(新教材)【人教B版】20版必修二课时素养评价 二十八 6.2.1(数学)

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课时素养评价一实数指数幂及其运算(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分,共16分.多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)在下列根式与分数指数幂的互化中,不正确的是( )A.(-x)0.5=-(x≠0)B.=C.=(xy≠0)D.=-【解析】选A、B、D.对于A,若x<0,-无意义,故A错误;对于B,当y<0时,≠,故B错误;对于C,由分数指数幂可得xy>0,则==,故C正确;对于D,==,故D错误.所以不正确的是A,B,D.【加练·固】下列各式运算错误的是( )A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6D.[-(a3)2·(-b2)3]3=-a18b18【解析】选C、D.对于A,(-a2b)2·(-ab2)3=a4b2·(-a3b6)=-a7b8,故A正确;对于B,(-a2b3)3÷(-ab2)3=-a6b9÷(-a3b6)=a6-3b9-6=a3b3,故B正确;对于C,(-a3)2·(-b2)3=a6·(-b6)=-a6b6,错误;对于D,[-(a3)2·(-b2)3]3=(a6b6)3=a18b18,错误.2.(2019·银川高一检测)计算:= ( )A.+2B.-2C.--2D.-+2【解析】选C.原式=[(-2)(+2)]2 019·(+2)=(-1)2 019·(+2)=--2.3.(2019·河东高一检测)化简(其中a>0,b>0)的结果是( )A. B.-C. D.-【解析】选C.===.4.的分数指数幂表示为( )A. B.a3 C. D.都不对【解析】选C.====.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2019·宿迁高一检测)已知a+=7,则a2+a-2=________,a-a-1=________. 【解析】因为a+=7,则=a2++2=49,变形可得a2+=a2+a-2=49-2=47,=-4=49-4=45,所以a-a-1=±3.答案:47 ±36.计算4×=________.【解析】原式=×=7-1=.答案:三、解答题7.(16分)化简下列各式(1).(2).【解析】(1)原式=·=-2xy.(2)原式==.(15分钟·30分)1.(4分)计算2××的值为( )A. B. C.6 D.【解析】选C.2××=2×××××=×=2×3=6.2.(4分)若a b+a-b=2,则a b-a-b的值等于( )A. B.±2 C.-2 D.2【解析】选B.因为(a b-a-b)2=(a b+a-b)2-4,所以(a b-a-b)2=8-4=4,所以a b-a-b=±2.3.(4分)计算(-8××=________.【解析】原式=(-2×()2×=4×2×=.答案:4.(4分)=________.【解析】原式=(a3b2÷(ab2)=(÷()=()÷()=.答案:【加练·固】(2019·南开高一检测)已知m=2,n=3,则的值是________.【解析】m=2,n=3,则原式==(·×m-1·)3=m·n-3=2×3-3=.答案:5.(14分)根据已知条件求下列值:(1)已知x=,y=,求-的值.(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值.【解析】(1)-=-=.将x=,y=代入上式得:==-24=-8.(2)因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根,所以因为a>b>0,所以>.====,所以==.关闭Word文档返回原板块。

课时素养评价二十频率与概率(15分钟30分）1。

从一批电视机中随机抽出10台进行检验,其中有1台次品,则关于这批电视机,下列说法正确的是 ()A.次品率小于10％B.次品率大于10%C。

次品率等于10％D。

次品率接近10％【解析】选D。

抽出的样本中次品的频率为，即10％，所以样本中次品率大约为10％,所以总体中次品率大约为10%。

【补偿训练】在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99％.下列解释正确的是 (）A。

100个手术有99个手术成功,有1个手术失败B。

这个手术一定成功C.99%的医生能做这个手术,另外1％的医生不能做这个手术D。

这个手术成功的可能性大小是99％【解析】选D。

成功率大约是99％，说明手术成功的可能性大小是99％.2。

掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3，4,5，6），若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是(）A。

一定出现“6点朝上”B。

出现“6点朝上”的概率大于C。

出现“6点朝上”的概率等于D。

无法预测“6点朝上”的概率【解析】选C.随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关。

由于正方体骰子的质地是均匀的，所以出现哪一个面朝上的可能性都是相等的。

【补偿训练】高考数学试题中，有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的,则随机选择其中一个选项正确的概率是,某人说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对."这句话(）A.正确B。

错误C。

不一定D。

无法解释【解析】选B.把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是说明了对的可能性大小是。

做12道选择题,即进行了12次试验，每个结果都是随机的,那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题,也可能都选错,或有1,2，4,…甚至12个题都选择正确.3。

某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车,100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理? （)A。

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课时素养评价五向量的数量积(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.(多选题)以下命题不正确的是( )A.若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0B.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0C.a与b是两个单位向量，则a2=b2D.若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°【解析】选A，B，D.上述命题中只有C正确，因为|a|=|b|=1，所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b=0，显然A，B错误.根据两个向量夹角的概念，，的夹角应为120°.2.(2019·邯郸高一检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则·=( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16【解析】选D.设∠CAB=θ，所以AB=，·=||||cos θ=×4cos θ=16.【加练·固】在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则·(+)等于( )A.-B.-C.D.【解析】选A.由题意，结合图形有·(+)=·2=·=-=-=-.3.(2019·宣城高一检测)已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a 与a-b的夹角为 ( )A. B. C. D.【解析】选A.|a-b|=设向量a与a-b的夹角为θ，则cos θ=又因为θ∈[0，π]，所以θ=.4.已知|a|=|b|=1，a与b的夹角是90°，c=2a+3b，d=k a-4b，c与d垂直，则k的值为( )A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.因为c·d=0，所以(2a+3b)·(k a-4b)=0，所以2k a2-8a·b+3k a·b-12b2=0，所以2k=12，所以k=6.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b=0，若c=2a-b，则cos a，c=________.【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9，所以|c|=3，因为a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2，所以cos a，c===.答案：6.已知|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为，则向量m=a-4b的模为________. 【解析】|m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×+16=12，所以|m|=2. 答案：2三、解答题(共26分)7.(12分)已知非零向量a，b，满足|a|=1，(a-b)·(a+b)=，且a·b=.(1)求向量a，b的夹角.(2)求|a-b|.【解析】(1)设a与b的夹角为θ，因为(a-b)·(a+b)=，所以a2-b2=，即|a|2-|b|2=.又|a|=1，所以|b|=.因为a·b=，所以|a|·|b|cos θ=，所以cos θ=，所以向量a，b的夹角为45°.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a||b|cos θ+|b|2=，所以|a-b|=.8.(14分)已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影为-1.(1)求a与b的夹角θ.(2)求(a-2b)·b.(3)当λ为何值时向量λa+b与向量a-3b互相垂直？【解析】(1)因为|a|=2|b|=2，所以|a|=2，|b|=1.又因为a在b方向上的投影为|a|cos θ=-1，所以a·b=|a||b|cos θ=-1.所以cos θ=-，所以θ=.(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)因为λa+b与a-3b互相垂直，所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，所以λ=.(15分钟·30分)1.(4分)点O是△ABC所在平面上的一点，且满足·=·=·，则点O是△ABC的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心【解析】选B.因为·=·，所以·(-)=0，即·=0，所以⊥，同理⊥，⊥，所以O是△ABC的垂心.2.(4分)在△ABC中，∠C=90°，|AB|=6，点P满足|CP|=2，则·的最大值为( )A.9B.16C.18D.25【解析】选B.取AB的中点D，连接CD.设与的夹角为α，则：·=(+)·(+)=+·(+)+·=+·(+)=22+·2=4+2·=4+2||·||cos α=4+2×2×3cos α=4+ 12cos α，所以当α=0°时，·的最大值为16.3.(4分)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·(2a-3b)=12，则|b|=________；b在a方向上的投影等于【解析】·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=12，即3|b|2-|b|-4=0，解得|b|=(舍负值)，b在a方向上的投影是|b|cos 45°=×=1.答案： 14.(4分)已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB=4，AC=2，则·=_______.【解析】因为M是BC的中点，所以=(+)，又因为O是△ABC的外接圆圆心，所以·=||||cos∠BAO=||2=8，同理得·=||2=2，所以·=(+)·=·+·=4+1=5.答案：55.(14分)设两个向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，若向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【解析】当夹角为π时，也有(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0，但此时夹角不是钝角.设2t e1+7e2=λ(e1+t e2)，λ<0，则所以由向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角θ为钝角，得cosθ=<0，所以(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0，化简得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.所以所求实数t的取值范围是∪.【加练·固】已知两个向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a，b的夹角为60°，若向量a+λb 与λa+b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.【解析】由题意得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3，又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2，而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角，所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0，又|a|2=4，|b|2=9，a·b=3，所以3λ2+13λ+3>0，解得λ>或λ<.但是当λ=1时，向量a+λb与λa+b共线，其夹角不是锐角，故λ的取值范围是∪∪(1，+∞).1.在△ABC中，AB=，BC=2AC=2，满足|-t|≤||的实数t的取值范围是_______.【解析】设与的夹角为θ，则θ=30°.在△ABC中，AB=，BC=2AC=2，即AC=1.因为AB2+AC2=BC2，所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，∠B=30°.所以由|-t|≤||得-2t·cos θ+t2≤3，所以3-2t·2·+4t2≤3，整理，得2t2-3t≤0，解得0≤t≤.所以实数t的取值范围是.答案：2.如图，在直角△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：与的夹角取何值时，·最大？并求出这个最大值.【解析】设与的夹角为θ，则·=(-)·(-)=·-·-·+·=-a2-·+·=-a 2-·(-)=-a2+·=-a2+a2cosθ.故当cos θ=1，即θ=0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.关闭Word文档返回原板块。

课时素养评价二余弦定理(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A.90°B.120°C.135°D.150°【解析】选B.设中间角为θ,则θ为锐角,由余弦定理得cosθ==,θ=60°,180°-60°=120°,所以三角形最大角与最小角的和是120°.2.(2019·邯郸高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()A. B. C.2 D.3【解析】选D.由余弦定理得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于()A.4B.C.3D.【解析】选D.由三角形内角和定理可知cos C=-cos(A+B)=-,又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=9+4-2×3×2×=17,所以c=.【加练·固】若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为()A. B.8-4 C.1 D.【解析】选A.由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C=2abcos60°=ab,则ab+2ab=4,所以ab=.4.(多选题)在△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C=()A.60°B.45°C.135°D.30°【解析】选BC.由余弦定理得cos C=,所以cos2C=.因为a4+b4+c4=2c2(a2+b2),所以a4+b4+c4-2c2a2-2c2b2=0,所以cos2C==,所以cos C=±,所以C=45°或135°.二、填空题(每小题4分,共8分)5.在△ABC中,B=60°,a=1,c=2,则=________.【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=3,所以b=,由正弦定理得===2.答案:26.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C-asin C=bsin B,则B=________.【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,故cos B=.又因为B为三角形的内角,所以B=45°.答案:45°三、解答题(共26分)7.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,a2+c2-b2=ac.求2sin2+sin2B的值.【解析】由已知得=,由余弦定理得cos B=,又因为角B为△ABC的内角,所以sin B>0,所以sin B==,所以2sin2+sin2B=2cos2+sin2B=1+cos B+2sin Bcos B=1++2××=.8.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值.(2)求sin的值.【解析】(1)在△ABC中,因为a>b,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理=得sin A==.所以b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及a<c,得cos A=,所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1-2sin2A=-.故sin=sin2Acos+cos2Asin=×=.(15分钟·30分)1.(4分)(2020·海淀高一检测)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为()A. B. C. D.6【解析】选A.由2cos2-cos2C=1,可得2cos2-1-cos2C=0,则有cos2C+cos C=0,即2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=或cos C=-1(舍),由4sin B=3sin A,得4b=3a,①又a-b=1,②联立①,②得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2abcos C=16+9-12=13,则c=.2.(4分)在△ABC中,a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=________.【解析】由sin C=2sin B及正弦定理得c=2b,把它代入a2-b2=bc,得a2-b2=6b2,即a2=7b2.由余弦定理得cos A====,又因为0°<A<180°,所以A=30°.答案:30°3.(4分)在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为________.【解析】由余弦定理得49=AC2+25-2×5×AC×cos120°,整理得AC2+5·AC-24=0,解得AC=3或AC=-8(舍去),再由正弦定理可得==.答案:4.(4分)在△ABC中,A=60°,最大边长与最小边长是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC的长为________.【解析】设内角B,C所对的边分别为b,c.因为A=60°,所以可设最大边与最小边分别为b,c.由条件可知b+c=9,bc=8,所以BC2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A=92-2×8-2×8×cos60°=57,所以BC=.答案:5.(14分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小.(2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状.世纪【解析】(1)因为2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,所以2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cos A==.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°,由sin B+sin C=,得sin B+sin(120°-B)=,所以sin B+sin120°cos B-cos120°sin B=,所以sin B+cos B=,即sin(B+30°)=1.又因为0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°,所以B+30°=90°,即B=60°,所以A=B=C=60°,所以△ABC为正三角形.1.若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则·的值为() A.19 B.14 C.-18 D.-19【解析】选D.设三角形的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,依题意得a=5,b=6,c=7.所以·=||·||·cos(π-B)=-ac·cos B.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B,所以-ac·cosB=(b2-a2-c2)=(62-52-72)=-19,所以·=-19.2.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2min,从点D沿DC走到点C用了3min.若此人步行的速度为50m/min,求该扇形的半径.【解析】依题意得OD=100m,CD=150m,连接OC,易知∠ODC=180°-∠AOB=60°,因此由余弦定理得OC2=OD2+CD2-2OD×CD×cos∠ODC,即OC2=1002+1502-2×100×150×,解得OC=50(m).则该扇形的半径为50m.。

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单元素养评价（二）(第五章）(120分钟150分）一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1。

①一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关情况;②运动会的工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为( )A. 简单随机抽样，简单随机抽样B. 分层抽样,分层抽样C。

简单随机抽样,分层抽样D。

分层抽样，简单随机抽样【解析】选D.①中,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层抽样比较恰当；②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当.2。

从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0。

3，则这10个事件中随机事件的个数是 ( ）A。

3 B.4 C。

5 D。

6【解析】选C。

这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2=2，不可能事件的个数为10×0.3=3.而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10. 故随机事件的个数为10—2—3=5.3.利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,则总体中每个个体被抽到的概率是( )A.B。

课时素养评价十三　分层抽样(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A.抽签法B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.随机数表法【解析】选C.事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.2.(2019·长春高二检测)一班有学员54人,二班有学员42人,现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是( ) A.9、7 B.15、1C.8、8D.12、4【解析】选A.设一班被抽取的人数是x,则=,解得x=9,所以一班被抽取的人数是9,二班被抽取的人数是16-9=7.【加练·固】 某单位有职工160人,其中业务员104人,管理人员32人,后勤服务人员24人,现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本,则抽取管理人员有( )A.3人B.4人C.7人D.12人【解析】选B.由=,设管理人员x人,则=,解得x=4.3.某服装加工厂某月生产A,B,C三种产品共4 000件,为了保证产品质量,进行抽样检验,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:样本容量/件230由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C的产品数量是( ) A.80 B.800 C.90 D.900【解析】选B.因为抽样比为,所以样本总容量为400.因为A与C共170件,所以A有90件,C有80件.所以C的产品数量为800.4.“民以食为天,食以安为先”,食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )A.4B.5C.6D.7【解析】选C.设抽样比为k,k===,所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是10×+20×=2+4=6.二、填空题(每小题4分,共8分)5.为了调查某省各城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的城市数为________.【解析】乙组城市数占总城市数的比例为=,样本容量为12,故乙组中应抽取的城市数为12×=4.答案:4【加练·固】 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200件,400件,300件, 100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取__________件.【解析】所求产品数为60×=18(件).答案:186.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.【解析】设乙设备生产的产品总数为x件,则甲设备生产的产品总数为(4 800-x)件.由题意,得=,解得x=1 800.答案:1 800三、解答题(共26分)7.(12分)某政府机关有在编人员100人,其中科级以上干部10人,科员70人,办事员20人.上级机关为了了解他们对政府机构改革的看法,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用哪种方法抽取,并写出具体的抽样过程.【解析】因为个体差异较大,而且机构改革关系到每个人的不同利益,故采用分层抽样法抽取.抽样过程如下:第一步,确定抽样比:=.第二步,确定各层抽取的人数:从科级以上干部中抽取10×=2(人);从科员中抽取70×=14(人);从办事员中抽取20×=4(人).第三步,在各层中分别用简单随机抽样法抽取,抽取科级以上干部2人,科员14人,办事员4人.第四步,将所抽取的个体组合在一起构成样本.8.(14分)某县共有320个自然村,其中山区32个,丘陵地区240个,平原地区48个.为调查村民收入状况,要从中抽出20个村进行调查,试设计一种比较合理的抽样方案,并简述抽样过程.【解析】由于各地区自然条件的限制,各地区村民的经济收入有较大差异,故采用分层抽样法较为合理.因为=,所以按的比例抽取,应在山区抽取32×=2(个),丘陵地区抽取240×=15(个),平原地区抽取48×=3(个).具体实施过程:对于山区和平原地区,由于自然村数量较少,可采用抽签法,具体实施过程略.对于丘陵地区,自然村个数较多且差异不大,可采取随机数表法.首先将240个村按001,002,…,240编号.然后用随机数表法抽取15个人,这样便得到了一个容量为20的样本.(15分钟·30分)1.(4分)(2019·大庆高二检测)某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且2b=a+c,则第二车间生产的产品数为( )A.800B.1 000C.1 200D.1 500【解析】选C.由2b=a+c,则第二车间生产的产品数为3 600×=3 600×=1 200.2.(4分)某地区高中分三类,A类为示范性高中共有4 000名学生,B类为重点高中共有2 000名学生,C类为普通高中共有3 000名学生,现欲抽样分析某次考试成绩,若抽取900份试卷,那么应从A类高中抽取试卷份数为( )A.450B.400C.300D.200【解析】选B.因为A类高中共有学生4 000人,B类高中共有学生2 000人,C类高中共有学生3 000人,所以这个地区的高中共有4 000+2 000+3 000=9 000人,因为要抽样分析某次考试的情况,若抽取900份试卷进行分析,所以每个个体的试卷被抽到的概率是=,所以从A类高中抽取的试卷份数应为4 000×=400.【加练·固】 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣( )A.104人B.108人C.112人D.120人【解析】选B.由题设可知这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为300×=300×=108(人).3.(4分)某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试,其中高三有学生900人,已知高一与高二共抽取了14人,则全校学生的人数为________.【解析】设全校学生的人数为n,则=,解得n=3 000.答案:3 0004.(4分)为了解世界各国的早餐饮食习惯,现从由中国人、美国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本进行分析.若总体中的中国人有400人、美国人有300人、英国人有300人,且所抽取的样本中,中国人比美国人多10人,则样本容量m=________.【解析】根据分层抽样的概念得到三国的人抽得的比例为4∶3∶3,设中国人抽取x人,则美国人抽取(x-10)人,英国人抽取(x-10)人,根据比例得到=,解得x=40人.因此,各国抽取的人数为:中国人:40人,美国人:30人,英国人30人,共100人.答案:1005.(14分)某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12 000人,其中持各种态度的人数如表:很喜爱喜爱一般不喜爱2 435 4 5673 926 1 072电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取60人进行更为详细的调查,应当怎样进行抽样?【解析】可用分层抽样方法,其总体容量为12 000.“很喜爱”占=,应抽取60×487÷2 400≈12(人);“喜爱”占,应抽取60×4 567÷12 000≈23(人);“一般”占,应抽取60×3 926÷12 000≈20(人);“不喜爱”占,应抽取60×1 072÷12 000≈5(人).因此采用分层抽样法在“很喜爱”“喜爱”“一般”和“不喜爱”的2 435人,4 567人,3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.1.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆轿车进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________.【解析】设三种型号的轿车依次抽取x辆,y辆,z辆,则有解得答案:6,30,102.为了对某课题进行研究,分别从A,B,C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0<m≤72≤n).(1)若A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n.(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,求三所高校的教授的总人数.【解析】(1)因为0<m≤72≤n,A,B两所高校中共抽取3名教授,所以B高校中抽取2人,所以A高校中抽取1人,C高校中抽取3人,所以==,解得m=36,n=108.(2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,所以(m+n)=72,解得m+n=108,所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180.。

课时素养评价三指数函数的性质与图像的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分，多选题全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)关于函数f=的说法中,正确的是（）A。

偶函数B。

奇函数C.在上是增函数D.在上是减函数【解析】选B、C.f==-=—f,所以函数f为奇函数；当x增大时,e x-e—x增大,故f增大,故函数f为增函数.2.若a>1,则函数y=a x与y=(1-a)x2的图像可能是下列四个选项中的( ）【解析】选C.因为a>1,所以函数y=a x在R上单调递增,可排除选项B与D.y=(1-a）x2是开口向下的二次函数，可排除选项A。

【加练·固】已知函数f(x)=a x在（0,2)内的值域是(a2,1）,则函数y=f(x）的图像是（)【解析】选A。

因为f(x）=a x在（0，2)内的值域是(a2,1),所以f(x）在（0,2）内单调递减。

所以0〈a〈1。

3。

函数y=的单调递增区间是（)A。

（-∞,2］ B.［2，+∞）C。

［1，2] D.[1，3］【解析】选A。

令u=-3+4x-x2，y=3u为增函数，所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间（—∞，2］.4。

若函数f（x)=a｜x+1｜(a>0，a≠1）的值域为[1，+∞)，则f(—4)与f（1)的大小关系是( ）A.f（-4)>f(1） B.f(—4)=f（1)C.f（—4)<f(1）D.不能确定【解析】选A.因为｜x+1|≥0，函数f(x）=a｜x+1|(a>0，a≠1）的值域为［1，+∞),所以a>1.由函数f（x)=a|x+1｜在（-1，+∞）上是增函数，且它的图像关于直线x=—1对称,可得函数f(x）在(—∞，-1)上是减函数.再由f（1)=f（—3)，可得f（-4）〉f(1）.二、填空题（每小题4分，共8分）5.(2019·马鞍山高一检测)若函数y=a x—m+n-3(a>0且a≠1）的图像恒过定点(3,2）,则m+n=________.【解析】因为对于函数y=a x—m+n-3(a〉0且a≠1)的图像恒过定点,令x—m=0,可得x=m，y=n-2，可得函数的图像经过定点(m，n—2).再根据函数的图像恒过定点（3,2)，所以m=3，n—2=2,解得m=3，n=4,则m+n=7。

课时素养评价二指数函数的性质与图像(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分.多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)以x为自变量的四个函数中,是指数函数的为( )A.y=(e-1)xB.y=(1-e)xC.y=3x+1D.y=πx【解析】选A、D.由指数函数的定义可知选A,D.2.若函数f(x)=·a x是指数函数,则f的值为( )A.2B.2C.-2D.-2【解析】选B.因为函数f(x)=·a x是指数函数,所以a-3=1,a>0,a≠1,解得a=8,所以f(x)=8x,所以f==2.3.(2019·玉林高一检测)若f(x)=(2a-1)x是增函数,那么a的取值范围为( )A.a<B.<a<1C.a>1D.a≥1【解析】选C.因为f(x)=(2a-1)x是增函数,所以2a-1>1,解得a>1.4.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是( )A.f(1)>f(-1)B.f(1)<f(-1)C.f(1)=f(-1)D.不确定【解析】选B.因为f(x)=+2是减函数,所以f(1)<f(-1).二、填空题(每小题4分,共8分)5.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=9,则f(x)=________,f=________.【解析】由题意设f(x)=a x(a>0,且a≠1),则f(2)=a2=9.又因为a>0,所以a=3,所以f(x)=3x,所以f===.答案:3x6.设a=40.9,b=80.48,c=,则a,b,c从大到小排列的顺序为________.【解析】因为a=40.9=21.8,b=80.48=21.44,c=()-1.5=21.5,所以21.8>21.5>21.44,即a>c>b.答案:a>c>b【加练·固】已知函数f(x)满足f(x)=则f(-7.5)的值为________.【解析】由题意,得f(-7.5)=f(-5.5)=f(-3.5)=f(-1.5)=f(0.5)=20.5=.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)求不等式a4x+5>a2x-1(a>0且a≠1)中x的取值范围.【解析】对于a4x+5>a2x-1(a>0,且a≠1),当a>1时,有4x+5>2x-1,解得x>-3;当0<a<1时,有4x+5<2x-1,解得x<-3.故当a>1时,x的取值范围为{x|x>-3};当0<a<1时,x的取值范围为{x|x<-3}.8.(14分)已知指数函数f(x)的图像经过点P(3,8),且函数g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称.(1)求函数g(x)的解析式.(2)若g(x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围.【解析】(1)设指数函数为:f(x)=a x,因为指数函数f(x)的图像过点(3,8),所以8=a3,所以a=2,所求指数函数为f(x)=2x.因为函数g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称,所以g(x)=2-x.(2)由(1)得g(x)为减函数,因为g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),所以2x2-3x+1<x2+2x-5,即x2-5x+6<0,解得x∈(2,3),所以x的取值范围为(2,3).(15分钟·30分)1.(4分)设x>0,且1<b x<a x,则( )A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b【解析】选C.因为1<b x,所以b0<b x,因为x>0,所以b>1,因为b x<a x,所以>1,因为x>0,所以>1⇒a>b,所以1<b<a.2.(4分)已知f(x)的定义域是[1,5],则函数y=的定义域是( )A.[1,3]B.C.[2,3)D.(2,3]【解析】选D.由得所以2<x≤3.3.(4分)(2019·玉溪高一检测)已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是【解析】由题意可得,函数f(x)=a-x =(a>0且a≠1)在R上是增函数,故>1,解得 0<a<1. 答案:(0,1)4.(4分)若函数y=a x(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为12,则实数【解析】无论函数y=a x是增函数,还是减函数,最大值和最小值的和总为a+a2=12,解得a=3或a=-4(舍去).答案:35.(14分)(2019·上杭高一检测)已知函数f(x)=a x-1(x≥0).其中a>0且a≠1.(1)若f(x)的图像经过点,求a的值.(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.【解析】(1)函数图像过点,所以a2-1=,则a=.(2)f(x)=a x-1(x≥0),由x≥0得x-1≥-1,当0<a<1时,a x-1≤a-1,所以f(x)的值域为(0,a-1];当a>1时,a x-1≥a-1,所以f(x)的值域为[a-1,+∞).1.若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上是增函数,则a=________.【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,所以a=2,m=.此时g(x)=-x2在[0,+∞)上是减函数,不合题意.当0<a<1时,有a-1=4,a2=m,所以a=,m=.检验知符合题意.答案:2.已知函数f(x)=b·a x(a,b为常数且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,8),B(3,32).(1)试求a,b的值.(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)=b·a x的图像经过点A(1,8),B(3,32),所以解得a=2,b=4.(2)设g(x)=+=+,y=g(x)在R上是减函数,所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.。

课时素养评价十八事件之间的关系与运算（15分钟30分)1.掷一枚骰子，“向上的点数是1或2"为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B，则（）A。

A⊆BB。

A=BC.A+B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3【解析】选C.设A=｛1，2}，B={2，3｝,A∩B=｛2｝，A∪B={1,2，3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3。

2.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机｝,D=｛至少有一炮弹击中飞机｝,下列关系不正确的是（)A.A⊆DB.B∩D=C.A∪C=D D。

A∪B=B∪D【解析】选D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一炮弹击中”包含两种情况：一种是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D.3。

打靶三次，事件A i表示“击中i次”,i=0，1，2,3,则事件A=A1+A2+A3表示（）A.全部未击中B。

至少有一次击中C.全部击中D。

至多有一次击中【解析】选B。

事件A0，A1，A2,A3彼此互斥，且=A1+A2+A3=A,故A表示至少击中一次.4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球,摸出红球的概率是0。

42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________.【解析】摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率为1-0。

42—0。

28=0.3。

答案：0.3【补偿训练】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是________。

【解析】连续射击两次有以下四种情况:第一次中第二次不中，第一次不中第二次中,两次都中和两次都不中.故“至少一次中靶”的对立事件为“两次都不中靶”。

答案：两次都不中靶5。

某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别0.3，0.2,0.1,0。

模块素养评价(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图所示,向量a-b等于 ( )A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2【解析】选C.由题干图可得a-b==e1-3e2.2.设函数f(x)=则f(-3)+f(log23)= ( )A.9B.11C.13D.15【解析】选B.因为函数f(x)=所以f(-3)+f(log23)=log24+=2+9=11.3.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c等于( )A. B.C. D.【解析】选D.由已知得3c=-a+2b=(-5,2)+(-8,-6)=(-13,-4).所以c=.4.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为( ) A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8【解析】选C.由茎叶图及已知得x=5,又乙组数据的平均数为16.8,即=16.8,解得y=8.5.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【解析】选B.a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<c=0.20.3<0.20=1,即0<c<1,则a<c<b.6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( )A.100,10B.100,20C.200,10D.200,20【解析】选D.由题得样本容量为(3 500+2 000+4 500)×2%=10000×2%=200,抽取的高中生人数为2 000×2%=40人,则近视人数为40×0.5=20人.7.在△ABC中,+=2,+=0,若=x+y,则( )A.y=3xB.x=3yC.y=-3xD.x=-3y【解析】选D.因为+=2,所以点D是BC的中点,又因为+=0,所以点E是AD的中点,所以有=+=-+=-+×(+)=-+, 因此x=-,y=,所以x=-3y.8.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况【解析】选B.设该股民购进这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.9.函数f(x)=2ln x的图像与函数g(x)=x2-4x+5的图像的交点个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选B.画出两个函数f(x),g(x)的图像,由图知f(x),g(x)的图像的交点个数为2.10.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( )A. B. C. D.【解析】选D.如图所示,从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点,有15种选法.若要构成矩形,则有3种选法,故其概率为=.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.设a0为单位向量,下列命题是假命题的为( )A.若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0B.若a与a0平行,则a=|a|a0C.若a与a0平行且|a|=1,则a=a0D.若a为单位向量,则|a|=|a0|【解析】选A,B,C.向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故A是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,当|a|=1时,a=-a0,故B,C也是假命题;D为真命题.12.总体由编号为01,02,…,60的60个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字,则选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为( )50 44 66 44 29 67 06 58 03 6980 34 27 18 83 61 46 42 2391 67 43 25 74 58 83 11 03 3020 83 53 12 28 47 73 63 05A.42B.36C.22D.14【解析】选A、C.由随机数表可得:从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字,选出的5个个体的编号为42,36,03,14,22,即选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为42,22.13.下列命题为真命题的是 ( )A.将一枚硬币抛两次,设事件M:“两次出现正面”,事件N:“只有一次出现反面”,则事件M与N互为对立事件B.若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件C.若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件D.若事件A与B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件【解析】选B,D.对A,一枚硬币抛两次,共出现{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}四种结果,则事件M与N是互斥事件,但不是对立事件,故A错;对B,对立事件首先是互斥事件,故B正确;对C,互斥事件不一定是对立事件,如A中两个事件,故C错;对D,事件A,B为对立事件,则一次试验中A,B一定有一个要发生,故D正确.三、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)14.从编号分别为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为________.【解析】从编号为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,共有4种不同的取法,恰好有两个小球编号相邻的有:(1,2,4),(1,3,4),共有2种,所以概率为.答案:15.线段AB的端点为A(x,5),B(-2,y),直线AB上的点C(1,1),使||=2||,则x+y=________.【解析】由已知得=(1-x,-4),2=2(3,1-y).由||=2||,可得=±2,则当=2时,有解得此时x+y=-2;当=-2时,有解得此时x+y=6.综上可知,x+y=-2或6.答案:-2或616.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a=________.【解析】由题意知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax,又因为ln 2∈(0,1), f(ln 2)=8,所以-e-aln 2=-8,两边取以e为底数的对数,得-aln 2=3ln 2,所以-a=3,即a=-3.答案:-317.(2019·北京高考改编)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元.(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________.【解析】(1)价格为60+80=140元,达到120元,少付10元,所以需支付130元.(2)设促销前总价为a元,a≥120,李明得到金额l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立,又最小值为=15,所以x的最大值为15.答案:(1)130 (2)15四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式.(2)若=2,求点C的坐标.【解析】(1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1),因为A,B,C三点共线,所以∥.所以2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.(2)因为=2,所以(a-1,b-1)=2(2,-2).所以解得所以点C的坐标为(5,-3).19.(14分) 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a,b的值.(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?【解析】(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的飞行速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,飞行速度为1 m/s,故a+blog3=1,整理得a+2b=1.解方程组得(2)由(1)知,v=-1+log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2,即-1+log3≥2,即log3≥3,解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.20.(14分) 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时,则视为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5 000件进行检测,结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm),将所得数据分组,得到如下频率分布表:(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置.(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率.(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.【解析】(1)补全频率分布表如下.(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50+0.20=0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x件,依题意=,解得x=-20= 1 980.所以该批产品的合格品件数是1 980.21.(14分) 一个盒子里装有三张卡片,分别标记数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率.(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.【解析】(1)由题意知,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3), (1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2, 1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1, 2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)==.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P()=1-=.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.22.(14分)已知函数f(x)=log a(3-ax).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0.所以a<.又a>0且a≠1,所以a∈(0,1)∪.(2)t(x)=3-ax,因为a>0,所以函数t(x)为减函数.因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以f(x)=log a t为增函数,所以a>1,x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=log a(3-a),所以即故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.23.(14分)如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.【解析】设=m a+n b,则=-=m a+n b-a=(m-1)a+n b.=-=-=-a+b.又因为A,M,D三点共线,所以与共线.所以存在实数t,使得=t,即(m-1)a+n b=所以(m-1)a+n b=-t a+t b.所以消去t得,m-1=-2n,即m+2n=1.①又因为=-=m a+n b-a=a+n b,=-=b-a=-a+b.又因为C,M,B三点共线,所以与共线.所以存在实数t1,使得=t1,所以a+n b=所以消去t1得,4m+n=1.②由①②得m=,n=,所以=a+b.关闭Word文档返回原板块。