数学高一- 必修1 3.5.1-3.5.2 对数函数的图像和性质 学案

3.5.1对数函数的概念3.5.2对数函数y＝log2x的图像和性质学习目标1. 理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．2. 了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．(难点、易混点)3. 会画具体函数的图像．(重点)情景导入思路1：考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝log估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t＝log都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数．同理，对于每一个对数式y＝log a x中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y＝log a x是关于x的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数的概念．思路2：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数的概念．一、自主学习[基础·初探]教材整理1 对数函数的概念阅读教材P89～P90“分析理解”以上部分，完成下列问题．1. 定义一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数．2. 两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lg x，其底数为10.自然对数函数：y ＝ln x ，其底数为无理数e.给出下列函数：①y ＝223log x ；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log x ＋1x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】 ①②不是对数函数，因为真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为底数不是常数；④是对数函数．故选A. 【答案】 A 教材整理 2 反函数阅读教材P 90从“分析理解”～P 91“练习”间的部分，完成下列问题．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的反函数；同时对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)也是指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的反函数，即指数函数与对数函数互为反函数．函数y ＝13log x 的反函数是________．【解析】 y ＝13log x 的反函数是y ＝⎝⎛⎭⎫13x.【答案】 y ＝⎝⎛⎭⎫13x教材整理 3 函数y ＝log 2x 的图像和性质 阅读教材P 91～P 93有关内容，完成下列问题.图像特征 函数性质 过点(1,0) 当x ＝1时，y ＝0 在y 轴的右侧 定义域是(0，＋∞)向上、向下无限延伸值域是R在直线x ＝1右侧，图像位于x 轴上方；在直线x＝1左侧，图像位于x 轴下方若x ＞1，则y ＞0；若0＜x ＜1，则y ＜0函数图像从左到右是上升的 在(0，＋∞)上是增函数1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2log 2x 是对数函数．( ) (2)函数y ＝3x 的反函数是y ＝⎝⎛⎭⎫13x.( )(3) 对数函数y ＝log 2x 在(1，＋∞)上是增函数．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√2. log 2π________log 2e.(用“>”“<”填空)【解析】 因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，π>e ，故log 2π>log 2e. 【答案】 >二、合作探究探究一：对数函数的定义域 [小组合作型]求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x 21－x ；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．【精彩点拨】 由题意列出不等式组，再解不等式组，得出函数的定义域． 【尝试解答】 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <1，∴－1<x <1，∴函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数有意义，需 ⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3，∴定义域为(2,3)∪(3,5)．求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题.同时应注意求函数定义域的解题步骤.[再练一题]1. 求下列函数的定义域． (1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x )． 【解】 (1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，log 2(1－x )≤0， 解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，x >－1，x ≠0，∴1<x <2，故所求函数的定义域为(1,2).探究二：求函数的反函数求下列函数的反函数． (1)y ＝10x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫45x ；(3) y ＝log 7x .【精彩点拨】 根据指数式与对数式的互化写出．【尝试解答】 (1)指数函数y ＝10x ，它的底数是10，它的反函数是对数函数y ＝lg x . (2)指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫45x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝45log x . (3)对数函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .反函数的求法： (1)由y ＝a x (或y ＝log a x )，解得x ＝log a y (或x ＝a y )； (2)将x ＝log a y (或x ＝a y )中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x (或y ＝a x )； (3)由y ＝a x (或y ＝log a x )的值域，写出y ＝log a x (或y ＝a x )的定义域.[再练一题]2. 求下列函数的反函数． ①y ＝ln x ；②y ＝log 5x .【解】 ①对数函数y ＝ln x ，底数为e ，它的反函数是y ＝e x ； ②对数函数y ＝log 5x ，底数为5，它的反函数是y ＝5x . 探究三：函数y ＝log 2x 的图像与性质 [探究共研型]探究 1 求函数y ＝log 2|x |的定义域，并画出它的图像． 【提示】 函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }． 函数解析式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 2(－x )，x <0，其图像如图所示． (其特征是关于y 轴对称)．探究 2 画出函数y ＝|log 2x |的图像，并写出它的单调区间．【提示】 y ＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2x ， 0<x ≤1，log 2x ， x >1，其图像如图所示，增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1)．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质求解以下问题： (1)若f (x －1)>f (1)，求x 的取值范围； (2)求y ＝log 2(2x －1)在 x ∈⎣⎡⎦⎤34，52上的最值．【精彩点拨】 可依据y ＝log 2x 的图像，借助函数的单调性解不等式，求最值． 【尝试解答】 作出函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)由图像知y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数． 因为f (x －1)>f (1)，所以x －1>1，解得x >2，所以x 的取值范围是(2，＋∞)． (2)∵34≤x ≤52，∴12≤2x －1≤4，∴log 212≤log 2(2x －1)≤log 24，所以－1≤log 2(2x －1)≤2，故函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈⎣⎡⎦⎤34，52上的最小值为－1，最大值为2.函数f (x )＝log 2x 是最基本的对数函数，它在(0，＋∞)上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小.[再练一题]3. 利用函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题： (1)比较log 245与log 2 34的大小；(2)若log 2(2－x )>0，求x 的取值范围．【解】 (1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， 又∵45>34，∴log 2 45>log 2 34.(2)log 2(2－x )>0，即log 2(2－x )>log 21，∵函数y ＝log 2x 为增函数， ∴2－x >1，∴x <1.∴x 的取值范围为(－∞，1)． 三、课堂检测1. 函数y ＝log a 13x ＋7的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫－73，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－73，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，－73 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－73 【解析】 由题意3x ＋7>0，x >－73，故函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－73，＋∞. 【答案】 B2. 函数y ＝log 2(x 2＋2)的值域是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．(－1,0]【解析】 函数y ＝log 2x 是增函数，因为x 2＋2≥2，所以log 2(x 2＋2)≥log 22＝1.故选B.【答案】 B3. 若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为________．【解析】 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，则2＝log a 4＝log a 22＝2log a 2，即log a 2＝1，∴a ＝2，故所求函数解析式为y ＝log 2x .【答案】 y ＝log 2x4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，3x (x ≤0)，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝________. 【解析】 f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f ⎝⎛⎭⎫log 214＝f (－2)＝3－2＝19. 【答案】 195. 写出下列函数的反函数： (1)y ＝log 2(2x )；(2)y ＝e 3x .【解】 (1)对数函数y ＝log 2(2x )的底数是2，所以2x ＝2y ，即x ＝12·2y＝2y －1，因此，函数y ＝log 2(2x )的反函数为y ＝2x －1.(2)指数函数y ＝e 3x ，它的底数是e ，所以3x ＝ln y ，取x ＝13 ln y ，所以y ＝e 3x 的反函数是y ＝13ln x (x >0)．四、课堂小结要注意对数函数y ＝log a x 中各个字母的取值范围：a >0且a ≠1，x >0.在求解与对数有关的问题前，一定要注意先求字母的取值范围：①函数y ＝log a [f (x )](a >0，a ≠1)中，要求f (x )>0；②函数y ＝log f (x )g (x )中要求满足⎩⎨⎧f (x )>0，f (x )≠1，g (x )>0.。