2018一轮北师大版(理)数学训练：第6章 第2节 课时分层训练33 基本不等式 Word版含答案

课时分层训练(四十) 平行关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，nα，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()【导学号：57962332】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若m，nα，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，nα，m∥β，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．] 2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是()图7-3-5A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1FD[由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.]3．(2017·山东济南模拟)如图7-3-6所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()图7-3-6A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能B[在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB平面ABC，A1B1⊆/平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，nα，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥αB[若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，nα，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能nα，D错．]5．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l α，m β，则α∥β；②若α∥β，lα，mβ，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0C [①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中，l 与m 也可能异面；③中，⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γ，l α，α∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．]二、填空题6．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件： ①a α，bβ，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b .其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)． ②④ [在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交． 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α，从而α∥β，④满足．]7．如图7-3-7所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图7-3-72 [在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.]8．(2016·衡水模拟)如图7-3-8，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.图7-3-8【导学号：57962333】平面ABC ，平面ABD [连接AM 并延长交CD 于E ，则E 为CD 的中点．由于N 为△BCD 的重心， 所以B ，N ，E 三点共线， 且EM MA ＝EN NB ＝12，所以MN ∥AB . 于是MN ∥平面ABD 且MN ∥平面ABC .] 三、解答题9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图7-3-9所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.【导学号：57962334】图7-3-9[解](1)点F，G，H的位置如图所示. 5分(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG. 7分又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH. 9分又CH平面ACH，BE⊆/平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH. 12分10．(2017·西安质检)如图7-3-10，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图7-3-10求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明](1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC. 2分又因为DE⊆/平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C. 5分(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1. 7分因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 10分因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()图7-3-11A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°C[因为截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]2．如图7-3-12所示，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.【导学号：57962335】图7-3-121[设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.]3．如图7-3-13所示，在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为P A，AC的中点．图7-3-13(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵点E是AC中点，点D是P A的中点，∴DE∥PC. 2分又∵DE⊆/平面PBC，PC平面PBC，∴DE∥平面PBC. 5分(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行. 7分证明如下：取AB的中点F，连接EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC. 10分又∵EF⊆/平面PBC，BC平面PBC，∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PBC，∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行. 12分。

第六章 数列 6.4 数列求和试题 理 北师大版1．等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2．等比数列的前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.3．一些常见数列的前n 项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)．(4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【知识拓展】数列求和的常用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )1．(2016·潍坊模拟)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A.n 2＋7n4B.n 2＋5n 3C.2n 2＋3n 4D ．n 2＋n答案 A 解析 设等差数列的公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6.即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.。

课时分层训练(二十八) 数列的概念与简单表示法A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32 B ．53 C.85D ．23D [a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋(－1)a 4＝23.]2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，nC [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满足要求的是选项C.]3．(2017·海淀期末)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( )【导学号：57962234】A ．5B ．6C ．7D ．8B [由(n ＋1)a n ＝na n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6.]4．(2016·广东3月测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )【导学号：57962235】A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，由a 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，∴a na n －1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n ，故选C.]5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 017＝( )【导学号：57962236】A.12 B ．－12 C ．2D ．－2C [由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n ，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.] 二、填空题6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝__________.12 [当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.] 7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项． 10 [令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． ∴a 10＝0.08.]8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________.【导学号：57962237】2n 2－n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝n (n －1)2，a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n ＋22， 所以a n ＝2n 2－n ＋2.]三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [解] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. 3分(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项.8分 (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数.12分 10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.2分 由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. 5分(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 7分于是a 1＝1， a 2＝31a 1， a 3＝42a 2， ……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.10分将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n (n ＋1)2.显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )【导学号：57962238】A.215B.225C.235D ．245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.]2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n＋1＝3S n ，则a n ＝__________.⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2[由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)． ∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列， ∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)． 故a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.] 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 2分因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.5分(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，7分又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞). 12分。

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课时分层训练（三十四）归纳与类比A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f （x）＝sin（x2＋1）是奇函数,以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确C［因为f （x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数,所以小前提不正确．]2．如图6.4­4,根据图中的数构成的规律，得a表示的数是（）图6。

4。

4A．12 B．48C．60 D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144。

]3．某种树的分枝生长规律如图6­4。

5所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为（）【导学号：66482307】图6。

4.5A．21 B．34C．52 D．55D[因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55。

］4．如图6.4。

6所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当错误!⊥错误!时，其离心率为错误!,此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆"，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于（)图6。

课时分层训练(三十三) 数列求和A 组 基础达标一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12B ．2n 2－n ＋1－12C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( ) A ．100 B ．110 C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )【导学号：79140183】A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.]4．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.] 5．已知函数f (x )＝x a的图像过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋，记数列{a n }的前n项和为S n ，则S 2 019＝( ) A. 2 018－1 B ． 2 019－1 C. 2 020－1D ． 2 020＋1C [由f (4)＝2得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.所以a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 020－2 019)＝ 2 020－1.] 二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sinn π2，n ∈N ＋，则S 2 018＝__________.1 [a n ＝sinn π2，n ∈N ＋，显然每连续四项的和为0.S 2 018＝S 4×504＋a 2 017＋a 2 018＝0＋1＋0＝1.]7．计算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n＝__________.4－n ＋42n[设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ， 则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －n ＋22n ＋1.所以S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－n ＋22＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n＝4－n ＋42n.]8．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11Sk＝________.2nn ＋1[设等差数列{a n }的公差为d ，则 由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，1S n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴∑nk ＝11S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.] 三、解答题9．(2018·南京、钦州第二次适应性考试)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n 2＋2n ，n ∈N＋.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和.【导学号：79140184】[解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，a 1＝S 1＝3也满足a n ＝2n ＋1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，则T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝16－14n ＋6＝n6n ＋9. 10．(2018·太原模拟(二))已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n ＋1)2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋a n＋1(n ∈N ＋)．(2)若c n ＝2a n·(b n －1)(n ∈N ＋)，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ， 当n ＝1时，a 1＝1，符合上式， ∴a n ＝n (n ∈N ＋)， ∴b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n ＋1.(2)由(1)得a n ＝n ，b n ＝2n ＋1，∴c n ＝2a n·(b n －1)＝n ×2n ＋1，∴T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1， ①①×2得2T n ＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n ×2n ＋2， ② ①－②得－T n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－n ×2n ＋2＝(1－n )×2n ＋2－4，∴T n ＝(n －1)×2n ＋2＋4.B 组 能力提升11．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )的图像关于x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0D ．－50B [因为函数f (x )的图像关于x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B.] 12．(2017·合肥二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n，则S n ＝__________.【导学号：79140185】n ·2n (n ∈N ＋) [由S n ＝2a n －2n 得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n －S n －1)－2n，即S n 2n －S n －12n －1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N ＋)．]13．(2017·广州综合测试(二))设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N＋)．(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3. ∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n.(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n， ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1.∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n. ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n]＝(n －1)·3n ＋1＋3.。

第6章 第1节一、选择题1．已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 [答案] C[解析] ∵对任意p 、q ∈N *都有a p ＋q ＝a p ＋a q . ∴a 10＝a 8＋a 2＝a 4＋a 4＋a 2＝5a 2＝－30.2．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．11800 [答案] B[解析] 当n 为奇数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)当n 为偶数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，则a n ＝(－1)n(2n ＋1)，a 1＋a 2＋…＋a 100＝－3＋5－7＋9…－199＋201＝2×50＝100.3．(2018·沈阳一模)将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34950B ．35000C ．35010D ．35180[答案] A[解析] 由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有＋2＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.4．(2018·陕西理)对于数列{a n}，“a n＋1>|a n|(n＝1,2，…)”是“{a n}为递增数列”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] a n＋1>|a n|，∴－a n＋1<a n<a n＋1，即a n＋1－a n>0，且a n＋a n＋1>0，则{a n}为递增数列，反之若{a n}为递增数列，a n＋1>|a n|不一定成立．5．(2018·济南统考)已知数列{a n}的通项公式a n＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是a n的最小值，则实数a的取值范围是( ) A．[24,36]B．[27,33]C．{a|27≤a≤33，a∈N*}D．{a|24≤a≤36，a∈N*}[答案] A[解析] 由于数列的定义域为正整数，故由二次函数知识，只需 5.5≤9＋a6≤7.5⇒24≤a≤36即可．6．(2018·上饶一模)已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n＋2n，那么a2018的值是( ) A．2018×2018B．2018×2018C．20182D．2018×2018[答案] D[解析] 解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相同两整数乘积的形式，可变形为：a1＝0×1a2＝1×2 a3＝2×3a4＝3×4猜想a2018＝2018×2018，故选D.解法2：a n－a n－1＝2(n－1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，…a 3－a 2＝2×2， a 2－a 1＝2×1.所有等式左右两边分别相加(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1) ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]． ∴a n －a 1＝2n －n －1＋2＝n (n －1)．∴a n ＝n (n －1)．故a 2018＝2018×2018.7．若数列{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 4，则当T n 取最小值时，n 的值等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] B[解析] 由T 8＝T 4，a 5a 6a 7a 8＝1，又a 5a 8＝a 6a 7＝1，且数列{a n }是正项递增数列，所以a 5＜a 6＜1＜a 7＜a 8，因此T 6取最小值．8．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n3a n ＋1，a 1＝1，则a 2018等于( ) A.16031 B.16034 C.16037 D.16040[答案] B[解析] ∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n＋3.∴{1a n }是以a n ＝1为首项，3为公差的等差数列，故1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，a n ＝13n －2， ∴a 2018＝13×2012－2＝16034.二、填空题9．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为5，T n 为数列{a n }前n 项的积，则T 2018＝________. [答案] 2·51018[解析] T 2018＝a 1(a 2a 3)·(a 4a 5)…(a 2018·a 2018)＝2·51018.10．设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] 2n ＋1[解析] ∵4S n ＝a n 2＋2a n －3， ∴当n ≥2时，4S n －1＝a n －12＋2a n －1－3.两式相减得4a n ＝a n 2－a n －12＋2a n －2a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 又∵a n >0.∴a n －a n －1＝2.当n ＝1时，由4a 1＝a 12＋2a 1－3， 得a 1＝3，故a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. 11．已知a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则在数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是第________项．[答案] 10 9 [解析] a n ＝n －98n －99＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99当1≤n ≤9时，99－98n －99<0，a n 递减．当n ≥10时，99－98n －99>0，a n 递减．∴最大项为a 10，最小项为a 9. 三、解答题12．已知数列{a n }满足：a 1＝1,4n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始以后各项均小于11000？[解析] (1)a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫142·⎝ ⎛⎭⎪⎫141 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2＋…＋(n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)∴a n ＝(12)n (n －1)(2)当n ≤3时，(n －1)n ≤6，a n ＝(12)(n －1)n ≥164当n ≥4时，(n －1)n ≥10，a n ＝(12)(n －1)n ≤11024所以，从第4项开始各项均小于11000.13．下图是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，记OA 1，OA 2，OA 3，…，OA 7，OA 8的长度所成的数列为{a n }(n ∈N,1≤n ≤8)．(1)写出数列的前4项； (2)求{a n }的通项公式；(3)如果把图中的直角三角形继续作下去，那么OA 9，OA 2018的长分别是多少？ [解析] (1)∵a 1＝OA 1＝1，由勾股定理得a 2＝a 12＋1＝2，a 3＝a 22＋1＝3，a 4＝a 32＋1＝4＝2；(2)观察{a n }的前几项，可以发现数列的项恰好是序号的算术平方根，即有通项公式a n ＝n ；(3)OA 9＝a 9＝3，OA 2018＝a 2018＝2012＝2503.[点评] 由归纳法，找出数列的通项公式，或由数列的通项公式写出数列的项，对数列做出某种判断，是高考命题的方向，此类题对逻辑推理能力有较高的要求．14．已知数列{a n }的前n 项和为n 2＋pn ，数列{b n }的前n 项和为3n 2－2n . (1)若a 10＝b 10，求p 的值；(2)取数列{b n }的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n }，求数列{c n }的通项公式．[解析] (1)由已知，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋pn )－[(n －1)2＋p (n －1)]＝2n －1＋p (n ≥2)，b n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5 (n ≥2)． ∴a 10＝19＋p ，b 10＝55.由a 10＝b 10，得19＋p ＝55.∴p ＝36. (2)b 1＝S 1＝1，满足b n ＝6n －5. ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝6n －5.取{b n }中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b 2k －1＝6(2k －1)－5＝12k －11.∴c n ＝12n －11.15．(2018·全国卷Ⅰ理)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n .设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．[解析] 本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了化归与转化思想的考查．a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，取倒数有1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2即b n ＋1＝4b n ＋2，得b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，即b n ＝－4n －13－13.。

第六章数列6.2等差数列及其前n项和试题理北师大版基础知识自主学习EJ知识梳理----------------------------i.等差数列的定义从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母_d_表示.2 •等差数列的通项公式若首项是a i，公差是d,则这个等差数列的通项公式是a i+ (n —1)d.3 .等差中项如果在a与b中间插入一个数A,使a, A, b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.4 •等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n= a m+ ( n—n)d( n, m€ N+).⑵若｛a n｝为等差数列，且k + l = n+ n( k, l , m n€ N+)，贝U a k + a = a m+ a n.(3)若｛a n｝是等差数列，公差为d,则｛a2n｝也是等差数列，公差为2d.⑷若｛a n｝, ｛b n｝是等差数列，则｛pa n+ qb｝也是等差数列.⑸若｛a n｝是等差数列，公差为d,则a k, a k +m, a k+2m,—( k, m^ N+)是公差为md的等差数列.⑹数列S n, S n—Sn, Sm—S n,-( m€ N)构成等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列｛a n｝的公差为d,其前n项和S n= n a；an或S = na i+n n—d.6 .等差数列的前n项和公式与函数的关系数列｛&｝是等差数列？An2+ Bn(A B为常数).7 .等差数列的前n项和的最值在等差数列｛a n｝中，a i>0, d<0,则S存在最大值；若a i<0, d>0,则S存在最小值. 【知识拓展】等差数列的四种判断方法(i)定义法：a n+1 —a n= d(d是常数)？｛a n｝是等差数列.⑵ 等差中项法：2a n +1= a n + a n + 2 （ n € N U ）? ｛a n ｝是等差数列.⑶ 通项公式：a= pn + q （p , q 为常数）？ ｛a n ｝是等差数列. ⑷ 前n 项和公式：S = Ark Bn （A , B 为常数）? ｛a n ｝是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“ x”）（1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数 列.（x ）⑵ 等差数列｛a n ｝的单调性是由公差 d 决定的.（V ） ⑶ 等差数列的前n 项和公式是常数项为 0的二次函数.（x ）⑷ 已知等差数列｛a n ｝的通项公式 & = 3-2n ,则它的公差为一2.（ V ）1.在等差数列｛a n ｝中，若a 2= 4, a 4= 2,贝U a 6等于（ ）A . - 1B . 0C . 1D . 6 答案 B解析 由等差数列的性质，得 a 6= 2a 4— a 2 = 2x 2— 4 = 0，故选B.其前n 项和为S,若a 6= 2且S= 30,则$等于（ ）考点自测2.（教材改编）设数列｛a n ｝是等差数列, A . 31 B . 32 C . 33.34答案解析由已知可得a 1 + 5d = 2,5a 1 + 10d = 30,26勿=§, 解得I d =-3,8X7S 8= 8a 1 + ~ d = 32.3 . （2016 •全国乙卷）已知等差数列｛a n ｝前9项的和为27, a 10= 8,贝U a 。

课时分层训练(三十二) 不等式的性质与一元二次不等式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a d>bc B ．ac >b d C ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d.] 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )【导学号：57962271】A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]A [法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． 法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．]3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．]4．(2016·吉林一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－ln 3}B ．{x |－1<x <－ln 3}C ．{x |x >－ln 3}D ．{x |x <－ln 3}D [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根， ∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23， b ＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13. 不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13. 解得x <ln 13， ∴x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]5．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是( )【导学号：57962272】A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}D [由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.] 二、填空题6．(2016·辽宁抚顺一模)不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________.【导学号：57962273】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]7．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________．[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]8．(2016·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝a d －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．32 [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.] 三、解答题9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小.【导学号：57962274】[解] (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y ).5分∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，8分 ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y ). 12分 10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， 2分 ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23，∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}.5分 (2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，8分等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)A [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)ma x ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________.【导学号：57962275】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0， 所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2016·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围.【导学号：57962276】[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，2分当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立， 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. 5分(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”.7分不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可， 所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，10分 解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.12分。

1．等差数列的定义从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母_d _表示． 2．等差数列的通项公式若首项是a 1，公差是d ，则这个等差数列的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N ＋)构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(教材改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.4．(2016·江西玉山一中模拟)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 5＝9，则S 7等于( )A ．21B ．28C ．35D ．42 答案 A解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝9，∴a 4＝3， ∴S 7＝7a 4＝21，故选A.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N ＋有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52.(2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2.∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 (1)C (2)20解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，b n ＝1a n －1(n ∈N ＋)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N ＋)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑n k ＝1(a k ＋1－a k )＝∑n k ＝1(2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S nn }为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n.(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.3828 C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( ) A ．9 B ．22 C ．24 D ．32答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( ) A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱 答案 D解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2016·佛山模拟)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11答案 C解析 由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51， 所以a n －1＝17，又a 2＝3， S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.4．(2017·北师大附中质检)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为( ) A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 答案 B解析 设竹子自上而下各节的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，且为等差数列， 根据题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即4a 1＋6d ＝3，① 3a 1＋21d ＝4，②②×4－①×3得66d ＝7，解得d ＝766，把d ＝766代入①，得a 1＝1322，则a 5＝1322＋766(5－1)＝6766. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8D ．8或9答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C. 6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N＋)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A ．310 B ．212C ．180D ．121 答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2， 所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝(n ＋102n －1)2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12 ＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121， 故选D.7．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 答案 27解析 由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 9．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N ＋)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.10．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N ＋，故k ＝7.12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式． 故a n ＝⎩⎨⎧ 12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2. 13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N＋)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.。

课时规范练28《素养分级练》P366基础巩固组1.(山东潍坊高三月考)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为( )A.12B.14C.3D.13答案:D解析:设等比数列{a n}的公比为q,因为S1,2S2,3S3成等差数列,所以S1+3S3=2×2S2,所以4a1+3a2+3a3=4a1+4a2,化为3a3=a2,解得q=13.故选D.2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=√2a n,若a1a2a3…a n=128√2,则n=( )A.4B.5C.6D.7答案:C解析:由题意得a n=2n-12,因此a1a2a3…a n=2n(n-1)4=128√2,所以n(n-1)4=152且n∈N*,可得n=6.故选C.3.(山东东营高三月考)已知等比数列{a n}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则1 a2+1a4+1a6+1a8的值为( )A.20B.10C.5D.52答案:B解析:由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2,所以1a2+1a4+1a6+1a8=a2+a8a2a8+a4+a6 a4a6=a2+a4+a6+a8a2a8=202=10.故选B.4.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n+1+2m(m∈R),则2ma2+a4=( )A.-110B.110C.-120D.120答案:A解析:当n=1时,a1=22+2m(m∈R);当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1+2m-(2n+2m)=2n.因为{a n}为等比数列,所以a1=22+2m=2,得m=-1,所以2ma2+a4=-222+24=-110.故选A.5.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足S2mS m =9,a2ma m=5m+1m-1,则数列{a n}的公比为( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3答案:B解析:设数列{a n}的公比为q,若q=1,则S2mS m=2,与题中条件矛盾,故q≠1.∵S2m S m =a1(1-q2m)1-qa1(1-q m)1-q=q m+1=9,∴q m=8.∵a2ma m=a1q2m-1a1q m-1=q m=8=5m+1m-1,∴m=3,∴q3=8,∴q=2.故选B.6.(江苏无锡高三模拟)已知等比数列{a n},a15=15,则9a9+a21的最小值为( )A.70B.90C.135D.150答案:B解析:设{a n }的公比为q,则a 21=a 15·q 6,a 15=a 9·q 6,结合a 15=15>0可得a 9>0,a 21>0.9a 9+a 21≥2√9a 9a 21=6a 15=90,当且仅当a 9=5,a 21=45时,等号成立,故9a 9+a 21的最小值为90.故选B.7.(多选)(天津一中高三月考)已知各项均为正数的等比数列{a n },a 1=2,a 4=2a 2+a 3,设其公比为q,前n 项和为S n ,则( ) A.q=2 B.a n =2n C.S 10=2 047 D.a n +a n+1<a n+2答案:ABD解析:由a 4=2a 2+a 3,可得a 1q 3=2a 1q+a 1q 2,即q 2-q-2=0,解得q=2或q=-1.又等比数列{a n }的各项均为正数,可得q>0,所以q=2,故A 正确;数列{a n }的通项公式为a n =a 1q n-1=2n,故B 正确;S 10=2×(1-210)1-2=211-2=,故C 不正确;因为a n +a n+1=2n +2n+1=3·2n ,a n+2=2n+2=4·2n ,所以a n +a n+1<a n+2,故D 正确.故选ABD. 8.在数列{a n }中,a 1=2,(n 2+1)a n+1=2(n 2-2n+2)a n ,则a n = . 答案:2n(n -1)2+1解析:∵(n 2+1)a n+1=2(n 2-2n+2)a n ,即(n 2+1)·a n+1=2[(n-1)2+1]·a n ,∴{[(n-1)2+1]·a n }是首项为2,公比为2的等比数列,故[(n-1)2+1]·a n =2n ,∴a n =2n(n -1)2+1.9.(安徽蚌埠高三期中)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 32+a 52+2a 2a 6=8 100,S 4-S 2=36,则S 2 023= .答案:3-12解析:因为a 32+a 52+2a 2a 6=a 32+a 52+2a 3a 5=(a 3+a 5)2=8100,所以a 3+a 5=90. 因为S 4-S 2=a 3+a 4=36,所以{a 3(1+q 2)=90,a 3(1+q )=36,解得{q =3,a 3=9,则a 1=1,S=1-31-3=3-12.综合提升组10.已知公比不为1且各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和,前2n 项和,前3n 项和分别为A,B,C,则 ( )A.A+C>2BB.AC<B 2C.AC>B 2D.A+C<2B答案:B解析:设公比为q,则B=A+Aq n,C=A+Aq n+Aq2n,A+C-2B=A(q2n-q n)=Aq n(q n-1),所以当q>1时,A+C>2B,当0<q<1时,A+C<2B,故A,D错误;又AC=A2(1+q n+q2n),B2=A2(1+2q n+q2n),且q>0,故AC<B2,故C错误,B正确.故选B.11.(湖北天门高三模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a2=6,且a n+1=4a n-4a n-1(n≥2,n∈N*).(1)证明数列{a n+1-2a n}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.解:(1)因为a n+1=4a n-4a n-1(n≥2,n∈N*),所以a n+1-2a n=2a n-4a n-1=2(a n-2a n-1).又因为a2-2a1=4,所以{a n+1-2a n}是以4为首项,2为公比的等比数列.因此a n+1-2a n=4×2n-1=2n+1,变形得a n+12n+1−a n2n=1,所以a n2n 是以a12=12为首项,1为公差的等差数列,所以a n2n =12+n-1=n-12,所以a n=(2n-1)2n-1.(2)因为T n=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)2n-1, ①所以2T n =1×21+3×22+5×23+…+(2n -1)2n , ②①-②得-T n =1+22+23+ (2)-(2n-1)2n=1+22(1-2n -1)1-2-(2n-1)2n =2n+1-(2n-1)2n -3,所以T n =(2n-1)2n -2n+1+3=(2n-3)2n +3.创新应用组12.已知公比不为1的各项均为正数的等比数列 {a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }满足b n =S 2n S n,则下列不等式中恒成立的是( )A.7b 2≤8b 6,b 2≥b 4+18B.7b 2≤8b 6,b 2≤b 4+18C.3b 3≤4b 9,b 4≥b 8+14D.3b 3≤4b 9,b 4≤b 8+14答案:D解析:设数列{a n }的公比为q(q>0,q≠1),则S n =a 1(1-q n )1-q ,S 2n =a 1(1-q 2n )1-q,∴b n =S 2n S n=1-q 2n 1-q n=(1+q n )(1-q n )1-q n =1+q n>0.∵b 6b 2−78=1+q 61+q2−78=(1+q 2)(1-q 2+q 4)1+q 2−78=q 4-q 2+18,令q 2=t(t>0且t≠1),则b6b 2−78=t 2-t+18,∴b6b 2与78大小关系不确定,即7b 2与8b 6大小关系不确定.∵b 9b 3−34=1+q 91+q3−34=(1+q 3)(1-q 3+q 6)1+q 3−34=q 6-q 3+14=q 3-122≥0,即b 9b 3≥34,∴3b 3≤4b 9.又b 4-b 8-14=1+q 4-1-q 8-14=-q 8+q 4-14=-q 4-122≤0,即b 4≤b 8+14,故选项D 正确.故选D.。