,35：转化思想,44：数形结合法,5F：空间位置关系与距离,5G：空间角．【分析】（1）法一,取PB中点G,连接AG,NG,由三角形的中位线定理可得NG∥BC,且NG=,再由已知得AM∥BC,且AM=BC,得到NG∥AM,且NG=AM,说明四边形AMNG为平行四边形,可得NM∥AG,由线面平行的判定得到MN∥平面PAB.法二,证明MN∥平面PAB,转化为证明平面NEM∥平面PAB,在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME,由已知PA⊥底面ABCD,可得PA∥NE,通过求解直角三角形得到ME∥AB,由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB,则结论得证.（2）连接CM,证得CM⊥AD,进一步得到平面PNM⊥平面PAD,在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一,如图,取PB中点G,连接AG,NG.∵N为PC的中点.∴NG∥BC,且NG=.又AM=,BC=4,且AD∥BC.∴AM∥BC,且AM=BC.则NG∥AM,且NG=AM.∴四边形AMNG为平行四边形,则NM∥AG.∵AG⊂平面PAB,NM⊄平面PAB.∴MN∥平面PAB.法二.在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME.在△ABC中,由已知AB=AC=3,BC=4,得cos∠ACB=.∵AD∥BC.∴cos,则sin∠EAM=.在△EAM中.∵AM=,AE=.由余弦定理得：EM==.∴cos∠AEM=.而在△ABC中,cos∠BAC=.∴cos∠AEM=cos∠BAC,即∠AEM=∠BAC.∴AB∥EM,则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AC,又NE⊥AC.∴NE∥PA,则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E.∴平面NEM∥平面PAB,则MN∥平面PAB.（2）解：在△AMC中,由AM=2,AC=3,cos∠MAC=,得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2,则AM⊥MC.∵PA⊥底面ABCD,PA⊂平面PAD.∴平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD.∴CM⊥平面PAD,则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中,由N是PC的中点,得AN==.在Rt△PAM中,由PA•AM=PM•AF,得AF=.∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查直线与平面所成角的求法,考查数学转化思想方法,考查了空间想象能力和计算能力,是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点．（℃）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ.（℃）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程,K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题,35：转化思想,49：综合法,5D：圆锥曲线的定义,性质与方程．【分析】（℃）连接RF,PF,利用等角的余角相等,证明∠PRA=∠PQF,即可证明AR∥FQ.（℃）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求出N的坐标,利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（℃）证明：连接RF,PF.由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°.∴∠PFQ=90°.∵R是PQ的中点.∴RF=RP=RQ.∴△PAR≌△FAR.∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA.∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR.∴∠FQB=∠PAR.∴∠PRA=∠PQF.∴AR∥FQ．（℃）设A（x1,y1）,B（x2,y2）.F（,0）,准线为x=﹣.S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|.设直线AB与x轴交点为N.=|FN||y1﹣y2|.∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍.∴2|FN|=1,∴x N=1,即N（1,0）．设AB中点为M（x,y）,由得=2（x1﹣x2）.又=.∴=,即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查轨迹方程,考查学生的计算能力,属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）,其中a＞0,记|f（x）|的最大值为A．（℃）求f′（x）.（℃）求A.（℃）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论,35：转化思想,4J：换元法,51：函数的性质及应用,53：导数的综合应用,56：三角函数的求值．【分析】（℃）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）.（℃）讨论a的取值,利用分类讨论的思想方法,结合换元法,以及一元二次函数的最值的性质进行求解.（℃）由（I）,结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时,|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0）,因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时,f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1.令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1.则A是|g（t）|在[﹣1,1]上的最大值,g（﹣1）=a,g（1）=3a﹣2.且当t=时,g（t）取得极小值,极小值为g（）=﹣﹣1=﹣,（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1,得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时,g（t）在（﹣1,1）内无极值点,|g（﹣1）|=a,|g（1）|=2﹣3a,|g（﹣1）|＜|g（1）|.∴A=2﹣3a.②当＜a＜1时,由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0,得g（﹣1）＞g（1）＞g（）.又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0.∴A=|g（）|=.综上,A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|.当0＜a≤时,|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A.当＜a＜1时,A==++＞1.∴|f′（x）|≤1+a≤2A.当a≥1时,|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A.综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用,求函数的导数,以及换元法,转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强,难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想,49：综合法,5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA,PB,BC,设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,运用圆的性质和四点共圆的判断,可得E,C,D,F共圆,再由圆内接四边形的性质,即可得到所求∠PCD的度数.（2）运用圆的定义和E,C,D,F共圆,可得G为圆心,G在CD的中垂线上,即可得证．【解答】（1）解：连接PB,BC.设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3.∠PBA=∠4,∠PAB=∠5.由⊙O中的中点为P,可得∠4=∠5.在△EBC中,∠1=∠2+∠3.又∠D=∠3+∠4,∠2=∠5.即有∠2=∠4,则∠D=∠1.则四点E,C,D,F共圆.可得∠EFD+∠PCD=180°.由∠PFB=∠EFD=2∠PCD.即有3∠PCD=180°.可得∠PCD=60°.（2）证明：由C,D,E,F共圆.由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心,即有GC=GD.则G在CD的中垂线,又CD为圆G的弦.则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断,以及圆的垂径定理的运用,考查推理能力,属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.（2）设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程,QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想,48：分析法,5D：圆锥曲线的定义,性质与方程,5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系,即可得到C1的普通方程,运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及两角和的正弦公式,化简可得C2的直角坐标方程.（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα,sinα）,由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域,即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）.移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1.即有椭圆C1：+y2=1.曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2.即有ρ（sinθ+cosθ）=2.由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0.即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0.（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时.|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0.联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0.由直线与椭圆相切,可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0.解得t=±2.显然t=﹣2时,|PQ|取得最小值.即有|PQ|==.此时4x2﹣12x+9=0,解得x=.即为P（,）．另解：设P（cosα,sinα）.由P到直线的距离为d==.当sin（α+）=1时,|PQ|的最小值为.此时可取α=,即有P（,）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化,极坐标和直角坐标的互化,同时考查直线与椭圆的位置关系,主要是相切,考查化简整理的运算能力,属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时,求不等式f（x）≤6的解集.（2）设函数g（x）=|2x﹣1|,当x∈R时,f（x）+g（x）≥3,求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题,35：转化思想,49：综合法,59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时,由已知得|2x﹣2|+2≤6,由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,得|x﹣|+|x﹣|≥,由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时,f（x）=|2x﹣2|+2.∵f（x）≤6,∴|2x﹣2|+2≤6.|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2.∴﹣2≤x﹣1≤2.解得﹣1≤x≤3.∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|.∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3.2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3.|x﹣|+|x﹣|≥.当a≥3时,成立.当a＜3时,|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0.∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2.解得2≤a＜3.∴a的取值范围是[2,+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意不等式性质的合理运用．。

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅲ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150 分，考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合 S＝{x|（ x－2）（ x－3）≥0} ，T＝{ x| x>0} ，则 S∩T＝A.[2 ，3]B.（－∞，2]∪[3，＋∞ ）C.[3 ，＋∞）D.（0 ，2] ∪[3 ，＋∞）4i（ 2）若 z＝1＋ 2i，则＝zzˉ－1A.1B. －1C.iD.－i（3）已知向量 BA＝（21，22）， BC＝（23，21），则∠ ABC＝A.30°B.45 °C.60 °D.120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15°C，B 点表示四月的平均最低气温约为 5°C．下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在 0°C 以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均气温高于 20°C 的月份有 5 个 (7) 执行右面的程序框图，如果输入的 那么输出的 n ＝A.3B.4C.5D.664 48 A. B 2525. 16C.1 D.254216)已知 a ＝ 23， b ＝33， c ＝253，则 A.b <a<c B. a<b<c C.b<c<a D.c <a<b5）若 α＝4，则 cos 2α＋ a ＝π1 8）在△ ABC 中， B ＝4π，BC 边上的高等于 3BC ，则 cosA=10）在封闭的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为 V 的球，若 ABx 2 y211）已知O 为坐标原点，F 是椭圆 C: x2＋ y2 ＝1（ a>b>0）左焦点， a b A 、B 分别为 C 的左、右顶点， P 为 C 上一点，且 PF ⊥x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于 E ，若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（12）定义“规范 01数列”｛a n ｝如下，｛a n ｝共有 2m 项，其中 m 为 0， m 项为 1，且对任意 k ≤2m ，a 1，a 2，⋯a k 中 0的个数不少于 1的个数， 若 m ＝4，则不同的“规范 01 数A.3 10 10C.10 10D.3 10 101，粗实现画出的的是某多⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8， AA1＝3，则 V 的最大值是 A.4πB.9π2C. 6πD.32π 1 A.13 1 B.12 2 C. 32 3 D.34 9）如图，网格纸上小正方形的列”共有A.18 个B.16 个C.14 个D.12 个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分.x－y＋1≥0（13）若 x，y满足约束条件 x－2y≤0 ，则 z＝x＋y的最大值为x＋2y－2≤0（14）函数 y＝ sinx－ 3cosx 的图像可由函数 y＝sinx＋3cosx 图像至少向右平移___个单位长度得到。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{(,)|A x y x=，*y N∈，}y x，{(,)|8}B x y x y=+=，则A B中元素的个数为()A．2 B．3 C．4 D．62．复数113i-的虚部是()A．310-B．110-C．110D．3103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p，2p，3p，4p，且411iip==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．140.1p p==，230.4p p==B．140.4p p==，230.1p p==C．140.2p p==，230.3p p==D．140.3p p==，230.2p p==4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t的单位：天）的Logistic模型：0.23(53)()1tKI te--=+，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95I t K=时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为( )(193)ln≈A．60 B．63 C．66 D．695．设O为坐标原点，直线2x=与抛物线2:2(0)C y px p=>交于D，E两点，若OD OE⊥，则C的焦点坐标为()A．1(4，0)B．1(2，0)C．(1,0)D．(2,0)6．已知向量a，b满足||5a=，||6b=，6a b=-，则cos a<，(a b+>=) A．3135-B．1935-C．1735D．19357．在ABC∆中，2cos3C=，4AC=，3BC=，则cos(B=)A．19B．13C．12D．238．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．642+B．442+C．63+D．43+初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店11．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，．P 是C上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则(a = )A ．1B ．2C ．4D ．8 12．已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan (θ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．210．若直线l与曲线y =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为( )A ．21y x =+B ．122y x =+C ．112y x =+D ．1122y x =+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国卷Ⅲ高考理科数学试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则中元素的个数为 {(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N {(,)|8}B x y x y =+=A B A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．复数的虚部是 113i -A ． B ． C ．D ．310-110-1103103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对1234,,,p p p p 411i i p ==∑应样本的标准差最大的一组是 A ． B ． 14230.1,0.4p p p p ====14230.4,0.1p p p p ====C ．D ．14230.2,0.3p p p p ====14230.3,0.2p p p p ====4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t 的单位：天）的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊病()I t 0.23(53)()=1e t K I t --+例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为 *()0.95I t K =(ln193)≈A ．60B ．63C ．66D ．695．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：交于D ，E 两点，若，则C 的焦点坐22(0)y px p =>OD OE ⊥标为 A ．B ．C ．D ．1(,0)41(,0)2(1,0)(2,0)6．已知向量a ，b 满足，，，则 ||5=a ||6=b 6⋅=-a b cos ,=+a a b A ． B ． C ．D ．3135-1935-173519357．在△ABC 中，cos C =，AC =4，BC =3，则cos B = 23A ．B ．C ．D ．191312238．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B．C ．D ．9．已知2tan θ–tan(θ+)=7，则tan θ= π4A ．–2B ．–1C ．1D ．210．若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=都相切，则l 的方程为 15A ．y =2x +1B ．y =2x +C ．y =x +1 D ．y =x + 1212121211．设双曲线C ：（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P 是C 上一点，且22221x y a b-=F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ．1B ．2C ．4D ．812．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

.10 D.310 C.12020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A B中元素的个数为（）A.2【答案】C【解析】【分析】采用列举法列举出AB.3C.4B中元素的即可.D.6⎧y≥x【详解】由题意，A B中的元素满足⎨，且x,y∈N*，⎩x+y=8由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题2.复数11-3i的虚部是（）A.-310 B.-110【答案】D 【解析】【分析】【详解】因为 z = 1 3.在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p , p , p , p ，且 ∑ p = 1 ，则下面四种情形中，对应 ...利用复数的除法运算求出 z 即可.1 + 3i 1 3= = + i ，1 - 3i (1- 3i)(1+ 3i) 10 10 所以复数 z = 1 3的虚部为 .1 - 3i 10故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题41 2 3 4 ii =1样本的标准差最大的一组是（）A. p = p = 0.1, p = p = 0.41423C. p = p = 0.2, p = p = 0.31423B. p = p = 0.4, p = p = 0.11 42 3D. p = p = 0.3, p = p = 0.21 42 3【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组【详解】对于 A 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.1+ (2 + 3)⨯ 0.4 = 2.5 ，A方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.1+ (2 - 2.5)2 ⨯ 0.4 + (3 - 2.5)2 ⨯ 0.4 + (4 - 2.5)2 ⨯ 0.1 = 0.65 ； A对于 B 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.4 + (2 + 3)⨯ 0.1 = 2.5 ，B方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.4 + (2 - 2.5)2 ⨯ 0.1+ (3 - 2.5)2 ⨯ 0.1+ (4 - 2.5)2 ⨯ 0.4 = 1.85 ； B对于 C 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.2 + (2 + 3)⨯ 0.3 = 2.5 ，C方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.2 + (2 - 2.5)2 ⨯ 0.3 + (3 - 2.5)2 ⨯ 0.3 + (4 - 2.5)2 ⨯ 0.2 = 1.05 ； C对于 D 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.3 + (2 + 3)⨯ 0.2 = 2.5 ，D方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.3 + (2 - 2.5)2 ⨯ 0.2 + (3 - 2.5)2 ⨯ 0.2 + (4 - 2.5)2 ⨯ 0.3 = 1.45 .D因此，B 选项这一组 标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎1 + e -0.23(t -53) ，其中 K 为最大确诊病例数．当 ），所以 I t * = K ) = 0.95K ，则 e 0.23 t *-53 = 19 ， t t = ln19 ≈ 3 ，解得 t * ≈ .,0 ⎪ ⎭B. ,0 ⎪⎭C.(1,0)⎝ 4 ⎝ 2 4，所以 D (2,2 )，代入抛物线方程 4 = 4 p ，求得 p = 1 ，所以其焦点坐标为 ( ,0) ，累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： I (t )=KI( t * )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t * 约为（）（ln19≈3A. 60 【答案】C【解析】【分析】B. 63C. 66D. 69将 t = t * 代入函数 I (t ) =1 + eK ()【详解】I (t ) =K1 + e-0.23(t -53)( )1 + e -0.23( *-53( )所以， 0.23 (* - 53)30.23+ 53 ≈ 66 .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题 5.设 O 为坐标原点，直线 x = 2 与抛物线 C ： y 2 = 2 px( p > 0)焦点坐标为（）⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫A.【答案】B【解析】【分析】交于 D ， E 两点，若 O D ⊥ OE ，则 C 的D. (2,0)根据题中所给的条件 O D ⊥ OE ，结合抛物线的对称性，可知∠DOx = ∠EOx =π4，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得 p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线 x = 2 与抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 交于 E, D 两点，且 O D ⊥ OE ，根据抛物线的对称性可以确定 ∠DOx = ∠EOx =π12故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，35B.-35C.17D.19 ()(a+b)==193 D.22点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a，b满足|a|=5，|b|=6，a⋅b=-6，则cos a,a+b=（）A.-311935【答案】D【解析】【分析】计算出a⋅a+b、a+b的值，利用平面向量数量积可计算出c os<a,a+b>的值.【详解】a=5，b=6，a⋅b=-6，∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=52-6=19.a+b=2a2+2a⋅b+b2=25-2⨯6+36=7，因此，cos<a,a+b>=a⋅(a+b)a⋅a+b19=.5⨯735故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.△在ABC中，cosC=A.1923，AC=4，BC=3，则cosB=（）11B. C.23【答案】A【解析】【分析】AB+B C2-AC2根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据c osB=，即可求得答案.2AB⋅B C【详解】在ABC中，cos C=2，AC=4，BC=3 3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2-2A C⋅BC⋅cos CAB2=42+32-2⨯4⨯3⨯可得AB2=9，即AB=32 3..△S ABC=△S ADC=S由AB2+BC2-AC29+9-161cos B===2A B⋅BC2⨯3⨯391故cos B=.9故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：1△CDB=2⨯2⨯2=2根据勾股定理可得：AB=AD=DB=22∴△A DB是边长为22的等边三角形根据三角形面积公式可得：△S ADB =1.2 tan θ - tan θ + ⎪ = 7 ，∴ 2 tan θ - = 7 ，.B. y =2x +1 2C. y = 2D. y = ( )，则x> 0 ，2 x ，则直线 l 的斜率 k = 2 x1 3 AB ⋅ AD ⋅ s in 60︒ = (2 2) 2 ⋅ = 2 32 2 2∴ 该几何体的表面积是： 3 ⨯ 2 + 23 = 6 + 2 3 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知 2tan θ–tan(θ+A. –2π)=7，则 tan θ=（ ）4B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案【详解】⎛ π ⎫ t an θ + 1 ⎝ 4 ⎭ 1 - t an θ令 t = tan θ , t ≠ 1，则 2t -1 + t1 - t= 7 ，整理得 t 2 - 4t + 4 = 0 ，解得 t = 2 ，即 tan θ = 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题10.若直线 l 与曲线 y = x 和 x 2+y 2= 1 5都相切，则 l 的方程为（ ）A. y =2x +1 1x +1 1 1x + 2 2【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线 l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线 l 在曲线 y =x 上的切点为 x ,x0 0函数 y =x 的导数为 y ' =11 2 x，设直线 l 的方程为 y - x =1 (x - x )，即 x - 2x y + x = 0 ，0 0由于直线 l 与圆 x + y = 相切，则 ，5..= 5 ，∴ c = 5a ，根据双曲线的定义可得 PF - PF = 2a ， | ) + 2 PF1x 1 2 2 0 = 51 + 4 x 5 01两边平方并整理得 5x 2 - 4x -1 = 0 ，解得 x = 1 ， x = - （舍），0 0 0 0则直线 l 的方程为 x - 2 y + 1 = 0 ，即 y =1 1 x + .2 2故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题11.设双曲线 C ： x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 （a >0，b >0）的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 5 ．P 是 C 上一点，且F 1P ⊥F 2△P ．若 PF 1F 2 的面积为 4，则 a =（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案【详解】c a1 2△S PF 1F 2 = 12| PF | ⋅ PF = 4 ，即 | PF | ⋅ PF = 8 ，1 2 1 2F P ⊥ F P ，∴ PF |2 + PF12122= (2c )2 ，∴ ( PF - PF1221⋅ PF = 4c 2 ，即 a 2 - 5a 2 + 4 = 0 ，解得 a = 1 ，2故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知 55<84，134<85．设 a=log 53，b =log 85，c=log 138，则（）A. a <b <c 【答案】A【解析】【分析】B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b结合 55< 84 可得出b < 45 5 b c b ⎪ = ⎪ < 1 ，∴ a < b ； = = ⋅ < ⋅ ⎪ = b log 5 lg 5 lg 5 (lg 5) ⎝2 ⎭ ⎝ 2lg 5 ⎭ ⎝ lg 25 ⎭ 5 13.若 x ，y 满足约束条件 ⎨2 x - y ≥ 0，，则 z =3x +2y 的最大值为_________．由题意可得 a 、 、 ∈ (0,1) ，利用作商法以及基本不等式可得出 a 、的大小关系，由 b = log 5 ，得 8b = 5 ， 84，由 c = log 8 ，得13c = 8 ，结合134 < 85 ，可得出 c > ，综合可得出 a 、 b 、13c 的大小关系.【详 解 】 由 题 意可 知 a、b 、c ∈ (0,1) ，a log 3 lg 3 lg8 1 ⎛ lg 3 + lg8 ⎫2⎛ lg 3 + lg8 ⎫2 ⎛ lg 24 ⎫25 2 84由 b = log 5 ，得 8b = 5 ，由 55 < 84 ，得 85b < 84 ，∴ 5b < 4 ，可得 b < ；8由 c = log 13 8 ，得13c = 8 ，由134 < 85 ，得134 < 135c ，∴ 5c > 4 ，可得 c > 4 5.综上所述， a < b < c .故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.⎧ x + y ≥ 0, ⎪⎪ ⎩x ≤ 1,【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为 z = 3x + 2 y ，所以 y = - 3x z z+ ，易知截距 越大，则 z 越大，2 2 23x 3x z平移直线 y =- ，当 y =-+ 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大， 2 2 2⎧ y = 2 x ⎧ x = 1由 ⎨ ，得 ⎨ ， A(1,2) ，⎩ x = 1 ⎩ y = 2所以 zmax = 3 ⨯ 1 + 2 ⨯ 2 = 7 .⎛ 2 写出 x + ⎪ 二项式展开通项，即可求得常数项.⎛ 2 2 ⎫6x + ⎪ 6-r⎛ ⎪⎛ 2 x + ⎪ 的展开式中常数项是： C 64 ⋅ 24 = C 62 ⋅16 = 15 ⨯16 = 240 .故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.2 14. (x 2 + )6 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．x【答案】 240【解析】【分析】2 ⎫6⎝x ⎭【详解】⎝ x ⎭其二项式展开通项：T r +1= C r 6⋅ (x 2 ) ⋅ 2 ⎫r ⎝ x ⎭= C r ⋅ x 12-2r (2) r ⋅ x -r6= C r (2) r ⋅ x 12-3r6当12 - 3r = 0 ，解得 r = 4∴ 2 ⎫6⎝ x ⎭故答案为： 240 .【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握(a + b )n 的展开通项公式 Tr +1= C r a n -r b r ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.n.△S ABC=△AOC=⨯AB⨯r+⨯BC⨯r+⨯AC⨯r=⨯(3+3+2)⨯r=22，15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23π【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC=2,AB=AC=3，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM=32-12=22，故设内切圆半径为r，则：12⨯2⨯22=22，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S11122212解得：r242，其体积：V=πr3=π.233故答案为：23π.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f（x）=sin x+1sin x①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．有如下四个命题：【详解】对于命题①，f ⎛π⎫1⎛π⎫f -=+2=，⎝6⎭2⎝6⎭2f -⎪≠f ⎪，f(-x)=sin(-x)+1=-sin x-=- sin x+⎪=-f(x)，⎝2⎭⎝2⎭sin⎛π-x⎫f -x⎪=sin -x⎪+=cos x+⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭sin⎛π+x⎫f +x⎪=sin +x⎪+=cos x+⎝2⎭f -x⎪=f +x⎪，.③f（x）的图像关于直线x=π2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取-π<x<0可判断命题④的正误.综合可得出结论.⎪⎪15=--2=-，则22⎛π⎫⎛π⎫⎝6⎭⎝6⎭所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，1⎛1⎫sin(-x)sin x⎝sin x⎭所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，⎛π⎫⎛π⎫11cos x，⎪⎛π⎫⎛π⎫11cos x，则⎪⎛π⎫⎛π⎫⎝2⎭⎝2⎭所以，函数f(x)的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；对于命题④，当-π<x<0时，sin x<0，则f(x)=sin x+1sin x<0<2，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.（ .17.设数列{a n }满足 a 1=3， a n +1 = 3a n - 4n ．（1）计算 a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前 n 项和 S n ．【答案】 1） a 2 = 5 ， a 3 = 7 ， a n = 2n + 1，证明见解析；（2） S n = (2n - 1)⋅ 2n +1 + 2 .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出 a , a ，猜想得出{a23n}的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得 a 2 = 3a 1 - 4 = 9 - 4 = 5 ， a 3 = 3a 2 - 8 = 15 - 8 = 7 ，由数列 {a n}的前三项可猜想数列{a }是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 a nn= 2n + 1，证明如下：当 n = 1 时， a 1 = 3 成立；假设 n = k 时， a k = 2k + 1 成立.那么 n = k +1 时， a k +1 = 3a k - 4k = 3(2k + 1) - 4k = 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 也成立.则对任意的 n ∈ N * ，都有 a n = 2n + 1成立；（2）由（1）可知， a ⋅ 2n = (2n + 1)⋅ 2nnS = 3 ⨯ 2 + 5 ⨯ 22 + 7 ⨯ 23 +n2S = 3 ⨯ 22 + 5 ⨯ 23 + 7 ⨯ 24 +n+ (2n - 1)⋅ 2n -1 + (2n + 1)⋅ 2n ，①+ (2n - 1)⋅ 2n + (2n + 1)⋅ 2n +1 ，②由① - ②得： -S = 6 + 2 ⨯ (22 + 23 +n+ 2n )- (2n + 1)⋅ 2n +1= 6 + 2 ⨯ 22⨯ (1 - 2n -1)1 - 2- (2n + 1)⋅ 2n +1= (1- 2n) ⋅ 2n +1 - 2 ，即 S = (2n - 1)⋅ 2n +1 + 2 .n【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题18.某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：高考数学；（ （锻炼人次 [0，200] (200，400] (400，600]空气质量等级1（优） 2（良）3（轻度污染）4（中度污染）2567 161072 25128（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好n(ad - b c)2附： K 2 = ，(a + b )(c + d )(a + c)(b + d )P(K 2≥k)k0.0503.841 0.0106.635 0.00110.828【答案】 1）该市一天的空气质量等级分别为1、2 、3 、4 的概率分别为 0.43 、 0.27 、 0.21、 0.09 ；（2）350 ； 3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率；概率为 5 + 10 + 12 .（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；（3）根据表格中的数据完善 2 ⨯ 2 列联表，计算出 K 2的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1 的概率为 2 + 16 + 25= 0.43 ，等级为 2 的1006 +7 +8 7 + 2 + 0= 0.27 ，等级为 3 的概率为 = 0.21 ，等级为 4 的概率为 = 0.09 ；100 100 100100 ⨯ 20 + 300 ⨯ 35 + 500 ⨯ 45（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100（3） 2 ⨯ 2 列联表如下：人次 ≤ 400人次 > 400= 350空气质量不好空气质量好3322 378100 ⨯ (33⨯ 8 - 37 ⨯ 22)2K 2 =≈ 5.820 > 3.841 ，55 ⨯ 45 ⨯ 70 ⨯ 30因此，有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E, F 分别在棱 DD 1, BB 1 上，且 2DE = ED 1 ， BF = 2FB 1 ．（1）证明：点 C 1 在平面 AEF 内；（2）若 AB = 2 ， AD = 1 ， AA 1 = 3 ，求二面角 A - EF - A 1 的正弦值．（2的C G=CG，BF=2FB，∴CG=CC=BB=BF且CG=BF，233【答案】1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接C1E、C1F，证明出四边形AEC1F为平行四边形，进而可证得点C1在平面AEF内；（2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C1-xyz，利用空间向量法可计算出二面角A-EF-A1余弦值，进而可求得二面角A-EF-A的正弦值.11【详解】（1）在棱CC上取点G，使得C G=CG，连接DG、FG、C E、C F，1111在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC且AD=BC，BB1//CC1且BB1=CC1，1221111所以，四边形BCGF为平行四边形，则AF//DG且AF=DG，同理可证四边形DEC1G为平行四边形，∴C1E//DG且C1E=DG，∴C E//AF且C E=AF，则四边形AEC F为平行四边形，111因此，点C1在平面AEF内；（2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系C1-xyz，由 ⎨ ，得 ⎨ 取 z = -1，得 x = y = 1 ，则 m = (1,1,-1)，⎩-2 x 1 - 2 z 1 = 0 ⎪⎩m ⋅ AF = 0 ⎪由 ⎨，得 ⎨ ⎪ m ⋅ n =7，因此，二面角 A - EF - A 1 的正弦值为 42 20.已知椭圆 C : ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点．则 A (2,1,3 )、 A (2,1,0 )、 E (2,0,2 )、 F (0,1,1)，1AE = (0, -1, -1) ， AF = (-2,0, -2)， A E = (0, -1,2 ) ， A F = (-2,0,1)，1 1设平面 AEF 的法向量为 m = (x , y , z 111) ，⎧m ⋅ AE = 0 ⎧- y - z = 0 1 1 11 1设平面 A 1EF 的法向量为 n = (x 2 , y 2 , z2) ， ⎧n ⋅ A E = 0 ⎧- y + 2z = 01 2 2⎪⎩n ⋅ A 1F = 0⎩-2x 2 + z 2 = 0 ，取 z 2 = 2 ，得 x 2 = 1 ， y 2 = 4 ，则 n = (1,4,2 )，cos < m , n >= m ⋅ n3 7=3 ⨯ 21设二面角 A - EF - A 1 的平面角为θ ，则 cos θ =.77 42，∴ s in θ = 1 - cos 2θ =7 7. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能 力，属于中等题.x 2 y 2 15+ = 1(0 < m < 5) 的离心率为高考数学+ = 1(0 < m < 5) ，可得 a = 5 ， b = m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（ （ 根据离心率 e = = 1 - ⎪ = 1 - ⎪ = ， ⎝ 4 ⎭（1）求 C 的方程；（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且 | BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，求 APQ 的面积．【答案】 1） 【解析】【分析】（1）因为 C : x 2 16 y 2 5+ = 1 ； 2） . 25 25 2x 2 y 225 m 2（2）点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且| BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为 M ，设x = 6 与 x 轴交点为 N ，可得 △PMB ≥? BNQ ，可求得 P 点坐标，求出直线 AQ直线距离公式和两点距离公式，即可求得 APQ 的面积. 直线方程，根据点到的【详解】（1）x 2 y 2C : + = 1(0 < m < 5)25 m 2∴ a = 5 ， b = m ，c ⎛ b ⎫2 ⎛ m ⎫215 a ⎝ a ⎭ ⎝ 5 ⎭4 解得 m =5 5或 m =- (舍)，4 4x 2 y 2+ = 1∴ C 的方程为： 25 ⎛ 5 ⎫2 ， ⎪x 2 16 y 2即 + = 1 ；25 25（2）不妨设 P , Q 在 x 轴上方点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且 | BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为 M ，设 x = 6 与 x 轴交点为 N根据题意画出图形，如图可得 P 点纵坐标为 y = 1 ，将其代入 + = 1 ，25 25| BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ， ∠PMB = ∠QNB = 90︒ ，又∠PBM + ∠QBN = 90︒ ， ∠BQN + ∠QBN = 90︒ ，∴ ∠PBM = ∠BQN ，根据三角形全等条件“ AAS ”，可得： △PMB ≥?BNQ ，x 2 16 y 2+ = 1 ， 25 25∴ B(5,0) ，∴ PM = BN = 6 - 5 = 1 ，设 P 点为 ( x P , y P ) ，x 2 16 y 2Px 2 16可得： P + = 1，25 25解得： x P = 3 或 x P = -3 ，∴ P 点为 (3,1)或 (-3,1) ，①当 P 点为 (3,1)时， 故 MB = 5 - 3 = 2 ，△PMB ≥? BNQ ，∴ | MB |=| NQ |= 2 ，22+112=可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图A(-5,0),Q(6,2)，可求得直线AQ的直线方程为：2x-11y+10=0，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=2⨯3-11⨯1+10根据两点间距离公式可得：AQ=(6+5)2+(2-0)2=55，APQ面积为：1⨯55⨯5=5；∴2525125=55，②当P点为(-3,1)时，故MB=5+3=8，△PMB≥?BNQ，∴|MB|=|NQ|=8，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图A(-5,0),Q(6,8)，高考数学根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为： d = 8 ⨯ (-3)- 11⨯1 + 40 .（ 1 1 f ' ( ) = 0，即 3⨯ ⎛ ⎫⎪ + b = 0可求得直线 AQ 的直线方程为： 8x -11y + 40 = 0 ，根据两点间距离公式可得： AQ =(6 + 5)2 + (8 - 0 )282 + 112== 185 ，5 185 = 5185 ，1 5 5∴ APQ 面积为： ⨯ 185 ⨯= ， 2 185 2综上所述， APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题21.设函数 f ( x ) = x 3 + bx + c ，曲线 y = f ( x ) 在点(1 1，f( ))处的切线与 y 轴垂直． 2 2（1）求 b ．（2）若 f ( x ) 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f ( x ) 所有零点的绝对值都不大于 1．【答案】 1） b = -3 4；（2）证明见解析【解析】【分析】1（1）利用导数的几何意义得到 f ' ( ) = 0 ，解方程即可；2 （2）由（1）可得 f ' ( x ) = 3x 2 -3 1 1 1= 2( x + )( x - ) ，易知 f ( x ) 在 (- , ) 上单调递减，在 (-∞, - ) ，4 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( , +∞) 上单调递增，且 f (-1) = c - , f (- ) = c + , f ( ) = c - , f (1) = c + ，采用反证法，推出 2 4 2 4 2 4 4矛盾即可.【详解】（1）因为 f ' ( x ) = 3x 2 + b ，由题意， 1 1 2 2 ⎝ 2 ⎭3则 b =- ；4（2）由（1）可得 f ( x ) = x 3- 3x + c ，43 1 1f ' ( x ) = 3x 2 - = 3(x + )( x - ) ，4 2 22令 f '( x ) > 0 ，得 x > 1 1 1 1或 x <- ；令 f ' ( x ) < 0 ，得 - < x < ，2 2 2 21 1 11 所以 f ( x ) 在 (- , ) 上单调递减，在 (-∞, - ) ， ( , +∞) 上单调递增，2 2 21 1 1 1 1 1且 f (-1) = c - , f (- ) = c + , f ( ) = c - , f (1) = c + ，4 2 4 2 4 4若 f ( x ) 所有零点中存在一个绝对值大于 1零点 x ，则 f (-1) > 0 或 f (1) < 0 ，即 c > 1 1或 c < - .4 4的1 1 1 1 1 1 1当 c > 时， f (-1) = c - > 0, f (- ) = c + > 0, f ( ) = c - > 0, f (1) = c + > 0 ，4 4 2 4 2 4 4又 f (-4c) = -64c 3 + 3c + c = 4c(1- 16c 2 ) < 0 ，由零点存在性定理知 f ( x ) 在 (-4c, -1) 上存在唯一一个零点 x ，即 f ( x ) 在 (-∞, -1) 上存在唯一一个零点，在 (-1,+∞) 上不存在零点，此时 f ( x ) 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；1 1 1 1 1 1 1当 c < - 时， f (-1) = c - < 0, f (- ) = c + < 0, f ( ) = c - < 0, f (1) = c + < 0 ，4 4 2 4 2 4 4又 f (-4c) = 64c 3 + 3c + c = 4c(1 - 16c 2 ) > 0 ，由零点存在性定理知 f ( x ) 在 (1,-4c) 上存在唯一一个零点 x ' ，即 f ( x ) 在 (1, +∞) 上存在唯一一个零点，在 (-∞,1) 上不存在零点， 此时 f ( x ) 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；综上， f ( x ) 所有零点的绝对值都不大于 1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）⎧ x = 2 - t - t 222.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨（t 为参数且 t ≠1），C 与坐标轴交于 A 、B 两 ⎩ y = 2 - 3t + t 2点．（1）求 | AB | ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（0 - ( 0 .3 （ max{a, b , c } = a ，由题意得出 a > 0,b , c < 0 ，由 a 3 = a 2 ⋅ a = b + c【答案】 1） 4 10 （2）3ρ cos θ - ρ sin θ + 12 = 0【解析】【分析】（1）由参数方程得出 A, B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 AB 的值；（2）由 A, B 的坐标得出直线 AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令 x = 0 ，则 t 2 + t - 2 = 0 ，解得 t = -2 或 t =1（舍），则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A(0,12) . 令 y = 0 ，则 t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得 t = 2 或 t =1（舍），则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B(-4,0) .∴ AB = (0 + 4)2 + (12 - 0)2 = 4 10 ；（2）由（1）可知 k AB = 12 - 4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即 3x - y + 12 = 0 .由 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ 可得，直线 AB 的极坐标方程为 3ρ cos θ - ρ sin θ + 12 = 0 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题 [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）23.设 a ，b ，c ∈ R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用 max{a ，b ，c }表示 a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥ 4 ． 【答案】 1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由 (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设( bc)2 b 2 + c 2 + 2bc =bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）(a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 ，∴ a b + bc + ca = - 1 (a 2 + b 2 + c 2 ) 21(b + c )2b 2 +c 2 + 2bc2bc + 2bca = -b - c, a = ，∴ a 3 = a 2 ⋅ a ==≥= 4 .bc .abc = 1,∴ a, b , c 均不为 0 ，则 a 2 + b 2 + c 2 > 0 ，∴ a b + bc + ca = - 1 (a 2 + b 2 + c 2 )< 0 ； 2（2）不妨设 max{a, b , c } = a ，由 a + b + c = 0, a bc = 1可知， a > 0, b < 0, c < 0 ，bcbcbc当且仅当 b = c 时，取等号，∴ a ≥ 3 4 ，即 max{a, b , c } 3 4 .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题。

2020年高考数学（全国卷3·理），题目和答案都在这里了2020年高考数学（全国卷3·理）题目,你觉得是简单还是困难？先来看看实体结构:试题结构（模块与题号的对应）：集合：1复数：2线性规划：13二项式定理:14三视图：8向量：6数列：17函数：4、12、21三角函数：7、9、16立体几何：15、19解析几何：5、10、11、20概率与统计：3、18坐标系与参数方程：22不等式：23难度分析：小题：仍然以基础考察为主：第1-9题，13/14题为简单型。

稍微有些基础的同学都能得分。

（其中第4题属于数学应用，考察对数的运算）第10题，第15、16题为中等难度题目。

而相对较难的是第11-12题。

大题：17-18题简单题，19中等难度，20-21压轴、但第一问相对简单。

22-23题常规题目总体来说，试题难度适中，整体仍以基础考察为主，最后的着力点是数学核心素养及数学能力的考察.高清版试题私信作者领取，选择、填空答案如下：以上试卷根据网络资料整理，试题/答案不敢确保无误，请以官方公布答案为准。

【仅作为学习交流参考使用.】高三的孩子们，不管今年的题目难还是简单，发挥得好还是差，一切都已过去。

考完试后，应该考虑的是自己如何走好以后的每一步。

人生贵在无悔、精彩无处不在。

加油！高二的孩子们，明年的这个时候，就要轮到你们上场了，每一年的题目、题型很难猜透，题型与刷题固然重要，但也要注重自我“能力”的提高。

只有这样，才能在高考中立于不败之地。

加油！。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（III 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．（集合）已知集合{(,)|,,}=∈≥*N A x y x y y x ，{(,)|8}=+=B x y x y ，则AB中元素的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】∵{(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)}=A B ，∴A ∩B 中元素的个数为4. 【答案】C 2．（复数）复数113-i的虚部是 A ．310-B ．110-C ．110D ．310【解析】()1131313(13)1310++==--+i ii i i ，故选选项D . 【答案】D3．（概率统计）在一组样本数据中，1、2、3、4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411==∑i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A ．14230.1,0.4====p p p pB ．14230.4,0.1====p p p pC ．14230.2,0.3====p p p pD ．14230.3,0.2====p p p p【解析】针对四个选项，均有14=p p ，23=p p ，因此41212()1==+=∑i i p p p ，得120.5+=p p ，所以1234122345() 2.5=+++=+=x p p p p p p ，即四个选项的平均值均为 2.5. 根据标准差的数学意义可知，与平均值距离大的数据的频率越高，则标准差越大. 比较四个选项，B 选项中1和4的频率最高，因此可以推断B 选项的标准差最大.【答案】B4．（函数，同文4）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1--=+t I K t e ，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95=I t K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【解析】**0.23(53)()0.951--==+t K I t K e，化简得*0.23(53)19-=te ，两边取对数得，*0.23(53)In19-=t ，解得*In1935353660.230.23=+=+≈t . 【答案】C5．（解析几何，同文7）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220=>y px p 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)【解析】解法一：如图A7所示，由题意可知，(2,2)D p ，(2,2)-E p ，(2,2)=OD p ，(2,2)=-OE p ，⊥OD ⊥OE ，⊥⊥OD OE ， 即22220⨯-=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2.图A5解法二：4=DE p 44==+OD OE p⊥OD ⊥OE ，⊥222+=OD OE DE ，即2(44)16+=p p ，解得1=p ，⊥C的焦点坐标为1(,0)2. 【答案】B6．（平面向量）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b + A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】2()19⋅+=+⋅=a a b a a b ，2227+=+⋅+=a b a a b b ，所以()1919cos ,=5735⋅++==⨯⋅+a a b a a b a a b. 【答案】D7．（三角函数，类文11）在⊥ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A ．19B ．13C ．12D ．23【解析】由余弦定理得，2222cos 9=+-⋅⋅=AB AC BC AC BC C ，即3=AB ，∴22299161cos 22339+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC . 【答案】A8．（立体几何，同文9）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【解析】由三视图可知，该几何体为一个四面体，如图A8所示. 其表面积(2332226234=⨯+⨯=+S图A8【答案】C9．（三角函数）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．2【解析】1tan 2tan tan()2tan 741tan πθθθθθ+-+=-=-，化简得2tan 4tan 40θθ-+=， 解得tan 2θ=.【答案】D10．（解析几何）若直线l 与曲线=y x 和2215+=x y 都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【解析】解法一（待定系数法）：设l 的方程为=+y kx b ，直线l 与圆2215+=x y 相切，故圆心(0,0)到直线l 的距离等于圆的半径，251+b k 化简为225=1+b k ①.直线l 与曲线=y x 相切，故==+y x kx b 有唯一解，化简为222(21)0+-+=k x kx x b ，则有222=(21)40∆--=kx kb ，化简为41=kb ②.联立①②，解得12==k b . 解法二（排除法）：根据直线与圆相切，故圆心到直线l 的距离等于圆的半径，可排除选项B 、C ；将选项A 的方程与曲线=y x 联立，方程无解，即选项A 的直线与曲线相离，排除A ；同理将选项D 的方程与曲线方程联立，方程有唯一解x =1，故选项D 正确.解法三（画图法）：如图A10所示，从图中不难看出，只有选项D 符合题意.图A10【答案】D11．（解析几何）设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若⊥PF 1F 2的面积为4，则a ＝ A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】设1=PF m ，2=PF n ，根据题意可得，()222142225⎧==⎪⎪+=⎪⎨-=⎪⎪⎪=⎩S mn m n c m n a ca，解得1=a . PS ：双曲线焦点三角形的面积公式2tan2θ=b S ，根据题意有2o 4tan 45=b ，解得24=b ，又因为5=ca222224115=+=+=c b a a a ，解得1=a .（双曲线焦点三角形的面积公式的推导过程，可在百度上搜索）【答案】A12．（函数）已知5458<，45138<，设5log 3=a ，8log 5=b ，13log 8=c ，则A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <a8D ．c <a <b【解析】∵5458<，∴5488log 5log 8<，85log 54<，84log 55<，即45<b ； ∵54813>，∴541313log 8log 13>，135log 84>，134log 85>，即45>c ；由上述过程，构造不等式：5435<，同理可得54log 35=<a . ∴b <c ，a <c . 接下来比较a 和b ：解法一：构造不等式：4335<，4358>，同理可得53log 34=<a ，83log 54=>b .∴a <b .解法二：易知,,(0,1)∈a b c ，()()()222255555558log 3log 8log 24log 25log 32log 3log 81log 54444+==⋅<=<==a b ， ∴a <b . 故a <b <c .【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

试题第1页，总21页绝密★启用前2020年全国统一高考数学试题（理科)（新课标Ⅲ)试题副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可.试题第2页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．试题第3页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值． 【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。

新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析三角函数和立体几何大题一、三角函数大题和数列大题：在全国3卷中每年只考一个类型，交错考法不分奇偶数年．不考的那一个一般用两道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．交错考法不一定分奇数年或偶数年．(2n++(22⨯++-⋅n(12)2nsin6，所以ABD ∆（17）（12分）已知数列的前n 项和，，其中λ0（I ）证明是等比数列，并求其通项公式 （II ）若，求λ解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=111a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321， 解得1λ=-．二、立体几何大题：5年5考，每年1题．第1问多为证明平行垂直问题，第2问多为计算问题，求空间角较多；特点：证明中一般要用到初中平面几何的重要定理．平行的传递性考查较多． 19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427. 【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，的120z =取()1,1,1-，20z =，取()1,4,2=，37cos ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7cos 7θ=，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为427. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．（12分） 图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，D ，G 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B －CG －A 的大小．19．（12分）（1）由已知AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ， 故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，D ，G 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）作EH ⊥BC ，垂足为H ，因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BFGC 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得1BH =，．以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则(1,1,0)A -，(1,0,0)C ，3EH =所以可取19．（12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM .又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC M ABC -MAB MCD ⊂CD ⊂DA当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点. 由题设得，设是平面MAB 的法向量,则即 可取.是平面MCD 的法向量,因此， ， 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是. CD (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M (2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==(,,)x y z =n 0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩(1,0,2)=n DA 5cos ,5||||DA DA DA ⋅==n n n 25sin ,5DA =n 255ACD⊥的中点O(1,0,0),(0,3,0),B1,设(,,)n x y z =是平面DAE 的法向量，则7|||n m = AE C -的余弦值为2016年 （19）（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，PA⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC =3，PA=BC =4，M为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB ;（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.解：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB . （Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合 ，则（ ）()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=>S T =（A ） （B ） （C ）（D ）[]2,3(][),23,-∞+∞ [)3,+∞(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由解得或，，所以，故选()()230x x --≥3x ≥2x ≤{}23S x x ∴=≤≥或{}023S T x x x =<≤≥ 或D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若，则（ ）i 12z =+4i1zz =-（A ）1 （B ） （C ） （D ）1-i i -【答案】C【解析】，故选C ．4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多i 项式的乘法相类似，只是在结果中把换成．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减2i 1-法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量，，则（ ）1(2BA =u u v 1)2BC =u u u v ABC ∠=（A ） （B ） （C ） （D ）30︒45︒60︒120︒【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．cos BA BC ABC BA BC⋅∠=== 30ABC ∠=︒【点评】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值a b ·cos a b a b θ或θa b 范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，因此，0180θ︒≤≤︒|a ·cos a ba bθ=·0a b a b ⇔⊥ 或利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为A ，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（ ）15C ︒B 5C ︒（A ）各月的平均最低气温都在以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 0C ︒（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于的月份有5个20C ︒【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图0C ︒0C ︒可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均7.5C ︒7.5C ︒温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，5C ︒C 正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．20C ︒【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若，则（）3tan4α=2cos2sin2αα+=（A）（B）（C）1 （D）642548251625【答案】A【解析】由，得或，所以，3tan4α=34sin,cos55αα==34sin,cos55αα=-=-2161264cos2sin24252525αα+=+⨯=故选A．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知，，，则（）432a=254b=1325c=（A）（B）（C）（D）b a c<<a b c<<b c a<<c a b<<【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．422335244a b==>=1223332554c a==>=b a c<<【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的46a b==或（）n=（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一循环，得；第二循环，得；2,4,6,6,1a b a s n=====2,6,4,10,2a b a s n=-====第三循环，得；第四循环，得2,4,6,16,3a b a s n=====；2,6,4,2016,4a b a s n=-===>=退出循环，输出，故选B．4n=【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在中，，边上的高等于，则 ( )ABCDπ4B=BC13BC cos A=（A（B（C）（D）--【答案】C【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，BC AD3BC AD=AC==AB=知，故选C．222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90 （D）8118+54+【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积B．2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，111ABC A B C -V AB BC ⊥，，，则的最大值是（ ）6AB =8BC =13AA =V （A ） （B ） （C ） （D ）4π92π6π323π【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半V R 径取得最大值，此时球的体积为，故选B ．32334439(3322R πππ==【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分O F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B 别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A l PF M y 点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）E BM OE C （A ） （B ） （C ） （D ）13122334【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由l ()y k x a =+x c =-0x =()FM k a c =-OE ka=~OBE ∆，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A ．CBM ∆12OE OB FM BC=()2ka ak a c a c=-+13c a =1e 3=【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立,a c e 的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,,a b c ba e e （12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为{}n a {}n a 2m m m 1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（2k m ≤12,,,k a a a 4m =）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：，故选C ．10a =81a =011101101111001101011001110100110101100101010101【点评】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。