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例题 讲解
9 3 t t （1≤t＜3） 2 2
2
例3 已知：在直角坐标系中，以M为顶点的抛物线 y=－x2＋(m－1)x＋(2m＋5)与x轴交于A、B两点（点A在 点B的左侧）；抛物线与y轴的正半轴交于点C，AB=4。 （1）求出此抛物线的解析式； （2）P为线段AM上一点， 过点P向x轴作垂线，垂足为Q，若点P在线段AM上运动 （能与点M重合，不能与点A重合）。设OQ的长为t,四边 形PQBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；(3)当t为何值时，四边形PQOC是矩形；
(-1,4) M PQ＝OC＝3，则点P的纵 坐标y=3，由y＝2x＋6，解得 x=－3/2，∴t＝3/2，
例题 讲解
y
C(0,3)
(1,0) B x
P
(-3,0) A
Q
O
例3 已知：在直角坐标系中，以M为顶点的抛物线 y=－x2＋(m－1)x＋(2m＋5)与x轴交于A、B两点（点A在 点B的左侧）；抛物线与y轴的正半轴交于点C，AB=4。 （1）求出此抛物线的解析式； （2）P为线段AM上一点， 过点P向x轴作垂线，垂足为Q，若点P在线段AM上运动 （能与点M重合，不能与点A重合）。设OQ的长为t,四边 形PQBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t y 的取值范围;(3)当t为何值时，四边形PQOC是矩形；（4） 以点C为圆心，以R为半径的⊙C，问R取何值时？⊙C与 直线AM相交、相切、相离。 3 5 (-1,4) M 点C到直线AM的距离 ， C (0,3) 5 3 5 当R＞ 时，⊙C与直线AM相交； 5 (-3,0) (1,0) 3 5 当R＝ 时，直线与⊙C相切； 5 A O B x 3 5 当0＜R＜ 时，⊙C与直线AM相离。
4.将函数y=-x2-2x化为y=a(x-h) 2+k的形式
为 .
5.函数y=-2x2+8x-8的顶点坐标为
.
6.函数y=2x2+8x-8的对称轴为
7.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2－4x－1 有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而 增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求 的二次函数的解析式为（ ） A.y=－x2+2x－4 B.y=ax2－2ax+a－3(a>0) C.y=－x2－4x－5 D.y=ax2－2ax+a－3(a<0)
a＞0向上 a＜0向下 a＞0向上 a＜0向下 a＞0向上 a＜0向下
y轴
直线x=h ( h , 0 ) 直线x=h (h,k)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
b 2 4ac b a( x ) 2a 4a
2
b 对称轴为：直线x ， 2a 2 b 4ac b 顶点坐标是： , 2a 4a
试 一 试
解：
(2)由题意得：S=10y(3–2) –x
=–x2+5x+10
当Hale Waihona Puke =5/2时，S的最大值为65/4.
例3 已知：在直角坐标系中，以M为顶点的抛物线 y=－x2＋(m－1)x＋(2m＋5)与x轴交于A、B两点（点A在 点B的左侧）；抛物线与y轴正半轴交于点C，AB=4。（1） 求出此抛物线的解析式； （2）P为线段AM上一点，过点 P向x轴作垂线，垂足为Q，若点P在线段AM上运动（能 与点M重合，不能与点A重合）。设OQ的长为t,四边形 PQBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的 y 取值范围； (-1,4) M 由点A（－3,0）,M(－1,4) C(0,3) 求得直线AM的解析式y=2x+6, P 已知OQ=t ,则点P的坐标为 (1,0) (-3,0) (－t,－2t＋6), O B x A 于是S＝S四边形PQOC＋S△BOC Q 1 ● 1 ● OQ＋ ＝ (PQ+OC) OB OC 2 2
2
试 一 试
… …
解： 因为y是x的二次函数,所以设y=ax +bx+c,根据题意得：
1.5=a+b+c 1.8=4a+2b+c 解得
1 a 10 3 b 5 ∴
1.5=25a+5b+c
c 1
1 2 3 y x x 1 10 5
例2 扬州某公司生产的新产品，它的成本是2元/件，售 想 价是3元/件，年销售量为10万件,为了获得更好的效益， 公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入 一 的广告费是 x (万元）时，产品的年销售量将是原销售 想 量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表： 2 … 5 … X(万元) … 1 y … 1.5 1.8 … 1.5 … (1)求y与x的函数的关系式； (2)如果利润＝销售总额－成本费－广告费，试写出年利润 S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式；并求出当广告费x 为多少万元时，年利润S最大。
各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移
y = a( x – h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号： y
2
y
X=3
x
第1题图
例1：如图，直线y=x+m和抛物线y=x² +bx+c都经过 y 点A（1，0），B（3，2） （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x² +bx+c＞x+m
A x 的解集（直接写出答案）。 解（1）∵直线y=x+m经过点A(1,0) ∴0=1+m ∴m=－1．即m的值为－1 ∵抛物线y=x² +bx+c经过点A(1,0),B(3,2) ∴ 0 1 b c， 解得：b 3 O B
∴该抛物线与x轴一定有两个交点
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABP=27
A P
B
x
1.抛物线y=(x－3)2的开口方向 ,对称轴是 ，顶 点坐标为 ，在对称轴左侧，即x 时，y随x增大 而 ；在对称轴右侧，即x 时，y随x增大而 ， 当x= 时，y有最 值为 . 2.函数y=5(x－3)2－2的图象可由函数y=5x2的图象沿 x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单 位得到. 3.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数， 图象顶点必在（ ）. A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上
( A) y1 y 2
( B) y1 y 2 (D)不能确定
• 6、(2007．河北)在同一平面直角坐标系 y ax 2 bx 中，一次函数y=ax+b和二次函数 的图象可能为 ( A )
y ax2 bx c 的图像如 • 7、已知二次函数
•
• • • •
图所示，有下列结论： (1) a+b+c<0；(2)a－b+c>0；(3)abc>0； (4)b=2a其中正确的结论有 (B) ( A)4个 x= -1 (B)3个 (C)2个 (D)1个
.
8.若b<0，则函数y=2x2+bx－5的图象的顶点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.设抛物线y=x2－4x+c的顶点在x轴上，则c为
10.二次函数y=ax2+bx+c经过点(3,6)和-1,6) ,则 对称轴为 . 11.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
4
顶点式： 解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得： 16a+k=0 3 4a+k=3 1 -6 2 -2 解得 a= 4 k=4 所以二次函数的解析式为： 1 2 y x x3 4
交点式：
解：因为抛物线与x轴相交的两个点的坐标为（2，0）
新人教实验版数学九年级(下)26.1二次函数
知识回顾
二次函数的概念 二次函数的关系式 二次函数的图象及性质 各种形式的二次函数的关系
习题巩固
二次函数的概念
• 形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数，其中，是自变量， 分别是函数表达式的二次项系数，一次项 系数和常数项。
o
x
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
o
x
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
o
x
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
o
x
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如
2
2
1 2
(B)(1,0) (C)(2,0) (D)(3,0)
• 5、 与x轴分别交于(－l，0)、(5，0)两点， y1 当自变量x=1时，函数值为 ；当x=3 y2 时，函数值为 ．则下列结论正确的 是 ( ) B
• (C ) y y 1 2
y ax2 bx c (a>0) (武汉)已知抛物线
