2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教A版课时作业 第4章 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形

第4讲 三角函数的图象与性质基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是 ( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )解析 当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B ． 答案 B2．(2014·新课标全国Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A ．答案 A3．(2014·云南统一检测)已知函数f (x )＝cos 23x －12，则f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ( )A ．2π3B ．π3C ．π6D ．π12解析 因为f (x )＝1＋cos 6x 2－12＝12cos 6x ，所以最小正周期T ＝2π6＝π3，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π6，故选C ． 答案 C4．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )A ．0B ．π6C ．π4D ．π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 B5．(2015·金华十校模拟)关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是 ( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π解析 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心，故选C ． 答案 C二、填空题6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________.解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )7．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________.解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z )8．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________.解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则有y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1， 可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1三、解答题9．已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解 由cos 2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z .因为f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝6cos 4(－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－2x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ＝f (x )．所以f (x )是偶函数， 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4 x ＋5sin 2 x －4cos 2x ＝6cos 4 x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)2cos 2x －1＝3cos 2x －1. 所以f (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y ＜12，或12＜y ≤2.10．(2014·北京西城区模拟)已知函数f (x )＝cos x (sin x －cos x )＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝cos x sin x －cos 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1，∴f (x )的最大值和最小值分别为1，1－22.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A ．23 B ．32 C ．2D ．3解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的最小值是－2，此时ωx ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x ＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤0，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且k ≤0，k ∈Z ，∴ωmin ＝32. 答案 B12．(2014·成都诊断)若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则 sin(a －φ)＝±1，所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，故选D ． 答案 D13．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x . 给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0； ⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________.解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤14．(2015·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )A ．y ＝lg 1－x1＋xB ．y ＝x ＋1x C ．y ＝tan xD ．y ＝1x 2．函数f (x )＝1lg x ＋2－x 的定义域为 ( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)∪(1,2]D ．(－∞，2]3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝3，则a ＝( )A ．eB ．1eC ．1D ．e 或1e5．若0＜m ＜1，则( )A ．log m (1＋m )＞log m (1－m )B ．log m (1＋m )＞0C ．1－m ＞(1＋m )2D ．(1－m )13＞(1－m )12 6．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( )A ．RB ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 7．函数f (x )＝2x 2e x 的图象大致是( )8．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x (x ＞0)，x 2－2x －3(x ≤0)的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)10．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．211．方程2x ＋ln 1x －1＝0的解为x 0，则x 0所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且函数f (x )为奇函数．给出下列结论：①函数f (x )的最小正周期为4； ②函数f (x )的图象关于点(0,0)对称； ③函数f (x )的图象关于x ＝2对称； ④函数f (x )的最大值为f (2)． 其中一定正确的命题序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题13．设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的最大值为________．14．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝1，则不等式f(x2－x)＜f(0)的解集为________．15.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．16．已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝log a(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．17．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m＝________，n＝________.。

•第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形考试要求1.正弦定理、余弦定理，简单的三角形度量问题，B级要求；2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，B 级要求.基础诊断梳理自测，理解记忆•知识梳理• 1.正、余弦定理• 在△4BC 中，若角4, B, C所对的边分别是a, b, c, R为厶ABC外接圆半径，贝U定理内容续表常见变形Ill abc2・S/\ABC=^ab smC=2^csin A=^acs\n B = ~^㊁(o + b+c)•厂(r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,• 3.实际问题中的常用角• (1)仰角和俯角• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，因标视线在水平视线___叫仰角，目标视线在水平视线__叫俯角(如图1)・北•诊断自测• 1.思考辨析(在括号内打“广或“X”)(1)在厶ABC中，A>B必有sinA>sin J B. Q )⑵在厶ABC中,a=羽,b=迈,B=45。

,则A = 60。

或120。

处) (3) 从A处望3处的仰角为6t,从3处望A处的俯角为0,则a, 0 的关系为(z+0=18O 。

.(X )(4) 方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标■ \点之间的位置关系，其范围均是［o,苏(x)2・（2014-江西卷改编）4 A ABC中，内角4, B, C 所对的边分别是 a, b.c・若3a = 2b,则2sin2B—sin2Asin2A的值为____解析由正弦定理知,2sin2B —sin2A 2b2—a22日7,又知3a = 2b,所以仙|，2sin2B-sin2A (3} ^4=2x[j77答案3. （201牛福建卷）在厶ABC 中，A = 60°, AC=2, EC=书，则AB等于______.• 解析由余弦定理得BC2 = AC2 + AB2-2AC ABcosA ,即3二 4 + 4房-2AB ,即4呼・24B+1二0.解得4B 二1.• 答案1.• 4.（苏教版必修5P10T4⑵改编）在△ABC中,dcos4=b cos B,则这个三角形的形状为解析——bb ■正弦定理，得sin Acos A = sin Bcos B,BP sin2A = sin 2B,所以2A=2B或24=兀一2瓦7T即 A=B或所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案 等腰三角形或直角三角形• 5. 一艘海轮从4处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。

第5讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析 最小正周期为T ＝2π12＝4π.答案 D2．(2015·宝鸡模拟)将函数y ＝cos 2x ＋1的图像向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图像对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4解析 将函数y ＝cos 2x ＋1的图像向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A. 答案 A3．(2014·浙江卷)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析 ∵y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位即可得到y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图像，故选A.答案 A4．(2014·成都诊断)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是 ( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3解析 由图像知f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A. 答案 A5．(2014·福建卷)将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ．此函数为偶函数，周期为2π.由于 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos π2＝0，所以y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称，故选D. 答案 D二、填空题6．(2014·重庆卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________．解析――――――――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.答案 227．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为________．解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0知⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图像的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎨⎧ω>0，2πω≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2. 答案 28．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________． 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋（1＋1）2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12， 又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.答案 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6三、解答题9．(2015·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)在坐标系上作出f (x )在[0，π]上的图像．解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π. (2)列表：画图如下：10．(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：°C)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 °C ，最低温度为8 °C ，最大温差为4 °C.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2014·辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增解析 将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图像，当π12≤x ≤7π12时，－π2≤2x －2π3≤π2，∴y ＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B. 答案 B12．(2014·东北三省三校联考)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x－π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32.答案 A13．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝______________________________.解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )．∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案 14314．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数 y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．解 (1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， ∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z . (2)函数y ＝f (x )的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图像向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2，当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1.∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1，2].。

第1讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线() A．不存在B．有1条，其方程为y＝0C．有1条，其方程为x＝0D．有2条，它们的方程分别为y＝0，x＝0＝0，∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝解析∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝00.答案 B2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为() A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0.答案 A3．(2014·长春模拟)曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1解析根据导数运算法则可得y′＝e x＋x e x＋2＝(x＋1)e x＋2，则曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线斜率为y′|x＝0＝1＋2＝3.故曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.答案 A4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2 015(x)等于()A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x解析∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2 015(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故选A．答案 A5．(2014·陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－x B．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－x D．y＝14x3＋12x2－2x解析设三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则y′＝3ax2＋2bx ＋c.由已知得y＝－x是函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0,0)处的切线，则y′|x＝0＝－1⇒c＝－1，排除B、D．又∵y＝3x－6是该函数在点(2,0)处的切线，则y′|x ＝2＝3⇒12a＋4b＋c＝3⇒12a＋4b－1＝3⇒3a＋b＝1.只有A项的函数符合，故选A．答案 A二、填空题6．(2015·珠海一模)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析y′＝2ax－1x，∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝12.答案 127．(2014·广东卷)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________________.解析 由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝08．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______.解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案 －3 三、解答题9．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1，或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0，或4x －y －4＝0.10．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y－(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为 ( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析 y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x＋1e x ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≤－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A ．答案 A12．(2014·开封二模)过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有 ( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2,1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令y ＝2x 30－6x 20＋7，则y ′＝6x 20－12x 0.由y ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y ＝7＞0；x 0＝2时，y ＝－1＜0.结合函数y ＝2x 30－6x 20＋7的单调性可得方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条，故选A ． 答案 A13．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________.解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1. 答案 －114．设抛物线C: y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，②①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。

第4讲 平面向量的应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (－2，0)，B (3，0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6. 答案 D2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形． 答案 C3．(2014·深圳调研)在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝ ( ) A ．2 3B ．2C ．－2 3D ．－2解析 由余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝22＋22－（23）22×2×2＝－12，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，故选D.答案 D4．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3C.π3D.2π3解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. 答案 D5．(2015·杭州质量检测)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC 的度数等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形， ∴∠BAC ＝60°，故选C. 答案 C 二、填空题6．(2015·广州综合测试)在△ABC 中，若AB →·AC →＝AB →·CB →＝2，则边AB 的长等于________．解析 由题意知AB →·AC →＋AB →·CB →＝4，即AB →·(AC →＋CB →)＝4，即AB →·AB →＝4，∴|AB →|＝2. 答案 27．(2014·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的最大值为________．解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则C (1，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，设E (x ，0)，x ∈[0，1]，则EC →·EM →＝(1－x ，1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12，x ∈[0，1]单调递减，当x ＝0时，EC →·EM →取得最大值32.答案 328．(2015·太原模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．解析 由题意可得a ·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝（2a －b ）2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0，4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 答案 4 三、解答题9．(2015·江西五校联考)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.(1)∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )． ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2， 12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故1＜f (A )＜32.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.10．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解 (1)法一 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )， ∴⎩⎨⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2.法二 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)， ∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1， 故m －n 的最大值为1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2014·衡水中学一调)已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，23π 解析 设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x . ∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根， 即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 24，又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，故选C.答案 C12．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于 ( )A ．－32 B.32 C.32D ．3解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形， 即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C. 答案 C13．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝________．解析 ∵BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，∴BQ →·CP →＝－2⇒[(1－λ)AC →－AB →]·[λAB →－AC →]＝－2， 化简得(1－λ)λAC →·AB →－(1－λ)AC →2－λAB →2＋AB →·AC →＝－2，又因为AC →·AB →＝0，AC →2＝4，AB →2＝1，所以解得λ＝23. 答案 2314．如图所示，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M .已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M (－1，－2m )，联立方程⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0， 故⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m ＝－λ2y 2，整理，得 λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2，所以λ1＋λ2＝－2－2m (1y 1＋1y 2)＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m－4＝0.。

第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝13，则B＝()A.π4B．π3C.π6D．2π3解析因为cos A＝13，所以sin A＝1－19＝223，由正弦定理，得4sin A＝3sin B，所以sin B＝22，又因为b＜a，所以B＜π2，B＝π4，故选A.答案 A2．(2015·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32B． 3C．2 3 D．2解析因为S＝12×AB×AC sin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝ 3. 答案 B3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为() A．23＋2 B．3＋1C．23－2 D．3－1解析由正弦定理bsin B＝csin C及已知条件，得c＝22，又sin A＝sin(B＋C)＝12×22＋32×22＝2＋64.从而S△ABC ＝12bc sin A＝12×2×22×2＋64＝3＋1.答案 B4．(2014·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2b cos C”是“△ABC是等腰三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析依题意，由a＝2b cos C及正弦定理，得sin A＝2sin B cos C，sin(B＋C)－2sin B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2b cos C．因此，“a＝2b cos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案 A5．(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m, 则河流的宽度BC等于()A．240(3－1) m B．180(2－1) mC．120(3－1) m D．30(3＋1) m解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)，在Rt△ABD中，BD＝ADtan ∠ABD＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)(m)，∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案 C二、填空题6．(2014·新余模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π37．(2014·广东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知 b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝________.解析 由已知及余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，则a b ＝2. 答案 28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B ＝sin C ＝154)． 答案154三、解答题9．(2014·湖南卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长． 解 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD .故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714， 所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114. 于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，BCsin α＝ACsin ∠CBA.故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7×32216＝3.10．(2014·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ． 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2014·东北三省四市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，满足b a ＋c ＋ca ＋b≥1，则角A 的范围是 ( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π解析 由b a ＋c ＋ca ＋b≥1，得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得b 2＋c 2－a 2≥bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12(0＜A ＜π)，所以0＜A ≤π3，故选A. 答案 A12．(2015·咸阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是 ( )A ．1B ． 2 C. 3D ．3解析 由c sin A ＝3a cos C ，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中 sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3.所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3，故选C. 答案 C13．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________ .解析由正弦定理知ABsin C＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C) ＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)＝2(sin C＋3cos C＋sin C)＝2(2sin C＋3cos C)＝27sin(C＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值27.答案2714．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B．(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B．①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B．又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12ac sin B＝24ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos π4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.。

高考数学 第6讲 正弦定理和余弦定理A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.515解析 依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )．A. 2B. 3C.32D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析 设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)． 又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得 cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π36．(2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析 依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a >0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为：a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a ＝－24.答案 －24三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4.8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解(1)因为0＜A＜π，cos A＝2 3，得sin A＝1－cos2A＝5 3.又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C.所以tan C＝ 5.(2)由tan C＝5，得sin C＝56，cos C＝16.于是sin B＝5cos C＝5 6 .由a＝2及正弦定理asin A＝csin C，得c＝ 3.设△ABC的面积为S，则S＝12ac sin B＝52.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4. 答案 C2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( )．A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3D.332解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]．答案 (1，2]4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①若ab >c 2，则C <π3 ②若a ＋b >2c ，则C <π3 ③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2 ④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2 ⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab2ab＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确．②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab ＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确．③若C 是直角或钝角，则a 2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x(0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确．④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2aba ＋b ≤2ab2ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误． 答案 ①②③ 三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上． (1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0， 从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8. 由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8 ＝ 2cos π8sin π8＝12.。

课时提升作业(十八)函数y=Asin (ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·厦门模拟)为得到函数y=cos 的图象,只需将函数y=sinx 的图象( ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 【解析】选C.由y=cos =sin =sin ,可知C正确.2.(2015·临沂模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+θ)的图象如图所示,2f()23π=- ,则f()6π-=( )2121A. B. C. D.3232--【解析】选A.由题干图知,函数f(x)的周期T=11722(),12123πππ-= 所以22f()f ()f ().66323ππππ-=-+==-【加固训练】已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG 是边长为2的等边三角形,则f(1)的值为( )A. B.- 【解析】选D.由函数是奇函数,且0<φ<π可得φ=2π.由图象可得函数的最小正周期为4,ω=2π.由△EFG 的高为,可得A=.所以f(x)=2πx+2π),所以f(1)=cos π3.已知函数f(x)=sin(|x|+3π)(x ∈R),则f(x)( ) A.在区间[-3π,0]上是增函数 B.在区间[0,3π]上是减函数C.在区间[-6π,0]上是减函数D.在区间[-6π,6π]上是增函数【解题提示】由函数f(x)的奇偶性并结合函数性质进行判断. 【解析】选C.因为f(-x)=sin(|-x|+3π) =sin(|x|+3π),所以函数f(x)是偶函数,即其图象关于y 轴对称. 当x>0时,f(x)=sin(x+3π),当x ∈[0,6π]时,x+3π∈[3π,2π],所以函数f(x)在[0, 6π]上是增函数.故f(x)在[-6π,0]上是减函数.4.(2015·汉中模拟)函数f(x)=2x-tan x 在(,)22ππ-上的图象大致为( )【解析】选C.函数f(x)=2x-tan x 为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,B.当x →2π时,y<0,所以排除D.5.(2015·锦州模拟)定义运算a b c d =ad-bc.将函数sin xcos x的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小值为( )75A. B. C. D.3666ππππ【解题提示】先根据定义运算化简f(x)的解析式,再根据平移后的图象关于y 轴对称求φ的最小值.【解析】选D.由定义运算知cos x-sin x=2cos(x+6π),平移后所得图象对应的函数解析式为g(x)=2cos(x+φ+6π).由题意得函数g(x)是偶函数,所以φ+6π=k π(k ∈Z),即φ=k π-6π (k ∈Z).因为φ>0.所以φ的最小值为π-6π=56π.故选D.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是忽视φ的取值范围. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·合肥模拟)将函数y=3sin的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为 .【解析】将函数y=3sin 的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数解析式为y=3sin =3sin3x.答案:y=3sin3x7.(2015·兰州模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)(-2π<θ<2π)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点),则φ的值为 .【解析】因为函数f(x)的图象过点P,所以sin θ,又θ∈(-2π,2π),所以θ=3π,所以f(x)=sin （2x+3π）.又函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=sin[2(x-φ)+3π],所以sin （3π-2φ）,因为0<φ<π,所以φ的值为56π.答案:56π 8.(2015·济南模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递增区间是 . 【解析】如图,x=3,x=6是y=Asin(ωx+φ)的对称轴, 所以周期T=2×(6-3)=6, f(x)max =f(3)=A,f(x)min =f(0)=-A, 所以单调递增区间为[6k,6k+3],k ∈Z. 答案:[6k,6k+3],k ∈Z三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数sin(2x-4π)+1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相.(2)在如图所示坐标系中画出函数y=f(x)在[,]22ππ-上的图象.【解析】(1)f(x)=sin(2x-4π)+1,最小正周期T=22π=π,初相为-4π.(2)列表并描点画出图象:故函数y=f(x)在区间[,]22ππ-上的图象是10.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t ≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b(A>0,ω>0)的图象.根据以上数据, (1)求函数的解析式.(2)求一日(持续24小时)内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间.【解题提示】(1)根据表格数据求出函数解析式. (2)由y>1.25求解.【解析】(1)依题意得A b 1.5,A b 0.5,212,⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪π⎪=ω⎩解得A=0.5,b=1,ω=6π,则y=0.5cos 6πt+1. (2)令y=0.5cos 6πt+1>1.25(t ∈[0,24])得cos 6πt>12.又t ∈[0,24],6πt ∈[0,4π], 因此0≤6πt<3π或53π<6πt ≤2π或2π≤6πt<2π+3π或2π+53π<6πt ≤2π+2π,即0≤t<2或10<t ≤12或12≤t<14或22<t ≤24,在一日内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时.【误区警示】本题容易对t 的求解不全面而导致错解.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·成都模拟)将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位,纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是 ( ) A.x= B.x= C.x= D.x=- 【解析】选A.将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到的函数解析式为y=sin ,再将y=sin 的图象向左平移个单位(纵坐标不变)得到y=sin的图象,由2x+=k π+(k ∈Z),得:x=+,k ∈Z.所以当k=0时,x=,即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程.【加固训练】将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移2π个单位.若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( ) A.4 B.6 C.8 D.12【解题提示】先进行平移,再比较与原函数的差异,解三角方程求ω值. 【解析】选B.把f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移2π个单位得 y=sin[ω(x+2π)+φ] =sin (ωx+2πω+φ),又该函数图象与原函数图象重合, 所以sin(ωx+2πω+φ)=sin(ωx+φ)恒成立, 所以2πω+φ=2k π+φ(k ∈Z), 所以ω=4k(k ∈Z),所以ω不可能为6.2.(5分)(2015·石家庄模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2π)的部分图象如图所示,则该函数的周期为( )A.23πB.34πC.56π D.π【解题提示】先根据图象求A,φ,ω的值,由ω的值求周期. 【解析】选A.由图象可知,A=2.,所以2sin φ,即sin φ, 因为|φ|<2π,所以φ=4π,此时f(x)=2sin (ωx+4π).又f ()12π=2,所以2sin ()124ππω+ =2,即sin ()124ππω+=1.所以124ππω+=2π+2k π(k ∈Z),即ω=24k+3(k ∈Z).由图知T 412π>,即T>3π,故23ππ>ω.所以0<ω<6,所以ω=3,T=23π.【加固训练】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,为了得到函数g(x)=-Acos ωx 的图象,可以将f(x)的图象( )A.向左平移12π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度【解题提示】先根据图象求函数f(x)的解析式,再比较两个函数的解析式选择答案.【解析】选D.由图象可知A=1,17T 41234ππ=π-= ,所以T=π,ω=2ππ=2. 又77f()sin()126ππ=+ϕ=-1, 因为|φ|<π,所以φ=37.263ππ-π=故f(x)=sin(2x+3π),g(x)=-cos 2x,因为g(x)=-sin(2π-2x)=sin(2x-2π)=sin2(x-4π), f(x)=sin2(x+6π),所以要得到g(x)的图象,只需把f(x)的图象向右平移56412ππ+=π个单位长度.3.(5分)(2015·日照模拟)某学生对函数f(x)=2xcosx 的性质进行研究,得出如下的结论:①函数f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减; ②点是函数y=f(x)图象的一个对称中心;③函数y=f(x)图象关于直线x=π对称;④存在常数M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x 均成立. 其中正确的结论是 .(填写所有你认为正确结论的序号) 【解析】f(x)=2x ·cosx 为奇函数,则函数f(x)在[-π,0],[0,π]上单调性相同,所以①错;由于f(0)=0,f(π)=-2π,所以②错;再由f(0)=0,f(2π)=4π,所以③错;|f(x)|=|2x ·cosx|=|2x|·|cosx|≤2|x|,令M=2,则|f(x)|≤M|x|对一切实数x 均成立,所以④对. 答案:④4.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x ∈R,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数g(x)=f-f的单调递增区间.【解析】(1)由图象知,周期T=2=π,所以ω==2,因为点在函数图象上,所以Asin=0,即sin=0.又因为0<φ<,所以<+φ<,从而+φ=π,即φ=.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)g(x)=2sin-2sin=2sin 2x-2sin=2sin 2x-2=sin 2x-cos2x=2sin.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是,(k∈Z).5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).(1)求f(x)的解析式及x0的值.(2)求f(x)的增区间.(3)若x∈[-π,π],求f(x)的值域.【解析】(1)由图象知A=2,由=2π得T=4π,所以ω=.所以f(x)=2sin,所以f(0)=2sinφ=1,又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin,由f(x0)=2sin=2,所以x0+=+2kπ,k∈Z,x0=4kπ+,k∈Z,又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点,所以x0=.(2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,所以f(x)的增区间为,k∈Z.(3)因为-π≤x≤π,所以-≤x+≤,所以-≤sin≤1,所以-≤f(x)≤2,所以f(x)的值域为[-,2].关闭Word文档返回原板块。