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第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真题感悟1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()[解析]由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.[答案] A2.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π[解析]因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为2 2.所以S表面积＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.[答案] B3.(2018·天津卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.[解析]连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝12AC.因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝12AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形.又点M到平面EHGF的距离为12，所以四棱锥M－EFGH的体积为13×⎝⎛⎭⎪⎫222×12＝112.[答案]1 124.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O 的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________.[解析]如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，所以OA⊥SC，OB⊥SC.因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂平面SAC，所以OA⊥平面SBC.设球的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，所以V A－SBC＝13×S△SBC×OA＝13×12×2r×r×r＝13r3，所以13r3＝9⇒r＝3，所以球的表面积为4πr2＝36π.[答案]36π考点整合1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等.(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.热点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1)(2018·兰州模拟)中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为()A.18 6B.18 3C.18 2D.272 2(2)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.217B.2 5C.3D.2[解析](1)在俯视图Rt△ABC中，作AH⊥BC交于H.由三视图的意义，则BH＝6，HC＝3，根据射影定理，AH2＝BH·HC，∴AH＝3 2.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为AH＝3 2.故侧视图的面积S＝6×32＝18 2.(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4.则从M 到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.[答案](1)C(2)B探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】(1)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为()A.1B.2C.3D.4(2)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3 2B.2 3C.2 2D.2[解析](1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如图所示.∴三棱锥P－BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△P″CD，因此所求面积S＝S△P′AD＋S△P″CD＝12×1×2＋12×1×2＝2.(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P－ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD＝22＋22＋22＝2 3.[答案](1)B(2)B热点二几何体的表面积与体积考法1空间几何体的表面积【例2－1】(1)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16(2)(2018·西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π[解析](1)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝12×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12.(2)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体，∵S圆锥侧＝π×3×32＋42＝15π，S圆柱侧＝2π×1×2＝4π，S圆锥底＝π×32＝9π.故几何体的表面积S＝15π＋4π＋9π＝28π.[答案](1)B(2)C探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练2】(1)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π(2)(2018·烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为()A.3π＋42－2B.3π＋22－2C.3π2＋22－2 D.3π2＋22＋2[解析](1)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π.(2)由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底面面积S底＝π×12－(2)2＝π－2.∴几何体表面积S＝2(2×2)＋12(2π×1×2)＋S底＝42＋2π＋π－2＝3π＋42－2.[答案](1)A(2)A考法2空间几何体的体积【例2－2】(1)(2018·河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.6B.4C.223 D.203(2)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.[解析](1)由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为2.故几何体体积V＝23－12×2×2×1＝6.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的14圆柱体构成.所以V＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.[答案](1)A(2)2＋π2探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练3】(1)(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.(2)(2018·北京燕博园质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8π－163B.4π－163C.8π－4D.4π＋83[解析] (1)正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是 2.则该正八面体的体积为13×(2)2×1×2＝43. (2)该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体，∴体积V ＝12π×22×4－13×12×2×4×4＝8π－163. [答案] (1)43 (2)A热点三 多面体与球的切、接问题【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3[解析] 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r . 则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R＝3，即R＝32.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.[答案] B【迁移探究1】若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积.解将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.∴体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R＝32＋42＋122＝13.故S球＝4πR2＝169π.【迁移探究2】若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”试求该几何体外接球的体积.解该几何体为四棱锥，如图所示，设正方形ABCD的中心为O，连接OP.由三视图，PH＝OH＝1，则OP＝OH2＋PH2＝ 2.又OB＝OC＝OD＝OA＝ 2.∴点O为几何体外接球的球心，则R ＝2，V 球＝43πR 3＝823π.探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4】 (2018·广州三模)三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( ) A.23π B.234πC.64πD.643π[解析] 如图，设O ′为正△PAC 的中心，D 为Rt △ABC 斜边的中点，H 为AC 中点.由平面PAC ⊥平面ABC .则O ′H ⊥平面ABC .作O ′O ∥HD ，OD ∥O ′H ，则交点O 为三棱锥外接球的球心，连接OP ，又O ′P ＝23PH ＝23×32×2＝233，OO ′＝DH ＝12AB ＝2.∴R 2＝OP 2＝O ′P 2＋O ′O 2＝43＋4＝163.故几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝643π. [答案] D1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)求解几何体的表面积时要注意S表＝S侧＋S底.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a，a2，22a.3.锥体体积公式为V＝13Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉13.一、选择题1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()[解析]由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.[答案] B2.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4[解析]在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，是△PAD，△PCD，△PAB.[答案] C3.(2018·湖南师大附中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.8(π＋4)B.8(π＋8)C.16(π＋4)D.16(π＋8)[解析]由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4，左右为边长是4的正方形.∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝64＋8π＝8(π＋8).[答案] B4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.πB.3π4 C.π2 D.π4[解析]如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝1 2.∴底面圆半径r＝OA2－OM2＝32，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·⎝⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.[答案] B5.(2018·北京燕博园押题)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为()A.4π3 B.5π3 C.7π6 D.11π6[解析]由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与18个球组成的组合体，其体积为12×π×12×3＋18×4π3×13＝5π3.[答案] B6.(2018·全国Ⅲ卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A.12 3B.18 3C.24 3D.54 3[解析]设等边△ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝6sin 60°，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6.所以三棱锥D－ABC体积的最大值V max＝13S△ABC×6＝13×93×6＝18 3.[答案] B二、填空题7.(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________.[解析]由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V＝12×(1＋2)×2×2＝6.[答案] 68.(2018·郑州质检)已知长方体ABCD－A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为________. [解析]取BD的中点为O1，连接OO1，OE，O1E，O1A，则四边形OO1AE为矩形，∵OA⊥平面BDE，∴OA⊥EO1，即四边形OO1AE为正方形，则球O的半径R＝OA＝2，∴球O的表面积S＝4π×22＝16π.[答案]16π9.(2018·武汉模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，侧视图是个半圆.则该几何体的体积为________.[解析]由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体.其中r＝1，高h＝ 3.故几何体的体积V＝13π×12×3＝33π.[答案]3 3π三、解答题10.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点.(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1－ABC的体积.(1)证明因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC，又面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC.(2)解∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3， ∴VC 1－ABC ＝VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1. 11.(2018·长春模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝PB ，AD ∥BC ，AB ＝AC ，AD ＝12BC ＝1，PD＝3，∠BAD ＝120°，M 为PC 的中点.(1)证明：DM ∥平面PAB ；(2)求四面体MABD 的体积.(1)证明 取PB 中点N ，连接MN ，AN .∵M 为PC 的中点，∴MN ∥BC 且MN ＝12BC ，又AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，得MN 綉AD .∴ADMN 为平行四边形，∴DM ∥AN .又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ，∴DM ∥平面PAB .(2)解 取AB 中点O ，连接PO ，∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ， 则PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点H ，连接AH ，∵AB ＝AC ，∴AH ⊥BC ，又∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，Rt △ABH 中，BH ＝12BC ＝1，AB ＝2，∴AO ＝1，又AD ＝1，△AOD 中，由余弦定理知，OD ＝ 3.Rt △POD 中，PO ＝PD 2－OD 2＝ 6.又S △ABD ＝12AB ·AD sin 120°＝32，∴V M －ABD ＝13·S △ABD ·12PO ＝24.。
第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图1.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( B )解析:由题意知,选项A,C中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项D中所给几何体的侧视图不符合要求.故选B.2.(2014福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A )(A)圆柱 (B)圆锥 (C)四面体(D)三棱柱解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选A.3.(2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( D )(A)①和②(B)③和①(C)④和③(D)④和②解析:在空间直角坐标系O xyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选D.4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥A BCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选D.空间几何体的表面积与体积5.(2015新课标全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( B )(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛解析:设圆锥底面半径为r,因为米堆底部弧长为8尺,所以错误!未找到引用源。
题型专题(四)空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面，再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．[题组练透]1．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于() A．1 B. 2 C．2 D．2 2解析：选C依题意得，题中的长方体的侧视图的高等于2，正视图的长是2，因此相应的正视图的面积等于2×2＝2.2．(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()解析：选B由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.3．(2016·兰州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于()A.34B.41 C ．5 2 D ．215 解析：选C由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图，其中SC ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，所以最长的棱长为SB ＝5 2.[技法融会]1．由三视图还原到直观图的三步骤 (1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．2．(易错提醒)在读图或者画空间几何体的三视图时，应注意三视图中的实线和虚线.空间几何体的表面积与体积空间几何体的几组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式 ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．(2)柱体、锥体、台体的体积公式 ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 台体＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S ，S ′分别为上下底面的面积，h 为高．不要求记忆)．(3)球的表面积和体积公式 ①S 球＝4πR 2(R 为球的半径)； ②V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．[题组练透] 1．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：选A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.2．(2016·兰州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )A.32π B.32C ．3πD ．3 解析：选A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π.3．(2016·广州模拟)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20π B.205π3 C ．5π D.55π6解析：选D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1，其高h ＝1，∴球半径为R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫h 22＝1＋14＝54，∴该球的体积V ＝43πR 3＝43×54 54π＝55π6. 4．(2016·重庆模拟)若正三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AC ，且BC ＝1，则三棱锥A -BCD 的高为( )A.66 B.33 C.22 D.63解析：选A 设三棱锥A -BCD 的高为h .依题意得AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝AD ＝22BC ＝22，△BCD 的面积为34×12＝34.由V A BCD ＝V B ACD 得13S △BCD ·h ＝13S △ACD ·AB ，即13×34×h ＝13×12×⎝⎛⎭⎫222×22，解得h ＝66，即三棱锥A -BCD 的高h ＝66.选A.5．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝（1＋2）×12×1＝32.答案：32[技法融会]1．求解几何体的表面积及体积的2大技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．2．(易错提醒)对于简单组合体表面积与体积的计算，由于不能准确分析组合体的结构，以致得出错误结论.多面体与球的切接问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．[题组练透]1．(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π3解析：选B 设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2.故选B.2．(2016·石家庄一模)在三棱锥P -ABC 中，P A ＝BC ＝4，PB ＝AC ＝5，PC ＝AB ＝11，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．解析：将三棱锥P -ABC 放到长方体中，如图，设长方体的长、宽、高分别是a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16b 2＋c 2＝25c 2＋a 2＝11，相加解得a 2＋b 2＋c 2＝26，因为三棱锥P -ABC 的外接球即该长方体的外接球，所以外接球的直径2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝26，则三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝26π. 答案：26π[技法融会]处理球与多面体切接问题的思路(1)过球及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作面，化空间问题为平面问题； (2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，确定球心位置； (3)建立几何量间关系，求半径r .立体几何与函数最值的交汇近几年，高考对立体几何的考查，正逐步由简单的计算问题向与最值问题交汇命题转变，强化了函数思想在立体几何中的应用，加大了题目的难度．[新题速递]1．(2016·河南六市联考)一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数y ＝2x1＋x 2(x >0)的图象上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是( )A ．π B.π3C.π4D.π2解析：选A ∵y ＝2x 1＋x 2(x >0)，∴yx 2－2x ＋y ＝0，将其视为关于x 的一元二次方程，设x 1，x 2是其两根，∴绕x 轴旋转而成的几何体的体积V ＝πy 2|x 1－x 2|＝πy 2·4－4y 2y＝2π 14－⎝⎛⎭⎫y 2－122≤π，当且仅当y 2＝12， 即y ＝22时等号成立，故选A. 2．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A ．3 3 B. 3 C ．2 6 D ．2 3解析：选D 设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，那么正六棱柱的体积V ＝⎝⎛⎭⎫6×34a 2×h ＝332⎝⎛⎭⎫9－h 24h ＝332⎝⎛⎭⎫－h 34＋9h ， 令y ＝－h 34＋9h ，则y ′＝－3h 24＋9，令y ′＝0，解得h ＝23，易知当h ＝23时，y 取最大值，即正六棱柱的体积最大．[技法融会]解答此类问题的一般思路是把所求空间几何体的面积和体积表示为关于线段长x 或某一角θ的函数，有时还要利用导数求取最值．一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．2．(2016·广州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为( )A.312π B.36π C.34π D.33π 解析：选A 由题意可知，该几何体是14个圆锥，圆锥的底面半径是1，高是3，故该几何体的体积V ＝13×14×π×12×3＝312π.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π B.13π6 C.7π3 D.5π2解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝13π6.4．(2016·江西两市联考)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2 B.92 C.32D ．3解析：选D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x ，∴该几何体的体积V ＝13×12×(1＋2)×2×x ＝3，解得x ＝3.5．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π 解析：选C 由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π.故选C.6．(2016·安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为( )A ．4π＋16＋4 3B ．5π＋16＋4 3C ．4π＋16＋2 3D ．5π＋16＋2 3解析：选D 由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2×12×2×3＝23；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2×12×π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋23，故选D.7．(2016·昆明七校调研)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.15B.16C.17D.18解析：选A 依题意，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC- A 1B 1C 1 (其底面边长是2)中截去三棱锥E A 1B 1C 1 (其中E 是侧棱BB 1的中点)，因此三棱锥E A 1B 1C 1的体积为＝13×34×22×1＝33，剩余部分的体积为V ＝－＝34×22×2－33＝533，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为15，选A. 8．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15 解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15.9．(2016·江西赣州二模)某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O 1A 1B 1C 1，如图(2)，其中O 1A 1＝6，O 1C 1＝2，则该几何体的侧面积为( )A ．48B ．64C ．96D ．128解析：选C 由几何体的三视图可知该几何体为一个四棱柱．因为它的俯视图的直观图是矩形O 1A 1B 1C 1，其中O 1A 1＝6，O 1C 1＝2，所以俯视图的直观图的面积为12，由平面图形的直观图与原图形面积的关系可知俯视图的面积为242，易知俯视图是边长为6的菱形，又几何体的高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.10．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B -AD -C ，则三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为( )A ．5π B.203π C ．10π D ．34π解析：选D 依题意，在三棱锥B-ACD 中，AD ，BD ，CD 两两垂直，且AD ＝4，BD ＝CD ＝3，因此可将三棱锥B ACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3、3、4，且其外接球的直径2R ＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为4πR 2＝34π，选D.11．(2016·唐山模拟)三棱锥P-ABC 中，P A ⊥平面ABC 且P A ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B ．4πC ．8πD ．20π 解析：选C 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面，以PA 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C .12．(2016·海口调研)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为( )A.33B.17C.41D.42解析：选C依题意，题中的几何体是四棱锥E -ABB 1A 1，如图所示(其中ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为4的正方体，C 1E ＝1)，EA ＝32＋42＋42＝41，EA 1＝12＋42＋42＝33，EB ＝32＋42＝5，EB 1＝12＋42＝17，AB ＝BB 1＝B 1A 1＝A 1A ＝4，因此该几何体的最长棱的棱长为41，选C.二、填空题13．(2016·四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由三视图可得三棱锥如图所示，则V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1＝33. 答案：3314．如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球，所以长方体的体积为2×2×1＝4，半球的体积为12×43π×13＝2π3，所以该几何体的体积是4－2π3. 答案：4－2π315．(2016·海口调研)半径为2的球O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a 、高为h ，则有16＝2a 2＋h 2≥22ah ，即4ah ≤162，该正四棱柱的侧面积S ＝4ah ≤162，当且仅当h ＝2a ＝22时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－162＝16(π－2)．答案：16(π－2)16．(2016·山西质检)某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是________．解析：由题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P -ABCD ，CD ＝y 2，AB ＝y ，AC ＝5，CP ＝7，BP ＝x ，∴BP 2＝BC 2＋CP 2，即x 2＝25－y 2＋7，x 2＋y 2＝32≥2xy ，则xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V ＝13×2＋42×3×7＝37. 答案：37。
专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积适考素能特训理一、选择题1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图，那么相应的侧视图能够为( )答案D解析由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如下图，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，应选D.2．[2016·重庆测试]某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.23B.43C.53D.73答案B解析依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(腰长别离为一、2)、高为1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长别离为一、2)、高为1，因此该几何体的体积为12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43，选B.3．[2016·唐山统考]三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为3的等边三角形，那么该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B．4πC．8πD．20π答案 C解析 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PA 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所之外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，因此三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π，应选C .4．[2016·武昌调研]某几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为( )A ．18＋2πB ．20＋πC ．20＋π2D ．16＋π答案 B 解析 由三视图可知，那个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为一、高为1的14圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个14圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S ＝4×5＋2×2π×1×1×14＝20＋π，应选B . 5．[2016·陕西质检]某几何体的三视图如下图，该几何体的体积为( )A .43B .52C .73D ．3 答案 A 解析 依照几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如下图．那么该几何体的体积是V 几何体＝V 三棱柱＋V 三棱锥＝12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43.故应选A .6．已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C －AB －D 的余弦值为33，假设A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，那么此球的体积为( ) A ．2πB .823πC .2πD .23π 答案 D 解析 如图，取AB 的中点为M ，连接CM ，取DE 的中点为N ，连接MN ，CN ，可知∠CMN 即为二面角C －AB －D 的平面角，利用余弦定理可求CN ＝32＝CM ，因此该几何体为正四棱锥，半径R ＝22，V ＝43πR 3＝2π3，应选D .二、填空题7．[2016·广西南宁检测]设甲、乙两个圆柱的底面积别离为S 1、S 2，体积别离为V 1、V 2.假设它们的侧面积相等且V 1V 2＝32，那么S 1S 2的值是________． 答案 94解析 设甲、乙两个圆柱的底面半径别离为r 1，r 2，高别离为h 1，h 2，那么有2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，又V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2，∴V 1V 2＝r 1r 2，∴r 1r 2＝32，那么S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 22＝94. 8．[2016·山西太原一模]已知在直角梯形ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D －ABC ，当三棱锥D －ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为________．答案 43π 解析 当平面DAC⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值．现在易知BC⊥平面DAC ，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD ，∴AD⊥BD，取AB 的中点O ，易患OA ＝OB ＝OC＝OD ＝1，故O 为所求外接球的球心，故半径r ＝1，体积V ＝43πr 3＝43π. 9．[2016·云南玉溪一模]表面积为60π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，假设平面SAB⊥平面ABC ，那么三棱锥S －ABC 体积的最大值为________．答案 27解析 设球O 的半径为R ，那么有4πR 2＝60π，解得R ＝15.由于平面SAB⊥平面ABC ，因此点S 在平面ABC 上的射影D 在AB 上，如图，当球心O 在三棱锥S －ABC 中，且D 为AB 的中点时，SD 最大，三棱锥S －ABC 的体积最大．设O′为等边三角形ABC 的中心，那么OO′⊥平面ABC ，即有OO′∥SD.由于OC ＝15，OO′＝3，那么CO′＝CO 2－OO′2＝23，那么DO′＝3，那么△ABC 是边长为6的等边三角形，那么△ABC 的面积为12×6×33＝9 3.在直角梯形SDO′O 中，作OM⊥SD 于M ，那么OM ＝DO′＝3，DM ＝OO′＝3，∴SD＝DM ＋MS＝3＋152－32＝33，因此三棱锥S －ABC 体积的最大值为13×93×33＝27. 三、解答题10．[2016·达州一模]已知几何体A －BCED 的三视图如下图，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A －BCED 的体积为16.(1)求实数a 的值；(2)将直角三角形△ABD 绕斜边AD 旋转一周，求该旋转体的表面积．解 (1)由该几何体的三视图知AC⊥平面BCED ，且EC ＝BC ＝AC ＝4，BD ＝a ，体积V ＝13×4×a ＋4×42＝16，因此a ＝2. (2)在Rt △ABD 中，AB ＝42，BD ＝2，因此AD ＝6，过点B 作AD 的垂线BH ，垂足为点H ，易患BH ＝423， 该旋转体由两个同底的圆锥组成，圆锥底面半径为BH ＝423. 因此圆锥底面周长为c ＝2π·423＝82π3，两个圆锥的母线长别离为42和2，故该旋转体的表面积为S ＝12×82π3(2＋42)＝32π＋82π3. 11．[2016·河北五校联盟质检] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，PA ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3，M 是棱PC 的中点．(1)求证：PA∥平面MQB ；(2)求三棱锥P －DQM 的体积．解 (1)证明：连接AC ，交BQ 于点N ，连接MN ，CQ ，∵BC∥AD 且BC ＝12AD ， 即BC∥AQ，BC ＝AQ ，∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 的中点，又点M 是棱PC 的中点，∴MN∥PA，又∵PA ⊄平面MQB ，MN ⊂平面MQB ，那么PA∥平面MQB.(2)连接DM ，那么V P －DQM ＝V M －PDQ ，∵平面PAD⊥底面ABCD ，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD ，∴点M 到平面PAD 的距离为12CD ， ∴V P －DQM ＝V M －PDQ ＝13S △PDQ ·12CD ＝13·12·QD·PQ·12CD ＝14. 12．[2016·鹰潭二模]如图1所示，直角梯形ABCD ，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD ＝CD ＝12AB ＝2，点E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直(如图2)，在图2所示的几何体D －ABC 中．(1)求证：BC⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且知足AD∥平面BEF ，求几何体F －BCE 的体积． 解 (1)证明：在图1中，由题意知，AC ＝BC ＝22， 因此AC 2＋BC 2＝AB 2，因此AC⊥BC因为E 为AC 的中点，连接DE ，那么DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC ，且平面ADC∩平面ABC ＝AC ，DE ⊂平面ACD ，从而ED⊥平面ABC ， 因此ED⊥BC又AC⊥BC，AC∩ED＝E ，因此BC⊥平面ACD.(2)取DC 的中点F ，连接EF ，BF ，因为E 是AC 的中点，因此EF∥AD，又EF ⊂平面BEF ，AD ⊄平面BEF ，因此AD∥平面BEF ，由(1)知，DE 为三棱锥B －ACD 的高，因为三棱锥F －BCE 的高h ＝12DE ＝12×2＝22，S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×22×22＝2， 因此三棱锥F －BCE 的体积为：V F －BCE ＝13S △BCE ·h＝13×2×22＝23.。
2017届高考数学（文科）专题练习空间几何体的三视图、表面积与体积答案一、选择题1~5．CDABB 6~10．CBBCC二、填空题11；12.40π；13.．14.132017届高考数学（文科）专题练习空间几何体的三视图、表面积与体积解析一、选择题1．解析：该几何体的侧视图即为其在面BCC1B1上的射影，又A点射影为点B，E点射影为线段CC1的中点，故选C．2．解析：由正视图和侧视图可知，这是一个横放的正三棱柱，一个侧面水平放置，则俯视图应为D．3．解析：四面体的直观图如图A-BCD，所以V=×(×1×2)×2=。
4．解析：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC 边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B．5．解析：由三视图知此多面体是一个斜四棱柱，其表面积S=2×(3×3+3×6+3×3)=54+18。
故选B．6．解析：由三视图可知，该几何体是一个底面是梯形的直四棱柱，所以V=×(2+3)×1×1=。
故选C．7．解析：由三视图可知，该几何体是由圆锥(上方)与圆柱(下方)构成的组合体，其中圆锥与圆柱的底面半径r=1，圆锥的母线长l=2，圆柱的高H=2．则圆锥的侧面积S1=πrl=π×1×2=2π；圆柱的侧面积S2=2πrH=2π×1×2=4π；圆柱的底面积S3=πr2=π×12=π。
故该组合体的表面积S=S1+S2+S3=2π+4π+π=7π。
8．解析：设圆锥底面半径为r，因为米堆底部弧长为8尺，所以r=8，r=≈(尺)，所以米堆的体积为V=××π×()2×5≈(立方尺)，又1斛米的体积约为1．62立方尺，所以该米堆有÷1．62≈22(斛)，选B．9．解析：由三视图可知该零件是一个底面半径为2．高为4的圆柱和一个底面半径为3．高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积V1=π×22×4+π×32×2=34π，原来的圆柱体毛坯的体积为V=π×32×6=54π，则切削掉部分的体积为V2=54π-34π=20π，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为=。
