2.2基本不等式
一、教材分析
本节课内容为“基本不等式”，选自人民教育出版社A版普通高中数学教科书必修第一
册第二章《一元二次函数、方程和不等式》第2节。“基本不等式”重点研究基本不等式的
证明，并且将之应用于证明、最值问题，是理论数学与应用数学结合的良好典范，体现了新
课标所要求的培养学生创新精神及数学应用的意识。本节内容一定程度上是不等关系与相等
关系的运用，也是系统学习不等式证明的基础，基本不等式在证明其他不等式的过程中起到
了重要的桥梁作用。二、学情分析
学生已经学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，对于基本不
等式的学习是比较容易的；但是，要真正地理解基本不等式，并能够结合几何中的实例，学
会分析问题、解决问题是学生需要突破的一个难点。三、教学目标
（1）通过生活实例、代数证明、几何意义等环节，感知基本不等式的形成过程；让学
生经历基本不等式的发现、探究与证明的过程，培养观察、分析、归纳、推理能力。
（2）理解基本不等式的形式及其等号成立的条件，从几何角度对基本不等式进行探究，
理解、建立基本不等式求最值的模型。
（3）掌握基本不等式求最值的基本原理，感受数学公式的简洁美，体会数学的应用价
值，培养学生的逻辑推理、数学建模等核心素养。四、教学重点、难点
重点：经历基本不等式的证明过程，理解与运用基本不等式。
难点：理解基本不等式的形成过程。五、课型课时、教学准备1.课型：新授课；
2.课时：1课时
3.教学准备：多媒体、实物投影、展台等
.教学设计
六、教学流程图
七、教学内容及过程
（一）创设情境，发现新知
【地主分地的故事】地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分给
小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
设计意图：通过生动有趣的小故事，渲染课堂气氛，调动学生学习的积极性，同时引出课
题。
（二）合作交流，生成新知
问题1.上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个
重要不等式：222(,)abababR，当且仅当
专题2.2基本不等式
知识点一基本不等式
1．基本不等式：如果0,0,
2ab
abab
，当且仅当ab时，等号成立．其中
2ab
叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤
2ab
2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2ab，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点二用基本不等式求最值用基本不等式
2xy≥xy求最值应注意：
(1)x，y是正数．
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值1
4S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
知识点三基本不等式的两个变形1.222
22abab
ab
(,abR，当且仅当ab时取等号)；2.222
1122abab
ab
ab
(0,0ab，当且仅当ab时取等号).
利用基本不等式求最值
(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，
然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，
尤其是要注意验证等号成立的条件．
(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式
子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求
最值的表达式相乘求积或相除求商．
【例1】4
(1)yxx
x的最小值为()
A．2B．3C．4D．5【解答】解：由已知函数4
yx
x，
1x，4
0
x，
44
24xx
xx，当且仅当4
x
x，即2x时等号成立，
当2x时，函数4
yx
x有最小值是4，
故选：C．
【变式训练1】函数20
()5(0)fxxx
x的最小值为()
A．10B．15C．20D．25
【解答】解：由题意2020
()52520fxxx
xx，当且仅当20
5x
x，即2x时取等号，此时取得最小值为20，
不等式的基本性质与一元二次不等式（2）
1.解下列不等式：
（1）38x
（2）27x
（3）49x
（4）1142x
（5）23x
（6）2133x
（7）546x
（8）7813x
（9）11123x
（10）3214x
2.解下列不等式：
（1）230xx
（2）20xx
（3）23720xx
（4）24410xx
（5）2620xx
（6）1232xxxx
（7）21061xx
（8）21316033xx
3.解下列不等式：
（1）103xx
（2）5131xx
（3）1230xxx
（4）324201xxxx
4.若不等式2282001xxmxmx对一切xR恒成立，求实数m的取值范围.
5.m为何值时，方程230xmxm有实数解？
6.已知20aba，解不等式：0axxbaxb
7.m为何值时，关于x的一元二次方程21221130mxmxm.
（1）有两个异号实根；
（2）有两个实根，且它们之和为非负实数.
8.已知关于x的一元二次方程22320xmxmm.
（1）若方程有一个正根和一个负根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个根分别在0,1和1,2内，求实数m的取值范围.
9.已知2137Axxx，求AZ的元素的个数.----江苏省2008年高考题.
10.求不等式21log63xx的解集.
洮阳初中 七年级 数学 学科二次备课稿
章 节 课 题 9.1.2.2不等式的性质 课型 新授课
教 学 目 标 1、会根据不等式的性质解简单的不等式；
2、能在数轴上表示不等式的解集；
3、会用不等式解简单的实际问题。
教 学 重 点 会根据不等式的性质解简单的不等式
教 学 难 点 会根据不等式的性质解简单的不等式
教学辅助手段 多媒体
教 学 过 程 个性化修改
一、复习回顾：
一、不等式的性质
不等式的性质1 不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
不等式的性质2 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的性质 3 不等式的两边乘（或 除以）同一个负数，不等号的方向改变
注意： 必须把不等号的方向改变
试一试
1.若-m>5，则m -5. 2.如果 >0,那么xy 0.
3.如果a>-1,那么a-b -1-b.
4.-0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得_______.
二、出示目标
三、课堂探究
用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是每秒4 m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m以外的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？
解：设导火索的长度是x cm ．根据题意，得
×4≥100．
解得： x≥20
答：导火索的长度应大于20 cm．
四、例题讲解
例1 某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm。容器内 yx8.0x原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水。用V(单位：）表示新注入水的体积，写出V的取值范围。
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V+3×5×3≤3×5×10
解得 V≤105
又由于新注入水的体积不能是负数，因此，
