2017广东高考文科数学真题

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)解析版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题 (1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）Ið（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N C M N =∴=【答案】D(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由0)y x =≥反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.【答案】B(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A（B（C（D【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+= ,所以2a b +=【答案】B(4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5. 【答案】C(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,只需由P a b ⇒>,且由a b >不能推出P ,可采用逐项验证的方法，对A ，由1a b +＞，且1b b +>，所以a b >，但a b >时，并不能得到1a b +＞，故答案为A 。

2017广东高考文科数学试题一、选择题1. 下列四个解集中，不等式x+2>0的解集是：A. (−∞, −2)B. (−∞, 2)C. (−2, ∞)D. (2, ∞)2. 若集合A = {−2, −1, 0, 1, 2}，则集合A的幂集中元素的个数为：A. 5B. 10C. 16D. 323. 已知函数f(x) = log₃( x - 4 )，则f(4)的值等于：A. 0B. 1C. 2D. 不存在4. 记A = {(x, y) | x² + y² ≤ 1}，则集合A的图像是：A. 一个正方形B. 一个圆C. 一个椭圆D. 一个抛物线5. 婷婷读《红楼梦》用了8个小时，比萧十一郎快了2个小时。

如果婷婷的速度是萧十一郎的1.5倍，则读完《红楼梦》所需的小时数是：A. 10B. 12C. 14D. 16二、填空题1. 某函数f(x)的图像与x轴交于A、B两点，交于y轴的点为C，且C是y轴的正半轴上的整数点，且A、C两点的坐标之积等于2，则函数f(x)的解析式为________。

2. 若a + b + c = 0，且a² + b² + c² = 6，则 a³ + b³ + c³ = ________。

3. 若直线y = kx - 3与曲线y = x² - 2x + 1相切，则不等式k² - 6k +10 < 0的解集是 ________。

4. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于x轴的对称点为B，点C(4, -1)关于直线y = x的对称点为D，则四边形ABCD的面积等于________。

5. 若函数f(x)的定义域为[0, 2]，值域为[1, 5]，则f(2) - f(0)的值等于________。

三、解答题1. 解方程组：{ 4x - 3y = 11{ 2x + y = -22. 已知函数f(x)满足f'(x) = 2x - 3，且f(1) = 4，求f(3)。

2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．（5分）已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（5分）已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C．D．4．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C．D．﹣36．（5分）已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．107．（5分）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B． C．D．9．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC 为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增12．（5分）已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．（5分）已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•=．14．（5分）若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是．15．（5分）满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为．16．（5分）在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．（12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在（195，210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．甲流水线样本的频数分布表（Ⅰ）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E 是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选：A．【点评】本题考查集合的表示与含义的运用，比较基础．3．（5分）已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C．D．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选：B．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次的循环结果找规律．5．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C．D．﹣3【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3））的值．【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选：A．【点评】本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，属于基础题．6．（5分）已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a是解题的关键．7．（5分）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．【点评】本题考查了列举法求事件的概率问题，是一道基础题．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B． C．D．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．【点评】本题考查棱锥体积的计算，考查三视图，考查数形结合的数学思想，比较基础．9．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率，是中档题．10．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC 为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选：C．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．11．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=[sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．【点评】本题考查两角和的正弦函数、诱导公式，三角函数的周期公式，以及正弦函数的单调性的应用，考查化简、计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0【分析】函数f（x）=+cos（x﹣），可得f（x）+f（1﹣x）=0，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos （x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．【点评】本题考查了数列求和、函数性质、三角函数和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．（5分）已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•=．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是x2+（y﹣1）2=2．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．【点评】本题考查了抛物线的性质，圆的标准方程，属于基础题．15．（5分）满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为3．【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a＞1，此时阴影部分的面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：=×2×1=1，不合题意，当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．【点评】本题考查线性规划问题，关键是确定不等式组表示的区域形状，结合三角形面积公式分析．16．（5分）在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是+1．【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案．【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为：+1．【点评】本题考查了余弦定理和均值不等式的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【分析】（I）S n=2a n﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵S n=2a n﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=2n．（II）S n==2n+1﹣2．∴数列{S n}的前n项和T n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在（195，210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．甲流水线样本的频数分布表（Ⅰ）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（Ⅲ）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，…（1分）则（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，…（3分）解得．…（4分）（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，…（5分）乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，…（6分）于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．…（8分）（Ⅲ）2×2列联表：…（10分）则，…（11分）因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，以及独立性检验，属中档题．19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E 是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B 到平面ADE的距离．【分析】（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质可得BD⊥DC，有DC⊥平面ABD，进一步得到DC⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴DC⊥AB，又∵折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，∴AB⊥平面ADC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意，AD=1，∴．设AB=x（x＞0），则，∵△ABD～△BDC，∴，即，解得，故．由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE=，同理DE=，∴．∵DC⊥平面ABD，∴．设点B到平面ADE的距离为d，则，∴，即点B到平面ADE的距离为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值．法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…（2分）因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…（3分）所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…（5分）所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…（6分）所以．…（7分）同理．…（8分）所以．…（9分）又．…（10分）所以直线PQ的斜率为．…（11分）所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即，①…（5分）因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…（6分）同理由③得，⑤…（7分）由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…（8分）由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…（9分）⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…（10分）②﹣③得，得．…（11分）所以直线PQ的斜率为为定值．…（12分）解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．…（5分）因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即=，…（6分）化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）…（7分）由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，…（8分）代入（*）得，…（9分）整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．…（10分）若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．…（11分）若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线与椭圆位置关系的合理运用．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+a＞xe﹣x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…（1分）因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（2分）当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…（3分）当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…（1分）令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…（2分）故时，函数g（x）取得最大值．…（3分）因而函数有零点，则．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，即证明当x＞0，时，，即xlnx+a＞xe﹣x．…（6分）令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…（7分）于是，当时，．①…（8分）令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…（9分）于是，当x＞0时，．②…（10分）显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．…（11分）故当时，f（x）＞e﹣x．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查不等式的证明，是一道综合题．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A iB iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.x x212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(),A .x xxx x xf x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为 2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π= （1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336cos sin 333cos 31cos ,()336f A A A f x x f f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∴-=解由得1sin()3sin()3cos 3 1.6323πππθθθ-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,721484x a x f x f x x a a a a a a ax x a a ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-<若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即0000025711,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。