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离散数学北京邮电大学PPT课件

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北京邮电大学计算机学院 离散数学 9.1~9.3-relations

北京邮电大学计算机学院 离散数学 9.1~9.3-relations

A B = {(a, b) | a A and b B}
2015-2-5
College of Computer Science & Technology, BUPT
5
A1 A2 Am


The Cartesian product A1 A2 Am of the nonempty sets A1, A2, , Am is the set of all ordered m-tuples (m元组) (al, a2, ... , am), where ai Ai, i = 1, 2, . . . , m Thus
9.1 Relations and Their Properties 关系及关系性质 9.2 n-ary Relations and Their Applications n元关系及应用 9.3 Representing Relations 关系的表示 9.4 Closures of Relations 关系闭包 9.5 Equivalence Relations 等价关系 9.6 Partial Orderings 偏序关系

R(A1) = {y B | x R y for some x in A1}
2015-2-5
College of Computer Science & Technology, BUPT
15
Theorem

Let R be a relation from A to B, and let A1 and A2 be subsets of A. Then
College of Computer Science & Technology, BUPT

北京邮电大学计算机学院离散数学下半学期

北京邮电大学计算机学院离散数学下半学期

Examples
(Z, +) is a commutative semigroup.
The set P(S), where S is a set, together with the operation of union is a commutative semigroup.
The set Z with the binary operation of subtraction is not a semigroup, since subtraction is not associative.
Subsemigroup – 子半群
Let
(S, *) be a semigroup and T be a subset of S.
if T is closed under the operation *, then
(T, *) is called a subsemigroup of (S, *).
Powers of a
Suppose
(S, *) is a semigroup, a ∈ S n ∈ Z+

Define the powers of an recursively as follows:
al = a, an = an-1 * a, n ≥2.
a0 = e
if (S, *) is a monoid
if it is a one-to-one correspondence from S to T, and f(a*b) = f(a)*'f(b) for all a and b in S.
Note
If f is an isomorphism from (S, *) to (T, *'), then, since f is a one-to-one correspondence, f-1 exists and is a one-toone correspondence from T to S.

北京邮电大学 计算机学院 离散数学 3.2-Growth of Functions

北京邮电大学 计算机学院 离散数学 3.2-Growth of Functions
problems. Ignore implementation details such as loop counter
incrementation, etc. We can straight-line any loop.
2021/6/13
精选2021版课件
2
Orders of Growth (§3.2)
Discrete Mathematical Structures
Growth of Functions(函数增长)
Yang Juan
yangjuan@
College of Computer Science & Technology Beijing University of Posts & Telecommunications
Suppose database program A takes fA(n)=30n+8 microseconds to process any n records, while program B takes fB(n)=n2+1 microseconds to process the n records.
精选2021版课件
6
The Big-O Notation
Definition: Let f and g be functions from N or R
to R. Then g asymptotically dominates(渐进地支 配) f, denoted f is O(g) or 'f is big-O of g, iff
Value of function
fA(n)=30n+8 fB(n)=n2+1 Increasing n

北京邮电大学计算机学院 离散数学 11.2-trees

北京邮电大学计算机学院 离散数学 11.2-trees

5
Coin-Weighing Problem

Imagine you have 8 coins, one of which is a lighter counterfeit, and a free-beam balance.

No scale of weight markings is required for this problem!
2015-2-5
College of Computer Science & Technology, BUPT
4
Decision Trees

A decision tree represents a decision-making process.


Each possible “decision point” or situation is represented by a node. Each possible choice that could be made at that decision point is represented by an edge to a child node.
9
2015-2-5
General Balance Strategy

On each step, put n/3 of the n coins to be searched on each side of the scale.

If the scale tips to the left, then:
You can prove that this strategy always leads to a balanced 3-ary tree.
2015-2-5

北邮概率统计课件2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)

北邮概率统计课件2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)
4 5 4 5 5 5 0
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
2013-8-9 北邮概率统计课件
n k
概率统计
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有

离散数学北京邮电大学

离散数学北京邮电大学
– Analysis using order-ofgrowth notation.
• §3.5: Primes and Greatest Common Divisors • §3.6: Integers & Algorithms
– Alternate bases, algorithms for basic arithmetic
Algorithm Characteristics
Some important general features of algorithms: • Input. Information or data that comes in. • Output. Information or data that goes out. • Definiteness. Algorithm is precisely defined. • Correctness. Outputs correctly relate to inputs. • Finiteness. Won‟t take forever to describe or run. • Effectiveness. Individual steps are all do-able. • Generality. Works for many possible inputs. • Efficiency. Takes little time & memory to run.
– Example assignment statement: v := 3x+7 (If x is 2, changes v to 13.)
• In pseudocode (but not real code), the expression might be informally stated:

离散数学课件-绪论

离散数学课件-绪论
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域

离散数学的ppt课件

离散数学的ppt课件

科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。

《离散数学讲义》课件

《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

《离散数学》完整课件

《离散数学》完整课件

第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎

北京邮电大学计算机学院离散数学下半学期

北京邮电大学计算机学院离散数学下半学期

Semigroups and Groups
• • • • • Binary Operations Revisited Semigroups Products and Quotients of Semigroups Groups Products and Quotients of Groups
Mathematical Structures
Inverse（逆元）
• If a binary operation has an identity e, we say y is a -inverse of x if x y=y x=e.
Theorem 2
• If is an associative operation and x has a -inverse y, then y is unique. • Proof
Example 2
• The collection of 3 3 matrices with the operations of addition, multiplication, and transpose is a mathematical structure denoted by [ 3 3 matrices, +, , T ].
• The structure [5 5 matrices, +, *, T] is closed with respect to addition because the sum of two 5 5 matrices is another 5 5 matrix. • The structure [odd integers, +, *] is not closed with respect to addition.

离散数学课件第一章

离散数学课件第一章

图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。

离散数学北京邮电大学

离散数学北京邮电大学
• §3.6: Integers & Algorithms
– Alternate bases, algorithms for basic arithmetic
• §3.7: Applications of Number theory
– Public-Key Cryptography
• §3.8: Matrices
• Definiteness. Algorithm is precisely defined.
• Correctness. Outputs correctly relate to inputs.
• We say that a program implements (or “is an
implementation of”) its- algorithm.
3
Programming Languages
• Some common programming languages:
– Newer: Java, C, C++, C#, Visual Basic, JavaScript, Perl, Tcl, Pascal, many others…
• A computer program is simply a description of an algorithm, in a language precise enough for a computer to understand, requiring only operations that the computer already knows how to do.
Algorithms
Rosen 6th ed., §3.1
Abu al-Khowarizmi
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• A computer program is simply a description of an algorithm, in a language precise enough for a computer to understand, requiring only operations that the computer already knows how to do.
• §3.6: Integers & Algorithms
– Alternate bases, algorithms for basic arithmetic
• §3.7: Applications of Number theory
– Public-Key Cryptography
• §3.8: Matrices
person whose job was to execute
algorithms!
.
7
Executing the Max algorithm
• Let {ai}=7,12,3,15,8. Find its maximum…
• Set v = a1 = 7. • Look at next element: a2 = 12. • Is a2>v? Yes, so change v to 12. • Look at next element: a2 = 3. • Is 3>12? No, leave v alone…. • Is 15>12? Yes, v=15…
• Definiteness. Algorithm is precisely defined.
• Correctness. Outputs correctly relate to inputs.
• You should know at least 1 real
language!
.
5
Algorithm Example (English)
• Task: Given a sequence {ai}=a1,…,an, aiN, say what its largest element is.
• One algorithm for doing this, in English:
Algorithms
Rosen 6th ed., §3.1
Abu al-Khowarizmi
(ca. 780-850)
.
1
Chapter 3: More Fundamentals
• §3.1: Algorithms
– Formal procedures
• §3.2: Growth of Functions • §3.3: Complexity of
are no more elements in the sequence, & return v.
.
6
Executing an Algorithm
• When you start up a piece of software, we say the program or its algorithm are being run or executed by the computer.
– Set the value of a temporary variable v (largest element seen so far) to a1’s value.
– Look at the next element ai in the sequence.
– If ai>v, then re-assign v to the number ai. – Repeat then previous 2 steps until there
algorithms
– Analysis using order-ofgrowth notation.
• §3.4: The Integers & Division
– Some basic number theory.
• §3.5: Primes and Greatest Common Divisors
– Older: Fortran, Cobol, Lisp, Basic
– Assembly languages, for low-level coding.
• In this class we will use an informal, Pascal-like “pseudo-code” language.
• Given a description of an algorithm, you can also execute it by hand, by working through all of its steps with pencil & paper.
• Before ~1940, “compharacteristics
Some important general features of algorithms:
• Input. Information or data that comes in.
• Output. Information or data that goes out.
– Some basic linear algebra.
.
2
§3.1: Algorithms
• The foundation of computer programming.
• Most generally, an algorithm just means a definite procedure for performing some sort of task.
• We say that a program implements (or “is an
implementation of”) its. algorithm.
3
Programming Languages
• Some common programming languages:
– Newer: Java, C, C++, C#, Visual Basic, JavaScript, Perl, Tcl, Pascal, many others…