数学分析公式定理1-11章

第一章 变量与函数 §1 函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 １．定义１ 设,X Y R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x X ∀∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。

习惯上称x 自变量，y 为因变量。

函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X .{}()|(),f X y y f x x X ==∈。

２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。

例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）。

（2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。

即“函数()y f x =”或“函数f ”。

（3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。

a 称为()f a 的原象。

3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。

2 可用“特殊方法”来表示的函数。

分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。

例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）用语言叙述的函数。

例：１）[]y x =（x 的最大整数部分）２）1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,（Ｄirichlet ）三 函数的一些几何特性 1、单调函数 定义2 设f 为定义在X 上的函数，1212,,,x x X x x ∀∈< （１）若12()()f x f x ≤，则称f 为X 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为X 上的严格增函数。

第1章 集合与映射 █ █1《数学分析Ⅰ》第1讲 教学内容：数学分析总概第1章 集合与映射一、数学分析总概牛顿（Newton.I 1642-1727）英国数学物理学家，在1665－1666年间发表著名公式()()()baf x dx F b F a =-⎰。

莱布尼兹（Leibniz.G.W 1646-1716）德国数学家，在1673－1676年间发表著名公式()()()b af x dx F b F a =-⎰。

二、集合 §1.1集合概念：一些事物所汇聚的总体通常称为一个集合，总体中的每一个成员，叫做该集合的元素。

一般用大写英文字母表示集合，小写英文字母表示集合中的元素，例如：,,...A B C 通常表示集合；,,...,...a b c x y 等表示集合中的元素。

－自然数集； －整数集； －有理数集； －实数集； {|0}x x +==>▇ ▇ 数学分析2有限集 可列集 无限极 空集 子集 ∙集合的运算：（1）并集：A B{|A B x x A =∈ 或}x B ∈见(图1-1)（2）交集：A B{|A B x x A =∈ 且}x B ∈见(图1-2)（3）差集：A B -{|A B x x A -=∈且}x B ∉见(图1-3)（4）设 A X ⊂，即A 为X 的子集，补集：CA X A =-称为A 的补集。

见(图1-4)（5）无限并：设12,,...,...n A A A 是一 列集合，定义1{|,}nn n x n x A ∞=A=∃∈∈（6）无限交：设12,,...,...n A A A 是一 列集合，定义1{|,}nn n Ax n x A ∞==∀∈∈设Γ是任意的一个非空集合（拓扑集），α∀∈Γ，对应有集合A α， {:}A αα∈Γ称为集合族，无论Γ是有限集、可列集、还是不可列集（不可数集），都可定义（1） 不可数并：{|,}A x x A αααα∈Γ=∃∈Γ∈ （2） 不可数交：{|,}A x x A αααα∈Γ=∀∈Γ∈第1章 集合与映射 █ █3命题1.1 设{ A α：α∈Γ}中每一个集合都是某个大集合X 的子集，记 A C＝X －A ，其中A ⊂X ，则 （3） ()c αα∈ΓA ＝c αα∈ΓA （4）()c αα∈ΓA ＝c αα∈ΓA 上面公式（9）和（10）通常称为DeMorgan 公式（隶末根定理）。

数学分析定理证明最全汇总1. 引言本文旨在汇总数学分析中的常见定理及其证明，供研究和研究之用。

2. 逻辑与集合的定理2.1 反证法定理 2.1.1若一个命题的否定是不成立的，那么该命题本身是成立的。

证明：：假设命题P不成立。

假设命题$\neg P$不成立。

由此得到矛盾。

因此，命题P成立。

2.2 空集与全集定理 2.2.1空集是任何集合的子集。

证明：：假设存在一个集合A。

假设存在一个集合B，使得B是A的子集。

假设B不是空集。

由此得到矛盾。

因此，空集是A的子集。

3. 函数与极限的定理3.1 函数极限定理 3.1.1若函数f在某点c处的极限存在且为L，则f在c点连续。

证明：：假设函数f在c点极限存在且为L。

假设函数f在c点不连续。

由此得到矛盾。

因此，函数f在c点连续。

3.2 无穷极限定理 3.2.1对于一个无穷序列$\{a_n\}$，若$\lim_{n\to\infty} a_n$存在，则该极限必为有界集。

证明：：假设$\lim_{n\to\infty} a_n$存在。

假设$\{a_n\}$无界。

由此得到矛盾。

因此，该极限必为有界集。

总结本文汇总了数学分析中的部分定理及其简要证明，包括逻辑与集合的定理以及函数与极限的定理。

这些定理对于深入理解数学分析及其应用具有重要意义。

参考文献- 张田编著. (2009). 数学分析教程. 高等教育出版社.- Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Education.。

第一章 变量与函数 § 1函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 １． 定义１ 设 X ,Y R ， 如果存在对应法则f ， 使对 xX ， 存在唯一的一个数y Y 与之对应，则称 f 是定义在数集X 上的函数，记作 f : X Y ( x | y ).也记作 x | f(x) 。

习惯上称 x 自变量，y 为因变量 。

函 数 f 在 点 x 的 函 数 值 ， 记 为 f(x) ， 全 体 函 数 值 的 集 合 称 为 函 数 f 的 值 域 ， 记 作 f (X)f(X) y|y f(x),x X 。

２．注 ( 1) 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。

例： 1 ) f (x) 1,x R, g(x) 1,x R 0 .(不相同，对应法则相同，定义域不同)2)(x) | x |, x R, (x) x 2 ,x R.(相同，对应法则的表达形式不同)。

( 2) 函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写， 而只用对应法则 f 来表示一个函数。

即 “函数 y f (x) ” 或 “函数 f ” 。

( 3)“映射”的观点来看，函数 f 本质上是映射，对于 a D ， f (a) 称为映射f 下 a 的象。

a 称为 f (a) 的原象。

3)函数的表示方法 1 主要方法：解析法(分式法)、列表法和图象法。

2 可用“特殊方法”来表示的函数。

分段函数 ：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。

1,x 0例：sgn x 0,x 0 ，(符号函数)1,x 0用语言叙述的函数 。

例： １) y [ x] ( x 的最大整数部分)三 函数的一些几何特性1、单调函数 定义 2 设 f 为定义在 X 上的函数， x 1, x 2 X ,x 1x 2 , (１)若f (x 1 ) f (x 2 ) ， 则 称 f 为 X 上的增函数 ； 若 f (x 1 ) f (x 2 ) ， 则 称 f 为 X 上的严格增 函数。

数学分析公式总结数学分析是数学中的一门重要课程，它主要研究函数的性质和运算法则，以及极限、导数和积分等概念及其应用。

在学习数学分析时，我们经常会遇到各种各样的公式。

下面是对其中一些重要的数学分析公式进行总结。

一、极限公式1.常值函数的极限公式：\(\lim_{x\to a} c = c\)2.幂函数的极限公式：\(\lim_{x\to a} x^{m} = a^{m}\) （其中m为整数）3.正弦函数和余弦函数的极限公式：\(\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)\(\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x} = 0\)4.自然对数函数的极限公式：\(\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{x}-1}{x} = 1\)5.无穷小替换公式：当\(x\to a\)时，若\(\lim_{x\to a} f(x) = 0\)，\(\lim_{x\to a} g(x) = 0\)，且\(\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\)存在，则：\(\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)二、导数公式1.基本导数公式：\((c)'=0\)（其中c为常数）\((x^{n})' = nx^{n-1}\) （其中n为整数）\((\sin x)' = \cos x\)\((\cos x)' = -\sin x\)\((e^{x})'=e^{x}\)2.乘积法则：\((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)3.商法则：\((\dfrac{f(x)}{g(x)})' = \dfrac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\)4.链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都可导，则\(y'(x)=f'(u)g'(x)\)三、积分公式1.基本积分公式：\(\int cdx = cx + C\) （其中c为常数，C为常数）\(\int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) （其中n不等于-1）\(\int \sin xdx = -\cos x + C\)\(\int \cos xdx = \sin x + C\)\(\int e^{x}dx = e^{x} + C\)2.基本换元公式：\(\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\) （其中u = g(x)）四、泰勒展开公式泰勒展开公式是一种将一个函数在其中一点附近用多项式逼近的方法。

高等数学公式定理(全)·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tan β)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tan β)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cos α·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sin α·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cos α·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。