§2 两角和与差的三角函数 2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数内容要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式，了解它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点)．知识点1 两角和与差的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(3.3) C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(3.4) 【预习评价】1．cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 B2．cos 75°＝________. 答案6－24知识点2 两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(3.5) S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(3.6) 【预习评价】1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )A.12B.33C.22D.32答案 A2．已知sin α＝35，0＜α＜π2，则cos α＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.答案 45 7210题型一 给角求值【例1】 求值：(1)sin 15°＋cos 15°； (2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°. 解 (1)方法一 sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 方法二 sin 15°＋cos 15° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22·sin 15°＋22·cos 15°＝2sin(15°＋45°) ＝2sin 60°＝62.(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29°cos 1°＋cos 29°sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12.规律方法 解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”． 【训练1】 求下列式子的值： (1)cos(－15°)； (2)sin 795°；(3)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°. 解 (1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)sin 795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24.(3)∵cos 167°＝cos(90°＋77°)＝－sin 77° ∴原式＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－12. 题型二 给值求值【例2】 已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解 ∵π4＜α＜3π4，∴－π2＜π4－α＜0. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.又∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213， sin(α＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5665.规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．【训练2】 已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 解 ∵π2＜β＜α＜3π4， ∴0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45.∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.【探究1】 已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值． 解 ∵A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2 A ＝－255， cos B ＝－1－sin 2 B ＝－31010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×(－31010)－55×1010＝22. 又∵π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π， ∴A ＋B ＝7π4.【探究2】 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．解 ∵α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.【探究3】 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513，由α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1.又∵α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.∴2β＝π，则β＝π2.规律方法 1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．2．选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数.课堂达标1．sin 75°等于( )A.6－24B.6＋24C.6－22D.6－22解析 sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 答案 B2．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为( ) A.12 B ．－12 C.32D ．－32解析 原式＝sin(69°－99°)＝sin(－30°)＝－12. 答案 B3．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________.解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 答案 324．已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝________. 解析 ∵α，β为锐角，sin α＝255，cos β＝1010， ∴cos α＝55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π. 答案 3π45．已知锐角α、β满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β. 解 ∵α为锐角，且cos α＝45，∴sin α＝35. 又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴cos(α－β)＝310.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×310＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－110＝91050. 课堂小结1．两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin(π＋α)＝sin πcos α＋cos πsin α＝ －sin α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β) ＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.基础过关1．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A.75 B.15 C ．－75 D ．－15解析2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75. 答案 A2．化简sin(x ＋y )sin(x －y )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A ．sin 2x B ．cos 2x C ．－cos 2xD ．－sin 2x解析 原式＝－cos[(x ＋y )＋(x －y )]＝－cos 2x ，故选C. 答案 C3．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( ) A.1725 B.35 C.725D.15解析 ∵cos α＝45，cos(α＋β)＝35，α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，sin(α＋β)＝45. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝45×45－35×35＝725. 答案 C4．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝83. 答案 835．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析 由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55×22＋255×22＝31010.答案 310106．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β. 解 ∵α为锐角，sin α＝55，∴cos α＝255. ∵－π2<α－β<π2且sin(α－β)＝－1010， ∴cos(α－β)＝31010， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝1010×255＋31010×55＝22， ∵β为锐角，∴β＝π4.7．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)． 解 由cos α－cos β＝12两边平方得(cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得(sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.②①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336.∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972，∴cos(α－β)＝5972.能力提升8．在△ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .答案 C9．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2.答案 B10．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝________.解析 因sin αcos β＝1且－1≤sin α≤1，－1≤cos β≤1，故有⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，cos β＝－1.所以cos α＝sin β＝0，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.答案 011．已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC →＝－1，则sin(α＋π4)＝_____. 解析 ∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α＝1－3(sin α＋cos α)＝1－32(22sin α＋22cos α)＝1－32sin(α＋π4)＝－1，∴sin(α＋π4)＝23.答案 2312．(1)已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值． 解 (1)∵sin α＝13，cos β＝－23，α、β为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223， sin β＝1－cos 2β＝53，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝13×(－23)＋(－223)×53＝－2－2109， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝13×(－23)－(－223)×53＝－2＋2109. (2)∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β ＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. 13．(选做题)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值． 解 (1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1. (2)由f (3α＋π2)＝1013得2sin α＝1013，即sin α＝513，由f (3β＋2π)＝65得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝65，从而cos β＝35. ∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365.。
