下载文档原格式
函数图像变换与旋转一.平移变换：1.y=f（x）→y=f(x±a)(a>0) 原图像横向平移a个单位（左+右-）2.y=f（x）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b个单位（上+下-）3.若将函数y=f（x）的图像右移a，上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b二．对称变换：1.y=f（x）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y轴对称；对比：若f=（-x）=f（x）则函数自身的图像关于y轴对称；2.y=f（x）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x轴对称；3.y=f（x）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f（-x）=-f（x）则函数自身的图像关于原点对称；4.y=f（x）→y=f-1（x）原图像与新图像关于直线y=x对称；5.y=f（x）→y=f-1（-x）原图像与新图像关于直线y=-x对称；6.y=f（x）→y=f（2a-x）原图像与新图像关于直线x=a对称；7.y=f（x）→y=2b-f（x）原图像与新图像关于直线y=b对称；8.y=f（x）→y=2b-f（2a-x）原图像与新图像关于点（a，b）对称；三．翻折变换：1. y=f（x）→y=f(|x|)的图像在y轴右侧（x>0）的部分与y=f（x）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y轴对称；2.y=f（x）→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f（x）的图像相同，其他部分图像为y=f（x）图像下方部分关于x轴的对称图像；3. y=f（x）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a右边图像，后去掉直线x=a左边图像并作关于直线x=a对称图像y=f（x）→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)法2:先保留y轴右边图像，去掉y轴左边图像，并作关于y轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f（x）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：1.y=f（x）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变；2.y=f（x）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f（x）=f（2a-x）（或f（a+x）=f（a-x）或f（-x）=f（2a+x））则函数自身关于直线x=a对称；（2）.若y=f（x）的图像关于直线对称等价于f（a+mx）=f（b-mx）等价于 f（a+b-mx）=f（mx）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f（mx+a）=-f（b-mx），则函数自身关于点（，0）对称；（2）.若f（mx+a）+f（b-mx）=c，则函数自身关于点（，）对称；（3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b（或f（x）+f(2a-x)=2b或f（-x）+f(2a+x)=2b 则函数自身关于点（a,b）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f（a+x），y=f（b-x）的图像关于直线对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称；特例：函数y=f（a+x），y=f（a-x）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f（a+x），y=-f（b-x）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f（a+x）与y=-f（a-x）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；1.f（x+a）=f（x）周期：|a|2.f（x+a）=-f（x）周期：2|a|3.f（x+a）=（或周期：2|a|4.f（x+a）=f（x-a）周期：2|a|5.f（x+a）=-f（x-a）周期：4|a|6.f（x+a）=（或）周期：4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-) 周期：七．对称性与周期性：1.若y=f（x）的图像关于直线x=a，x=b对称（a不等于b），则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；特例：若y=f（x）是偶函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=2|a|；2.若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f（x）的图像关于直线x=a，对称中心（b，0）对称（a不等于b）则f（x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f（x）是奇函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
一、学习目标：1. 了解函数图象的基本变换，能画出简单的函数图象。
（一次函数、二次函数、初等函数等）2. 认识函数图象，并能根据函数图象理解函数的性质。
3. 能利用函数图象解决简单的问题。
二、重点、难点：重点：作图→识图→用图难点：函数图象的应用三、考点分析：函数图象是新课标高考命题的重点之一，考查的题型多以选择、填空题出现。
根据新课标高考知识点的要求：只要求掌握对简单的函数图象的认识、应用等。
通过对函数图象这一知识点的考查，进一步考查学生分析问题、解决问题的能力及数形结合的思想方法。
知识网络结构：知识要点解析：（一）作图：1. 一般作图方法：（列表、描点、连线）确定函数定义域、化简函数解析式、讨论函数性质、画出函数图象。
2. 变换作图（1）平移变换：函数)0y的图象可由函数)f(xfxy=的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）(),(≠+a=a平移|a|个单位得到。
（此平移过程中：函数的值域不变）函数)0y的图象可由函数)f(xxfy=的图象向上（b＞0）或向下（b＜0）(≠(,)+b=b平移|b|个单位得到。
（此平移过程中：函数的定义域不变）（2）对称变换函数)(x f y -=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于x 轴对称变换得到。
函数)(x f y -=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于y 轴对称变换得到。
函数)(x f y --=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于原点对称变换得到。
函数)(1x fy -=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于直线y ＝x 对称变换得到。
函数|)(|x f y =的图象可通过作函数)(x f y =的图象，然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴的上方，其余部分不变得到。
函数|)(|x f y =的图象可由函数)(x f y =的图象在y 轴右边的部分及该部分关于y 轴对称的部分组成。
（3）伸缩变换：函数)10(),(≠>=A A x Af y 且的图象可由函数)(x f y =的图象上的各点纵坐标伸长（A ＞1）或缩短（0＜A ＜1）原来的A 倍得到。
课时规范练12 函数的图象《素养分级练》P356基础巩固组1.函数f (x )=x+1x图象的对称中心为( )A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,1)答案:B 解析:f (x )=x+1x =1+1x,由y=1x 向上平移一个单位长度得到y=1+1x ,又y=1x关于(0,0)对称,所以f (x )=1+1x 的图象关于(0,1)对称.2.(2023·宁夏银川高三检测)函数f (x )=|sin x|与函数y=lg x 图象的交点个数是( ) A.5 B.4C.3D.2答案:A解析:画出函数f (x )=|sin x|和y=lg x 的图象,易知|sin x|≤1,lg10=1,结合图象可得函数f (x )=|sin x|与函数y=lg x 的图象的交点个数是5.3.(2022·广东广州一模)若函数y=f (x )的大致图象如图,则f (x )的解析式可能是( )A.f (x )=x 2e x e 2x +1B.f (x )=e 2x +1x 2e xC.f (x )=x 2e xe 2x -1D.f (x )=e 2x -1x 2e x答案:D解析:由图可知函数定义域为{x|x ≠0},由此排除A;该函数图象关于原点对称,则该函数为奇函数,需满足f (x )+f (-x )=0,对于B,f (x )+f (-x )≠0,故排除B;C 和D 均满足f (x )+f (-x )=0,对于C,f (x )=x 2e xe 2x -1=x2 e x-1e x ,当x→+∞时,1e x→0,故f(x)→x2e x,因为y=x2增长的速率比y=e x增长的速率慢,所以f(x)→x2e x→0,即图象在x轴上方无限接近于x轴正半轴,与题意不符,故排除C.综上,D选项正确.4.(2023·北京延庆高三检测)函数f(x)=ax-b(x+c)2的图象如图所示,则下列结论一定成立的是()A.a>0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c>0C.a>0,b<0,c<0D.a<0,b>0,c>0答案:A解析:由图知f(0)=-bc2>0,所以b<0,当x=-c时,函数f(x)无意义,由图知-c<0,所以c>0.令f(x)=0,解得x=ba ,由图知ba<0,又因为b<0,所以a>0.综上,a>0,b<0,c>0.5.已知函数f(x)={2x-1,0<x<2,6-x,x≥2,那么不等式f(x)≥√x的解集为()A.(0,1]B.(0,2]C.[1,4]D.[1,6]答案:C解析:作出函数y=f(x)与y=√x的图象,如图所示.由图象可知不等式f(x)≥√x的解集为[1,4],故选C.6.(2023·河南郑州模拟)已知函数f(x)=2x+x-4,g(x)=e x+x-4,h(x)=ln x+x-4的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小顺序是()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b答案:C解析:由已知条件,f (x )的零点可以看成函数y=2x 与y=4-x 图象的交点的横坐标,g (x )的零点可以看成函数y=e x 与y=4-x 图象的交点的横坐标,h (x )的零点可以看成函数y=ln x 与y=4-x 图象的交点的横坐标,在同一坐标系分别画出y=2x ,y=e x ,y=ln x ,y=4-x 的函数图象,如下图所示,可知c>a>b ,故选C.7.(2023·吉林长春二中高三检测)已知函数f (x )={-12x 2-x +32,x ≤a ,-2x ,x >a 无最大值,则实数a 的取值范围是 . 答案:(-∞,-1)解析:由题可知,当x ≤a 时,f (x )=-12x 2-x+32,其对称轴为直线x=-1,当a ≥-1时,函数f (x )=-12x 2-x+32有最大值且最大值为f (-1)=2,当a<-1时,函数f (x )=-12x 2-x+32有最大值且最大值为f (a )=-12a 2-a+32.当x>a 时,f (x )=-2x ,在(a ,+∞)上单调递减,故f (x )<f (a )=-2a.因为函数f (x )无最大值,故当a ≥-1时,需满足2<-2a ,解得a<-1,不符合题意,当a<-1时,需满足-12a 2-a+32<-2a ,解得a<-1,或a>3(舍去).综上,实数a 的取值范围是(-∞,-1).综合提升组8.(多选)(2023·福建三明模拟)已知f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f (x )={log 2x ,0<x <1,|4-x 2|,x ≥1,则下列说法正确的是( )A.函数f (x )在(0,+∞)上单调递增B.函数f (x )有两个零点C.不等式f (x )≤3的解集为[-√7,√7]D.方程f (f (x ))-5=0有6个不相等的实数根 答案:BD解析:由题意,函数f (x )的图象如图所示.对于A,f(x)在(1,2)上单调递减,A错误.对于B,令f(x)=0,即|4-x2|=0,解得x=±2,f(x)只有2个零点,B 正确.对于C,由图知只需f(x)≤3,解得x∈[-√7,0)∪(0,√7],C错误.对于D,f(f(x))=5,即|4-f2(x)|=5,且|f(x)|≥1,解得f(x)=±3,若f(x)=3,即|4-x2|=3,解得x=±1或x=±√7;若f(x)=-3,即log2|x|=-3,解得x=±18,D正确.故选BD.9.(2022·广东茂名一模)已知函数f(x)={|log2x|,0<x<2,-x+3,x≥2,若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1·x2·x3的取值范围是.答案:(2,3)解析:不妨设x1<x2<x3,由图可得,|log2x1|=|log2x2|=-x3+3∈(0,1),所以log2x1=-log2x2,即x1x2=1,由f(x1)=f(x2)=f(x3),得x3∈(2,3),所以x1·x2·x3的取值范围是(2,3).创新应用组10.(2023·河北邢台高三检测)如图,一个“心形”由两个函数的图象构成,则“心形”上部分的函数解析式可能为()A.y=|x|√4-x2B.y=x√4-x2C.y=√-x2+2|x|D.y=√-x 2+2x 答案:C解析:由函数图象知,“心形”上部分的函数图象关于y 轴对称,而y=x √4-x 2,y=√-x 2+2x 不满足,排除B,D;y=|x|√4-x 2的图象过(0,0),(-2,0),(2,0),当0<x<2时,y=x √4-x 2≤x 2+(√4-x 2)22=2,当且仅当x=√4-x 2,即x=√2时,等号成立,不符合要求,排除A;y=√-x 2+2|x |的图象过(0,0),(-2,0),(2,0),当0<x<2时,y=√-x 2+2x =√-(x -1)2+1≤1,当x=1时,函数取得最大值1,符合要求.故选C.。
【一轮复习】9．函数图像及其变换【知识要点归纳】 一．初等函数图像二．函数图像的四种变换规律1.平移变换：口诀是 ，即)(a x f y ±=是由y=f(x)向 平移 单位得来的, 即b x f y ±=)(是由y=f(x)向 平移 单位得来的2.对称变换： (1)点的对称（2）函数的对称：利用对称变换，可以由函数y=f(x)的图象变换出以下3种函数图象y=-f(x),y=f(-x),y=-f(-x)的图象。
引申：若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线 对称； 若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图象关于点 对称；3.翻折变换：解析式的形式分别是 口诀是 ，即y=f(|x|)是将)(x f y =的图像在y 轴左边的图像删掉，将将)(x f y =的图像在y 轴右边的图像翻到y 轴左边；y=|f(x)|是将)(x f y =的图像在x 轴下边的图像删掉，在将删掉的这个部分翻到x 轴上边4.伸缩变换：y=af(kx)（a 、k>0）可以看成是由函数y=f(x)伸缩变换得来的，具体为三．综合图像问题【经典例题】例1：求函数)1lg(2+=x y 沿向量)2,1(-=a平移后的解析式例2：为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度例3：设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x ≥0），则(){}20x f x ->= （ ）（A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或例4：函数22log 2xy x-=+的图像 （A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称例5：已知函数y=f(x)与函数y=g(x)上的点关于直线y=-x 对称，且f(7)=-1,f(8)=10，求g(1)+g(-10)=例6：作出下列函数的图象并写出其单调区间： （1）3||22++-=x x y （2）|65|2--=x x y （3）y=1-|1-x|（4）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21例7：直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .例8：已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 例9：设，函数的图像可能是例10：函数2)1()(x ax x f n-=在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2(C) 3 (D) 4【课堂练习】1.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为121121112)1(111)(1)(112222222222-+=-+--=-+-=-+=-+=-+=-+=--x x x x x x x x x x xx x x x x x x e e e e e e e e e e ee e e e e e e y ,所以当0x >时,x e 2为增12-⇒xe 为增122-⇒x e 为减1212-+⇒x e 为减函数,故选A.答案:A. 2.用表示a ，b 两数中的最小值。
高考复习——函数的图像及其变换●考试目标主词填空对函数的线性复合所引起的图象变换，可归纳为以下十大变换规律．1．要作函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象向左（ａ＞0）或向右（ａ＜0）平移｜ａ｜个单位即可．称之为函数图象的左、右平移变换．2．要作函数ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｈ的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象向上（ｈ＞0）或向下（ｈ＜0）平移｜ｈ｜个单位即可．称之为函数图象的上、下平移变换．3．要作函数ｙ＝ｆ（｜ｘ｜）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象ｙ轴右侧的部分对称到ｙ轴左侧去，而ｙ轴左侧的原来图象消失．称之为关于ｙ轴的右到左对称变换．如函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象如图1，则函数ｙ＝ｆ（｜ｘ｜）的图象如图2．图1图24．要作函数ｙ＝｜ｆ（ｘ）｜的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象ｘ轴下方的部分对折到ｘ轴上方即可．叫做关于ｘ轴的下部折上变换．如函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象如图1，则函数ｙ＝｜ｆ（ｘ）｜图象如图3．图3图45．要作ｙ＝ｆ（－ｘ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象以ｙ轴为对折线，把ｙ轴右侧的部分折到ｙ轴左侧去．同时，将ｙ轴左侧的部分折到ｙ轴右侧去．叫做关于ｙ轴的翻转变换．如图4，虚线为ｙ＝ｆ（ｘ）的图象，实线为ｙ＝ｆ（－ｘ）的图象．6．要作函数ｙ＝－ｆ（ｘ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象以ｘ轴为对折线，把ｘ轴上方的图形折到ｘ轴下方去，同时又把ｘ轴下方的图象折到ｘ轴上方去即可．叫做关于ｘ轴的翻转变换．7．要作函数ｙ＝ｆ（ａｘ）（ａ＞0）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上所有点的横坐标缩短（ａ＞1）或伸长（0＜ａ＜1＝到原来的1／ａ倍（纵坐标不变）即可（若ａ＜0，还得同时进行关于ｙ轴的翻转变换．这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换．8．要作函数ｙ＝Ａｆ（ｘ）（Ａ＞0）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上所有点的纵坐标伸长（Ａ＞1）成缩短（0＜Ａ＜1＝到原来的Ａ倍（横坐标不变）即可．这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若Ａ＜0，还要再进行关于ｘ轴的翻转变换＝．9．要作函数ｙ＝ｆ（ａ－ｘ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ／2的翻转变换即可．实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于ｙ轴翻转变换的复合，即先把ｙ＝ｆ（ｘ）图象发生左右平移得到函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）的图象，再关于ｙ轴翻转便得到ｙ＝ｆ（ａ－ｘ）的图象．如图5，虚线图象为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象，而实线图象为函数ｙ＝ｆ（－4－ｘ）的图象．图510．要作函数ｙ＝ｈ－ｆ（ｘ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｈ／2的翻转变换即可．实质上，这种变换是函数图象的关于ｘ轴的翻转变换与上下平移变换的复合，即先把函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象发生关于ｘ轴的翻转变换得到ｙ＝－ｆ（ｘ）的图象，再把ｙ＝－ｆ（ｘ）的图象向上（ｈ＞0）或向下（ｈ＜0）平移｜ｈ｜个单位便得到函数ｙ＝ｈ－ｆ（ｘ）的图象．如图6虚线图象为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象，而实线图象为函数ｙ＝2－ｆ（ｘ）的图象．图6综合第9、第10变换，要作函数ｙ＝ｈ－ｆ（ａ－ｘ）的图象，只需做出函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象的关于点（ａ／2，ｈ／2）的中心对称图形即可．称之为位似变换． 1.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31x y =-； （2）2log (2)y x =-； （3）21xy x -=-． 2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）12log ()y x =-； （2）1()2x y =-； （3）12log y x =； （4）21y x =-．3. 函数()|1|f x x =-的图象是 （ ）4、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )A 1 x y OB 1 x y OC 1 x y O D1 x y O -1 -1 -1 -1 1 1 1 1A B C D5．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 6、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A B C D 1．(2009北京文、理)为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度函数与方程1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____ ___个零点． 2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：x 1 2 3 4 56 ()f x －2.3 3.4 0 －1.3 －3.43.4则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有_____个．3．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是 ．4．设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x=解的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44. (2009福建文)若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =- C. ()1xf x e =- D. ()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭4. (2009山东文、理)若函数f(x)=a x－x －a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .高考复习——导数及其应用（1）● 考试目标 主词填空1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
考向12 函数的图像1．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．()()g x y f x =【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 当4x π=时，22120221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.2．（2021·全国高考真题（文））已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时a 的值可求. 【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >， 当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去）， 则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.1.函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.识图的三种常用方法（1）．抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．（2）．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．1．利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象.(3)伸缩变换y ＝f (x )――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ). y ＝f (x )――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A （A >0）倍y ＝Af (x ).(4)翻转变换y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.【知识拓展】函数图象应用的常见题型与求解策略1．（2021·陕西咸阳市·高三其他模拟）已知函数2()()f x x a a R =-∈，则()y f x =的大致图象不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·重庆高三其他模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文））已知函数()2,10,01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列图象错误的是（ ）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y fx =的图象：D ．()y f x =-的图象：4．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）（多选题）为了得到函数ln()y ex =的图象，可将函数ln y x =的图象（ ）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度1．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）函数()sin txf x e x =（t 为常数，0t >，e 为自然对数的底数）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国高三其他模拟）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）A ．y ＝||2x e xB ．y ＝2(1)||xx e x +C ．y ＝|2|xe xD ．y ＝22xe x3．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））函数(1)lg ||()|1|x x g x x +=+的图象向右平移1个单位长度得到函数()f x 的图象，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·浙江温州市·温州中学高三其他模拟）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的大致图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()ln cos ||f x x x =-B ．()ln sin ||f x x x =-C ．()ln cos ||f x x x =+D ．()ln sin ||f x x x =+5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[]201,()122x xx f x ∈=++，，则函数()y f x =的图象与函数||133x y =+的图象交点个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96．（2021·四川高三三模（理））函数()()log a f x x b =--及()g x bx a =+，则()y f x =及y g x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2021·安徽淮北市·高三二模（文））《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面11A B CD 截正方体可得两个壍堵，再沿平面11B C D 截壍堵可得一个阳马（四棱锥1111D A B C D -），一个鳖臑（三个棱锥11D B C C -），若P 为线段CD 上一动点，平面α过点P ，CD ⊥平面α，设正方体棱长为1，PD x =，α与图中鳖臑截面面积为S ，则点P 从点D 移动到点C 的过程中，S 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2021·北京高三二模）已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ）A ．32B ．23C．3D9．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）（多选题）若()f x 图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[, ]A B 称为函数()f x 的“友情点对”(点对[, ]A B 与[, ]B A 视为同一个“友情点对”)若32,0(),0x x x f x e ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是（ ）A ．0B ．12018-C ．1e-D ．12021-10．（2021·海南高三其他模拟）（多选题）由函数()3xf x =的图象得到函数2()3x g x +=的图象，正确的变换方法有（ ）A ．将()f x 的图象向左平移2个单位长度B ．将()f x 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的9倍C ．先将()f x 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，再向左平移1个单位长度D ．先将()f x 的图象向右平移1个单位长度，将各点的纵坐标伸长到原来的3倍11．（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理））已知函数()2,1169,1xx f x x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，若方程()f x a=有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则12341111x x x x +++的取值范围是______. 12．（2021·河南郑州市·高三三模（理））已知函数()124f x x x =+--． （1）在平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若对x R ∀∈，()f x t ≤恒成立，t 的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求12a cb c+++的最小值．1．（2013·北京高考真题（理））函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e x 关于y 轴对称，则f(x)=（ ） A ．1x e +B ．1x e -C ．1x e -+D ．1x e --2．（2015·全国高考真题（文））如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则函数的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2018·全国高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．4．（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．（2013·湖南高考真题（文））函数f （x ）=㏑x 的图象与函数g （x ）=x 2-4x+4的图象的交点个数为 A ．0B ．1C ．2D ．36．（2013·湖北高考真题（文））小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2017·天津高考真题（文））已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩．设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[23,2]- C ．[2,23]-D ．[23,23]-8．（2015·安徽高考真题（理））函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <9．（2015·北京高考真题（理））如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤10．（2018·全国高考真题（理））设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．1．【答案】C【分析】分类讨论a 的取值，在不同情况下的解析式不同，则图像也不同，则可以判断出结果. 【详解】①当0a =时，()f x x =，则A 符合，C 不符合； ②当0a >时，222()f x x a y =-=，若2x a >，即x a >或x a <-时，则22y x a =-，即22x y a -=，则其图象为双曲线在x 轴上方的部分，若2x a <，即a x a -<<-时，则22y x a =-+，即22x y a +=，则其图象为圆在x 轴上方的部分，故B 符合；③当0a <时，222()f x x a y =-=，即22y x a -=-，其图象表示为双曲线的上支，故D 符合.故选：C 2．【答案】A 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即rx h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r rπππ⋅=⇒=⇒=⋅， 而,,r H v 都是常数，即2323H vrπ是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h t r π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A 3．【答案】C 【分析】作出函数()2,10,01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答案. 【详解】先作出()2,10,01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的图象，如图所示，所以A 正确；对于B ，()1y f x =-的图象()f x 是由的图象向右平移一个单位得到，故B 正确； 对于C ，当0x >时，()y f x =的图象与()f x 的图象相同，且函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故C错误；对于D ，()y f x =-的图象与()f x 的图象关于y 轴对称而得到，故D 正确. 故选：C .4．【答案】BC 【分析】根据函数图像变换求得结果. 【详解】解：由题意函数ln y x =的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1e， 可得到函数ln()y ex =的图象，则A 错误，B 正确； 因为ln()ln 1y ex x ==+，则将函数ln y x =的图象向上平移一个单位可得到函数ln()y ex =的图象， 则C 正确，D 错误. 故选：BC.1．【答案】B 【分析】考查函数()f x 在()0,π上的函数值符号，结合特殊值法、排除法可得出合适的选项. 【详解】()00f =，排除A 选项；当0πx <<时，sin 0x >，则()sin 0txf x e x =>，排除D 选项；因为0t >，所以1t e >，根据指数函数的性质，对于00x >，000tx tx e e ->>， 因为()00sin sin x x =-，故()()00f x f x >-，排除C 选项. 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 2．【答案】C 【分析】通过奇偶性及特殊值分析即可 【详解】A 项为奇函数，排除，B 项，当0x >，1||e 2e 2||x xy x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，排除 D 项2x =时 218e y =<，排除故选：C 3．【答案】D 【分析】根据函数图象的变换，求得函数lg |1|()||x x f x x -=，根据当0x <时，得到()0f x <，可排除A 、B ；当01x <<时，得到()0f x <，可排除C ，进而求解.【详解】由题意，可得lg |1|()(1)||x x f x g x x -=-=，其定义域为(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞，当0x <时，11x -+>，函数lg |1|lg(1)()||x x x x f x x x--+===-lg(1)0x --+<，故排除A 、B 选项；当01x <<时，011x <-+<，故函数lg |1|()||x x f x x -==lg(1)lg(1)0x x x x-+=-+<，故排除C 选项；当x 1>时，函数lg |1|lg(1)()lg(1)||x x x x f x x x x--===-，该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到，选项D 符合. 故选：D .4．【答案】B 【分析】根据函数为非奇非偶函数排除A ，C ；设题干中函数图象与x 轴交点的横坐标分别为12,x x ，且120x x <<，且12x x <，利用数形结合分别判断()f x 的零点可得出. 【详解】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A ，C 中的函数为偶函数，故排除A ，C. 设题干中函数图象与x 轴交点的横坐标分别为12,x x ，且120x x <<，且12x x <.对于B ，令()||ln sin 0f x x x =-=，即ln ||sin x x =，作出ln y x =和sin y x =的函数图象，如图所示：由图象可知，函数ln ||sin y x x =-的图象与x 轴交点的横坐标满足120x x <<，且12x x <，符合题意； 对D ，令()||ln sin 0f x x x =+=，即ln ||sin x x =-，作出ln y x =和sin y x =-的函数图象，如图所示：由图象可知，函数ln ||sin y x x =+的图象与x 轴交点的横坐标满足120x x <<，且12x x >，故D 不符合题意. 故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数图象选择解析式，解题的关键是先判断奇偶性，再数形结合根据函数零点情况判断. 5．【答案】A 【分析】根据所给函数及其性质，画出对应的图像，直接观察交点即可得解. 【详解】由[]201,()122x x x f x ∈=++，，可得当[]2,()()122x xx f x f x ∈=-=-+-1，0，再根据函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数， 故可画出函数()y f x =的图象与函数||133x y =+的图象，根据图像知，共有6个交点， 故选：A. 6．【答案】B 【分析】讨论01a <<、1a >确定()()log a f x x b =--的单调性和定义域、()g x bx a =+在y 轴上的截距，再讨论0b >、0b <，结合()g x bx a =+的单调性，即可确定函数的可能图象. 【详解】当01a <<时，10t x b =>-单调递减，()log a f t t =单调递减，所以1()log a f x x b=-单调递增且定义域为(,)b +∞，此时()g x bx a =+与y 轴的截距在(0,1)上，排除C. 当1a >时，10t x b =>-单调递减，()log a f t t =单调递增，所以1()log a f x x b=-单调递减且定义域为(,)b +∞，此时()g x bx a =+与y 轴的截距在(1,)+∞上.∴当0b >时，()g x 单调递增；当0b <时，()g x 单调递减，故只有B 符合要求. 故选：B. 7．【答案】B 【分析】 分析得出11PMN CB C △△，可得出1PNx CC =，求出PMN S △关于x 的函数关系式，由此可得出合适的选项. 【详解】设M 、N 分别为截面与1DB 、1DC 的交点，DP x =，01x ≤≤，CD ⊥平面PMN ，CD ⊥平面11B CC ，所以，平面//PMN 平面11B CC ，因为平面1DCC 平面PMN PN =，平面1DCC 平面111B CC CC =，所以，1//PN CC ，同理可得11//MN B C ，1//PM B C ，所以，111111PN DN MN DM PM DPx CC DC B C DB B C DC======， 所以，11PMNCB C △△，易知111111122CB C S B C CC =⋅=△， 因此，112212PMN CB C S x S x ==△△. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，结合解析式进行判断. 8．【答案】D 【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得()3xg x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，得到函数()23x f x a-=，又因为()xf x a =，所以，23x x a a -=，整理可得23a =，因为0a >且1a ≠，解得a =故选：D. 9．【答案】BD 【分析】根据所给新定义，进行转化，首先求出0x <时2()=f x ax 关于原点对称的函数为2()g x ax =-，即32xx ax e=-在[)0,+∞上有两解，构造函数()x x h x e =-，研究()h x 的图像与性质，即可得解. 【详解】首先求出0x <时2()=f x ax 关于原点对称的函数为2()()g x f x ax =--=-，若要32,0(),0x x x f x e ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩恰有两个“友情点对”，则32x x ax e=-有两解，即x x a e =-在[)0,+∞上有两解，令()x x h x e =-，求导可得1()0xx h x e-'==，1x =， 当(0,1)x ∈，()0h x '<，()h x 为减函数， 当(1,)x ∈+∞，()0h x '>，()h x 为增函数， 则1(1)h e=-，所以其图像为：若要x x a e =-在[)0,+∞上有两解，则10a e-<<， 故选：BD 【点睛】本题考查了函数新定义，考查了利用导数研究函数，考查了函数方程思想，同时考查了转化思想，有一定计算量，属于中档题.本题的关键有：（1）理解“友情点对”，并转化为一侧函数图像关于原点对称过去后和另一侧函数图像的交点； （2）把方程解得问题转化为函数图像交点问题. 10．【答案】ABC 【分析】根据每个选项对图象的描述求出变换后的函数解析式，从而可选出正确答案. 【详解】解析对于A ，变换过程为2x x →+，即233xx y y +=→=，故A 正确；对于B ，变换过程为23933xxx y y +=→=⨯=，故B 正确；对于C ，变换过程为1233333xxx x y y y ++=→=⨯=→=，故C 正确；对于D ，变换过程为1133333xx x x y y y --=→=→=⨯=，故D 错误.故选:ABC. 11．【答案】811,34⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设1x <2x <3x <4x ，由12121211211x x x x x x =-⇒+=--，346x x +=，则问题转化为34123434331111622(6)x x x x x x x x x x ++++=+=+-，根据3(2,3)x ∈，求得范围即可. 【详解】设1x <2x <3x <4x ，则2212334412696911x x x x x x a x x ==-+=-+=--，由图知12121212121111211x x x x x x x x x x --=-⇔=⇒+=--，346x x +=， 当2691x x -+=时，2x =或4，则3(2,3)x ∈故34123434331111622(6)x x x x x x x x x x ++++=+=+-，易知其在3(2,3)x ∈单减， 故123433111168112(,)(6)34x x x x x x +++=+∈- 故答案为：811,34⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：找到方程()f x a =四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x 之间的关系，将问题中的四个变量转化为一个变量，即函数问题进行解决. 12．【答案】（1）作图见解析；（2）3． 【分析】（1）按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数，然后画出图象； （2）由图象得m ，利用“1”的代换，由柯西不等式得最小值． 【详解】（1）()5,233,125,1x x f x x x x x -+≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，图像如下所示（2）由（1）知，()max 3f x =，所以3,3t m ≥=，利用柯西不等式()()1211422322a c b c a c b c a c b c ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 2114223322a c b c a c b c ⎛⎫≥⋅++⋅+= ⎪ ⎪++⎝⎭． 所以12a c b c+++最小值为3．当且仅当==1a c b c ++时等号成立． 【点睛】思路点睛：本题考查含绝对值的函数的图象与最值，考查柯西不等式．含绝对值的函数一般用绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号，化函数为分段函数形式然后求解．求最值的关键是凑配出柯西不等式的形式，然后应用不等式求得结论．1．【答案】D 【详解】与曲线y=e x 关于y 轴对称的曲线为xy e -=， 向左平移1个单位得(1)1x x y e e -+--==，即1()x f x e --=．故选D ． 2．【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得ππππ22,512424f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可排除C,D ；当π04x <<时点P 在边BC 上，tan PB x =，2224tan PA AB PB x +=+，所以()2tan 4f x x tan x =+可知π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时图像不是线段,可排除A,故选B. 考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力. 3．【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4．【答案】D 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 5．【答案】C 【详解】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点.6．【答案】C 【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项. 【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A ；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x 轴平行，由此排除D ，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C 正确，B 不正确． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题. 7．【答案】A 【详解】满足题意时()f x 的图象恒不在函数2xy a =+下方， 当23a =C,D 选项；当23a =-时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.8．【答案】C【详解】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0b x a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像9．【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．10．【答案】（1）见解析（2）5【详解】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．（2）结合（1）问可得a ，b 范围，进而得到a+b 的最小值详解：（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．。
第12讲 函数的图象与变换
1．(2018·宿州期中)为了得到函数y ＝log 4x －34的图象，只需把函数y ＝1
2log 2x 的图象上所
有的点( D )
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
因为y ＝log 4x －34＝log 4(x －3)－1，所以将y ＝1
2
log 2x 的图象向右平移3个单位长
度得到y ＝12log 2(x －3)，再将y ＝12log 2(x －3)再向下平移1个单位长度得到y ＝1
2log 2(x －3)－1，
即y ＝log 4x －3
4
的图象．
2．函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象是( A )
因为|x |>1，所以x >1或x <－1.当x >1时，f (x )＝ln(x －1)＋x ，可知f (x )在(1，＋∞)上单调递增，故排除B ，C ，D ，选A.
3．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x
x
2的部分图象大致为( D )
A
B
C
D
当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin x x 2＞0，故排除选项A ，C.当x →＋∞时，sin x
x
2→0,1
＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin x
x
2→＋∞，故排除选项B.故选D.
4．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( C )
A ．(1,3)
B ．(－1,1)
C ．(－1,0)∪(1,3)
D ．(－1,0)∪(0,1) f (x )的图象如图所示．
由xf (x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0，f (x )<0，
所以不等式的解集为(－1,0)∪(1,3)．
5．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的值为 1 . 函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象如下图所示，
由图象知y ＝1与
y ＝|x 2－4x ＋3|有三个交点，
即方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个根，所以a ＝1.
6．(2018·重庆模拟)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，a ≥
b ，
b ，a <b ，
函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x
－2|}(x ∈R )的最小值是 3
2
.
画出f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图象，如图．
由图象可知，其最小值为3
2
.
7．方程kx ＝1－(x －2)2有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围． 令y 1＝kx ，y 2＝1－(x －2)2， 则y 1＝kx 表示过原点的直线，
因为y 22＋(x －2)2＝1(y 2≥0)表示圆心在(2,0)，半径为1的半圆，如图．
由d ＝
|2k |1＋k 2
＝1(k >0)k ＝33.
故0≤k <
3
3
时，直线与半圆有两个交点． 所以方程有两个不相等的实根时，k 的取值范围为[0，
33
)．
8．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )
图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1
m
x i ＝( B )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m 因为f (x )＝f (2－x )，
所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称， 所以两函数图象的交点关于直线x ＝1对称． 当m 为偶数时，∑i ＝1
m
x i ＝2×m
2＝m ；
当m 为奇数时，∑i ＝1
m x i ＝2×m －1
2＋1＝m .故选B.
9．若函数f (x )＝(2－m )x
x 2＋m
的图象如下图所示，则m 的取值范围为 (1,2) .
因为函数的定义域为R ， 所以x 2＋m 恒不为零，所以m >0. 由图象知，当x >0时，f (x )>0， 所以2－m >0，所以m <2.
又因为在(0，＋∞)上函数f (x )在x ＝x 0(x 0>1)处取得最大值， 而f (x )＝2－m
x ＋
m x
，所以x 0＝m >1m >1.
所以m 的取值范围为{m |1<m <2}． 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出f (x )的图象；
(2)求函数f (x )的单调区间，并指出单调性；
(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝mx 有四个不相等的实数根}． (1)(方法一)当x 2－4x ＋3≥0，即x ≤1或x ≥3时， f (x )＝x 2－4x ＋3，
当x 2－4x ＋3<0，即1<x <3时， f (x )＝－x 2＋4x －3.
所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
(x －2)2－1， x ≤1或x ≥3，－(x －2)2＋1， 1<x <3. 其图象由两条抛物线的部分图形组成，如下图左图所示．
(方法二)先作出函数y ＝x 2－4x ＋3
的图象，然后将x 轴下方的图象翻折到x 轴的上方，原x 轴上方的图形及翻折上来的图形就是所要求作的函数图象．
(2)由函数f (x )的图象知，函数f (x )的单调区间有：
(－∞，1)，(1,2)，(2,3)，(3，＋∞)，其中增区间为(1,2)和(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)和(2,3)．
(3)方程f (x )＝mx 有四个不相等的实根，就是直线l ：y ＝mx 与函数f (x )的图象有四个不同的公共点(如上图右图所示)．
设直线l 与f (x )的图象有三个公共点时的斜率为k (k ≠0)，则0<m <k .
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，
y ＝－x 2＋4x －3，
消去y 得x 2＋(k －4)x ＋3＝0，(*)
令Δ＝(k －4)2－12＝0，得k ＝4±23，
当k ＝4＋23时，方程(*)的两根x 1＝x 2＝－3∉ (1,3)，故不合题意； 当k ＝4－23时，方程(*)的两根x 1＝x 2＝3∈(1,3)，故符合题意． 所以M ＝{m |0<m <4－23}。
