二次函数的性质及应用

二次函数与二次曲线的性质与应用二次函数与二次曲线是高中数学中重要的概念，具有广泛的应用背景。

了解和掌握二次函数与二次曲线的性质，对于学生们提高数学素养、拓展思维能力以及掌握实际问题的解决方法都有着重要的意义。

本文将介绍二次函数与二次曲线的性质，并探讨其在实际中的应用。

一、二次函数的定义和基本性质二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数通常表示为抛物线的形状，其性质包括开口方向、顶点、对称轴等。

其中，开口方向由a的正负决定，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

顶点是二次函数的抛物线的最低点或最高点，由二次项系数b和c决定。

顶点的横坐标为-x = b / (2a)，纵坐标为f(-x) = c - b² / (4a)。

对称轴是二次函数抛物线的中心线，由顶点的横坐标x = -b / (2a)确定。

对称轴与y轴的交点坐标为(0, c)。

二、二次曲线的性质与图像在笛卡尔坐标系中，二次函数所对应的图像被称为二次曲线。

除了前述的开口方向、顶点和对称轴之外，二次曲线还具有一些其他的性质。

1. 零点：二次曲线与x轴的交点称为零点，即解方程f(x) = 0的解。

二次函数的零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0得到。

2. 判别式：对于二次方程ax² + bx + c = 0，其判别式记为Δ = b² -4ac。

判别式的正负性可判断二次曲线与x轴的交点情况：当Δ > 0时，有两个不相等的实根，二次曲线与x轴有两个交点；当Δ = 0时，有两个相等的实根，二次曲线与x轴有一个交点（切线）；当Δ < 0时，没有实根，二次曲线与x轴无交点。

3. 平移和伸缩：通过改变二次函数的参数a、b、c，可以实现对二次曲线的平移和伸缩。

参数a决定了曲线的开口方向和形状，参数b控制了对称轴的位置，参数c影响了曲线在y轴上的截距。

二次函数的中点性质及应用二次函数是一个具有形式为y = ax²+ bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠0。

二次函数的中点性质是指二次函数的图像上任意两个点和抛物线的对称轴上的中点三个点的横坐标之和等于常数项的值的相反数。

二次函数的中点性质可以通过数学推导进行证明。

设抛物线的对称轴为x = k，任意两个点的横坐标分别为x₁和x₂，纵坐标分别为y₁和y₂，对称轴上的中点的横坐标为k，纵坐标为y。

根据对称性质，有y₁= y₂= y。

首先考虑对称轴上的中点，根据抛物线的定义可知，对称轴上的中点的横坐标是对称轴的横坐标，即x = k。

将x = k代入二次函数的表达式中，得到y = ak²+ bk + c。

再考虑任意两个点，代入二次函数的表达式中，分别有y₁= ax₁²+ bx₁+ c，y₂= ax₂²+ bx₂+ c。

根据中点性质，横坐标之和等于常数项的相反数，有x₁+ x₂+ k = 0。

将x₂替换为k - x₁，代入y₁和y₂的表达式中，得到y₁+ y₂+ y = -c。

将得到的等式整理，得到ak²+ bk + c + ak₁²+ ak - b - c + a - bk + c = 0，消去相同项和合并常数项，最终得到2a(k²+ k - x₁²) = 0。

由于二次函数的系数a ≠0，所以可以消去a，得到k²+ k - x₁²= 0。

通过解这个二次方程，可以求解出对称轴的坐标，即k = -0.5 ±√(0.25 + x₁²)。

综上所述，二次函数的中点性质成立。

二次函数的中点性质有许多应用。

其中一个重要的应用是求二次函数的顶点坐标。

顶点是抛物线的最高点或最低点，对称轴上的点是顶点。

根据中点性质，对称轴上的中点和端点的横坐标之和为常数项的相反数，即x + k = -b / (2a)。

二次函数总结二次函数是数学中一种常见且重要的函数形式。

它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。

二次函数是一个拱形曲线，它在数学、物理和经济等领域都有广泛的应用。

在本文中，将对二次函数的性质、图像、方程以及实际问题中的应用进行总结和探讨。

一、二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最基本的是二次项的系数a 决定了函数的开口方向。

当a大于零时，二次函数的图像开口向上，形成一个U型；当a小于零时，二次函数的图像开口向下，形成一个倒U型。

另一个重要性质是二次函数的对称轴与顶点。

对称轴是函数图像上对称的线，它通过顶点，并且与x轴垂直。

顶点是二次函数图像的最低点或最高点，它的横坐标可以通过-b/2a来确定。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形曲线，其形状由a的正负决定。

当a大于零时，图像开口向上，当a小于零时，图像开口向下。

图像的形状还与常数b和c的取值相关。

常数b决定了图像在x方向上的平移，即左右移动；常数c决定了图像在y方向上的平移，即上下移动。

通过改变这些常数的取值，可以使图像的位置和形状发生变化，从而满足不同的条件。

三、二次函数的方程解二次函数的方程是一个重要的应用技巧，因为它可以帮助我们找到函数图像与坐标轴的交点。

二次函数的方程可以通过将f(x)设置为零来表示，即ax^2 + bx + c = 0。

解这个方程可以使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，也称为二次方程的根式解。

这个解式给出了二次函数与x轴的交点的横坐标。

方程的解有三种情况：当Δ = b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不同的实数解；当Δ等于零时，方程有一个实数解；当Δ小于零时，方程没有实数解。

四、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。

其中一个常见的应用是抛物线的运动模型。

当我们抛出一个物体时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。

二次函数和一次函数的概念和性质二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。

它们在数学领域具有重要的概念和性质。

本文将介绍二次函数和一次函数的定义、图像特征、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、二次函数的概念和性质二次函数是指函数的公式中含有二次方项的函数形式。

一般来说，二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，且a不等于0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

二次函数的图像特征还包括顶点坐标和轴对称性。

对于标准形式的二次函数f(x)，顶点的x坐标为 -b/2a，y坐标为 f(-b/2a)。

此外，二次函数具有轴对称性，即以顶点为对称轴。

二、一次函数的概念和性质一次函数是指函数的公式中只含有一次方项的函数形式。

一般来说，一次函数的标准形式为：f(x) = mx + b其中，m和b是常数，且m不等于0。

一次函数的图像通常是一条直线，具有斜率和截距。

一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率越大，函数图像的倾斜程度越大；斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降。

一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点坐标。

三、二次函数和一次函数的比较1. 图像特征：二次函数的图像为抛物线，具有开口方向、顶点和轴对称性；一次函数的图像为直线，具有斜率和截距。

2. 变化趋势：二次函数的变化趋势在抛物线上是非线性的，根据a的正负值可以分为开口向上或开口向下的情况；一次函数的变化趋势线性，变化速率恒定。

3. 特殊性质：二次函数的顶点坐标可以通过公式 -b/2a 计算得出，具有对称性；一次函数没有特殊的对称性质。

四、二次函数和一次函数的应用1. 二次函数的应用：二次函数在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。

例如，自由落体运动的物体高度和时间的关系、抛物线轨迹的碰撞问题等都可以使用二次函数进行建模和解决。

2. 一次函数的应用：一次函数在线性方程组、经济学和工程学中也有重要的应用。

二次函数知识点总结知识结构框图一、二次函数的概念形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，其中x ，是自变量，a b c 、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的一般表达式1、 一般式：c bx ax y ++=2（，，为常数，）；2、顶点式：k h x a y +-=2)(（，，为常数，）其中；二次函数知识点总结二次函数的概念二次函数的表达形式一般式顶点式双根式二次函数的图像特点及性质开口方向对称轴函数图像的变化特点最值二次函数系数与图像的关系二次函数与二次方程的关系二次函数中几个常见的函数二次函数平移变换0a ≠b c ，a b c 0a ≠a h k 0a ≠2424b ac b h k a a-=-=，3、 双根式：21212()()(0,,=)y a x x x x a x x ax bx c x =--≠++其中是y 与轴交点的横坐标二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、二次函数的图像性质(轴对称图形)1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为， 顶点坐标为．当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．x x 240b ac -≥2y ax bx c =++0a >2bx a=-2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2bx a<-y x 2b x a >-y x 2bx a =-y 244ac b a -0a <2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-y 244ac b a-a 2y ax bx c =++a 0a ≠0a >a a 0a <a a a a a2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图像与轴的交点个数：① 当时，图像与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根． 和的一半恰好是对称轴的横坐标.② 当时，图像与轴只有一个交点；③ 当时，图像与轴没有交点.当时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 2. 抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为，；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；b a b 0a >0b >02ba-<y 0b =02ba-=y 0b <02ba->y 0a <0b >02ba->y 0b =02ba-=y 0b <02ba-<y a b c 0c >y x y 0c =y y 00c <y x y c y a b c ，，x 20ax bx c ++=2y ax bx c =++0y =x 240b ac ∆=->x ()()1200A x B x ，，，12()x x ≠12x x ，()200ax bx c a ++=≠12x x ，0∆=x 0∆<x 1'0a >x x 0y >2'0a <x x 0y <2y ax bx c =++y (0)c x⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

二次函数的概念和性质二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数是由二次方程演变而来的，其图像呈现出特殊的形状，同时具有一些独特的性质。

本文将介绍二次函数的概念和性质，并分析其在数学和实际问题中的应用。

一、二次函数的概念二次函数是指函数表达式中的最高次项为二次的函数。

在二次函数的一般形式中，ax^2代表二次项，bx代表一次项，c代表常数项。

二次函数的变量x可以取任意实数值，并对应一个唯一的函数值f(x)。

当二次函数的系数a、b、c满足一定条件时，其图像呈现出不同的特征，如开口向上或向下、对称轴等。

二、二次函数的性质1. 平移性：二次函数的图像可以通过平移来变换位置。

当二次函数的表达式中添加或减去一个常数h时，图像向左或向右平移h个单位；当表达式中添加或减去一个常数k时，图像向上或向下平移k个单位。

2. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴是通过顶点的垂直线，其方程可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。

3. 开口方向：二次函数的图像具有开口向上或向下的特征。

当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

a的绝对值决定了图像的开口程度。

4. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。

零点可以通过解一元二次方程来求得，或者利用配方法化简二次函数的一般形式。

5. 最值：二次函数的最值即函数的最大值或最小值。

当二次函数的开口向上时，没有最小值；当二次函数的开口向下时，没有最大值。

最值的出现位置与顶点的坐标有关，顶点坐标可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。

三、二次函数的应用二次函数在数学和实际问题中都具有广泛的应用。

在数学中，研究二次函数可以深入理解函数的性质、变化规律和图像特征。

在实际问题中，二次函数可以用来描述和解决与二次关系相关的各类问题，如自由落体运动、抛物线轨迹、经济增长模型等。

二次函数表达式、性质及其应用
1、二次函数表达式
①一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0,a、b 、c 为常数)。

②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,h、k 为常数)；
③二交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0)（适用于抛物线与x 轴有交点的情形）。

3、经典题例
如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且0<x 1<1, 1<x 2<2与y 轴交于点（0,2）
下列结论
①2a+b>-1 ②3a+b>0 ③a+b<-2 ④a>0 ⑤a-b<0 ⑥8a-b 2<0,其中正确的是①②③④⑥
〖解析〗：对于二次函数图像判断结论，我们一般总结出一句话：一口，二轴，三顶点，交点之后再增减。

由此可判断：
①a>0
②–b/2a>0,b<0
③顶点（-b/2a,(4ac-b2)/4a）
④b2-4ac>0,c=2,代入后得到b2-8a>0
⑤a+b+c<0,故而a+b+2<0
4a+2b+c>0,故而4a+2b+2>0，即2a+b+1>0
由以上两式可以推出3a+b>0
另外，这一题，也可以运用特值法，如x1=0.5, x2=1.5,通过交点解析式代入求得a 和b的值，从而判断各选项。

二次函数的定义与性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的定义及其常见的性质，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、二次函数的定义二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

其中x为自变量，y为因变量。

二次函数可以用来描述很多现实生活中的问题，比如抛物线的轨迹、物体的自由落体运动等。

它的图像通常呈现出拱形，开口方向取决于二次函数的系数a的正负。

二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点是指函数取值为0的点，也就是方程ax^2 + bx + c= 0的解。

求二次函数的零点可以使用求根公式或配方法。

2. 定点二次函数的顶点是指函数图像的最高点或最低点。

顶点的横坐标可以通过公式x = -b / 2a来求得，纵坐标则通过代入横坐标到二次函数中求得。

3. 对称轴二次函数的对称轴是图像的对称线。

它与顶点有关，对称轴的方程可以通过公式x = -b / 2a求得。

4. 单调性二次函数的单调性是指函数的增减趋势。

当a > 0时，函数开口朝上，趋于上升；当a < 0时，函数开口朝下，趋于下降。

特别地，当a = 0时，二次函数退化为一次函数，为线性函数。

5. 范围二次函数的范围是指函数的所有可能取值。

当函数开口朝上时，范围为(-∞, +∞)；当函数开口朝下时，范围有上限或下限，具体取决于顶点的纵坐标。

6. 最值二次函数的最值是指函数的最大值或最小值。

当a > 0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a < 0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

7. 判别式二次函数的判别式是指判断二次函数的图像与x轴的交点情况的依据。

判别式的公式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，函数与x轴有两个交点；当Δ = 0时，函数与x轴有一个交点，且为切线；当Δ < 0时，函数与x轴没有交点。

8. 平移二次函数可以通过平移来改变其图像的位置。

二次函数轴对称性质二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在解决实际问题以及数学建模中具有广泛的应用。

在研究二次函数时，轴对称性质是其中一个重要的性质，它在图像的对称性、方程的解等方面具有重要的作用。

本文将详细介绍二次函数轴对称性质及其应用。

1. 轴对称性质的定义二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a≠ 0。

二次函数的轴对称性质即为其图像相对于某一直线的对称性。

这条直线称为二次函数的轴线。

2. 轴对称性质的表达式设二次函数的轴线方程为 x = p，那么对于任意 x，函数值相等：f(p + h) = f(p - h)其中 h 为任意实数，即函数在轴线两侧对称。

3. 轴对称性质与图像的关系对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其轴线方程为 x = -b/2a。

当 a > 0 时，二次函数图像开口向上，轴线是图像的最低点；当 a < 0 时，二次函数图像开口向下，轴线是图像的最高点。

轴对称性质使得二次函数图像关于轴线对称。

也就是说，对于图像上任意一点 (x, y)，关于轴线上的对称点 (-x, y) 也在图像上。

这意味着二次函数图像在轴线上两侧的形状是完全一样的。

4. 轴对称性质的应用轴对称性质可以用于求二次函数的性质、方程的解以及解决实际问题。

首先，通过轴对称性质，可以简单地确定二次函数的开口方向以及最值点的坐标。

其次，利用轴对称性质可以求解二次函数的方程。

对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，则对称轴为 x = -b/2a，方程与 x 轴的交点为相等的两个解；如果 a < 0，则对称轴依然为 x = -b/2a，方程无解。

最后，轴对称性质在实际问题中的应用十分广泛。

例如，某商品的销售量与商品售价之间可能存在二次函数的关系。

通过研究二次函数的轴对称性质，我们可以确定最佳售价，以最大程度地提高销售量。

二次函数的图像性质及应用二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。

在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。

一、图像性质1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。

当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。

2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。

这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。

3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。

对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。

4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。

首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。

二、应用1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。

例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。

2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。

例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。

3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。

例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。

4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。

总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。

而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。

通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。

八年级二次函数的知识点二次函数是初中数学中十分重要的内容之一，它将直线与曲线融合在一起，形成了一种特殊的函数类型。

在学习了初一、初二的函数知识后，学生们逐渐进入到了初中数学的高峰——二次函数的学习中。

本文将从图像、性质、拐点、零点和应用五个方面分别介绍八年级二次函数的知识点。

一、图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其标准式为y=ax²+b。

当a>0时，图像开口向上，当a<0时，则开口向下。

二、性质1、对称性二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。

证明如下：设顶点坐标为（h, k），则由二次函数的标准式可得y=a(x-h)²+k。

当x=h±t时，上式中的x分别为h+t和h-t，代入后可得：y-k=a(h+t-h)²=y-k=a(t)²y-k=a(h-t-h)²=y-k=a(-t)²从中可以看出，当t取任意实数时，y-k的值是相等的，因此对于任意的x，都有（x, y）和（2h-x, y）对称。

由此可以得知，二次函数的图像关于直线x=-h对称。

由于二次函数的h坐标为-b/2a，因此可以得知其对称轴方程为x=-b/2a。

2、正负性若a>0，则二次函数是一个上凸的图像，其最低点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。

若a<0，则二次函数是一个下凸的图像，其最高点（即顶点）为（-b/2a, -△/4a）。

其中，△为一元二次方程中的判别式，△=b²-4ac。

三、拐点二次函数的拐点位于抛物线的顶点处，当二次函数极值不存在时，拐点即为最值点。

拐点处，二次函数的导数为0。

证明如下：对y=ax²+b求导可得y'=2ax，令y’=0，可得x=0。

则当a<0时二次函数开口朝下，有极大值；当a>0时，二次函数开口向上，有极小值。

四、零点二次函数的零点是指函数图像与x轴交点处的横坐标。

二次函数图像性质与应用二次函数，也叫做一元二次方程，是中学数学中非常重要的一门知识。

它的图像是一条叫做抛物线的曲线，也广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域。

在这篇文章中，我将会介绍二次函数的图像性质以及在现实生活中的应用。

一、二次函数的图像性质二次函数是以 x 的二次方作为自变量的函数。

它的一般式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c 都是实数，a 不等于 0。

这个式子是抛物线的标准式，根据 a 的正负可以确定抛物线的形状。

如果 a 大于 0，抛物线开口朝上；如果 a 小于 0，抛物线开口朝下。

除了开口方向，二次函数还有一些其他的图像性质。

以下是一些重要的性质：1、对称轴二次函数的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线。

它过抛物线的顶点，用下面的公式可以求出它的方程：x = -b / 2a2、零点二次函数的零点就是方程 y = 0 的解。

抛物线和 x 轴的交点就是它的零点。

用下面的公式可以求出它的值：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a如果判别式 b²-4ac 大于 0，那么二次函数就会有两个不同的零点；如果判别式等于 0，那么二次函数有一个二重根；如果判别式小于 0，那么二次函数没有实数解。

3、极值二次函数的极值就是抛物线的顶点。

如果 a 大于 0，那么它的极小值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标是 -b/2a；如果 a 小于 0，那么它的极大值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标也是 -b/2a。

二、二次函数在现实生活中的应用二次函数在现实生活中的应用非常广泛。

以下是几个例子。

1、建筑设计建筑设计中常常需要使用二次函数。

比如说，建筑师需要设计一个带拱形的门，那么他们会使用二次函数来描述这个门的形状。

不同的二次函数可以绘制出不同形状的门，用于满足客户的设计需求。

2、股市预测股市是一个非常复杂的市场，股票价格每天都有不同的波动。

二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。