2.3.1离散型随机变量的均值(优秀课件1)

3、离散型随机变量的概率分布
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为
x1，x2，……，xi，…， ξ取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(ξ＝xi) ＝pi，则称下表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
为随机变量ξ的概率分布，
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布 列都具有下述两个性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＝1．
2.3.1 离散型随机变量的均值
一、学习目标
• 1、理解离散型随机变量的均值的概念及意 义。
• 2、能计算离散型随机变量的均值。掌握两 点分布、二项分布的均值。
• 3、能利用随机变量的均值来解决一些实际 问题。
二、复习
1、什么叫n次独立重复试验？
一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完 成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与 ， 每次试验中P(A)＝p＞0。称这样的试验为n次独立重复 试验，也称伯努利试验。
假如从这种混合如糖果果你中买随了机选 1k取g这一种颗混，合记X为这颗 糖果所属种类的单糖价果（，元你k要g）付,多你少能钱写？出X的分布列吗？
解：而随P机(变X 量而1X你8可 )刚买取好的1值,是糖P为2果(3X1元的8，实吗224际？4和)价36值1 , P( X样本平36均)值 1
2
3
6
所以X分布列为
解:ξ的分布列为
ξ
0
1
P
01.-1P5 0.P85
所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)
＝0×01.-1P5＋1×0.P85＝0.P85．
2.、一般地，如果随机 变量X服从两点分布，
那么EX=？
小结： EX 1 p 0 (1 p) p
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数 X的期望 ，若将所得点数的2倍加1作为得分数， 即Y=2X+1，试求Y的均值？ 解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6
其分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
EX=3.5 而随机变量Y的分布列为
Y 3 5 7 9 11 13 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 故随机变量Y的均值为 EY =3× 1/6+5× 1/6
三、讨论及要求（约5分钟）
（一）重点讨论的问题：
1、离散型随机变量的均值是什么? 。 2、变量的均值与样本的平均值有何联系和区别？ 3、两点分布和二项分布的均值如何计算？
(二)讨论要求： （1）小组内先集中讨论，再组内一对一讨论，小 组长注意控制讨论节奏，及时安排展示与点评。 （2）力争全部达成目标，且多拓展,注重方法总结， 力争全部掌握.
例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概 率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
解:ξ的分布列为
ξ
0
1
P
0.15 0.85
所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)
＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概 率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
3、如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则 EX p
四、如果随机变量X服从二项分布，即
X～B（n,p），则 EX np
七、当堂检测
1若E =3，=2 4,
则E =_____1_0_
2某篮球运动员3分球投篮命中的概率 是 2 , 在某次三分远投比赛中,共投篮
3
3次,设 是他投中的次数.
组
其他同学讨论完毕总 结整理完善，不浪费 一分钟，力争全部过
课本64页5 前黑板 1组 4组 学案36页例 前黑板 2组 5组
关。 2、点评人员：点评 人要声音洪亮，语言
2
清晰，先点评书写、
学案36页例 前黑板 7组 8组 1
对错，再点评思路， 最后总结规律方法； 其它同学：认真倾听、
积极思考，重点内容
1).每次试验是在同样的条件下进行的; 2).各次试验中的事件是相互独立的 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生 4).每次试验,某事件发生的概率是相同的.
2、什么叫二项分布？
P(X＝k)＝ Cnk pk (1 p)nk 其中0＜p＜1,p+q=1,k=0,1,2,...,n
则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n，p)
元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的 比例混合销
售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如
何对混合糖果定价才合理？
定价为
18×1/2+24×1/3+36×1/6 =23元/kg
18+24+36 26 3
可以吗？
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗 糖果所属种类的单价（元 kg）,你能写出X的分布列吗？
1) 求E ;
2)若投中1次得3分 ,求他得分的均值;
则 EX 1 p 0(1 p) p
例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概 率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
若ξ～B(1，0.85), 则Eξ=0.85 你能猜想出
变式：若姚明在某次比赛中罚球10次， 结果吗? 求他罚球的得分ξ的均值？
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是 随机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
X x1
Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aEX b
数学期望的性质：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
量P中所140具有13的0 重1要20 性不110 同，分
权 平
别给予4 不同3的权数2 。 1
均
X 1 2 3 4 2
10 10 10 10
18元/kg 24元/kg 36元/kg
按3：2：1的比例混合
混合糖果中每一粒糖果的质量都 相等
定价为混合糖果的平均价格是否合理？
某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ，24
个方面的特征，最常用的有期望与方差.
问题：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，
1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数
是•多权少：？ 称棰，权衡轻重的数值；
X 1111222334 2
10
把• 环加数权看平成随均机：变计量的算概若率分干布数列量：权的数平
均X数时1，考2虑到每3 个数4 量在总 加
x
18
24
p
1/2
1/3
18×1/2+24×1/3+36×1/6
36 1（/6随概率机意变义量下均的值均值）
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
1、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
+7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8 =2EX+1
归纳求离散型随机变量均值的步骤：
①、确定离散型随机变量可能的取值。 ②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③、求出均值。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
E(aX b) aEX b
练习：
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
9
10
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
则称
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
随机变量X的均
值与X可能取值
X 的分布列
的算术平均数相 同吗
X 18 24 36
P
3 6
2 6
1 6
EX 18 3 24 2 36 1 23
6
6
6
X
可能取值的算术平均数为18 24 36
3
26
举例
随机变量x的均值与
随机抛掷一个x骰可子能，取求值所的得算骰术子平的点数X的均值。
均数何时相等
x123456
11 1 1 1 1
P6 6 6 6 6 6
EX 1 1 2 1 ... 6 1 7