复 数 专题训练
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全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
复 数
1．i是虚数单位，复数1－3i1－i＝________.
解析：1－3i1－i＝1－3i1＋i1－i1＋i＝4－2i2＝2－i.
答案：2－i
2．(优质试题·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知复数z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z的共轭复数为________．
解析：因为z＝(2－i)2＝3－4i，所以z＝3＋4i.
答案：3＋4i
3．(优质试题·全国丙卷改编)若z＝4＋3i，则z|z|＝________.
解析：∵z＝4＋3i，∴z＝4－3i，|z|＝42＋32＝5，
∴z|z|＝4－3i5＝45－35i.
答案：45－35i
4．复数|1＋2i|＋1－3i1＋i2＝________.
解析：原式＝12＋22＋1－3i21＋i2＝3＋－2－23i2i＝3＋i－3＝i.
答案：i
5．(优质试题·苏州一调)若复数(a＋i)2对应的点在y轴的负半轴上(其中i是虚数单位)，则实数a的值是________．
解析：因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai， 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
由条件得 a2－1＝0，2a＜0，从而a＝－1.
答案：－1
6．(优质试题·南京学情调研)已知复数z满足z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．
解析：因为z(1－i)＝2＋4i，所以z＝2＋4i1－i＝－1＋3i，故|z|＝10.
答案：10
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1．(优质试题·南京名校联考)若i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝1，则|2z－3|＝________.
解析：由(1－i)z＝1得z＝11－i＝1＋i2，则|2z－3|＝|－2＋i|＝5.
答案：5
2．已知实数a，b满足(a＋i)(1－i)＝3＋bi，则复数a＋bi的模为________．
解析：依题意，(a＋1)＋(1－a)i＝3＋bi，因此 a＋1＝3，1－a＝b，解得a＝2，b＝－1，所以a＋bi＝2－i，|a＋bi|＝|2－i|＝22＋－12＝5.
答案：5
3．定义运算a bc d＝ad－bc，则符合条件z 1＋i－i 2i＝0的复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在第________象限．
解析：由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝－i1＋i2i＝－12－12i，全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
∴z＝－12＋12i，其在复平面内对应的点在第二象限．
答案：二
4．已知复数z＝1＋2i1－i，则1＋z＋z2＋…＋z2 017＝________.
解析：∵z＝1＋2i1－i＝1＋2i1＋i2＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2 017＝1×1－z2 0181－z＝1－i2 0181－i＝1－i4×504·i21－i＝1＋i.
答案：1＋i
5．(优质试题·南通一调)若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，则a的值为________．
解析：因为|z|＝3，所以a2＋4＝3，所以a＝±5.
答案：±5
6．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z＋1z·z＝________.
解析：∵z＝1＋2i，∴z＝1－2i.
∴z＋1z·z＝z·z＋1＝5＋1＝6.
答案：6
7．已知复数z满足z＋2z－2＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：由z＋2z－2＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝－2－2i1－i，所以|z|＝|－2－2i||1－i|＝222＝2.
答案：2 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
8．已知a∈R，若1＋ai2－i为实数，则a＝________.
解析：1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2＋i＋2ai－a5＝2－a5＋1＋2a5i，
∵1＋ai2－i为实数，∴1＋2a5＝0，∴a＝－12.
答案：－12
9．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC―→＝λOA―→＋μOB―→ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：由条件得OC―→＝(3，－4)，OA―→＝(－1,2)，
OB―→＝(1，－1)，
根据OC―→＝λOA―→＋μOB―→得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，
解得 λ＝－1，μ＝2.
∴λ＋μ＝1.
10．计算：(1)－1＋i2＋ii3；
(2)1＋2i2＋31－i2＋i；
(3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2； 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
(4)1－3i3＋i2.
解：(1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i.
(2)1＋2i2＋31－i2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i2－i5＝15＋25i.
(3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i2i＋1＋i－2i＝1＋i－2＋－1＋i2＝－1.
(4)1－3i3＋i2＝3＋i－i3＋i2＝－i3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.
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1．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.
答案：－2
2．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________.
解析：z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos
45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin
60°i＝12＋32i.
答案：12＋32i
3．复数z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实数a的值． 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
解：z1＋z2＝3a＋5＋(a2－10)i＋21－a＋(2a－5)i
＝3a＋5＋21－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝a－13a＋5a－1＋(a2＋2a－15)i.
∵z1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
