复变函数与积分变换试题A卷答案

2014---2015学年第1学期:复变函数与积分变换（30学时，A 卷）参考答案及评分标准一．填空题1、3; 2;2、e -; i π-2;3、0;4、0;5、πi ;6、12<+i z ;7、 -+-!6!4!2142z z ; 8、3; 9、t cos ; 10、1. 二．解：令,θi e z = 则,θθd ie dz i =,izdzd =θ 且根据Euler 公式, 有 ()(),2121cos 1--+=+=z z e e i i θθθ ()(),21212cos 2222--+=+=z z e e i i θθθ则有()()⎰⎰=--⋅+-+=-112220256cos 452cos 12z iz dzzz z z d πθθθ ()⎰=+-+=122425216z dz z z z z i().61⎰==z dz z f i 4分上述积分中被积函数()z f 有三个有限奇点 .2,21,0 而在积分曲线1=z 围成区域内只有二个奇点,21,0 分别是二级和一级极点. 6分 根据留数定理, 有()[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰21,Re 0,Re 2)(z f s z f s i dz z f Cπ. 8分根据留数计算规则, 分别有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→)(21lim 21),(Re 21z f z z f s z()221lim 2421-+=→z z z z ()2124221=-+=z z z z1217-=; 11分[][])(lim0),(Re 20z f z dzd z f s z →=2521lim 240+-+=→z z z dz d z ()()()()2242302525412524lim+--+-+-=→z zz z z z z z()()()()224232525412524=+--+-+-=z z z z z z z z.45=14分 所以有 ()[](),6121,Re 0,Re -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+z f s z f s.3)(i dz z f Cπ-=⎰则积分πθθθπ2cos 452cos 1220=-⎰d 15分三．解： (1) 解：根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式, 有822222][ωπ--=e e F t. 2分又22cos 22ti t i e e t -+=, 根据Fourier 变换位移性质, 有[][]()2222222221]2[cos t t i t t i t e e F e e F et F ----⋅+⋅=⋅[][])(21222222+=--=-+=ωωωωtt e F e F())(42828)2(22+---+=ωωπee . 6分根据能量谱密度的定义()()2ωωF S =得到函数222cos )(te t tf -⋅=的能量谱密度())2(84)2(44)2(222+----++=ωωωπωee eeS . 8分（2）解：根据能量谱密度()ωS 和相关函数()τR 之间有关系式, 有()()[]ωτS F R 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=--+-----414)2(14)2(122248ωωωππe F e e F e F 2分根据Fourier 变换的位移性质, 有,4124)2(122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----ωτωe F e e F i .4124)2(122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----ωτωe F e e F i 4分 则有()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=----4141222248ωωττππτe F e e F eeR i i 注意到 τττ2cos 222=+-i i e e , 则()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=---41122cos 4ωτπτe F e R . 6分 根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式 []βωββπ422--=e eF t , 有22141τωπ---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡e e F . 所以有()()212cos 4ττπτ--+=ee R . 8分四．解：根据Laplace 变换积分性质, 有[]t e L sdt t e L t tt 2sin 1]2sin [0--=⎰. 2分 由42]2[sin 2+=s t L , 根据Laplace 变换的位移性质, 有 ()412]2sin [2++=-s t e L t ,即422]2sin [2++=-s s t e L t. 4分 所以有 ()522]2sin [2++=⎰-s s s dt t e L tt . 6分 五．解：(1) 根据Euler 公式和Fourier 变换的定义, 有[]⎰+∞∞-⋅-=dx xe x F x i ω2sin 2sin⎰∞+∞-⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i e e xi xi x i ω222 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+∞∞-⋅+-+∞∞-⋅--dx e dx e i x i x i 2221ωω. 4分 根据基本公式可以得到[]()()[]2222212sin +--=ωπδωπδix F ()()[]22--+=ωδωδπi . 8分(2) 对方程两边关于函数自变量x 作Fourier 变换. 记()()[]x y F Y =ω. 根据Fourier 变换的微分和积分性质, 有()()[]02sin 322=++x F i Y Y i ωωωω. 2分 利用(1)的结论, 有()()()()[]221232+---=ωδωδωπωωY . 4分 根据Fourier 逆变换的定义和-δ函数的筛选性质, 有()()[]ωY F x y 1-=()()[]⎰+∞∞--+--=ωωωωδωδωd e xi 122432()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωωωδωωωωδωωd e d e xi x i 12124322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--⋅=-==22221143ωωωωωωωωxi xi e e()x i xi e e 2221-+=x 2cos =. 8分六．解：根据Laplace 变换的位移性质, 有()[]()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=--1212122211s s L s F L()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=--11122212s s L et. 2分 令()()()11122++=ss s G ，则()s G 有两个一级极点i i ,-和一个二级极点-.14分 根据求Laplace 逆变换的留数公式, 有()[]()[]()[]()[]1,Re ,Re ,Re 1-++-=-s G e s i s G e s i s G e s s G L st st st . 6分根据留数计算规则, 有()[]()()[]s G e i s i s G e s st is st +=--→lim ,Re()()i s s e stis -+=-→21lim()()is sti s s e -=-+=21()212i i e it --=-.4it e --=9分()[]()()[]s G e i s i s G e s st is st -=→lim ,Re()()i s s e stis ++=→21lim()()is sti s s e =++=21()212i i e it +=.4it e -=12分()[]()()[]s G e s ds d s G e s st s st 211lim1,Re +=--→1lim21+=-→s e ds d sts()()2221121lim +-+=-→s se s te stst s()()1222121-=+-+=s ststs se s te().21t e t -+=15分代入上式，并利用Euler 公式, 有()[]()4211itit t e e e t s G L---+-+=()2cos 1te t t -+=-. 所以有()[]().cos 1231t t e t e t s F L ---⋅-+=17分。

机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模 拟 试 卷考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、已知iii z +--=131，则=z Re （ ）A 、0B 、21-C 、23-D 、无法确定2、下列函数中，为解析函数的是（ ） A 、xyi y x 222--B 、xyi x +2C 、)2()1(222x x y i y x +-+-D 、33iy x +3、设2,3z i z =+=ω，则=ωarg （ ）A 、3π B 、6π C 、6π-D 、3π-4、2)1()1()31(-+--=i i i z 的模为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、25、=-⎰=-dz z e z z1|2|2（ ） A 、e 2B 、e π2C 、22e πD 、i e 22π6、C 为正向圆周：2||=z ，则=-⎰dz z z e C z2)1(（ ）A 、i πB 、i π2C 、i π-D 、i π47、将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为（ ） A 、11-+=z z ω B 、zz -+=11ω C 、zz e i-+=112πωD 、112-+=z z eiπω 8、0=z 是3sin zz的极点，其阶数为（ ） A 、1B 、2C 、3D 、49、以0=z 为本性奇点的函数是（ ） A 、zzsin B 、2)1(1-z zC 、ze 1D 、11-z e 10、设)(z f 的罗朗展开式为 +-++-+-+----nz n z z z z )1()1(2)1(11)1(222，则 =]1),([Re z f s （ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、=-i33____________________________________2、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

《复变函数与积分变换》试卷及答案一、填空题（本题共8小题，每小题2分，满分16分） 二、（1）)ln(-1i +的虚部是π43 三、（2）映射zw 1=把z 平面上的曲线122=+y x 映成w 平面上的曲线是 122=+v u 四、（3）设)nxy x (i y x my )z (f 23233++-=解析函数，则常数=m 1 ，=n -3 五、（4）沿x y =计算积分()i dz iy xi 6561102+-=+⎰+六、（5）若)2)((cos )(--=z i z z z f 的Taylor 级数为∑∞=+-01n nn )i z (c ，则该级数的收敛半径为2七、（6）设()z f 在10<<z 内解析，且()10=→z zf lim z ，则 ()[]=0,z f s Re i π2八、（7）设⎩⎨⎧≥<=,t ,,t ,)t (f 01001 ⎩⎨⎧≥<=,0,sin ,0,0)(2t t t t f 则=*)()(21t f t f ⎩⎨⎧<≥-0001t t t cos 九、（8）设t cos e )t (f t=，则)t (f 的Laplace 变换为[]=)t (f 2212+--s s s 二、选择题（本题共5小题，每小题2分，满分10分。

） （1）2z )z (f =在0=z 处（B ）（A ）解析 （B ）可导（C ）不可导 （D ）既不解析也不可导 （2）下列命题中正确的是（ D ）（A ）设y ,x ,iy x z +=都是实数，则()1≤+iy x sin （B ）设)z (g )z z ()z (f m--=0，)z (g 在点0z 解析，m 为自然数，则0z 为()z f 的m 级极点（C ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （D ）幂级数的和函数在收敛圆内解析（3）级数∑∞=-+02))1(1(n n n in（A ）（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定（4）设0=z 是zsin z e z421-的 m 级极点，则=m （ C ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（5）设)()(0t t t f -=δ，则的)t (f 的Fourier 变换[]=)(t f （ D ）。

云南师范大学2007 --2008 学年下学期统一考试__复变函数与积分变换__试卷学院 物电 班级__06 __专业 电子类 学号__ __姓名__ ___考试方式：闭卷 考试时间：120 分钟 试卷编号：A 卷 题号一 二 三 四 总分 评卷人得分 评卷人一．单项选择题（本大题共5题，每题2分，共10分）请在每小题的括号中填上正确的答案。

选项中只有一个答案是正确的，多选或不选均不得分1.设y e y x V ax sin ),(=是调和函数，则常数=a （ ）A.0B.1C.2D.32.设i iz z z f 48)(3++=，则=-'),1(i f （ ）A.-2iB.2iC.-2D.23.设C 为正向圆周0)(a >=-a a z ，则积分⎰-C a z dz 22=（ ） A.ai2π- B. a i π- C. a i 2π D. ai π 4.设C 为正向圆周|z-1|=1，则⎰=-C dz z z 53)1(（ ） A.0B.πiC.2πiD.6πi 5.f(z)=211z +在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（ ） A.23 B.1C.2D.3 得分 评卷人二、填空题（本大题共10个题，每题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确的答案。

填错、不填均无分。

1、FT 解决的问题主要是： _____ ______.2、傅立叶级数中系数n a 、n b 和n c 之间的关系为__________________________.3、)(t f 的傅立叶积分公式为：____ ________.4、)(t f 的傅立叶变换为__ _____________.5、幂级数50n n nz +∞=∑的收敛半径为________________.6、函数21()1f z z =+的幂级数展开式为______________________________. 7、积分==⎰∞∞-ωπωd e t f t i 21)( . 8、.=)(at δ ____ ___________。

《复变函数与积分变换》试题答案及评分标准 A 卷一、填空题.（每题3分，共21分）1、21-，23-，i 2321-+2、0,3、2，2<z4、()4122++iw 5、4322++）（s 6、任何 7、()12913+e 二、选择题（每题3分，共18分）1、B2、A3、B4、C5、D6、B三、计算题。

解：()()[]()()()i i i y i x 35353531-+--++=()()()()2292533351315i i y i y i x x ----++-+………2分 =341()()[)())(()]i x y y x 13353315+--+-++ =341()[()]i x y y x 1835435--+-+ i +=1…………………………………………………4分 ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+∴11134183534435118353411435341y x x y y x x y y x ………………10分 2、解：()()()2323lxy x i y nx my z f +++=()y nx my y x u 23.+=∴ 23).(lxy x y x v +=…………………2分 )(z f 为解析函数，满足R C -条件y v x u ∂∂=∂∂ ， u v y x ∂∂=-∂∂………………………………….4分nxy x u 2=∂∂ 223nx my y u +=∂∂ 323ly x x v +=∂∂ lxy yv 2=∂∂……………………………………………6分⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎩⎨⎧--===∴3313333222222l n m n l m n l ly x nx my lxy nxy 时，当3,3,1-=-==∴l n m 解析)(x f …………………………10分3、解 z z f sin )(=在整个复平面上处处解析 ∴曲线积分dz z c⎰sin 与路径无关…………………………4分⎰⎰⎰∠==∴c xdx zdz zdz 20sin sin sin ……………………………7分 20cos cos 2cos 01cos 2x =-=-+=-……………………10分4、解：令ξ1-=z 原幂级数改写为1n n n ξ∞=∑。

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。