等边三角形性质判定练习题

等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。

专题05 等边三角形的性质和判定（综合题）知识互联网易错点拨知识点1：等边三角形等边三角形定义：叫等边三角形.细节剖析:由定义可知，等边三角形是一种特殊的．也就是说等腰三角形包括．知识点2：等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于.知识点3：等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）的三角形是等边三角形；（2）的三角形是等边三角形；（3）是等边三角形．易错题专训一．选择题1．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC ＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2021•商河县二模）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．163．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．4．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠P AN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形5．（2021秋•平阳县校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6，DE＝2，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．86．（2020秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC 于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二．填空题7．（2022春•保定期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为．8．（2020秋•玉州区期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝6cm，DE＝4cm，则这个六边形的周长等于cm．9．（2020秋•海淀区校级期中）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝．10．（2021秋•海曙区期末）一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距海里．11．（2019秋•潮南区期中）两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC＝6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．12．（2017秋•巢湖市期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有（填上所有正确结论的序号）13．（2021秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）三．解答题14．（2021秋•涡阳县期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．15．（2020秋•曾都区期末）学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．16．（2021春•城关区校级期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）17．（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．18．（2022春•通川区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED ＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．19．（2021秋•台州期中）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是2cm/s，且当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？20．（2021秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。

10道题学透八年级数学《等边三角形的性质八年级数学学科是中学生的必修课程，等边三角形是八年级数学中的重要内容，为了加强学生对等边三角形的掌握，特此编写了以下10道题，供学生参考学习：一、等边三角形是什么？等边三角形是指三条边长相等的三角形，可以用△ABC表示，其中，AB、BC、CA均为相等的边长。

二、等边三角形的形状特点是什么？等边三角形的三条边长相等，相应的三个内角也一定相等，每个内角为60度，所以等边三角形又称为“正三角形”或“六边形”。

三、等边三角形的边长性质是什么？在等边三角形△ABC中，AB = BC = CA，其中，AB、BC、CA均为相等的边长。

四、等边三角形的面积性质是什么？在等边三角形△ABC中，若a为等边三角形的边长，则其面积S 为S=1/2a2；若h为等边三角形的高，则其面积S为S=1/2ah。

五、等边三角形的对边角性质是什么？等边三角形的三个角都为60度，由此可以知道，在等边三角形△ABC中，若A为顶点，则∠ACB =ABC = 60度，其中∠ACB、∠ABC 均为对边角。

六、等边三角形的内角和性质是什么？等边三角形的三个内角均为60度，则在等边三角形△ABC中，A+ B + C = 180度。

七、等边三角形对称轴性质是什么？等边三角形属于六边形，由此可知，等边三角形具有3条对称轴，在等边三角形△ABC中，其对称轴分别为：AB、BC、CA。

八、等边三角形外接圆性质是什么？等边三角形的三条边均为相等的半径，因此，等边三角形的外接圆的半径也是相等的，在等边三角形△ABC内，外接圆半径为：O(A)=O(B)=O(C)。

九、等边三角形等比外接三角形性质是什么？等边三角形外接三角形是一种特殊的等比三角形，等边三角形外接三角形的三个内角为30度，在等边三角形△ABC的外接三角形△ABC中，A、B、C的高分别为AA、BB、CC，根据等比三角形的性质，这三条高是等比的，可由AA : BB : CC = a : b : c，其中a,b,c是等比的三个常数。

13.3.3等边三角形的性质与判定夯实基础篇一、单选题：1．下列说法错误的是（）A ．有两边相等的三角形是等腰三角形B ．直角三角形不可能是等腰三角形C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形2．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE =AD ，则∠EDC =（）度．A ．30B ．20C ．25D ．153．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距()A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里4．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（）A ．30CED ∠=︒B ．120BDE ∠=︒C ．DE BD =D ．DE AB =5．如图，AB AC =，AE EC CD ==，60A ∠=︒，若2EF =，则DF =（）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图：等边三角形AB C 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°二、填空题：7．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝度．8．如图，△ABC 与△DEF 为等边三角形，其边长分别为a ，b ，则△AEF 的周长为.9．如图，将边长为5cm 的等边ABC 向右平移1cm ，得到'''A B C ，此时阴影部分的周长为cm ．10．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA ＝EB ，△ABC 外一点D 满足BD ＝AC ，且BE 平分∠DBC ，则∠D ＝.11．已知：如图，点E 、F 分别在等边三角形ABC 的边CB 、AC 的延长线上，BE ＝CF ，FB 的延长线交AE 于点G 则∠AGB ＝．三、解答题：12．如图，△ABC 是等边三角形，DF ⊥AB ，DE ⊥CB ，EF ⊥AC ，求证：△DEF 是等边三角形．13．如图：已知等边△AB C 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．14．如图，已知等边ABC D E ∆，，分别在BC AC 、上，且BD CE =，连接BE AD 、交F 点．求证：60AFE ︒∠=15．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M .求证：MD ME =能力提升篇一、单选题：1．如图，点P 在边长为1的等边△ABC 的边AB 上，过点P 作PE ⊥AC 于点E ．Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．B ．C ．D ．不能确定2．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（）A ．15B ．30C ．45D ．603．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A -⋯⋯在射线ON 上，点1B 、2B 、3B ⋯⋯在射线OM 上，112A B A 、223A B A 、334A B A ⋯⋯ 均为等边三角形，若11OA =，则201820182019A B A 的边长为（）A．2017B．2018C．201722D．2018 4．如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，O C．以下五个结论：①△ACD≌△BCE；②△AOC≌△BQC;③△APC≌△BOC;④△DPC≌△EQC;⑤∠AOB＝60°．其中正确的是（）A．①②③④⑤B．①④⑤C．①④D．①③④二、填空题：5．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE ⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为．6．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为cm时，线段CQ+PQ的和为最小．7．如图△AB C中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为．三、解答题：8．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。

EDAH F【知识要点】等边三角形的性质与判定（1）性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）判定：①三个角都相等的 是等边三角形. ②有一个角是60°的 是等边三角形. 【题型4】等边三角形的性质如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ， AD 交CE 于H ，（1）求证：BE=AD ；（2）求证：CF=CH ；（3）判断△CFH 的形状并说明理由．【变式训练】1.已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE= ．2.已知BD 为等边△ABC 的边AC 上的中线，E 为BC 延长线上一点，且DB=DE ，若AB=6cm ，则CE= cm ．3.如图，等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE=CD ，DM ⊥BC ，垂足为M.求证：M 是BE 的中点．4.如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，且CE=CD.求证：DB=DE ．5.如图，E是四边形ABCD的边AD上一点，且△ABC和△CDE都是等边三角形．求证：BE=AD．6.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．【题型5】等边三角形的判定如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AE=BE，D为EC中点．（1）求∠CAE的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【变式训练】1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有 .2.如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF. 求证：△DEF 是等边三角形.3.如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC ． （1）求证：△ODE 是等边三角形．（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么数量关系？4.如图，△ABC 是边长为6 cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1 cm/s ，点Q 运动的速度是2 cm/s ，当点Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，说明理由.5.如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．（1）求证：AN=BM ； （2）求证：△CEF 为等边三角形；（3）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．D AF6.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110,∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150 时，判断△AOD的形状，并说明理由；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？AB CDO110α。

等边三角形的性质和判定一．选择题1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B． 220°C． 240°D 300°2．下列说法正确的是（）A等腰三角形的两条高相等C有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形B等腰三角形一定是锐角三角形D三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3在△ABC中，①若AB=BC=CA则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFE C． DE=AB D．S△ABC=3S△DEF6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（A．30°B．45°C．120°D．15°7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm第1 题第4题第5题第7题8．已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（ ）A ．直角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰三角形D ． 等边三角形二．填空题9．已知等腰△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，则∠A= _____ 度． 10．△ABC 中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm ，则BC= ____ cm ．11．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，则△ABC 是 ______ 三角形．12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD 的形状是 _________13如图M 、N 是△ABC 的边BC 上的两点且BM=MN=NC=AM=AN ．则∠BAN= _________ ．14．如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A 、B 两点，若再以A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点C ，则∠AOC 等于________15．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)______________；(2)______________；(3)______________.16．如图，将边长为6cm 的等边三角形△ABC 沿BC 方向向右平移后得△DEF ，DE 、AC 相交于点G ，若线段CF=4cm ，则△GEC 的周长是 _________ cm ．EDC B A17．如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=_________度。

第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练） 一 •选择题（共8小题）1•如图，一个等边三角形纸片 （ 2. ，剪去 B . 220 °）A . 180° F 列说法正确的是（ ） 等腰三角形的两条高相等 C . 等腰三角形一定是锐角三角形 D . 个角后得到一个四边形，则图中 / a +Z B 的度数是 C . 240° D . 300 有一个角是60。

的锐角三角形是等边三角形 三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等A .B . 3. 在△ ABC 中，①若AB=BC=CA ，则△ ABC 为等边三角形；②若/ A= / B= / C,则△ ABC 为等边三角形；③ 有两个角都是60°的三角形是等边三角形； ④一个角为60。

的等腰三角形 是等边三角形•上述结论中正确的有（ ） A . 1个 B . 2个C . 3个D . 4个 4. 占 八、、 5. 且 B . 2个 如图，CD 是Rt △ ABC 斜边AB 上的高，将△ BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在 AB 的中E 处，则/ A 等于（ ）A . 25° B . 30 ° C . 45 如图，已知 D 、E 、F 分别是等边 △ ABC 的边AB 、BC 、AC 上的点， DE 丄BC 、EF 丄AC 、FD 丄AB ，则下列结论不成立的是（ ） A . C . 6.如图， A . 30 ° 7 .如图，在 △ ABC 中，AB=AC , / A=120 ° BC=6cm , AB 的垂直平分线交 BC 于点 交AB 于点E , AC 的垂直平分线交 BC 于点N ，交AC 于点F ,则MN 的长为（ A . △ DEF 是等边三角形 B . △ ADF △ BED CFE DE=AB D . S A ABC=3S △ DEF 在厶ABC 中，D 、E 在 BC 上，且 BD=DE=AD=AE=EC ,贝U Z BAC B . 45° C . 120° D . 15° ) 的度数是（ 第 1 已知/ AOB=30 °,点 M ， -1.' 第 题 第7题 P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称， 第4题 P 在/ AOB 内部， C . 2 cm D . 1cm 8. 则P 1, O , P 2三点所构成的三角形是（ A .直角三角形 B . 钝角三角形 二.填空题（共10小题）9 .已知等腰 △ ABC 中，AB=AC , Z B=60 ）C . 等腰三角形D .等边三角形 ,则/ A= 度. 10. △ ABC 中，Z A= Z B=60°,且 AB=10cm ，贝U BC= _ _ cm . 11. 在△ ABC 中，Z A= Z B= Z 。

等边三角形练习题等边三角形是指三边长度相等的三角形。

在几何学中，等边三角形具有一些特殊的性质和特点。

通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握等边三角形的相关知识。

下面是一些关于等边三角形的练习题，希望能帮助你加深对这个几何形状的理解。

练习题一：已知等边三角形ABC的边长为6cm，求其内角的度数。

解答：由于等边三角形的三条边长相等，所以三个内角也相等。

设一个内角为x度，则有：x + x + x = 1803x = 180x = 60所以等边三角形ABC的内角度数为60度。

练习题二：已知等边三角形DEF的周长为18cm，求其边长。

解答：由于等边三角形的三条边长相等，所以周长等于三个边长之和。

设等边三角形DEF的边长为x，则有：x = 6所以等边三角形DEF的边长为6cm。

练习题三：已知等边三角形GHJ的面积为9√3 cm²，求其高度。

解答：等边三角形的高度可以通过以下公式计算：h = a√3/2，其中h是等边三角形的高度，a是等边三角形的边长。

设等边三角形GHJ的边长为x，则有：h = x√3/2已知等边三角形GHJ的面积为9√3 cm²，代入公式得：9√3 = x * h9√3 = x * (x√3/2)18 = x²x = 3√2所以等边三角形GHJ的高度为3√2 cm。

练习题四：已知等边三角形LMN的外接圆的半径为r，求等边三角形LMN的边长。

等边三角形的外接圆的半径r与边长a的关系为：r = a√3/3，其中r 是外接圆的半径，a是等边三角形的边长。

设等边三角形LMN的边长为x，则有：r = x√3/3已知等边三角形LMN的外接圆的半径为r，代入公式得：r = x√3/3x = 3r/√3x = r√3所以等边三角形LMN的边长为r√3。

通过以上练习题，我们可以更好地理解等边三角形的性质和特点，并学会运用相关公式来解决问题。

通过不断的练习，我们可以提高自己的几何学能力，为日后更复杂的几何问题打下坚实的基础。

八年级数学上册《第十三章等边三角形的性质与判定》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE BD∥交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（）A．12OB CE=B．ACE是直角三角形C．12BC AE=D．BE CE=2．已知：如图，在Δ ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点D、E．若AD=3，BC=5，则Δ BEC的周长为（）A．8B．10C．11D．133．下列判断正确的是（）（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形（4）三边都相等的三角形是等边三角形（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5）C．（2）（3）（4）D．（2）（3）4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB ＝2，∠A ＝120°时，AC 等于（ ）AB C ．D ．25．四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，6AB =，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE =则CE =（ ）A ．B ．C ．D ．46．如图，在四边形ABCD 中，8AD =，2BC =，90B ∠=︒，30A ∠=︒，120ADC =∠︒，则CD 的长为（ ）．A ．6B ．5C ．4D ．37．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝1，将△ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，若直线A C ''经过点A ，则CC '的长为（ ）A ．1B ．2 CD ．4二、填空题8．如图，在边长为6的等边∠ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则∠ABP 的周长为 _____．9．等边三角形的判定：∠______的三角形是等边三角形．（定义）∠三个角都相等的三角形是等边三角形．∠有一个角是____的等腰三角形是等边三角形．10．如图，在等边ABC 中，D 为边BC 上一点，E 为边CA 延长线上的点，连接DE 交AB 边于点F ，DF EF =，若2AE AF AEF =，△的面积为2，则BDF 的面积为______________．11．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE △的周长为______．12．如图，C 为AB 上任意一点，分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作正方形ACDE 、正方形BCFG ，设∠AFC =α，则∠BDC 为_________（用含α的代数式表示）．13．如图，已知ABC ∆中，60A ∠=︒，D 为AB 上一点，且2,4AC AD BD B ACD =+∠=∠，则DCB ∠的度数是_________．14．如图，将∠ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到∠A ′B ′C ′的位置，已知∠ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若中线AD =3，则A ′A 的值为___．三、解答题15．如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 的方向行驶时，以P 为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为5米/秒．(1)求卡车P 对学校A 的噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离；(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次，它给学校A 带来噪声影响的总时间．16．如图，菱形ABCD的边长为2，120∠=︒，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，BCDAD的中点，连接EF．(1)求对角线AC的长；(2)求EF的长．17．如图，∠ABD∠∠EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：∠CD∠AE；∠AD∠CE；∠∠EAD＝∠ECD；正确的是____.18．已知∠ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定∠ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．19．如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求证：222=+．BD CD AD参考答案：1．D【分析】由菱形的性质可知AC DB ⊥，AO OC =，由两直线平行，同位角相等可以推出90ACE AOB ∠=∠=︒，再证明Rt ACERt AOB △，得出12OB CE =，12AB AE =，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出12BC AE =．现有条件不足以证明BE CE =． 【详解】解：∠在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AC DB ⊥，AO OC =，∠90AOB ∠=︒，∠CE BD ∥，∠90ACE AOB ∠=∠=︒，∠ACE 是直角三角形，故B 选项正确；∠90ACE AOB ∠=∠=︒，CAE OAB ∠=∠，∠Rt ACERt AOB △， ∠12OB AB OA CE AE AC ===， ∠12OB CE =，12AB AE =，故A 选项正确； ∠BC 为Rt ACE 斜边上的中线， ∠12BC AE =，故C 选项正确； 现有条件不足以证明BE CE =，故D 选项错误；故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出AC DB ⊥，AO OC =是解题的关键．2．C【分析】根据题意易得AB =AC =2AD =6，AE =BE ，进而根据线段的等量关系及三角形的周长可求解．【详解】解：∠AB =AC ，DE 垂直平分线段AB ，∠AD =BD ，AE =BE ，∠AD =3，∠AB =AC =2AD =6，∠BC =5，∠C △BEC =BC +BE +EC =BC +AE +EC =5+6=11；故选C ．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．3．A【分析】根据等边三角形的判定定理求解即可．【详解】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，故（2）正确；三个内角都相等的三角形是等边三角形，故（3）正确；三边都相等的三角形是等边三角形，故（4）正确；等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，故（5）正确；故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟记判定定理是解本题的关键．4．D【分析】连接AC ，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，AB ＝2，∠A ＝120°，易得△ABC 是等边三角形，继而求得答案．【详解】解：连接AC ，∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2．故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题能证得△ABC是等边三角形是解此题的关键．5．C【分析】根据菱形的性质得出AB=AD=6，AC∠BD，OB=OD，OA=OC，结合题意得出∠ABD是等边三角形，再利用勾股定理确定OC=OA=E在AC上，可能在点O的左边或右边，结合图形求解即可．【详解】解：∠四边形ABCD是菱形，如图所示，∠.AB=AD=6，AC∠BD，OB=OD，OA=OC，∠∠BAD=60°，∠∠ABD是等边三角形，∠BD=AB=6，OB=12BD=3，∠OC=OA∠.AC=2OA=∠点E在AC上，可能在点O的左边或右边，OE∠CE=OC+OE=CE=O C-O E=故选：C．【点睛】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识是解题的关键．6．C【分析】先延长AD、BC交于E，根据已知证出∠EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=8，BC=2和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【详解】解：延长AD、BC交于E，∠∠A=30°,∠B=90°，∠∠E=60°，∠∠ADC=120°，∠∠EDC=60°，∠∠EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，∠AD=8，BC=2，∠2(2+x)=x+8，解得；x=4，∠CD=4，故选：C【点睛】本题考查30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．7．CBCC ABA是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得【分析】根据旋转的性质可证明,AC =2AB =2，由勾股定理得BC =，从而解决问题．【详解】解：∠将∠ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，∠,,BA BA BCBC BAC BA C ， ∠∠BAC =60°，∠60'∠=︒A ，∠ABA '△是等边三角形，∠60ABA '∠=︒，∠60CBC ABA ，∠BCC '是等边三角形，∠CC BC '=，∠∠ABC =90°，∠BAC =60°，∠∠ACB =30°，∠AC =2AB =2，∠BC∠3CC BC ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识，证明BCC '是等边三角形是解题的关键．8．6+【分析】如图所示，过点E 作EF ∠AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明∠ABD ∠∠BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明∠BDP ∠∠ADB ，62BP PD ==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ∠AB 于F ，∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∠CE =BD =2，AB =AC =6，∠AE =4，∠cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∠BF=4，∠BE又∠BD=CE，∠∠ABD∠∠BCE（SAS），∠∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∠∠BDP=∠ADB，∠∠BDP∠∠ADB，∠BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∠BP PD=∠AP AD AP=-=∠∠ABP的周长=6AB BP AP++=+故答案为：6【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．9．三条边都相等60°【解析】略10．6【分析】过点D作DG∠CE，交AB于点G，先证明△AEF∠∠GDF（ASA），得到AE＝GD，GF＝AF，然后证明△GDB为等边三角形，由三角形面积之间的关系即可求得答案．【详解】解：过点D作DG∠CE，交AB于点G，∠∠E ＝∠GDF ，∠C ＝∠GDB ，∠DF ＝EF ，∠EF A ＝∠DFG ，∠∠AEF ∠∠GDF （ASA ），∠AE ＝GD ，GF ＝AF ，2GDF AEF S S ==△△，∠∠ABC 为等边三角形，∠∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°，∠DG ∠CE ，∠∠C ＝∠GDB ＝60°，∠BGD ＝∠BAC ＝60°，∠∠B ＝∠GDB ＝∠BGD ＝60°，∠∠GDB 为等边三角形，∠BG ＝GD ＝AE ，∠AE ＝2AF ，∠BG ＝2AF ＝2GF ，∠22GDB GDF AEF S S S ==△△△＝4，,∠BDF GDF GDB S S S =+△△△＝6，即△BDF 的面积为6．故答案为：6．【点睛】此题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．11．14【分析】根据平行四边形的性质证得14AB AD +=，再证明OE 为线段BD 的垂直平分线，则BE=ED ，由ABE △的周长=+AB AD 即可求解．【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠OB OD =，AB CD =，AD BC =，∠平行四边形的周长为28，∠14AB AD +=，∠OE BD ⊥，∠OE 是线段BD 的垂直平分线，∠BE ED =，∠ABE △的周长14AB BE AE AB AD =++=+=．【点睛】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质及中垂线的性质，证明OE 是线段BD 的垂直平分线是解答的关键．12．90°-α【分析】由“SAS”可证△ACF ∠∠DCB ，得出∠CAF =∠BDC ，再由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∠四边形ACDE 和四边形BCFG 是正方形，∠AC =CD ，CF =CB ，∠ACF =∠DCB =90°，∠∠CAF +∠AFC =90°，在△ACF 和△DCB 中，AC DC ACF DCB CF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACF ∠∠DCB （SAS ），∠∠CAF =∠BDC ，∠∠AFC =α，∠∠CAF =90°-∠AFC =90°-α，∠∠BDC =90°-α，故答案为：90°-α．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．13．20°【分析】延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ，证明AEC △是等边三角形，设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ，再证明()△△ADC EBC SAS ≅，即可得到结果．【详解】解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．∠2=++=+AE AD DB BE AD BD ，∠2=+AC AD BD ，∠AE AC =．∠60A ∠=︒，∠AEC △是等边三角形，∠60∠=∠=︒E ACE ，∠4∠=∠ABC ACD ，∠设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ．在ADC 与EBC 中，∠AD BE A E AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()△△ADC EBC SAS ≅，∠∠=∠=ACD ECB x ．∠∠=∠+∠ABC E BCE ，∠460=︒+x x ，∠20x =︒，∠60202020∠=︒-︒-︒=︒BCD ．故答案是20︒．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．14．1【分析】设A ′B ′，A ′C ′交BC 于点E 、F ，由S △ABC =9、S △A ′EF =4且AD 为BC 边的中线知S △A ′DE =12S △A ′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92，根据∠DA ′E ∠∠DAB 知(A D AD ')2='A DEABD S S ，据此求解可得．【详解】解：如图，设A’ B’，A’ C’交BC 于点E 、F ，∠S △ABC =9、S △A ′EF =4，且AD 为BC 边的中线，∠S △A ′DE =12S △A ′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92， ∠将∠ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到∠A 'B 'C '，∠A ′E ∠AB ，∠∠DA ′E ∠∠DAB ，则(A D AD ')2='A DEABD S S ，即(3'A D )2=49， 解得A ′D =2（负值舍去），321AA AD A D ''∴=-=-=故答案为：1．【点睛】本题主要平移的性质，三角形中线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．15．(1)40米(2)12秒【分析】（1）过点A 作AD ∠ON 于D ，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD 可得答案；（2）在ON 上取点B ，点C ，使50AB AC ==，则卡车在BC 段对学校A 有影响，利用勾股定理求出BD 和CD 的长，从而求出时间．（1）解：过A 作AD ON⊥，垂足为D ，由垂线段最短可知AD 为所求，∠30MON ∠=︒，80OA =米， ∠12AD OA =40=米， 答：噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离为40米；（2）在ON 上取点B ，点C ，使50AB AC ==，由题意，卡车P 到达B 点时开始对学校产生噪声影响，到达C 点时结束噪声影响，由（1）知AD ＝40米，∠30BD =米，同理可得：30CD =米，∠60BC =米，∠卡车的行驶速度为5米/秒，∠给学校A 带来噪声影响的总时间为60512÷=（秒）．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．16．(1)2【分析】（1）由菱形的性质得AB =BC =2，∠BCA =∠DCA =12∠BCD =60°，再证∠ABC 是等边三角形即可； （2）由三角形中位线定理得EF =12BD ，再由菱形的性质得AO =12AC =1，BO =DO ，AC ∠BD ，最后运用勾股定理解答即可．（1）解： 四边形ABCD 是菱形，∠AB BC =，BCA DCA ∠=∠，∠120BCD ∠=︒，∠60BCA ∠=︒ABC 是等边三角形∠2AC AB ==．（2）解：∠E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∠EF 是中位线，∠12EF BD =．又∠四边形ABCD 是菱形，∠112AO AC ==，AC BD ⊥，∠90AOB ∠=︒，∠在Rt AOB 中，由勾股定理得，222BO AB AO =-，∠22221BO =-，∠BO =∠2BD BO ==12EF BD =【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．17．∠∠∠【分析】首先延长AD 交EC 于点N ，延长CD 交AE 于点M ，根据全等三角形的性质，得出∠ABD ＝∠EBC ，AB ＝EB ，BD ＝BC ，∠DAB ＝∠CEB ，再根据等边对等角，得出∠BAE ＝∠BEA ，∠BDC ＝∠BCD ， 又因为∠ABD +∠EBC ＝180°，进而得出∠ABD ＝∠EBC ＝90°，再利用三角形的内角和等于180︒，得出∠BAE ＝∠BEA ＝45°，∠BDC ＝∠BCD ＝45°，即可证明∠正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB +∠ECB ＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD ＝∠BEC ，进而得出∠BAD +∠ECB ＝90°，即可证明∠正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB ＝∠EAD +∠AED ＝∠EAD +45°，再根据∠ECB ＝∠ECD +∠BCD ＝∠ECD +45°，又因为∠ADB ＝∠ECB ，得出∠EAD ＝∠ECD ，即可证明∠正确．【详解】解：延长AD 交EC 于点N ，延长CD 交AE 于点M ，∠∠ABD ∠∠EBC ，∠∠ABD ＝∠EBC ，AB ＝EB ，BD ＝BC ，∠DAB ＝∠CEB ，∠∠ABD +∠EBC ＝180°，∠BAE ＝∠BEA ，∠BDC ＝∠BCD ，∠∠ABD ＝∠EBC ＝90°，∠∠BAE ＝∠BEA ＝45°，∠BDC ＝∠BCD ＝45°，∠∠BAE +∠BCD ＝90°，∠∠AMC ＝90°，∠CD ∠AE ，故∠正确；∠∠CEB +∠ECB ＝90°，∠BAD ＝∠BEC ，∠∠BAD +∠ECB ＝90°，∠∠ANC ＝90°，∠AD ∠CE ，故∠正确；∠∠ADB ＝∠EAD +∠AED ＝∠EAD +45°，∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，∠ADB＝∠ECB，∠∠EAD＝∠ECD，故∠正确；故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．18．等边6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明∠ACE∠∠CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证∠CEF∠∠GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∠BC＝2BD，∠BD＝CD，∠∠ABC是等边三角形，∠∠BAD＝∠DAC＝30°，∠点D关于直线AC的对称点为点E，∠AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∠∠DAE＝60°，∠∠ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∠点D关于直线AC的对称点为点E．∠∠ACD∠∠ACE，∠CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∠BG＝CD，∠CE＝BG，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∠∠ACD＝∠GBC＝120°，∠∠ACE＝∠GBC＝120°，∠∠ACE∠∠CBG（S A S），∠AE＝CG，∠∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∠∠BCE+∠BGC＝180°，∠BG∠CE，∠∠G＝∠FCE，∠F为BE的中点，∠BF＝EF，∠∠BFG＝∠CFE，∠∠CEF∠∠GBF（AA S），∠CF＝GF，∠CF＝12CG＝12AE＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．19．证明见解析【分析】将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，由旋转的性质可得△BCD∠∠BAE，∠DBE＝60°，由全等三角形的性质可得BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA，由三角形内角和定理求出∠EAD＝90°，结合勾股定理可得结论．【详解】解：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接DE，∠∠BCD∠∠BAE，∠DBE＝60°，∠BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA，∠∠BED是等边三角形，∠DE＝BD，在△BDE中，∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°，∠60°+∠BEA+∠AED+∠ADE+∠BDA＝180°，∠∠AED+∠ADE+∠BDC+∠ADB＝120°，∠∠AED+∠ADE＝120°﹣∠ADC＝90°，∠∠EAD＝90°，∠222=+，DE AE AD∠222BD CD AD=+．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，证明∠EAD＝90°是本题的关键．。

等边三角形40题本专题的制作目的是提高学生在等边三角形这一部分的解题能力。

分了两个模块：①等边三角形的性质（20题）；②等边三角形的判定（20题）；共40题。

先仔细研究方法总结、易错总结，再进行巩固练习。

重要的不是题目的数量，而是题目的质量把所有题目都做“过’一遍不是你最大的收获最大的收获应该是当做过无数题目后回过头，发现过去的岁月不是为了走过一次次坑而是为了填上无数个洞初中天天练习模块－等边三角形的性质u歪理( 1 ）等边三角形是一个特殊的等腰三角形．等边三角形三边部中目等，每个内角都等于60。

．( 2）每条边上的中线、高线、所对角的角平分线亘丰目重合（三线合一）．( 3 ）等边三角形也是铀对称图形，它再三条对称轴，三结合一所在的直线即为等边三角形的对称轴，对称轴的交点是等边三角形的中心点．( 4）在直角三角形中，30。

所对的直角边等于斜边的一半．( 5）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个走值，等于一边上的高．比比AEl IAF IP II\ B H D C( 1 ) AB = AC = BC( 2）ζA＝ζB＝ζC= 60。

( 3 ）三线合一、中心点( 4)CD=�AD( 5 )P E+ PF+ PH = AD�否E＠如国所示，在等边三角形ABC中，BD=C E, AD与BE相交于点P，则L'..A P E的度数是（）．AB D cA.45。

B.55。

C.60。

D.75。

＠等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A. 4./3B. 2./3 C . ./3 D. 3＠如图，b..ABC是等边三角形，ζαD=90。

，BD=BC，则Ll的度数是（）AA.15。

B.12。

C.30。

D.11。

cB D。

如图所示，四边形ABCD中，AB= BD = DA = AC，则四边形ABCD中，最大的内角的度数是（）．AB DcA.90。

B.120。

C.135。

D.150。

＠如圈，在等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DE/JAB交AC于点E，过点E作E FlDE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段高（）．AB D c FA.3条B.4条C.5条D. 6条＠如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若己知中间的小等边三角形的边长是α，则六边形的周长是一一一－＠如圈，l::..ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边l::..BDE，连接α若CD= 1, CE= 3，贝U BC＝一一一一－B。

等边三角形的判定与性质（北京习题集）（教师版）一．填空题（共5小题）1．（2018•东城区一模）含30︒角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，160∠=︒，以下三个结论中正确的是 （只填序号）①2AC BC =；②BCD ∆为正三角形；③AD BD =2．（2016秋•海淀区期中）如图，在等边ABC ∆的底边BC 边上任取一点D ，过点D 作//DE AC 交AB 于点E ，作//DF AC 交AC 于点F ，5DE cm =，3DF cm =，则ABC ∆的周长为 cm ．3．（2013秋•西城区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，60A ∠=︒，BE AC ⊥于E ，延长BC 到D ，使CD CE =，连接DE ，若ABC ∆的周长是24，BE a =，则BDE ∆的周长是 ．4．（2011秋•西城区校级期中）已知点A 在MON ∠的OM 边上，在ON 边上有一点P ，恰好使PA OA OP ==，则MON ∠= 度．5．（2010春•海淀区校级期末）等腰三角形有一个角是60︒，其中一边的长为a ，其周长为 ． 二．解答题（共3小题）6．（2014春•东城区期末）如图，在四边形ABCD 中，2AB AD ==，60A ∠=︒，25BC =，4CD =． （1）求ADC ∠的度数． （2）求四边形ABCD 的面积．7．（2013春•海淀区期末）如图：ABC ∆是等边三角形，O 是B ∠、C ∠两角平分线的交点，EO BO ⊥，FO CO ⊥．求证：AEF ∆的周长等于BC 的长．8．（2012春•西城区校级期中）已知：如图，四边形ABCD 中，AB BC CD DA a ====，120BAD ∠=︒，M 为BC 上的点(M 不与B 、C 重合），若AMN ∆有一角等于60︒．（1）当M 为BC 中点时，则ABM ∆的面积为 （结果用含a 的式子表示）； （2）求证：AMN ∆为等边三角形；（3）设AMN ∆的面积为S ，求出S 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．等边三角形的判定与性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．（2018•东城区一模）含30︒角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，160∠=︒，以下三个结论中正确的是 ②③ （只填序号） ①2AC BC =；②BCD ∆为正三角形；③AD BD =【分析】根据平行线的性质以及等边三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：30A ∠=︒， 2AB BC ∴=，故①错误； 12//l l ，160CDB ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，故②正确； BCD ∆是等边三角形， 60BCD ∴∠=︒， 30ACD A ∴∠=∠=︒， AD CD BD ∴==，故③正确；故答案为：②③【点评】本题考查平行的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．2．（2016秋•海淀区期中）如图，在等边ABC ∆的底边BC 边上任取一点D ，过点D 作//DE AC 交AB 于点E ，作//DF AC 交AC 于点F ，5DE cm =，3DF cm =，则ABC ∆的周长为 24 cm ．【分析】根据//DE AC ，//DF AB ，所以四边形AEDF 为平行四边形，所以3AE DF cm ==，5DE AF cm ==，再证明BED ∆为等边三角形，DFC ∆为等边三角形，得到5E BD DE cm ===，3DF FC CD cm ===，所以8AB AE BE cm =+=，8AC AF CF cm =+=，8BC BD CD cm =+=，即可解答．【解答】解：//DE AC ，//DF AB ，∴四边形AEDF 为平行四边形，3AE DF cm ∴==，5DE AF cm ==， ABC ∆为等边三角形， 60A B C ∴∠=∠=∠=︒， //DE AC ，//DF AB ，60BED A ∴∠=∠=︒，60DFC A ∠=∠=︒， 60BED B ∴∠=∠=︒，60DFC C ∠=∠=︒，BED ∴∆为等边三角形，DFC ∆为等边三角形，5BE BD DE cm ∴===，3DF FC CD cm ===，8AB AE BE cm ∴=+=，8AC AF CF cm =+=，8BC BD CD cm =+=， ABC ∴∆的周长为：88824AB AC BC cm ++=++=． 故答案为：24．【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是平行四边形和等边三角形的判定．3．（2013秋•西城区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，60A ∠=︒，BE AC ⊥于E ，延长BC 到D ，使CD CE =，连接DE ，若ABC ∆的周长是24，BE a =，则BDE ∆的周长是 8312+ ．【分析】根据在ABC ∆中，AB AC =，60A ∠=︒，可得ABC ∆的形状，再根据ABC ∆的周长是24，可得8AB BC AC ===，根据BE AC ⊥于E ，可得CE 的长，30EBC ∠=︒，根据CD CE =，可得D CED ∠=∠，根据60ACB ∠=︒，可得D ∠，根据D ∠与EBC ∠，可得BE 与DE 的关系，可得答案．【解答】解：在ABC ∆中，AB AC =，60A ∠=︒， ABC ∴∆是等边三角形， ABC ∆的周长是24， 8AB AC BC ∴===， BE AC ⊥于E ，142CE AC ∴==，1302EBC ABC ∠=∠=︒， 43BE a ∴==，CD CE =， D CED ∴∠=∠，ACB ∠是CDE ∆的一个外角， 60D CED ACB ∴∠+∠=∠=︒ 30D ∴∠=︒， D EBC ∴∠=∠， 43BE DE a ∴===，BED ∴∆周长是(84)2128312DE BE BD a a a ++=+++=+=+．故答案为：8312+．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的性质：等边对等角，等腰三角形的判定：等角对等边．．4．（2011秋•西城区校级期中）已知点A 在MON ∠的OM 边上，在ON 边上有一点P ，恰好使PA OA OP ==，则MON ∠= 60 度．【分析】根据题意判定OPA ∆是等边三角形，然后由等边三角形的三个内角都是60度的性质来求MON ∠的度数． 【解答】解：如图，在OPA ∆中，PA OA OP ==， OPA ∴∆是等边三角形， 60O ∴∠=︒，即60MON ∠=︒．故答案是：60．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质．等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60︒的角判定．5．（2010春•海淀区校级期末）等腰三角形有一个角是60︒，其中一边的长为a ，其周长为 3a ．【分析】根据等边三角形的判定：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．再根据等边三角形的性质，即可求得此等腰三角形的周长．【解答】解：等腰三角形有一个角为60︒，∴这个等腰三角形是等边三角形；因此其周长33a a =⨯=． 故填3a ．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质．由已知判定三角形为等边三角形是解答本题的关键． 二．解答题（共3小题）6．（2014春•东城区期末）如图，在四边形ABCD 中，2AB AD ==，60A ∠=︒，25BC =，4CD =． （1）求ADC ∠的度数． （2）求四边形ABCD 的面积．【分析】（1）连接BD ，根据2AB AD ==，60A ∠=︒，得出ABD ∆是等边三角形，求得2BD =，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC 是直角三角形，从而求得150ADC ∠=︒； （2）根据四边形的面积等于三角形ABD 和三角形BCD 的和即可求得； 【解答】解：（1）连接BD ，2AB AD ==，60A ∠=︒， ABD ∴∆是等边三角形， 2BD ∴=，60ADB ∠=︒， 25BC =，4CD =，则22222420BD CD +=+=，22(25)20BC ==，222BD CD BC ∴+=，90BDC ∴∠=︒， 150ADC ∴∠=︒；（2）131131222443222222ABD BDC S S S AD AD BD DC ∆∆=+=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=+．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，把不规则的图形转化成规则的三角形求得面积等．7．（2013春•海淀区期末）如图：ABC ∆是等边三角形，O 是B ∠、C ∠两角平分线的交点，EO BO ⊥，FO CO ⊥．求证：AEF ∆的周长等于BC 的长．【分析】根据等边三角形性质求出EBO ∠和FCO ∠都等于30︒，设OE a =，求出BE 、CF ，求出等边三角形EOF ，求出EF ，求出等边三角形AEF ，求出即可．【解答】证明：设OE a =，因为ABC ∆是等边三角形，且OB ，OC 平分ABC ∠、ACB ∠，所以2BE CF a ==， 由勾股定理得：3OB a =，又因为EO BO ⊥，FO CO ⊥，所以60EOF ∠=︒， 所以EOF ∆为等边三角形， 60OEF OFE EOF ∴∠=∠=∠=︒， 60AEF AFE ∴∠=∠=︒，∴三角形AEF 是等边三角形，AE AF EF a ∴===，所以EF OE a ==，3BC a =，32323AE AF EF AB BE AC CF EF a a a a a a BC ++=-+-+=-+-+==．即AEF ∆的周长等于BC 的长．【点评】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形，够多了等知识点的理解和掌握，能求出等边三角形AEF 、EOF 是解此题的关键．8．（2012春•西城区校级期中）已知：如图，四边形ABCD 中，AB BC CD DA a ====，120BAD ∠=︒，M 为BC 上的点(M 不与B 、C 重合），若AMN ∆有一角等于60︒． （1）当M 为BC 中点时，则ABM ∆的面积为 238a （结果用含a 的式子表示）； （2）求证：AMN ∆为等边三角形；（3）设AMN ∆的面积为S ，求出S 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．【分析】首先证明四边形ABCD 为菱形，根据条件找出相等的线段和角：（1）利用三角形的面积计算方法直接计算；（2）分三种情况探讨：①当60MAN ∠=︒时，连接AC ，证ABM ACN ∆≅∆；②当60AMN ∠=︒时，在AB 上截取BE BM =，先证BEM ∆是等边三角形，再证AEM MCN ∆≅∆；③当60ANM ∠=︒时，方法同②；（3）据图可知：当M 与A 重合，N 与C 重合时，AMN ∆的面积最大；当M 为BC 的中点，N 为CD 的中点时，AMN ∆的面积最小． 【解答】解：如图，在四边形ABCD 中， AB BC CD DA ===，∴四边形ABCD 是菱形，又120BAD ∠=︒，120BCD ∴∠=︒，60B D ∠=∠=︒，连AC 则，60BAC DAC ∠=∠=︒，60BCA DCA ∠=∠=︒，AC AB AD ==． （1）如上图， 当M 为BC 中点时， AM BC ∴⊥，21113322228ABM ABC S S a a a ∆∆∴==⨯⨯=；（2）①、如图1:如果60MAN ∠=︒，则60MAC CAN ∠+∠=︒，60BAC ∠=︒， 60BAM MAC ∴∠+∠=︒， BAM CAN ∴∠=∠， AB AC =，60∠=∠=︒，B ACN∴∆≅∆，ABM ACN∴=，AM AN∴∆是正三角形；AMN②、如图2:如果60∠=︒，AMN则1601∠=∠+∠=︒+∠，AMC B∠=︒+∠，AMC602∴∠=∠，12又60∠=∠=︒，AMN ACNA∴、M、C、N四点共圆，∴∠=∠，23∴∠=∠，13=，AB AC∠=∠=︒，60B ACN∴∆≅∆，ABM ACN∴=，AM AN∴∆是正三角形；AMN③、如图3，如果60∠=︒，ANM则6606 ANC D∠=∠+∠=︒+∠，ANC∠=︒+∠，605∴∠=∠，56又60∠=∠=︒，ANM ACMA∴、N、C、M四点共圆，∴∠=∠，45∴∠=∠，46AC AD=，∠=∠=︒，60ACM D∴∆≅∆，AMC AND∴，AMAN∴∆是正三角形；AMN（3）最大21122ABM ABCD S S a ∆==菱形，最小21324ABM S a ∆=⨯，∴2234ABM S a ∆． 【点评】此题考查菱形的性质与判定，等边三角形的判定，等边三角形面积的计算方法等知识点．。

等边三角形的性质与判定（人教版）试卷简介:本套试卷主要考查等边三角形的判定及性质，同学们需要首先清楚等边三角形的判定及性质具体包括哪些内容，然后按照做几何题的思路解题。

训练做几何题目时观察、标注、整合信息的能力.一、单选题(共1道，每道10分)1.已知下列命题:①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：①因为外角与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．④三角形的外角都相等，所以三个内角也相等，即均为60°，是等边三角形.该结论正确.故选C试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定二、填空题(共9道，每道10分)2.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC等于____度．答案：30解题思路：∵PQ=AP=AQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠APQ=60°，又∵AP=BP，∴∠ABC=∠BAP，∴∠ABC=30°．故填30.试题难度：知识点：等边三角形的判定及性质3.如图，△ABC为等边三角形，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且AE=CD=BF，则△DEF 为____三角形．答案：等边解题思路：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC．∵AE=BF，∴AF=CE，又∵AE=CD，∴△AEF≌△CDE（SAS）．∴EF=DE，同理可证△AEF≌△BFD（SAS）．∴EF=DF，∴EF=DE=DF，∴△DEF是等边三角形，故填“等边”.试题难度：知识点：等边三角形的判定4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1等于____度．答案：75解题思路：∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB，∠ABC=60°，∵BD=BC，∠CBD=90°，∴BA=BD，∠ABD=150°，∴∠BAD=∠BDA=15°∴∠1=75°.故填75试题难度：知识点：等边三角形的性质5.如图，把一个边长为6cm的正三角形剪成一个最大的正六边形，则这个正六边形的周长为____cm．答案：12解题思路：如图所示，∵△ADP为等边三角形，∴∠A=∠D=∠P=60°．在正六边形BEFHGC中，BC=BE，∠CBE=∠BEF=∠CGH=120°，∴∠ABC=∠DEF=∠HGP=60°．∴△ABC，△DEF，△HGP均为等边三角形．∴AB=BC，EF=DE，HG=HP，∴AB=BE=ED，∴∵AD=6，∴BE=2.∴6BE=12即这个正六边形的周长为12cm．试题难度：知识点：等边三角形的性质6.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是____．答案：30a解题思路：如图，图中三角形均为等边三角形，设①的边长为x，则②，③的边长为x，④，⑤的边长为x+a，⑥，⑦的边长为x+2a，⑧的边长为x+3a，所以六边形周长是，2x+2（x+a）+2（x+2a）+（x+3a）=7x+9a，而⑧的边长等于①边长的2倍，即x+3a=2x，故x=3a．所以周长为7x+9a=30a．试题难度：知识点：等边三角形的性质7.如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2013次，点P依次落在点，，，…，的位置上，则点的横坐标为____．答案：2012.5解题思路：观察图形结合翻转的方法可以得出,的横坐标是1，的横坐标是2.5，,的横坐标是4，的横坐标是5.5，…依此类推下去，,的横坐标就是2011，的横坐标为2012.5．故答案为2012.5．试题难度：知识点：等边三角形的性质8.如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形BCN，连接AN，BM．若∠MBN=38°，则∠ANB等于____度．答案：82解题思路：∵△ACM和△BCN是等边三角形，∴AC=MC，CB=CN，∠ACM=∠BCN∴∠ACN=∠MCB．∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴∠ANC=∠MBA．∵∠MBN=38°∴∠MBA=22°，∴∠ANC=22°．∴∠ANB=82°．故答案为82试题难度：知识点：等边三角形的性质9.已知△ABC是等边三角形，∠ADC=120°，AD=2，BD=5，则边CD的长为____．答案：3解题思路：如图，延长AD到点E，使DE=CD，连接CE．∵∠ADC=120°，∴∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形．∴∠DCE=60°，CD=CE，∵∠ACB=60°，∴∠BCD=∠ACE，∵BC=AC，∴△BCD≌△ACE（SAS）．∴BD=AE，∵BD=5，AD=2，∴DE=3，∴CD=3．故答案为3．试题难度：知识点：等边三角形的判定及性质10.如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，则∠BDE等于____度．答案：30解题思路：如图，连接CE．在等边△ABC中，AC=BC，∠ACB=60°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE.∵BD=AC,∴BD=BC,又∵BE=BE,∴△DBE≌△CBE（SAS）.∴∠BDE=∠BCE.∵EA=EB，AC=BC，CE=CE,∴△ACE≌△BCE（SSS）.∴∠BCE=∠ACE,∴∠BCE=30°，即∠BDE=30°.试题难度：知识点：等边三角形的性质。

等边三角形的性质（1）1．（2009•津南区二模）正三角形的外接圆半径为2，则正三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．22．（1999•哈尔滨）一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，则这个正三角形与这个正六边形的面积之比为（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．3：23．（2010•红桥区二模）一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则它们的边长比为（ ）A ．﹕1B ．﹕1C ．﹕1D ．﹕14．（2010•乌鲁木齐）将边长为3cm 的正三角形各边三等分，以这6个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为（ ）　A ．cm 2B ．cm 2C ．cm 2D ．cm 25．（2007•天津）将边长为3cm 的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于（ ）A ．cm 2B ．cm 2C ．cm 2D ．cm 26．（2009•宝应县三模）如图所示，边长为2的正三角形与边长为1的正六边形重叠，且正六边形的中心是正三角形的一个顶点，则重叠部分的面积为（ ）　A ．B ．C ．D ．因缺少数据无法计算7．如图，将等边△ABC各边向外延伸一倍，构成一个新的△NMH，若△ABC的面积为1，则△NMH的面积是（ ）　A．5B．6C．7D．8 8．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）cm．　A．30B．40C．50D．609．如图，点A、C、B在同一直线上，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE与BD交于点O，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①AE=BD；②△ACM≌△DCN；③EM=BN；④MN∥BC；⑤∠DOA=60°，其中，正确的结论个数是（ ）　A．5个B．4个C．3个D．2个10．图中，最外面是第1个等边三角形，边长为1，记周长为l1，然后以中心为顶点构造第2个等边三角形，使其底边与第1个等边三角形底边重合，记其周长为l2；若继续构造下去，则第n个等边三角形的周长l n为（ ）　A．B．C．D．11．（2012•荆州）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ）　A．2B．2C．D．312．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）　A．B．C．D．不能确定13．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（ ）　A．60°B．45°C．40°D．30°14．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）　A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定15．（2004•镇江）如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（ ）　A．10﹣15B．10﹣5C．5﹣5D．20﹣1016．（2014•十堰四月调考）如图，在矩形ABCD内，以BC为一边作等边三角形EBC，连接AE、DE．若BC=2，ED=，则AB的长为（ ）　A．2B．2C．+D．2+17．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（ ）　A．6B．12C．32D．64 18．（2012•新昌县模拟）如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，S2012=（ ）　A．B．C．D．19．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都是120°，且AB=1，BC=CD=7，DE=3，则这个六边形周长为（ ）　A．31B．36C．32D．2920．如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB 上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）　A．1B．1.5C．2D．321．如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（ ）　A．14B．13C．12D．无法求出22．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（ ）　A．0个B．1个C．2个D．3个23．如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD=62°，则∠AEB的度数为（ ）　A．112°B．122°C．132°D．128°24．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（ ）　A．L l=L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定25．如图，F是等边△ABC的边AC的中点，D在边BC上，△DFE是等边三角形，ED的延长线交AB于H，则下列结论：①∠AHD+∠AFD=180°，②AF=BC，③CF+CE=CD，④为定值，其中正确的是（ ）　A．①③B．②③C．①②③D．①②④26．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若∠BAC=30°，下列结论：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG与△EOG的面积比为1：4．其中正确结论的个数是（ ）　A．2个B．3个C．4个D．5个27．若等边△ABC内一点到三边的距离分别为6，8，10，则△ABC的面积为（ ）　A．B．C．D．28．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（ ）　A．12B．9C．8D．429．（2014•孝感一模）如图，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，得到等边△RPQ，若S△RPQ=，则AD的长为（ ）　A．B．C．D．230．（2012•镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）　A．B．C．D．。

等边三角形的性质习题精选一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．2345A30 B 40 ． 50 D 602．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A B C D3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A15° B 22.5° C 30° D 45°4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A Ll=L2 B L1＞L2．L2＞L1 D 无法确定5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE 的长是（）A B C 20+10 D 20﹣106．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）7910A阴影部分面积大B 空白部分面积大C 一样大D 不确定7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A190 B 192 C 194 D 1968．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A4个 B 5个 C 6个 D 7个9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A12 B 9 C 8 D 410．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A B C D11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）121314A 1B 2C 3D 412．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A36 B 32 C 30 D 2813．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A120° B 135° C 150° D 165°二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_________ ．1617192016．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_________ ．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= _________ ．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有_________ 个；△PAB的面积是_________ ．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_________ ．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________ ．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=_________ ．2222．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_________ ．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_________ ．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h （定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_________ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _________ ．若不存在，请说明理由．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．29．阅读下列材料，解答相应问题：已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：证明：如图3，连接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴BC•AD=AB•PE+AC•PF∴a•h=a•h1+a•h2．∴h1+h2=h．（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．等边三角形的性质习题精选参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．解答：解：设AB=x，∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．故选D点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．2．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，代入上式即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2+∠γ=∠1+∠α，∴∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°，∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°，∴∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，∴∠α﹣∠γ=∠β﹣∠α，∴2∠α=∠β+∠γ，∴α=，故选B．点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC 的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A．L=L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定l考点：等边三角形的性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，即可求得L=L2．1解答：解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD=∠CPE=30°，∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，∴AD+AE=AB+AC﹣BC=BC，∴BD+CE+BC=BC，L1=BC+DE，L2=BC+DE，点评：本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，L2=BC+DE是解题的关键．5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣10考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．解答：解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．点评：本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键．6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）A．阴影部分面积大B．空白部分面积大C．一样大D．不确定考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可．解答：解：如图，∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，∴阴影部分面积与空白部分面积一样大．故选C．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质．7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC 的面积等于（）A．190 B．192 C．194 D．196考点：等边三角形的性质．专题：计算题．解答：解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC•（PQ+PR+PS）=BC•AD故PQ+PR+PS=AD，∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°∴AB=24×=16，∴△ABC的面积S=BC•AD=×24×16=192，故选 B．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD是解题的关键．8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A．4个B．5个C．6个D．7个考点：等边三角形的性质．专题：计算题；开放型．分析：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题．解答：解：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，所以那两个点的距离是不超过的，∴取得点至少为n2+1，当根据题意n=2，∴n2+1=5．故选B．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关键．9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．12 B．9C．8D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形的面积即可计算（h+h2﹣h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，3即可求得△ABC的面积，即可解题．解答：解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC=S△ABC，从而ah3+ah2﹣ah1=a2，即a（h3+h2﹣h1）=a2，∵（h3+h2﹣h1）=6，∴a=4，点评：本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，△ABC的周长的比值，可以解题．解答：解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键．11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）A．1B．2C．3D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ACD≌△BED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC 的长，即可解题．解答：解：∵∠ADC+∠CDB=60°，∠CDB+∠BDE=60°，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，∴AC=BE，∵AC=BC，AB=，∴AC=BC=1，∴BE=1．故选A．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BED是解题的关键．12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A．36 B．32 C．30 D．28考点：等边三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形．解答：解：①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，∴AB=AC=BC，∴EFAB，EDAC，∴四边形CEDF是菱形，∴EF⊥CD，∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；②∵D为等边三角形ABC三边中点，∴CD⊥AB，∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30（个）；故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质．解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质．13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A．100 B．60 C．100 D．60考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积公式和中位线定理求解．解答：解：设小三角形的边长为a．∴小三角形的面积为a2sin60°=25，解得a=10∵正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形∴大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a∴大的正三角形的周长为2a×3=6a=6×10=60．故选D．点评：考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解．14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设∠CDA=x，∠ABC=y，根据DA=DB=DC=BC，求得x=2y，由四边形的内角和是360°得∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BD C，解得即可得出答案．解答：解；设∠CDA=x，∠ABC=y，∵DA=DB=DC=BC，∴∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∵∠DBA+∠BAD+∠BDA=180°，∴60°﹣x+2（60°+y）=180°，即x=2y，∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BDC，=360°﹣（60°+y）﹣﹣60°，=150°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和等边三角形性质的理解和掌握，此题的关键是有已知条件得到∠CAD 和∠ABC之间的关系，进一步求出结果．二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 6 ．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△C ND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．点评：此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC 于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC 为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．解答：解：过点E作EG⊥AB于G，∴∠EGB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+，根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，∴∠BEF=360°﹣∠B﹣∠F﹣∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=∠FDB=45°∴∠MEC=180°﹣∠BEF=30°，∴∠EMC=180°﹣∠C﹣∠EMC=90°，在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°==，∴DN=，∴S△ADN=AD•DN=×1×=，在△BDE中，DB=AB﹣AD=3+﹣1=2+，∵∠EDG=45°，∴∠DEG=45°，∴DG=EG，∵tan∠B=tan60°==，设EG=x，则DG=x，BG=x，∴x+x=2+，解得：x=，∴EG=DG=，∴S△BDE=BD•EG=×（2+）×=，∵∠B=∠C=∠F=60°，∴BE==+1，∴EC=BC﹣BE=2，∵∠BED=∠FED=180°﹣∠B﹣∠BDE=75°，∴∠FNM=∠MEC=30°，∴∠FMN=∠EMC=90°，∴EM=EC•cos30°=，∴FM=EF﹣EM=BE﹣EM=1，∴MN=FM•tan60°=，∴S四边形MNDE=S△DEF﹣S△MNF=S△BDE﹣S△MNF=﹣×1×=．点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= （）10．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：利用正三角形的性质和正三角形的边长求得OC的长，然后逆时针旋转30°后可以求得OE的长，直至线段ON与线段OA重合，一共旋转了12次，从而可以求得ON的长．解答：解：∵OC为等边三角形的高，且等边三角形的边长为1，∴NC=，∵△OCD为等边三角形，∴∠OCD=60°，∴OE⊥CD，∴OE==（）2，以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了10次，∴ON的长为（）10，故答案为（）10点评：本题考查了正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有 1 个；△PAB的面积是．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据三角形面积的计算和△PAB、△PBC、△PCA的面积相等可得P到AB、BC、AC的距离相等，故P点为等边三角形三个角平分线的交点，故P点只有一个，且△PAB的面积为等边△ABC面积的．解答：解：∵△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，AB=BC=AC，∴P到AB、BC、AC的距离相等，故点P为等边三角形三角平分线的交点，等边三角形三角平分线交于一点，故点P只有一个，且△PAB的面积为．故答案为：1，．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，三角形面积的计算，本题中求得P点是等边三角形三个角平分线的交点是解题的关键．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：作AM⊥BC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长，即可解题．解答：解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC，则△ABC的面积S=BC•AM=（BC•PD+AB•PF+AC•PE），∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•（PD+PF+PE），∴PD+PE+PF=AM，∴△ABC的高为：1+3+5=9，∴△ABC的边长为：AB===9×=6，故答案为6．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=240°．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：根据OM=ON=MN即可判定△OMN为等边三角形，根据等边三角形各内角为60°的性质，可求得∠OPQ+∠OQP的值，进而根据∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）即可解题．解答：解：∵OM=ON=MN，∴三角形OMN为正三角形，所以∠APQ+∠CQP=（180°﹣∠OPQ）+（180°﹣∠OQP），=360°﹣（∠OPQ+∠OQP），=360°﹣（180°﹣∠POQ），=180°+60°，=240°．故答案为：240°．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了外角的定义，本题中求得∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）是解题的关键．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=60°．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据可以证明AD=BE，即AE=CD，即可证△ACE≌△BCD，可得∠DBC=∠ACE，根据∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°即可求得∠BPE=∠ACB，即可解题．解答：解：∵△ABD的面积=四边形ADPE的面积+△BPE的面积△BCE的面积=三角形BPC的面积+△BPE的面积四边形ADPE与△BPC的面积相等，∴AD=BE，即AE=CD，又∵AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠ACE又∵∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°，∴∠BPE=∠ACB=60°，故答案为60°．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3 ．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设=n，根据平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形和△AMN和四边形MBCN的周长相等，得出3AM=AM+BC+2BM，然后整理此等式即可得出答案．解答：解：设==n，∵3AM=AM+BC+2BM，△ABC为等边三角形，∴BM=AB﹣AM=BC﹣AM，∴2AM=+2（BC﹣AM），即2AM=+2（﹣AM），∴2AM=+2AM（﹣1），即2=+﹣2，4=．∴BC与MN的长度之比是4：3．故答案为：4：3．点评：此题主要考查等边三件形的性质这一知识点，解答此题的关键是设=n 利用等边三角形的性质和△AMN和四边形MBCN的周长相等，列出3AM=AM+BC+2BM这样一个等式，然后整理即可．此题有一定的拔高难度，属于难题．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为 3 ．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求正方形的面积，即可解题．解答：解：∵等边三角形三线合一，∴D为BC的中点，即BD=DC=1，∴AD==，∴正方形的面积为×=3．故答案为3．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h （定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？存在（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= 2 ．若不存在，请说明理由．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．解答：证明：（1）连接AP，BP，CP．（2分）则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，（4分）即，（6分）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）；（8分）（2）存在．（10分）r=2．（12分）点评：此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．考点：等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：连接OE，OF构建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF，然后等边三角形ABC中，根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换证明BE=EF=FC即E，F是BC的三等分点．解答：解：E，F是BC的三等分点．理由：连接OE，OF，∵DE垂直平分OB∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），同理OF=CF，∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，∵等边三角形ABC中，∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）∴BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点．点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答该题时，充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：（1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD是∠ABC的角平分线，即可得∠CBD=30°，根据三角形外角性质即可得∠DCE=120°﹣60°，根据CD=CE，可得∠CDE=∠CED=30°，即可得∠CED=∠CBD=30°，即DB=DE．（2）过D作DF⊥BC，则DF=AG，根据等边三角形的性质可以求得BE的长，根据BE、DF的长即可计算△BDE 的面积．解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，即BD为AC边上的中线，∴BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=60°，∴∠CBD=∠ABC=30°，。

等边三角形的性质习题精选一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．2345 A30B40^．50D602．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A B【C D3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A15°B！°C30°D45°4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A L l=L2B(L1＞L2．L2＞L1D无法确定5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A B.C 20+10D20﹣106．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）7910A阴影部分面积大《B空白部分面积大C一样大D不确定7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A4个@B5个C6个D7个9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A；12B 9C 8D 410．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A|B C D11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）121314…A1B2C3D412．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）—A36B32C30D2813．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）*A100B 60C100D6014．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）>A120°B135°C150°D165°二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_________．—16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_________．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON=_________．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P 共有_________个；△PAB的面积是_________．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_________．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=_________．2222．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_________．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_________．—三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等_________（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_________．若不存在，请说明理由．—}25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗请说明你的理由．`26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，@（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．'27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．】,29．阅读下列材料，解答相应问题：已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：证明：如图3，连接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．!∴BC•AD=AB•PE+AC•PF∴a•h=a•h1+a•h2．∴h1+h2=h．（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与h 之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．》~30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q 的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小并求出这个最值．等边三角形的性质习题精选参考答案与试题解析>一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．60A．30B．40C．50:D．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．解答：%解：设AB=x，∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．故选D点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．[2．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A．B．C．D．、分析：根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，代入上式即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，<∴∠B=∠C，∴∠2+∠γ=∠1+∠α，∴∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°，∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°，∴∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，∴∠α﹣∠γ=∠β﹣∠α，∴2∠α=∠β+∠γ，∴α=，故选B．,点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ和∠2﹣∠1=∠β﹣∠α是解此题的关键．3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF的度数为（）C．30°D．45°A．15°B．|°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．;解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴AM=AE ，∵AD 是BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD ⊥BC ，∵EM ∥BC ，`∴AD ⊥EM ，∵AM=AE ，∴E 和M 关于AD 对称，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，则此时EF+CF 的值最小，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC ，∵AM=BM ，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C ．！ 点评： 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．4．如图，△ABC 是等边三角形，P 是BC 上任意一点，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，连接DE ．记△ADE 的周长为L 1，四边形BDEC 的周长为L 2，则L 1与L 2的大小关系是（ ）A ． L l =L 2B ． L 1＞L 2 !C ．L 2＞L 1 D ． 无法确定考点： 等边三角形的性质；三角形三边关系．专题： 计算题．分析： $等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD ，CP=2CE ，∴BD+CE=BC ，即可求得L 1=L 2． 解答： 解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD=∠CPE=30°，∴在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，∴BP=2BD ，CP=2CE ，∴BD+CE=BC ，∴AD+AE=AB+AC ﹣BC=BC ，∴BD+CE+BC=BC ，L 1=BC+DE ，L2=BC+DE，即得L1=L2，故选A．点评：本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，L2=BC+DE是解题的关键．5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）B．C．20+10D．20﹣10A．】考点：等边三角形的性质．计算题．】专题：分析：根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．解答：解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，^∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．点评：本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键．6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）}阴影部分面积B．空白部分面积C．一样大D．不确定A．大大考点：-等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可．解答：解：如图，∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，∴阴影部分面积与空白部分面积一样大．故选C．此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质．…点评：7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A．190B．192~194D．196C．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：·根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR=AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD的值即可计算等边△ABC的面积．解答：解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC•（PQ+PR+PS）=BC•AD故PQ+PR+PS=AD，∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°∴AB=24×=16，∴△ABC的面积S=BC•AD=×24×16=192，;故选B．点评： 本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD 是解题的关键．8．在边长为2cm 的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm 的两点，那么取的点至少应有（ ）A ． 4个B ． ! 5个C ． 6个D ． 7个考点： 等边三角形的性质．专题： 计算题；开放型．】 分析：把三角形每条边分成n 份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n 2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题．解答： 解：把三角形每条边分成n 份，相应点之间连线，可以把三角形分成n 2个边长为的小三角形，n 2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内， 所以那两个点的距离是不超过的，∴取得点至少为n 2+1，当根据题意n=2，∴n 2+1=5．·故选B ．点评： 本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n 2个三角形是解题的关键．9．如图，已知等边△ABC 外有一点P ，P 落在∠ABC 内，设点P 到BC 、CA 、AB 三边的距离分别为h 1、h 2、h 3，且满足h 2+h 3﹣h 1=6，那么等边△ABC 的面积为（ ）A ． 12B ．~ 9 C ． 8 D ． 4考点： 等边三角形的性质．专题： 计算题．[ 分析： 根据等边三角形的面积即可计算（h 3+h 2﹣h 1）是等边三角形ABC 的高，根据等边三角形的高即可求得BC 的值，即可求得△ABC 的面积，即可解题．解答： 解：设等边△ABC 的边长为a ，连接PA 、PB 、PC ，则S △PAB +S △PAC ﹣S △PBC =S △ABC ，从而ah3+ah2﹣ah1=a2，即a（h3+h2﹣h1）=a2，∵（h3+h2﹣h1）=6，∴a=4，∴S△ABC =a2=12．（故选A．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．：B．C．D．考点：等边三角形的性质．专题：^计算题．分析：设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，△ABC的周长的比值，可以解题．解答：解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈．故选D．'点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键．11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）3D．4A．1B．2"C．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：^根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ACD≌△BED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC 的长，即可解题．解答：解：∵∠ADC+∠CDB=60°，∠CDB+∠BDE=60°，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，∴AC=BE，∵AC=BC，AB=，∴AC=BC=1，、∴BE=1．故选A．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BED是解题的关键．12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）32C．30D．28A．36*B．考点：等边三角形的性质．专题："证明题．分析：根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形．解答：解：①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，∴AB=AC=BC，∴EF AB，ED AC，∴四边形CEDF是菱形，∴EF⊥CD，∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；;同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；②∵D为等边三角形ABC三边中点，∴CD⊥AB，∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30（个）；故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质．解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质．《13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A．100B．60C．100D．】60考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积公式和中位线定理求解．解答：解：设小三角形的边长为a．）∴小三角形的面积为a2sin60°=25，解得a=10∵正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形∴大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a∴大的正三角形的周长为2a×3=6a=6×10=60．故选D．点评：考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解．14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）.A．120°B．135°C．150°D．165°、考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设∠CDA=x，∠ABC=y，根据DA=DB=DC=BC，求得x=2y，由四边形的内角和是360°得∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA ﹣∠BDC，解得即可得出答案．解答：解；设∠CDA=x，∠ABC=y，∵DA=DB=DC=BC，∴∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，￥∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∵∠DBA+∠BAD+∠BDA=180°，∴60°﹣x+2（60°+y）=180°，即x=2y，∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BDC，=360°﹣（60°+y ）﹣﹣60°，=150°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和等边三角形性质的理解和掌握，此题的关键是有已知条件得到∠CAD和∠ABC之间的关系，进一步求出结果．;二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为6．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．^解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC ∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN？∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．点评：此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．】16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC 为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．解答：:解：过点E作EG⊥AB于G，∴∠EGB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+，根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，∴∠BEF=360°﹣∠B﹣∠F﹣∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=∠FDB=45°∴∠MEC=180°﹣∠BEF=30°，：∴∠EMC=180°﹣∠C﹣∠EMC=90°，在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°==，∴DN=，∴S△ADN=AD•DN=×1×=，在△BDE中，DB=AB﹣AD=3+﹣1=2+，∵∠EDG=45°，∴∠DEG=45°，∴DG=EG，∵tan∠B=tan60°==，设EG=x，则DG=x，BG=x，}∴x+x=2+，解得：x=，∴EG=DG=，∴S△BDE=BD•EG=×（2+）×=，∵∠B=∠C=∠F=60°，∴BE==+1，∴EC=BC﹣BE=2，∵∠BED=∠FED=180°﹣∠B﹣∠BDE=75°，∴∠FNM=∠MEC=30°，∴∠FMN=∠EMC=90°，、∴EM=EC•cos30°=，∴FM=EF﹣EM=BE﹣EM=1，∴MN=FM•tan60°=，∴S四边形MNDE=S△DEF﹣S△MNF=S△BDE﹣S△MNF=﹣×1×=．点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON=（）10．等边三角形的性质．@考点：专题：压轴题；规律型．分析：利用正三角形的性质和正三角形的边长求得OC的长，然后逆时针旋转30°后可以求得OE的长，直至线段ON与线段OA重合，一共旋转了12次，从而可以求得ON的长．解答：解：∵OC为等边三角形的高，且等边三角形的边长为1，∴NC=，∵△OCD为等边三角形，|∴∠OCD=60°，∴OE⊥CD，∴OE==（）2，以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了10次，∴ON 的长为（）10，故答案为（）10点评：本题考查了正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P 共有1个；△PAB的面积是．…考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据三角形面积的计算和△PAB、△PBC、△PCA的面积相等可得P到AB、BC、AC的距离相等，故P点为等边三角形三个角平分线的交点，故P点只有一个，且△PAB的面积为等边△ABC面积的．解答：解：∵△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，AB=BC=AC，∴P到AB、BC、AC的距离相等，&故点P为等边三角形三角平分线的交点，等边三角形三角平分线交于一点，故点P只有一个，且△PAB的面积为．故答案为：1，．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，三角形面积的计算，本题中求得P点是等边三角形三个角平分线的交点是解题的关键．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为．—考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：作AM⊥BC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长，即可解题．解答：解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC，】则△ABC的面积S=BC•AM=（BC•PD+AB•PF+AC•PE），∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•（PD+PF+PE），∴PD+PE+PF=AM，∴△ABC的高为：1+3+5=9，∴△ABC的边长为：AB===9×=6，故答案为6．【点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=240°．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．`分析：根据OM=ON=MN即可判定△OMN为等边三角形，根据等边三角形各内角为60°的性质，可求得∠OPQ+∠OQP 的值，进而根据∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）即可解题．解答：解：∵OM=ON=MN，∴三角形OMN为正三角形，所以∠APQ+∠CQP=（180°﹣∠OPQ）+（180°﹣∠OQP），=360°﹣（∠OPQ+∠OQP），=360°﹣（180°﹣∠POQ），=180°+60°，=240°．—故答案为：240°．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了外角的定义，本题中求得∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）是解题的关键．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=60°．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：:计算题．分析：根据可以证明AD=BE，即AE=CD，即可证△ACE≌△BCD，可得∠DBC=∠ACE，根据∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°即可求得∠BPE=∠ACB，即可解题．解答：解：∵△ABD的面积=四边形ADPE的面积+△BPE的面积△BCE的面积=三角形BPC的面积+△BPE的面积四边形ADPE与△BPC的面积相等，∴AD=BE，即AE=CD，又∵AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°∴△ACE≌△BCD，·∴∠DBC=∠ACE又∵∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°，∴∠BPE=∠ACB=60°，故答案为60°．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3．等边三角形的性质．{考点：专题：计算题．分析：设=n，根据平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形和△AMN和四边形MBCN的周长相等，得出3AM=AM+BC+2BM，然后整理此等式即可得出答案．解答：解：设==n，∵3AM=AM+BC+2BM，△ABC为等边三角形，∴BM=AB﹣AM=BC﹣AM，)∴2AM=+2（BC﹣AM），即2AM=+2（﹣AM），∴2AM=+2AM （﹣1），即2=+﹣2，4=．∴BC与MN的长度之比是4：3．故答案为：4：3．点评：此题主要考查等边三件形的性质这一知识点，解答此题的关键是设=n 利用等边三角形的性质和△AMN和四边形MBCN的周长相等，列出3AM=AM+BC+2BM这样一个等式，然后整理即可．此题有一定的拔高难度，属于难题．·23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD 为正方形的边长，则正方形的面积为3．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求正方形的面积，即可解题．解答：解：∵等边三角形三线合一，%∴D为BC的中点，即BD=DC=1，∴AD==，∴正方形的面积为×=3．故答案为3．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC ，即：，∴r1+r2=h（定值）．:（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等存在（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=2．若不存在，请说明理由．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．`解答：证明：（1）连接AP，BP ，CP．（2分）则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，（4分）即，（6分）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）；（8分）（2）存在．（10分）r=2．（12分）~点评：此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗请说明你的理由．考点：等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：>连接OE，OF构建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF，然后等边三角形ABC中，根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换证明BE=EF=FC 即E，F是BC的三等分点．解答：解：E，F是BC的三等分点．理由：连接OE，OF，∵DE垂直平分OB∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），同理OF=CF，∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，∵等边三角形ABC中，~∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）∴BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点．点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答该题时，充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性．、26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．。

等边三角形的判定与性质难题(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--等边三角形的判定与性质难题一、选择题（共1小题）1．（2006?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A 等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）2．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是_________ ．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）3．如图，P是等边△ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．4．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．（1）求证：BE=EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．（2008?朝阳区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若PA=PB=PC，则△PMC是_________ 三角形；（3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由．7．（2006?徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S．（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，①求证：△D2E2F2是等边三角形；②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2= _________ ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=_________ ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（n为正整数）△D n E n F n是_________ 三角形；若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n= _________ ；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n= _________ ．8．（2009?莆田）已知：等边△AB C的边长为a．探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【考点训练】等边三角形的判定与性质-1参考答案与试题解析一、选择题（共1小题）1．（2006?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A 等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°考点：等边三角形的判定与性质．分析：先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．解答：解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC=CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B=60°，∴∠A=30°，故选：B．点评：考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）2．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是17 ．考点：等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角．专题：计算题．分析：先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．解答：解：如图所示，∵六个内角都是120°，∴三角形的每个内角都是60°，即△CDE，△BFG，△AHI，△ABC都为等边三角形，∴CE=2，BF=3，∴BC=2+4+3=9，∴AH=AB﹣GH﹣BG=9﹣1﹣3=5，∴DI=AC﹣AI﹣CD=9﹣5﹣2=2，HI=AH=5，∴该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5=17．故答案为17．点评：主要考查了正多边形的相关性质．边相等，角相等．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）3．如图，P是等边△ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．考点：等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．分析：首先将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，易证得△PCQ是等边三角形，△APQ是直角三角形，则可求得∠APC的度数，然后可求得∠APD的度数，在Rt△APD中，即可求得AD与CD的长，继而求得AC2．解答：解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形，∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，∴AQ2=PA2+PQ2，∴∠APQ=90°，∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，∴∠APD=30°，在Rt△APD中，AD=PA=2，PD=AP?cos30°=2，则CD=PC+PD=3+2，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=4+（3+2）2=25+12．点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．（1）求证：BE=EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：（1）利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论；（2）由中位线的性质、平行线的性质，等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明．解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=CA，∵DE是中位线，∴E是AC的中点，∴BE平分∠ABC，AE=EC，∴∠EBC=∠ABC=30°∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠CEF=∠F．∵∠CEF+∠F=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠EBC=∠F∴BE=EF；（2）结论任然成立．∵DE是由中位线平移所得，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°．∴△ADE是等边三角形．∴DE=AD=AE，∵AB=AC，∴BD=CE，∵AE=CF，∴DE=DF，∵∠BDE=180°﹣∠ADE=120°，∠FCE=180﹣∠ACB=120°，∴∠FCE=∠EDB，∴△BDE≌△ECF，∴BE=EF．点评：此题考查等边三角形以及三角形全等的判定与性质等知识点．5．（2008?朝阳区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG．由D、E、F是等边△ABC三边中点，可得△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD，可证明△DBG≌△DEH，然后即可证明；（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60°，可得∠GDH=∠EDH﹣∠EDG=60°，即可证明．（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．解答：证明：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG．∵D、E、F是等边△ABC三边中点，∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD．在△DBG和△DEH中，，∴△DBG≌△DEH（SAS），∴DG=DH．∴∠BDG=∠EDH．∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°，∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．∴DG=DH，∠BDG=∠EDH．∵∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60°，∴∠GDH=∠EDH﹣∠EDG=60°．∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进行解题．6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若PA=PB=PC，则△PMC是等边三角形；（3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．专题：探究型．分析：（1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠ABP和∠MBC 都是60°﹣∠PBC，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件．因此可得两三角形全等，也就证明了AP=CM；（2）根据（1）的结论AP=CM，又有三角形BPM是等边三角形，因此PA=PB=PC可写成PM=PC=CM，也就是说三角形PMC是等边三角形．（3）根据AP=CM，BP=PM，我们可将题中给出的比例关系式写成CM：PM：PC=1：：．我们发现这三边正好符合勾股定理的要求．因此三角形PMC是直角三角形．解答：解：（1）AP=CM．∵△ABC、△BPM都是等边三角形，∴AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．∴∠ABP=∠CBM．∴△ABP≌△CBM．∴AP=CM．（2）等边三角形．（3）△PMC是直角三角形．∵AP=CM，BP=PM，PA：PB：PC=1：：，∴CM：PM：PC=1：：．设CM=k，则PM=k，PC=k，∴CM2+PM2=PC2∴△PMC是直角三角形，∠PMC=90°．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定以及直角三角形的判定．通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键．7．（2006?徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S．（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，①求证：△D2E2F2是等边三角形；②若用S表示△A D2F2的面积S2，则S2= S ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=S ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（n为正整数）△D n E n F n是等边三角形；若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n= ；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n=．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△ADF2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2所以△D2E2F2为等边2三角形．（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．解答：解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）由已知得AD2=AB，BE2=BC，∴AF2=AC，BD2=AB∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）△AD2F2≌△BE2D2（3分）∴D2E2=F2D2同理可证△AD2F2≌△CF2E2F2D2=E2F2（4分）∴D2E2=E2F2=F2D2∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）②；（6分）S′2=S﹣S×3=S（7分）（2）由（1）可知：△D n E n F n等边三角形；（8分）由（1）的方法可知：，S3=S，…；（9分）S2′=S，S3′=…．（10分）点评：本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．8．（2009?莆田）已知：等边△ABC的边长为a．探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：综合题；压轴题．分析：（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．解答：（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵BC⊥MN，BA⊥MG，∴∠CBM=∠BAM=90°．∴∠ABM=90°﹣∠ABC=30°．∴∠M=90°﹣∠ABM=60°．同理：∠N=∠G=60°．∴△MNG为等边三角形．在Rt△ABM中，BM=a，在Rt△BCN中，BN=a，∴MN=BM+BN=a．（2）②：结论1成立．证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，∴△AGH是等边三角形，∴GH=AH．∵OE⊥BC，∴OE∥HM，∴四边形OEMH是矩形，∴H M=OE．在Rt△ODG中，OD=OG?sin∠DGO=OG?sin60°=OG，在Rt△OFH中，OF=OH?sin∠OHF=OH?sin60°=OH，在Rt△HMC中，HM=HC?sinC=HC?sin60°=HC，∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH=（GH+HC）=AC=a．（2）②：结论2成立．证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，∴BE2+CF2+AD2=（a﹣AD）2+（a﹣BE）2+（a﹣CF）2=a2﹣2AD?a+AD2+a2﹣2BE?a+BE2+a2﹣2CF?a+CF2整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF=a．点评：本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．。