概率论与数理统计期末试题与详细解答

《概率论与数理统计》期末试卷

一、填空题（每题4分，共20分）

1、假设事件A和B满足1)(ABP，则A和B的关系是_______________。

2、设随机变量)(~X，且,21XPXP则kXP_____________。

3、设X服从参数为1的指数分布，则)(2XE___________。

4、设),1,0(~),2,0(~NYNX且X与Y相互独立，则~YXZ___________。

5、),16,1(~),5,1(~NYNX且X与Y相互独立，令12YXZ，则YZ____。

二、选择题（每题4分，共20分）

1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）

A、323 B、83 C、161 D、81

2、随机变量X和Y的,0XY则下列结论不正确的是（ ）

A、)()()(YDXDYXD B、aX与bY必相互独立

C、X与Y可能服从二维均匀分布 D、)()()(YEXEXYE

3、样本nXXX,,,21来自总体X，,)(,)(2XDXE则有（ ）

A、2iX)1(ni都是的无偏估计 B、X是的无偏估计 C、)1(2niXi是2的无偏估计 D、2X是2的无偏估计

4、设nXXX,,,21来自正态总体),(2N的样本，其中已知，2未知，则下列不是统计量的是（ ）

A、iniX1min B、X C、niiX1 D、1XXn

5、在假设检验中，检验水平的意义是（ ）

A、原假设0H成立，经检验被拒绝的概率

B、原假设0H不成立，经检验被拒绝的概率

C、原假设0H成立，经检验不能拒绝的概率

D、原假设0H不成立，经检验不能拒绝的概率

三、计算题（共28分）

1、已知离散型随机变量的分布律为

X 1 2 3

kp

求：X的分布函数，（2）)(XD。（5分）

2、已知连续型随机变量X的分布函数为),(,arctan)(xxBAxF，求（1）常数A和B，（2）)11(Xp，（3）概率密度)(xf。（8分）

3、设随机变量321,,XXX相互独立，其中21],6,0[~XUX服从21的指数分布，)3(~3X，计算)32(321XXXD。（5分）

4、设nXXX21,是总体X的样本，求X的数学期望和方差2的矩估计量。（5分）

5、设随机变量X服从)1,0(N分布，求随机变量XeY的概率密度函数。（5分）

四、应用题（共32分）

1、 1、已知在10只晶体管中有2只次品，在其中任取两次，每次任取一只，不放回抽样。求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只正品，一只次品。（8分）

2、已知随机变量),(YX的分布律为

Y

X 1

2 3

1

2 1/3

1/6 1/9 1/18

问：（1）当,为何值时，X和Y相互独立。（2）求12YXP。（8分）

3、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为(%)

设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在01.0下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。（6041.4)4(005.0t）（8分）

4、若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用他们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的，若把每把钥匙试开一次后放回。求试开次数X的数学期望。（8分） 《概率论与数理统计》期末试卷答案

一、填空题（每题4分，共20分）

1、BA 2、) ... ,1,0( !22kkek 3、2 4、)3,0(N 5、32

二、选择题（每题4分，共20分）

1、B 2、B 3、B 4、C

5、A

三、计算题（共28分）

1、 3 132 132 0.5 2121 2.011 0)(xXPXPXpxXPXPxXPxxF

6.3)()()(22XEXEXD

2、解（1）因为 .1)( lim ,0)(limxXFxFx

所以.12)arctan(lim ,02)arctan(limBAxBABAxBAxx

解得1 21BA

（2） 21)4121()4121()1()1()11(FFXp

（3）xxxFxf ,)1(1)()(2

3、解：因为随机变量321,,XXX相互独立，所以随机变量3213,2,XXX也相互独立。

)32(321XXXD)(9)(4)(321XDXDXD 又由于]6,0[~1UX，所以12)06()(21XD

由于2X服从21的指数分布，所以4)(2XD

由于)3(~3X，所以3)(3XD

)32(321XXXD=12)06(2+463944

4、解：2222)]([)()(,)(XEXDXEXE

niiniiXnXn1222111

解得：221211)(1ˆ,1ˆSnnXXnXXnniinii

5、解 2221)(xXexf

yeLnyXPyePyYPyFyyfyYPyFyLnyLnyXYYY1.21 )(,00)(,0)(,02)(21

所以0 00 21)(2)(21yyeyfLnyY

四、应用题（共32分）

1、解：设iA为事件“第i次取出的是正品”（i1，2 ），

（1）452897108)()()(12121AAPAPAAP

（2）)()()()()()()(12112121212121AAPAPAAPAPAAPAAPAAAAP

=45169810292108 2、（1）

X 1 2

ip 31 31

Y 1

2

3

iP 2191 181

)181(31181),91(3191 ,,3..2232..222pppppp，解得

91,92。经验证.3,2,1 ,2,1 ,..jipppjiij成立

所以当91,92时，X和Y相互独立。

（2）由于X和Y相互独立，可得

12YXP=312XP

3、 按题意需检验

0100: 25.3:HH

取 01.0，检验的拒绝域为

)1(20ntnSXt

6041.4)4(,01304.0,252.3,5005.0tSXn，算得

tnSXt,6041.4343.00未落在拒绝域中，接受0H。认为这批矿砂的镍含量为3.25。 4、引进随机变量，，次打开前，次没打开前32i 1-i 01-i ,1iX 11X

iX

0

1

ip 1211)1( )1(1iinnpnnp

nnnnnnnpXEXEXEXEnniniini )1()1()1(1 1 )(1 )(122222i1）（）（1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）

A、323 B、83 C、161 D、81

2、随机变量X和Y的,0XY则下列结论不正确的是（ ）

A、)()()(YDXDYXD B、aX与bY必相互独立

C、X与Y可能服从二维均匀分布 D、)()()(YEXEXYE

3、样本nXXX,,,21来自总体X，,)(,)(2XDXE则有（ ）

A、2iX)1(ni都是的无偏估计 B、X是的无偏估计

C、)1(2niXi是2的无偏估计 D、2X是2的无偏估计 4、设nXXX,,,21来自正态总体),(2N的样本，其中已知，2未知，则下列不是统计量的是（ ）

A、iniX1min B、X C、niiX1 D、1XXn

5、在假设检验中，检验水平的意义是（ ）

A、原假设0H成立，经检验被拒绝的概率

B、原假设0H不成立，经检验被拒绝的概率

C、原假设0H成立，经检验不能拒绝的概率

D、原假设0H不成立，经检验不能拒绝的概率

三、计算题（共28分）

1、已知离散型随机变量的分布律为

X 1 2 3

kp

求：X的分布函数，（2）)(XD。（5分）

2、已知连续型随机变量X的分布函数为),(,arctan)(xxBAxF，求（1）常数A和B，（2）)11(Xp，（3）概率密度)(xf。（8分）

3、设随机变量321,,XXX相互独立，其中21],6,0[~XUX服从21的指数分布，)3(~3X，计算)32(321XXXD。（5分）