江苏省淮阴中学高一数学下学期期末考试试题

江苏省淮安市2021-2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1.l ：20x y -=的斜率为 A. ﹣2 B. 2C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率. 【详解】由题得直线的方程为y=2x, 所以直线的斜率为2. 故选：B【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.△ABC 中，若A ＋C ＝3B ，则cosB 的值为B.12C. 12-D.2【答案】D 【解析】 【分析】先求出B ，再求cosB.【详解】由题得3,4B B B ππ-=∴=,所以cos B =. 故选：D【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.l ：2360x y +-=与两坐标轴所围成的三角形的面积为A. 6B. 1C.52D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解. 【详解】当x=0时，y=2, 当y=0时，x=3, 所以三角形的面积为123=32⋅⋅. 故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.区间[0，5]上任意取一个实数x ，则满足x ∈[0，1]的概率为 A.15B.45C.56D.14【答案】A 【解析】 【分析】利用几何概型求解即可.【详解】由几何概型的概率公式得满足x ∈[0，1]的概率为10155-=. 故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.组数据1x ，2x ，…，n x 的平均值为3，则12x ，22x ，…，2n x 的平均值为A. 3B. 6C. 5D. 2【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平均数的公式求解. 【详解】由题得12+++3n x x x n =，所以12x ，22x ，…，2n x 的平均值为12122222()236nn x x x x x x nnnn++++++⋅===. 故选：B 【点睛】本题主要考查平均数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形【答案】C 【解析】 【分析】先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为α， 所以25+366431cos ==02566020α--=-<⋅⋅，所以三角形是钝角三角形. 故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.一个正四棱锥的底面边长为2A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【分析】先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.，所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选：B【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A. 2430x y -+= B. 430x y -+= C. 2430x y ++= D. 2410x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程.【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l 过定点P 112（，）.当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1中点为M ，BC 中点为N ，∠ABC＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为 A. 1 B. 45-C. 34-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】先找到直线异面直线AB 1与MN 所成角为∠1AB C ,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】由题得1||MN B C ,所以∠1AB C 就是异面直线AB 1与MN 所成角或补角.由题得AC ==11AB BC =12AB C π∴∠=，,所以异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为0. 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.直角坐标系xOy 中，已知点P(2﹣t ，2t ﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l ：0ax by +=．若对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值，则点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为 A. (0，2) B. (2，3)C. (25，115) D. (25，3) 【答案】C【分析】先求出点P 的轨迹和直线l 的方程，再求点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标.【详解】设点P(x,y),所以2,22022x tx y y t =-⎧∴+-=⎨=-⎩所以点P 的轨迹方程为2x+y-2=0.对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值， 所以直线l 的方程为2x+y=0.设点点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为00,)x y （， 所以00000012(2)125,112120522y x x x y y -⎧⎧⋅-=-=⎪⎪+⎪⎪∴⎨⎨-+⎪⎪=⋅+=⎪⎪⎩⎩.故选：C【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共计36分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 11.1:0l x y +=， 2:10l ax y ++=，若12l l //，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题得1110a ⨯-⨯=，解方程即得a 的值. 【详解】由题得1110a ⨯-⨯=，解之得a =1. 当a =1时两直线平行. 故答案为：112.高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．【解析】 【分析】由题得高一学生数为600301500⨯，计算即得解. 【详解】由题得高一学生数为60030=121500⨯. 故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++= ．【答案】2 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin sin a b cA B C++++=3260=考点：本题考查了正弦定理的运用点评：熟练运用正弦定理及变形是解决此类问题的关键，属基础题14.236，则这个长方体的体积为______. 6. 【解析】 【分析】利用三个面的面积构造出方程组，三式相乘即可求得三条棱的乘积，从而求得体积. 【详解】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为,,a b c则可设：236ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，三式相乘可知()26abc =∴长方体的体积：6V abc ==本题正确结果：6【点睛】本题考查长方体体积的求解问题，属于基础题.15.圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】【解析】因为圆（x-a ）2+（y-a ）2=8和圆x 2+y 2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，可知结论为16.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=， 所以222,33c c c =∴=. 故答案：3【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共5小题，共计74分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知三点A(5，0)，B(﹣3，﹣2)，C(0，2)．（1）求直线AB的方程；（2）求BC的中点到直线AB的距离．【答案】(1)x-4y-5=0；（2）1317 34.【解析】【分析】(1)利用直线的点斜式方程求直线AB的方程；（2）利用点到直线的距离求BC的中点到直线AB 的距离．【详解】（1）由题得201354ABk--==--,所以直线AB的方程为10(5),4504y x x y-=-∴--=.(2)由题得BC的中点为3,0)2（-，所以BC中点到直线AB223|5|13217341+4--=.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在△ABC中，B＝30°，D是BC边上一点，AD＝42，CD＝7，AC＝5．（1）求∠ADC的大小；（2）求AB的长．【答案】（1）04528；（）【解析】 【分析】(1)利用余弦定理求∠ADC 的大小；（2）利用正弦定理求AB 的长． 【详解】（1）由余弦定理得02cos ,4522427ADC ADC ∠==∴∠=⋅⋅. （2）由题得∠ADB=0135,由正弦定理得0042,8sin 30sin135ABAB =∴=. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.甲乙两名篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示，已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10．（1）求x ，y 的值；（2）求甲乙所得篮板球数的方差2S 甲和2S 乙，并指出哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估．现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估，则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率． 【答案】（1）x=2,y=9;(2)2226==25S S 甲乙，，乙更稳定；（3）15. 【解析】 【分析】(1)利用平均数求出x,y 值；（2）求出甲乙所得篮板球数的方差2S 甲和2S 乙，判断哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）利用古典概型的概率求两名运动员所得篮板球之和小于18的概率． 【详解】（1）由题得8+7+30+3050,2x x ++=∴=，83001250,9y y +++++=∴=.(2)由题得222222126=[(810)(710)(1310)(1210)(1010)]55S -+-+-+-+-=甲， 222222110=[(810)(910)(1110)(1210)(1010)]=255S -+-+-+-+-=乙. 因为2625<，所以乙运动员的水平更稳定. (3)由题得所有的基本事件有（8,8），（8,9），（8,10），（8,11），（8,12），（7,8），（7,9），（7,10），（7,11），（7,12），（10,8），（10,9），（10,10），（10,11），（10,12），（12，8），（12,9），（12,10），（12,11），（12,12），（13,8），（13,9），（13,10），（13,11），（13,12）.共25个.两名运动员所得篮板球之和小于18的基本事件有（8,8），（8,9），（7,8），（7,9），（7,10），共5个,由古典概型的概率公式得两名运动员所得篮板球之和小于18的概率为51=255. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和方差的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在三棱锥P —ABC 中，△PBC 为等边三角形，点O 为BC 的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC ．（1）求直线PB 和平面ABC 所成的角的大小；（2）求证：平面PAC⊥平面PBC ；（3）已知E 为PO 的中点，F 是AB 上的点，AF ＝λAB ．若EF∥平面PAC ，求λ的值．【答案】（1）060；（2）证明见解析；（3）13λ=【解析】【分析】（1）先找到直线PB 与平面ABC 所成的角为PBO ∠,再求其大小；（2）先证明PO AC ⊥, 再证明平面PAC⊥平面PBC ；（3）取CO 的中点G,连接EG,过点G 作FG||AC,再求出λ的值.【详解】（1）因平面PBC⊥平面ABC ，PO⊥BC, 平面PBC∩平面ABC=BC,PO PBC ⊂平面, 所以PO ⊥平面ABC,所以直线PB 与平面ABC 所成的角为PBO ∠,因为0=60PBO ∠，所以直线PB 与平面ABC 所成的角为060.(2)因为PO ⊥平面ABC,所以PO AC ⊥,因为AC ⊥PB ，,,PO PB PBC POPB P ⊂=平面,所以AC ⊥平面PBC,因为AC ⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC. (3)取CO 的中点G,连接EG,过点G 作FG||AC,由题得EG||PC,所以EG||平面APC,因为FG||AC ，所以FG||平面PAC,EG,FG ⊂平面EFO,EG ∩FG=G,所以平面EFO||平面PAC,因为EF ⊂平面EFO,所以EF||平面PAC.此时AF=11,33AB λ∴=. 【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查线面角的求法，考查空间几何中的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如图，圆C 与x 轴相切于点T(2，0)，与y 轴的正半轴相交于A ，B 两点（A 在B 的上方），且AB ＝3．（1）求圆C 的方程；（2）直线BT 上是否存在点P 满足PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如果圆C 上存在E ，F 两点，使得射线AB 平分∠EAF，求证：直线EF 的斜率为定值．【答案】（1）225252)()24x y -+-=（；（2）点P 坐标为1151236（，）或（，）.（3）见解析. 【解析】【分析】（1）求出圆C 的半径为52，即得圆C 的方程；（2）先求出直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),根据PA 2＋PB 2＋PT 2＝12 求出点P 的坐标；（3）由题得ECB BCF ∠=∠,即EF ⊥BC,再求EF 的斜率.【详解】（1）由题得223252+=24（），所以圆C 的半径为52.所以圆C 的方程为225252)()24x y -+-=（. (2)在225252)()24x y -+-=（中，令x=0,则y=1或y=4. 所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),因为PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，所以22222222)(4)22)(1)222)(0)12y y y y y y -+-+-+-+--+-=（（（, 由题得21526130y y -+=因为2=26415136767800∆-⋅⋅=-<,所以方程无解.所以不存在这样的点P.(3)由题得,EAB BAF ECB BCF ∠=∠∴∠=∠, 所以512,1,120EF BC EF BC EF k k k -⊥∴⋅=-∴⋅=--， 所以43EF k =-. 所以直线EF 的斜率为定值．【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．5．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是．9．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=．11．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和．若s n=254，则n=．12．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1公差d≠0，S n为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．16．（14分）已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，a2=4，S5=30．（1）求{a n}的首项a1和公差d的值；（2）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm 的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2﹣4n，数列{b n}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．【解答】解：原式=sin30°=，故答案为：．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是2．【解答】解：=（1+2+3+4+5）÷5=3，S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故答案为：2．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．【解答】解：∵x（1﹣x）=﹣，x∈（0，1）∴当x=时，x（1﹣x）的最大值为故答案为：．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：95．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．【解答】解：设事件A=“灯与两端距离都大于2m”根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分因此，事件A发生的概率为P（A）==故答案为：6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，得，此时z min=1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是7．【解答】解：由tanα=﹣2，tan（α+β）=，得tanβ=tan[（α+β）﹣α]=．故答案为：7．9．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是51．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a7﹣a5﹣3=0，∴2（a1+6d）﹣（a1+4d）﹣3=0，化为：a1+8d=3，即a9=3．则S17==17a9=17×3=51．故答案为：51．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=1或2．【解答】解：∵AB=c=，BC=a=1，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，解得：b=1或2，则AC=1或2．故答案为：1或211．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和．若s n=254，则n=7．【解答】解：由数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，可知：此数列为等比数列，首项为2，公比为2．又s n=254，∴254=，化为2n=128，解得n=7．故答案为：7．12．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1公差d≠0，S n为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=100．【解答】解：若a1，a2，a5成等比数列，则a1a5=（a2）2，即a1（a1+4d）=（a1+d）2，则1+4d=（1+d）2，即2d=d2，解得d=2或d=0（舍去），则S10==10+90=100，故答案为：100．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是3+2．【解答】解：锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，∴sin（B+C）=sinBsinC，即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，∴cosBsinC=sinB（sinC﹣cosC），∴sinC=（sinC﹣cosC），两边都除以cosC，得tanC=tanB（tanC﹣1），∴tanB=；又tanB＞0，∴tanC﹣1＞0，∴tanB+2tanC=+2tanC=+2tanC=1++2（tanC﹣1）+2≥3+2=3+2，当且仅当=2（tanC﹣1），即tanC=1+时取“=”；∴tanB+2tanC的最小值是3+2．故答案为：3+2．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为[2，）．【解答】解：a，b，c成等比数列，设==q，q＞0，则b=aq，c=aq2，∴∴，解得＜q＜．则=+=+q，由f（q）=+q在（，1）递减，在（1，）递增，可得f（1）取得最小值2，由f（）=f（）=，即有f（q）∈[2，）．故答案为：[2，）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α∈（），sinα=，∴cosα=﹣．∴=sin cosα+cos sinα=；（2）∵sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=，∴==．16．（14分）已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，a2=4，S5=30．（1）求{a n}的首项a1和公差d的值；（2）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．【解答】解：（1）因为{a n}是等差数列，a2=4，S5=30，所以解得a1=2，d=2（2）由（1）知即所以b n==于是数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006．…（4分）（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…（5分）因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.004×10×50=2，记为1，2号样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分）所以从5人中任意取2人共有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况，2人中恰有1人评分在[40，50）上有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）==．…（10分）（3）服务质量评分的平均分为：=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]，所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，所以△=（a﹣2）2﹣4a•（﹣2）≥0且﹣1×2=，解得：a=1；（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0，当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}，当a=﹣2时，解集为R；当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm 的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．【解答】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BA•BCcos∠ABC，…（2分）即（（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y•2x•cos60°，所以．…（5分）由AB﹣AC＜BC，得．又因为＞0，所以x＞1．所以函数的定义域是（1，+∞）．…（6分）（2）M=30•（2y﹣1）+40x．…（8分）因为．（x＞1），所以M=30即M=10．…（10分）令t=x﹣1，则t＞0．于是M（t）=10（16t+），t＞0，…（12分）由基本不等式得M（t）≥10（2）=490，当且仅当t=，即x=时取等号．…（15分）答：当x=km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．…（16分）20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2﹣4n，数列{b n}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=﹣3，…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1），即a n=2n﹣5，…（3分）n=1也适合，所以a n=2n﹣5．…（4分）（2）法一：假设存在实数μ，使数列{3n•b n+μ}是等比数列，且公比为q．…（5分）因为对任意正整数，，可令n=2，3，得b2=，b3=﹣．…（6分）因为{3n b n+μ}是等比数列，所以=，解得μ=﹣…（7分）从而===﹣3 （n≥2）…（9分）所以存在实数μ=﹣，公比为q=﹣3．…（10分）法二：因为对任意正整数．所以，设3n b n+μ=﹣3（3n﹣1b n﹣1+μ），则﹣4μ=1，…（8分）所以存在，且公比．…（10分）（3）因为a2=﹣1，a3=1，所以，，所以，即，…（12分）于是b1+b2+…+b n=+++…===…（13分）当是奇数时：b1+b2+…+b n=，关于递增，得≤b1+b2+…+b n＜．…（14分）当是偶数时：b1+b2+…+b n=，关于递增，得≤b1+b2+…+b n．…（15分）综上，≤b1+b2+…+b n．…（16分）。

2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．若直线过(1,2)A ，(3,6)B ，则该直线的斜率为 A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由直线的斜率公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，直线过点(1,2)A ，(3,6)B ，由斜率公式，可得斜率62231k -==-，故选A ． 【点睛】本题主要考查了斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ） A ．4πB ．3πC ．5πD ．2π【答案】A【解析】根据圆柱底面半径为1，母线长为2，代入圆柱侧面积公式2S rl π=求解. 【详解】圆柱底面半径为1，母线长为2，圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π , 故选：A 【点睛】本题主要考查圆柱侧面积的求法，属于基础题.4．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若2sin b a B =，则A 等于( ) A ．30 B ．60C ．60120或D ．30150或【答案】D【解析】根据正弦定理把边化为对角的正弦求解. 【详解】12sin sin 2sin sin ,sin =A=30A=150 D.2b a B B A B A ︒︒=∴=即，则或，选【点睛】本题考查正弦定理，边角互换是正弦定理的重要应用，注意增根的排除. 5．直线40ax y +-=过定点（ ） A ．()4,0 B ．()0,4C ．()2,2D ．()0,3【答案】B【解析】对于方程40ax y +-=过定点，可知与参数a 无关，可令0x =，则40y -=，可得所过定点. 【详解】令0x =，则40y -=， 可得所过定点()0,4. 故选：B 【点睛】本题考查了直线的方程，属于基础题.6．过点()0,1P 作圆22210x y x ++-=的切线，则切线方程为（ ）A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =+【答案】B【解析】先判断点()0,1P 在圆上，可知点()0,1P 即是切点，圆心与切点的连线与切线垂直，可得切线的斜率，点斜式即可得切线方程. 【详解】因为()0,1P 满足22210x y x ++-=，所以点()0,1P 在圆上，点()0,1P 即是切点，由22210x y x ++-=知，圆心为()1,0-，设()1,0M -，1010(1)MP k -==--，圆心与切点的连线与切线垂直， 所以切线斜率为1-，所以切线方程为：10y x -=- ，即1y x =+， 故选：B 【点睛】本题主要考查了求解圆的切线方程，涉及由圆的方程求圆心，先判断点与圆的位置关系最关键，属于基础题.7．等差数列{}n a 中，已知10111a =，则该数列前2021项和2021S =（ ）A ．2019B ．2021C ．4042D ．4038【答案】B【解析】根据数列{}n a 是等差数列，且10111a =，由202110112021S a =求解.【详解】在等差数列{}n a 中，已知10111a =，所以则该数列前2021项和:()120211011202110112021202122021202122a a a S a +⨯==== ，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列求和以及等差中项的应用，属于基础题.8．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若bcosC +ccosB ＝b ，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形【答案】A【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果. 【详解】解：△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ， 由bcosC +ccosB ＝b ，根据正弦定理：sinBcosC +sinCcosB ＝sinB ， 整理得sin （B +C ）＝sinA ＝sinB ， 故a ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9．正四面体A BCD -中，已知棱长均为1，则二面角A CD B --的平面角的余弦值为（ ）A ．12B ．13C D ．3【答案】B【解析】本题先证明二面角A CD B --的平面角为AEF ∠，再求cos EFAEF AE∠=，最后结合:1:2EF FB =和AE EB =计算出答案. 【详解】解：取CD 的中点为点E ，连接AE ，BE ，过点A 作AF 垂直与底面BCD ，因为四面体A BCD -为正四面体，所以点F 在线段BE 上，且:1:2EF FB =，AF EF ⊥， 故二面角A CD B --的平面角为AEF ∠，在直角三角形AEF 中， 所以cos EFAEF AE∠=， 又因为在正四面体A BCD -中AE EB =，所以1cos 3EF EF AEF AE BE ∠===，故选：B. 【点睛】本题考查正四面体中的二面角，是基础题.10．大约在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年，已知O 为原点，1OP =，若13,44M ⎛-⎝⎭，则线段PM 长的最小值为（ ） A ．12B ．54C ．34D ．32【答案】A【解析】根据1OP =，得到点P 的轨迹为圆221x y +=，再由又13,4M ⎛⎝⎭，12=<OM r ，得到点M 在圆内，然后由≥-PM r OM 求解. 【详解】已知O 为原点，1OP =， 所以点P 的轨迹为圆221x y +=，又13,44M ⎛- ⎝⎭，所以22213100444⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OM ，即12OM =， 所以点M 在圆内， 则有12≥-=PM r OM ， 线段PM 长的最小值为12故选：A 【点睛】本题主要考查点的轨迹，点与圆的位置关系以及两点间的距离公式的应用，属于基础题.二、多选题11．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <【答案】BCD【解析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．如图，设E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且2AB =，1EF=，其中正确的命题为（）A．三棱锥11D B EF-的体积为定值B．异面直线11D B与EF所成的角为60︒C．11D B⊥平面1B EFD．直线11D B与平面1B EF所成的角为30【答案】AD【解析】A. 利用1111D B EF B D EFV V--=，三棱锥11D B EF-的体积为定值，正确B. 利用平移法找异面直线所成的角，11//EF D C，11D B和11D C所成的角为45︒，所以异面直线11D B与EF所成的角为45︒，故B错误C. 若11D B⊥平面1B EF，则线11D B与EF所成的角为90︒，而异面直线11D B与EF所成的角为45︒，故C错误D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面1B EF的一个法向量，再求平面1B EF 的一个法向量和11D B的方向向量的夹角，正确【详解】解：对于A，111111131111212232323D B EF B D EF D EFV V S BCEF DD--==⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=故三棱锥11D B EF-的体积为定值，故A正确对于B，11//EF D C，11D B和11D C所成的角为45︒，异面直线11D B与EF所成的角为45︒，故B错误对于C，若11D B⊥平面1B EF，则11D B⊥直线EF，即异面直线11D B与EF所成的角为90︒，故C错误对于D ，以D 为坐标原点，分布以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设()0,,0E a ，则()0,1+,0F a ，()12,2,2B ，()10,0,2D()()()1112,2,2,0,1,0,2,2,0EB a EF D B =-==设平面1B EF 的法向量为,,,nx y z 则()()()()1,,2,2,20,,0,1,00n EB x y z a n EF x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩ 令1z =-，则()1,0,1n =-1111111,0,12,2,01cos ,2n D B n D B n D B -⋅⋅<>===⋅11,60n D B <>=︒所以直线11D B 与平面1B EF 所成的角为30，正确 故选：AD 【点睛】以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题.三、填空题13．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程为_____________． 【答案】x 2＋(y －2)2＝1【解析】由题意设圆的标准方程，将点（1,2）代入即可得到答案. 【详解】由已知设所求圆的方程为()221x y b +-=,因为所求圆过点(1,2)，所以有()22121b +-=得b=2, 所求圆的方程为()2221x y +-=. 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题.14．若正四棱锥的底面边长为23，侧棱长为7，则该正四棱锥的体积为______. 【答案】4.【解析】设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，在直角三角形POA 中，求得高1PO =,利用体积公式，即可求解． 【详解】由题意，如图所示，正四棱锥P -ABCD 中，AB =23，P A =7 设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，则AO =112622AC AB =⨯=， 在直角三角形POA 中，22176PO PA AO =-=-=，∴11121433P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了正棱锥体积的计算，其中解答中熟记正棱锥的性质，以及棱锥的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2a =，若()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=，则ABC 面积的最大值是______.3【解析】根据()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=，利用正弦定理得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理求得3A π=，然后由余弦定理结合基本不等式得到4bc ≤，再利用三角形面积公式求解.【详解】因为()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=所以()223b c a bc +-=，即222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为()0,A π∈， 所以3A π=，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥, 所以4bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A =≤△，故ABC【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.【答案】25x y +=【解析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，，所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.四、解答题 17．如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线的方程 为220x y --=，点(2,0)C . （Ⅰ）求直线CD 的方程；（Ⅱ）求AB 边上的高CE 所在直线的方程.【答案】解: （Ⅰ）∵ABCD 是平行四边形∴//AB CD ∴2CD AB k k ==∴直线CD 的方程是2(2)y x =-，即240x y --=（Ⅱ）∵ CE ⊥AB∴112CE AB k k =-=- ∴CE 所在直线方程为1(2)2y x =-- ,220x y 即+-=.【解析】略18．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5b =4B π=.（1）若3a =，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积等于1，求a 的值. 【答案】（1）3sin 1010A =；（2）1a =或22a =. 【解析】（1）利用正弦定理求得sinA 的值；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理，列方程组求出a 的值． 【详解】（1）ABC 5b =中，，4B π=.3a =由正弦定理sin sin a b A B = 可得，310sin sin sin 4105a A Bb π===（2）由三角形面积公式可得11sin sin 1224ABC S ac B ac π∆=== ，所以化简得22c = 由余弦定理可知222222cos 254b ac ac a c ac π=+-=+-=将22c a=代入上式，化简得a 4-9a 2+8=0 解得122a a ==或 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用，三角形面积及恒等变换应用问题，属于中档题． 19．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EDC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，ED EC ⊥，点F ，G 分别是EC ，AB 的中点．求证：（1）直线FG ∥平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面EBC ． 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ，证得//FG AH ，利用线面平行的判定定理，即可证得直线FG ∥平面ADE ；（2）利用线面垂直的判定定理，证得ED EBC ⊥面，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面ADE ⊥平面EBC ． 【详解】（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ．在EDC ∆中，H ，F 分别为DE ，EC 中点，则FH //DC 且12FH DC =， 又四边形ABCD 为矩形，G 为AB 中点，AG //DC 且12AG DC =， 所以//FH AG FH AG =且，故四边形AGFH 为平行四边形， 从而//FG AH ，又FG ADE ⊄面，AH ADE ⊂面， 所以直线//FG ADE 面．（2）因为矩形ABCD ，所以BC DC ⊥，又平面EDC ABCD ⊥面， 面EDCABCD DC =面，BC ABCD ⊂面，所以BC DEC ⊥面，又ED DEC ⊂面，则ED BC ⊥，又ED EC ⊥，BCEC C =，所以ED EBC ⊥面，又ED ADE ⊂面，所以平面ADE ⊥平面EBC ．【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．20．如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即)POQ ∠为23π、半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ．设POS α∠=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计．（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围： （2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值． 【答案】（1）23(tan 1)3tan 1MN αα+=-62ππα<<；（2）当3πα=时，MN 长度的最小值为23.【解析】（1）根据相切关系与直角三角形的边角关系，用公路MN 的长度表示为α的函数，即可求出α的取值范围；（2）用三角恒等变换化简MN 的解析式，根据三角函数的图象与性质求得MN 的最小值 【详解】解：（1）因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS MN ⊥． 在RT OSM ∆中，因为1OS =，MOS α∠=，所以tan SM α=， 在RT OSN ∆中，23NOS πα∠=-，所以2tan()3SN πα=-，所以223(tan 1)tan tan()33tan 1MN παααα+=+-=- 其中62ππα<<，（2）因为62ππα<<310α->，令310t α=->，则3tan 1)t α=+， 所以342)MN t t++， 由基本不等式得34(22)23MN t t⨯+= 当且仅当4t t =即2t =时取“=”此时tan 3α=62ππα<<，故3πα= 答：（1）223(tan 1)tan tan()33tan 1MN παααα+=+-=-62ππα<<（2）当3πα=时，MN长度的最小值为【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了直角三角形的边角关系和三角恒等变换问题，是中档题．21．已知过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2211x y -+=交于A ，B 两点.（1）求斜率k 的取值范围；（2）以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围； （3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值. 【答案】（1）34k <-；（211r <<；（3）定值1；证明见详解 【解析】（1）直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，可利用圆心到直线的距离小于半径，即可解出k 的取值范围.（2）由题意知两个圆相交，满足圆心距11r MC r -<<+，即可解得r 的取值范围 （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立将直线l 与圆C 方程，由韦达定理可得12x x + ，12x x ，()1212121212122222OA OBx x y y kx kx k k k x x x x x x ++++=+=+=+ ，整体代入即可得定值. 【详解】（1）由题意知直线l 的斜率存在，且直线l 与圆C 相交， 设l ：2y kx =+，则圆心到直线的距离小于半径，1< ，解得：34k <-（2）由题意知两个圆相交，满足圆心距11r MC r -<<+，因为MC ==，所以11r r ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩即101r r ⎧>-⎪⎨<<⎪⎩ ，11r <<.（3）将直线l 与圆C 方程联立得()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 得：()()2214240kx k x ++-+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则 122241k x x k -+=+，12241x x k =+， ()121212121212222242212OA OB x x y y kx kx kk k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+=， 所以直线OA 与OB 斜率之和为定值1. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查了线线垂直时斜率之积为1-，涉及了直线的点斜式方程，属于中档题.22．对于*,∀∈n N 若数列{}n x 满足11,+->n n x x 则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,+m m 是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1+=+n n a b n 试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 【答案】（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}nb ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <- 因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项. 由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -=所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √-42. 已知 a + b = 5，a - b = 1，则a² - b² 等于（）A. 16B. 24C. 25D. 363. 若一个等差数列的前三项分别是 2, 5, 8，则这个数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在平面直角坐标系中，点A（-3，4）关于y轴的对称点是（）A. （3，4）B. （-3，-4）C. （3，-4）D. （-3，4）5. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 16. 已知等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积是（）A. 32B. 40C. 48D. 647. 在等差数列 {an} 中，若 a1 = 3，d = 2，则第10项 a10 等于（）A. 21B. 23C. 25D. 278. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 5C. 4x + 5 = 9D. 5x - 6 = 119. 若一个圆的半径为 r，则其直径等于（）A. 2rB. r/2C. r²D. r/410. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则AB的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知x² - 5x + 6 = 0，则 x 的值为_________。

12. 若a² + b² = 25，且 a - b = 4，则 ab 的值为_________。

13. 等差数列 {an} 的前5项之和为 50，第5项为 10，则该数列的首项为_________。

14. 若函数f(x) = x² - 3x + 2 在区间 [1, 2] 上单调递增，则函数的极值点为_________。

江苏省淮安市重点中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β=（ ） A ．13B ．3C ．913D ．1392．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．153．某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知向量a ，b 的夹角为60︒，且2a =，1b =，则a b -与12a b +的夹角等于 A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒5．l ：2360x y +-=与两坐标轴所围成的三角形的面积为A ．6B ．1C ．52D ．36．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（ ）A ．14B ．27C ．28D ．327．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）A ．1232+B ．1262+C ．932+D ．962+8．已知m 个数的平均数为a ，n 个数的平均数为b ，则这m n +个数的平均数为（ ） A ．2a b+ B ．a bm n++ C ．ma nba b++D ．ma nbm n++9．设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（ ） A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭10．若集合，则的真子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2021-2022学年江苏省淮安市高一下学期期末数学试题一、单选题1．设i 为虚数单位，若复数是实数，则实数a 的值为（ ）()()1i 1i a -+A ．－1B ．0C ．1D ．2C【分析】由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解．【详解】，它是实数，2(1i)(1i)1i i i 1(1)i a a a a a -+=+--=++-则，．10a -=1a =故选：C ．2．在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，则的形状ABC cos a c B =ABC （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定B【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.【详解】因为，，cos a c B =222cos 2a c b B ac +-=所以，整理得，2222a c b a c ac +-=⋅222+=a b c 所以三角形的形状是直角三角形.故选：B3．用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ ）A ．1BC ．2D ．6B【分析】根据圆锥的展开图可知底面圆周长与弧长的关系，进而可求底面圆半径以及母线，由勾股定理即可求高.【详解】半圆的的弧长等于圆锥的底面圆周长，故底面圆的半径为1，圆锥母线为2π2故选：B4．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（也称为素数，是一个大于1的自然数，除了1和它自身之外，不能被其它自然数整除的数叫做质数）之和，也就是我们所谓的“”问题．它是1742年由数11＋学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等曾在哥德巴赫猜想的证明中做出过相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则加数全部为质数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．13141216A【分析】利用列举法求解，先列出把6拆成两个正整数的和的所有情况，再找出两个加数全为质数的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】6拆成两个正整数的和的所有情况有：，3种情况，15,24,33+++其中两个加数全为质数的有，1种情况，33+所以所求概率为,13故选：A5．在中，，点D 是边上一点，，，，则边ABC 45B =︒BC 5AD =7AC =3DC =的长是（ ）AB A ．BCD ．C【分析】由余弦定理求得，由正弦定理求得．cos C AB 【详解】中，ACD △2224992511cos 227314AC CD AD CAC CD +-+-===⋅⨯⨯所以sinC ==中，由正弦定理得ABC sin sin AB AC C B =sin sin AC C AB B ===故选：C ．6．已知，是平面内的一组基底，1e 2e ，，，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值1232OA e e =+ 124OB e ke =+ 1254OC e e -=为（ ）A ．B ．0C ．1D ．21-A【分析】A ，B ，C 三点共线可转化为，结合向量的运算与向量相等即可求AB AC λ= 解【详解】因为，，，1232OA e e =+ 124OB e ke =+ 1254OC e e -= 所以，()()()1212124322AB OB OA e ke e e e k e =-=-+++=- ，()()121212543622AC OC OA e e e e e e -=-=-+=- 又因为A ，B ，C 三点共线，所以，即，AB AC λ= ()()1212262e k e e e λ-=+-所以，解得，2162k λλ=⎧⎨-=-⎩11,2k λ=-=故选：A7．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49；乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为（ ）A ．22.5B ．38C ．60.5D ．39C【分析】根据百分位数的计算规则计算可得.【详解】因为，故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3和1225%3⨯=4个数的平均数，为；202522.52+=又，所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为1280%9.6⨯=，所以3822.53860.5+=故选：C8．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）sin1a =2cos1sin1b =12tan2c =A ．B ．C ．D ．a b c >>b c a >>c a b >>c b a>>D【分析】由二倍角公式，诱导公式，正弦函数的性质比较大小，再利用三角函数线,a b 证明为锐角时，，从而可比较大小，得出结论．x tan x x >,c b 【详解】，2cos1sin1sin 2b ==sin(2)π=-又，所以， 即，2102ππ>->>sin(2)sin1π->b a >利用三角函数线可以证明为锐角时，，x tan x x >如图，在单位圆中，以为始边，为顶点作出角，其终边与单位圆交于点，过Ox O x P 单位圆与轴正半轴交点作轴的垂线，角的终边与这条垂线交于点，x A x x T则，劣弧的长为，tan AT x =PA l x =扇形的面积为，面积为，OPA 11122S lr x==OAT 211tan 22S OA AT x ==由图形，易知，即，所以， 21S S >11tan 22x x>tan x x >所以，，112tan2122c =>⨯=sin 21b =<所以．c b a >>故选：D ．二、多选题9．某商家为了了解顾客的消费规律，提高服务质量，收集并整理了2019年1月至2021年12月期间月销售商品（单位：万件）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法正确的是（ ）A ．月销售商品数量逐月增加B ．各年的月销售商品数量高峰期大致在8月C ．2020年1月至12月月销售数量的众数为30D ．各年1月至6月的月销售数量相对于7月至12月，波动性大，平移性低BC【分析】由折线图，结合数字特征及曲线的分布特征可以看出AD 选项错误；BC 选项正确.【详解】月销售商品数量从8月到9月，是减少的，故A 错误；各年的月销售商品数量高峰期大致在8月，B 正确；2020年1月至12月月销售数量为30的有1月,3月,6月,9月，有4个，其他均低于4个，故众数为30，C 正确；各年1月至6月的月销售数量相对平稳，波动性小，D 错误；故选：BC10．一只袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白球和个黑球，从袋中不放532回地依次随机摸出个球．甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“至少有一次摸2到黑球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则下列说法正确的是（ ）A ．甲与丁互斥B ．乙与丙对立C ．甲与丙互斥D ．丙与丁独立AC【分析】利用互斥事件的定义可判断AC 选项；利用对立事件的定义可判断B 选项；利用独立事件的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，丁事件包含：一白一黑、两白，甲与丁互斥，A 对；对于B 选项，乙事件包含：一白一黑、两黑，乙与丙不对立，B 错；对于C 选项，甲与丙互斥，C 对；对于D 选项，分别记事件丙、丁为、，A B 将个白球分别记为、、，个黑球记为、，3a b c 2E F 从上述个球中任意摸出个，所有的基本事件为：、、、、、、52ab ac aE aF bc bE 、、、，共种，bF cE cF EF 10其中事件包含的基本事件为：、、、、、，共种，A aE aF bE bF cE cF 6事件包含的基本事件为：、、、、、、、、，共种，B ab ac aE aF bc bE bF cE cF 9所以，，，，故丙与丁不独立，D 错.()35P A =()910P B =()()()35P AB P A P B =≠故选：AC.11．如图，在边长为2的正方形中，E ，F 分别为，的中点，H 为的ABCD BC CD EF 中点，沿，，将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，构成四面体，则在AE EF FA 四面体中，下列说法正确的是（ ）A OEF -A ．四面体的体积为B ．平面13AO ⊥OEFC ．D OH AH ⊥ABD【分析】根据翻折前后图形之间的关系可得，，再由直线与平面垂AO OE ⊥AO OF ⊥直的判定可得平面，进而判断A,B,C,根据四面体的外接球与AO ⊥OEF 为长宽高的长方体的外接球相同，即可求解.=2,=1,=1OA OE OF 【详解】翻折前，，，故翻折后，，，AB BE ⊥AD DF ⊥OA OE ⊥OA OF ⊥又，平面，故B 正确；OE OF O ⋂=OA ∴⊥EOF 则，故A 正确；111112323O AEF A OEF V V --==⨯⨯⨯⨯=平面，平面,故,故不可能成立，故C 错误；OA ∴⊥EOF OH ⊂EOF OA OH ⊥OH AH ⊥由于,故该四面体的外接球与以为长宽,,OA OE OE OF OF OA ⊥⊥⊥=2,=1,=1OA OE OFD 正确；故选：ABD12．我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形ABCD 的直角边的长度比为，则下列说法正确的是（ ）1:2AB ．AC EG ⊥C ．D ．245AE DC BC⋅= 3455AF AB AD=+ ACD【分析】根据各边长的关系直接可判断A ；根据正方形对角线互相垂直，然后观察可判断B ；利用投影表示数量积可判断C ；作，求出FI 、BI 长，然后由向量加FI BC ⊥法可判断D.【详解】记，则,2BE m AE m ==AB =A 正确；=由正方形性质可知，，显然不平行，所以不垂直，B 错误；AC BD ⊥,BD EG ,AC EG 因为，，22cos 4AE DC AE AB AE AB BAE AE m ⋅=⋅=∠== 22244)455BC m ==所以，故C 正确；245AE DC BC⋅=过F 作，垂足为I ，FI BC ⊥BC FI BFFC ⋅=⋅ 2FI m m⋅=⋅所以，所以FI =BI ==则，24,55IF AB BI AD=-=所以，故D 正确.42345555AF AB BI IF AB AD AB AB AD=++=+-=+ 故选：ACD三、填空题13．若复数满足，则的最大值为________．z 11z -=z2【详解】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数对应点z 的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，取最大值时，就是圆上的点到原点的距(1,0)z离的最大值，结合圆的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.详解：依题意，设复数，,(,)z x yi x R y R =+∈∈因为，所以有，11z -=22(1)1x y -+=由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，z (1,0)所以的最大值为，所以答案为2.z112+=14．如图，某系统使用A ，B ，C 三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A 正常工作且B ，C 中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A ，B ，C 正常工作的概率均为0.7，则系统能正常工作的概率为______．0.637【分析】求出正常的概率，然后由独立事件的概率公式计算．B C ⋃【详解】．()()0.7(10.30.3)0.637P P A P B C ==⨯-⨯=故．0.63715．已知，且，则的值为______．π1cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22ππ17cos 22cos 1213339αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦故79四、双空题16．在正四面体中，点E ，F 分别在棱，上，满足，，ABCD AB AC 1BE =2EF =面，则棱长为______，以点A//EF BCD AB面与正四面体的表交所得到的曲线长度之和为______．ABCD 【分析】根据平面可得，进而也为等边三角形，即可求//EF BCD //EF BC AEF ，将球面与正四面体的四个面所得的交线分为两类，一类与123AB BE AE =+=+=侧面的交线，一类与底面的交线，结合球的截面性质即可求解.【详解】因为平面，平面,平面平面，所以//EF BCD EF ⊂ABC ABC =BC BCD ,//EF BC 由于四面体每个面都是等边三角形，故也为等边三角形，ABCD AEF 所以;123AB BE AE =+=+=球面与正四面体的四个面都相交，所得的交线分为两类：一类与三个侧面的交线，与侧面交线为弧,弧在过球心的大圆上，,,ABD ABC ACD ABC MNMN 由于,所以弧的长度为：3,60A AB A M B C ===∠MN π3与侧面的交线与弧一样长，,ABD ACD MN 另一类交线是与底面的交线，过作平面,BCD A AO ⊥BCD22333OD DP ===所以故与底面刚好相交于底AO ==<AP AB ==BCD 面各边的中点处，形成的交线此时是底面的内切圆，BCD BCD内切圆半径为故弧长为：，11333OP DP ===2π因此所有的交线长为3+故3,AB =五、解答题17．已知平面向量，．()1,2a =-()1,1b =--(1)求的值；2a b - (2)若向量与夹角为，求实数λ的值．a λb +2a b - 4π(1)(2)或1λ=2λ=-【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；2a b -（2）首先求出的坐标，即可得到，再根据数量积的坐标表示求出a λb + a b λ+ ，最后根据数量积的定义得到方程，解得即可；()()2a a bb λ⋅-+ 【详解】(1)解：因为，，()1,2a =-()1,1b =--所以，()()()21,21,13,32b a =------=所以；2a b -== (2)解：，()()()1,21,11,2a λb λλλ+=-+--=---所以，a + ()()()()()231329a ab b λλλ⋅-=-+-⨯+--=又向量与夹角为，a λb +2a b - 4π所以，()()22cos4a b a b a a b b λπλ⋅+-=⋅-+，9=即，解得或.()()22129λλ-+--=1λ=2λ=-18．如图，在正方体中.1111ABCD A B C D -（1）求证：平面；//AB 11A B CD （2）求直线和平面所成的角.1A B 11A B CD （1）见解析；（2）30°【分析】（1）由即可证得平面；11AB A B //AB //11A B CD （2）连接交于，连接，证明平面，可得为直线1BC 1B C O 1OA OB ⊥11A B CD 1OA B ∠和平面所成的角，设正方体棱长为1，在中求出.1A B11A B CD 1Rt A OB 1OA B ∠【详解】解：（1）证明：，平面，平面，11//AB A B AB ⊄11A B CD 11A B ⊂11A B CD ∴平面；//AB 11A B CD （2）解：连接交于O ，连接，1BC 1B C 1OA 四边形是正方形，，11BCC B 1OB B C ∴⊥，11111111111,,A B B C A B B B B C B B B ⊥⊥= 平面，11A B ∴⊥11BCC B ，11A B OB ∴⊥又，1111A B B C B = 平面，OB ∴⊥11A B CD 为直线和平面所成的角，1OA B ∴∠1A B 11A B CD 设正方体棱长为1，则，1AB =OB =，111sin 2OB OA B A B ∴∠==，130OA B ︒∴∠=∴直线和平面所成的角为30°.1AB 11A B CD 本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题.19．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为，[)90,100，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名[)100,110[]140,150学生的成绩均不低于90分）．(1)求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这[)120,1406人中随机抽取2人参加这次的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到[)130140,的概率．(1)，平均分为；0.02x =116.5(2)35【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可计算出值，然后用每组区间的x 中点值乘以相应频率再相加可得平均值；（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数，并编号，用列举[)120130,[130,140)法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由概率公式计算概率．【详解】(1)由频率分布直方图，，，(0.0050.030.030.010.005)101x +++++⨯=0.02x =平均分为；950.051050.31150.31250.21350.11450.05116.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，[)120130,[130,140)0.220.1=抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的[)120130,[130,140)有2人，编号为，,a b 从这6人中任取2人的基本事件有：共12,13,14,1,1,23,24,2,2,34,3,3,4,4,a b a b a b a b ab 15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有[)130140,共9个，所以所求概率为．1,1,2,2,3,3,4,4,a b a b a b a b ab 93155P ==20．如图，扇形的半径为2，圆心角为．点P 在扇形的弧上，点C 在AOB 3πAOB AB 半径上，且，且，D 为垂足，设．OB //PC OA PD AO ⊥AOP θ∠=(1)若，求的长；12πθ=PC (2)试用θ表示出梯形的面积S ，并求S 的最大值．CPDO(2)()2S θϕ=+tan ϕ=max S 【分析】（1）首先求出，再利用正弦定理计算可得；COP ∠（2）利用正弦定理表示出，再由锐角三角函数表示出，，再由梯形面积公CP PD OD 式、三角恒等变换公式及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质计算可得；【详解】(1)解：依题意，则，，12πθ=12CPO π∠=3124COP πππ∠=-=，233PCO πππ∠=-=又，由正弦定理，即，2OP =sin sin OP PC OCP COP =∠∠22sin sin34PCππ=解得PC =(2)解：，，AOP θ∠= 3COP πθ∴∠=-在中，由正弦定理得，即．POC △sin sin OP CP PCO COP =∠∠22sin sin 33CPππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，又，，3CP πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭sin 2sin PD OP θθ==cos 2cos OD OPθθ==所以12sin 2cos sin()23S πθθθ⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦sin 2cos sin cos cos sin 33ππθθθθ⎡⎤⎫=-⎪⎢⎥⎭⎣⎦sin 4cos n θθθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭24cos sin θθθ=21cos 22sin 2θθ-=()2sin 222θθθϕ=++tan ϕ=∴S 21．如图，在正三棱柱中，点D 为中点．111ABC A B C -AC(1)若，证明：平面平面；AB AA =1AB C ⊥1DBC(2)若，且二面角的体积．2AB =1D BC C --111ABC A B C -(1)见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质即可证明线面垂直，进而可证明线面垂直；（2）根据几何法找二面角的平面角，求出三棱锥的高，进而可求体积.【详解】(1)为等边三角形,点D 为中点,故,因为平面平面ABC AC AD AC ⊥11AA C C ⊥,其交线为,故平面，平面,故平面平面；ABC AC BD ⊥11AA C C BD ⊂ABC 11AA C C ⊥1DBC(2)过D 作平面交于故是的四等分点靠近的位置，过DM ⊥11BCC B BC ,M M BC C 作交于所以即为二面角的平面角，M MO ⊥1BC 1BC ,O DOM ∠1D BC C --,1tan 2DM DOM DM AN OM OM ∠====⇒在中,，BOM11sin tan 2OM CBC CBC BM ∠===⇒∠=在中，,1BCC 1111tan =2=42CC CC CBC CC BC ∠==⇒故三棱锥的体积为：2124ABC S CC ⋅=⨯=22．在①；②这两个条件中2cos cos cos a A b C c B =+tan tan tan B C B C +=任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______．ABC (1)求角A 的大小；(2)若G 为重心，点M 为线段的ABC ABC AC 中点，点N 在线段上，且，线段与线段相交于点P ，求的取值AB 2AN NB =BM CN 范围．注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．(1)3A π=(2)16⎛ ⎝【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论AB AC AG表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出APGP 2bc =的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得；b 【详解】(1)解：若选①，2cos cos cos a A b Cc B =+由正弦定理可得()2sin cos sin cos sin cos sin A A B C C B B C =+=+即，又，所以，即，2sin cos sin A A A =sin 0A >2cos 1A =1cos 2A =因为，所以；()0,A π∈3A π=若选②，即，tantantan B C B C +=tan tantan B C B C +=即，)tan tan 1tan tan BC B C +=-所以tan tan 1tan tan B CB C +=-()tan B C +=()tan A π-=tan A =因为，所以；()0,A π∈3A π=(2)解：依题意，，23AN AB = 12AM AC= 所以，()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭因为、、三点共线，故设，C N P ()()2113AP AN AC AB ACλλλλ=+-=+- 同理、、三点共线，故设，M B P ()()1112AP AB AM AB ACμμμμ=+-=+- 所以，解得，()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，1124AP AB AC=+则，()11111112243361212GP APAG AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-=+-+=-=- ⎪⎝⎭因为，1sin 2ABC S bc A ==2bc =又为锐角三角形，ABC当为锐角，则，即，C 0AC BC ⋅> ()AC AC AB ⋅-> 即，即，即，所以，20AC AC AB -⋅> 2102b bc ->22b c b >=1b >当为锐角，则，即，B 0AB CB ⋅> ()AB AB AC ⋅-> 即，即，即，即，所以，20AB AC AB -⋅> 2102c bc ->2c b >22bb ⋅>02b <<综上可得，12b <<又，则1212GP AB AC =⋅- ()2222144244GP AB ACAB AB AC AC=-=-⋅+2244AB AB AC AC=-⋅+ 2242c bc b =-+22164b b=-+因为，所以，而在上单调递减，所以12b <<214b <<()164f x x x =-+()1,4，()()4,13f x ∈即，即，所以，则.()221644,13b b -+∈()21444,13GP ∈ (12GP ∈ 16GP ⎛∈ ⎝。

2022-2023学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足方程z 2+1＝0（i 是虚数单位），则z ＝（ ） A ．1B ．iC ．±iD ．﹣i2．某地为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，决定采用分层抽样的方式从甲村、乙村、丙村抽取部分村民参与环保调查研究．已知甲村、乙村、丙村人数之比是5：2：3，被抽到的参与环保调查研究的村民中，甲村的人数为40人，则参加调查研究的总人数是（ ） A ．80B ．800C ．100D ．603．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，2)B ．e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)C ．e 1→=(3，4)，e 2→=(−6，−8)D ．e 1→=(−2，1)，e 2→=(1，2)4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发普遍．已知某群体的成员，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.1，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.9B ．0.85C ．0.95D ．0.85．在△ABC 中，边长c =√6，A ＝105°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆的面积是（ ） A ．6πB ．24πC ．2√6πD ．4√6π6．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件A +B 有8个样本点，则下列说法正确的是（ ） A ．事件A 与事件B 互斥 B ．P(B)=13C ．P(AB)＞P(AB)D ．事件A 与事件B 相互独立7．若sin θ＝2cos10°•cos （20°﹣θ），0°＜θ＜180°，则θ＝（ ） A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，若PE →=23PB →，PF →=13PC →，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P ﹣AEFG与四棱锥P ﹣ABCD 的体积比为（ ） A ．746B ．845C ．745D ．445二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．5．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ．8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是．9．（5分）已知{an }是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC= ．11．（5分）在数列{an }中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和．若sn=254，则n= ．12．（5分）已知{an }是等差数列，a1=1公差d≠0，Sn为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10= ．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．16．（14分）已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．（1）求{an }的首项a1和公差d的值；（2）设数列{bn }满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．20．（16分）已知数列{an }的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．2019-2020学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．【解答】解：原式=sin30°=，故答案为：．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是 2 ．【解答】解：=（1+2+3+4+5）÷5=3，S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故答案为：2．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．【解答】解：∵x（1﹣x）=﹣，x∈（0，1）∴当x=时，x（1﹣x）的最大值为故答案为：．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9 ．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：95．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．【解答】解：设事件A=“灯与两端距离都大于2m”根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分因此，事件A发生的概率为P（A）==故答案为：6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3 ．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，得，=1﹣4=﹣3．此时zmin故答案为：﹣3．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是7 ．【解答】解：由tanα=﹣2，tan（α+β）=，得tanβ=tan [（α+β）﹣α]=．故答案为：7．9．（5分）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，若2a 7﹣a 5﹣3=0，则S 17的值是 51 ． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵2a 7﹣a 5﹣3=0，∴2（a 1+6d ）﹣（a 1+4d ）﹣3=0， 化为：a 1+8d=3，即a 9=3． 则S 17==17a 9=17×3=51．故答案为：51．10．（5分）已知△ABC 中，AB=，BC=1，A=30°，则AC= 1或2 ．【解答】解：∵AB=c=，BC=a=1，cosA=，∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，即1=b 2+3﹣3b ， 解得：b=1或2， 则AC=1或2． 故答案为：1或211．（5分）在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若s n =254，则n= 7 ． 【解答】解：由数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n ， 可知：此数列为等比数列，首项为2，公比为2． 又s n =254， ∴254=，化为2n =128， 解得n=7． 故答案为：7．12．（5分）已知{a n }是等差数列，a 1=1公差d ≠0，S n 为其前n 项的和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，S 10= 100 ．【解答】解：若a 1，a 2，a 5成等比数列， 则a 1a 5=（a 2）2，即a 1（a 1+4d ）=（a 1+d ）2， 则1+4d=（1+d ）2， 即2d=d 2，解得d=2或d=0（舍去）， 则S 10==10+90=100，故答案为：100．13．（5分）在锐角△ABC 中，sinA=sinBsinC ，则tanB+2tanC 的最小值是 3+2 ．【解答】解：锐角△ABC 中，sinA=sinBsinC ， ∴sin （B+C ）=sinBsinC ， 即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC ， ∴cosBsinC=sinB （sinC ﹣cosC ）， ∴sinC=（sinC ﹣cosC ），两边都除以cosC ，得tanC=tanB （tanC ﹣1）， ∴tanB=；又tanB ＞0，∴tanC ﹣1＞0， ∴tanB+2tanC=+2tanC=+2tanC=1++2（tanC ﹣1）+2≥3+2=3+2，当且仅当=2（tanC ﹣1），即tanC=1+时取“=”；∴tanB+2tanC 的最小值是3+2．故答案为：3+2．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为[2，）．【解答】解：a，b，c成等比数列，设==q，q＞0，则b=aq，c=aq2，∴∴，解得＜q＜．则=+=+q，由f（q）=+q在（，1）递减，在（1，）递增，可得f（1）取得最小值2，由f（）=f（）=，即有f（q）∈[2，）．故答案为：[2，）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α∈（），sinα=，∴cosα=﹣．∴=sin cosα+cos sinα=；（2）∵sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=，∴==．16．（14分）已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．（1）求{an }的首项a1和公差d的值；（2）设数列{bn }满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．【解答】解：（1）因为{an }是等差数列，a2=4，S5=30，所以解得a1=2，d=2（2）由（1）知即所以bn==于是数列{bn }的前n项和Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006．…（4分）（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…（5分）=0.004×10×50=2，记为1，2号因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分）样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2所以从5人中任意取2人共有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况，2人中恰有1人评分在[40，50）上有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）==．…（10分）（3）服务质量评分的平均分为：=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]，所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，所以△=（a﹣2）2﹣4a•（﹣2）≥0且﹣1×2=，解得：a=1；（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0，当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}，当a=﹣2时，解集为R；当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．【解答】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BA•BCcos∠ABC，…（2分）即（（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y•2x•cos60°，所以．…（5分）由AB ﹣AC ＜BC ，得．又因为 ＞0，所以x ＞1．所以函数的定义域是（1，+∞）．…（6分）（2）M=30•（2y ﹣1）+40x ．…（8分）因为．（x ＞1），所以M=30即 M=10．…（10分）令t=x ﹣1，则t ＞0．于是M （t ）=10（16t+），t ＞0，…（12分）由基本不等式得M （t ）≥10（2）=490，当且仅当t=，即x=时取等号．…（15分）答：当x=km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M 为490万元．…（16分）20．（16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =n 2﹣4n ，数列{b n }中，b 1=对任意正整数．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n •b n +μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q 的值，若不存在，请说明理由； （3）求证：．【解答】解：（1）当n=1时，a 1=S 1=﹣3，…（1分） 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣4n ﹣（n ﹣1）2+4（n ﹣1）， 即a n =2n ﹣5，…（3分）n=1也适合，所以a n =2n ﹣5．…（4分） （2）法一：假设存在实数μ，使数列{3n •b n +μ}是等比数列，且公比为q ．…（5分）因为对任意正整数，，可令n=2，3，得 b 2=，b 3=﹣．…（6分）因为{3n b n +μ}是等比数列，所以=，解得 μ=﹣ …（7分）从而 ===﹣3 （n ≥2）…（9分）所以存在实数μ=﹣，公比为q=﹣3．…（10分）法二：因为对任意正整数．所以，设3n b n +μ=﹣3（3n ﹣1b n ﹣1+μ），则﹣4μ=1，…（8分）所以存在，且公比．…（10分）（3）因为a 2=﹣1，a 3=1，所以，，所以，即，…（12分）于是b 1+b 2+…+b n =+++…===…（13分）当是奇数时：b 1+b 2+…+b n =，关于递增，得≤b 1+b 2+…+b n ＜．…（14分）当是偶数时：b 1+b 2+…+b n =，关于递增，得≤b 1+b 2+…+b n．…（15分）综上，≤b 1+b 2+…+b n．…（16分）。

2019-2020学年江苏省淮安市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为30的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（）A．9B．10C．11D．122．直线x﹣y+1＝0的倾斜角的大小为（）A．B．C．D．3．已知直线2x+3y﹣2＝0和直线mx+（2m﹣1）y＝0平行，则实数m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．34．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和A1B所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＝b cos A，则△ABC形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形6．已知棱长为的正方体的所有顶点在球O的球面上，则球O的体积为（）A．B．C．D．4π7．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积S＝．若c＝2，b sin C ＝4sin A，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．8．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高为．设酒杯上部分（圆柱）的体积为V1，下部分（半球）的体积为V2，则的值是（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则C的值可以是（）A．30°B．60°C．120°D．150°10．设α，β是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，下列选项中正确的有（）A．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β11．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k 的取值可以是（）A．﹣1B．﹣C．0D．112．如图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（）A．该市14天空气质量指数的平均值大于100B．此人到达当日空气质量优良的概率为C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为cm．14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点P在圆x2+（y﹣a）2＝4上，若满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则实数a的取值范围为．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，则＝，b的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某机器人兴趣小组有男生3名，记为a1，a2，a3有女生2名，记为b1，b2，从中任意选取2名学生参加机器人大赛．（1）求参赛学生中恰好有1名女生的概率；（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B的值；（2）若cos A＝，求sin C的值．19．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为3，且与直线4x+3y+7＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝x+1与圆C相交于点A，B，求△ACB的面积．20．工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据上表数据计算得，，，，求回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，若该产品的单价被定为8.7元，且该产品的成本是4元/件，求该工厂获得的利润．（利润＝销售收入﹣成本）附：回归方程中，系数a，b为：，．21．如图，三棱锥P﹣ABC中，棱PA垂直于平面ABC，∠ACB＝90°．（1）求证：BC⊥PC；（2）若PA＝AB＝2，直线PC与平面ABC所成的角的正切值为，求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．22．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交于点Q．（1）若过点P的直线l1与圆O相切，求直线l1的方程；（2）若过点P的直线l2与圆O交于不同的两点A，B．①设线段AB的中点为M，求点M纵坐标的最小值；②设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，问：k1+k2是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为30的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（）A．9B．10C．11D．12【分析】由题意用样本容量乘以高二年级的学生人数占的比例，即为所求．解：由题意可得高二年级的学生人数占的比例为＝，则应从高二年级抽取的学生人数为30×＝10，故选：B．2．直线x﹣y+1＝0的倾斜角的大小为（）A．B．C．D．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．解：直线x﹣y+1＝0的斜率为1，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），由tanθ＝1，得．故选：B．3．已知直线2x+3y﹣2＝0和直线mx+（2m﹣1）y＝0平行，则实数m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据两直线平行，它们的斜率相等，解方程求得m的值．解：∵直线l1：2x+3y﹣2＝0和直线l2：mx+（2m﹣1）y+1＝0平行，∴﹣＝﹣，解得m＝2，故选：C．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和A1B所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】法一：（几何法）连结A1C1、BC1，由A1C1∥AC，得∠BA1C1是异面直线A1B 与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与AC所成角．法二：（向量法）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AC所成角．【解答】解法一：（几何法）连结A1C1、BC1，∵A1C1∥AC，∴∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），∵A1C1＝A1B＝BC1，∴∠BA1C1＝60°，∴异面直线A1B与AC所成角是60°．解法二：（向量法）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A1（1，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），C（0，1，0），＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，1，0），设异面直线A1B与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，∴异面直线A1B与AC所成角是60°．故选：C．5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＝b cos A，则△ABC形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【分析】利用正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（A﹣B）的值为0，由A和B都为三角形的内角，得出A﹣B的范围，进而利用特殊角的三角函数值得出A﹣B＝0，即A＝B，利用等角对等边可得a＝b，即三角形为等腰三角形．解：∵a cos B＝b cos A，由正弦定理可得：sin A cos B＝sin B cos A，即sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0，即A＝B，∴a＝b，则△ABC的形状是等腰三角形，故选：A．6．已知棱长为的正方体的所有顶点在球O的球面上，则球O的体积为（）A．B．C．D．4π【分析】易知，正方体的外接球的球心为正方体的体对角线的交点，体对角线长即为球的直径，由此可求出球的半径，则体积可求．解：设球的半径为R，则由已知得：，故R＝1，所以球的体积为：．7．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积S＝．若c＝2，b sin C ＝4sin A，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】首先利用正弦定理的应用求出b＝2a，进一步利用二次函数的性质和不等式的应用求出最大值．解：b sin C＝4sin A，利用正弦定理bc＝4a，由于c＝2，整理得b＝2a，所以设y＝＝＝，当时，，所以．故选：D．8．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高为．设酒杯上部分（圆柱）的体积为V1，下部分（半球）的体积为V2，则的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知可得圆柱的底面半径，再由圆柱与球的体积公式分别表示出V1，V2，则解：由题意可知，上部分圆柱的底面半径为R，圆柱的高为，则酒杯上部分（圆柱）的体积为V1＝；下部分（半球）的体积为V2＝．则＝．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则C的值可以是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】直接根据正弦定理即可求出．解：△ABC中，B＝30°，AB＝2＞2＝AC，由正弦定理可得＝，∴sin C＝＝＝，∵0＜C＜180°，∴C＝60°或120°，故选：BC．10．设α，β是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，下列选项中正确的有（）A．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β【分析】对于A，由线面平行的判定定理得m∥α；对于B，α与β相交或平行；对于C，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则线面垂直的判定定理得n⊥β．解：由α，β是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，知：对于A，若m∥n，n⊂α，m⊄α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故A正确；对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则线面垂直的判定定理得n⊥β，故D正确．故选：ACD．11．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k 的取值可以是（）A．﹣1B．﹣C．0D．1【分析】由圆的方程可得圆心坐标及半径，进而求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和半个弦长构成直角三角形可得求出弦长的表达式，由题意可得k的取值范围，进而选出答案．解：由圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4可得圆心C的坐标为（3，2），半径r为2，圆心C到直线y＝kx+3即kx﹣y+3＝0的距离d＝＝，所以弦长MN＝2＝2≥2，即≤1，解得﹣≤k≤0，故选：BC．12．如图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（）A．该市14天空气质量指数的平均值大于100B．此人到达当日空气质量优良的概率为C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大【分析】结合所给统计图，逐一分析即可解：该市14天空气质量指数的平均值＝＝113.5＞100，故A正确；6月1日至6月13日中空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．空气质量优良的天数为6，故其概率为，故B正确；此人在该市停留期间两天的空气质量指数（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P＝，故C正确；方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大，故D正确．故选：ABCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为cm．【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．解：半径为2的半圆弧长为2π，圆锥的底面圆的周长为2π，其轴截面为等腰三角形如图：圆锥的底面半径为：1∴圆锥的高h＝＝．故答案是．14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为30．【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10＝1，解得a＝0.03∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10＝30．故答案为：30．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点P在圆x2+（y﹣a）2＝4上，若满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则实数a的取值范围为（﹣，）．【分析】根据题意，设P（x，y），若PA＝2PO，则有（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2），变形分析可得P的轨迹以及轨迹方程，又由满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则圆（x+1）2+y2＝4与圆x2+（y﹣a）2＝4相交，由圆与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，设P（x，y），若PA＝2PO，则有（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2），变形可得：x2+y2+2x﹣3＝0，即（x+1）2+y2＝4，则P的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，半径r＝2的圆，点P在圆x2+（y﹣a）2＝4上，又由x2+（y﹣a）2＝4，其圆心为（0，a），半径R＝2，若满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则圆（x+1）2+y2＝4与圆x2+（y﹣a）2＝4相交，则有0＜1+a2＜16，解可得：﹣＜a＜，即a的取值范围为（﹣，）；故答案为：（﹣，）．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，则＝6，b的取值范围为（3，3）．【分析】先根据正弦定理，结合二倍角公式即可求出，可得b＝6cos A，再求出A的取值范围，即可求出b的范围．解：由正弦定理可得＝＝＝，∴＝6，∴b＝6cos A，∵△ABC为锐角三角形，∴30°＜B＜90°，30°＜A＜90°，∴30°＜2A＜90°，∴30°＜A＜45°，∴＜cos A＜，∴3＜6cos A＜3，∴3＜b＜3，故答案为：6，（3，3）．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某机器人兴趣小组有男生3名，记为a1，a2，a3有女生2名，记为b1，b2，从中任意选取2名学生参加机器人大赛．（1）求参赛学生中恰好有1名女生的概率；（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．【分析】（1）从5名学生中任选取2名学生，利用列举法求出基本事件有10个，设事件A表示“参赛学生中恰好有1名女生”，利用列举求出事件A包含的基本事件有6个，由此能求出参赛学生中恰好有1名女生的概率．（2）设事件B表示“参赛学生中至少有1名女生”，利用列举法求出事件B包含的基本事件有7个，由此能求出参赛学生中至少有1名女生的概率．解：（1）从5名学生中任选取2名学生，基本事件有10个，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），设事件A表示“参赛学生中恰好有1名女生”，则事件A包含的基本事件有6个，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），∴参赛学生中恰好有1名女生的概率P（A）＝＝．（2）设事件B表示“参赛学生中至少有1名女生”，则事件包含的基本事件有7个，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），∴参赛学生中至少有1名女生的概率P（B）＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B的值；（2）若cos A＝，求sin C的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算得解sin C的值．解：（1）∵a2+c2﹣b2＝ac，∴由余弦定理可得cos B＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵cos A＝，A∈（0，π），∴sin A＝＝，∴sin C＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sin A cos+cos A sin＝＝．19．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为3，且与直线4x+3y+7＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝x+1与圆C相交于点A，B，求△ACB的面积．【分析】（1）设C（a，0），利用圆心到直线的距离为半径3得到＝3，易得a的值；（2）利用点的直线的距离公式和两点间的距离公式求得相关线段的长度，然后结合三角形的面积公式解答．解：（1）设C（a，0），其中a＞0，因为圆C的半径问3，且与直线4x+3y+7＝0相切，所以＝3．解得a＝2（负值舍去）．得到圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝9；（2）由直线l：y＝x+1知圆心C到直线l的距离为d＝＝．所以AB＝2＝2＝3．所以△ACB的面积为AB•d＝＝．20．工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据上表数据计算得，，，，求回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，若该产品的单价被定为8.7元，且该产品的成本是4元/件，求该工厂获得的利润．（利润＝销售收入﹣成本）附：回归方程中，系数a，b为：，．【分析】（1）由已知求得与的值，则y关于x的线性回归方程可求；（2）由定价求出产量，进一步求得利润．解：（1），，＝，＝80+20×8.5＝250．∴y关于x的线性回归方程为；（2）∵产品定价为8.7元，∴估计产量为﹣20×8.7+250．利润为（﹣20×8.7+250）（8.7﹣4）＝357.2万元．故工厂获得的利润为357.2万元．21．如图，三棱锥P﹣ABC中，棱PA垂直于平面ABC，∠ACB＝90°．（1）求证：BC⊥PC；（2）若PA＝AB＝2，直线PC与平面ABC所成的角的正切值为，求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．【分析】（1）推导出BC⊥AC，BC⊥PA，从而得到BC⊥平面PAC，由此能证明BC⊥PC．（2）过A作AH⊥PC于H，推导出BC⊥PH，AH⊥平面PBC，从而∠ABH是直线AB 与平面PBC所成角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，∵PA∩AC＝A，PA、AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂面PAC，∴BC⊥PC．（2）如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，AH⊂平面PAC，∴BC⊥PH，∵PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成角，∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC与平面ABC所成角，∵tan∠PCA＝＝，PA＝2，∴AC＝．∴Rt△PAC中，AH＝＝，∵AB＝2，∴Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．22．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交于点Q．（1）若过点P的直线l1与圆O相切，求直线l1的方程；（2）若过点P的直线l2与圆O交于不同的两点A，B．①设线段AB的中点为M，求点M纵坐标的最小值；②设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，问：k1+k2是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）当过P的直线l1的斜率不存在时可得与圆O相切，当直线l1的斜率存在时，设直线的方程，求出圆心O到直线的距离等于半径可得斜率的值，进而求出过P的切线的方程；（2）①设弦AB的中点为M可得OM⊥MP，所以可得数量积•＝0，可得M的轨迹方程，与圆O联立求出交点坐标，可得M的纵坐标的最小值；②设A，B的坐标，直线l1与圆O联立求出两根之和及两根之积，进而求出k1+k2的代数式，将两根之和及两根之积代入可得为定值．解：（1）当直线l1的斜率不存在时，则直线l1的方程为：x＝2，圆心O到直线l1的距离d＝2＝r，显然x＝2符合条件，当直线l1的斜率存在时，由题意设直线l1的方程为y﹣4＝k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k+4＝0，圆心O到直线l1的距离为d＝＝2，解得k＝，所以切线方程为x﹣y﹣2+4＝0，即3x﹣4y+10＝0，综上所述：过P点的切线方程为x＝2或3x﹣4y+10＝0；（2）①设点M（x，y），因为M是弦AB的中点，所以MO⊥MP，又因为＝（x，y），＝（x﹣2，y﹣4），所以x（x﹣2）+y（y﹣4）＝0，即x2+y2﹣2x﹣4y＝0，联立解得或，又因为M在圆O的内部，所以点M的轨迹是一段圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0以（﹣，）和（2，0）为端点的一段劣弧（不包括端点），在圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0方程中，令x＝1，得y＝2，根据点（1，2﹣）在圆O内部，所以点M的纵坐标的最小值为2﹣；②联立，整理可得（1+k2）x2﹣4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以k1+k2＝+＝+＝2k++＝2k+＝2k+＝2k﹣＝﹣1，所以k1+k2为定值﹣1．。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是38，则该阴影区域的面积是（ ）A ．3B ．32C ．2D ．342．在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．一个体积为123的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）A ．63B ．3C ．83D ．12 4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．5．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为A ．23B ．43C ．3D ．36．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4πC ．14π-D ．与a 的值有关联7．已知数列{}n a 满足1212,(*)n n a a a a n +=>∈N ，则（ ）A ．35a a ＞B ．35a a <C ．24a a >D ．24a a <8．各项不为零的等差数列}{n a 中，23711440a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．649．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( )A ．29cmB ．210.5cmC ．213.5cmD ．217.5cm10．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为A ．112B ．51C ．28D ．1811．在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，3b =，120C =︒，则其面积等于（ ）A ．32B ．3C ．33D ．3312．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i <二、填空题：本题共4小题13．已知无穷等比数列{}n a 的所有项的和为3，则首项1a 的取值范围为_____________.14．已知当x θ=时，函数22()(1)sin cos (1)cos 2222x x x f x a a a =+--+-（a R ∈且1a >）取得最大值，则tan 2θ=-时，a 的值为__________．15．在直角坐标系xOy 中，直线1:1l y kx =-与直线2l 都经过点(3,2)，若12l l ⊥，则直线2l 的一般方程是_____.16．给出下列四个命题：①正切函数tan y x = 在定义域内是增函数；②若函数()3cos(2)6f x x π=+，则对任意的实数x 都有55()()1212f x f x ππ+=-； ③函数cos sin ()cos sin x x f x x x+=-的最小正周期是π； ④cos()y x =-与cos y x =的图象相同.以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省淮安市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·揭阳期中) 下列四式中不能化简为的是（）A .B .C .D .2. （2分）已知，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知A（x，2），B（5，y﹣2），若 =（4，6），则x、y值分别为（）A . x=﹣1，y=0B . x=1，y=10C . x=1，y=﹣10D . x=﹣1，y=﹣104. （2分）若sinα+cosα= ，则α在（）A . 第一象限B . 第一、二象限C . 第二象限D . 第二、四象限5. （2分）已知,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，等于（）A .B .C .D .6. （2分）某企业有职工450人，其中高级职工45人，中级职工135人，一般职工270人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（）A . 5，10，15B . 3，9，18C . 3，10，17D . 5，9，167. （2分） (2016高一下·烟台期中) 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少有一个白球；至少有一个红球B . 至少有一个白球；红、黑球各一个C . 恰有一个白球；一个白球一个黑球D . 至少有一个白球；都是白球8. （2分）(2017·泉州模拟) 执行一次如图所示的程序框图，若输出i的值为0，则下列关于框图中函数f （x）（x∈R）的表述，正确的是（）A . f（x）是奇函数，且为减函数B . f（x）是偶函数，且为增函数C . f（x）不是奇函数，也不为减函数D . f（x）不是偶函数，也不为增函数9. （2分）以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为（）A . 5，2B . 5，5C . 8，5D . 8，810. （2分） (2019高一上·南海月考) 已知角终边上一点的坐标为（），则的值是（）A . 2B . -2C .D .11. （2分）设空间四点O，A，B，P满足 =m +n ，其中m+n=1，则（）A . 点P一定在直线AB上B . 点P一定不在直线AB上C . 点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D . 与的方向一定相同12. （2分）要得到函数y=sinx的图象，只需将函数的图象（）A . 向右平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向左平移个单位二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）已知f（cosx）=cos5x ，则f（sinx）=________．14. （1分） (2017高二下·淮安期末) 已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为________．15. （1分）设 =（1，2）， =（﹣1，x），若∥ ，则x=________．16. （1分）化简 =________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2019高一下·上海月考) 如图是单位圆上的点，且点在第二象限. 是圆与轴正半轴的交点，点的坐标为，为直角三角形.（1）求；（2）求的长度.18. （15分） (2017高一上·巢湖期末) 已知向量 =（cosx+sinx，1）， =（cosx+sinx，﹣1）函数g （x）=4 • ．（1）求函数g（x）在[ ， ]上的值域；（2）若x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；（3）求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x﹣4＜0对x∈（﹣∞，λμ）恒成立．19. （10分）一小袋中有3只红色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），从袋中随机摸出3个球，（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个红球1个白球的概率是多少？20. （10分） (2016高一下·南市期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知向量 =（，﹣）， =（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥ ，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．21. （10分）(2017·汕头模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求sinAcosB的值；（2）若，求B．22. （15分）(2017高一下·沈阳期末) 已知，且，向量， .（1）求函数的解析式，并求当时，的单调递增区间；（2）当时，的最大值为5，求的值；（3）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

2024届江苏省淮安市淮阴中学高一数学第二学期期末检测模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知()y f x =是偶函数，且0x >时4()f x x x=+.若[]3,1x ∈--时，()f x 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -=（） A ．2B ．1C ．3D ．322．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，13n n S S +=对任意的正整数n 均成立，则5a =（ ） A ．162B ．54C ．32D ．163．如图所示，在四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是（ ）①A C BD '⊥；②90BA C ∠='； ③CA '与平面A BD '所成的角为30； ④四面体A BCD '-的体积为13. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．已知实数x ，y 满足1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有（ ）A ．最大值eB eC ．最小值eD e 6．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h ），其中：三棱锥的体积为V ，四棱锥的底面是边长为a 的正方形，圆锥的底面半径为r ，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（ ） A ．3V a h =，3V r π=，1a r π= B ．3V a h =，3V r h π=，ar π= C ．3V a h =，3Vr hπ=，a r π=D ．3V a h =，3Vr h π=a rπ= 7．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =32=AD 132AA =线1AC 与CD 所成角的大小为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．3π或23π 8．用数学归纳法证明1+a +a 2+…+a n +1=211n a a+-- （a ≠1，n ∈N *），在验证n =1成立时，左边的项是（ ） A ．1B ．1+aC ．1+a +a 2D ．1+a +a 2+a 49．同时抛掷两个骰子，则向上的点数之和是6的概率是（ ） A ．19B ．16C ．536D ．153610．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知3个县人口数之比为2:3:5，如果人口最多的一个县抽出60人，那么这个样本的容量等于（ ） A ．96B ．120C ．180D ．240二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省淮安市淮阴中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f （x））=x的解集为( )A．{1} B．{2} C．{3} D．?参考答案：C【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】把x=1、2、3分别代入条件进行检验，通过排除与筛选，得到正确答案．【解答】解：当x=1时，g（f（1））=g（2）=2，不合题意．当x=2时，g（f（2））=g（3）=1，不合题意．当x=3时，g（f（3））=g（1）=3，符合题意．故选C．【点评】本题考查函数定义域、值域的求法．2. 已知等比数列{a n}的公比q＜0，其前n 项的和为S n，则a9S8与a8S9的大小关系是（）A．a9S8＞a8S9 B．a9S8＜a8S9 C．a9S8≥a8S9 D．a9S8≤a8S9参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将两个式子作差，利用等比数列的前n项和公式及通项公式将差变形，能判断出差的符号，从而得到两个数的大小．【解答】解：a9S8﹣a8S9=﹣==﹣a12q7∵q＜0∴﹣a12q7＞0∴S8a9＞S9a8故选A．3. （3分）已知直线a?α，给出以下三个命题：①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（）A．②B．③C．①②D．①③参考答案：D考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定．专题：分析法．分析：对于①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；由面面平行显然推出线面平行，故正确．对于②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为一个线面平行推不出面面平行．故错误．对于③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，因为线面不平面必面面不平行．故正确．即可得到答案．解答：解①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a?α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a?α使直线a∥平面β．故错误．③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．故选D．点评：此题主要考查平面与平面平行的性质及判定的问题，属于概念性质理解的问题，题目较简单，几乎无计算量，属于基础题目．4. 已知函数，则与的大小关系是:A. B. C. D.不能确定参考答案：A略5. 明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y 与x之间函数关系的大致图象是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由题意可以得出各段过程中y随x变化而变化的趋势，即可得答案.【详解】由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x增大而减少.故选：A 【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想，属于基础题.6. 已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0参考答案：B【考点】3F：函数单调性的性质；3W：二次函数的性质．【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B7. 函数y=log（x﹣2）（5﹣x）的定义域是（）A．（3，4）B．（2，5）C．（2，3）∪（3，5）D．（﹣∞，2）∪（5，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由对数的运算性质列出不等式组，求解即可得答案．【解答】解：由，解得2＜x＜5且x≠3．∴函数y=log（x﹣2）（5﹣x）的定义域是：（2，3）∪（3，5）．故选：C．8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数．令，，，则（）A．B．C．D．参考答案：A9. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A． 4 B． 8 C． 16 D ． 20参考答案：C10. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.48B.C.D.80参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________参考答案：3分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案为：3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.12. 在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为、，若2a sin B＝b，则角A等于________．参考答案：略13. 若，全集，则___________。

江苏省淮阴中学2022-2022学年第二学期高一期末考试试题数学一、填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分） 1、不等式2280x x --≤的解集为 ▲2、在ABC ∆中,::1:1:4,A B C =则::a b c = ▲3、等差数列{}n a 中，55,10a ==5前5项和S ，则其公差d = ▲4、已知扇形的周长为6cm ，圆心角为1弧度，则该扇形的面积为 ▲ 2cm 5、在ABC ∆中，若cos cos sin a b cA B C==，则ABC ∆是 ▲ 三角形 6、已知O 为原点，P 为直线2450x y --=上的点，min OP = ▲7、设，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数2z x y =+的最大值为 ▲8、如图右面的程序框图，最后输出的是 ▲9、长、宽、高分别为4、3、2的长方体的外接球的表面积为 ▲ 10、若直线20mx y +-=与以()()1,432A B -和，为端点的线段AB 无．公共点，则m 的取值范围为 ____▲_____11、已知圆C 方程为：()()22319x y -++=，则圆C 关于直线10x y -+= 对称的圆的标准方程为 ▲12、设等差数列{}n a 的公差为负数，若1231231580a a a a a a ++==，，则8910a a a ++=_▲13、数列｛n a ｝中，120002nn a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,*N n ∈,则}{n a 的前 ▲ 项乘积．．最大 14、如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,4,5PA PB PC ===设M 是三棱锥内部一点,定义()(,,,)f M m n p q =,其中m 、n 、p 、q 分别是三棱锥M ABC -、M PAB -、 M PBC -、M PCA -的体积若()(,,3,5)f M x y =,且1252a x y +≥恒成立,则正实数．．．a 的取值范围为 ▲ 二、解答题：（本大题共90分）15、ABC ∆中，设内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，22)4cos()4cos(=-++ππC C （1）求角C 的大小；（2）若32=c 且B A sin 2sin =，求ABC ∆的面积16、已知两直线()1:3453l m x y m ++=- ，()2:258l x m y ++= ，当m 为何值时，两直线 （1）平行；（2）垂直；（3）相交，且交点在y 轴左方17、已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D E F G 、、、分别是1CC 、BC 、1111B C 、A C 的中点（1） 求证：FG//平面ABD （2） 求证：E ⊥1BD 平面AB （3） 求点E 到平面ABD 的距离18、汽车在公路上行驶时，安全车距()d m 正比于车速()/v km h 的平方，当100/v km h=时，安全车距为20m（1）求安全车距()d m 与车速()/v km h 的关系式；（2）若车身长为5m ，当车速为多少时，一小时内的车流量最大 （车流量=+距离安全车距车身）19、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S ＝22(1,2,3)na n，数列}{n b 中，11b ，点1(,)n n P b b 在直线20x y 上（1）求1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项n a 和n b ；（3）设n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求满足200n T 的最小正整数n20、已知()()()001102ABC A B C ∆的三个顶点坐标分别为，、，、，,ABC ∆的外接圆为圆M（1）求圆M 的标准方程；（2）如果过点()1,0N -的直线l 交圆于E F 、两点，且EF =5，求直线l 的方程； （3）设()()(),0,5,041P t Q t t +-≤≤- ，若,PR QR 是圆M 的切线，求PQR ∆面积的最小值江苏省淮阴中学2022-2022学年度第二学期期末考试高一数学试题答题纸一、填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1 2 3 45 6 7 89 10 1112 13 14二、解答题：（本大题共90分）15、16、17、19、江苏省淮阴中学2022-2022学年第二学期高一期末考试试题数学参考答案及评分标准一、 填空题1 []2,4-2 3324 25 等腰直角6 714 8 1269 29π 10 02m << 11 ()()22249x y ++-=12 48- 13 10 14 16a ≥二、解答题15、解：（1）22)4cos()4cos(=-++ππC C 224cos cos 2=πC 21cos =∴Cπ<<∆C ABC 0,中在 3π=∴C ………………7分（2）B A sin 2sin = b a 2=∴C ab b a c cos 2222-+= 2222321224)32(b bb b b =⋅⋅-+=∴ 2=∴b 4=∴a32sin 21==∴∆C ab S ABC ………………14分16、解：（1）71m =--或………………………4分1m =-时两直线重合，舍，7m ∴=-………………5分（2）133m =-………………9分（3）由（1）可知，相交时71m m ≠-≠-且………………12分由两方程消去y ，得，377m x m --=+ 3707m m --∴<+773m m ∴<->-或……13分 ()()7,7,11,3m ⎛⎫∴∈-∞----+∞ ⎪⎝⎭………………14分17、解：（1）由FG//AB 加以证明………………………5分（2）⊥⊥1由BD B E,BD AE 加以证明………………………10分（3）6D ABE V V -==E-ABD ………………………12分1,634ABD V S h h ∆==⨯=E-ABD 得………………………15分 18、解 ：（1）设()20d kv v =>，则2120100500k k =∴=()210500d v v ∴=>…………………8分 （2） 设一小时内的车流量为y （辆），由题意，得()210001000055500500v y v v v v ==>++ …………………11分515005v v +≥==，“”当且仅当v=50时成立 ∴当v=50时y 取最大值5000答： …………………………15分 19、解：（1）1232,4,8a a a ………………2分 （2）11122,22,(2)nn nnnnn S a S a S S a n又1122022,nn n nnn n a a a a a na a 则则即数列是等比数列11112222n na S a a a 由于则故………………6分11,2020n nn nP b b x y b b 在直线上即数列}{n b 是等差数列，又11=b ，12-=∴n b n ………………8分 （3）(21)2,n n c n -＝231122123252(21)2,n n n n T a b a b a b n ∴+++=⨯+⨯+⨯++-＝23121232(23)2(21)2n n n T n n +∴=⨯+⨯++-+-因此：23112222222)(21)2nn n T n +-=⨯⨯⨯⨯--＋(＋＋＋即：341112(222(21)2n n n T n ++-=⨯++++--）62)32(1+-=∴+n n n T ………13分11200,23)26200,(23)2194n n n T n n ++>-+>->即：（于是作商或作差研究数列(){}1232n n +-的单调性：单调增所以所求n 值为5 …………………………………………………16分 20、解：（1）圆M 的方程为.1)1(22=-+y x ………………4分 （2）设()01l y k x -=+方程为:，即0kx y k -+=M l ∴=圆心到的距离122k ∴=或……8分112222l y x y x ∴=+=+所求方程为或………………10分（3）法一，当直线PR QR 、的斜率都存在，即14-<<-t 时直线PR 的斜率2222tan 2,111PRtt k MPO t t--=∠==--同理直线QR 的斜率22(5).(5)1QR t k t -+=+- 所以直线PR 的方程为），t x t t y ---=(122直线QR 的方程为).5(1)5()5(22---++-=t x t t y解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---++-=---=)5(1)5()5(2),(1222t x t t y t x t ty 得 (1)5102,1552222+++=+++=t t t t y t t t x 所以.152215102222++-=+++=t t t t t t y ………………14分 因为,14-<<-t 所以,3154212-<++≤-t t 所以382150<≤y ． 故当25-=t 时，PQR ∆的面积取最小值211252150521=⨯⨯．当直线PR QR 、的斜率有一个不存在时，即4-=t 或1-=t 时，易求得PQR ∆的面积为320．165(23)2(2532448n n n +=-=⨯当时，－）＝，由数列单调性说明以后数逐渐变大154(23)2(2432160n n n +=-=⨯又由于当时，－）＝，综上，当25-=t 时，PQR ∆的面积的最小值为21125．………………16分 法二，（将三角形进行分割，利用图形的几何特点处理）。