真题2017年江苏省南通市启东中学自主招生数学试卷(含解析)

江苏省南通市启东市2017年中考数学模拟试卷(解析版)一.选择题1.中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入120元记作+120元，那么﹣100元表示（）A. 支出20元B. 收入20元C. 支出100元D. 收入100元2.下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（）A. 正方体B. 圆柱CC. 圆椎D. 球3.截至5月21日，全县完成工业开票销售337.53亿元，337.53亿元用科学记数法表示为（）元．A. 33.753×109B. 3.3753×1010C. 0.33753×1011D. 0.033753×10124.下面的四幅简笔画是从文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.如图所示，直线AB，CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC是（）A. 150°B. 130°C. 100°D. 90°6.一个不透明的口袋中有6个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n 等于（）A. 6B. 7C. 13D. 187.如图，在⊙O中，= ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°8.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A. a=bB. 2a﹣b=1C. 2a+b=﹣1D. 2a+b=19.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3 ），反比例函数y= 的图象与菱形对角线AO交D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）A. 6B. ﹣6C. 12D. ﹣1210.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N 为边AC上的一动点，且∠MDN=90°，则cos∠DMN为（）A. B. C. D.二.填空题11.计算：=________．12.分解因式：x2﹣4x+4=________．13.正八边形的每个外角的度数为________．14.已知3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．15.关于x的不等式组的解集为1＜x＜4，则a的值为________．16.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为________．17.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP的长为________．18.已知点P的坐标为（m﹣1，m2﹣2m﹣3），则点P到直线y=﹣5的最小值为________．三.解答题19.计算题3tan30°﹣|﹣2|+ +（﹣1）2017；（1）计算：3tan30°﹣|﹣2|+ +（﹣1）2017；（2）解方程：= ﹣2．20.体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．（1）求女生进球数的平均数、中位数；（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生1200人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？21.在2017年“KFC”乒乓球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛．（1）列表或画树状图表示乙队所有比赛结果的可能性；（2）求乙队获胜的概率．22.如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC，现可直接测量到∠B=45°，∠C=30°，AC=8米．请你求出BC 的长．（结果可保留根号）23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．24.甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，已知甲出发0.5h后乙开始出发，如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，请结合图中的信息解决如下问题：（1）计算甲、乙两车的速度及a的值；（2）乙车到达B地后以原速立即返回．①在图中画出乙车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象；②请问甲车在离B地多远处与返程中的乙车相遇？25.将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．26.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．27.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．（1）当⊙O的半径为2时，①点M（，0）________⊙O的“完美点”，点N（0，1）________⊙O的“完美点”，点T（﹣，﹣）________⊙O的“完美点”（填“是”或者“不是”）；②若⊙O的“完美点”P在直线y= x上，求PO的长及点P的坐标；________（2）⊙C的圆心在直线y= x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．28.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．（1）求二次函数解析式及顶点坐标；（2）点P为线段BD上一点，若S△BCP= ，求点P的坐标；（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．答案解析部分一.<b >选择题</b>1.【答案】C【考点】正数和负数【解析】【解答】解：如果收入120元记作+120元，那么﹣100元表示支出100元，故答案为：C．【分析】正数和负数就是用来表示具有相反意义的量，收入为正，那么负就表示支出故﹣100元表示支出100元。

卷5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 复数2+i i在复平面上对应的点在第 象限．2． 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ． 3． 已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命 题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．4． 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =1，BC =2，AC =5，AA 1=3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为 ．（第4题）．5． 集合2{3,log },{,},A a B a b ==若{2},A B = 则A B = ． 6． 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ．7． 向量(cos10,sin10),(cos70,sin 70)== a b ，-a 8． 方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根．9． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若≤5a ≤4，2≤6a ≤3，则6S 的取值范围是 ．10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 ．11．若函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 ．12．如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．13．已知实数,x y 满足x y -=-，则x y +的最大值为 ．14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅,设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+,则n S = ．答案1. 四2. 63.5a < 8. 2 9.[]12,42-12m ≥ 12.(⋃ 13. 4 14.423n +二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-.（1）求sin C ；（2）当2c a =，且b =a . 解：（1）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =. ……………… 2分因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin C =. ………………………………4分（2）因为2c a =，所以1sin sin 2A C ==. ………………………………6分因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos C =，cos A =. ………………8分 所以s i n s i nB AC =+s i n c o s A C A =+214==分由正弦定理可得：sin aA=，所以a =. …………………………………………14分说明:用余弦定理也同样给分. 16．（本题满分14分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；（2）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为DE BD D ⋂=………………4分 从而AC ⊥平面BDE . ……………………6分（2）当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，AM ∥平面BEF ． …………7分 取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连结MN ，NF ，则DE ∥MN ，且DE ＝3MN ， 因为AF ∥DE ，且DE ＝3AF ，所以AF ∥MN ，且AF ＝MN ，故四边形AMNF 是平行四边形． ……………………………………10分 所以AM ∥FN ，因为AM ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ， …………………………………………12分 所以AM ∥平面BEF ． …………………………………………14分 17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l ：2x =．⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,求证:线段ON 的长为定值．解：⑴∵椭圆C 的短轴长为2，椭圆C 的一条准线为l ：2x =，∴不妨设椭圆C 的方程为2221x y a +=．（2分）∴2212a c c c+==，（ 4分）即1c =．（5分）∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（6分） ⑵ F （1，0），右准线为l ：2x =， 设00(,)N x y ， 则直线FN 的斜率为001FN y k x =-，直线ON 的斜率为00ON y k x =，（8分）∵FN ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-，（9分） ∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-，点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --．（11分） ∴直线MN 的斜率为00002(1)2MN x y y k x -+=-．（12分）∵MN ⊥ON ，∴1MN ON k k ⋅=-， ∴0000002(1)12x y y yx x -+⋅=--，∴200002(1)(2)0y x x x +-+-=，即22002x y +=．（13分）∴ON =（14分）说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P ，准线l 与x 轴交于Q ，则有2ON OP OM =g ，又2OP OM OF OQ ==g g，所以ON =为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90 ，AB ＝1，BC．点M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落在边BC上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；(2) 求线段A N '长度的最小值．解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．（2分）在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx--θ= ， （4分） ∴2111cos 22sin MA x ===-θθ． （5分）∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，∴4590<θ< ．（7分） （2）在△AMN 中，∠ANM ＝120θ︒-,（8分）sin sin(120)AN MA =θ-θ ,（9分） 21sin 2sin sin(120)AN θ⋅θ=-θ ＝12sin sin(120)θ-θ ．（10分）令12sin sin(120)2sin (sin )2t =θ-θ=θθ+θ ＝2sin cos θ+θθ＝1112cos 2sin(230)222θ-θ=+θ- ．（13分） ∵4590<θ< ， ∴60230150<θ-< ． （14分） 当且仅当23090θ-= ，60θ= 时，有最大值32，（15分） ∴60θ= 时，A N '有最小值23．（16分） 19．（本题满分16分）已知k R ∈,函数()(01,01)x x f x m k n m n =+⋅<≠<≠.(1) 如果实数,m n 满足1,1m mn >=,函数()f x 是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k 值；如果没有，说明为什么?(2) 如果10,m n >>>判断函数()f x 的单调性； (3) 如果2m =，12n =，且0k ≠，求函数()y f x =的对称轴或对称中心. 解：（1）如果()f x 为偶函数，则()(),f x f x -=x x x x m k n m k n --+⋅=+⋅恒成立，（1分）即：,x x x x n k m m k n +⋅=+⋅()()0,x x x x n m k m n -+-= ()(1)0x x n m k --=（2分） 由0x x n m -=不恒成立，得 1.k =（3分）如果()f x 为奇函数，则()(),f x f x -=-x x x x m k n m k n --+⋅=--⋅恒成立，（4分） 即：,x x x x n k m m k n +⋅=--⋅()()0,x x x x n m k m n +++=（5分）()(1)0,x x n m k ++=由0x x n m +≠恒成立，得 1.k =-（6分）（2）10,m n >>> 1mn>， ∴ 当0k ≤时,显然()x x f x m k n =+⋅在R 上为增函数；（8分）当0k >时，()ln ln [()ln ln )]0x x x x mf x m m kn n m k n n n'=+=+=，由0,x n >得()ln ln 0,x m m k n n +=得ln ()log ,ln x m m nk k n n m =-=-得log (log )m m nx k n =-.（9分）∴当(,log (log )]m m nx k n ∈-∞-时, ()0f x '<,()f x 为减函数; （10分）当[log (log ),)m m nx k n ∈-+∞时, ()0f x '>,()f x 为增函数. （11分）(3) 当12,2m n ==时，()22,x x f x k -=+⋅ 如果0,k <22log ()log ()()222()222222k k x x x x x x x x f x k k ------=+⋅=--⋅=-⋅=-，（13分） 则2(log ())(),f k x f x --=-∴函数()y f x =有对称中心21(log (),0).2k -（14分）如果0,k >22log log ()2222222,k k x x x x x x f x k ---=+⋅=+⋅=+（15分） 则2(log )(),f k x f x -= ∴函数()y f x =有对称轴21log 2x k =.（16分）20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝c ，2S n ＝a n a n ＋1＋r ． （1）若r ＝－6，数列{a n }能否成为等差数列？若能，求c 满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设32111234212n n n n a a a P a a a a a a --=+++--- ，2242345221n n n n a a a Q a a a a a a +=+++--- ， 若r ＞c ＞4，求证：对于一切n ∈N *，不等式2n n n P Q n n -<-<+恒成立． 解：（1）n ＝1时，2a 1＝a 1a 2＋r ，∵a 1＝c ≠0，∴2c ＝ca 2＋r ，22ra c=-． （1分） n ≥2时，2S n ＝a n a n ＋1＋r ，① 2S n －1＝a n －1a n ＋r ，②①－②，得2a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)．∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝2． （ 3分）则a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，… 成公差为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)．a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，… 成公差为2的等差数列， a 2n ＝a 2＋2(n －1)．要使{a n }为等差数列，当且仅当a 2－a 1＝1．即21r c c--=．r ＝c －c 2． （ 4分）∵r ＝－6，∴c 2－c －6＝0，c ＝－2或3． ∵当c ＝－2，30a =，不合题意，舍去.∴当且仅当3c =时，数列{}n a 为等差数列 （5分） （2）212n n a a --＝[a 1＋2(n －1)]－[a 2＋2(n －1)]＝a 1－a 2＝rc c +－2．221n n a a +-＝[a 2＋2(n －1)]－（a 1＋2n ）＝a 2－a 1－2＝－(rc c+)． （8分） ∴n P 11(1)1[2](1)222n n na n n c r r c c c c -=+⨯=+-+-+- （9分） 21(1)1[2](1)2n n n rQ na n n r r c c c c c-=-+⨯=-+-++． （10分）11(1)(1)2n n rP Q n n c n n r r c c c c c-=+-++-+-+＝2111122r c c n n r r r r c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（11分）∵r ＞c ＞4，∴r c c +≥＞4，∴2rc c +-＞2．∴0＜111132442r r c c c c +<+=+-+＜1． （13分）且1111122rc c c c r r r r c c c c c c c c---++=+-+-++-+＞－1． （14分） 又∵r ＞c ＞4，∴1r c >，则0＜12r c c c -<+-．01r c c c<+<+．∴12c r c c -+-＜1．11c r c c +<+．∴1112c c r r c c c c-++-+-+＜1．（15分）∴对于一切n ∈N *，不等式2n n n P Q n n -<-<+恒成立．（16分）附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．证明：因AE =AC ，AB 为直径，故∠OAC =∠OAE ． ……………………………………………………………3分所以∠POC =∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ． 又∠EAC =∠PDE ，所以，∠PDE =∠POC ．…………………………………………………………10分B ．选修4—2 矩阵与变换 已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-， （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量. 解：（1）由221a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=40-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2分） ∴2243a a -=-⇒=. （3分） （2）由（1）知M 2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵M 的特征多项式为223()(2)(1)63421f λλλλλλλ--==---=---- （5分）令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与4. （6分） 当1-=λ时， (2)3002(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; （8分）当4λ=时， (2)302302(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒-=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （10分） C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的 圆心为00(,)P x y ，求002x y -的取值范围.【解】由题设得004cos ,3sin x y ì=ïïíï=ïîq q （q 为参数，Îq R ）.…………………………5分于是0028cos 3sin )x y θθθϕ-=-=+，所以002x y -. ………………………10分 D ．选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z ≥++++． 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． …………………3分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥．………10分 22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线过点(4,0)M . （1）若点F（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）解：（1）由已知，4x =不合题意.设直线的方程为(4)y k x =-，由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， …………………1分因为点F=， (2)分解得k =. …………………4分（2）设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ，因为AB 不垂直于x 轴，则直线MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -， 直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-，…………………5分联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=， …………………7分所以012044y y y x +=-， …………………8分因为N 为AB 中点，所以1202y y y +=，即00024y y x =-， …………………9分所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. …………………10分 23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知n n x x f )1()(+=，（1）若20112011012011()f x a a x a x =+++ ，求2011200931a a a a ++++ 的值；（3分） （2）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6x 项的系数；（3分）（3）证明：1121(1)1232m m m m m m m m m n m n m n n m C C C C C ++++-+++⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦．（4分）解：（1）因为n n x x f )1()(+=,所以20112011()(1)f x x =+,又20112011012011()f x a a x a x =+++ ,所以20112011012011(1)2f a a a =+++= （1）20110120102011(1)0f a a a a -=-++-= （2）（1）-（2）得：201113200920112()2a a a a ++++=所以：201013200920112011(1)2a a a a f ++++== …………………3分（2）因为)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，所以678()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++ )(x g 中含6x 项的系数为667812399C C +⨯+= …………………6分（Ⅲ）设11()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x ++-=++++++ (1) 则函数()h x 中含m x 项的系数为112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++ …………………7分12(1)()(1)2(1)(1)m m m n x h x x x n x ++++=++++++ (2)(1)-(2)得121()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++++-+(1)[1(1)]()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x ++-+-=-+-+ 2()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x ++=+-+++()h x 中含m x 项的系数，即是等式左边含2m x +项的系数，等式右边含2m x +项的系数为21()!()!(2)!(2)!(1)!(1)!m m m n m n m n n m n C nC m n m n ++++++-+=-++-+-1(1)(2)()!(1)12(1)!(1)12m m n n n m m n m n C m m n m ++--+++++=⨯=++-+ 所以112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++ 1(1)12m m n m n C m ++++=+ …………………10分。

2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．经过点（4，﹣3）且在y轴上截距为2的直线的方程为．2．满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．3．在△ABC中，BC=1，B=，△ABC面积S=，则边AC长为．4．若直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，则实数m的值为．5．在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k=．6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=．7．设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于．8．点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是．9．已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．10．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n=2S n+1，n∈N*，则S5=．+111．如果函数f（x）=，g（x）=log2x，关于x的不等式f （x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知数列{a n}，对任意的k∈N*，当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．13．已知△ABC的三边长a，b，c依次成等差数列，a2+b2+c2=21，则b的取值范围是．14．已知xy=，x ，y ∈（0，1），则+的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知b=3，c=2． （1）若2a•cosC=3，求a 的值； （2）若，求cosC 的值．16．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．17．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C （x ），当年产量不足80千件时，C （x ）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C （x ）=51x +（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 5=17． （1）若{a n }还同时满足：①{a n }为等比数列；②a 2a 4=16；③对任意的正整数n ，a 2n ＜a 2n +2，试求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }为等差数列，且S 8=56．①求该等差数列的公差d ；②设数列{b n }满足b n =3n •a n ，则当n 为何值时，b n 最大？请说明理由．19．已知二次函数f （x ）=mx 2﹣2x ﹣3，关于实数x 的不等式f （x ）≤0的解集为（﹣1，n ）（1）当a ＞0时，解关于x 的不等式：ax 2+n +1＞（m +1）x +2ax ；（2）是否存在实数a ∈（0，1），使得关于x 的函数y=f （a x ）﹣3a x +1（x ∈[1，2]）的最小值为﹣5？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立，求证：数列{b}是等差数列．n2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．经过点（4，﹣3）且在y轴上截距为2的直线的方程为5x+4y﹣8=0．【考点】IE：直线的截距式方程．【分析】由已知可得直线经过两个定点，写出直线的两点式方程，化为一般式得答案．【解答】解：由题意可得直线经过（4，﹣3）与（0，2），则直线方程为，整理得：5x+4y﹣8=0．故答案为：5x+4y﹣8=0．2．满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，即可求出平面区域的面积．利用f的几何意义求f的最小值．【解答】解：由f=x+y，则y=﹣x+f，平移直线y=﹣x+f，由图象可知当直线y=﹣x+f经过点A时，直线的截距最小，此时f最小．由，解得，即A（），代入f=x+y得f=．故答案为：；3．在△ABC中，BC=1，B=，△ABC面积S=，则边AC长为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】利用三角形面积公式，可得c，由余弦定理可得AC．【解答】解：由三角形面积公式，可得S==，∴c=4，由余弦定理可得AC==，故答案为．4．若直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，则实数m的值为3或﹣1．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用直线平行的性质求解．【解答】解：∵直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，∴，解得m=3或﹣1．故答案为3或﹣1．5．在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k= 364．【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【分析】已知首项和公比，可以求出等比数列的前n项和公式，再代入a k=243，根据等比数列前n项和公式进行求解；【解答】解：等比数列前n项和为s n=，∵等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，∴数列{a n}的前k项的和S k===364，故答案为：364；6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=4．【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．【解答】解：∵3sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cosC=﹣，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．7．设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于1或3．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，代入化简即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴=S1•S4，∴=，d≠0．化为：d2=2a1d，解得d=0，或d=2a1．则=1或3．故答案为：1或3．8．点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是（﹣6，﹣8）．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称的点的坐标（a，b），利用点P与对称的点的连线与对称轴垂直，以及点P与对称的点的连线的中点在对称轴上，解出对称点的坐标．【解答】解：设点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点P′的坐标（a，b），∴•（﹣）=﹣1①且5•+4•+21=0②，解得a=﹣6，b=﹣8，∴点P′的坐标为（﹣6，﹣8）．故答案为：（﹣6，﹣8）．9．已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由题意，f（﹣2）•f（﹣1）＜0，从而求出a=﹣1，从而化简不等式求解即可．【解答】解：由题设易知：，又∵a∈z，∴a=﹣1，∴f（x）=﹣x2﹣x+1⇒﹣x2﹣x+1＞1，∴不等式解集为（﹣1，0）．10．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，则S5=202．【考点】8E：数列的求和．【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a n+1=S n+1﹣S n，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=7，即a1+a2=7，即有3a1+1=7，解得a1=2；由a n+1=S n+1﹣S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=7，可得S3=3×7+1=22，S4=3×22+1=67，S5=3×67+1=202．故答案为：202．11．如果函数f（x）=，g（x）=log2x，关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】先考虑关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，由对数函数的单调性，得到f（x）=2ax﹣1≤0在（0，1]恒成立，运用参数分离法，求出a的范围；再求关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+∞）恒成立的a的范围．运用同样的参数分离法，求最值，即可求出a的范围．注意最后求交集．【解答】解：当x∈（0，1]时，g（x）=log2x≤0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，∴f（x）=2ax﹣1≤0在（0，1]恒成立，即有2a≤恒成立，则2a≤1，即a≤；当x＞1时，g（x）=log2x＞0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+∞）恒成立，∴f（x）=3ax﹣1≥0在（1，+∞）恒成立，即有3a≥恒成立，则3a≥1，即a≥．∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，∴a的取值范围是：[，]．故答案为：．12．已知数列{a n}，对任意的k∈N*，当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，那么该数列中的第10个2是该数列的第39366或（2•39）项．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】根据条件求出a n的取值规律，得到a n=2时，n满足的条件即可得到结论．【解答】解：∵当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，∴a1=1，a2=2，a6=a2=2，a18=a6=a2=2，∴a n=2是项数n为2，6，18…，构造公比是3的等比数列，∴n=2•3m﹣1，∴该数列中的第10个2是该数列的2•310﹣1=2•39，故答案为：39366或（2•39）13．已知△ABC的三边长a，b，c依次成等差数列，a2+b2+c2=21，则b的取值范围是（，] ．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】设a=b﹣d，c=b+d，代入已知等式化简可得3b2+2d2=21，由此求得b的最大值为．再由a+b＞c 可得b＞2d，结合已知的等式得3b2+2＞21，解得b＞，再把这两个b的范围取交集求得数b的取值范围．【解答】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=21化简可得3b2+2d2=21．故当d=0时，b有最大值为．由于三角形任意两边之和大于第三边，故较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，可得b＞2d．∴3b2+2＞21，解得b＞，故实数b的取值范围是（，]．故答案为（，]．14．已知xy=，x，y∈（0，1），则+的最小值为10．【考点】7F：基本不等式．【分析】消去参数法，消去y后，构造基本不等式即可求解．【解答】解：∵xy=，x，y∈（0，1），∴y=，由+===+1=+1=+1++1≥6+2=10当且仅当x=，y=时取等号．故答案为10．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=3，c=2．（1）若2a•cosC=3，求a的值；（2）若，求cosC的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由余弦定理，，将b=3，c=2代入，解得a的值；（2）若，由正弦定理，，化简得sinC=sin（B﹣C），由正弦定理可得，，即可求cosC的值．【解答】解：（1）由余弦定理，，将b=3，c=2代入，解得：a=2．…（2）由正弦定理，，化简得sinC=sin（B﹣C），∴C=B﹣C或C+B﹣C=π（舍去），则B=2C，由正弦定理可得，，将b=3，c=2代入解得．…16．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式；（2）分类讨论：斜率不存在和斜率存在两种情况．当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+（1+2k）=0．然后结合点到直线的距离公式求得k的值即可．【解答】解：（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α=（0＜α＜π），从而cos α=±，则k=tan α=±．故所求直线方程为y=±（x+4）．即x+3y+4=0或x﹣3y+4=0；（2）当斜率不存在时，所求直线方程为x+2=0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+（1+2k）=0．由点线距离公式，得=2，解得k=．故所求直线方程为3x﹣4y+10=0．综上知，所求直线方程为x+2=0或3x﹣4y+10=0．17．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【考点】5A：函数最值的应用．【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a5=17．（1）若{a n}还同时满足：①{a n}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数n，a2n＜a2n+2，试求数列{a n}的通项公式．（2）若{a n}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{b n}满足b n=3n•a n，则当n为何值时，b n最大？请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据等比数列的性质可得a1a5=16，又a1+a5=17，即可求出a1，a5的值，继而求出公比，写出通项公式即可（2）①{a n}为等差数列，且a1+a5=17，S8=56，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d；②确定数列{b n}的通项，判断其单调性，即可求得b n最大值【解答】解：（1）因为{a n}是等比数列，则a2a4=a1a5=16，又a1+a5=17，所以或从而a n=2n﹣1或a n=（﹣2）n﹣1或a n=16×（）n﹣1或a n=16×（﹣）n﹣1．由③得，a n=2n﹣1或a n=16×（）n﹣1（2）①由题意，得，解得d=﹣1②由①知a1=，所以an=﹣n，则b n=3n•a n=3n•（﹣n），﹣b n=2×3n×（10﹣n）因为b n+1所以b11=b10，且当n≤10时，数列{b n}单调递增，当n≥11时，数列{b n}单调递减，故当n=10或n=11时，b n最大．19．已知二次函数f（x）=mx2﹣2x﹣3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（﹣1，n）（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a x）﹣3a x+1（x∈[1，2]）的最小值为﹣5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（1）根据韦达定理得方程组求出m，n的值，再通过讨论a的范围，从而求出不等式的解集；（2）把m=1代入方程，得出y=（a x）2﹣（3a+2）a x﹣3，令a x=t，（a2≤t≤a），则y=t2﹣（3a+2）t﹣3，得出函数的单调性，从而表示出y=f（t）的最小值，进而求出a的值．【解答】解：（1）由不等式mx2﹣2x﹣3≤0的解集为（﹣1，n）知关于x的方程mx2﹣2x﹣3=0的两根为﹣1和n，且m＞0由根与系数关系，得∴，所以原不等式化为（x﹣2）（ax﹣2）＞0，①当0＜a＜1时，原不等式化为，且，解得或x＜2；②当a=1时，原不等式化为（x﹣2）2＞0，解得x∈R且x≠2；③④当a＞1时，原不等式化为，且，解得或x＞2；综上所述当0＜a≤1时，原不等式的解集为或x＜2}；当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＞2或．（2）假设存在满足条件的实数a，由（1）得：m=1，∴f（x）=x2﹣2x﹣3，∴y=f（a x）﹣3a x+1=a2x﹣2a x﹣3﹣3a x+1=（a x）2﹣（3a+2）a x﹣3，令a x=t，（a2≤t≤a），则y=t2﹣（3a+2）t﹣3∴对称轴为：t=，又0＜a＜1，∴a2＜a＜1，1＜＜，∴函数y=t2﹣（3a+2）t﹣3在[a2，a]递减，∴t=a时，y最小为：y=﹣2a2﹣2a﹣3=﹣5，解得：a=，20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立，求证：数列{b}是等差数列．n【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可得出；（2）d n=c n+log C a n=2n+3+=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C即可．（3）由于对于任意的正整数n ，均有b 1a n +b 2a n ﹣1+b 3a n ﹣2+…+b n a 1=（）n ﹣成立（*），b 1a n +1+b 2a n +…+b n a 2+b n +1a 1=．（*）两边同乘以可得：b 1a n +1+b 2a n +…+b n a 2=﹣．两式相减可得可得，即，（n ≥3）．n=1，2也成立，即可证明．【解答】（1）解：∵且S n +a n =4，n ∈N *．∴当n ≥2时，S n ﹣1+a n ﹣1=4，∴a n +a n ﹣a n ﹣1=0，即．当n=1时，2a 1=4，解得a 1=2．∴数列{a n }是等比数列，a n ==22﹣n ．（2）解：d n =c n +log C a n =2n +3+=2n +3+（2﹣n ）log C 2=（2﹣log C 2）n +3+2log C 2， 假设存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，则2﹣log C 2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n }是常数列，d n =3+=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n ，均有b 1a n +b 2a n ﹣1+b 3a n ﹣2+…+b n a 1=（）n ﹣成立（*），∴b 1a n +1+b 2a n +…+b n a 2+b n +1a 1=．①（*）两边同乘以可得：b 1a n +1+b 2a n +…+b n a 2=﹣．②．①﹣②可得b n +1a 1==，∴，∴，（n ≥3）．又2b 1=，解得b 1=． b 1a 2+b 2a 1=，∴+b 2×2=﹣，解得b 2=．当n=1，2时，，也适合．∴，（n∈N*）是等差数列．2017年5月26日。

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多少千米？ 23．（10 分）如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标 分别为（6，0），（6，8）．动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，以每秒 1 个单位 的速度运动．其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动．过点 N 作 NP⊥BC，交 AC 于 P，连接 MP．已知动点运动了 x 秒． （1）P 点的坐标为多少；（用含 x 的代数式表示） （2）试求△MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值； （3）请你探索：当 x 为何值时，△MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？ 写出你的研究成果．
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11．（4 分）计算：
= ．
12．（4 分）如图，某计算装置有一数据输入口 A 和一运算结果的输出口 B，下 表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个 计算装置的计算规律，若输入的数是 10，则输出的数是 ． A12 3 4 5 B 2 5 10 17 26
19．（6 分）当 a= ，b=2 时，计算：
÷（ ﹣ ）的值．
20．（6 分）已知正方形和圆的面积均为 S，求正方形的周长 l1 和圆的周长 l2（用 含 S 的代数式表示，并指出它们的大小）． 21．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=36°，D 为 BC 上一点，AB=AC=BD=1， （1）求 DC 的长． （2）利用此图求 sin18°的精确值．
24．（10 分）已知：关于 x 的方程①x2﹣（m+2）x+m﹣2=0 有两个符号不同的实 数根 x1，x2，且 x1＞|x2|＞0；关于 x 的方程②mx2+（n﹣2）x+m2﹣3=0 有两个有 理数根且两根之积等于 2．求整数 n 的值．

2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生数学试卷-学生用卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第1题4分已知y=√x−3中，自变量x的取值范围是（）．A. x⩾3B. x⩾−3C. x>3D. x>−32、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第2题4分在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（）．A. sin⁡B=√55B. cos⁡B=25C. tan⁡B=2D. cot⁡B=123、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第3题4分如图，已知DE//BC，CD与BE相交于点O，并且S△DOE:S△COB=4:9，则AE:AC为（）．A. 4:9B. 2:3C. 3:2D. 9:44、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第4题4分2018~2019学年6月四川成都高新区电子科技大学实验中学初一下学期月考第8题3分2018~2019学年5月陕西西安西咸新区清华大学附属中学秦汉学校初一下学期月考第7题3分2020~2021学年甘肃兰州城关区兰州树人中学初一下学期期末第8题3分2014年四川成都高新区初三中考二模第9题3分如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为（）．A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°5、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第5题4分2015年河北沧州东光县河北省东光县第二中学初三中考二模第2题3分2017~2018学年江苏无锡宜兴市初三上学期期末第6题3分2016年安徽安庆初三中考一模第5题4分由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）．A. 主视图的面积最大B. 左视图的面积最大C. 俯视图的面积最大D. 三个视图的面积一样大6、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第6题4分2020~2021学年江苏苏州姑苏区平江中学初三上学期期中第8题3分2019年山东青岛市北区青岛第五十中学中考二模第7题3分2019年山东青岛市北区青岛第五十中学初三中考二模第7题3分的正数根的个数为（）．方程x2+2x+1=2xA. 0B. 1C. 2D. 37、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第7题4分2013~2014学年辽宁沈阳铁西区初三上学期期中第8题3分2015年广西南宁青秀区南宁市十四中初三中考一模第11题3分(x>如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=4x0)的图象上，则点E的坐标是（）．A. (√5+1,√5−1)B. (3+√5,3−√5)C. (√5−1,√5+1)D. (3−√5,3+√5)8、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第8题4分观察图中正方形四个顶点所标的规律，可知2012应标在（）．A. 第502个正方形的左下角B. 第502个正方形的右下角C. 第503个正方形的左上角D. 第503个正方形的左下角9、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第9题4分用12根等长的火柴棒拼成一个三角形（火柴棒不允许剩余、重叠和折断），则这个三角形不可能是（）．A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第10题4分100个人共有2000元人民币，其中任意10个人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多能有（）元．A. 216B. 218C. 238D. 236二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）11、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第11题4分计算：√12−3√13+(12)2=．12、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第12题4分如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是．13、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第13题4分如图，AB为⊙O的直径，其长度为2cm，点C为半圆弧的中点，若⊙O的另一条弦AD的长为√3cm，∠CAD的度数为．14、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第14题4分已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(−1,−3.2)及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=．15、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第15题4分2017~2018学年3月天津河西区天津市第四十二中学初二下学期月考第12题3分2016~2017学年10月湖南衡阳耒阳市耒阳市冠湘中学初三上学期月考第18题3分初一下学期单元测试《平面直角坐标系》坐标方法的简单应用第38题如图所示，一束光线从y轴上点A(0,1)射出，经过x轴上点C反射后过点B(3,3)，则光线从点A到B所经过的路线长是．16、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第16题4分A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是．17、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第17题4分2005年第22届全国初中数学联赛竞赛初赛第9题7分P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的平分线交AC于点Q，则∠PQC=．18、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第18题4分设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有对．三、解答题（共6小题，共48分）19、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第19题6分当a=√3，b=2时，计算：a 2−aba2÷(ab−ba)的值．20、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第20题6分已知正方形和圆的面积均为S，求正方形的周长l1和圆的周长l2（用含S的代数式表示，并指出它们的大小）．21、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第21题8分如图，在△ABC中，∠B=36°，D为BC上一点，AB=AC=BD=1，(1) 求DC的长．(2) 利用此图求sin⁡18°的精确值．22、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第22题8分2016~2017学年3月浙江杭州萧山区萧山区朝晖初级中学初一下学期月考第23题12分已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．(1) 若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时，求甲、乙两车的速度．(2) 假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？23、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第23题10分2017~2018学年陕西西安新城区西安华山中学初三上学期期末第25题12分如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(6,0)，(6,8)，动点M、N 分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．(1) P点的坐标为多少．（用含x的代数式表示）(2) 试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值．(3) 请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．24、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第24题10分浙江宁波镇海区镇海中学自主招生已知：关于x的方程①x2−(m+2)x+m−2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1>|x2|>0；关于x的方程②mx2+(n−2)x+m2−3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 D;10 、【答案】 B;;11 、【答案】√3+1412 、【答案】 101;13 、【答案】 15°或75°;14 、【答案】 −3.3;15 、【答案】 5;16 、【答案】 37;17 、【答案】 45°;18 、【答案】 27;19 、【答案】 2(2−√3)．;20 、【答案】 l 1=4√S ；l 2=2√Sπ；l 1>l 2．;21 、【答案】 (1) −1+√52． ;(2) −1+√54． ;22 、【答案】 (1) 甲的速度为120千米/小时；乙的速度为60千米/小时． ;(2) 3000千米．;23 、【答案】 (1) (6−x,43x)．;(2) S 的最大值为6，此时x =3．;(3) 当x =2，或x =10843，或x =94时△MPA 是一个等腰三角形，共三种情况． ;24 、【答案】 n =5或−1．;。

中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB 于点 F．若
△AB′F 为直角三角形，则 AE 的长为
．
第 2页（共 18页）
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17．（10 分）先化简，再求值
，其中
．
18．（12 分）（2013•黄冈中学自主招生试题）已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+（3a﹣1）x+2a2 ﹣1＝0 的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80．求实数 a 的所有可能值．
第 3页（共 18页）
19．（12 分）（2018•枣庄二中自主招生试题）如图，半圆 O 中，将一块含 60°的直角三角板的 60°角顶点 与圆心 O 重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于 C，D 两点（点 C 在∠AOD 内部），AD 与 BC 交于 点 E，AD 与 OC 交于点 F． （1）求∠CED 的度数； （2）若 C 是弧 的中点，求 AF：ED 的值； （3）若 AF＝2，DE＝4，求 EF 的长．
全国各地重点高中提前自主招生精选精练（二）
时间：100 分钟 满分 120 分
2019 年 3 月
一、选择题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分） 1．（2017•奉化中学自主招生试题）实数 a，b，c 满足 2a＝5，2b＝10，2c＝80，则代数式 2006a﹣3344b+1338c
的值为（ ）
﹣x）2 的最大值是（ ）
A．12
B．20
C．28
D．36
4．（2016•雅礼中学自主招生试题）如图，已知直线 l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是 1， 如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 sinα＝（ ）

…………………………………………………………7分
………………………………………8分
即sin(B+30°)=1.…………………………………………………………10分
∴0＜B＜120°，30°＜B+30°＜150°.
∴B+30°=90°, B=60°.………………………………………………11分
∴A=B=C=60°，△ABC为正三角形.………………………………………12分
5、.已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面a、b，有下列命题
①若l∥a，m∥b，且a∥b，则l∥m
②若l⊥a，m⊥b，且l∥m，则a∥b
③若m a，n a，m∥b，n∥b，则a∥b
④若a⊥b，a∩b=m，n b，n⊥m，则n⊥a
其中真命题的个数是2
6、 M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x-4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为8，12
∵l与C有两个交点，∴k≠0,
②
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) (kx2+m)
=（1+k2）x1x2+km (x1+x2)+m2=0.③……………………………………………8分
将②代入③得
化简，得m2+4km=0.……………………………………………………………………9分
∴m≠0①∴m+4k=0④
12.设函数 ， ，数列 满足 ，则数列 的通项 = ．
13.函数f(x)是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又f(－1)=－1,则满足f(x)≤t2+2at+1对所有的x∈[－1,1]及a∈[－1,1]都成立的t的范围是 .

卷6一．填空题1.设复数122,2()z i z x i x R =+=-∈，若12z z ∙为实数，则x 为 .2.一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的体积为________. 3．若ββαββαcos )cos(sin )sin(---＝m ，且α是第三象限角，则sin α＝ .4.若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y 等于 .5. 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则点P 到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是________. 6、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条 渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方 程是 .7.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A, 不等式x 2+x-6<0的解集 是B, 不等式x 2+ax+b<0的解集是A ⋂B, 那么a+b= . 8．如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ＝1,则()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是 .9.如图,线段AB=8,点C 在线段AB 上,且AC=2,P 为线段BC 上的一动 点,点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D,设 CP=x ,△PCD 的面积为f(x ),则的最大值为 .CADE B10.直线x +ay +1=0与直线(a +1)x -by +3=0互相垂直，a ,b ∈R ，且ab ≠0,则|ab |的最小值 是 .11.函数()23123x x f x x =+++的零点的个数是 .12．已知)2()2(,)(x f x f x f -=+且为偶函数，x x f x 2)(,02=≤≤-时当，*,2)(N n x f x ∈=若，==2008),(a n f a n 则 .13.设点()a b ,在平面区域{()||1||1}D a b a b =,≤,≤中按均匀分布出现，则椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e的概率为 ． 14.若数列{n a }满足d a a n n =-+221（其中d 是常数，∈n N ﹡），则称数列{n a }是“等方差数列”. 已知数列{n b }是公差为m 的差数列，则m =0是“数列{n b }是等方差数列”的 条件.（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个） 二．解答题15．高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少？ （2）根据题中信息估计总体平均数是多少？ （3）估计总体落在［129，150］中的概率.16. 已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

第二十四讲 向量与几何A 卷一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD DB CD r AB sAC ==+， ，则r s +的值为（ ）A ．23B ．43C ．3-D ．02．设平面上有四个互异的点A B C D ，，，，已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形3．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A B ，两点，则OA OB ⋅= （ ） A ．34 B ．34-C ．3D ．3-4．已知点(14)(31)(24)A B C -， ，，，， ，则ABC ∆的A ∠的平分线与BC 的交点D 的坐标为（ ）A ．7(7)6，B ．77()62，C ．77()62-，D ．7(7)6-，5．已知等腰ABC ∆中，BB CC ''，为两腰上的中线，且BB CC ''⊥，则顶角A 为（ ）A ．4arcsin 5B ．4arccos 5C ．4arcsin 5π-D ．4arccos 5π-6．正六边形ABCDEF 中，AB a BC b ==， ，则CD 等于（ ）A ．b a -B ．a b +C ．a b -D ．3b a - 二、填空题（每小题9分，共54分）7．在ABC ∆中，BDAB c AC b DCλ=== ， ， ，用c b ，表示AD 为 ． 8．任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则AB DC +=．9．正五边形ABCDE 中，O 为中心，则AO BO CO DO EO ++++=．10．D 是ABC ∆中AC 边上的一点，且AD ∶(2DC =+∶1，3060C ADB ︒︒∠=∠=，，.则AB DB ⋅=．11．四面体O ABC -中，G 为ABC ∆的重心，平面OAG 交BC 于M ，S 在线段OM 上，OS = 23OM ，AS 交OG 于P ，已知OA a OB b OC c ===， ， ，则OP = ．12．平面上两个正三角形123A A A 和123B B B ，其顶点的顺序都是顺时针方向，从平面上任一点O 作111222333OC A B OC A B OC A B === ， ， ，则123C C C ∆的形状为 ．三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知D E F ，，为ABC ∆三边的中点，O 为ABC ∆内一点．求证：OA OB OC OD OE OF ++=++．14．四边形123A A A A 为O 的内接四边形，1234H H H H ，，，依次为2343411A A A A A A A A A ∆∆∆，，， 123A A A ∆的垂心．求证：1234H H H H ，，，四点共圆，并确定该圆的圆心．15．如图ABC ∆中，O 为外心，三条高AD BE CF ，，交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：⑴OB DF OC DE ⊥⊥，； ⑵OH MN ⊥．B 卷一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知AP mAB nAC =+（A 、B 、C 不共线），则P 点在线段BC 上的充要条件是（ ）A ．1m n +=B ．1m n +=且0≤m ≤1C ．m ，n ≥0D ．以上都不对2．已知三个非零向量a，b ，c ，存在三个不全为零的实数m ，n ，l ，使0ma nb lc ++= ，是a，b ，c 共面的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非必要也非必要条件3．ABC ∆的三边长7AB =，5BC =，6CA =，则BA BC ⋅的值为（ ）A ．19B ．18C ．36D ．38 4．已知O 为ABC ∆的外心，H 为垂心，若()OH OA OB OC λ=++，则λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．15．已知5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，42CD a b =+，则三点 共线．（ ） A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D6．若点P 分有向线段12PP 所成的比为23，则2P 分有向线段1PP 所成的比为（ ） A ．53B ．53-C ．35D ．35-二、填空题（每小题9分，共54分）7．在ABC ∆中，D 、E 为BC 的三等分点，D 在B 、E 之间，F 为AC 的中点，G 为AB 的中点，设H 为EG 与DF 的交点，则:EG GH = ．8．已知(03)A ， ，(20)B ， ，(13)C -， ，则与+2AB AC方向相反的单位向量为 ． 9．已知(45)A ， ，(12)B ， ，(121)C ， ，(116)D ， ，则AC 与BD 的交点的坐标为 ．10．过边长为1的正三角形ABC 的中心O 作直线交AB 、AC 于M 、N ，则2211OM ON +的最小值为 ．11．在ABC ∆中，A ∠的平分线与AC 边上的中线互相垂直，则||||AC AB = ． 12．设I 为ABC ∆的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=． 三、解答题（每小题20分，共60分）13．是否存在这样的平移，使抛物线2y x =-平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与x 轴的两个交点构成的三角形面积为1？若不存在，说明理由；若存在，求函数解析式．14．若O 是ABC ∆内一点，则S ΔOBC ·OA＋S ΔOCA ·OB ＋S ΔOAB ·OC =0 ．15．已知ABC ∆不是直角三角形，O 为ABC ∆的外心，H 是ABC ∆的垂心．ABC ∆满足什么条件，才能使AH OA =．。

江苏省启东中学2017-2018学年度高一年级寒假开学检测数学试卷考试时间:120分钟 满分:160分一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1。

若幂函数f （x ）的图象经过点 (2，2 错误!)，则f （9）＝________．2. 已知a ＜0,则化简936()a -的结果为________．3. 已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．4. 已知集合A ＝｛x ｜－2≤x≤7},B＝{x ｜m ＋1<x 〈2m －1｝,若B ⊆A,则实数m 的取值范围是________．5. 函数0(1)()42x f x x-=-的定义域用区间表示为____________． 6. 函数y ＝错误!的值域为____________．7若函数()log a f x x = (0<a<1）在区间(a,3a －1）上单调递减，则实数a 的取值范围是________．8. 已知a ＝(2，－1）,b ＝（λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是_______．9. 已知cos 错误!＝a(｜a|≤1),则cos 错误!＋sin 错误!＝________．10．已知y ＝f （x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1。

若g （x ）＝f （x)＋2,则g （－1)＝________。

11. 已知函数f （x ）＝Asi n(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,|φ｜＜错误!）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3,2)x π+-．则f （x)= 。

12。

已知函数y ＝错误!，以下说法正确的是________．（填序号）①函数的周期为错误!；②函数是偶函数;③函数图象的一条对称轴为直线x ＝错误!；④函数在错误!上为单调减函数．13。

设f(x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［－1,1）上,f(x ）＝错误!其中a ∈R.若f 错误!＝f 错误!，则f(5a ）的值是________．14。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是．2．椭圆+=1的焦点坐标为．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有条公切线．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的命题．6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是．8．椭圆的离心率为，则m=．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是∃x∈R，sinx≥1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是：∃x∈R，sinx≥1．故答案为：∃x∈R，sinx≥1．2．椭圆+=1的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程求得半焦距c的值，根据椭圆的性质即可求得椭圆的焦点坐标．【解答】解：由椭圆的性质可知焦点在y轴上，c===1，∴椭圆的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1），故答案为：（0，﹣1），（0，1），．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有2条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据两圆的方程的标准形式，分别求出圆心和半径，两圆的圆心距小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，即可得出结论．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径为1，圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4，圆心C2（1，﹣1），半径为2，两圆的圆心距为，正好小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，故两圆的公切线只有二条，故答案为2．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题之间的关系进行判断即可．【解答】解：若“p∨q为假”则p，q同时为假命题，若““p∧q为假”则p，q至少有一个为假命题，p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分，故答案为：必要不充分5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的否命题．【考点】四种命题．【分析】设命题p为：若m，则n．根据已知写出命题r，s，t，结合四种命题的定义，可得答案．【解答】解：设命题p为：若m，则n．那么命题r：若￢m，则￢n，命题s：若￢n，则￢m．命题t：若n，则m．根据命题的关系，s是t的否命题．故答案为：否6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是m＞2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d大于r，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．【解答】解：∵x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，∴圆心到直线的距离d＞r，即＞，解得：m＞2，故答案为：m＞2．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是a＞或a．．【考点】圆的切线方程．【分析】先求过A与圆C：x2+y2=1相切的直线方程，再求a的取值范围．【解答】解：过A与圆C：x2+y2=1相切的直线的斜率是，切线方程是y=（x+2），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，B在x=2的直线上，且a＞或a．故选A＞或a．8．椭圆的离心率为，则m=3或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，∴c=，∴e==，得m=3；（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，∴c=，∴e==，得m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为x+4y﹣5=0．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设过M点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据M为弦AB的中点，由中点坐标公式，表示出直线AB方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将A和B两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点M的坐标和求出的斜率写出直线AB的方程即可．【解答】解：设过点M的直线与椭圆相交于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则有+=1①，+=1②，①﹣②式可得： +=0，又点M为弦AB的中点，且M（1，1），由+＜1，可得M在椭圆内，∴x1+x2=2，y1+y2=2，即得k AB==﹣，∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为（0，c）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．【解答】解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1N中点，连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||∵在椭圆+=1（a＞b＞0）中，设P点坐标为（x0，y0）则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|∵P点在椭圆+=1（a＞b＞0）上，∴|x0|∈（0，a]，又∵当|x0|=a时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a）∴|OM|∈（0，c）．故答案为：（0，c）．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=﹣．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=变形为x2+y2=1且x≥0显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．根据题意，直线y=x+b与曲线x=有且有一个公共点做出它们的图形，则易得b的取值范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣．故答案为：﹣1＜b≤1或b=﹣．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为（6﹣2，6+2）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆左焦点设为F1，连接MF1．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，求解即可．利用|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=10﹣（|MF1|﹣|MA|）≥6﹣|AF1|，即可得出其最小值．【解答】解：由椭圆+=1的焦点在x轴上，a=3，b=2，c=1，左焦点为F1（﹣1，0），连接MF1．由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF|=2a，|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=6+|MA|﹣|MF1|．即|MA|﹣|MF1|最大时，|MA|+|MF2|最大．在△AMF1中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，|MA|﹣|MF1|=|AF1|==2．∴|MA|+|MF2|的最大值是6+2．∴|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=6﹣（|MF1|﹣|MA|）≥10﹣|AF1|=6﹣2，∴|MA|+|MF|的取值范围（6﹣2，6+2），故答案为：（6﹣2，6+2）．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．【考点】椭圆的简单性质；直线的斜率．【分析】椭圆的离心率是，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：∵椭圆的离心率是，∴，∴，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+2n2=2b2，，∴=．∴k1•k2===．故答案为：﹣．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为[，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故答案为[，]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a，实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1＜m＜，因为￢p是￢q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，则，解得≤a≤，故实数a的取值范围为：[，]．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f （x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）求得所给的直线经过x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，从而得到l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，再利用点斜式求得弦所在的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，恒经过直线x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M到圆心C（1，2）的距离为MC==＜半径5，故点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为==2，故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆弧C1所在圆的方程求出M、N的坐标，求出直线AM的中垂线方程与直线MN中垂线方程，再求出圆弧C2所在圆的圆心和半径，即可求出圆弧C2所在圆的方程；（2）先假设存在这样的点P（x，y），根据条件和两点的距离公式列出方程化简，求出点P 的轨迹方程，分别与圆弧C1的方程、圆弧C2的方程联立后求出P的坐标即可得到答案．【解答】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=25，令x=3，解得M（3，4），N（3，﹣4），∵圆弧C2过点A（﹣1，0），∴直线AM的中垂线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），∵直线MN的中垂线方程y=0上，∴令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2（3，0），∴圆弧C2所在圆的半径为r2=|O2A|=4，∴圆弧C2的方程为（x﹣3）2+y2=16（﹣1≤x≤3）；（2）假设存在这样的点P（x，y），由得，，化简得，x2+y2+4x+2=0，∴点P的轨迹方程是x2+y2+4x+2=0，由，解得（舍去），由，解得，综上知的，这样的点P存在2个．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点得，求出m，n后就得到椭圆的方程．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣），结合题设条件能够推导出|AP|2=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），由此可以求出a的值及点P的坐标．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）∵椭圆过M，N两点∴⇒，即椭圆方程为+=1．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣）∴|AP|2=（x﹣a）2+y2=（x﹣a）2+4（1﹣）=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），当||≤3即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4﹣a2∴4﹣a2=1⇒a=±∉（0，]∴a＞3即＜a＜3，此时当x=3时，|AP|2的最小值为（3﹣a）2∴（3﹣a）2=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）通过将点（1，）代入椭圆方程，结合离心率为计算即得结论；（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通过设直线AP的方程为x=my+2、直线BQ的方程为x=﹣my+m，分别与椭圆方程联立，计算可知P（，﹣）、Q（，），利用斜率计算公式计算即可；②通过（1）可知直线AB的方程为x+2y﹣2=0，|AB|=，通过①可知P（，﹣）、Q（，），利用点P在第一象限可知﹣2＜m＜0，分别计算出点P、Q到直线AB的距离，利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．【解答】（1）解：依题意，，化简得：，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线BQ，AP的斜率均存在且不为0．①证明：设直线AP的方程为：x=my+2，则直线BQ的方程为：x=﹣my+m，联立，消去x整理得：（4+m2）y2+4my=0，∴P（，﹣），联立，消去x整理得：（4+m2）y2﹣2m2y+m2﹣4=0，∴Q（，），∴直线l的斜率为==；②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y﹣2=0，|AB|==，由①可知：P（，﹣），Q（，），∵点P在第一象限，∴＜﹣，即﹣2＜m＜0，∴点P到直线AB的距离d P==﹣，点Q到直线AB的距离d Q==，∴=== [（m﹣4）++10]，∵（4﹣m）+≥2=4，当且仅当4﹣m=即m=4﹣2时取等号，∴（m﹣4）+≤﹣4，∴的最大值为（10﹣4）=5﹣2．2016年12月29日。

江苏省启东中学2017届高三数学下学期期初考试试题（扫描版，无答案）编辑整理：
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2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二(下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本题共14小题，每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={﹣1，2，3，a｝,集合M={﹣1，3｝．若∁U M={2,5｝，则实数a的值为．2．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为．3．随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=，k=1，2,3,4，其中c是常数，则P（＜X＜）的值为．4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3,4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．5．我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛,各校上传文章的时间为3月1日到30日,评委会把各校上传的文章按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为180．那么本次活动收到的文章数是．6．曲线y=x3﹣2x+4在(1，3）处的切线的倾斜角为．7．已知命题p:∃x∈［0，1]，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是．8．下列有关命题的说法中正确的是．（填序号）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；③命题“存在x∈R,使得x2+x+1=0"的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1＜0”;④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．9．在0，1，2，3,…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．则组成的三位数中是3的倍数的有个．10．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有种．11．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有种．12．2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．13．已知，则的值是．14．= ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．4名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？(1）男生甲必须站在两端；（2）两名女生乙和丙不相邻;（3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间．16．记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．(1)求①A∩B；②（∁R A）∪B；（2)若C={x｜（x﹣m+1）(x﹣2m﹣1)＜0}，C⊆B，求实数m的取值范围．17．对于函数f（x）,若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f （x)，则称f(x)为“局部奇函数"．p：f（x）=m+2x为定义在［﹣1，2］上的“局部奇函数”；q：曲线g(x)=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；若“p∧q"为假命题,“p∨q”为真命题，求m的取值范围．18．某房屋开发公司根据市场调查,计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套"、“大套”、“经济适用房”三类商品房，每类房型中均有舒适和标准两种型号．某年产量如表：。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是．2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是．3．已知向量=（1，m），=（3，﹣2）且（+）⊥，则m=．4．函数f（x）=的定义域为．5．将函数y=sin（2x﹣）﹣1的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为．6．已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．7．函数f（x）=x2+ax﹣1，若对于x∈[a，a+1]恒有f（x）＜0，则a的取值范围．8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tanB=，则sinB 的值是．9．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若•=3，则•=．11．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．12．已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R）有两个零点，则k的取值范围．13．若曲线y=alnx与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=．14．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin（A+）=2cosA．（1）求角A的值；（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB．17．已知函数f（x）=，（其中m、n为参数）（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）如果f（x）是奇函数，求实数m、n的值；（3）已知m＞0，n＞0，在（2）的条件下，求不等式的解集．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=．（Ⅰ）若，求c的最小值；（Ⅱ）设向量，，且，求sin（B﹣A）的值．19．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．20．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是﹣1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．【解答】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=﹣1时，集合为{1，0，﹣1}，满足条件．故答案是：﹣1．2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．【考点】命题的否定．【分析】根据一个命题的否定定义解决．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜03．已知向量=（1，m），=（3，﹣2）且（+）⊥，则m=8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为0进行求解即可．【解答】解：∵（+）⊥，∴（+）•=0，即（4，m﹣2）•（3，﹣2）=0．即12﹣2（m﹣2）=0，得m=8，故答案为：8．4．函数f（x）=的定义域为（0，）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则∵∴log2x＞1或log2x＜﹣1解得：x＞2或x所以不等式的解集为：0＜x或x＞2则函数的定义域是（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．5．将函数y=sin（2x﹣）﹣1的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=sin（2x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得到答案．【解答】解：函数y=sin（2x﹣）﹣1，向左平移个单位，可得：y=sin[2（x+）﹣]﹣1=sin（2x+）﹣1，再向上平移1个单位，可得：y=sin（2x+）﹣1+1=sin（2x+）．所以所得图象的函数解析式为sin（2x+）．故答案为y=sin（2x+）．6．已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a＜5．【考点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A⊂B，∵集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，结合集合关系的性质，不难得到a＜5 【解答】解：∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件∴A⊂B故a＜5故选A＜57．函数f（x）=x2+ax﹣1，若对于x∈[a，a+1]恒有f（x）＜0，则a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可．【解答】解：二次函数f（x）=x2+ax﹣1开口向上，要它在区间[a，a+1]上恒小于零，结合二次函数的图象，只需满足：，即，解得：﹣＜a＜0．故答案为：．8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tanB=，则sinB的值是．【考点】余弦定理；余弦定理的应用．【分析】利用余弦定理可得cosB=，代入已知，化简后即可得结果【解答】解：∵cosB=，∴==∴5sinB=3∴sinB=故答案为9．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=0．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用整体构造思想，将cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解．【解答】解：∵0，∴，．sin （α+）=∵sin （α+）=故，∴．∴cos （α+）=；又∵，sin （α+）=cos [﹣（α+）]=cos （α）=，∴sin （α）=﹣．cos （2α﹣）=cos [（α+）+（α﹣）]=cos （α+）cos （α）﹣sin （α+）sin （α）=×﹣=0．故答案为：0．10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E 为BC 中点，若•=3，则•= ﹣3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．【解答】解：以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3，AD=，E 为BC 中点，∴A （0，0），B （3，0），D （0，），设C （x ，），∴=（3，0），=（x ，），∵•=3， ∴3x=3， 解得x=1，∴C （1，）， ∵E 为BC 中点，∴E （，），即为（2，），∴=（2，），=（﹣2，），∴•=2×（﹣2）+×=﹣4+1=﹣3故答案为：﹣3．11．已知函数f （x ）在定义域[2﹣a ，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f （﹣m 2﹣）＞f （﹣m 2+2m ﹣2），则m 的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a 的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f （x ）在定义域[2﹣a ，3]上是偶函数，所以2﹣a +3=0，所以a=5．所以f （﹣m 2﹣）＞f （﹣m 2+2m ﹣2），即f （﹣m 2﹣1）＞f （﹣m 2+2m ﹣2），所以偶函数f （x ）在[﹣3，0]上单调递增，而﹣m 2﹣1＜0，﹣m 2+2m ﹣2=﹣（m ﹣1）2﹣1＜0，所以由f （﹣m 2﹣1）＞f （﹣m 2+2m ﹣2）得，解得．故答案为．12．已知函数f （x ）=﹣kx 2（k ∈R ）有两个零点，则k 的取值范围 k ＜0或0＜k ＜1 ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】若函数f （x ）有2个不同的零点，则﹣kx 2=0 ①有2个不同的实数根．再分（1）当x=0时、（2）x ≠0时2种情况，分别求出方程的根，综合可得方程①有2个不相等的实数根的条件．【解答】解：若函数f （x ）=﹣kx 2（k ∈R ）有两个零点，则﹣kx2=0 ①有两个不同的实数根．（1）当x=0时，不论k取何值，方程①恒成立，即x=0恒为方程①的一个实数解．（2）故只需x≠0，函数f（x）=﹣kx2（k∈R）有1个零点⇔﹣kx2=0 有1个不同的实数根⇔=k|x|有1个异根，⇔函数y=与y=k|x|有1个交点，如图示：，k＞0时，由=﹣kx得：kx2+2kx+1=0，△=4k2﹣4k=0，解得：k=1，结合图象，k＜0或0＜k＜1，故答案为：k＜0或0＜k＜1．13．若曲线y=alnx与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出a的值．【解答】解：曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=x2的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．由曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得=，并且t==alns，得lns=，∴s2=e．则a=1，∴t=，s=，即．故答案为：．14．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是[，1）．【考点】函数恒成立问题．【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax ﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x=﹣时，[g（x）]min=g（﹣）=﹣2e．当x=0时，g（0）=﹣1，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得．∴a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】（1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，③当a=2﹣a即a=1时，N=φ三种情况进行求解【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得16．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin（A+）=2cosA．（1）求角A的值；（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得sinA= cosA，结合A∈（0，π），可求tanA=，进而可求A的值．（2）由已知及（1）可求A﹣B=﹣B∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求sin（A﹣B）的值，利用B=A﹣（A﹣B），根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为sin（A+）=2cosA，得sinA+cosA=2cosA，即sinA=cosA ， 因为A ∈（0，π），且cosA ≠0，所以tanA=， 所以A=．…（2）因为B ∈（0，π），cos （A ﹣B ）=， 所以A ﹣B=﹣B ∈（0，），因为sin 2（A ﹣B ）﹣cos 2（A ﹣B ）=1， 所以sin （A ﹣B ）=，…所以sinB=sin [A ﹣（A ﹣B ）]=sinAcos （A ﹣B ）﹣cosAsin （A ﹣B ）=．…17．已知函数f （x ）=，（其中m 、n 为参数）（1）当m=n=1时，证明：f （x ）不是奇函数； （2）如果f （x ）是奇函数，求实数m 、n 的值；（3）已知m ＞0，n ＞0，在（2）的条件下，求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的性质；其他不等式的解法． 【分析】（1）当m=n=1时，根据函数奇偶性的定义进行判断即可；（2）如果f （x ）是奇函数，根据奇函数的性质建立了方程关系即可求实数m 、n 的值； （3）根据函数的奇偶性将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：（1），∴，，∵f （﹣1）≠﹣f （1），∴f （x ）不是奇函数； … （2）∵f （x ）是奇函数时∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即对定义域内任意实数x 成立．化简整理得关于x 的恒等式（2m ﹣n ）•22x +（2mn ﹣4）•2x +（2m ﹣n ）=0，∴即或． …10分（注：少一解扣2分）（3）由题意得m=1，n=2，∴，易判断f（x）在R上递减，∵，∴，∴，∴2x＜3，∴x＜log23，即f（x）＞0的解集为（﹣∞，log23）…18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=．（Ⅰ）若，求c的最小值；（Ⅱ）设向量，，且，求sin（B﹣A）的值．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据数量积的应用，结合余弦定理即可求c的最小值；（Ⅱ）根据向量平行的坐标公式，利用三角函数的三角公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴abcosC=ab×=，∴ab=15．∴，∴c，即c的最小值为；（Ⅱ）∵，∴，即，∴，即tan2B=﹣，∴2B=或，即B=或．∵cosC=，∴C，sinC=．∴B=或（舍去）．∴=．19．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】连接BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，设∠PBP1=θ，∠NBP=﹣θ，则总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），求导，可得函数的最小值点．【解答】解：连接BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，设∠PBP1=θ，∠NBP=﹣θ…若，在Rt△PBP1中，PP1=sinθ，BP1=cosθ，若，则PP1=sinθ，BP1=cosθ，若＜θ＜，则PP1=sinθ，BP1=cos（π﹣θ）=﹣cosθ，∴…在Rt△QBQ1中，QQ1=PP1=sinθ，CQ1=sinθ，CQ=sinθ，…所以总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），……令f'（θ）=0，当时，f'（θ）＜0当时，f'（θ）＞0 …所以当时，总路径最短．答：当BP⊥BC时，总路径最短．…20．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．2016年12月24日。

江苏省启东中学2017—2018 学年度第一学期期初考试高一 ( 创新班 ) 数学试卷命题人:花蕾一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分，把答案填写在答题卷相应地址上1．已知会集A {1,2} ， B { a, a2 3}，若 A B {1} ，则实数 a 的值为________．2．已知向量a＝ ( k，3) ，b＝ (1 ，4) ，c＝ (2 ，1) ，且 (2 a－ 3b) ⊥c，则实数k＝.3．若 tan( π 1．) , 则tan4 64．奇函数 f (x) 在 (0 ， ) 上是增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 x[ f ( x) f ( x)] 0的解集为．5. 已知会集A x| log2 x 2 ， B ( ,a) ，若A B 则实数a的取值范围是(c, ) ，其中 c ．6．某企业一年购买某种货物600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总储藏花销为 4x 万元．要使一年的总运费与总储藏花销之和最小，则实数x 的值为____________．7. 方程3sin x 1 cos2x 在区间[0,2π]上的解为________________.8．如图，在平行四边形ABCD中， F 是 BC边的中点， AF交 BD于 E，若 D CBE ED ，则 E F． A B9. 函数f ( x) cos2x 6cos( πx) 的最大值为___________．210. 函数f ( x) x2 4x, x 0，若 f (2 a2 ) f (a), 则实数 a 的取值范围是________．4x x2 , x 011. 已知函数f (x) 4 1的定义域是a,b （a,b为整数），值域是 0,1 ，则满足条件| x | 2的整数数对 (a, b) 共有个 .12. 奇函数f (x)满足f (x 4) f ( x) ,且在区间[0,2] 上是增函数 , 若方程f ( x) m(m 0) 在区间8,8 上有四个不同样的根x1, x2 , x3 , x4,则x1 x2 x3 x4 _________.13．如图，在同一个平面内，向量OA ， OB ， OC 的模分别为1， 1，2，OA与OC 的夹角为，且 tan =7，OB与OC的夹角为 45°，若OC mOA nOB ，则 m n ．14．已知x, y [ 0,2 ] ，若2nsi xcos y nsi x cos y 1，则 x y 的最小值为．2二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15． ( 本题 14 分). 设会集A { x | x2 9}，B { x | ( x 2)( x 4) 0} .(1) 求会集A B ；(2) 若不等式 2 x 2 ax b 0 的解集为 A B ，求a 、b 的值 .16． ( 本题14 分 ) ．已知向量 a (cos x, sin x), b (3, 3), x [0, π].（1）若a∥ b，求x 的值；（2）记 f ( x) a b ，求 f ( x) 的最大值和最小值以及对应的x 的值．17． ( 本题 14 分 ). 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本 ( 即另增加投入 ) 0.25万元．市场对此商品的年需求量为5 百台，销售的收入( 单位 : 万元 ) 函数为R x5x 1 x2 0 x 5 ，其中 x 是产品生产的数量（单位：百2台） .（1）将利润表示为产量的函数；（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？18． ( 本题16 分). 已知函数 f ( x) sin( x ), 其中0 ， | | ．2（1）若cos cos, sin sin 0, 求的值；4 4（2）在（ 1）的条件下，若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数3f ( x) 的剖析式；并求最小正实数m ，使得函数 f ( x) 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．19．(本题 16 分 ). 若函数 f x 满足下列条件：在定义域内存在 x0 , 使得f x0 1 f x0 f 1 成立，则称函数 f x 拥有性质M；反之，若 x0不存在，则称函数 f x 不拥有性质M ．(1) 证明：函数 f x 2x拥有性质M，并求出对应的 x0的值；(2) 已知函数 h x lgaM ，求a的取值范围．拥有性质x2 120. ( 本题 16 分 ) ．已知a R 时，解不等式1f ( x) log2 ( x a) ．(1) 当 a 5 时，解不等式 f (x) 0 ；(2) 若关于 x 的方程 f (x) log 2 [( a 4) x 2a 5]0 的解集中恰有一个元素，求 a 的取值范围；(3) 设 a 0 ，若对任意t1[ ,1] ，函数 f ( x) 在区间 [ t, t 1] 上的最大值和最小值的差不高出21，求a的取值范围．。

2016-2017学年江苏省南通市启东市八年级（下）开学数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．下面有4个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）3．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A．B．C．D．4．二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≤3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3且x≠05．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x6．下列语句不正确的是（）A．能够完全重合的两个图形全等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．三角形的外角等于不相邻两个内角的和D．全等三角形对应边相等7．若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（）A．70°B．40°C．70°或40°D．70°或55°8．如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点 C．C点 D．D点9．小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）A．B．C．D．10．如图所示，已知△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CQP中（）A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①正确D．仅①和③正确二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．分解因式：4a2﹣16=．12．若点A（﹣3，7），则点A关于y轴对称点B的坐标为．13．已知，则的值是．14．若分式方程的解为正数，则a的取值范围是．15．，，则a2b﹣ab2的值为．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=°．17．如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为．18．如图，在等边△ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是．二、解答题：本大题共10小题，共96分．19．计算：（1）（﹣）÷（2）×（﹣）+|﹣|+6．20．解方程：．21．已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点A1，B1，C1的坐标．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB 于点E，若△BDE的周长是6，则AB，AC的长．24．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．25．有一块面积为150亩的绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少一半，乙队按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？26．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．27．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．28．如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依据是；（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK MK（填“＞”或“＜”）；（3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK MK，试证明你的猜想．2016-2017学年江苏省南通市启东市八年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．下面有4个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念结合4个汽车标志图案的形状求解．【解答】解：由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形．第4个不是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．3．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．【解答】解：∵42+92=97＜122，∴三角形为钝角三角形，∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．故选：C．4．二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≤3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3且x≠0【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出3﹣x≥0且x≠0，求出即可．【解答】解：要使有意义，必须3﹣x≥0且x≠0，解得：x≤3且x≠0，故选B．5．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x【考点】分式的加减法．【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．【解答】解：=﹣===x，故选：D．6．下列语句不正确的是（）A．能够完全重合的两个图形全等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．三角形的外角等于不相邻两个内角的和D．全等三角形对应边相等【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断，做题是要对选择项逐个验证，决定取舍．【解答】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．A、根据全等形的定义可知是正确的；B、“两边和一角对应相等的两个三角形”可能是“SSA”，故不正确；C、根据三角形的内、外角的关系可知是正确的；D、根据全等三角形的性质可知是正确的．故选B．7．若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（）A．70°B．40°C．70°或40°D．70°或55°【考点】等腰三角形的性质．【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．【解答】解：①70°是底角，则顶角为：180°﹣70°×2=40°；②70°为顶角；综上所述，顶角的度数为40°或70°．故选：C．8．如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点 C．C点 D．D点【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．【解答】解：当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．9．小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】首先表示出爸爸和小朱的速度，再根据题意可得等量关系：小朱走1440米的时间=爸爸走1440米的时间+10分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小朱的时间，根据时间关系列出方程即可．【解答】解：设小朱速度是x米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得：=+10，即：=+10，故选：B．10．如图所示，已知△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CQP中（）A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①正确D．仅①和③正确【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据角平分线性质求出∠PAB=∠PAC，∠PSA=∠PRA=90°，根据AAS推出△PAR≌△PAS，根据全等三角形的性质得出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠CAP=∠APQ，推出∠BAP=∠APQ，根据平行线的性质得出PQ∥AB，最后根据全等三角形的判定判断③即可．【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，∴∠PAB=∠PAC，∠PSA=∠PRA=90°，在△PAR和△PAS中，，∴△PAR≌△PAS（AAS），∴AR=AS，∴①正确；∵AQ=PQ，∠CAP=∠APQ，∵∠CAP=∠BAP，∴∠BAP=∠APQ，∴PQ∥AB，∴②正确；∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠PRB=∠PSC=90°，∴PQ＞PS，∵PR=PS，∴PQ＞PR，∴不能推出△BRP≌△CQP，∴③错误．故选B．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．分解因式：4a2﹣16=4（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4a2﹣16=4（a2﹣4）=4（a+2）（a﹣2）．故答案为：4（a+2）（a﹣2）．12．若点A（﹣3，7），则点A关于y轴对称点B的坐标为（3，7）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】利用关于y轴对称点的性质得出答案即可．【解答】解：点A（﹣3，7）关于y轴对称的点B的坐标是：（3，7）．故答案为：（3，7）．13．已知，则的值是﹣2．【考点】分式的加减法．【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得=，再利用比例性质可得ab=﹣2（a﹣b），再利用等式性质易求的值．【解答】解：∵﹣=，∴=，∴ab=2（b﹣a），∴ab=﹣2（a﹣b），∴=﹣2．故答案是：﹣2．14．若分式方程的解为正数，则a的取值范围是a＜8，且a≠4．【考点】分式方程的解．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程解为正数求出a的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：x=2x﹣8+a，解得：x=8﹣a，根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，解得：a＜8，且a≠4．故答案为：a＜8，且a≠4．15．，，则a2b﹣ab2的值为4．【考点】因式分解的应用．【分析】将条件和结论分别变形为：ab=1，a﹣b=4，a2b﹣ab2=ab（a﹣b），将变形后的条件代入变形后的结论就可以求出其值．【解答】解：∵，，∴ab=1，a﹣b=4，∵a2b﹣ab2=ab（a﹣b），∴原式=1×4=4．故答案为：416．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=30°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC===70°，∵MN垂直平分线AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故答案为：30．17．如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为2．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质得到DB=AC=7，结合图形计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴DB=AC=7，∴DE=BD﹣BE=7﹣5=2，故答案为：2．18．如图，在等边△ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是3．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【分析】过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，由于C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，根据勾股定理求出CN，即可求出答案．【解答】解：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，∵等边△ABC中，AD平分∠CAB，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CM=BM，即BM+MN=CM+MN=CN，∵CN⊥AB，∴∠CNB=90°，CN是∠ACB的平分线，AN=BN（三线合一），∵∠ACB=60°，∴∠BCN=30°，∵AB=6，∴BN=AB=3，在△BCN中，由勾股定理得：CN===3，即BM+MN的最小值是3．故答案为3．二、解答题：本大题共10小题，共96分．19．计算：（1）（﹣）÷（2）×（﹣）+|﹣|+6．【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算．【分析】（1）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母分解因式后约分即可；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式=====；（2）原式==．20．解方程：．【考点】解分式方程．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：原方程可化为： +2=，方程的两边同乘（x﹣4）得，x﹣5+2（x﹣4）=﹣1，解得，x=4，检验，把x=4代入最简公分母x﹣4=0，所以x=4不是原方程的解，∴原方程无解．21．已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x﹣y=3代入计算即可求出值．【解答】解：原式=（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x=（2x2﹣2xy）÷2x=x﹣y，当x﹣y=3时，原式=x﹣y=3．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点A1，B1，C1的坐标．【考点】作图﹣轴对称变换．【分析】（1）根据网格可以看出三角形的底AB是5，高是C到AB的距离，是3，利用面积公式计算．（2）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同长度，找对应点．顺次连接即可．（3）从图中读出新三角形三点的坐标．=×5×3=（或7.5）（平方单位）．【解答】解：（1）S△ABC（2）如图．（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB 于点E，若△BDE的周长是6，则AB，AC的长．【考点】等腰直角三角形；角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再判断出△BDE 是等腰直角三角形，设BE=x，然后根据△BDE的周长列方程求出x的值，再分别求解即可．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∴CD=DE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴△BDE是等腰直角三角形，设BE=x，则CD=DE=x，BD=x，∵△BDE的周长是6，∴x+x+x=6，解得x=6﹣3，∴AC=BC=x+x=6﹣3+（6﹣3）=3，AB=AC=×3=6．24．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．【考点】二次根式的化简求值．【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．25．有一块面积为150亩的绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少一半，乙队按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？【考点】分式方程的应用．【分析】求的是时间，工作总量为150，一定是根据工作效率来列等量关系，本题的关键描述语是：甲队比乙队每天多绿化10亩．等量关系为：甲工效﹣乙工效=10．【解答】解：设规定时间为x天，由题意得：解得：x=15，经检验：x=15是原方程的解，且符合实际情况．答：规定时间是15天．26．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．【考点】因式分解的应用．【分析】（1）应用分组分解法，把a2﹣4a﹣b2+4分解因式即可．（2）首先应用分组分解法，把a2﹣ab﹣ac+bc=0分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出△ABC的形状即可．【解答】解：（1）a2﹣4a﹣b2+4=a2﹣4a+4﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc=0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a﹣c）=0，∴a﹣b=0或a﹣c=0，∴a=b或a=c，∴△ABC是等腰三角形．27．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【考点】等边三角形的性质．【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．【解答】证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．28．如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK=MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依据是等腰三角形三线合一；（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK＞MK（填“＞”或“＜”）；（3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK＞MK，试证明你的猜想．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；（2）先证AM=MD、CK=KD，故AM+CK=MD+KD，在△MKD中，根据两边之和大于第三边得AM+CK＞MK；（3）作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△GDK≌△CDK后，根据全等三角形的性质可得GK=CK，GM+GK＞MK，从而得到AM+CK＞MK．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴AD=BD=CD=AB，∠B=∠BDC=60°又∵∠A=30°，∴∠ACD=60°﹣30°=30°，又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，∴∠CKD=90°，∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），∵CK=0，或AM=0，∴AM+CK=MK；（2）由（1），得∠ACD=30°，∠CDB=60°，又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=MD，CK=KD，∴AM+CK=MD+KD，∴在△MKD中，AM+CK＞MK，（3）AM+CK＞MK，证明：作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD．∵点G是点A关于直线DE的对称点∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，∵Rt△ABC 中，D是AB的中点，∴AD=CD=GD．∵∠A=∠E=30°，∴∠CDA=120°，∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°，∴∠GDK=∠CDK，在△GDK和△CDK中，∵，∴△GDK≌△CDK（SAS），∴GK=CK，∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．2017年4月30日。

2016-2017学年江苏省启东中学高一下学期期中考试数学试题注意事项：1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上． 3．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1. 经过点(4,3)-且在y 轴上截距为2的直线的方程为___▲___．2. 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x z +=的最小值为___▲___．3. 在ABC ∆中,ABC B BC ∆==,32,1π面积3=S ,则边AC 长为___▲___． 4. 若直线052:1=-++m y mx l 与01)2(3:2=+-+y m x l 平行，则实数m 的值为 ___▲___．5．在等比数列}{n a 中，已知11=a ,243=k a ，3=q ，则数列}{n a 的前k 项的和k S 等于___▲___． 6. 设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，41cos -=C ，B A sin 2sin 3=，则=c ___▲___．7. 设n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则21a a的值为___▲___． 8. 点)0,4(P 关于直线02145=++y x 的对称点的坐标是___▲___．9. 已知二次函数)(,1)2()(2Z a x a ax x f ∈++-=，且函数)(x f 在)1,2(--上恰有一个零点，则不等式1)(>x f 的解集为___▲___．10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则5S =___▲___．11. 如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是___▲___．12. 已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第___▲___项．13. 已知ABC ∆的三边长,,a b c 依次成等差数列，22221a b c ++=，则b 的取值范围是___▲___． 14. 已知21=xy ，)1,0(,∈y x ，则yx -+-1112的最小值为___▲___． 二、解答题：本大题共6小题，共90分。