西安中学高三数学期中试卷

2021-2022学年西安中学高三上学期期中数学复习卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={0,1，2，3，4}，设集合A ={0,1，2}，B ={1,2，3}，则A ∩∁U B =( )A. {3}B. ⌀C. {1,2}D. {0}2.2−i 1+2i=( )A. 1B. −1C. iD. −i3.下列命题中是假命题的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0(a ⃗ ≠0⃗ ,b ⃗ ≠0⃗ )，则a ⃗ ⊥b ⃗B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗C. 若ac 2>bc 2，则a >bD. 5>34.若f (x )= x 2−2 x −4ln x ，则f ′(x )>0的解集为…( )A. (0,+∞)B. (−1,0)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. (−1,0)5.数列{a n }满足a 1=1，且2a n−1−2a n =a n a n−1(n ≥2)，则a n =( )A. 2n+1B. 2n+2C. (23)nD. (23)n−16.函数f(x)=3x −的零点存在区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)7.函数的最小正周期是( )A.B. C.D.8.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =1，AC =2，点P 为△ABC 内(包含边界)的点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中x ，y 为正实数)，则当xy 最大时，yx的值是( ) A. 12 B. 1C. 2D. 与∠A 的大小有关9.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是B 1B ，B 1C 1，CD 的中点，则MN 与D 1P 所成角的余弦值为( )A. −√105B. √105C. √55D. 2√5510. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√xB. y =(x −1)2C. y =(12)xD. y =log 0.5x11. 函数f(x)={e cosπx ,x ≤1ln(x −1x),x >1的图象大致是( ) A.B.C.D.12. 设定义在(1,e )上函数若曲线上存在点(x 0,y 0)使得f(f(y 0))=y 0，则实数a 的取值范围是( )A.B.C. [−1,e 2−e +1)D. (0,e 2−e +1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=x 2的一条切线与直线y =2x −3平行，则该切线的方程为______． 14. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,m)，若b ⃗ =λa ⃗ ，λ∈R ，则m =______． 15. 下面有四个命题：①函数的最小正周期是； ②函数的最大值是；③把函数的图象向右平移得的图象；④函数在上是减函数．其中真命题的序号是 ．16. 图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则ℎ= ______ cm ，该几何体的外接球半径为______ cm ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =2a n−1+n+2n(n+1)(n ≥2,n ∈N ∗). (1)若数列{b n }满足b n =a n +1n+1(n ∈N ∗)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n =2n(n+1)a n+1，记 S n =c 1⋅c 2+c 2⋅c 3+⋯+c n ⋅c n+1，求使S n >79的最小正整数n 的值．18. 如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)AB =AC ，求AC ∶BC ．19. 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x 和体重y 数据如表所示．求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为174cm 的女大学生的体重．(结果精确到0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算)参考公式：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 已知椭圆C 的离心率为√32，长轴长为4，焦点在x 轴上，斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程 (2)求|AB|的最大值．21. 已知函数f(x)=lnx −12ax 2+ax ，a ∈R ． (1)当a <0时，讨论函数f(x)的极值点的个数；(2)若关于x 的不等式f(x)≤2ax −x −1恒成立，求整数a 的最小值； (3)对于函数f(x)图象上任意给定的两点A(x 1,f(x 1))、B(x 2,f(x 2))，试判断f′(x 1+x 22)与f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1的大小关系(其中f′(x )是函数f(x)的导函数)，并给出证明．22. 直线l ：ρcos(θ−π6)=2，圆C ：ρ=2sinθ.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ．(1)求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；(2)已知点P 在圆C 上，点P 到直线l 和x 轴的距离分别为d 1，d 2，求d 1+d 2的最大值．23. 设函数f(x)=|x −a|，a ∈R ．(1)若不等式f(x)<1的解集为{x|0<x <2}，求a 的值； (2)若存在x 0∈R ，使f(x 0)+x 0<3，求a 的取值范围．。

市一中大学区2021-2022度第一学期期中考试高三数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．） 1．设集合{}|1A x x =>，集合{}2B a =+，若A B φ=，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】本题主要考查集合的运算． 因为{}|1A x x =>且AB 为空集，所以21a +≤，即1a -≤，所以当1a -≤时，满足A 与B 的交集为空集的条件． 故选A ．2．已知为i 虚数单位，若复数1i()1i a z a -=∈+R 的虚部为3-，则||z =（ ）． A ．5B 13C ．23D 10【答案】C 【解析】因为1i (1i)(1i)1(1)i 111i 2222ia a a a a a z -----+-+====-+， 所以132a+-=-，所以5a =，所以23i z =--，所以22(2)(3)13z -+- 故选C ．3．已知命题:p x ∀∈R ，12(2)0x -<，则命题p ⌝为（ ）． A ．0x ∃∈R ，120(2)0x ->B ．x ∀∈R ，12(1)0x -> C ．x ∀∈R ，12(1)0x -≥D ．0x ∃∈R ，120(2)0x -≥【答案】C【解析】解：因为原命题为全称命题，所以原命题的否定是特称命题， 即命题p x ⌝∀∈R ，20x >，的否定是：:p x ∃∈R ，20x ≤． 故选C ．4．执行如图所示的算法框图，则输出的S 值是（ ）．是否S=4i=1i=9S=22Si =i +1输出S结束开始A ．1-B ．23C ．32D ．4 【答案】D【解析】i 1=，1S =-；i 2=，23S =；i 3=，32S =； i 4=，4S =；i 5=，1S =-；；i 8=，4S =；i 9=，结束循环，输出S 的值是4．故选D ．5．设55log 4log 2a =-，2ln ln33b =+，1lg5210c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】解：∵13log 20a =<，112211log log 132b =>=，0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a c b <<． 故选A ．6．若函数()f x 满足1(1)()2f x f x +=，则()f x 的解析式在下列四式中只有可能是（ ）． A ．2x B ．12x +C ．2x -D ．12log x【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式． 由已知该函数具有性质1(1)()2f x f x +=，将此运用到四个选项中： A 项，1(1)2x f x ++=，1()24xf x =，不符合题意，故A 项错误； B 项，3(1)2f x x +=+，11()224x f x =+，不符合题意，故B 项错误；C 项，(1)11(1)22()22x x f x f x -+-+==⨯=，符合题意，故C 项正确； D 项，12(1)log (1)f x x +=+，112211()log log 22f x x x ==D 项错误． 故选C ．7．函数e x y x =和图象是（ ）．A ．xyOB ．yOx C ．yOx D ．yOx【答案】C 【解析】8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则[0,2]xy ∈的概率是（ ）． A ．1ln 22- B ．32ln24- C ．1ln 22+ D ．12ln22+ 【答案】C【解析】本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率212222(ln )2d 11ln 2442x x S x P S +++====⎰阴影正方形．【注意有文字】故选C ．xy O412343219．设实数x ，y 满足22010210x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≥≤，则11y x --的最小值是（ ）．A ．5-B ．12-C ．12D ．5【答案】B【解析】(1,1)xyOy=x+44000x y x y -+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥所表示的区域如图所示 11y z x -=-表示区域中的点到点(1,1)的斜率， 故原点到点(1,1)的斜率最大． 故选B ．10．若将函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象最新y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）． A ．5π12B ．π3C ．2π3D ．5π6-【答案】A【解析】把该函数的图象右移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为：π2sin 223y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又所得图象最新y 轴对称，则 π3π22πk ϕ-=+，k ∈Z ， ∴当1k =-时，ϕ有最小正值是 5π12．故选A ．11．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）．A ．11,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．2026,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2026,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】解：函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥的图象，如图，xO y65432143211234564321不妨设123x x x <<，则2x ，3x 最新直线3x =对称，故236x x +=，且1x 满足1703x -<<；则123x x x ++的取值范围是：12376063x x x -+<++<+，即12311,63x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．故选D ．12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()2()f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 是导函数，e 是自然对数的底数），则(1)(2)f f 的范围为（ ）． A ．11,2e e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(e,2e)D ．3(e,e )【答案】B【解析】构造函数()()e x f x g x =，(0,)x ∈+∞，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xfx f x f x f x g x ''--'==， 由已知()()f x f x '<得()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，则函数()g x 在(0,)+∞上递增， 所以(1)(2)g g <，即2(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >，所以根据2(1)(2)e ef f <有2(1)e (2)e f f <，即(1)1(2)e f f <， 再构造函数2()()(e )x f x h x =，(0,)x ∈+∞，2242()(e )()2(e )()2()()(e )(e )x x x x fx f x f x f x g x ''⋅-'==， 由已知()2()f x f x '<，所以()0h x '<在(0,)+∞，则函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递减， 所以(1)(2)h h >，即24(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >， 所以根据24(1)(2)e e f f <有24(1)e (2)e f f <，即2(1)1(2)e f f <，所以21(1)1e (2)e f f <<． 故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算11130.7536170.027*********-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________． 【答案】31【解析】原式1133316412590.33625697295-⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭3109913643553=-+-+- 31=．14．已知423401234(23)x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】1【解析】令1x =，得401234(23)a a a a a =++++； 令1x =-，得401234(23)a a a a a -=-+-+；两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(23)(23)(1)1=⋅-=-=．15．一个类似杨辉三角形的数阵： 则第九行的第二个数为__________．18221891177115653139【答案】见解析【解析】解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可以知道第n 行的首尾两数均为21n -， 设第(2)n n ≥行的第2个数构成数列{}n a ， 则有323a a -=，435a a -=，547a a -=，，123n n a a n --=-，相加得232335(23)(2)(2)2n n a a n n n n +--=+++-=⨯-=-23(2)23n a n n n n =+-=-+． 因此，本题正确答案是：223n n -+．16．某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为__________． 【答案】见解析【解析】解：22534475A A 1201A A 9401206==--．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数2π()3cos sin 02222f x x x x ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像经过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求()f x ．（2）在ABC △中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，5a =25ABC S =△，角C 为锐角且π72126C f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求C 边长． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2()3cos sin 222f x x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31cos(2))2x x ϕϕ-+=++ 311)cos(2)22x x ϕϕ=+-++ π1sin 262x ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，∵图象经过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，∴ππ1sin 21362ϕ⎛⎫⋅+-+= ⎪⎝⎭，即π1sin 22ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=，∵π02ϕ<<，∴π3ϕ=， ∴π1()sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（2）∵π17sin 21226C f C ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴2sin 3C =， ∴45cos 19C =-， ∵112sin 525223ABC S ab C b ==⋅=△，∴6b =，∴22252cos 53625621c a b ab C =+-=+-=， ∴21c =18．（12分）已知ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． （1）求sin sin BC∠∠．（2）若1AD =，2DC =BD 和AC 的长． 【答案】见解析．【解析】（1）1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅△∠，1sin 2ADC S AC AD CAD =⋅△∠， 因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD =∠∠，所以2AB AC =， 在ABC △中，由正弦定理得：sin sin AC AB B C =∠∠，所以sin 1sin 2B AC C AB ==∠∠． （2）设ADB θ=∠，则πADC θ=-∠． 由（1）知12AC b AB c ==，所以2c b =①， 由2CD =2BD = 在ACD △中，由余弦定理，2222121π)b θ=+-⨯-⎝⎭， 即2322b θ=+②， 在ABD △中，由余弦定理，21222c θ=+-，即2322c θ=-③， 由①②③得1b =，故1AC =．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） [15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 510151055赞成人数46 9 6 34（1（2）若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不．赞成．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．频率组距0.010.020.03【答案】见解析．【解析】（1）由表知年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：11122464442222510510C C C C C 424666622(2)C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==． （2） ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，226422510C C 4515(0)C C 22575P ξ==⋅==， 21112646442222510510C C C C C 41562410234(1)C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==， 124422510C C 46124(3)C C 104522575P ξ==⋅=⋅==， 所以ξ的分布列是： ξ0 1 2 3 p1575 3475 2275 475 所以ξ的数学期望65E ξ=．20．（12分）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程． （2）已知(2,0)A -，(0,2)B ，圆C 上任意一点(,)M x y ，求ABM △面积的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）， 所以普通方程为22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的及坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=．（2）点(,)M x y 到直线:20AB x y -+=的距离2d =，ABM △的面积1π|||2cos 2sin 9|22924S AB d θθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以ABM △的面积的最大值为922+21．（12分）已知函数()|3|f x x =+，()2|11|g x m x =--，若2()(4)f x g x +≥恒成立，实数m 的最大值为t ．（1）求实数t ．（2）已知实数x 、y 、z 满足22236(0)x y x a a 2++=>，且x y z ++的最大值是20t ，求a 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意可得(4)2|411|2|7|g x m x m x +=-+-=--，若2()(4)f x g x +≥恒成立， ∴2|3|2|7|x m x +--≥，即2(|3||7|)m x x ++-≤．而由绝对值三角不等式可得2(|3||7|)2|(3)(7)|20x x x x ++-+--=≥， ∴20m ≤，故m 的最大值20t =．（2）∵实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，由柯西不等式可得2222222[(2)(3)(6)]236236236x y z x y z ⎡⎤++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦≥， ∴21)a x y z ⨯++≥(， ∴x y z a ++再根据x y z ++的最大值是120t =， 1a ，∴1a =．22．（12分）已知二次函数2()1f x x ax m =+++，最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +，(0)m ≠，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值．（2）()k k ∈R 如何取值时，函数()()ln(1)x g x k x ϕ=--存在极值点，并求出极值点． （3）若1m =，且0x >，求证：[(1)](1)22(*)n n n g x g x x +-+-∈N ≥．【答案】见解析．【解析】（1）因为最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +， 即不等式22(12)0x a m x m m ++-++<的解集为(,1)m m +，所以22(12)()(1)x a m x m m x m x m ++-++=---，所以222(12)(21)(1)x a m x m m x m x m m ++-++=-+++，所以12(21)a m m +-=-+，所以2a =-．（2）由（1）得2()21()(1)111f x x x m mg x x x x x -++===-+---， 所以()()ln(1)(1)(1)1m x g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为(1,)+∞， 所以222(2)1()1(1)1(1)m k x k x k m x x x x ϕ-++-+'=--=---， 方程2(2)10x k x k m -++-+=（*）的判别式22(2)4(1)4k k m k m ∆=+---=+．①当0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为21241k k m x +-+=<，22241k k m x +++=>， 则2(1,)x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在2(1,)x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以函数()x ϕ有极小值点2x ． ②当0m <时，由0∆>，得2k m <--2k m >-2k m <-， 则21241k k m x +-+<，22241k k m x +++=>，故(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增．所以函数()x ϕ没有极值点， 若2k m >-21241k k m x +-+=>，22241k k m x +++=>， 则1(1,)x x ∈时，()0x ϕ'>；12(,)x x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， 所以函数()x ϕ在1(1,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增， 所以函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ，综上所述，当0m >时，k 取任意实数，函数()x ϕ有极小值点2x ， 当0m <时，2k m >-()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ， （其中2124k k m x +-+=2224k k m x +++=． （3）因为1m =， 所以1()(1)1g x x x =-+-， 所以1122122412211C C C C C n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x------=+⋅+⋅=+++， 令122412C C C n n n n n n n T x x x----=+++， 则122412122412C C C C C C nn n n n n n n n n n n n n n T x x x x x x---------=+++=+++， 因为0x >，所以1222441221212C ()C ()C ()2(C C C )n n n n n n n nn n n n n n T x x x x x x --------=++++++=+++12102(C C C +C C C C )2(22)n n n n n n n n n n n -=+++++-=-，所以22n T -≥，即[(1)](1)22n n n g x g x +-+-≥．。

2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.42.设1i z =-，则2i z +=（）A.1B.iC.i -D.1-3.若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.54-C.108D.108-4.已知a =，3log b =2log c =）A .b a c<< B.c a b<< C.c b a<< D.b c a<< 5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10C.2D.106.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n = 与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（）A.512 B.12C.712D.567.已知数列{}n a 是正项数列，()2*3n n n +=+∈N ，则9122310a a a++⋅⋅⋅+=（）A.216B.260C.290D.3168.已知函数222,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.(0,)+∞ C.1,24⎛⎤-⎥⎝⎦D.(]0,2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足sin :sin :sin 3A B C =，且4ABC S =△，则（）A.ABC V 外接圆的半径为3B.若A ∠的平分线与BC 交于D ，则AD 的长为334C.若D 为BC 的中点，则AD 的长为4D.若O 为ABC V 的外心，则()5AO AB AC ⋅+=10.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A .//EF 平面11AA B BB.直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值为255C.若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是5D.直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为211.已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）A.直线AB 与抛物线C 相切B.6OP OQ ⋅= C.若P 是线段BQ 的中点，则2||||PF QF = D.存在直线l ，使得||||2||PF QF BF +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=___________.13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____14.已知函数()2sin e exxf x x -=-+，则关于x 的不等式()()2430f x f x -+<的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为14，击中内环的概率为14，击中外环的概率为12，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；（2）设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．17.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.18.如图，曲线y =设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a ．（1）求12,a a 的值；（2）求出的通项公式；（3）设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413(2,N 4)n n k k k k k k k k n n -++++<≥∈ ．19.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为62，右顶点为)E .,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB 为直径的圆经过点E.（1）求C 的方程；（2）证明：直线AB 恒过定点；（3）若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBEMBES S 的值.2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用A B B = ，知B A ⊆，求出a 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，即31a =或者23a a =，解之可得13a =或0a =或3a =，当13a =时，11,9,9A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}9,1B =符合题意；当0a =时，{}1,9,0A =，{}9,0B =符合题意；当3a =时，{}1,9,9A =，{}9,9B =根据集合元素互异性可判断不成立。

长安一中2021级高三第三次教学质量检测数学（文科）试题时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{|3,10}P y y x x ==-<<，|02x Q x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则U P Q ⋂ð等于（）A.()2,0- B.[)2,0- C.()3,2-- D.(]3,2--2.已知复数z 满足()1i 12i z ⋅+=-，则复数z 的虚部为（）A.32B.3i 2C.32-D.3i2-3.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值是（）A.－15B.－9C.1D.94.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁5.若()1e 1xaf x =-+为奇函数，则()ln[(1)()]g x x x a =--的单调递增区间是（）A.()0,1 B.()1,+∞C.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.()2,+∞6.南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示．若输出的S 的值为56，则程序框图中①处可以填入（）A.4i <B.5i <C.6i <D.7i <7.某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.24yx a =+，则下列说法不正确的是（）时间x 12345销售量y （千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5A.由题中数据可知，变量y 与x 正相关B.线性回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.28a =C.可以预测6x =时该商场手机销量约为1.72（千只）D.当5x =时，残差为0.02-8.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形OCD 为一把折扇展开后的平面图，其中23COD π∠=，1OC OD ==，设向量32m OC OD =+ ，2n OC kOD =+ ，若11m n ⋅=，则实数k 的值为（）A.1B.3C.7D.149.已知双曲线22:113x y C m m-=+-，则实数m 的取值范围是（）A.()1,1- B.()1,3- C.(),1-∞ D.()0,110.如图，在三棱锥A BCD -中，2AD CD ==，AB BC AC ===ACD ⊥平面ABC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.12πB.32π3 C.28π3 D.8π11.已知角()0,2πθ∈，θ终边上有一点()cos 2sin 2,cos 2sin 2---，则θ=（）A .2B.3π24+ C.7π24- D.π22+12.过抛物线2:3C y x =的焦点F 作直线交C 于A ，B ，过A 和原点的直线交34x =-于D ，则ABD △面积的最小值为（）A.B.2C.94D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()ln 1f x x ax =-+（其中a ∈R ）在1x =处的切线为l ，则直线l 过定点的坐标为__________.14.等差数列{}n a 中的12023,a a 是函数32()641f x x x x =-+-的极值点，则82012log a =__.15.ABC 中，三内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知3sin 2sin cos A B C =，1a =，则角A 的最大值是_______________16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，有下列判断：①平面1//PBA 平面1ACD ；②11A P B D ⊥；③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦；④三棱锥1D APC -的体积不变.其中，正确的是__________（把所有正确判断的序号都填上）.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*226n n S a n n =+-∈N．（1）求证数列{}2n a -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ．（2）若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值，18.某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了100名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间（单位：h ）整理后得到如下表格：课余学习时间[)1,3[)3,5[)5,7[)7,9[]9,11人数510254020（1）估计这100名大学生每天课余学习时间的中位数；（2）根据分层抽样的方法从课余学习时间在[)7,9和[]9,11，这两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽到的2人的课余学习时间都在[)7,9的概率．19.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离.20.如图所示，已知椭圆22:12x G y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D两点．（1）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．（2）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为5πcos()06m ρθ--=．（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()()220f x x x m m =+->的图象关于直线1x =对称．（1）求()f x 的最小值；（2）设a ，b 均为正数，且a b m +=，求14a b+的最小值．长安一中2021级高三第三次教学质量检测数学（文科）试题时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{|3,10}P y y x x ==-<<，|02x Q x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则U P Q ⋂ð等于（）A.()2,0- B.[)2,0- C.()3,2-- D.(]3,2--【答案】B 【解析】【分析】化简集合A ，B ，根据集合的交集、补集运算.【详解】全集U =R ，集合{|3,10}(3,0)P y y x x ==-<<=-，{}|0|(2)0(2{02x Q x x x x x x x x ⎧⎫=≥=+≥≠-=≥⎨⎬+⎩⎭或2}x <-，所以{|20}U Q x x =-≤<ð，则{|20}U P Q x x ⋂=-≤<ð．故选：B ．2.已知复数z 满足()1i 12i z ⋅+=-，则复数z 的虚部为（）A.32B.3i 2C.32-D.3i2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法运算和共轭复数定义可求得z ，由虚部定义可得结果.【详解】()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z -----====--++- ，13i 22z ∴=-+，则z 的虚部为32.故选：A.3.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值是（）A.－15B.－9C.1D.9【答案】A 【解析】【分析】作出可行域，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，数形结合知z 在点B (－6，－3)处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数2z x y =+，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，()223066,3303x y x B y y +-==-⎧⎧⇒⇒--⎨⎨+==-⎩⎩，数形结合知函数2y x z =-+在点B (－6，－3)处纵截距取得最小值，所以z 的最小值为－12－3＝－15.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.4.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】假设四人中任意一人猜对，根据合情推理即可求解.【详解】假设甲猜对比赛结果，则乙也猜对比赛结果，所以假设不成立，所以甲没猜对比赛结果，即得第一名的是1,2,3或6；若乙猜对比赛结果，则1,2或6号选手中的其中一名获得第一名，此时丙也猜对比赛结果，所以乙也没有猜对比赛结果，所以3号选手获得第一名，则只有丁猜对了比赛结果.故选：D .5.若()1e 1xaf x =-+为奇函数，则()ln[(1)()]g x x x a =--的单调递增区间是（）A.()0,1 B.()1,+∞C.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.()2,+∞【答案】D 【解析】【分析】由()f x 为奇函数，求出a 的值，利用复合函数的单调性特征求()g x 的单调递增区间.【详解】函数()1e 1xaf x =-+为奇函数，()f x 的定义域为R ，由()()1120e 1e 1xx a af x f x a --+=-+-=-=++，∴2a =，函数[]()ln (1)(2)g x x x =--的定义域为()(),12,-∞+∞ ，函数ln y x =在定义域内单调递增，当()(),12,x ∈-∞+∞ 时，()()12y x x =--的单调递增区间为()2,+∞，所以()ln[(1)(2)]g x x x =--的单调递增区间为()2,+∞.故选：D ．6.南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示．若输出的S 的值为56，则程序框图中①处可以填入（）A.4i <B.5i <C.6i <D.7i <【答案】C 【解析】【分析】根据循环结构及执行逻辑写出执行步骤，结合输出结果确定条件即可.【详解】第一次循环：011,011a S =+==+=，不满足输出条件，2i =；第二次循环：123,134a S =+==+=，不满足输出条件，3i =；第三次循环：336,4610a S =+==+=，不满足输出条件，4i =；第四次循环：6410,101020a S =+==+=，不满足输出条件，5i =；第五次循环：10515,201535a S =+==+=，不满足输出条件，6i =；第六次循环：15621,352156a S =+==+=，满足输出条件，退出循环．所以判断框中的条件可填入“6i <”．故选：C7.某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.24yx a =+，则下列说法不正确的是（）时间x 12345销售量y （千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5A.由题中数据可知，变量y 与x 正相关B.线性回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.28a =C.可以预测6x =时该商场手机销量约为1.72（千只）D.当5x =时，残差为0.02-【答案】ABC 【解析】【分析】根据表格中的数据的变换趋势，平均数的计算公式，以及回归直线方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，从数据可得y 随着x 的增加而增加，所以变量y 与x 正相关，所以A 正确；对于B 中，由表中数据知123450.50.81 1.2 1.53,155x y ++++++++====，则样本中心点为(3,1)，将样本中心点(3,1)，代入ˆˆ0.24yx a =+中，可得ˆ130.240.28a=-⨯=，所以B 正确；对于C 中，当6x =时，该商场5G 手机销售量约为ˆ0.2460.28 1.72y =⨯+=（千只），所以C 正确；对于D 中，线性回归方程为ˆ0.240.28yx =+，当5x =时，可得ˆ0.2450.28 1.48y=⨯+=，残差为1.5 1.480.02-=，所以D 错误.故选：ABC.8.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形OCD 为一把折扇展开后的平面图，其中23COD π∠=，1OC OD ==，设向量32m OC OD =+ ，2n OC kOD =+ ，若11m n ⋅=，则实数k 的值为（）A.1B.3C.7D.14【答案】D 【解析】【分析】先利用题意算出12OC OD ⋅=- ，然后利用数量积的运算律对()()32211m n OC OD OC kOD ⋅=+⋅+=进行化简，即可求解【详解】因为23COD π∠=，1OC OD ==，所以2132cos OC OD OC OD π=⋅=-⋅ ，因为向量32m OC OD =+ ，2n OC kOD =+ ，11m n ⋅=，所以()()()22322634211OC OD OC kOD OC k OC OD k OD +⋅+=++⋅+= ，即()16342112k k ⎛⎫++⋅-+= ⎪⎝⎭，解得14k =故选：D9.已知双曲线22:113x y C m m-=+-，则实数m 的取值范围是（）A.()1,1- B.()1,3- C.(),1-∞ D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得m 的范围．【详解】当双曲线实轴在x 轴上时，1030m m +>⎧⎨->⎩，解得13m -<<，此时2134c m m =++-=，所以c e a ==>解得1m <，所以11m -<<，当双曲线实轴在y 轴上时，1030m m +<⎧⎨-<⎩，解得m ∈∅，不符合题意.综上，解得11m -<<.故选：A ．10.如图，在三棱锥A BCD -中，2AD CD ==，AB BC AC ===ACD ⊥平面ABC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.12πB.32π3C.28π3D.8π【答案】B【解析】【分析】由题意说明ADC △为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出BM ⊥平面ACD ，进而结合球的几何性质，确定三棱锥A BCD -外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案.【详解】由于2AD CD ==，AC =，故222AD CD AC +=，即ADC △为等腰直角三角形，取AC 的中点为M ，连接,DM BM ，因为AB BC AC ===ABC 为正三角形，故BM AC ⊥,由于平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，BM ⊂平面ABC ，故BM ⊥平面ACD ，DM ⊂平面ACD ，故BM DM ⊥；又M 为ADC △的外心，则三棱锥A BCD -外接球的球心必在BM 上，设ABC 的中心为O ，则O 在BM 上且2326323OA OB OC ===⨯=，而1136333122O MD AC M BM ==⨯===，则263OD ====，即OA OB OC OD ===，即O 点即为三棱锥A BCD -外接球的球心，故外接球半径为3R =，所以外接球表面积为2324ππ3S R ==，故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的位置，进而求得半径.11.已知角()0,2πθ∈，θ终边上有一点()cos 2sin 2,cos 2sin 2---，则θ=（）A.2B.3π24+ C.7π24- D.π22+【答案】C 【解析】【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得3π2π4k θ=-+，结合角的范围即可求解.【详解】πtantan 2cos 2sin 21tan 24tan πcos 2sin 21tan 21tan tan 24θ+--+==-=----ππ3πtan 2tan π2tan 2444⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故3π2π4k θ=-+，k ∈Z ．又cos 2sin 20-<，πcos 2sin 2204⎛⎫--=+< ⎪⎝⎭，故θ在第三象限，故1k =，7π24θ=-．故选:C ．12.过抛物线2:3C y x =的焦点F 作直线交C 于A ，B ，过A 和原点的直线交34x =-于D ，则ABD △面积的最小值为（）A.B.2C.94D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线34x =-，设直线AB 的倾斜角为θ，则直线AB 的方程为cos 3sin 4x y θθ=⋅+；联立抛物线方程可得23cos 90sin 4y y θθ-⋅-=，联立直线AO 和准线方程34x =-可得D点坐标，即可得BD 垂直于准线，再利用焦半径公式可得1cos p BF θ=+，1cos pAF θ=-，写出ABD△的面积ABD S 的表达式，利用导函数和π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可求得其最小值.【详解】如下图所示，易知焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线34x =-即为抛物线2:3C y x =的准线；设直线AB 的倾斜角为θ，由对称性和交点个数可知，不妨取π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；则直线AB 的方程为cos 3sin 4x y θθ=⋅+；联立抛物线2:3C y x =的方程可得23cos 90sin 4y y θθ-⋅-=；设221212,,,33y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则满足12123cos 9,sin 4y y y y θθ+=-⋅=-；则直线AO 的斜率为13AO k y =，其直线方程为13y x y =，联立准线方程34x =-可得139,44D y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又1294y y ⋅=-可得2194y y =-可知,B D 两点纵坐标相同，所以直线BD 于x 轴平行，即BD 垂直于准线；由抛物线定义可得BD BF =；因此可得cos BD BF p θ+=，即()1cos BF p θ+=，即1cos pBF θ=+；同理可得1cos pAF θ=-；所以ABD △的面积()11sin sin 22ABD S AB BD ABD AF BF BF θ=⋅⋅∠=+⋅ 化简可得()21sin 21cos 1cos 1cos sin 1cos ABDp pp p S θθθθθθ⎛⎫=+⋅⋅= ⎪-+++⎝⎭ 由23y x =可得32p =，所以()94sin 1cos ABDS θθ=+ 令()()πsin 1cos ,0,2f θθθθ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，则()22cos cos 1f θθθ'=+-，令()0f θ'=，解得1cos ,2θ=所以当π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>，函数()fθ在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在ππ,32⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；所以当π3θ=时，()f θ取最大值π113224f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()fθ取最大值时，面积取最小知，即()min 94ABD S =⨯= .即ABD △.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用焦半径公式建立直线AB 的倾斜角为θ与,AF BF 的关系式1cos p BF θ=+，1cos pAF θ=-，写出ABD △的面积ABD S 的表达式，利用导函数求得面积最小值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()ln 1f x x ax =-+（其中a ∈R ）在1x =处的切线为l ，则直线l 过定点的坐标为__________.【答案】()0,0【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，从而可求出其过的定点【详解】根据题意：函数()ln 1f x x ax =-+在1x =处有切线，∴切点为()1,1a -，又()1f x a x'=- ，故切线斜率为1a -，∴直线l 的方程为()()()()1111y a a x y a x --=--⇒=-，∴该直线过定点的坐标为()0,0.故答案为：()0,014.等差数列{}n a 中的12023,a a 是函数32()641f x x x x =-+-的极值点，则82012log a =__.【答案】13【解析】【分析】求得2()3124f x x x '=-+，结合题意，得到12023,a a 是方程231240x x -+=的两个根，再由等差数列的性质和对数的运算性质，即可求解.【详解】由函数32()641f x x x x =-+-，可得2()3124f x x x '=-+，因为12023,a a 是函数()f x 的极值点，即12023,a a 是方程231240x x -+=的两个根，可得120234a a +=，又由12023201222a a a +==，所以8201281log log 23a ==.故答案为：13.15.ABC 中，三内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知3sin 2sin cos A B C =，1a =，则角A 的最大值是_______________【答案】π6##o 30【解析】【分析】由题意，利用正弦定理将3sin 2sin cos A B C =角化边，再结合余弦定理可得2222b c a -=，代入cos A 消去a ，利用基本不等式求出cos A 的范围，得解；或利用三角恒等变换结合正切函数的性质即得.【详解】解法一：3sin 2sin cos A B C = ，由正弦定理得32cos a b C =，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-=，将cos C 代入32cos a b C =，可得2222b c a -=，而222cos 2b c a A bc +-=，消去2a可得22131322cos =24（+b c b c A bc c b +=，当且仅当b =时取等号.cos y x = 在(0,π)上单调递减，max π6A ∴=.解法二：sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，又3sin 2sin cos A B C =，cos 0C ∴>，C 为锐角，且sin cos 3cos sin 0B C B C +=，即tan 3tan =-B C ，B ∴为钝角，A 为锐角，而2tan tan 2tan 2tan tan()11tan tan 13tan 3tan tan B C CA B C B C CC C+=-+=-==-++，tan y x = 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，max π6A ∴=.故答案为：π616.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC上运动，有下列判断：①平面1//PBA 平面1ACD ；②11A P B D ⊥；③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦；④三棱锥1D APC -的体积不变.其中，正确的是__________（把所有正确判断的序号都填上）.【答案】①②④【解析】【分析】对于①，建立空间直角坐标系，由空间向量相关运算得到1B D ⊥平面11C BA ，1B D ⊥平面1ACD ，得到两平面平行；对于②，在①基础上证明出线线垂直；对于③，表达出异面直线1A P 与1AD 所成角的余弦值为cos θ=，当12m =和110,,122m ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦两种情况，求出异面直线1A P 与1AD 所成角范围；D 选项，由线面平行结合等体积法得到三棱锥体积为定值.【详解】对于①，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则()()()()()()()()11111,1,1,1,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1B A C A C D B D ，故()11,1,1B D =-- ，()()1110,1,1,1,1,0A B A C ==-，()()()()111111,1,10,1,10,1,1,11,1,00B D A B B D A C ⋅=--⋅=⋅=--⋅-=，故1B D ⊥1A B ，1B D ⊥11A C ，又1111A B A C A = ，111,A B AC ⊂平面11C BA ，故1B D ⊥平面11C BA ，又P 在线段1BC 上运动，故1B D ⊥平面1PBA ，又()()11,1,0,1,0,1AC AD =-=--，()()()()1111,1,11,1,00,1,1,11,0,10B D AC B D AD ⋅=--⋅-=⋅=--⋅--=，故1B D ⊥AC ，1B D ⊥1AD ，又1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面1ACD ，故1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1//PBA 平面1ACD，①正确；对于②，由①可得1B D ⊥平面1PBA ，又1A P ⊂平面1PBA ，所以11A P B D ⊥，②正确；对于③，设(),1,,01P m m m ≤≤，则()()111,1,,1,0,1A P m m AD =-=--，设异面直线1A P 与1AD 所成角大小为θ，则111111cos cos ,A P AD A P AD A P AD θ⋅===⋅=当12m =时，cos 0θ=，故π2θ=，当110,,122m ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，1cos 0,2θ⎛⎤=⎥⎝⎦，又cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，综上，异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③错误；对于④，因为()()111,0,1,1,0,1BC AD =--=--，所以11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，故又P 在线段1BC 上运动，故1P ACD V -为定值，故11D APC P ACD V V --=，体积不变.，④正确.故答案为：①②④三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*226n n S a n n =+-∈N．（1）求证数列{}2n a -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ．（2）若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值，【答案】（1）证明见解析，22nn a =+（2）7【解析】【分析】（1）利用数列中n S 与n a 的关系，得1222n n a a --=-，可证明数列{}2n a -为等比数列，可求数列{}n a 的通项公式n a ．（2）利用裂项相消求数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和m T ，由127258m T =求m 的值.【小问1详解】因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，故1222n n a a --=-，122a -=，所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n nn a --=⨯=．所以22n n a =+【小问2详解】()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和111111111111112224661010142222422222m m m m m T +++⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭L ，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则12256m +=，解得7m =，故m 的值为7．18.某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了100名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间（单位：h ）整理后得到如下表格：课余学习时间[)1,3[)3,5[)5,7[)7,9[]9,11人数510254020（1）估计这100名大学生每天课余学习时间的中位数；（2）根据分层抽样的方法从课余学习时间在[)7,9和[]9,11，这两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽到的2人的课余学习时间都在[)7,9的概率．【答案】（1）7.5（2）25【解析】【分析】（1）根据频数分布表估计中位数的方法直接求解即可；（2）根据分层抽样原则可确定从[)7,9和[]9,11两组中抽取的人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【小问1详解】5102540++= ，510254080+++=，∴这100名大学生每天课余学习时间的中位数位于[)7,9之间，则中位数为10727.540+⨯=.【小问2详解】由题意知：从课余学习时间在[)7,9这一组抽取406460⨯=人，分别记为1234,,,a a a a ，从课余学习时间在[]9,11这一组抽取206260⨯=人，分别记为12,b b ；从这6人中随机抽取2人，所有的基本事件为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12131411122324212234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a {}{}{}{}{}3132414122,,,,,,,,,a b a b a b a b b b ，共15个基本事件；其中“抽到的2人的课余学习时间都在[)7,9”包含的基本事件为：{}{}{}{}{}{}121314234432,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a ，共6个基本事件；∴抽到的2人的课余学习时间都在[)7,9的概率62155p ==.19.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离.【答案】(1)见解析(2)155【解析】【详解】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OMCD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF ,所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离.取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠==== ,所以,EH AD BH AD ⊥⊥,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为EH BH ==,所以BE =所以11522BDES == ,设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为113342242BDM BCD S S ==⨯⨯=,所以由E BDM M BDE V V --=,得113232h =⨯⨯,解得5h =.即F 到平面BDE 的距离为5．20.如图所示，已知椭圆22:12x G y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D两点．（1）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．（2）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12-（2）2222y x =+或2222y x =--【解析】【分析】（1）由题意，求出直线l 的方程，设出点A ，B 的坐标，联立方程组可得A ，B 的坐标及其中点M 的坐标，即可得直线OM 的斜率；（2）假设存在直线l 使得2AM CM DM =⋅成立，讨论直线斜率的情况，联立方程组分析可得是否满足题意，即可得答案.【小问1详解】解：由已知可得()11,0F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1101x y =⎧⎨=⎩，224313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以AB 的中点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是直线OM 的斜率为113223=--；【小问2详解】解：假设存在直线l ，使得2AMCM DM =⋅成立，当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点()1,0M -，所以22AM =,)111CM DM ⋅=-=，矛盾；故直线斜率存在，可设直线l 的方程为()1y k x =+（0k ≠），联立直线与椭圆方程得()()2222214210k x k x k +++-=，则2122421k x x k +=-+，()21222121k x x k -=+，于是2121222211222121y y x x k k k k k k ⎛⎫++⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，点M 的坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，)22121k AB k +==+，直线CD 的方程为12y x k=-⋅，联立椭圆于直线CD ，得222421k x k =+，设()00,C x y ，则222220221411421k OC x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪+⎝⎭，由题意()()()222444AB CM DM CO OMCO OM CO OM=⋅=+-=-，即()()()()22222222228141414212121k k k k k k k ⎛⎫+++ ⎪=- ⎪+++⎝⎭，化简得212k =，故22k =±，所以直线l 的方程为2222y x =+或22y x =--.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21.已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞ e e .【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x a x a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===',令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x ¢>,当2ln 2x >时，()0f x '<,∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =,则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =,在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<,所以a 的取值范围是()()1,,+∞ e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=．当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a g x g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意；当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．由于1110e1,e 1e ln 0ln aaaag a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln a a >，即eln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e ()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞．[方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1a xxa=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x a x a =，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a=有且仅有两个交点．①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意．②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x gx g x g x x x ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+．当0011ln y x x x =-+与ln ()x a p x a =为同一直线时有0ln 1,ln 10,a a x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<．综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞．[方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x x x x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==．因为0x >，由()0f x '=得ln ax a=．当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln a a >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a <<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递减．因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa a a a aa a a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a aaaaa aa -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->．令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠．故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．]【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为5πcos()06m ρθ--=．（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）262y x =-，其中0y ≥；2y m=+（2）33[,612-【解析】【分析】（1）根据题意，消去参数t ，得到曲线C 的普通方程，结合极坐标与直角的互化公式，即可求得直线l 的直角坐标方程；（2）根据题意，联立方程组，方程有两个非负实根，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由曲线C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），消去参数t ，可得262y x =-，其中0y ≥，又由直线l 的极坐标方程为5πcos()06m ρθ--=，即1cos sin 022m ρθρθ-+-=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得1022x y m -+-=，即2y m =+，所以曲线C 的普通方程为262y x =-，其中0y ≥，直线l的直角坐标方程为2y m =+.【小问2详解】解：若直线l 与曲线C有两个不同的交点，则2262y my x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩有两组不同的解，26120y m -++=，则方程有两个非负实根，即1212Δ36000m y y y y ⎧⎪=-+>⎪⎪⎪+=>⎨⎪⎪⎪=≥⎪⎩，解得33612m -≤<，所以实数m 的取值范围是33[,612-.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()()220f x x x m m =+->的图象关于直线1x =对称．（1）求()f x 的最小值；（2）设a ，b 均为正数，且a b m +=，求14a b+的最小值．【答案】（1）4；（2）94【解析】【分析】（1）先整理()f x ，再利用题意中的对称求出4m =，然后用三角不等式求出最小值即可；（2）由（1）可得4a b +=，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解【小问1详解】()2222f x x x m x x m =+-=+-，令20x =，解得0x =；令20x m -=，解得2mx =，因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以0212m+=⨯，解得4m =，所以()()2242244f x x x x x =+-≥--=，当且仅当()2240x x ⋅-≤时，取等号，故()f x 的最小值为4；【小问2详解】由（1）可得4a b +=，即()114a b +=，所以()411414451144549a b b a a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫+=≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎭⎝，当且仅当4b a a b =即48,33a b ==时，取等号，故14a b+的最小值为94。

陕西省西安市西安中学2024届高三上学期期中数学（理）试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
．．
．．
．已知(πcos 2cos 2α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭=（
）
四、应用题
20．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，
五、解答题。

陕西省西安中学2020届高三数学上学期期中试题 理第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，{}1,0,1,2B =-，则A B =( )A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是( ) A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <3．在等差数列中，a 2＝4，a 3＝6，则a 10＝( ) A ．20B ．22C ．18D ．164．下列函数中，既是偶函数又有零点的是( ) A ．12y x =B ．tan y x =C ．x xy e e -=+ D ．ln y x =5．若2tan 3α=，则2sin 3sin cos sin2αααα+=( )A ．116B ．23C ．43D ．26．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．()2,1-- B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,27．已知函数211()ln(1)1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，则2(())f f e -＝( )A ．2-B ．2C ．4-D ．48．若实数,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．59．已知()()0.8 1.41.40.8aa<，则实数a 的取值范围是( )A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．[1+)∞，10．在直角ABC ∆中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是ABC ∆外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为( ) A ．6B ．8C ．10D ． 1211．已知定义在R 上的函数()f x 在[]0,7上有1和6两个零点，且函数()2f x +与函数()7f x + 都是偶函数，则()f x 在[]0,2019上的零点至少有( ) 个 A ．404B ．406C ．808D ．81212．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，都有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()20190xf x e +<的解集为( ) A ．(),0-∞ B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知(2,)a m =，(5,2)b m =+，若a 与b 平行，则m = ． 14．若不等式22+50x mx m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围为 ． 15．函数()212log 231y x x =-+的递减区间为 ．16．已知a R ∈，函数4()f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值是5，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知向量(sin ,1)m x =，3cos ,cos 2(0)2A n A x x A ⎛⎫=> ⎪⎭，函数()f x m n =⋅的最大值为6． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．18．（本小题满分12分）在ABC ∆角中，角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，若sin cos a B A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长． 19．（本小题满分12分）设函数()()xe x ax xf ⋅-=22，其中0≥a ．（Ⅰ）当34=a 时，求()x f 的极值点； （Ⅱ）若()x f 在[]1,1-上为单调函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的中心O 为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”． 已知椭圆的离心率为23，且过点1(2．（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随”的方程;（Ⅱ）过点()0,P m 作“伴随”的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，记(AOB O ∆为坐标原点)的面积为AOB S ∆，求AOB S ∆的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数c o s()a x f x b x =+，曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为620x y ππ+-=．（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）判断方程3()12f x π=-在(]0,2π内的解的个数，并加以证明． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩，t (为参数，)0≠t ，其中0α≤π<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：θρsin 2=，曲线3C ：ρ=θ． （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲] 已知0a >，0b >，1a b +=．求证： （Ⅰ）3311()1a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭； （Ⅱ）229(1)(1)2a b +++≥．西安中学高2020届高三期中考试数 学（理科）参考答案一、选择题:二、填空题：13．4314．[210]-， 15．()1+∞，16．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三、解答题:17．解：（Ⅰ）()f x m n =⋅＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6．··········································（4分）因为A >0，由题意知A ＝6．················································（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6． 将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；··········································································（7分）再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图像．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3．······························································（9分）因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6] ．·········································（12分）18．解：（Ⅰ）由正弦定理得：sin sin cos A B B A =，························（2分）sin 0B ≠，∴tan A =···········································（4分）A 是ABC ∆的内角，∴60A ︒= ．··············································································（6分）（Ⅱ）ABC ∆的面积为∴1sin 2bc A = 由（Ⅰ）知°60A =，∴8bc =，··············································································（8分）由余弦定理得：()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，·····（10分）∴()22425b c +-=，得：7b c +=，∴ABC ∆的周长为12．·······························································（12分）19．解：对)(x f 求导得()2()212xf x ax a x e '⎡⎤=+--⋅⎣⎦ ·····························（1分）（Ⅰ）若34=a ，由()2242'()212233xx f x ax a x e x x e ⎛⎫⎡⎤=+--⋅=+-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭令0)('=x f ，因为0x e >，则2422033x x +-=，123,12x x =-=解得 ·······（2分）所以()()x f x f ',随x 变化而变化的情况为：所以，21-=x 是极大值点，12=x 是极小值点．····························（5分） （注：未注明极大、极小值扣1分）（Ⅱ）若)(x f 为[]1,1-上的单调函数，又02)0('<-=f ，所以当[]1,1-∈x 时0)('≤x f ，即()0212)(2≤--+=x a ax x g 在[]1,1-上恒成立． ···················（6分）（1）当0=a 时，()22(1)0g x x g =--≤-=，符合题意；···················（8分）（2）当0>a 时，抛物线()212)(2--+=x a ax x g 开口向上，则()0g x ≤的充要条件是()()⎩⎨⎧≤≤-0101g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-0430a a ，所以340≤<a ．综合（1）（2）知a 的取值范围是340≤≤a ．···································（12分）20．解：（Ⅰ）椭圆C则2a b =， 设椭圆C 的方程为222214y x b b+=∵椭圆C过点1(2，∴1414322=+bb ， ∴1=b ，2=a∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=，················································（ 3分） 椭圆C 的“伴随”方程为221x y +=．···············································（4分）（Ⅱ）由题意知，1||≥m ． ······················································（5分） 易知切线l 的斜率存在，设切线l 的方程为,y kx m =+由22,14y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(4)240k x k mx m +++-= 设A ， B 两点的坐标分别为11(,)x y ， 22(,)x y ， 则12224kmx x k +=-+， 212244m x x k -=+．··················································（7分）又由l 与圆221x y +=相切，1=，221k m -=-．·············（8分）所以||AB ==24k =+24k =+······························································（10分）2124AOBS AB k ∆==+．令[)1,t =∈+∞，则221k t =-，代入上式得：1AOB S t t∆==≤=+（当且仅当t =，即k = 所以AOB S ∆的最大值为1．···············································（12分）21．解：（Ⅰ）直线6π2π0x y +-=的斜率为π6-，过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()2sin cos 'a x x x f x x -+=，则26ππ2πaf -⎛⎫'==- ⎪⎝⎭，即3a =，1π2f b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()3cos 1xf x x=-．··············································（4分） （Ⅱ）方程()312πf x =-在(]0,2π上有3个解．证明：令()()33cos 312π2πx g x f x x =-+=-，则()()23sin cos 'x x x g x x-+=，又3062ππg ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，ππ3022g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以()g x 在0,π2⎛⎤⎥⎝⎦上至少有一个零点，又()g x 在0,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故在0,π2⎛⎤⎥⎝⎦上只有一个零点．····················（6分）当3π,22πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，故()0g x <，所以函数()g x 在π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点．················································（8分） 当3π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令()sin cos h x x x x =+，()'cos 0h x x x =>，所以()h x 在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()2π0h >，3π02h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以03π,2π2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()g x 在03π,2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0π,2x 上单调递减．又()2π0g =，3π02g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点．综上，方程()312πf x =-在(]0,2π上有3个解．··································（12分） 22．解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，························（1分）曲线3C的直角坐标方程为22x y +-0=．·································（2分）联立2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为(0,0)和3)22．···························（4分） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θα=(R,ρ∈0)ρ≠，其中0απ≤<．····（5分） 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα，·············（7分）所以||AB=|2sin |αα-=4|sin()|3πα-，·································（9分）当56πα=时，||AB 取得最大值，最大值为4． ·······························（10分）23．证明：（Ⅰ）33332211()a b a b a b a b b a ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭442()2a b a b ab ab+=++-442221a b a b ab +-=+222()1a b ab-=+1≥（当且仅当12a b ==时等号成立）····（5分） 也可以用柯西不等式直接证明．（Ⅱ）2222(1)(1)2()2a b a b a b +++=++++2()24a b ab =+-+52ab =-······················································（7分）1a b +≥=14ab ∴≤···················································································（9分）9522ab ∴-≥（当且仅当12a b ==时等号成立）从而229(1)(1)2a b +++≥．···························································（10分） 也可以用分析法证明．。

图1西安中学2021-2022学年度第一学期期中考试 高三 文科数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.）1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ⋂=（） A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3-2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知2sin 3α=，则()cos 2πα-=（） A. 19-B.19C. 53-D.534. “优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该人再次抽检确认感染者某组人中恰有一人感染鼻咽拭子样本检验将会是阳性，若逐一检测可能需要次才能确认感染者现在先把这人均分为组，选其中一组人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组继续把认定的这组的人均分两组，选其中一组人的样本混合检查以此类推，最终从这人中认定那名感染者需要经过（）次检测． A. 3B. 4C. 5D. 65.已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，则下列为真命题的是（） A. p q ∧B.p q ⌝∨C. p q ⌝∧D.p q ⌝⌝∧6.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是（） A. 3y x = B. 1lny x= C. 2x y =D. cos y x =图 27.如图1，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A. 223π B. 403πC.343πD. 283π8.函数()22ln x xy x -=+的图像大致为（）A B C D9.在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的取值范围是（）A. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []0,110.执行如图2的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于（） A ．4122-B ．5122-C ．6122-D. 7122-11.在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-，记()12...1,2,...n n T a a a n ==，则数列{}n T （ ）A.有最大项，有最小项B.无最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.有最大项，无最小项12.实数,,a b c 分别满足125a -=，ln 1b b =，331c c +=，则,,a b c 的大小关系为（）A. b c a >>B. c b a >>C. b a c >>D. a b c >>二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|−1≤x <3}，N ={x|x <0}，则集合M ∩(∁R N)=( )A. {x|0≤x <3}B. {x|−1≤x <0}C. {x|x <−1}D. {x|x <−1或x ≥0}2. 若复数z =12+i ，则z 的共轭复数z −在复平面上对应的点为( )A. (12,1)B. (12,i)C. (12,−i)D. (12,−1)3. 已知命题p ：∃x 0∈R ，sinx 0≥12，则￢p 是( )A. ∃x 0∈R ，sinx 0≤12 B. ∃x 0∈R ，sinx 0<12 C. ∀x ∈R ，sinx ≤12D. ∀x ∈R ，sinx <124. 若正数m ，n 满足m +n +3=mn ，不等式(m +n)x 2+2x +mn −13≥0恒成立，则实数x 的取值范围是 ( )A. (−∞,−1]⋃[23,+∞) B. (−∞,−1]⋃[12,+∞) C. (−∞,−12]⋃[13,+∞) D. (−∞,−12]⋃[16,+∞) 5. 已知{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 4=b 5，则( )A. a 2+a 6≥b 3+b 7B. a 2+a 6≤b 3+b 7C. a 2+a 6≠b 3+b 7D. a 2+a 6=b 3+b 76. 已知函数f(x)={x 2+4x +m,x ⩽−1log 2(x +1),x >−1，若函数g(x)=f(x)+1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. (2,3]C. [2,3)D. (1,3)7. 已知函数f(x)=sin 2x +sinxcosx −12，则下列说法错误的是( )A. f(x)的最小正周期是πB. y =f(x)关于x =π4对称C. f(x)在[3π8,7π8]上单调递减D. f(x)的最小值为−√228. 已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy 的取值范围是( )A. [19,49]B. [19,14] C. [29,12] D. [29,14]9. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1底面是等腰直角三角形，AB ⊥AC ，BC =BB 1，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A. √36B. 23C. √32D. 1210.函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,6]上递减，则a的取值范围是()A. [−5,+∞)B. (−∞,−5]C. (−∞,7]D. [5,+∞)11.函数f(x)=xx2+a的图象不可能是()A. B.C. D.12.已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)=2.对任意x∈R，有f′(x)<1，则不等式f(2x)<2x+1的解集为()A. (1,+∞)B. (12,+∞) C. (−∞,2) D. (−∞,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=(x+1)e x在点(0,1)处的切线方程的斜率为________．14.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,a)，n⃗=(4a,3a+1)，若m⃗⃗⃗ //n⃗，则实数a=______．15.将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线x=π对称，则ω的最小值为____．16.三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB+PC=4，则当三棱锥的体积最大时，球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}首项为2，其前n项和为S n，满足2S n−S n−1=4(n∈N ∗，n≥2)．(1)求a2，a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，求证：T n<34．18. 在△ABC 中，AC =BC ，D 为边AC 的中点，AB =BD ．(Ⅰ)求sin C ；(Ⅱ)若△ABD 的外接圆半径为1，求△BDC 的外接圆半径．19. 某化肥厂近几年的化肥产量统计如表：(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，预测该化肥厂2019年的化肥产量．参考资料：y ̂=b ̂x +a ̂，b ∧=6i=1i −x)(y i −y)∑(6x −x)2．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过A(−1,32)、B(√3,−√32)两点，过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点(1)求椭圆E 的标准方程；(2)当CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线l 的方程．21. 设函数f(x)=(x −a)lnx +b ．(1)当a =0时，讨论函数f(x)在[1e ,+∞)上的零点个数；(2)当a >0且函数f(x)在(1,e)上有极小值时，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x +y =4，曲线C 2：{x =1+cosθy =sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)写出直线C 1与曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若射线l ：θ=α(ρ>0)分别交C 1与C 2于A ，B 两点，求|OB||OA|的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−a|．(1)若a=2，解不等式：xf(x)<x；(2)若f(x)+f(x+2a)≥|a|−|a−1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合M={x|−1≤x<3}，N={x|x<0}，∴C R N={x|x≥0}，集合M∩(∁R N)={x|0≤x<3}．故选：A．推导出C R N={x|x≥0}，由此能求出集合M∩(∁R N)．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：解：∵z=12+i，∴z−=12−i，∴z−在复平面上对应的点为(12,−1)．故选：D．由已知求得z−，则答案可求．本题复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：∃x0∈R，sinx0≥12，则￢p是∀x∈R，sinx<12．故选：D．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式，灵活变换主元是解决本题的关键，属中档题．【解答】解：∵正数m，n满足m+n+3=mn，∴m +n =mn −3≥2√mn ，∴mn ≥9，当且仅当“m =n =3”时取等号． 令t =mn ，则t ≥9．(m +n)x 2+2x +mn −13≥0⇔(t −3)x 2+2x +mn −13≥0⇔(x 2+1)t −3x 2+2x −13≥0 令g (t )=(x 2+1)t −3x 2+2x −13(t ≥9)则关于t 的一次函数g (t )=(x 2+1)t −3x 2+2x −13≥0在[9,+∞)上恒成立， 所以(x 2+1)×9−3x 2+2x −13≥0， 即3x 2+x −2≥0， 解得x ≤−1或x ≥23． 故选A ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题目． 【解答】解：因为{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列， 所以a n =a 1·q n−1 ,b n =b 1+(n −1)d ． 又因为a 4=b 5，所以a 1q 4=b 1+4d ．a 2+a 6=a 1q +a 1q 5 ,b 3+b 7=2(b 1+4d )=2b 5=2a 4．a 2+a 6−2a 4=a 1q +a 1q 5−2a 1q 3=(a 1q 5−a 1q 3)−(a 1q 3−a 1q )=a 1q (q 2−1)2≥0． 所以a 2+a 6⩾b 3+b 7． 故选A ．6.答案：C解析： 【分析】本题考查了函数图象的运用，运用图象判断函数零点的问题，难度不大，属于中档题，关键画出图象，确定关键的点．转化为y =f(x)与y =−1图象有3个交点，画出f(x)的图象，y =−1运动观察即可． 【解答】解：∵函数f(x)={x 2+4x +m,x ⩽−1log 2(x +1),x >−1, 若函数g(x)=f(x)+1有三个零点，∴y =f(x)与y =−1图象有3个交点，结合图像即{f(−2)<−1f(−1)≥−1, f(−1)=m −3⩾−1，f(−2)=m −4<−1， 解得2⩽m <3． 故选C ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查正弦型函数的性质，考查二倍角公式和辅助角公式，属于中档题． 利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，根据正弦型函数的性质依次判断即可． 【解答】解：f(x)=sin 2x +sinxcosx −12 =1−cos2x2+12sin2x −12=√22sin (2x −π4)， 最小正周期为2π2=π，故A 正确； 令x =π4，得，所以x =π4不是函数的对称轴，故B 错误； 当x ∈[3π8,7π8]时，2x −π4∈[π2,3π2]，∵y =sinx 在[π2,3π2]上是减函数，所以f(x)在[3π8,7π8]上单调递减，故C 正确；由解析式可得f(x)的最小值为−√22，故D 正确．故选B ．8.答案：D解析：解：D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得x +y =1，x ，y ∈[13,23]， 则xy ≤(x+y 2)2=14，当且仅当x =y =12时取等号， 并且xy =x(1−x)=x −x 2，函数的开口向下，对称轴为：x =12，当x =13或x =23时，取最小值， xy 的最小值为：29． 则xy 的取值范围是：[29,14]. 故选：D ．利用已知条件推出x +y =1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了异面直线所成角，建立空间直角坐标系即可解得答案，属于基础题． 【解答】解：以A 为原点建立空间直角坐标系，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 所以A(0,0，0)，B 1(a,0，√2a)，B(a,0，0)，C 1(0,a ，√2a)， 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，√2a)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，√2a)，所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√36 ，故选A ．10.答案：B解析： 【分析】根据题意求出二次函数的对称轴，即可得到函数的单调减区间，再结合题意进而得到答案． 本题主要考查一元二次函数的单调区间． 【解答】解：由题意可得：函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2， 所以函数的对称轴为x =1−a ，所以二次函数的单调减区间为(−∞,1−a]，又因为函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2在区间(−∞,6]上递减，所以6≤1−a，即a≤−5．故选B．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性的应用，函数的导数的应用，赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力．通过a的取值，判断函数的图象，推出结果即可．【解答】解：当a=0时，函数化为y=1x，函数的图象为：C；当a=1时，x=0时，y=0，x≠0时，函数化为y=1x+1x，函数的图象为：B；当a=−1时，函数化为y=xx2−1=1x−1x，当x∈(0,1)时，y=x−1x为增函数且y<0，则函数y=1x−1x是减函数，f(0)=0，可知函数的图象为：A；故选D.12.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解决本题的关键是构造法的运用，属于中档题．先构造函数F(x)=f(x)−x，根据条件求出函数F(x)的单调性，结合不等式f(2x)−2x<f(1)−1，变形得到F(2x)<F(1)，根据单调性解之即可．【解答】解：令F(x)=f(x)−x，则F′(x)=f′(x)−1<0，∴函数F(x)在R上单调递减函数，∵f(2x)<2x+1，∴f(2x)−2x<f(1)−1即F(2x)<F(1)根据函数F(x)在R上单调递减函数可知2x>1，，解得：x>12故选B．13.答案：2解析：【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导是解题的关键，属于基础题．求出函数的导数，可得切线的斜率．【解答】解：因为函数f(x)=(x+1)e x的导数为：f′(x)=(x+2)e x，可得函数图象在点(0,1)处的切线斜率为：(0+2)×e0=2，故答案为2．14.答案：1解析：【分析】本题主要考查平面向量共线的充要条件，属于基础题，根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得3a+1=4，解得a的值，即可得答案．【解答】,3a+1)，解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(1,a)，n⃗=(4a若m⃗⃗⃗ //n⃗，3a+1=a×4，a解可得a=1．故答案为1．15.答案：12解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得新的解析式，再利用三角函数的图象的对称性求得ω的最小值．【解答】解：将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，可得函数y=sin(ωx+πω3−π6)的图象；再根据所得图象关于直线x=π对称，可得ωπ+πω3−π6=kπ+π2，k∈Z，∴当k=0时，ω取得最小值为12，故答案为12．16.答案：9π解析：【分析】本题考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P−ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，V=13×12×1⋅PB⋅PC≤124(PB+PC)2=23，当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P−ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=32，故球的表面积是：S=4π×94=9π，故答案为：9π．17.答案：解：(1)在2S n−S n−1=4中，a1=2令n=2时，则2(a1+a2)−a1=4,解得，令n=3时，则2(a1+a2+a3)−(a1+a2)=4，解得a3=12；(2)由2S n −S n−1=4，①得2S n−1−S n−2=4(n ∈N ∗,n ≥3)，② ①−②得a n =12a n−1(n ∈N ∗,n ≥3)， 又a 2=12a 1，所以数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列． 故a n =2×(12)n−1=(12)n−2． (3)证明：因为，所以b n b n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)． 故数列{b n b n+2}的前n 项和T n =12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n −1n +2)]=12(1+12−1n +1−1n +2) =12(32−1n +1−1n +2) =34−12(1n+1+1n+2)<34．解析：本题考查数列的运算，数列的递推关系，等比数列的通项公式以及数列求和方法，属于中档题．(1)由2S n −S n−1=4，依次令n =2，3，即可求得a 2，a 3的值；(2)把2S n −S n−1=4中n 换成n −2，得到2S n−1−S n−2=4，两式相减得到a n =12a n−1，利用等比数列的通项公式求得数列{a n }的通项公式；(3)求出{b n }的通项，得到b n b n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，利用裂项相消法求和即可证得不等式．18.答案：解：(1)连接BD ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，且a =b ，c =BD ．在△BCD ，△ABC 中由余弦定理得：{c 2=a 2+b 2−2abcosC c 2=a 2+14b 2−abcosC ⇒cosC =34⇒sinC =√74； (2)令∠ADB =α，在△ABC 中有：c 2=a 2+a 2−2a 2×34=12a 2⇒c =√22a =√22b ， 则有：cosα=b 24+c 2−c 22×b 2×c =√24⇒sinα=√144⇒c =2Rsinα=√142(R 为△ABD 的外接圆半径)，则有：2R′=csinC =2√2⇒R′=√2(R′为△BDC 外接圆半径)．解析：本题考查三角形的解法，余弦定理以及应用，考查三角形的解法，是基本知识的考查． (1)连接BD ，在△BCD ，△ABC 中由余弦定理，转化求解求sin C ；(2)令∠ADB =α，在△ABC 中通过余弦定理，求出c 与a 的关系，求出c ，然后通过正弦定理求解△BDC 的外接圆半径．19.答案：解：(Ⅰ)根据表中数据，计算x =16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，y =16×(12.6+12.7+13+13.1+13.2+13.4)=13，∑(6i=1x i −x)(y i −y)=(−2.5)×(−0.4)+(−1.5)×(−0.3)+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，∑(6i=1x i −x)2=(−2.5)2+(−1.5)2+(−0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5．∴b ∧=6i=1i −x)(y i −y)∑(6x −x)2=2.817.5=0.16，∴a ∧=y −b ∧x =13−0.16×3.5=12.44， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ∧=0.16x +12.44； (Ⅱ)由(Ⅰ)知y ∧=0.16x +12.44，当x =8时，y ∧=0.16×8+12.44=13.72， 即该地区2019年化肥产量估计值为13.72万吨．解析：本题考查了线性回归方程的计算与应用问题，是基础题． (Ⅰ)根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归方程； (Ⅱ)利用回归方程计算x =8时y ∧的值即可．20.答案：解：(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 得{1a 2+94b 2=13a 2+34b 2=1⇒{a 2=4b 2=3 故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1…………………………………………(5分)(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1+2x 2=0…………① 若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1 则由{x 24+y 23=1y =kx +1得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0， ∴{x 1+x 2=−8k4k 2+3x 1x 2=−84k 2+3与①联立解得k =±12若直线l 的斜率不存在，则l ：x =0，∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1,|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3−1，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠2PD ⃗⃗⃗⃗⃗综上可知，直线l 的方程为y =±12x +1，即x −2y +2=0或x +2y −2=0……………………………………………………(12分)解析：(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，列出方程，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，通过CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，推出x 1+2x 2=0，若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．21.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=xlnx +b ，∴ f′(x)=1+lnx ≥0在[1e ,+∞)上恒成立， ∴f(x)在[1e ,+∞)上单调递增， ∴f(x)min =f(1e)=−1e+b ．当−1e +b ≤0，即b ≤1e 时，函数有唯一的零点； 当−1e +b >0，即b >1e 时，函数没有零点． (2)∵f′(x)=lnx +x−a x , x ∈(1,e)，令，∴g′(x)=1x +ax 2>0 恒成立， ∴g(x)在(1,e)上单调递增，∴当1<x <e 时，g(x)>g(1) = 1−a ， g(x)<g(e) =2−ae ， ∵函数f(x)在(1,e)上有极小值，∴{g (1)=1−a <0g (e )=2−a e >0 ， 解得1<a <2e ． 故实数a 的取值范围为(1,2e)．解析：本题主要考查利用导数研究函数极值、最值、零点个数问题，属于中档题． (1)先求导，求出最小值，再根据最小值和0的关系分类讨论可得到函数零点个数； (2)函数在(1,e)上有极小值时，函数不单调，构造函数，得到函数在(1,e)上单调递增，从而得到不等式组，求解即可．22.答案：解：(Ⅰ)由C 1：x +y =4，得直线C 1的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=4，由C 2：{x =1+cosθy =sinθ，得(x −1)2+y 2=1，即x 2+y 2=2x ，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ； (Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，−π4<α<π2， 则ρ1=4cosα+sinα，ρ2=2cosα，|OB||OA|=ρ2ρ1=14⋅2cosα(cosα+sinα)=14(cos2α+sin2α+1)=14[√2cos(2α−π4)+1]， ∵−π4<α<π2，∴−√22<cos(2α−π4)≤1， ∴0<14[√2cos(2α−π4)+1]≤14(√2+1)．∴|OB||OA|的取值范围是(0,14(√2+1)].解析： 【分析】(Ⅰ)直接化C 1的普通方程为极坐标方程，化C 2的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程； (Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，−π4<α<π2，则ρ1=4cosα+sinα，ρ2=2cosα，代入|OB||OA|，整理后利用三角函数的最值得答案．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题．23.答案：解：(1)a =2时，不等式xf(x)<x 可化为{x ≥2(x −2)x <x ①或{x <2−x(x −2)<x ②； 解①得2≤x <3， 解②得x <0或1<x <2；综上，原不等式的解集为{x|x <0或1<x <3}；(2)f(x)+f(x +2a)≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立， 可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立， ∵|x −a|+|x +a|≥|2a|， ∴|2a|≥|a|−|a −1|+3， ∴|a|+|a −1|≥3；a <0时，不等式化为−a −a +1≥3，解得a ≤−1； 0≤a ≤1时，不等式化为a −a +1≥3，不成立； a >1时，a +a −1≥3，解得a ≥2；综上，实数a 的取值范围是a ≤−1或a ≥2．解析：(1)a =2时不等式xf(x)<x 化为{x ≥2(x −2)x <x 或{x <2−x(x −2)<x ；求出不等式组的解集，再求并集；(2)由题意可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立，根据绝对值不等式|x −a|+|x +a|≥|2a|，得出|2a|≥|a|−|a −1|+3，求绝对值不等式的解集即可．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

2025届西安市83中高三数学上学期期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}ln 1A x x =∈<Z ，则下列关系成立的是（）A.0A∈ B.e A∈ C.{}1,2A⊆ D.A ∅∈2.已知复数z 满足i11iz =-++，则复数z 的共轭复数的模z =（）A.102B. C.24D.123.“21133log log x x >”是“01x <<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A=A.34π B.3πC.4π D.6π5.已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A.4(0,]9B.48[,99C.48(,]99D.8(0,]96.已知x 、y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（）A.24B.32C.20D.287.已知20242025m =，20232024m x =+，20252026m y =+，则（）A.0x y<< B.0x y << C.0y x << D.0x y<<8.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.22B.12- C.D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若函数=Lin B +，()0,0,0πA ωϕ>><<的部分图象如图中实线所示，记其与x 轴在原点右侧的第一个交点为C ，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期是πB.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称D.若圆C 的半径为5π12，则()πsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10.已知正实数a 、b 满足ln sin ab a b=-，则下列结论正确的是（）A a b> B.a b< C.ln ln a b> D.1122a b->11.已知函数()()ln ,e x xf xg x x x-==，若存在()120,,x x ∞∈+∈R ，使得()()12f x g x k ==成立，则（）A.当0k >时，121x x +>B.当0k >时，21e 2ex x +<C.当0k <时，121x x +< D.当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量(2,)a m = ，(2,1)b = ，且a b ⊥ ．则||a b +=____________．13.在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”：用圆的外切正n 边形和内接正n 边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.则用函数()e xf x =“近似计算”的值为_______.（结果用分数表示）.14.已知()04,1,2,i i y x i iii x y x y i <<≤== ，则使不等式2112024n n i i i n i x y ==+⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑能成立的正整数n的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量()cos ,sin m x x =-，()cos ,sin n x x x =- ，R x ∈．设()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()2413f x =，且ππ62x ≤≤，求sin 2x 的值．16.已知定义域为R 的函数()22xxa f xb -=+是奇函数.（1）求a 、b 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若存在[]0,4t ∈，使()()22420f k tf k t ++-<成立，求实数k 的取值范围.17.已知在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为π,,,sin cos 34a b c A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若a =，求222b c +的取值范围.18.已知函数()224eln 1x f x a x x a-=-++．（12a <<，求证：()f x 在()1,+∞上单调递增；（2）若10a -<<，判断()f x 极大值点的个数．19.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.西安市第八十三中学2024-2025学年度第一学期期中暨高三年级第三次阶段考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}ln 1A x x =∈<Z ，则下列关系成立的是（）A.0A ∈B.e A∈ C.{}1,2A⊆ D.A∅∈【答案】C 【解析】【分析】先解对数不等式化简集合A ，再利用元素与集合、集合与集合的关系判断各选项即可.【详解】因为{}{}{}ln 10e 1,2A x x x x =∈<=∈<<=Z Z ，0A ∉，e A ∉，排除A 、B ；又空集是任何集合的子集，所以A ∅⊆，排除D ，因为任何集合都是该集合的子集，所以{}1,2A ⊆，C 正确，故选：C.2.已知复数z 满足i11iz =-++，则复数z 的共轭复数的模z =（）A.2B.2C.4D.12【答案】B 【解析】【分析】根据复数四则运算法则和共轭复数的定义求解即可.【详解】i i(1i)1i 111=11i 1i (1i)(1i)222z -+=-+-+=-+=-+++-，所以11i 22z =--，所以2z ==.故选：B.3.“21133log log x x >”是“01x <<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性及定义域求解即可.【详解】因为21133log log x x >等价于20x x <<，即()10x x -<，解得01x <<，所以21133log log x x >是01x <<的充要条件.故选：C.4.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A=A.34π B.3πC.4π D.6π【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=，故选C.【考点】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.5.已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A.4(0,]9B.48[,99C.48(,]99D.8(0,]9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<，若函数()g x 在3(,22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<，综上：函数()g x 在3(,)22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<，所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤.所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.6.已知x 、y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（）A.24 B.32C.20D.28【答案】C 【解析】【分析】转化()()112246()[(2)(2)]422x y x y x y x y +=+++-=++++-++，结合均值不等式，即可得解.【详解】,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(246(242022y x x y ++=++-≥+-=++当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20.故选：C.7.已知20242025m =，20232024m x =+，20252026m y =+，则（）A.0x y <<B.0x y <<C.0y x <<D.0x y<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()1mf x x x =--，通过其单调性可得答案.【详解】因20242025m =，则2024log 20251m =>.构造函数()1mf x x x =--，[]1,2025x ∈，则()11m f x mx-'=-.令()()11m g x f x mx-'==-，[]1,2025x ∈，则()()210m g x m m x -'=->.则()()g x f x '=在[]1,2025x ∈上单调递增，得()()110f x f m ''≥=->，则()f x 在[]1,2025x ∈上单调递增.又注意到()()()2024020232025f f x f y ===，，，则0x y <<.故选：D8.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.222B.312-C.D.2【答案】B 【解析】【分析】由题意首先得3π,02T ϕωω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进一步得由TA AB = 得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.【详解】由题意3π2x ωϕ+=，则3π2x ϕωω=-，所以3π,02T ϕωω⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1,1,2,2，因为TA AB =，所以21213π222x x y y ϕωω⎧+-⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，所以()122113π3π22sin 2222y y f x f x x ϕωϕωω⎛⎫⎛⎫===-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111cos 2212sin 12x x y ωϕωϕ=+=-+=-，所以2112210y y +-=，又由图可知10y >，所以112y -=.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若函数=Lin B +，()0,0,0πA ωϕ>><<的部分图象如图中实线所示，记其与x 轴在原点右侧的第一个交点为C ，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期是πB.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称D.若圆C 的半径为5π12，则()πsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，由图象得到π3C x =，进而得到()f x 的最小正周期；B 选项，求出2π2πω==，π3ϕ=，从而得到π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，判断出函数不单调；C 选项，求出平移后的解析式，得到当π4x =时，0cosπ2y A ==，故不关于π4x =对称；D 选项，由圆的半径求出π0,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，进而代入解析式，求出A ，得到答案.【详解】A 选项，由图象可知，,M N 关于点C 中心对称，故2π0π323C x +==，设()f x 的最小正周期为T ，则1πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，A 正确；B 选项，因为0ω>，所以2π2πω==，故()()sin 2f x A x ϕ=+，将π,03C ⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得，sin 02π3ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，所以2π2π5π333ϕ<+<，故2ππ3ϕ+=，解得π3ϕ=，故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，因为sin y z =在5ππ,36z ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，B 错误；C 选项，函数()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位后，得到s πππ63sin 22in 2cos 2y A x A x A x ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π4x =时，0cos π2y A ==，故不关于π4x =对称，C 错误；D 选项，圆C 的半径为5π12，由勾股定理得4πOM =，故π0,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得4sin 0ππ3A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得A ()πsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：AD10.已知正实数a 、b 满足ln sin ab a b=-，则下列结论正确的是（）A.a b >B.a b< C.ln ln a b> D.1122a b->【答案】ACD 【解析】【分析】构造函数()sin x x x f -=、()ln g x x x =+，利用导数分析这两个函数在()0,∞+上的单调性，可得出ln sin ln ln b b a a a a +=+<+，结合函数()g x 的单调性可得出a 、b 的大小，逐项判断即可.【详解】由lnsin ln ln ab a a b b=-=-，可得ln sin ln b b a a +=+，构造函数()sin x x x f -=，其中0x >，则()1cos 0f x x '=-≥，当且仅当()2πx k k *=∈N时，等号成立，故函数()sin x x x f -=在()0,∞+上为增函数，当0x >时，()()sin 00f x x x f =->=，即sin x x <，因为a 、b 为正实数，所以，ln sin ln ln b b a a a a +=+<+，构造函数()ln g x x x =+，其中0x >，则()110g x x'=+>，故函数()g x 在()0,∞+上为增函数，由ln ln b b a a +<+可得()()g b g a <，所以，0a b >>，A 对B 错，因为对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，则ln ln a b >，C 对；因为0a b >>>，即1122a b ->，D 对.故选：ACD.11.已知函数()()ln ,e x xf xg x x x-==，若存在()120,,x x ∞∈+∈R ，使得()()12f x g x k ==成立，则（）A.当0k >时，121x x +>B.当0k >时，21e2ex x +<C.当0k <时，121x x +< D.当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-【答案】ACD【分析】求出()f x ¢，则可得op 在()0,e 上单调递增在()e,+∞上单调递减，则可画出op 的图像，利用同构可知()()12f x g x k ==等价于2211ln lne ex x x k x ==，结合图像则可判断AB 选项，当0k <时，则可得21e xx =，()10,1x ∈，构造函数即可判断CD 选项.【详解】()ln xf x x =，()ex x g x =，()21ln xf x x-∴='，∴当0e x <<时，()0f x ¢>，op 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x ¢<，op 在()e,+∞上单调递减，所以()ln xf x x=的图像如图所示：又()()12f x g x k ==，即2211ln lne ex x x k x ==，∴当0k >时，要使12x x +越小，则取21e 1x x =→，故有121x x +>，故A 正确；又1x 与2e x 均可趋向于+∞，故B 错误；当2210,0e <1,e x xk x <<=，且()112110,1,ln x x x x x ∈∴+=+，记l (n )h x x x =+，(0,1)x ∈，1()10h x x'=+>恒成立，即()h x 在(0,1)上单调递增，所以()(1)1h x h <=，即当()112110,1,ln 1x x x x x ∈+=<+成立，故C 正确；21e e kk x k x ⋅=，令()()()e ,0,1e k k g k k k g k k =+'=<，()g k ∴在(),1-∞-单调递减，在()1,0-单调递增，()()11eg k g ∴≥-=-，故D 正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与交点，属于难题；画出op 的图像，利用同构可知()()12f x g x k ==等价于2211ln lne e x x x k x ==，则可求出判断出AB 选项，构造函数l (n )h x x x =+，(0,1)x ∈则可判断C 选项，构造函数()e ,0,k g k k k =<则可判断D 选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量(2,)a m = ，(2,1)b = ，且a b ⊥．则||a b += ____________．【答案】5【分析】根据a b ⊥得到220m ⨯+=，解得4m =-，然后利用坐标求模长即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以220m ⨯+=，解得4m =-，所以()4,3a b +=- ，5a b +== .故答案为：5.13.在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”：用圆的外切正n 边形和内接正n 边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.则用函数()e xf x =“近似计算”的值为_______.（结果用分数表示）.【答案】20262025【分析】根据题意发现12025非常接近0，从而求得()f x 在0x =处的切线方程，从而在0x =附近用1x +代替e x 计算即可得解.【详解】函数()x f x e =的导数为()e x f x '=，所以(0)1f '=，又(0)1f =，则函数()x f x e =在点()0,1处的切线1y x =+，所以()x f x e =在0x =附近可以用1y x =+代替，即()e 1x f x x =≈+，因为12025非常接近0，故12025e 5112026 120252025202f⎛⎫==≈ ⎪⎭+=⎝.故答案为：20262025.14.已知()04,1,2,i i y x i iii x y x y i <<≤== ，则使不等式2112024n n i i i n i x y ==+⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑能成立的正整数n的最大值为__________．【答案】13【分析】先研究()ln ,0xf x x x =>的单调性，故可得1e 4i i x y <<<≤，从而可求正整数n 的最大值.【详解】设()ln ,0x f x x x =>，故()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，′>0；当e x >时，′<0；故()f x 在()0,e 上为增函数，在()e,∞+上为减函数，因为ii y x iix y =，故ln ln i i y i x ix y =即ln ln i ii ix y x y =，故2e 4i i x y ≤<<≤，故211e 4n n i i i i n x y n n ==+⎛⎫⎛⎫<⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，所以24e 2024n ≤即2e 506n ≤，而213e 169 2.8473.2506<⨯=<，214e 196 2.7529.2506>⨯=>，故正整数n 的最大值为13，故答案为：13.【点睛】关键点点睛：导数背景下多变量的不等式问题，可根据题设中的不等式的形式构建新函数，从而得到各参数的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量()cos ,sin m x x =-，()cos ,sin n x x x =- ，R x ∈．设()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()2413f x =，且ππ62x ≤≤，求sin 2x 的值．【答案】（1）π（2）512326+【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出()f x m n =⋅，然后利用三角公式整理为()sin y A ωx φ=+的形式，就可以求出周期了；（2）先通过πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 求出πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再通过ππsin 2sin 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开计算即可.【小问1详解】()()2cos sin sin f x x x x x=--22cos sin cos x x x x =-+2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由（1）得π12sin 2613x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由ππ62x ≤≤得ππ72π266x ≤+≤，所以π5cos 2613x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππππππsin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12511321351262+=⨯+⨯=．16.已知定义域为R 的函数()22x xa f xb -=+是奇函数.（1）求a 、b 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若存在[]0,4t ∈，使()()22420f k t f k t ++-<成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1a b ==（2）减函数，证明见解析（3）()0,∞+【分析】（1）由()00f =，()()11f f -=-可求出实数a 、b 的值，然后验证函数()f x 为奇函数即可；（2）判断出函数()f x 为上的减函数，然后任取1x 、2x ∈R ，且12x x >，作差()()12f x f x -，变形后判断()()12f x f x -的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；（3）由奇函数的性质以及函数()f x 的单调性可得出25t k >，求出25t y =在0,4上的最小值，即可得出实数k 的取值范围.【小问1详解】因为函数()22xxa f xb -=+是定义域为的奇函数，则()1001a f b -==+，解得1a =，所以，()122xxf x b -=+，因为()111211212f b b --==++，()121122f b b -==-++，由奇函数的定义可得()()11f f -=-，可得11212b b =++，解得1b =，故1a b ==，则()1212x x f x -=+，下面验证函数()1212xxf x -=+为奇函数，因为函数()1212xxf x -=+的定义域为，则()()()()21212211221212x xx x x x x x f x f x --------====-+++，即函数()1212xxf x -=+为奇函数，因此，1a b ==满足题意.【小问2详解】函数()()2121221121212x x x x xf x -+-===-+++为上的减函数，理由如下：任取1x 、2x ∈R ，且12x x >，则12220x x >>，所以，()()12121222221112121212x x x xf x f x ⎛⎫⎛⎫-=---=-⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()211222201212x x x x -=<++，即()()12f x f x <，故函数()f x 在上为减函数.【小问3详解】存在[]0,4t ∈，使()()22420f k t f k t ++-<，则()()()2224224f k tf k t f t k +<--=-，所以，2224k t t k +>-，则25t k >，由题意可得>=0，因此，实数k 的取值范围是0,+∞.17.已知在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为π3,,,sin cos 34a b c A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若a =，求222b c +的取值范围.【答案】（1）π3A =（2）(24,24+【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式可得πsin 203A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再结合ABC V 为锐角三角形，可得角A .（2）根据正弦定理，结合三角形内角和定理，把表示成角B 的函数，结合角B 的范围，可得222b c +的范围.【小问1详解】由πsin cos 34A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得21sin cos cos 224A A A +=，得13sin 2(cos 21)44A A ++4=，得sin 220A A +=，得πsin 203A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()π2π3A k k +=∈Z ，即()ππ62k A k =-+∈Z ，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3A =.【小问2详解】在ABC V 中，由正弦定理得234πsin sin sin sin 3b c a B C A ====，所以4sin ,4sin b B c C ==.因为π3A =，所以2π3B C +=⇒2π3C B =-所以()2222216sin 2sin b c B C +=+222π16sin 2sin 3B B ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos 24π161cos 223B B ⎡⎤-⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos 2π161cos 223B B ⎡⎤-⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos 21161cos 2sin 2222B B B ⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭242B =+因为ABC V 为锐角三角形，所以π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ62B <<，所以π2π3B <<，所以0sin 21B <≤，所以2424224B <+≤+，即2224224b c <+≤+故222b c +的取值范围为(24,24+.18.已知函数()224eln 1x f x a x x a-=-++．（12a <<，求证：()f x 在()1,+∞上单调递增；（2）若10a -<<，判断()f x 极大值点的个数．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）求导()2242ex a f x x a--+'=，2a <<、2a -<<两种情况，令()()g x f x '=，分析函数()f x '的单调性，再利用函数单调性与导数的关系可证得结论成立；（2）当10a -<<时，利用导数分析函数()f x 的单调性，利用函数极值点与导数的关系可得出结论.【小问1详解】因为()224eln 1x f x a x x a -=-++，所以()2242e x a f x x a--+'=．2a <<，因为函数2242ex y a -=+、a y x=-在()1,+∞上均为增函数，则()f x '在()1,+∞上单调递增，且20a ->，40a>，故当()1,x ∈+∞时，()()4120f x f a a>=-+'>'，()f x 在()1,+∞上单调递增；若2a -<<()()g x f x '=，则()2224ex a g x x-='+，因为函数224e x y -=、2ay x =在()1,+∞上均为增函数，则()2224ex a g x x-='+在()1,+∞上单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()140g x g a >=+'>'，()f x '在()1,+∞上单调递增，由2a -<<()412220f a a =-+>=>'，所以当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增．2a <<时，()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()2242ex a f x x a--+'=，当10a -<<时，因为函数224e x y -=、2ay x=在()0,∞+上均为增函数，则()2224ex ag x x-='+在()0,∞+上单调递增，又()22224e 4444e 2e e a a a a a a g a a a +--+++⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭'，因为函数()2ea p a a +=+在()1,0-上单调递增，则()()1e 10p a p >-=->，则()224e 02e a a a a g a ++'+⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，()140g a ='+>，所以存在0,12a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，则022202e2x ax -=-，当()00,x x ∈时，()0g x '<，()f x '单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()f x '单调递增．()()0220220002144422e 20222x a a a a a a f x a a x a x x a a a a -+=-+=--+'<--+=+=<-，又22222e 04a a f -⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，所以存在210,4a x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10f x '=，且当()10,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()10,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以1x 是()f x 的极大值点．由当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()f x '单调递增，可知()f x 在()0,x +∞上没有极大值点．所以()f x 有唯一极大值点1x ，故()f x 极大值点的个数为1．【点睛】思路点睛：若函数的零点存在，但无法求出，我们常先设其为0x ，再利用函数的单调性及零点存在定理确定0x 所在的区间，进而解决问题，我们把这类问题称为“隐零点”问题．利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还需要结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．19.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）(]{}1,23,4 ．（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】【详解】试题分析：（1）当5a =时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到11f t f t -+≤（）（），恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由21log 50x ＞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得151x +＞，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）由f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0得log 2（1x +a ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0．即log 2（1x +a ）＝log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]，即1x +a ＝（a ﹣4）x +2a ﹣5＞0，①则（a ﹣4）x 2+（a ﹣5）x ﹣1＝0，即（x +1）[（a ﹣4）x ﹣1]＝0，②，当a ＝4时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立当a ＝3时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝﹣1或x 14a =-，若x ＝﹣1是方程①的解，则1x+a ＝a ﹣1＞0，即a ＞1，若x 14a =-是方程①的解，则1x +a ＝2a ﹣4＞0，即a ＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2．综上，若方程f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a ＝3或a ＝4．（3）函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，由题意得f （t ）﹣f （t +1）≤1，即log 2（1t +a ）﹣log 2（11t ++a ）≤1，即1t +a ≤2（11t ++a ），即a ()12111tt t t t -≥-=++设1﹣t ＝r ，则0≤r 12≤，()()()2111232t r r t t r r r r -==+---+，当r ＝0时，232r r r =-+0，当0＜r 12≤时，212323r r r r r =-++-，∵y ＝r 2r +在（0，2）上递减，∴r 219422r +≥+=，∴211229323332r r r r r =≤=-++--，∴实数a 的取值范围是a 23≥．【一题多解】（3）还可采用：当120x x ＜＜时，1211a a x x ++＞，221211log log a a x x ＞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在0,+∞上单调递减．则函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a ＞，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。