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定义1 10 设 [0,1], A F (U ), 定义( A ) F (U )， 它的隶属函数为 ( A )(u )
A(u )
模糊集 A 称为数与模糊集 A的乘积.
特别的:
若A P(U ), 则
( A )(u)
A(u)
, ( A)(u ) A(u ) 0, 这里的 A也是一模糊集.
定义1.2 设U 为给定的论域，称 U 上的模糊集子集的全 体为模糊幂集，记为 F (U )
F (U ) {A | A : U [0,1]}
~
~
显然P(U ) F (U ) 注意F (U )是一个普通集合，它的元素是U的模糊集.
1.1.2 模糊集的表示方法 1.U 为有限集时, 设U = u1,u2, , un A(un ) un
uA uA
1.4分解定理与表现定理
1.4.1分解定理
定理1 1 (分解定理) 设 A F (U )，则有
~
A
~
[0,1]
A
或 A(u ) A (u ) ( A (u )) ~ [0,1] [0,1] 其中A (u )是A的特征函数
若u U , A(u ) 0, 则称A为空集. 若u U , A(u ) 1，则称A为全集U .
例: 设U [0， 200]，年老O，年轻Y 是两个模糊集
0， 2 1 O(u ) u 50 1 5 , 1， 2 1 Y (u ) u 25 ~ , 1 5 0 u 50 50 u 200 0 u 25 25 u 200
~ ~
u对于 A的隶属度,记为 A (u ), 简记 A， A (u )
~ ~ ~
为 A(u ).
~
几点说明:
1).模糊集 A 完全由 A(u ) 确定.不同的隶属函数确定 着不同的模糊集. 2).一般不能说u是否属于 A , 只能说u在多大程度 上属于 A , 这正是模糊集与普通集的区别. 3).当 A(u ) 的值只取0和1时， A 就退化为一个普通 子集. 这表明普通子集是模糊子集的特殊形态. 4).
~
1
(A )( u)
A( u)
A(u )
o
A
U
A(u ) A (u ) ( A )(u) ~ [0,1] [0,1]
分解定理的直观表示如图所示
1
3
2
A( u) 3 A3 ( u)
1
01 A1ຫໍສະໝຸດ ( u)2 A2 ( u)
如上例中，
1, x [- ln4 , ln 4] A0.5 x 0, x [- ln4 , ln 4]
1.3.2
截集的性质
~ ~
性质1 ( A B ) A ( A B ) A
~ ~
B , B
性质2 设、 [0，，且 1] ， 则A A 特别 A0 U
C C C C
性质3 ( A ) ( A1 ) , ( A ) A1
~ ~
性质4 设 A F (u )(t T),则
~
(t )
(
tT ~
A )
(t )
tT
A , (
(t )
tT ~
A )
(t )
tT
A
(t )
证: 仅证第一式 设
u
tT
1.3.1 截集
定义1 8 设A F (U )，对于任意 [0,1]，记 A 称为A的 截集 或水平集 ， 称为阈值或置信水平 A { A u } 称为A 的 - 强截集，相应地A也称为A 的 - 弱截集. (A) A {u | A }
~ ~ ~
Ker A ={u|A(u ) 1}=A1
~ ~
A0称为 A的支集(或支撑集)，记为Supp A ,即
~ ~
Supp A { |A(u ) 0} A0
~ ~
而Supp A A1称为 A的边界.若A1非空， A 称为正规模糊集.
~ ~ ~
关于支集与核有如下性质
1 Supp Ker , SuppU KerU U ) Supp A, Ker ( Ker A) Ker A 2 Supp( Supp A ~ ~ ~ ~ B Supp A Supp B 3 A ~ ~ ~ ~
~ ~
A(u ) B(u ) 成立，则称 A 包含 B ，记作 A B .
~ ~ ~ ~
定义1- 4 设A、B F (U )，若对于u U , 有 A(u ) B(u ) 成立，则称 A与 B相等，记作A B.
模糊集的交、并、余运算
定义1-5 设A、B、C F (U )，若对于u U , 有 C (u ) A(u ) B(u )
（3）向量表示法
A ( A(u1 ), A(u2 ),
~ ~ ~
, A(un ))
~
（4）Zaheh与向量式的结合表示法
A(u1 ) A(u2 ) A(un ) A , ，， u u u 2 n 1
2. U 为无限可列集
设无限可列集U u1 , u2 , un 此时把上述四种表示法 略加修改，都可拿来使用。
(1) Zadeh表示法 A(u1 ) A(u2 ) A u1 u2
A(ui ) 其中 不表示分数，而是U 中的元素ui与其隶属于 ui A 的程度之间的对应关系，+也不表示求和，而是表示 模糊集在论域U 上的整体，且当某元素的隶属度为零时， 可略去不写。
(2) 序偶表示法
A {( A(u1 ), u1 ),( A(u2 ), u2 ), ,( A(un ), un )}
(5) 吸收律(A B) A A，(A B)
A A
(6) 0 1律 A U U，A U A，A A，A
(7) 对偶律 ( A B)C AC (8) 复原律 (AC )C A BC， (A B)C AC BC
1.2.3模糊集的其它定义
两模糊集A、B的并、交运算，实际上是[0， 1]中的二元运算， 即逐点对隶属度A(u )、B(u )进行相应的运算，其定义的一般 形式如下：
例 设U u1 , u2 , u5 ，A、B F (U )，且 0.9 0.8 1 0.1 B u1 u2 u3 u5
1 0.9 0.4 0.2 A , u1 u2 u3 u4 求 A B, A B, AC .
1 0.9 1 0.2 0.1 0.9 0.8 0.4 解: A B , A B u1 u2 u3 u4 u5 u1 u2 u3 0.1 0.6 0.8 1 A u2 u3 u4 u5
证:
A (u ) ( A )(u ) [0,1] [0,1] ( A (u ))
[0,1] [0,1] [0,1]
~
A
~
[0,1]
A
( | A (u ) 1) ( | A(u ) )
~ ~
成立，则C称为A与B的并，记作C A B.
设 A、 B、 C F (U )，若对于u U , 有
~ ~ ~
C (u ) A(u ) B(u )
~ ~ ~
成立，则 C 称为 A 与 B 的交，记作 C A B .
~ ~ ~ ~ ~ ~
余集：定义1- 6 设 A、B F (U )，若对于u U , 有 B(u ) 1 A(u ) 成立，则B称为A的余集，记作B Ac
定义1-7 设A、B F (U )，定义交、并运算的一般形式为 (A B)(u ) A(u ) B(u ) (A B)(u ) A(u ) B(u ) 其中 ， 均为[0， 1]中的二元运算，通常简称为模糊算子.
“”、“”这对算子外，还有一些其它算子. 除了
1.3模糊集的截集
3. U 为无限不可列 集
A
U
A(u ) A(u ) , 其中 ~ 不是积分式，更不是分数，只是 u u
元素与其隶属度之间的对应；符号“ ”既不表示积分， 也不表示求和，而是U 上的元素与其隶属度对应的一个总结.
1.2 模糊集的运算及其性质 1.2.1模糊集的运算
定义1- 3 设 A、 B F (U )，若对于u U , 有
n n 1
另外由A0.5 ，可知
A0.5 ，
n
故
n n A A n 1 0.5 n 1 0.5
1.3.3 核及支集
定义1 9 设 A F (U )，A1成为 A的核，记为Ker A, 即
A ( t ) 存在t0 T使u A (t0 )，于是 A 0 (u ) A (u )
t (t ) tT
即 故有
( (
tT tT
A( t ) )(u ) u ( A (t ) )
tT
tT
A( t ) )
A ( t )
注意:
上式一般不能写成等式.例如
对u U , 设 1 1 A(u) 1 2 n
(
tT
A t0 )
)
tT
A t0
(n 1, 2,
于是
从而
1 n A ( u ) 2 n 1 n A U n 1 0.5
原因是：普通集合描述的概念具有非此即彼性，而模糊概念不具 有非此即彼性. 因此有必要将普通集合进行推广，使之能够表达 模糊概念，以解决具有模糊性现象的实际问题。
