高等数学课后习题及参考答案(第十章)

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

1 / 26 高等数学课后习题及参考答案

（第十章）

习题 101

1 设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L 在点(x y)处它的线密度为

(x y) 用对弧长的曲线积分分别表达

(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix Iy

(2)这曲线弧的重心坐标 

解 在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds) 设(x y)为小弧段ds上任一点.

曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为

dIxy2(x y)ds dIyx2(x y)ds 

曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为

 

曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为

dMxy(x y)ds dMyx(x y)ds 

曲线L的重心坐标为

 

2 利用对弧长的曲线积分的定义证明 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2 则



证明 划分L 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点 则



令max{si}0 上式两边同时取极限



即得 

3 计算下列对弧长的曲线积分

(1) 其中L为圆周xacos t  yasin t (0t2)

解





(2) 其中L为连接(1 0)及(0 1)两点的直线段

解 L的方程为y1x (0x1)

 文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

2 / 26 (3) 其中L为由直线yx及抛物线yx2所围成的区域的整个边界

解 L1 yx2(0x1) L2 yx(0x1) 



(4) 其中L为圆周x2y2=a2 直线yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界

解 LL1L2L3 其中

L1 xx y0(0xa)

L2 xa cos t ya sin t 

L3 xx yx 

因而 



(5)dszyx2221 其中为曲线xetcos t  yetsin t  zet上相应于t从0变到2的这段弧

解





(6) 其中为折线ABCD 这里A、B、C、D依次为点(0 0 0)、

(0 0 2)、(1 0 2)、(1 3 2)

解 ABBCCD 其中

AB x0 y0 zt (0t1)

BC xt y0 z2(0t3)

CD x1 yt z2(0t3)

故

.

(7) 其中L为摆线的一拱xa(tsin t) ya(1cos t)(0t2)

解



(8) 其中L为曲线xa(cos tt sin t) ya(sin tt cos t)(0t2)

解



4 求半径为a 中心角为2的均匀圆弧(线密度1)的重心 文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

3 / 26 解 建立坐标系如图104所示 由对称性可知 又

sina

所以圆弧的重心为)0 ,sin(a

5 设螺旋形弹簧一圈的方程为xacos t yasin t zkt 其中012

它的线密度(x y z)x2y2z2 求

(1)它关于z轴的转动惯量Iz (2)它的重心

解 

(1)



(2)









故重心坐标为

习题 102

1 设L为xOy面内直线xa上的一段 证明 

证明 设L是直线xa上由(a b1)到(a b2)的一段

则L xa yt t从b1变到b2 于是



2. 设L为xOy面内x轴上从点(a 0)到(b 0)的一段直线

证明

证明L xx y0 t从a变到b 所以



3 计算下列对坐标的曲线积分

(1) 其中L是抛物线yx2上从点(0 0)到点(2 4)

的一段弧

解 L yx2 x从0变到2 所以



(2) 其中L为圆周(xa)2y2a2(a0)及x轴所围成的在第

一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)

解 LL1L2 其中 文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

4 / 26 L1 xaacos t yasin t  t从0变到

L2 xx y0 x从0变到2a

因此



(3) 其中L为圆周xRcost yRsint上对应t从0到

的一段弧

解



(4)Lyxdyyxdxyx22)()( 其中L为圆周x2y2a2(按逆时针方向绕行)

解 圆周的参数方程为 xacos t yasin t t从0变到2 所以

Lyxdyyxdxyx22)()(



(5) 其中为曲线xk yacos zasin上对

应从0到的一段弧

解 022]coscos)sin(sin)[(daaaakkydzzdydxx



(6) 其中是从点(1 1 1)到点(2 3 4)的

一段直线

解 的参数方程为x1t y12t z13t t从0变到1



(7) 其中为有向闭折线ABCA  这里的A B C

依次为点(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

解 ABBCCA 其中

AB xx y1x z0 x从1变到0

BC x0 y1z zz z从0变到1

CA xx y0 z1x x从0变到1

故



(8) 其中L是抛物线yx2上从(1 1) 文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

5 / 26 到(1 1)的一段弧

解 L xx yx2 x从1变到1 故

4 计算 其中L是

(1)抛物线yx2上从点(1 1)到点(4 2)的一段弧

解 L xy2 yy y从1变到2 故



(2)从点(1 1)到点(4 2)的直线段

解 L x3y2 yy y从1变到2 故

(3)先沿直线从点(1 1)到(1 2) 然后再沿直线到点(4 2)的折线

解 LL1L2 其中

L1 x1 yy y从1变到2

L2 xx y2 x从1变到4

故

dyxydxyxdyxydxyxLL)()()()(21



(4)沿曲线x2t2t1 yt21上从点(1 1)到(4 2)的一段弧

解 L x2t2t1 yt21 t从0变到1 故



5 一力场由沿横轴正方向的常力F所构成 试求当一质量为m

的质点沿圆周x2y2R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时

场力所作的功

解 已知场力为F(|F| 0) 曲线L的参数方程为

xR cos  yR sin 

从0变到 于是场力所作的功为



6 设z轴与力方向一致 求质量为m的质点从位置(x1 y1 z1)

沿直线移到(x2 y2 z2)时重力作的功

解 已知F(0 0 mg) 设为从(x1 y1 z1)到(x2 y2 z2)的直线

则重力所作的功为 文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

6 / 26 

7 把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线

积分 其中L为

(1)在xOy面内沿直线从点(0 0)到(1 1)

解 L的方向余弦

故



(2)沿抛物线yx2从点(0 0)到(1 1)

解 曲线L上点(x y)处的切向量为(1 2x) 单位切向量为



故



(3)沿上半圆周x2y22x从点(0 0)到(1 1)

解 L的方程为 其上任一点的切向量为



单位切向量为



故



8 设为曲线xt  yt2 zt3上相应于t从0变到1的曲线弧

把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分

解 曲线上任一点的切向量为

(1 2t 3t2)(1 2x 3y)

单位切向量为





习题 103

1 计算下列曲线积分 并验证格林公式的正确性

(1) 其中L是由抛物线yx2及y2x所围

成的区域的正向边界曲线

解 LL1L2 故