等边三角形的性质和判定练习题

等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。

第 1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）一．选择题（共 8 小题）1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠ β的度数是（）A ． 180°B． 220°C． 240° D ． 300°2．下列说法正确的是（）A ．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是 60 °的锐角三角形是等边三角形B ．等腰三角形一定是锐角三角形 D ．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC 中，① 若 AB=BC=CA ，则△ ABC 为等边三角形；②若∠ A= ∠ B=∠ C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是 60°的三角形是等边三角形；④一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图， CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，将△ BCD 沿 CD 折叠， B 点恰好落在AB 的中点 E 处，则∠ A 等于（）A．25°B． 30°C．45°D． 60°5．如图，已知D、 E、 F 分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点，且 DE⊥ BC 、 EF⊥ AC 、FD ⊥AB ，则下列结论不成立的是（）A ．△ DEF是等边三角形B．△ ADF ≌△ BED ≌△ CFEC．DE=ABD ．S△ABC=3S △ DEF6．如图，在△ ABC 中，D、E 在 BC 上，且 BD=DE=AD=AE=EC，则∠ BAC的度数是（）A． 30°B． 45°C． 120°D． 15°7．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=120 °， BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点 M ，交 AB 于点 E ， AC 的垂直平分线交BC 于点 N ，交 AC 于点 F，则 MN 的长为（）A ． 4cmB． 3cmC． 2cmD． 1cm第 1 题第 4 题第 5 题第 7 题8．已知∠ AOB=30 °，点 P 在∠ AOB 内部， P1与 P 关于 OB 对称， P2与 P 关于 OA 对称，则 P1， O， P2三点所构成的三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10 小题）9．已知等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ B=60 °，则∠A= _____ ____ 度．10．△ ABC 中，∠ A= ∠B=6 0°，且 AB=10cm ，则BC= _________ cm．11．在△ ABC 中，∠ A= ∠ B= ∠ C，则△ABC是_________ 三角形．12．如图，将两个完全相同的含有 30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ ABD 的形状是_________13．如图， M 、 N 是△ ABC 的边 BC 上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠ BAN=_________．..14．如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、 B 两点，若再以 A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点 C，则∠ AOC 等于多少？15．已知：如图，△ ABC是等边三角形， BD是中线，延长 BC到 E，使 CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)_______ _______；(2)______________ ；(3)______________.ADBCE16．如图，将边长为6cm 的等边三角形△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE、AC相交于点 G，若线段CF=4cm ，则△ GEC 的周长是_________cm．17．如图，在等边△ABC 中，D、E 分别是 AB 、AC 上的点，且 AD=CE ，则∠ BCD+ ∠CBE=_________度．..课后作业1.2.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。

专题05 等边三角形的性质和判定（综合题）知识互联网易错点拨知识点1：等边三角形等边三角形定义：叫等边三角形.细节剖析:由定义可知，等边三角形是一种特殊的．也就是说等腰三角形包括．知识点2：等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于.知识点3：等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）的三角形是等边三角形；（2）的三角形是等边三角形；（3）是等边三角形．易错题专训一．选择题1．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC ＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2021•商河县二模）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．163．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．4．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠P AN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形5．（2021秋•平阳县校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6，DE＝2，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．86．（2020秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC 于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二．填空题7．（2022春•保定期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为．8．（2020秋•玉州区期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝6cm，DE＝4cm，则这个六边形的周长等于cm．9．（2020秋•海淀区校级期中）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝．10．（2021秋•海曙区期末）一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距海里．11．（2019秋•潮南区期中）两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC＝6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．12．（2017秋•巢湖市期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有（填上所有正确结论的序号）13．（2021秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）三．解答题14．（2021秋•涡阳县期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．15．（2020秋•曾都区期末）学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．16．（2021春•城关区校级期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）17．（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．18．（2022春•通川区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED ＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．19．（2021秋•台州期中）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是2cm/s，且当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？20．（2021秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。

等边三角形的判断与性质难题一、选择题（共 1 小题）1．（2006?曲靖）如图，CD是 Rt△ABC斜边 AB 上的高，将△ BCD 沿 CD折叠， B 点恰巧落在AB的中点 E 处，则∠A等于（）A． 25°B． 30°C． 45°D． 60°二、填空题（共 1 小题）（除非特别说明，请填正确值）2．一个六边形的六个内角都是120 度，连续四边的长为1， 3， 4，2，则该六边形的周长是_________ ．三、解答题（共 6 小题）（选答题，不自动判卷）3．如图， P 是等边△ ABC 内部一点， PC=3， PA=4，PB=5．求 AC2．4．如图（ 1），△ ABC是等边三角形， DE是中位线， F 是线段 BC延伸线上一点，且CF=AE，连结 BE， EF．（1）求证： BE=EF；（2）若将 DE从中位线的地点向上平移，使点 D，E 分别在线段 AB， AC上（点 E 与点 A 不重合），其余条件不变，如图（ 2），则（ 1）题中的结论能否建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因．5．（2008?旭日区二模）已知：在等边△ABC 中，点D、E、F 分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点 G在 CB延伸线上时，有结论“在直线 EF 上存在一点 H，使得△ DGH是等边三角形”建立（如图①），且当点 G 与点B、 E、 C 重合时，该结论也必定建立．问题：当点 G在直线 BC的其余地点时，该结论能否仍旧建立？请你在下边的备用图②③④中，画出相应图形并证明有关结论．6．如图， P 是等边三角形ABC内的一点，连结PA、 PB、PC，以（ 1）察看并猜想AP与 CM之间的大小关系，并说明你的结论；（ 2）若 PA=PB=PC，则△ PMC是 _________三角形；（ 3）若 PA： PB： PC=1：：，试判断△ PMC的形状，并说明原因．BP为边作等边三角形BPM，连结CM．7．（2006?徐州）如图 1，△ ABC为等边三角形，面积为 S． D1、E1、F1分别是△ ABC三边上的点，且 AD1=BE1=CF1=AB，连结 D1E1、 E1F1、 F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△ AD 1F1的面积 S1=S，△D1E1F1的面积 S1=S．（1）当 D2、 E2、 F2分别是等边△ ABC 三边上的点，且 AD2=BE2=CF2=AB时如图2，①求证：△D 2E2F2 是等边三角形；②若用 S 表示△ AD2F2的面积 S2，则 S2=（ 2）依据上述思路研究下去，并填空：_________ ；若用S 表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=_________ ．当 D n、E n、 F n分别是等边△ ABC 三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（ n 为正整数）△D n E n F n是_________三角形；若用 S 表示△ AD n F n的面积 S n，则 S n= _________；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′ n=_________．8．（2009?莆田）已知：等边△ ABC 的边长为a．研究（ 1）：如图 1，过等边△ ABC 的极点 A、B、C 挨次作 AB、BC、CA的垂线围成△ MNG，求证：△ MNG 是等边三角形且 MN=a；研究（ 2）：在等边△ ABC 内取一点O，过点 O分别作 OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、 E、 F．①如图 2，若点 O是△ ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质获得两个正确结论（不用证明）：结论 1． OD+OE+OF=a；结论 2． AD+BE+CF=a；②如图 3，若点 O是等边△ ABC 内随意一点，则上述结论1，2 能否仍旧建立？假如建立，请赐予证明；假如不建立，请说明原因．【考点训练】等边三角形的判断与性质-1参照答案与试题分析一、选择题（共 1 小题）1．（2006?曲靖）如图，CD是 Rt△ABC斜边 AB 上的高，将△ BCD 沿 CD折叠， B 点恰巧落在AB的中点 E 处，则∠A等于（）A． 25°B． 30°C． 45°D． 60°考点：等边三角形的判断与性质．剖析：先依据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，从而可判断出△ BEC 是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．解答：解：△ ABC沿CD折叠B与E重合，则 BC=CE，∵E为 AB中点，△ ABC 是直角三角形，∴C E=BE=AE，∴△ BEC 是等边三角形．∴∠ B=60°，∴∠ A=30°，应选： B．评论：考察直角三角形的性质，等边三角形的判断及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．二、填空题（共 1 小题）（除非特别说明，请填正确值）2．一个六边形的六个内角都是120 度，连续四边的长为1， 3， 4，2，则该六边形的周长是17．考点：等边三角形的判断与性质；多边形内角与外角．专题：计算题．剖析：先延伸此中三边结构等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．解答：解：如下图，∵六个内角都是120°，∴三角形的每个内角都是60°，即△ CDE，△ BFG，△ AHI，△ ABC 都为等边三角形，∴C E=2， BF=3，∴B C=2+4+3=9，∴A H=AB﹣ GH﹣ BG=9﹣ 1﹣ 3=5，∴DI=AC﹣ AI ﹣ CD=9﹣ 5﹣ 2=2， HI=AH=5，∴该六边形的周长是： 1+3+4+2+2+5=17．故答案为 17．评论：主要考察了正多边形的有关性质．边相等，角相等．三、解答题（共 6 小题）（选答题，不自动判卷）3．如图， P 是等边△ ABC 内部一点， PC=3， PA=4，PB=5．求 AC2．考点：等边三角形的判断与性质；勾股定理的逆定理．剖析：第一将△ BCP绕点C顺时针旋转60°得△ ACQ，连结 PQ．再过 A 作 CP的延伸线的垂线AD，垂足为 D，易证得△ PCQ是等边三角形，△APQ是直角三角形，则可求得∠ APC 的度数，而后可求得∠ APD 的度数，在 Rt△APD2中，即可求得AD与 CD的长，既而求得AC ．解答：解：将△ BCP绕点C顺时针旋转60°得△ ACQ，连结 PQ．再过 A 作 CP的延伸线的垂线AD，垂足为 D，∴AQ=PB=5， CQ=PC，∠PCQ=60°，∴△ PCQ是等边三角形，∴P Q=PC=3，∠ QPC=60°，在△ PAQ中，∵ PA=4， AQ=5，PQ=3，22 2∴AQ =PA+PQ，∴∠ APQ=90°，∴∠ APC=∠APQ+∠QPC=150°，∴∠ APD=30°，在 Rt△APD中， AD=PA=2，PD=AP?cos30°=2，则 CD=PC+PD=3+2，2 2 2 2在 Rt△ACD中， AC=AD+CD=4+（ 3+2）=25+12．评论：本题考察了等边三角形的判断与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质．本题难度较大，注意掌握协助线的作法，注意数形联合思想的应用．4．如图（ 1），△ ABC是等边三角形， DE是中位线， F 是线段 BC延伸线上一点，且CF=AE，连结 BE， EF．（1）求证： BE=EF；（2）若将 DE从中位线的地点向上平移，使点 D，E 分别在线段 AB， AC上（点 E 与点 A 不重合），其余条件不变，如图（ 2），则（ 1）题中的结论能否建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因．考点：等边三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；三角形中位线定理．剖析：（1）利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论；（2）由中位线的性质、平行线的性质，等边三角形的性质以及三角形全等的判断与性质证明．解答：（ 1）证明：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC=∠ACB=60°， AB=BC=CA，∵DE 是中位线，∴E是 AC的中点，∴BE 均分∠ ABC， AE=EC，∴∠ EBC=∠ABC=30°∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠ CEF=∠F．∵∠ CEF+∠F=∠ACB=60°，∴∠ F=30°，∴∠ EBC=∠F∴B E=EF；（ 2）结论任然建立．∵DE 是由中位线平移所得，∴DE∥BC，∴∠ ADE=∠ABC=60°，∠A ED=∠ACB=60°．∴△ ADE 是等边三角形．∴DE=AD=AE，∵AB=AC，∴BD=CE，∵AE=CF，∴DE=DF，∵∠ BDE=180°﹣∠ADE=120°，∠FCE=180﹣∠ACB=120°，∴∠ FCE=∠EDB，∴△ BDE≌△ECF，∴BE=EF．评论：本题考察等边三角形以及三角形全等的判断与性质等知识点．5．（2008?旭日区二模）已知：在等边△ABC 中，点D、E、F 分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点 G在 CB延伸线上时，有结论“在直线 EF 上存在一点 H，使得△ DGH是等边三角形”建立（如图①），且当点 G 与点B、 E、 C 重合时，该结论也必定建立．问题：当点 G在直线 BC的其余地点时，该结论能否仍旧建立？请你在下边的备用图②③④中，画出相应图形并证明有关结论．考点：等边三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．专题：证明题．剖析：连结DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF 上截取 EH使 EH=BG．由 D、E、F 是等边△ABC三边中点，可得△ DEF、△ DBE 也是等边三角形且DE=AB=BD，可证明△ DBG≌△ DEH，而后即可证明；（ 2）当点 G在射线 EC上时，如图②，在EF 上截取 EH使 EH=BG．由（ 1）可证△ DBG≌△ DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠ BDE=∠BDG﹣∠ EDG=60°，可得∠ GDH=∠EDH﹣∠ EDG=60°，即可证明．（ 3）当点 G在 BC延伸线上时，如图③，与（2）同理可证，结论建立．解答：证明：连结DE、 EF、 DF．（ 1）当点 G在线段 BE 上时，如图①，在 EF 上截取 EH使 EH=BG．∵D、 E、 F 是等边△ ABC 三边中点，∴△ DEF、△ DBE 也是等边三角形且DE=AB=BD．在△ DBG和△ DEH中，，∴△ DBG≌△ DEH（ SAS），∴DG=DH．∴∠ BDG=∠EDH．∵∠ BDE=∠GDE+∠BDG=60°，∴∠ GDH=∠GDE+∠EDH=60°∴在直线EF 上存在点H使得△ DGH是等边三角形．（ 2）当点 G在射线 EC上时，如图②，在 EF 上截取 EH使 EH=BG．由（ 1）可证△ DBG≌△ DE H．∴DG=DH，∠ BDG=∠EDH．∵∠ BDE=∠BDG﹣∠ EDG=60°，∴∠ GDH=∠EDH﹣∠ EDG=60°．∴在直线EF 上存在点H使得△ DGH是等边三角形．（3）当点 G在 BC延伸线上时，如图③，与（ 2）同理可证，结论建立．综上所述，点 G在直线 BC上的随意地点时，该结论建立．评论：本题考察了等边三角形的判断与性质及全等三角形的判断与性质，难度较大，重点是奇妙地作出协助线进行解题．6．如图， P 是等边三角形ABC内的一点，连结PA、 PB、PC，以 BP为边作等边三角形BPM，连结 CM．（1）察看并猜想 AP与 CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若 PA=PB=PC，则△ PMC是等边三角形；（3）若 PA： PB： PC=1：：，试判断△ PMC的形状，并说明原因．考点：等边三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；勾股定理的逆定理．专题：研究型．剖析：（1）经过察看应当是相等关系，可经过证三角形APB和 BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只需再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠A BP和∠ MBC都是60°﹣∠ PBC，所以这两个角相等，也就凑成了三角形全等的全部条件．所以可得两三角形全等，也就证了然AP=CM；（2）依据（ 1）的结论 AP=CM，又有三角形 BPM是等边三角形，所以 PA=PB=PC可写成 PM=PC=CM，也就是说三角形 PMC是等边三角形．（3）依据 AP=CM， BP=PM，我们可将题中给出的比率关系式写成CM：PM： PC=1：：．我们发现这三边正好符合勾股定理的要求．所以三角形PMC是直角三角形．解答：解：（1）AP=CM．∵△ ABC、△ BPM 都是等边三角形，∴AB=BC， BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．∴∠ ABP=∠CBM．∴△ ABP≌△ CBM．∴AP=CM．（2）等边三角形．（3）△ PMC是直角三角形．∵AP=CM， BP=PM， PA： PB： PC=1：：，∴CM： PM：PC=1：：．设 CM=k，则 PM=k， PC=k，22 2∴CM+PM=PC∴△ PMC是直角三角形，∠ PMC=90°．评论：本题主要考察了全等三角形的判断，等边三角形的判断以及直角三角形的判断．经过全等三角形得出线段相等是本题的解题重点．7．（2006?徐州）如图1，△ ABC为等边三角形，面积为S． D 、E 、F 分别是△ ABC三边上的点，且AD=BE=CF=AB，11111 1连结 D1E1、 E1F1、 F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△ AD 1F1的面积 S1=S，△D1E1F1的面积 S1=S．（ 1）当 D2、 E2、 F2分别是等边△ ABC 三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图 2，①求证：△D 2E2F2 是等边三角形；②若用 S 表示△ AD2F2的面积 S2，则 S2= S；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=S．（ 2）依据上述思路研究下去，并填空：当 D n、E n、 F n分别是等边△ ABC 三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（ n 为正整数）△D n E n F n是等边三角形；若用 S 表示△ AD n F n的面积 S n，则 S n=；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′ n=．考点：等边三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．专题：研究型．剖析：（ 1）由等边三角形的性质和已知条件可证△ AD 2F2≌△ BE2D2≌△ CF2E2，得 D2E2=E2F2=F2 D2所以△D2E2F2为等边三角形．（ 2）（ 3）由等边三角形的性质和面积公式可求．解答：解：（1）①∵△ ABC为等边三角形，∴ AB=BC=AC，∠ A=∠B=60°，（1分）由已知得AD2 =AB， BE2=BC，∴A F2=AC， BD2=AB∴AD2=BE2， AF2 =BD2（ 2 分）△AD2F2≌△ BE2 D2（ 3 分）∴D2E2=F2D2同理可证△ AD2 F2≌△ CF2E2F2D2=E2F2（ 4 分）∴D2E2=E2F2=F2D2∴△D2 E2 F2 为等边三角形；（5分）②；（ 6 分）S′2=S﹣S×3=S（ 7 分）（2）由（ 1）可知：△D n E n F n等边三角形；（ 8分）由（ 1）的方法可知：， S3 =S，；（9 分）S2′=S， S3′=．（ 10 分）评论：本题考察了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．8．（2009?莆田）已知：等边△ ABC 的边长为a．研究（ 1）：如图 1，过等边△ ABC 的极点 A、B、C 挨次作 AB、BC、CA的垂线围成△ MNG，求证：△ MNG 是等边三角形且 MN=a；研究（ 2）：在等边△ ABC 内取一点O，过点 O分别作 OD⊥AB、OE⊥ BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、 E、 F．①如图 2，若点 O是△ ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质获得两个正确结论（不用证明）：结论 1． OD+OE+OF=a；结论 2． AD+BE+CF=a；②如图 3，若点 O是等边△ ABC 内随意一点，则上述结论1，2 能否仍旧建立？假如建立，请赐予证明；假如不建立，请说明原因．考点：等边三角形的判断与性质；解直角三角形．专题：综合题；压轴题．剖析：（ 1）本题中△ ABC 为等边三角形， AB=BC=a，∠ ABC=60°，求出∠ N，∠G 的值，在直角△ AMB、△ CNB 中，能够先用 a 表示出 MB， NB而后再表示出 MN，这样就能证得 MN=a；（2）判断①能否建立可经过建立直角三角形，把所求的线段都转变到直角三角形中进行求解；判断②能否建立，也要经过建立直角三角形，可依据勾股定理，把所求的线段都表示出来，而后经过化简得出结论②能否正确．解答：（1）证明：如图1，∵△ ABC为等边三角形，∴∠ ABC=60°．∵BC⊥MN，BA⊥MG，∴∠ CBM=∠BAM=90°．∴∠ ABM=90°﹣∠ ABC=30°．∴∠ M=90°﹣∠ ABM=60°．同理：∠ N=∠G=60°．∴△ MNG为等边三角形．在 Rt△ABM中， BM=a，在 Rt△BCN中， BN=a，∴MN=BM+BN=a ．（ 2）②：结论 1 建立．证明：如图 3，过点 O 作 GH ∥BC ，分别交 AB 、 AC 于点 G 、H ，过点 H 作 HM ⊥BC 于点 M ， ∴∠ DGO=∠B=60°，∠ OHF=∠C=60°， ∴△ AGH 是等边三角形， ∴GH=AH ． ∵OE ⊥BC ， ∴OE ∥HM ，∴四边形 OEMH 是矩形， ∴HM=OE ．在 Rt △ODG 中， OD=OG?sin ∠DGO=OG?sin60°=OG ，在 Rt △OFH 中， OF=OH?sin ∠OHF=OH?sin60°=OH ，在 Rt △HMC 中， HM=HC?sinC=HC?sin60°=HC ，∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH =（ GH+HC ）=AC=a ．（ 2）②：结论 2 建立．证明：如图 4，连结 OA 、 OB 、 OC ，依据勾股定理得：2 2 2 2 2BE +OE=OB=BD+OD ①，2 2 2 2 2CF +OF=OC=CE+OE ②，22222AD +OD=AO=AF +OF ③，①+②+③得： 222222BE +CF +AD=BD+CE+AF ，22222222 2222∴BE +CF+AD=（ a ﹣ AD ） +（ a ﹣BE ） +（ a ﹣ CF ） =a ﹣2AD?a+AD+a ﹣2BE?a+BE+a ﹣2CF?a+CF整理得： 2a （ AD+BE+CF ） 2∴AD+BE+CF=a ．=3a评论： 本题中综合考察了等边三角形的判断和性质，解直角三角形等知识点，因为知识点比许多，本题的难度比较大．。

13.3.3等边三角形的性质与判定夯实基础篇一、单选题：1．下列说法错误的是（）A ．有两边相等的三角形是等腰三角形B ．直角三角形不可能是等腰三角形C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形2．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE =AD ，则∠EDC =（）度．A ．30B ．20C ．25D ．153．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距()A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里4．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（）A ．30CED ∠=︒B ．120BDE ∠=︒C ．DE BD =D ．DE AB =5．如图，AB AC =，AE EC CD ==，60A ∠=︒，若2EF =，则DF =（）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图：等边三角形AB C 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°二、填空题：7．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝度．8．如图，△ABC 与△DEF 为等边三角形，其边长分别为a ，b ，则△AEF 的周长为.9．如图，将边长为5cm 的等边ABC 向右平移1cm ，得到'''A B C ，此时阴影部分的周长为cm ．10．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA ＝EB ，△ABC 外一点D 满足BD ＝AC ，且BE 平分∠DBC ，则∠D ＝.11．已知：如图，点E 、F 分别在等边三角形ABC 的边CB 、AC 的延长线上，BE ＝CF ，FB 的延长线交AE 于点G 则∠AGB ＝．三、解答题：12．如图，△ABC 是等边三角形，DF ⊥AB ，DE ⊥CB ，EF ⊥AC ，求证：△DEF 是等边三角形．13．如图：已知等边△AB C 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．14．如图，已知等边ABC D E ∆，，分别在BC AC 、上，且BD CE =，连接BE AD 、交F 点．求证：60AFE ︒∠=15．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M .求证：MD ME =能力提升篇一、单选题：1．如图，点P 在边长为1的等边△ABC 的边AB 上，过点P 作PE ⊥AC 于点E ．Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．B ．C ．D ．不能确定2．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（）A ．15B ．30C ．45D ．603．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A -⋯⋯在射线ON 上，点1B 、2B 、3B ⋯⋯在射线OM 上，112A B A 、223A B A 、334A B A ⋯⋯ 均为等边三角形，若11OA =，则201820182019A B A 的边长为（）A．2017B．2018C．201722D．2018 4．如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，O C．以下五个结论：①△ACD≌△BCE；②△AOC≌△BQC;③△APC≌△BOC;④△DPC≌△EQC;⑤∠AOB＝60°．其中正确的是（）A．①②③④⑤B．①④⑤C．①④D．①③④二、填空题：5．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE ⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为．6．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为cm时，线段CQ+PQ的和为最小．7．如图△AB C中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为．三、解答题：8．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。

专题1.2 等边三角形的判定与性质【十大题型】【北师大版】【题型1 利用等边三角形的性质求值】 (1)【题型2 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】 (2)【题型3 等边三角形的证明】 (4)【题型4 等边三角形在坐标系中的运用】 (5)【题型5 等边三角形中的折叠问题】 (7)【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 (9)【题型7 等边三角形中的动态问题】 (10)【题型8 等边三角形中求最值】 (12)【题型9 等边三角形中的多结论问题】 (13)【题型10 确定等边三角形中的线段之间的关系】 (14)【知识点等边三角形】（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.【题型1利用等边三角形的性质求值】【例1】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD 与BE交于点P，则∠APE=°．【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期末）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．(1)求证：△DBE≌△CBE；(2)求∠BDE的度数．(3)若∠ABE=45°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由．【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C 的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=2，则DE+DF=．【变式1-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为m，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM 的长为．【题型2利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】BC，点【例2】（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．(1)求证：EF⊥AB；(2)连接BD，求证：BD=DE．【变式2-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE．【变式2-2】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）已知，将等边△ABC和一块含有30°角的直角三角板DEF (∠F=30°)如图1放置，点B与点E重合，点A恰好落在三角板的斜边DF上．（1）利用图证明：EF=2AC；（2）△ABC在EF所在的直线上向右平移，当AB、AC与三角板斜边的交点为G、H时，如图2．判断线段EB=AH是否成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-3】（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．(1)以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；(2)若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连接AF、DF，使得∠ADF=60°，试猜想△ADF的形状，直接写出你的结论．【题型3等边三角形的证明】【例3】（2023春·河南周口·八年级校考期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE=AD．(1)如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．【变式3-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，E是CD的中点，EC=EB，∠CDA=120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA．求证：△BEC是等边三角形．补全下面的证明过程及理由．证明：∵DF平分∠CDA（已知），∠___________（___________）．∴∠FDC=12∵∠CDA=120°（已知），∴∠FDC=__________°．∵DF∥BE（已知），∴∠FDC=∠__________（___________），∴∠BEC=60°．又∵EC=EB（已知），∴△BCE是等边三角形（____________）．【变式3-2】（2023春·甘肃天水·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足．求证：(1)DE=DF；(2)△DEF是等边三角形．【变式3-3】（2023春·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC 边上的中线，且BD=BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M．(1)求∠ADE的度数．(2)证明：△ADF是等边三角形．【题型4等边三角形在坐标系中的运用】【例4】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC>1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．(1)求证：OC=AD；(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．【变式4-1】（2023春·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC>1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．(1)求证：OC=AD；(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？【变式4-2】（2023春·北京·八年级北京市广渠门中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A0 ， 2，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．（1）求证：OB=AC；（2）∠CAP的度数是；（直接写出答案，不需要说明理由．）（3）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？如不变，请求出AE的长度；若改变，请说明理由．【变式4-3】（2023春·湖北黄石·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，B（b，0），C（c，0）在x轴上，∠BAC=60°，且b、c满足等式b2+2bc+c2＝0．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如图1，F为AB延长线上一点，连FC，若∠GFC+∠ACG=60°．求证：FG平分∠AFC；(3)如图2，△BDE中，DB=DE，∠BDE=120°，M为AE中点，试确定DM与CM的位置关系．【题型5等边三角形中的折叠问题】【例5】（2023春·四川成都·八年级校考期末）如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为度．【变式5-1】（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cmA．1B．2C．3D．4【变式5-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D 落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E，F，连接DE,DF．若DF⊥BC，则∠AEF的度数是（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【变式5-3】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．(1)如图1，若点F恰好落在边BC上，判断△BDF的形状，并证明；(2)如图2，若点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的度数；(3)若AB=9，当△BDF是直角三角形时，直接写出AD的长．【题型6与等边三角形有关的规律问题】【例6】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3 C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n C n C n+1的周长和为．【变式6-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是0，4，以为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（）A B C D【变式6-2】（2023·四川·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为．【变式6-3】（2023春·广西柳州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1=1,∠ODB1=60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，按此规律进行下去，则点A6的横坐标是．【题型7等边三角形中的动态问题】【例7】（2023春·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为v P=2cm/s，v Q=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【变式7-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同．连接AQ、CP交于点M．(1)求证：△ABQ≌△CAP；(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，则△ABQ和△CAP 还全等吗？说明理由；【变式7-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，点P，Q是等边△ABC边AB，BC上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接AQ,CP,PQ，其中AQ与CP交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（）A．BQ=AP B．△ABQ≌△CAPC．△BPQ的形状可能是等边三角形D．∠CMQ的度数随点P，Q的运动而变化【变式7-3】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)当D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；(2)当CE∥AB时．①若D在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；②若△ABD中的最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．【题型8等边三角形中求最值】【例8】（2023春·广东深圳·八年级校联考开学考试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 是BC边的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方做等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是（）A B．1C D．2【变式8-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，点B为线段AQ上的动点，AQ=8，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰△PCB，则PQ的最小值为（ ）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为．【变式8-3】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（）A．8B．10C．12D．14【题型9等边三角形中的多结论问题】【例9】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市北雅中学校考开学考试）如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM．其中，正确的有．【变式9-1】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE=CD；②FA平分∠EFC；③∠BFD=60°；④FE+FC=FA．其中一定正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【变式9-3】（2023春·全国·八年级期末）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD=CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≅△CAE；②∠BGE=30°；③∠ABG=∠BGF﹔④AB=AH+FG﹔⑤S△AGE︰S△BGC=DG∶GC，其中正确的说法有．【题型10确定等边三角形中的线段之间的关系】【例10】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段AB⊥l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．(1)当点F在线段BD上时，如图①，直接写出DF，CE，CF之间的关系 ．(2)当点F在线段BD的延长线上时，如图②，当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．(3)在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，请直接写出CF的值．【变式10-1】（2023春·山东青岛·八年级校考期中）已知：如图，等边△ABC中，D，E分别在BC，AC边上运动，且始终保持BD=CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合，连接AD、BE，AD，BE交于点F．(1)试说明△BEC≌△ADB；(2)直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系；(3)运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．【变式10-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，过等边△ABC的顶点A作直线l∥BC，点D在直线l上，（不与点A重合），作射线BD，把射线BD绕着点B顺时针旋转60°后交直线AC于点E．(1)如图1，点D在点A的左侧，点E在AC上，请写出线段AB、AD、AE之间的数量关系，并说明理由．(2)（2）如图2，点D在点A的右侧，点E在AC的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论，若不成立，写出你认为正确的结论，并证明．。

等边三角形的性质与判定复习专题一、知识梳理/提炼1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形.2.等边三角形的性质：（1）等边三角形的三边都相等。

（2）等边三角形的内角都相等，且均为60°。

（3）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）（4）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。

3.等边三角形的判定（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形二、课堂精讲例题例题1：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④巩固：若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（）A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形例题2：如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形D．不等边三角形巩固：如图所示，在等边△ABC中，AD=BE=CF,D,E,F不是中点，连结AE,BF,CD.构成一些全等三角形，如果将三个全等三角形组成一组，那么图中全等三角形的组数是（）A.3个B.4个C.5个D.6个例题3：如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若AB=6cm，则CE= cm．巩固：如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DMEDCABF⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．变式：在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．练习、已知：如图，E是四边形ABCD的边AD上一点，且△ABC和△CDE都是等边三角形．求证：BE=AD．知识点二：含30°角的直角三角形的性质1.在Rt△ABC中，∠C=90°∠A=30°，若AB=4cm,则BC=_______________.2.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9cm，则其腰长为__________,顶角是__________.3.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，则CD=____AC,BC=____AB,BD=____BC,BD=_____AB.4.在△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线与点D，则CD的长为___________.5.如右图所示，△ABC为等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD,若△ABC的周长为36cm,求AD的长。