大学物理第三章习题课选讲例题

例 今有倔强系数为k的弹簧（质量忽略不计）竖 直放置，下端悬挂一小球，球的质量为m0，开始时使 弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢 地提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程中外 2 2 力作功为 m g 2 k 。 解：小球刚能脱离地面时，弹簧伸长量为 x
mg
mg k
A弹

R
mg
mg cos N m
v
2
N 0
cos 2 3
R 1 2 0 m v mgR (1 cos ) 2
cos
1
2 3
时，小球脱离大球.
例 一轻弹簧悬挂一金属盘，弹簧长 l1 10 cm 一个质量和盘相同的泥球，从高于盘 h 30 cm 处静止下落盘上，求盘向下运动的最大距离 L . 解：本题分为三个过程 1 . 泥球下落（机械能守恒） 1 2 v 2 gh mgh m v 2 2 .泥球与盘碰撞（动量守恒）
r

0
F dr
r

0kdr r2源自k r0W Ek Ek0
v 2k mr 0
1 2
mv
2
例 静止于光滑水平面上的一质量为 M 的车上悬 挂一长为l ,质量为m的小球, 开始时, 摆线水平, 摆球 静止于A，后突然放手，当摆球运动到摆线呈铅直位 置的瞬间，摆球相对地面的速度为多大？ l 解 设摆球和车相对地面 m 的速度分别为 v m , v M . 以车和摆球为系统，机械能 守恒，水平方向动量守恒.
0
k
( kx )d x
m g 2k
2 2
m g 2k
2
2
A外 A弹
例 甲、乙、丙三物体的质量之比是1：2：3，若它
们的动能相等，并且作用于每一个物体上的制动力都相
同，则它们制动距离之比是：
（C）
（A）1：2：3 （B）1：4：9
（C）1：1：1
（D）3：2：1
分析： 由动能定理可知三个制动力对物体所作的功相等； 在这三个相同的制动力作用下，物体的制动距离是相
L 30 , 10
h
Ep 0
L
y
L 30 cm
B 静止， 例 已知A初始速度 v m k1 , k 2 ， A , m B ， 0 所有摩擦均无，求A，B 碰后，具有相同速度时，二 者的相互作用力. 解： 以A、B 和弹簧为系 v0 mA k k 2 m B 统，在碰撞过程中动量和机械 1 能均守恒. 设 二者速度相同时， A B 两弹簧的压缩分别为 x1 , x 2 .
分析： （1）错.(保守力作正功时,系统相应的势能减少). （3）错.(作用力和反作用力虽然大小相等、方 向相反,但两者所作功的代数和不一定为零；而等于 力与两者相对位移的乘积.如磁铁和铁钉)
例 一个质点在恒力 F 3 i 5 j 9 k ( N ) 作用下 的位移为， r 4 i 5 j 6 k ( m ) 则这个力在该位移过 程中所作的功为： （A）
冲量大小：
3 2
m v0
,方向沿 y 轴负方向.
例 一小球在竖直平面内作匀速圆周运动，则小球 在运动过程中： （A） （A）机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒 （B）机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒 （C）机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒 （D）机械能守恒、动量守恒、角动量守恒
解：小球在竖直平面内作匀速圆周运动，其动能不 变，势能改变，所以机械能不守恒。 小球在运动过程中，速度方向在改变，所以动量不 守恒. 由于小球作匀速圆周运动，它所受的合力指向圆心， 力矩为零，所以角动量守恒.
角为60°的仰角作斜抛运动，不计空气阻力，小球从抛
出点到最高点这一过程中所受合外力的冲量大小
为
3 m v 0 2 ，冲量的方向是 沿 解： I mv mv0
1
y 轴负方向 .
3 2 v0 j )
1 m v0i m ( v 0 i 2 2

3 2
mv0 j
( A) 67 J , (B) (D ) 91 J , 67 J
( C ) 17 J ,
分析： F r W
( 4 i 5 j 6 k ) ( 3i 5 j 9 k )
67 J
例
一质量为 m 的小球,以速率为v0 、与水平面夹
1
m
2 2 2 m A v 0 ( m A m B )V
F k 1 x1
2 Av0

1
k 1 x1
2
1
2 k 2 x2

1
2 k 1 x1 k 2 x 2
k1k 2 k1 k 2 v0
( m A m B )V
2
m1m 2 m1 m 2
例 一质量为 m，长为 l 的链条置于桌边，一端 下垂长度为 a，若链条与桌面摩擦系数为 ，则： （1）链条由开始到完全离开桌面的过程中，摩擦 力做的功多少？ （2）链条开始离开桌面的速度为多大？ 解 选坐标如图 x o x l l- – a - x o a mg (l a x ) 摩擦力 f l a x
l1
m
m v ( m m )V
V v 2 gh / 2
h
m
L
y
V v
2

gh / 2
3 . 泥球与盘一快下落（机械能守恒）
1 2 ( 2 m )V
2
( 2 m ) gL
1 2
2 kl 1

1 2
k ( L l1 )
2
l1
k mg / l1
2
V
2

1 2
gh
m
m
L 20 L 300 0
dW
W f
f
fd x
la
mg l
(l a x )d x
0
o x l–a-x
x
W
a
x
f

mg l
la
(l a x )d x
0

mg ( l a )
2l
2
（2）链条开始离开桌面的 速度为多大？ 以桌面为重力势能零点，根据功能原理 W f E 有 2 mg ( l a ) ( 1 m v 2 1 mgl ) ( 0 a mg a ) 2 2 l 2 2l g 2 2 2 v [( l a ) ( l a ) ] l
m mM
u
o
x
t v 0 sin g
x
x v t
m mM v 0 sin g
x
u
例 在半径为 R 的光滑球面的顶点处， 一质点开始 滑动，取初速度接近于零，试问质点滑到顶点以下何处 时脱离球面？ 解： 脱离时 N = 0 ，在 N 此过程中机械能守恒 .取球顶 位置重力势能为零
(2) 对一系统, 若外力作功为零, 而内力都是保守
力, 则其机械能守恒. (3) 对一系统, 若外力作功为零, 则动量和机械能 必定同时守恒.
3 例 一个质量为m的质点，仅受到力 F k r r 的
作用，式中 k 为正常数,r 为从某一定点到质点的矢径. 该质点在 r = ro处由静止被释放, 则当它到达无穷远时 的速率是多少？ 解：力作功 W 由动能定理 得到：
同的.
例 以下四种说法中，哪一种是正确的？ （1）作用力与反作用力的功一定是等值异号.
（2）内力不能改变系统的总机械能.
（3）摩擦力只能作负功. （4）同一个力作功在不同的参考系中，也不 一定相同.
例 对机械能守恒和动量守恒的条件，正确的是：
(1) 系统不受外力作用，则动量和机械能必定同
时守恒.
y
u v0
抛球前的速度 v 1 v 0 cos 人和球为系统
o
x

Fx 0
P x 守恒
(M m)v 1 M v 2 m ( v 2 u ) m m v 2 v1 u v v 2 v1 u mM mM
y u v0
v v 2 v1
例 对功的概念有以下儿种说法: (1)保守力作正功时,系统内相应的势能增加. (2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零. (3)作用力和反作用力大小相等、方向相反,两者所作 功的代数和必为零. (A)(1)、(2)是正确的 (C)只有(2)是正确的
（C）
(B)(2)、(3)是正确的 (D)只有(3)是正确的
mv
m
MvM 0
1 mvm
2
M
vm 2 2 试说明此过程为什么机械能守恒 ?
mgl
1
MvM
2
2 gl 1 m M
例 一人质量为M，手中拿着质量为m的小球自地 面以倾角 ，初速 v 0 斜向前跳起，跳至最高点时以 相对人的速率 u 将球水平向后抛出，问人前进的距离 增加多少？ 设：人在最高点抛球后的速度为v 2