西安中学高三数学期中试卷

2021-2022学年西安中学高三上学期期中数学复习卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={0,1，2，3，4}，设集合A ={0,1，2}，B ={1,2，3}，则A ∩∁U B =( )A. {3}B. ⌀C. {1,2}D. {0}2.2−i 1+2i=( )A. 1B. −1C. iD. −i3.下列命题中是假命题的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0(a ⃗ ≠0⃗ ,b ⃗ ≠0⃗ )，则a ⃗ ⊥b ⃗B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗C. 若ac 2>bc 2，则a >bD. 5>34.若f (x )= x 2−2 x −4ln x ，则f ′(x )>0的解集为…( )A. (0,+∞)B. (−1,0)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. (−1,0)5.数列{a n }满足a 1=1，且2a n−1−2a n =a n a n−1(n ≥2)，则a n =( )A. 2n+1B. 2n+2C. (23)nD. (23)n−16.函数f(x)=3x −的零点存在区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)7.函数的最小正周期是( )A.B. C.D.8.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =1，AC =2，点P 为△ABC 内(包含边界)的点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中x ，y 为正实数)，则当xy 最大时，yx的值是( ) A. 12 B. 1C. 2D. 与∠A 的大小有关9.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是B 1B ，B 1C 1，CD 的中点，则MN 与D 1P 所成角的余弦值为( )A. −√105B. √105C. √55D. 2√5510. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√xB. y =(x −1)2C. y =(12)xD. y =log 0.5x11. 函数f(x)={e cosπx ,x ≤1ln(x −1x),x >1的图象大致是( ) A.B.C.D.12. 设定义在(1,e )上函数若曲线上存在点(x 0,y 0)使得f(f(y 0))=y 0，则实数a 的取值范围是( )A.B.C. [−1,e 2−e +1)D. (0,e 2−e +1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=x 2的一条切线与直线y =2x −3平行，则该切线的方程为______． 14. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,m)，若b ⃗ =λa ⃗ ，λ∈R ，则m =______． 15. 下面有四个命题：①函数的最小正周期是； ②函数的最大值是；③把函数的图象向右平移得的图象；④函数在上是减函数．其中真命题的序号是 ．16. 图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则ℎ= ______ cm ，该几何体的外接球半径为______ cm ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =2a n−1+n+2n(n+1)(n ≥2,n ∈N ∗). (1)若数列{b n }满足b n =a n +1n+1(n ∈N ∗)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n =2n(n+1)a n+1，记 S n =c 1⋅c 2+c 2⋅c 3+⋯+c n ⋅c n+1，求使S n >79的最小正整数n 的值．18. 如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)AB =AC ，求AC ∶BC ．19. 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x 和体重y 数据如表所示．求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为174cm 的女大学生的体重．(结果精确到0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算)参考公式：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 已知椭圆C 的离心率为√32，长轴长为4，焦点在x 轴上，斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程 (2)求|AB|的最大值．21. 已知函数f(x)=lnx −12ax 2+ax ，a ∈R ． (1)当a <0时，讨论函数f(x)的极值点的个数；(2)若关于x 的不等式f(x)≤2ax −x −1恒成立，求整数a 的最小值； (3)对于函数f(x)图象上任意给定的两点A(x 1,f(x 1))、B(x 2,f(x 2))，试判断f′(x 1+x 22)与f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1的大小关系(其中f′(x )是函数f(x)的导函数)，并给出证明．22. 直线l ：ρcos(θ−π6)=2，圆C ：ρ=2sinθ.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ．(1)求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；(2)已知点P 在圆C 上，点P 到直线l 和x 轴的距离分别为d 1，d 2，求d 1+d 2的最大值．23. 设函数f(x)=|x −a|，a ∈R ．(1)若不等式f(x)<1的解集为{x|0<x <2}，求a 的值； (2)若存在x 0∈R ，使f(x 0)+x 0<3，求a 的取值范围．。

市一中大学区2021-2022度第一学期期中考试高三数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．） 1．设集合{}|1A x x =>，集合{}2B a =+，若A B φ=，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】本题主要考查集合的运算． 因为{}|1A x x =>且AB 为空集，所以21a +≤，即1a -≤，所以当1a -≤时，满足A 与B 的交集为空集的条件． 故选A ．2．已知为i 虚数单位，若复数1i()1i a z a -=∈+R 的虚部为3-，则||z =（ ）． A ．5B 13C ．23D 10【答案】C 【解析】因为1i (1i)(1i)1(1)i 111i 2222ia a a a a a z -----+-+====-+， 所以132a+-=-，所以5a =，所以23i z =--，所以22(2)(3)13z -+- 故选C ．3．已知命题:p x ∀∈R ，12(2)0x -<，则命题p ⌝为（ ）． A ．0x ∃∈R ，120(2)0x ->B ．x ∀∈R ，12(1)0x -> C ．x ∀∈R ，12(1)0x -≥D ．0x ∃∈R ，120(2)0x -≥【答案】C【解析】解：因为原命题为全称命题，所以原命题的否定是特称命题， 即命题p x ⌝∀∈R ，20x >，的否定是：:p x ∃∈R ，20x ≤． 故选C ．4．执行如图所示的算法框图，则输出的S 值是（ ）．是否S=4i=1i=9S=22Si =i +1输出S结束开始A ．1-B ．23C ．32D ．4 【答案】D【解析】i 1=，1S =-；i 2=，23S =；i 3=，32S =； i 4=，4S =；i 5=，1S =-；；i 8=，4S =；i 9=，结束循环，输出S 的值是4．故选D ．5．设55log 4log 2a =-，2ln ln33b =+，1lg5210c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】解：∵13log 20a =<，112211log log 132b =>=，0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a c b <<． 故选A ．6．若函数()f x 满足1(1)()2f x f x +=，则()f x 的解析式在下列四式中只有可能是（ ）． A ．2x B ．12x +C ．2x -D ．12log x【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式． 由已知该函数具有性质1(1)()2f x f x +=，将此运用到四个选项中： A 项，1(1)2x f x ++=，1()24xf x =，不符合题意，故A 项错误； B 项，3(1)2f x x +=+，11()224x f x =+，不符合题意，故B 项错误；C 项，(1)11(1)22()22x x f x f x -+-+==⨯=，符合题意，故C 项正确； D 项，12(1)log (1)f x x +=+，112211()log log 22f x x x ==D 项错误． 故选C ．7．函数e x y x =和图象是（ ）．A ．xyOB ．yOx C ．yOx D ．yOx【答案】C 【解析】8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则[0,2]xy ∈的概率是（ ）． A ．1ln 22- B ．32ln24- C ．1ln 22+ D ．12ln22+ 【答案】C【解析】本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率212222(ln )2d 11ln 2442x x S x P S +++====⎰阴影正方形．【注意有文字】故选C ．xy O412343219．设实数x ，y 满足22010210x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≥≤，则11y x --的最小值是（ ）．A ．5-B ．12-C ．12D ．5【答案】B【解析】(1,1)xyOy=x+44000x y x y -+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥所表示的区域如图所示 11y z x -=-表示区域中的点到点(1,1)的斜率， 故原点到点(1,1)的斜率最大． 故选B ．10．若将函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象最新y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）． A ．5π12B ．π3C ．2π3D ．5π6-【答案】A【解析】把该函数的图象右移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为：π2sin 223y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又所得图象最新y 轴对称，则 π3π22πk ϕ-=+，k ∈Z ， ∴当1k =-时，ϕ有最小正值是 5π12．故选A ．11．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）．A ．11,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．2026,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2026,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】解：函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥的图象，如图，xO y65432143211234564321不妨设123x x x <<，则2x ，3x 最新直线3x =对称，故236x x +=，且1x 满足1703x -<<；则123x x x ++的取值范围是：12376063x x x -+<++<+，即12311,63x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．故选D ．12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()2()f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 是导函数，e 是自然对数的底数），则(1)(2)f f 的范围为（ ）． A ．11,2e e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(e,2e)D ．3(e,e )【答案】B【解析】构造函数()()e x f x g x =，(0,)x ∈+∞，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xfx f x f x f x g x ''--'==， 由已知()()f x f x '<得()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，则函数()g x 在(0,)+∞上递增， 所以(1)(2)g g <，即2(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >，所以根据2(1)(2)e ef f <有2(1)e (2)e f f <，即(1)1(2)e f f <， 再构造函数2()()(e )x f x h x =，(0,)x ∈+∞，2242()(e )()2(e )()2()()(e )(e )x x x x fx f x f x f x g x ''⋅-'==， 由已知()2()f x f x '<，所以()0h x '<在(0,)+∞，则函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递减， 所以(1)(2)h h >，即24(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >， 所以根据24(1)(2)e e f f <有24(1)e (2)e f f <，即2(1)1(2)e f f <，所以21(1)1e (2)e f f <<． 故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算11130.7536170.027*********-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________． 【答案】31【解析】原式1133316412590.33625697295-⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭3109913643553=-+-+- 31=．14．已知423401234(23)x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】1【解析】令1x =，得401234(23)a a a a a =++++； 令1x =-，得401234(23)a a a a a -=-+-+；两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(23)(23)(1)1=⋅-=-=．15．一个类似杨辉三角形的数阵： 则第九行的第二个数为__________．18221891177115653139【答案】见解析【解析】解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可以知道第n 行的首尾两数均为21n -， 设第(2)n n ≥行的第2个数构成数列{}n a ， 则有323a a -=，435a a -=，547a a -=，，123n n a a n --=-，相加得232335(23)(2)(2)2n n a a n n n n +--=+++-=⨯-=-23(2)23n a n n n n =+-=-+． 因此，本题正确答案是：223n n -+．16．某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为__________． 【答案】见解析【解析】解：22534475A A 1201A A 9401206==--．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数2π()3cos sin 02222f x x x x ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像经过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求()f x ．（2）在ABC △中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，5a =25ABC S =△，角C 为锐角且π72126C f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求C 边长． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2()3cos sin 222f x x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31cos(2))2x x ϕϕ-+=++ 311)cos(2)22x x ϕϕ=+-++ π1sin 262x ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，∵图象经过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，∴ππ1sin 21362ϕ⎛⎫⋅+-+= ⎪⎝⎭，即π1sin 22ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=，∵π02ϕ<<，∴π3ϕ=， ∴π1()sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（2）∵π17sin 21226C f C ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴2sin 3C =， ∴45cos 19C =-， ∵112sin 525223ABC S ab C b ==⋅=△，∴6b =，∴22252cos 53625621c a b ab C =+-=+-=， ∴21c =18．（12分）已知ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． （1）求sin sin BC∠∠．（2）若1AD =，2DC =BD 和AC 的长． 【答案】见解析．【解析】（1）1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅△∠，1sin 2ADC S AC AD CAD =⋅△∠， 因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD =∠∠，所以2AB AC =， 在ABC △中，由正弦定理得：sin sin AC AB B C =∠∠，所以sin 1sin 2B AC C AB ==∠∠． （2）设ADB θ=∠，则πADC θ=-∠． 由（1）知12AC b AB c ==，所以2c b =①， 由2CD =2BD = 在ACD △中，由余弦定理，2222121π)b θ=+-⨯-⎝⎭， 即2322b θ=+②， 在ABD △中，由余弦定理，21222c θ=+-，即2322c θ=-③， 由①②③得1b =，故1AC =．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） [15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 510151055赞成人数46 9 6 34（1（2）若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不．赞成．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．频率组距0.010.020.03【答案】见解析．【解析】（1）由表知年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：11122464442222510510C C C C C 424666622(2)C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==． （2） ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，226422510C C 4515(0)C C 22575P ξ==⋅==， 21112646442222510510C C C C C 41562410234(1)C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==， 124422510C C 46124(3)C C 104522575P ξ==⋅=⋅==， 所以ξ的分布列是： ξ0 1 2 3 p1575 3475 2275 475 所以ξ的数学期望65E ξ=．20．（12分）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程． （2）已知(2,0)A -，(0,2)B ，圆C 上任意一点(,)M x y ，求ABM △面积的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）， 所以普通方程为22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的及坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=．（2）点(,)M x y 到直线:20AB x y -+=的距离2d =，ABM △的面积1π|||2cos 2sin 9|22924S AB d θθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以ABM △的面积的最大值为922+21．（12分）已知函数()|3|f x x =+，()2|11|g x m x =--，若2()(4)f x g x +≥恒成立，实数m 的最大值为t ．（1）求实数t ．（2）已知实数x 、y 、z 满足22236(0)x y x a a 2++=>，且x y z ++的最大值是20t ，求a 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意可得(4)2|411|2|7|g x m x m x +=-+-=--，若2()(4)f x g x +≥恒成立， ∴2|3|2|7|x m x +--≥，即2(|3||7|)m x x ++-≤．而由绝对值三角不等式可得2(|3||7|)2|(3)(7)|20x x x x ++-+--=≥， ∴20m ≤，故m 的最大值20t =．（2）∵实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，由柯西不等式可得2222222[(2)(3)(6)]236236236x y z x y z ⎡⎤++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦≥， ∴21)a x y z ⨯++≥(， ∴x y z a ++再根据x y z ++的最大值是120t =， 1a ，∴1a =．22．（12分）已知二次函数2()1f x x ax m =+++，最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +，(0)m ≠，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值．（2）()k k ∈R 如何取值时，函数()()ln(1)x g x k x ϕ=--存在极值点，并求出极值点． （3）若1m =，且0x >，求证：[(1)](1)22(*)n n n g x g x x +-+-∈N ≥．【答案】见解析．【解析】（1）因为最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +， 即不等式22(12)0x a m x m m ++-++<的解集为(,1)m m +，所以22(12)()(1)x a m x m m x m x m ++-++=---，所以222(12)(21)(1)x a m x m m x m x m m ++-++=-+++，所以12(21)a m m +-=-+，所以2a =-．（2）由（1）得2()21()(1)111f x x x m mg x x x x x -++===-+---， 所以()()ln(1)(1)(1)1m x g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为(1,)+∞， 所以222(2)1()1(1)1(1)m k x k x k m x x x x ϕ-++-+'=--=---， 方程2(2)10x k x k m -++-+=（*）的判别式22(2)4(1)4k k m k m ∆=+---=+．①当0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为21241k k m x +-+=<，22241k k m x +++=>， 则2(1,)x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在2(1,)x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以函数()x ϕ有极小值点2x ． ②当0m <时，由0∆>，得2k m <--2k m >-2k m <-， 则21241k k m x +-+<，22241k k m x +++=>，故(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增．所以函数()x ϕ没有极值点， 若2k m >-21241k k m x +-+=>，22241k k m x +++=>， 则1(1,)x x ∈时，()0x ϕ'>；12(,)x x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， 所以函数()x ϕ在1(1,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增， 所以函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ，综上所述，当0m >时，k 取任意实数，函数()x ϕ有极小值点2x ， 当0m <时，2k m >-()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ， （其中2124k k m x +-+=2224k k m x +++=． （3）因为1m =， 所以1()(1)1g x x x =-+-， 所以1122122412211C C C C C n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x------=+⋅+⋅=+++， 令122412C C C n n n n n n n T x x x----=+++， 则122412122412C C C C C C nn n n n n n n n n n n n n n T x x x x x x---------=+++=+++， 因为0x >，所以1222441221212C ()C ()C ()2(C C C )n n n n n n n nn n n n n n T x x x x x x --------=++++++=+++12102(C C C +C C C C )2(22)n n n n n n n n n n n -=+++++-=-，所以22n T -≥，即[(1)](1)22n n n g x g x +-+-≥．。

2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.42.设1i z =-，则2i z +=（）A.1B.iC.i -D.1-3.若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.54-C.108D.108-4.已知a =，3log b =2log c =）A .b a c<< B.c a b<< C.c b a<< D.b c a<< 5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10C.2D.106.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n = 与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（）A.512 B.12C.712D.567.已知数列{}n a 是正项数列，()2*3n n n +=+∈N ，则9122310a a a++⋅⋅⋅+=（）A.216B.260C.290D.3168.已知函数222,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.(0,)+∞ C.1,24⎛⎤-⎥⎝⎦D.(]0,2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足sin :sin :sin 3A B C =，且4ABC S =△，则（）A.ABC V 外接圆的半径为3B.若A ∠的平分线与BC 交于D ，则AD 的长为334C.若D 为BC 的中点，则AD 的长为4D.若O 为ABC V 的外心，则()5AO AB AC ⋅+=10.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A .//EF 平面11AA B BB.直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值为255C.若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是5D.直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为211.已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）A.直线AB 与抛物线C 相切B.6OP OQ ⋅= C.若P 是线段BQ 的中点，则2||||PF QF = D.存在直线l ，使得||||2||PF QF BF +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=___________.13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____14.已知函数()2sin e exxf x x -=-+，则关于x 的不等式()()2430f x f x -+<的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为14，击中内环的概率为14，击中外环的概率为12，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；（2）设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．17.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.18.如图，曲线y =设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a ．（1）求12,a a 的值；（2）求出的通项公式；（3）设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413(2,N 4)n n k k k k k k k k n n -++++<≥∈ ．19.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为62，右顶点为)E .,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB 为直径的圆经过点E.（1）求C 的方程；（2）证明：直线AB 恒过定点；（3）若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBEMBES S 的值.2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用A B B = ，知B A ⊆，求出a 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，即31a =或者23a a =，解之可得13a =或0a =或3a =，当13a =时，11,9,9A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}9,1B =符合题意；当0a =时，{}1,9,0A =，{}9,0B =符合题意；当3a =时，{}1,9,9A =，{}9,9B =根据集合元素互异性可判断不成立。

长安一中2021级高三第三次教学质量检测数学（文科）试题时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{|3,10}P y y x x ==-<<，|02x Q x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则U P Q ⋂ð等于（）A.()2,0- B.[)2,0- C.()3,2-- D.(]3,2--2.已知复数z 满足()1i 12i z ⋅+=-，则复数z 的虚部为（）A.32B.3i 2C.32-D.3i2-3.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值是（）A.－15B.－9C.1D.94.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁5.若()1e 1xaf x =-+为奇函数，则()ln[(1)()]g x x x a =--的单调递增区间是（）A.()0,1 B.()1,+∞C.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.()2,+∞6.南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示．若输出的S 的值为56，则程序框图中①处可以填入（）A.4i <B.5i <C.6i <D.7i <7.某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.24yx a =+，则下列说法不正确的是（）时间x 12345销售量y （千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5A.由题中数据可知，变量y 与x 正相关B.线性回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.28a =C.可以预测6x =时该商场手机销量约为1.72（千只）D.当5x =时，残差为0.02-8.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形OCD 为一把折扇展开后的平面图，其中23COD π∠=，1OC OD ==，设向量32m OC OD =+ ，2n OC kOD =+ ，若11m n ⋅=，则实数k 的值为（）A.1B.3C.7D.149.已知双曲线22:113x y C m m-=+-，则实数m 的取值范围是（）A.()1,1- B.()1,3- C.(),1-∞ D.()0,110.如图，在三棱锥A BCD -中，2AD CD ==，AB BC AC ===ACD ⊥平面ABC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.12πB.32π3 C.28π3 D.8π11.已知角()0,2πθ∈，θ终边上有一点()cos 2sin 2,cos 2sin 2---，则θ=（）A .2B.3π24+ C.7π24- D.π22+12.过抛物线2:3C y x =的焦点F 作直线交C 于A ，B ，过A 和原点的直线交34x =-于D ，则ABD △面积的最小值为（）A.B.2C.94D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()ln 1f x x ax =-+（其中a ∈R ）在1x =处的切线为l ，则直线l 过定点的坐标为__________.14.等差数列{}n a 中的12023,a a 是函数32()641f x x x x =-+-的极值点，则82012log a =__.15.ABC 中，三内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知3sin 2sin cos A B C =，1a =，则角A 的最大值是_______________16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，有下列判断：①平面1//PBA 平面1ACD ；②11A P B D ⊥；③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦；④三棱锥1D APC -的体积不变.其中，正确的是__________（把所有正确判断的序号都填上）.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*226n n S a n n =+-∈N．（1）求证数列{}2n a -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ．（2）若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值，18.某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了100名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间（单位：h ）整理后得到如下表格：课余学习时间[)1,3[)3,5[)5,7[)7,9[]9,11人数510254020（1）估计这100名大学生每天课余学习时间的中位数；（2）根据分层抽样的方法从课余学习时间在[)7,9和[]9,11，这两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽到的2人的课余学习时间都在[)7,9的概率．19.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离.20.如图所示，已知椭圆22:12x G y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D两点．（1）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．（2）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为5πcos()06m ρθ--=．（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()()220f x x x m m =+->的图象关于直线1x =对称．（1）求()f x 的最小值；（2）设a ，b 均为正数，且a b m +=，求14a b+的最小值．长安一中2021级高三第三次教学质量检测数学（文科）试题时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{|3,10}P y y x x ==-<<，|02x Q x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则U P Q ⋂ð等于（）A.()2,0- B.[)2,0- C.()3,2-- D.(]3,2--【答案】B 【解析】【分析】化简集合A ，B ，根据集合的交集、补集运算.【详解】全集U =R ，集合{|3,10}(3,0)P y y x x ==-<<=-，{}|0|(2)0(2{02x Q x x x x x x x x ⎧⎫=≥=+≥≠-=≥⎨⎬+⎩⎭或2}x <-，所以{|20}U Q x x =-≤<ð，则{|20}U P Q x x ⋂=-≤<ð．故选：B ．2.已知复数z 满足()1i 12i z ⋅+=-，则复数z 的虚部为（）A.32B.3i 2C.32-D.3i2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法运算和共轭复数定义可求得z ，由虚部定义可得结果.【详解】()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z -----====--++- ，13i 22z ∴=-+，则z 的虚部为32.故选：A.3.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值是（）A.－15B.－9C.1D.9【答案】A 【解析】【分析】作出可行域，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，数形结合知z 在点B (－6，－3)处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数2z x y =+，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，()223066,3303x y x B y y +-==-⎧⎧⇒⇒--⎨⎨+==-⎩⎩，数形结合知函数2y x z =-+在点B (－6，－3)处纵截距取得最小值，所以z 的最小值为－12－3＝－15.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.4.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】假设四人中任意一人猜对，根据合情推理即可求解.【详解】假设甲猜对比赛结果，则乙也猜对比赛结果，所以假设不成立，所以甲没猜对比赛结果，即得第一名的是1,2,3或6；若乙猜对比赛结果，则1,2或6号选手中的其中一名获得第一名，此时丙也猜对比赛结果，所以乙也没有猜对比赛结果，所以3号选手获得第一名，则只有丁猜对了比赛结果.故选：D .5.若()1e 1xaf x =-+为奇函数，则()ln[(1)()]g x x x a =--的单调递增区间是（）A.()0,1 B.()1,+∞C.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.()2,+∞【答案】D 【解析】【分析】由()f x 为奇函数，求出a 的值，利用复合函数的单调性特征求()g x 的单调递增区间.【详解】函数()1e 1xaf x =-+为奇函数，()f x 的定义域为R ，由()()1120e 1e 1xx a af x f x a --+=-+-=-=++，∴2a =，函数[]()ln (1)(2)g x x x =--的定义域为()(),12,-∞+∞ ，函数ln y x =在定义域内单调递增，当()(),12,x ∈-∞+∞ 时，()()12y x x =--的单调递增区间为()2,+∞，所以()ln[(1)(2)]g x x x =--的单调递增区间为()2,+∞.故选：D ．6.南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示．若输出的S 的值为56，则程序框图中①处可以填入（）A.4i <B.5i <C.6i <D.7i <【答案】C 【解析】【分析】根据循环结构及执行逻辑写出执行步骤，结合输出结果确定条件即可.【详解】第一次循环：011,011a S =+==+=，不满足输出条件，2i =；第二次循环：123,134a S =+==+=，不满足输出条件，3i =；第三次循环：336,4610a S =+==+=，不满足输出条件，4i =；第四次循环：6410,101020a S =+==+=，不满足输出条件，5i =；第五次循环：10515,201535a S =+==+=，不满足输出条件，6i =；第六次循环：15621,352156a S =+==+=，满足输出条件，退出循环．所以判断框中的条件可填入“6i <”．故选：C7.某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.24yx a =+，则下列说法不正确的是（）时间x 12345销售量y （千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5A.由题中数据可知，变量y 与x 正相关B.线性回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.28a =C.可以预测6x =时该商场手机销量约为1.72（千只）D.当5x =时，残差为0.02-【答案】ABC 【解析】【分析】根据表格中的数据的变换趋势，平均数的计算公式，以及回归直线方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，从数据可得y 随着x 的增加而增加，所以变量y 与x 正相关，所以A 正确；对于B 中，由表中数据知123450.50.81 1.2 1.53,155x y ++++++++====，则样本中心点为(3,1)，将样本中心点(3,1)，代入ˆˆ0.24yx a =+中，可得ˆ130.240.28a=-⨯=，所以B 正确；对于C 中，当6x =时，该商场5G 手机销售量约为ˆ0.2460.28 1.72y =⨯+=（千只），所以C 正确；对于D 中，线性回归方程为ˆ0.240.28yx =+，当5x =时，可得ˆ0.2450.28 1.48y=⨯+=，残差为1.5 1.480.02-=，所以D 错误.故选：ABC.8.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形OCD 为一把折扇展开后的平面图，其中23COD π∠=，1OC OD ==，设向量32m OC OD =+ ，2n OC kOD =+ ，若11m n ⋅=，则实数k 的值为（）A.1B.3C.7D.14【答案】D 【解析】【分析】先利用题意算出12OC OD ⋅=- ，然后利用数量积的运算律对()()32211m n OC OD OC kOD ⋅=+⋅+=进行化简，即可求解【详解】因为23COD π∠=，1OC OD ==，所以2132cos OC OD OC OD π=⋅=-⋅ ，因为向量32m OC OD =+ ，2n OC kOD =+ ，11m n ⋅=，所以()()()22322634211OC OD OC kOD OC k OC OD k OD +⋅+=++⋅+= ，即()16342112k k ⎛⎫++⋅-+= ⎪⎝⎭，解得14k =故选：D9.已知双曲线22:113x y C m m-=+-，则实数m 的取值范围是（）A.()1,1- B.()1,3- C.(),1-∞ D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得m 的范围．【详解】当双曲线实轴在x 轴上时，1030m m +>⎧⎨->⎩，解得13m -<<，此时2134c m m =++-=，所以c e a ==>解得1m <，所以11m -<<，当双曲线实轴在y 轴上时，1030m m +<⎧⎨-<⎩，解得m ∈∅，不符合题意.综上，解得11m -<<.故选：A ．10.如图，在三棱锥A BCD -中，2AD CD ==，AB BC AC ===ACD ⊥平面ABC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.12πB.32π3C.28π3D.8π【答案】B【解析】【分析】由题意说明ADC △为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出BM ⊥平面ACD ，进而结合球的几何性质，确定三棱锥A BCD -外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案.【详解】由于2AD CD ==，AC =，故222AD CD AC +=，即ADC △为等腰直角三角形，取AC 的中点为M ，连接,DM BM ，因为AB BC AC ===ABC 为正三角形，故BM AC ⊥,由于平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，BM ⊂平面ABC ，故BM ⊥平面ACD ，DM ⊂平面ACD ，故BM DM ⊥；又M 为ADC △的外心，则三棱锥A BCD -外接球的球心必在BM 上，设ABC 的中心为O ，则O 在BM 上且2326323OA OB OC ===⨯=，而1136333122O MD AC M BM ==⨯===，则263OD ====，即OA OB OC OD ===，即O 点即为三棱锥A BCD -外接球的球心，故外接球半径为3R =，所以外接球表面积为2324ππ3S R ==，故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的位置，进而求得半径.11.已知角()0,2πθ∈，θ终边上有一点()cos 2sin 2,cos 2sin 2---，则θ=（）A.2B.3π24+ C.7π24- D.π22+【答案】C 【解析】【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得3π2π4k θ=-+，结合角的范围即可求解.【详解】πtantan 2cos 2sin 21tan 24tan πcos 2sin 21tan 21tan tan 24θ+--+==-=----ππ3πtan 2tan π2tan 2444⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故3π2π4k θ=-+，k ∈Z ．又cos 2sin 20-<，πcos 2sin 2204⎛⎫--=+< ⎪⎝⎭，故θ在第三象限，故1k =，7π24θ=-．故选:C ．12.过抛物线2:3C y x =的焦点F 作直线交C 于A ，B ，过A 和原点的直线交34x =-于D ，则ABD △面积的最小值为（）A.B.2C.94D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线34x =-，设直线AB 的倾斜角为θ，则直线AB 的方程为cos 3sin 4x y θθ=⋅+；联立抛物线方程可得23cos 90sin 4y y θθ-⋅-=，联立直线AO 和准线方程34x =-可得D点坐标，即可得BD 垂直于准线，再利用焦半径公式可得1cos p BF θ=+，1cos pAF θ=-，写出ABD△的面积ABD S 的表达式，利用导函数和π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可求得其最小值.【详解】如下图所示，易知焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线34x =-即为抛物线2:3C y x =的准线；设直线AB 的倾斜角为θ，由对称性和交点个数可知，不妨取π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；则直线AB 的方程为cos 3sin 4x y θθ=⋅+；联立抛物线2:3C y x =的方程可得23cos 90sin 4y y θθ-⋅-=；设221212,,,33y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则满足12123cos 9,sin 4y y y y θθ+=-⋅=-；则直线AO 的斜率为13AO k y =，其直线方程为13y x y =，联立准线方程34x =-可得139,44D y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又1294y y ⋅=-可得2194y y =-可知,B D 两点纵坐标相同，所以直线BD 于x 轴平行，即BD 垂直于准线；由抛物线定义可得BD BF =；因此可得cos BD BF p θ+=，即()1cos BF p θ+=，即1cos pBF θ=+；同理可得1cos pAF θ=-；所以ABD △的面积()11sin sin 22ABD S AB BD ABD AF BF BF θ=⋅⋅∠=+⋅ 化简可得()21sin 21cos 1cos 1cos sin 1cos ABDp pp p S θθθθθθ⎛⎫=+⋅⋅= ⎪-+++⎝⎭ 由23y x =可得32p =，所以()94sin 1cos ABDS θθ=+ 令()()πsin 1cos ,0,2f θθθθ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，则()22cos cos 1f θθθ'=+-，令()0f θ'=，解得1cos ,2θ=所以当π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>，函数()fθ在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在ππ,32⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；所以当π3θ=时，()f θ取最大值π113224f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()fθ取最大值时，面积取最小知，即()min 94ABD S =⨯= .即ABD △.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用焦半径公式建立直线AB 的倾斜角为θ与,AF BF 的关系式1cos p BF θ=+，1cos pAF θ=-，写出ABD △的面积ABD S 的表达式，利用导函数求得面积最小值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()ln 1f x x ax =-+（其中a ∈R ）在1x =处的切线为l ，则直线l 过定点的坐标为__________.【答案】()0,0【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，从而可求出其过的定点【详解】根据题意：函数()ln 1f x x ax =-+在1x =处有切线，∴切点为()1,1a -，又()1f x a x'=- ，故切线斜率为1a -，∴直线l 的方程为()()()()1111y a a x y a x --=--⇒=-，∴该直线过定点的坐标为()0,0.故答案为：()0,014.等差数列{}n a 中的12023,a a 是函数32()641f x x x x =-+-的极值点，则82012log a =__.【答案】13【解析】【分析】求得2()3124f x x x '=-+，结合题意，得到12023,a a 是方程231240x x -+=的两个根，再由等差数列的性质和对数的运算性质，即可求解.【详解】由函数32()641f x x x x =-+-，可得2()3124f x x x '=-+，因为12023,a a 是函数()f x 的极值点，即12023,a a 是方程231240x x -+=的两个根，可得120234a a +=，又由12023201222a a a +==，所以8201281log log 23a ==.故答案为：13.15.ABC 中，三内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知3sin 2sin cos A B C =，1a =，则角A 的最大值是_______________【答案】π6##o 30【解析】【分析】由题意，利用正弦定理将3sin 2sin cos A B C =角化边，再结合余弦定理可得2222b c a -=，代入cos A 消去a ，利用基本不等式求出cos A 的范围，得解；或利用三角恒等变换结合正切函数的性质即得.【详解】解法一：3sin 2sin cos A B C = ，由正弦定理得32cos a b C =，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-=，将cos C 代入32cos a b C =，可得2222b c a -=，而222cos 2b c a A bc +-=，消去2a可得22131322cos =24（+b c b c A bc c b +=，当且仅当b =时取等号.cos y x = 在(0,π)上单调递减，max π6A ∴=.解法二：sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，又3sin 2sin cos A B C =，cos 0C ∴>，C 为锐角，且sin cos 3cos sin 0B C B C +=，即tan 3tan =-B C ，B ∴为钝角，A 为锐角，而2tan tan 2tan 2tan tan()11tan tan 13tan 3tan tan B C CA B C B C CC C+=-+=-==-++，tan y x = 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，max π6A ∴=.故答案为：π616.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC上运动，有下列判断：①平面1//PBA 平面1ACD ；②11A P B D ⊥；③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦；④三棱锥1D APC -的体积不变.其中，正确的是__________（把所有正确判断的序号都填上）.【答案】①②④【解析】【分析】对于①，建立空间直角坐标系，由空间向量相关运算得到1B D ⊥平面11C BA ，1B D ⊥平面1ACD ，得到两平面平行；对于②，在①基础上证明出线线垂直；对于③，表达出异面直线1A P 与1AD 所成角的余弦值为cos θ=，当12m =和110,,122m ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦两种情况，求出异面直线1A P 与1AD 所成角范围；D 选项，由线面平行结合等体积法得到三棱锥体积为定值.【详解】对于①，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则()()()()()()()()11111,1,1,1,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1B A C A C D B D ，故()11,1,1B D =-- ，()()1110,1,1,1,1,0A B A C ==-，()()()()111111,1,10,1,10,1,1,11,1,00B D A B B D A C ⋅=--⋅=⋅=--⋅-=，故1B D ⊥1A B ，1B D ⊥11A C ，又1111A B A C A = ，111,A B AC ⊂平面11C BA ，故1B D ⊥平面11C BA ，又P 在线段1BC 上运动，故1B D ⊥平面1PBA ，又()()11,1,0,1,0,1AC AD =-=--，()()()()1111,1,11,1,00,1,1,11,0,10B D AC B D AD ⋅=--⋅-=⋅=--⋅--=，故1B D ⊥AC ，1B D ⊥1AD ，又1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面1ACD ，故1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1//PBA 平面1ACD，①正确；对于②，由①可得1B D ⊥平面1PBA ，又1A P ⊂平面1PBA ，所以11A P B D ⊥，②正确；对于③，设(),1,,01P m m m ≤≤，则()()111,1,,1,0,1A P m m AD =-=--，设异面直线1A P 与1AD 所成角大小为θ，则111111cos cos ,A P AD A P AD A P AD θ⋅===⋅=当12m =时，cos 0θ=，故π2θ=，当110,,122m ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，1cos 0,2θ⎛⎤=⎥⎝⎦，又cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，综上，异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③错误；对于④，因为()()111,0,1,1,0,1BC AD =--=--，所以11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，故又P 在线段1BC 上运动，故1P ACD V -为定值，故11D APC P ACD V V --=，体积不变.，④正确.故答案为：①②④三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*226n n S a n n =+-∈N．（1）求证数列{}2n a -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ．（2）若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值，【答案】（1）证明见解析，22nn a =+（2）7【解析】【分析】（1）利用数列中n S 与n a 的关系，得1222n n a a --=-，可证明数列{}2n a -为等比数列，可求数列{}n a 的通项公式n a ．（2）利用裂项相消求数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和m T ，由127258m T =求m 的值.【小问1详解】因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，故1222n n a a --=-，122a -=，所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n nn a --=⨯=．所以22n n a =+【小问2详解】()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和111111111111112224661010142222422222m m m m m T +++⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭L ，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则12256m +=，解得7m =，故m 的值为7．18.某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了100名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间（单位：h ）整理后得到如下表格：课余学习时间[)1,3[)3,5[)5,7[)7,9[]9,11人数510254020（1）估计这100名大学生每天课余学习时间的中位数；（2）根据分层抽样的方法从课余学习时间在[)7,9和[]9,11，这两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽到的2人的课余学习时间都在[)7,9的概率．【答案】（1）7.5（2）25【解析】【分析】（1）根据频数分布表估计中位数的方法直接求解即可；（2）根据分层抽样原则可确定从[)7,9和[]9,11两组中抽取的人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【小问1详解】5102540++= ，510254080+++=，∴这100名大学生每天课余学习时间的中位数位于[)7,9之间，则中位数为10727.540+⨯=.【小问2详解】由题意知：从课余学习时间在[)7,9这一组抽取406460⨯=人，分别记为1234,,,a a a a ，从课余学习时间在[]9,11这一组抽取206260⨯=人，分别记为12,b b ；从这6人中随机抽取2人，所有的基本事件为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12131411122324212234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a {}{}{}{}{}3132414122,,,,,,,,,a b a b a b a b b b ，共15个基本事件；其中“抽到的2人的课余学习时间都在[)7,9”包含的基本事件为：{}{}{}{}{}{}121314234432,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a ，共6个基本事件；∴抽到的2人的课余学习时间都在[)7,9的概率62155p ==.19.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离.【答案】(1)见解析(2)155【解析】【详解】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OMCD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF ,所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离.取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠==== ,所以,EH AD BH AD ⊥⊥,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为EH BH ==,所以BE =所以11522BDES == ,设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为113342242BDM BCD S S ==⨯⨯=,所以由E BDM M BDE V V --=,得113232h =⨯⨯,解得5h =.即F 到平面BDE 的距离为5．20.如图所示，已知椭圆22:12x G y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D两点．（1）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．（2）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12-（2）2222y x =+或2222y x =--【解析】【分析】（1）由题意，求出直线l 的方程，设出点A ，B 的坐标，联立方程组可得A ，B 的坐标及其中点M 的坐标，即可得直线OM 的斜率；（2）假设存在直线l 使得2AM CM DM =⋅成立，讨论直线斜率的情况，联立方程组分析可得是否满足题意，即可得答案.【小问1详解】解：由已知可得()11,0F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1101x y =⎧⎨=⎩，224313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以AB 的中点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是直线OM 的斜率为113223=--；【小问2详解】解：假设存在直线l ，使得2AMCM DM =⋅成立，当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点()1,0M -，所以22AM =,)111CM DM ⋅=-=，矛盾；故直线斜率存在，可设直线l 的方程为()1y k x =+（0k ≠），联立直线与椭圆方程得()()2222214210k x k x k +++-=，则2122421k x x k +=-+，()21222121k x x k -=+，于是2121222211222121y y x x k k k k k k ⎛⎫++⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，点M 的坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，)22121k AB k +==+，直线CD 的方程为12y x k=-⋅，联立椭圆于直线CD ，得222421k x k =+，设()00,C x y ，则222220221411421k OC x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪+⎝⎭，由题意()()()222444AB CM DM CO OMCO OM CO OM=⋅=+-=-，即()()()()22222222228141414212121k k k k k k k ⎛⎫+++ ⎪=- ⎪+++⎝⎭，化简得212k =，故22k =±，所以直线l 的方程为2222y x =+或22y x =--.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21.已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞ e e .【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x a x a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===',令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x ¢>,当2ln 2x >时，()0f x '<,∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =,则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =,在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<,所以a 的取值范围是()()1,,+∞ e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=．当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a g x g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意；当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．由于1110e1,e 1e ln 0ln aaaag a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln a a >，即eln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e ()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞．[方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1a xxa=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x a x a =，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a=有且仅有两个交点．①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意．②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x gx g x g x x x ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+．当0011ln y x x x =-+与ln ()x a p x a =为同一直线时有0ln 1,ln 10,a a x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<．综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞．[方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x x x x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==．因为0x >，由()0f x '=得ln ax a=．当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln a a >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a <<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递减．因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa a a a aa a a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a aaaaa aa -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->．令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠．故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．]【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为5πcos()06m ρθ--=．（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）262y x =-，其中0y ≥；2y m=+（2）33[,612-【解析】【分析】（1）根据题意，消去参数t ，得到曲线C 的普通方程，结合极坐标与直角的互化公式，即可求得直线l 的直角坐标方程；（2）根据题意，联立方程组，方程有两个非负实根，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由曲线C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），消去参数t ，可得262y x =-，其中0y ≥，又由直线l 的极坐标方程为5πcos()06m ρθ--=，即1cos sin 022m ρθρθ-+-=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得1022x y m -+-=，即2y m =+，所以曲线C 的普通方程为262y x =-，其中0y ≥，直线l的直角坐标方程为2y m =+.【小问2详解】解：若直线l 与曲线C有两个不同的交点，则2262y my x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩有两组不同的解，26120y m -++=，则方程有两个非负实根，即1212Δ36000m y y y y ⎧⎪=-+>⎪⎪⎪+=>⎨⎪⎪⎪=≥⎪⎩，解得33612m -≤<，所以实数m 的取值范围是33[,612-.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()()220f x x x m m =+->的图象关于直线1x =对称．（1）求()f x 的最小值；（2）设a ，b 均为正数，且a b m +=，求14a b+的最小值．【答案】（1）4；（2）94【解析】【分析】（1）先整理()f x ，再利用题意中的对称求出4m =，然后用三角不等式求出最小值即可；（2）由（1）可得4a b +=，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解【小问1详解】()2222f x x x m x x m =+-=+-，令20x =，解得0x =；令20x m -=，解得2mx =，因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以0212m+=⨯，解得4m =，所以()()2242244f x x x x x =+-≥--=，当且仅当()2240x x ⋅-≤时，取等号，故()f x 的最小值为4；【小问2详解】由（1）可得4a b +=，即()114a b +=，所以()411414451144549a b b a a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫+=≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎭⎝，当且仅当4b a a b =即48,33a b ==时，取等号，故14a b+的最小值为94。

陕西省西安市西安中学2024届高三上学期期中数学（理）试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
．．
．．
．已知(πcos 2cos 2α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭=（
）
四、应用题
20．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，
五、解答题。