第三章整式

第三章整式的加减学情分析本章在学习有理数的基础上，结合学生已知的生活经验，引入用字母表示有理数，使学生的思维跨越由数到式的飞跃，继而介绍了代数式、代数式的值、整式、单项式与多项式及其相关概念，以及多项式的升（降）幂排列，并在这些概念的基础上逐步展开同类项的概念、合并同类项的法则以及去括号与添括号的法则，最后将这些法则应用于本章的重点——整式的加减，使得全章的知识体系井然有序，层层深入，结构分明，重点突出。

学生由“数”的学习转到“式”的学习，刚开始不懂，不过他们会逐步适应的。

列代数是本章的一个难点，刚开始时可以学习简单的列代数式，等全章学完后再适当补充结合生活实际的列代数式的题目；求代数式的值，在用数值代替代数式里的字母时，注意不要写错，特别是代入的数值是负数或分数时，要注意加括号；本章的概念较多，注意紧扣概念进行学习，注意单项式与多项式及其次数和系数、整式、同类项等的识别，教学时教师可补充这些概念的运用题，以进一步巩固所学的概念；在将一个多项式的按某字母升（降）幂排列时，注意是按题目要求的字母的次数，而不是这项的次数；本章学习的法则也很多，教师要帮助学生理解法则，并讲解典型题目紧扣法则进行训练，补充一些题目让学生练习，以巩固所学的法则的运用，其中在去括号与添括号时括号前面是负号，这是难点，学生特别容易做错，应加强训练，在学习本章的重点——整式的加减时，更要根据法则进行，在去括号时注意符号，计算时注意同类项的识别，运算时要细心，防止计算错误，也应多练习，以熟练掌握整式的加减运算。

在本章的学习中，让学生经历探索数量关系和变化规律的过程；学习时，对知识的呈现过程尽量能联系学生已有的生活经验，以发展学生用数学的意识和能力；在重视基础知识的同时，适当插入一些开放题，培养学生的发散思维。

在学习中，充分发挥学生的主体作用，让学生自主学习、主动探索、小组讨论、合作学习、归纳总结、练习训练，牢固地掌握所学的知识。

第三章 整式及其代数式知识点1. 代数式的概念用基本的运算符号（运算包括加减乘除乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式。

例如：5，a ，()b a 32+ ，ab ，22b ab 2-a +，等等。

知识点2. 列代数式时应该注意的问题 数与字母、字母与字母相乘时常省略“×” 如：-2×a=-2a ，3×a ×b=3×ab ，-2×2x =-22x 数字通常写在字母前面如：mn ×（-5）=-5mn ，3×（a+b ）=3（a+b ） 带分数与字母相乘时要化成假分数。

如：212×ab=25ab ，切勿错误写成“ab 212”除法常写成分数的形式.如：x s ÷ =x s知识点3. 单项式单项式：像4x ，vt ，62a ，3a ，-n ，2πr ，它们都是数或字母的积，这样的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

知识规律小结：（1）圆周率π是常数，如2πr 的系数是2π，次数是1；π2r 的数是2. （2）当一个单项式的系数是1或-1时，通常省略不写系数，如bc a 2 ，-abc 等。

（3）代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如2xy 431写成2xy 47。

知识点4. 多项式及相关概念几个单项式的和叫做多项式。

例如：22b ab 2-a +，mn-3等在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项，如多项式中2x 3-x 2+，它的项分别是2x ，-3x ，2，常数项是2.一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，如42322243y y x y x y x ++-是五次四项式，最高次项是234y x 。

第三章《整式及其加减》要点梳理1、代数式(1)代数式中出现乘号，通常写作“．"或者省略不写．(2)数字与字母相乘时，数字写在字母前面．(3)除法运算写成分数形式．(4)当表示和或差而后面有单位时，代数式应加括号．2、单项式（1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：2x 可以看成12x ⋅，所以2x 是单项式；而2x 表示2与x 的商，所以2x 不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式.（2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：212x y -的系数是12-；2r π的系数是2.π注意：①单项式的系数包括其前面的符号；②当一个单项式的系数是1或1-时，“1”通常省略不写，但符号不能省略. 如：23,xy a b c -等；③π是数字，不是字母.（3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.注意：①计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如322xy z 的次数为1326++=，而不是5；②切勿加上系数上的指数，如522xy 的次数是3，而不是8；322x y π-的次数是5，而不是6.3、多项式（1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则.（2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：2231x y --共含有有三项，分别是22,3,1x y --，所以2231x y --是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是1-，而不是1.（3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式2242235x y x y xy -+中，222x y 的次数是4，43x y -的次数是5，25xy 的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是45312++=.4、整式：单项式和多项式统称做整式.5、同类项同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关.6、合并同类项（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.注意：①合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并；②不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

整式及其加减知识点复习【知识网络】【知识点梳理】要点一、整式的相关概念1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．特别说明：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．特别说明：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3. 多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．特别说明：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．要点二、整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．特别说明：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．特别说明：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．【典型例题】类型一、整式的相关概念1．在式子①﹣14x 2，①﹣2xy ，①xy 2﹣12x 2，①1y ①b a ﹣x ，①312x -，①0中，整式有_____个．【变式1】 在代数式①ab ，①1a ，①3x y +，①32x +，①3y -，①221b b =+，①2pq -，①2aπ中单项式有________；多项式有________；整式有________．【变式2】下列代数式：（1）12-mn ，（2）m ，（3）12 ，（4）b a ，（5）2m +1，（6）5x y -，（7）2x y x y +-，（8）x 2+2x +23，（9）y 3﹣5y +3y 中，整式有______．（填序号） 类型二、同类项及合并同类项2．若2|2|(1)03nm -+-=，则单项式213x m n y +-和224x n m y -是同类项吗？如果是，请把它们进行加法运算；如果不是同类项，请从下列代数式中找出同类项进行加法运算：242x y -，645x y -【变式1】在 2x 2y ，－2xy 2 ，3x 2y ，－xy 这四个代数式中，哪两项是同类项，并合并这两项．【变式2】合并同类项：（1）5(32)(37)a a a -+--- （2）3338(5)53a a a --+-类型三、去（添）括号3、a b c d a b --+=--（_________）a =+（_________）a =-（__________）．4、计算：(2xy －y)－(－y ＋xy)＝________．【变式1】m +n －p 的相反数为__________．【变式2】在等式的括号内填上恰当的项，x 2﹣y 2+8y ﹣4=x 2﹣（___________）． 类型四、整式的加减5、整式的加减（1）化简：3b ＋5a ＋2a －4b ； （2）化简：(a 2＋2ab ＋b 2)－(a 2－2ab ＋b 2)．（3）化简并代入求值：(4a 2－3a)－2(1－2a ＋2a 2)，其中a ＝－2【变式1】已知22m x y 与3n xy -是同类项，计算()()223423m m n m n nm n -+-+-的值．【变式2】 计算:( 1)3x 2y-3xy 2-12xy 2+23x 2y; (2)4(a-2b+1)-3(-4a+b-5).【变式3】 嘉淇准备完成题目：化简：22(68)(652)x x x x ++-++，发现系数“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x 2+6x +8）–（6x +5x 2+2）； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？类型五、综合应用6、如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．【变式1】设A=2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y，（1）求B-2A（2）若|x﹣2a|+（y﹣3）2=0，且B﹣2A=a，求a的值．【变式2】“十一”期间，某中学七年级(1)班的三位老师带领本班a名学生(学生人数不少于3名)去北京旅游，春风旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；华北旅行社不论教师、学生一律八折优惠，这两家旅行社的基本收费都是每人500元．(1)用代数式表示，选择这两家旅行各需要多少钱？(2)如果有学生20名，你认为选择哪家旅行社较为合算，为什么？。

第三章《整式的加减》全章复习、知识讲解【全章重点知识】1、用字母表示数的书写原则是什么？2、什么是代数式？3、求代数式的值的步骤是什么？4、什么是单项式？单项式的次数？单项式的系数？5、什么是多项式？多项式的次数？多项式的项？6、如何将多项式进行升、降幂排列？排列时要注意什么？7、什么是同类项？同类项与什么有关？与什么无关？8、合并同类项的法则？9、去括号、添括号的法则？10、整式的加法、减法的法则？做整式的加法、减法的一般步骤是什么？【全章重点知识概述】一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。