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解: 如果新药无效, 则任一病人自动痊愈的概率为p=0.3 设X表示10名病人中自动痊愈的人数 则 X ~ b (10, 0.3)
9 P ( X 9 ) C10 (0.3)9 (0.7)109 0.00138
P ( X 9) P ( X 9 ) P ( X 10 )
（3）二项分布的图形特点：X∽b(n,p)
Pk Pk
0
...
n=10, p=0.7
n
0
..
n=20, p=0.5
.. n
说明:
a. 对于固定n及p，随着k的增加 ,概率P(X=k) 先是随之增加， 并在(n+1)p或者[(n+1)p] 达到最大值，随后单调减少。 b. 如果p>0.5，图形高峰右偏；如果p<0.5，图形高峰左偏。
说明：
k P ( X k ) C n p k (1 p )n k 0 a. 可验证二项分布满足概率充分条件 n k k C n p (1 p )n k ( p+1-p )n 1 k 0
k b. 式Cn pk (1 p)nk 为二项式( p 1 p)n 一般项,故二项分布.
c. n 1, B(n, p)即为0 1分布, P( X k ) pk qnk (k 0,1)
k d . n次试验中至多出现m次( m n): P (0 X m ) C n p k q n k k 0 m
np p或np p 1 np p N e. 事件A最可能发生次数k 其它 [np p] k (即使概率P ( X k ) C n p k (1 p)n k 达到最大值的k .
启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生
例7 某元件一级品率为0.2，现从一大批中随机抽查20只，问
（1）20只元件中恰有k只(k=0,1,…,20)一级品的概率；（2）求 20件中一级品率的最可能值；（3）一级品数介于3至5的概率。
解: （1） 虽为不放回抽样，因从大批中抽取少量，近似放回抽样 设X为20只元件中的一级品数。
k P ( X k ) C20 (0.2)k (0.8)20 k
显然,
X ~ b (20, 0.2)
(k =0,1,2,...,20)
(2) np p 20 * 0.2 0.2 4.2
k0 =[np p] [4.2] 4
20件中一级品数最可能为4件
(3) P(3<=X<=5)=P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)= 0.598
二、常见的离散型随机变量
1、0-1分布（伯努里分布）
随机变量X取值两个：0、1，P(X=1)=p，则分布律为： 列表法： X P(X=k)
0 1-p 1 p
公式法： P{X k} pk (1 p)1k
（2）工厂随机抽取一产品是否合格。 （3）掷骰子一次是否出现6点。
0 X=X(e)= 1
(k=0,1)
举例： （1）随机抽取医院一产婴是否为男婴。
Байду номын сангаас
e e1 (女婴,不合格,非6点) e e1 (男婴,合格, 6点)
2、二项分布（重点）
（1）n重伯努里试验：
随机试验E的结果只有两个: A, A, 则称试验E为伯努里试验.
独立地重复进行n次伯努里试验E, n重伯努里试验.
说明：
a. 重复(试验)：指每次试验中P(A)=p保持不变；
第二节
离散型随机变量及其分布律
主要内容（2学时）
一、离散型随机变量的分布律 二、常见的离散型随机变量 1、0-1分布 2、二项分布（重点）
3、泊松分布
一、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk ( k 1, 2,), X 取各个可能值xk的概率为 P{ X xk } pk ,
X
pk
x1 p1
x2 xn p2 pn
( k 1,2, )
2) 公式法
P( X xk ) pk
(4) 利用分布律求事件A的概率: 设A R1 , 则 P ( A) P{ xk A}
xk A
pk .
例1. 掷骰子两次。求以下随机变量的分布律：(1)点数之和X； (2)两次投掷的最大点数Y
说明：
( k 1, 2,)
称此为离散型随机变量 X 的概率分布(分布律).
(1) 两要素: 1)所有可能值xk (2) 概率pk 满足两个条件 :
1 ) pk 0, k 1,2, ;
2) 取各可能值xk的概率pk
2 ) pk 1.
k 1
(3) 分布律的表示方法:
1) 列举法
例3 (P30，例2) 设射手每次击中目标的概率p=0.75, 且各次射击相互 独立。现共射击4次，以X表示击中目标的次数。（1）写出X的分布 律；（2）求恰击中3次的概率；（3）求至少击中2次的概率。
解 : 定义 A {击中目标}, 伯努利试验.
X的可能取值有:0,1,2,3,4. 显然, X b(2,0.75)
P(X=0)=P(AA...A ) P(A)P(A)..P(A ) p0 (1 p)n
1 P(X=1)=P(AA...A AAA ...A ... AA...AA ) Cn p1 (1 p)n1
k P( X k ) C n P( ) C k pk (1 p)nk A...A A...A n k n k
3、泊松分布（简介）
如果随机变量X的概率分布为: P ( X k ) 其中>0,则称随机变量X )服从泊松分布.
ke
k! 表示为: X P( )
( k 0,1, 2, ...)
说明：
(1) 容易验证: a. P{X=k} 0. b.
k=0
k e-
k!
=e- e 1
k P ( X k ) C400 (0.02)k (0.98)400 k
400
k=0,1,2,...,400
所求概率为:
k P(X 2)= C400 (0.02)k (0.98)400 k k=2
P(X 2)=1-P(X 0)-P(X 1)
1 0.98400 400 * 0.02 * 0.98399 0.997
1 1 (0.25)4 C4 (0.75)1(0.25)41 =0.949
例4 100个产品中有5个次品。现从中有放回取3次，每次任取1个， 求所取3个中恰有2个次品的概率.不放回时概率多少？ 解: 有放回抽取，试验结果只有次品(记为A)、正品，3重伯努里试验
设X为所取的3次中的次品数，显然X服从二项分布。 根据题意，P(A)=0.05. 显然, X ~ b (3, 0.05)
P ( X 2 ) C32 (0.05)2 (0.95) 0.007125
不放回时，各试验条件不同，不是伯努里试验。只能用古典概型
1 2 C95C5 P( X 2) 3 0.00618 C100
注意：放回、不放回时，结果不同，方法也不同。
例5(P31, 例4) 经验表明人们患了某种疾病, 有30%的人会不经治 疗自动痊愈. 医药公司推出一种新药, 随机抽取10个患难与共此种 病的病人服用新药, 知道其中有9人很快痊愈. 设各人自行痊愈与否 相互独立. 试推断这些病人是自行痊愈的,还是新药的作用.
(2) 泊松分布主要用来描述大量试验中稀有事件出现次数的概率。
例：a.某天医院看急诊的人数； b. 某路口一天的交通事故数
c.某本书中的印刷错误数； d. 放射性物质放射的粒子数
泊松分布的图形
4、二项分布的泊松近似 (泊松定理)
当试验次数n很大时，计算二项分布很麻烦，必须寻求近似方法
设Ai={汽车在第i个路口遇红灯}, i=1,2,3,4。 各 Ai间相互独立。 P(X=0)=P(A1)=1/2,
P(X 1) P( A1A2 ) P(A1 )P( A2 ) 1 4
P(X 2) P(A1 A2 A3 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 ) 1 8 P(X 3) P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16 P(X 4) P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16
0.000138 0.310 0.000144
实际推断原理: 概率很小的事件, 在一次试验中几乎不会发生.
因此新药有疗效.
例6 某人每次射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少 击中两次的概率。
解: 400重独立重复试验。设X表示400次射击中的击中次数 显然, X ~ b (400, 0.02)
b. 独立(进行): 即各次试验结果互不影响, 若Ci代表第i次试验结果, 则P(C1C2 ...C n )=P(C1 )P(C 2 )...P(C n ) (Ci =A或A)
举例：
(1)重复抛硬币10次，事件A代表正面，10重伯努里试验。
(2) a只白球，b只黑球，放回抽样n次，A代表白球，n重伯努里试验
分布律（列举法）为：
X=k
0
1
1/4
2
1/8
3
1/16
4
1/16
P(X=k) 1/2
分布律（公式法）为：
P(X k) P(A1 ...Ak Ak 1 ) P(A1 )...P(Ak )P(Ak 1 )
P(X k) (1 p)k p
(k=0,1,2,3,4)
几何分布（某个事件首次出现时已试验次数）
