SAT详解及全真模拟试题集_第7课：体积与立体几何

2022高考数学精讲精练（新人教a版）第07章立体几何【知识图解】【方法点拨】立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，能够培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。

空间的元素是点、线、面、体，关于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。

在复习时我们要以下几点：1．注意提高空间想象能力。

在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并摸索未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出差不多图形和位置关系，并借助直观感受展开联想与猜想，进行推理与运算。

2．归纳总结，分门别类。

从知识上能够分为：平面的差不多性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的运算。

3．抓主线，攻重点。

针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的运算差不多降低要求。

4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。

立体几何中包蕴着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判定及角与距离的求解转化成空间向量的运算。

第1课 空间几何体【考点导读】1．观看认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特点，并能运用这些特点描述现实生活中简单物体的结构；2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3．通过观看用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的运算公式。

【基础练习】1．一个凸多面体有8个顶点，①假如它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；②假如它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。

2.（1）如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。

2018版高考数学一轮总复习 第7章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积和体积模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2016·全国卷Ⅰ]如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 答案 A解析由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图)，设球的半径为R ，则78×43πR 3＝28π3，故R ＝2，从而它的表面积S ＝78×4πR 2＋34×πR 2＝17π.故选A.2．[2017·江西南昌联考]已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3 答案 B解析 由三视图可知原几何体是一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体切去一个三棱锥，因此该几何体的体积＝6×3×6－13×4×12×4×3＝108－8＝100(cm 3)，故选B.3．某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为( )A ．92＋14πB ．82＋14πC．92＋24πD．82＋24π答案 A解析由三视图可知，此几何体上半部分是半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为5，下半部分是一个长方体，长、宽、高分别为5、4、4，故此几何体的表面积为4×4×2＋4×5×3＋4π×52＋4π＝92＋14π，故选A.4．[2015·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2＋ 5 B．4＋ 5C．2＋2 5 D．5答案 C解析由三视图还原几何体如图．故S表面积＝S△BCD＋2S△ACD＋S△ABC＝12×2×2＋2×12×5×1＋12×2×5＝2＋5＋5＝2＋2 5.5．已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为2∶1，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为16π3，则此三棱柱的侧面积为( )A. 3B.32C ．8D ．6答案 D解析 如图，根据球的表面积可得球的半径为r ＝43，设三棱柱的底面边长为x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 2，解得x ＝1，故该三棱柱的侧面积为3×1×2＝6. 6．[2016·天津高考]已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.答案 2解析 四棱锥的底面是平行四边形，由三视图可知其底面积为2×1＝2 (m 2)，四棱锥的高为3 m ，所以四棱锥的体积V ＝13×2×3＝2 (m 3)．7．[2017·江苏模拟]某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．答案 2(π＋3)解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．8．[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.答案72 32解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，∴该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32 (cm3)，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 (cm2)．9．[2016·南宁二模]一个空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的外接球的表面积．解 依题意，题中的几何体是三棱锥A －BCD ，如图所示．其中底面△BCD 是等腰直角三角形，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝2，BD ＝2，AC ⊥CD .取AD 的中点M ，连接BM ，CM ， 则有BM ＝CM ＝12AD ＝12 22＋22＝62， 该几何体的外接球的半径是62， 该几何体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫622＝6π. 10．如图，△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.求此几何体的体积．解 解法一：如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72.四棱锥D －MNEF 的体积为：V 2＝13×S 梯形MNEF ×DN ＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为：V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96. [B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2016·全国卷Ⅲ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81答案 B解析 由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35的平行六面体，则该几何体的表面积S ＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋185，故选B.12．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.33 B.233 C.433 D.533答案 C解析 如图所示，由题意知该几何体为四棱锥P －ABCD ，底面面积S ＝2×2＝4，高h ＝3，故体积V P －ABCD ＝13Sh ＝13×4×3＝433.13．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为________．答案 9π解析该三棱锥的直观图如图所示，其中底面ABC 为以C 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面PAB ⊥底面ABC ，顶点P 在底面上的射影为AB 的中点O ′.该三棱锥的外接球的球心一定在PO ′上，且满足OP ＝OA ＝r .在Rt △OO ′A 中，O ′A ＝12 22＋22＝2，OO ′＝2－r ，所以r 2＝2＋(2－r )2， 解得r ＝32，所以其外接球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π. 14.[2016·江苏高考]现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？解 (1)由PO 1＝2知，O 1O ＝4PO 1＝8.因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h <6，O 1O ＝4h .如图，连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调递增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调递减函数． 故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．。

学习资料第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积课时规范练A组——基础对点练1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A.错误!πB。

错误!πC．16π D．24π解析:设球的半径为R,∵表面积是16π，∴4πR2＝16π,解得R＝2。

∴体积为错误!πR3＝错误!。

故选B。

答案:B2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺,高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体)的体积为V＝错误!×（底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为() A．3 B．3.1C．3.14 D．3。

2解析：∵圆堡瑽（圆柱体)的体积为V＝112×(底面圆的周长的平方×高)，∴错误!×(2πr)2×h＝πr2×h，解得π＝3。

故选A.答案：A3．（2020·江西七校联考）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π解析：该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形（边长为2），高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋4π×12÷2＝48＋π，故选A.答案：A4．某几何体的主视图和左视图如图（1),它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图（2）,其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为()图(1）图（2)A．48 B．64C．96 D．128解析:由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×2错误!＝4错误!，∴CO＝错误!＝6＝OA,∴俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，∴该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C。

高考数学复习资料汇编：第7单元 立体几何（真题解析+最新模拟）1.【2010·浙江理数】设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B.若l α⊥，l m //，则m α⊥C.若l α//，m α⊂，则l m //D.若l α//，m α//，则l m //【答案】B【解析】可对选项进行逐个检查.本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题.2.【2010·全国卷2理数】与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（ ）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.3.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A.1B.3C.2D.3【答案】C【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.4.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.2B.1C.23D.13【答案】B【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为122121=⨯⨯⨯. 5.【2010·辽宁文数】已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 的表面积等于（ ）A.4πB.3πC.2πD.π【答案】A【解析】由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为244.R ππ=6.【2010·辽宁理数】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）A.（0,62+）B.（1,22）C.(62-,62+）D.（0,22）【答案】A【解析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图，此时a 可以取最大值，可知AD=3，SD=21a -，则有21a -<2+3，即22843(62)a <+=+，即有a<62+(2)构成三棱锥的两条对角线长为a ，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;221综上分析可知a ∈（627.【2010·全国卷2文数】与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点（ ）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个【答案】D【解析】本题考查了空间想象能力.∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点.8.【2010·全国卷2文数】已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ） 357 D.34【答案】D 【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E 为BC 中点，∵ BC⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF ⊥面SBC ，∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3， ∴ 3AE =AS=3，∴ SE=23AF=32，∴3sin 4ABF ∠=. 9.【2010·江西理数】过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ,AD ,1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力.第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC 1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条.10.【2010·安徽文数】一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（ ）A.372B.360C.292D.280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和. 把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上A B CS E F面长方体的4个侧面积之和.2(10810282)2(6882)360S=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.11.【2010·重庆文数】到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（）A.只有1个B.恰有3个C.恰有4个D.有无穷多个【答案】D【解析】放在正方体中研究,显然，线段1OO、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，所以排除A、B、C，选D.亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等.12.【2010·浙江文数】若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A.3523cm3 B.3203cm3C.2243cm3 D.1603cm3【答案】B【解析】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.13.【2010·山东文数】在空间，下列命题正确的是（）A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D14.【2010·北京文数】如图，正方体1111ABCD-A B C D的棱长为2，动点E、F在棱11A B上.点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，1A E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积（）A.与x，y都有关； B.与x，y都无关；C.与x有关，与y无关；D.与y有关，与x无关；【答案】C15.【2010·北京文数】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：（）B C D A N MO α16.【2010·北京理数】如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积（ ）Ａ.与ｘ，ｙ，ｚ都有关Ｂ.与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关Ｃ.与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关Ｄ.与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关【答案】D17.【2010·四川理数】半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是（ ）A.17arccos 25RB.18arccos 25R C.13R π D.415R π 【答案】A【解析】由已知，AB ＝2R,BC ＝R,故tan ∠BAC ＝12，cos ∠BAC ＝25，连结OM ，则△OAM 为等腰三角形，AM ＝2AOcos ∠BAC ＝45R ，同理AN ＝45R ，且MN ∥CD ，而AC ＝5R,CD ＝R ，故MN ：CD ＝AN:AC ⇒ MN ＝45R ，连结OM 、ON ，有OM ＝ON ＝R ，于是cos ∠MON ＝22217225OM ON MN OM ON +-=，所以M 、N 两点间的球面距离是17arccos 25R . 18.【2010·广东理数】如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=32BB '=CC ' =AB,则多面体△ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是19.【2010·广东文数】20.【2010·福建文数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ) A 3B ．2C ．23D ．6 【答案】D【解析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 32423=3216⨯⨯=，选D ． 21.【2010·全国卷1文数】已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ） 2343 C.383 【答案】B【解析】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-故max 433V =.A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O 22.【2010·全国卷1文数】正方体ABCD -1111A B C D中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）23【答案】D【解析】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现. 方法一：因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)22ACD S AC AD ∆==⨯=,21122ACD S AD CD a ∆==. 所以13133ACD ACD S DD DO a S ∆∆===,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin 3DO DD θ==,所以cos θ=. 方法二：设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D所成角就是B 1B 与平面AC 1D 所成角，1111cos 3O OO OD OD ∠===. 23.【2010·全国卷1文数】直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=.24.【2010·湖北文数】用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .A. ①②B. ②③C. ①④D.③④25.【2010·山东理数】在空间，下列命题正确的是（ ）A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D【解析】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题.由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案.26.【2010·福建理数】所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥11B C ，所以选项A 、C 正确；因为11A D ⊥平面11ABB A ， EH ∥11A D ，所以EH ⊥平面11ABB A ，又EF ⊂平面11ABB A ， 故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确，故选D.【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.27.【2010·湖北省武汉市四月调研】若a 、b 是异面直线，α、β是两个不同平面，,,a b l αβαβ⊂⊂=，则（ ）A ．l 与a 、b 分别相交B ．l 与a 、b 都不相交C ．l 至多与a 、b 中一条相交D ．l 至少与a 、b 中的一条相交【答案】B【解析】假设l 与a 、b 均不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b 与a 、b 是异面直线矛盾.故l 至少与a 、b 中的一条相交选D.28．【2010·北京西城一模】如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行【答案】B【解析】若,M N 两点重合，由,AM MB CM MD ==知AC BD ∥，从而AC ∥平面β，故有AC l ∥，故B 正确． 29．【2010·宁波市二模】已知βα,表示两个互相垂直的平面，b a ,表示一对异面直线，则 b a ⊥的一个充分条件是（ ）A.βα⊥b a ,//B.βα//,//b aC.βα//,b a ⊥D.βα⊥⊥b a ,【答案】D【解析】依题意，a⊥α ,则a 平行β或在β内，由于b⊥β，则b a ⊥，选择D.30．【2010·上海市浦东新区4月二模】“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由直线与平面平行的定义知，选C.31．【2010··北京崇文一模】已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【答案】B【解析】A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．l32.【2010·甘肃省部分普通高中第二次联合考试】已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:①若α∥β，则m⊥l ； ②若α⊥β，则m∥l ;③若m⊥l ，则α∥β； ④若m∥l ，则α⊥β其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】对于①∵βα⊂⊥l m ,，若α∥β，∴m⊥β，所以m⊥l ，①正确；对于②，若α⊥β，则m∥β或m 在β内，m 与l 可以平行可以异面还可以相交，所以②错；对于③∵βα⊂⊥l m ,，若m⊥l ，则α与β可以相交，③错；对于④若m∥l ，则l⊥α ，∴α⊥β，④正确，选择B.33.【2010·湖北六市四月联考】给出互不相同的直线m 、n 、l 和平面α、β，下列四个命题：①若m α⊂，l A α=，A m ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，//l α，//m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥；③若l α⊂，m α⊂，l m A =，//l β，//n β，则//αβ；④若//l α，//m β，//αβ，则//l m其中真命题有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个 【答案】B【解析】由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质，存在直线l α'⊂，m α'⊂，使得//l l '，//m m '，∵m 、l 是异面直线，∴l '与m '是相交直线，又n l ⊥，n m ⊥，∴n l '⊥，n m '⊥，故n α⊥，②是真命题；由线面平行的性质和判定，知③是真命题；满足条件//l α，//m β，//αβ的直线m 、l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.34.【2010•河南省郑州市第二次质检】已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】依题意,α与β换成直线后是真命题，γ与β换成直线后是真命题，γ与α换成直线后是假命题，选择C.35．【2010•宁波二模】已知βα,表示两个互相垂直的平面，b a ,表示一对异面直线，则 b a ⊥的一个充分条件是（ ）A.βα⊥b a ,//B.βα//,//b aC.βα//,b a ⊥D.βα⊥⊥b a , 【答案】D【解析】依题意，a⊥α ,则a 平行β或在β内，由于b⊥β，则b a ⊥，选择D. 36．【2010•绵阳三诊】已知α，β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m α⊂，则：“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若m β⊥，因m 是一条直线且m α⊂，由面面垂直的判定定理，知αβ⊥，反之，若m 是一条直线且m α⊂，当αβ⊥时，m 与平面β的位置关系可以为：相交或平行或m β⊂，故“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件，选B.37．【2010·吉林市下学期期末质量检测】已知a ，b 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若.//,,,//b a b a 则βαβα⊂⊂B ．若αα与a a ,⊥所成角等于b 与β所成角，则a//b.C ．若.//,//,,ββααb b a a 则⊥⊥D ．若.,,,b a b a ⊥⊥⊥⊥则βαβα 【答案】D【解析】对于选项A ：直线a ，b 可能平行或异面；对于选项B ：只有当平面α与β平行时，才有a//b ，故B 不对；对于选项C ，有可能直线b 在平面β内，故C 错；故选D. 38．【2010·山东德州五月质检】在空间中，给出下面四个命题： (1)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(2)若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；(3)两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线；(4)两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线. 其中正确的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4) 【答案】D【解析】对于(2)可能该直线与平面相交；对于(3)可能两相交直线的射影为一条直线或一点与过该点的一条直线,故选D.39．【2010·江西省重点中学第二次联考】已知一个确定的二面角l αβ--，a 和b 是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a 和b 所成的角也确定的是（ ）A ．a ∥α且b ∥βB ．a ∥α且b ⊥βC ．a α⊆且b β⊥D ．a α⊥且b β⊥ 【答案】D【解析】因为二面角的大小是确定的，所以当a α⊥且b β⊥时，a 和b 所成的角与二面角的大小相等或互补，故而a 和b 所成的角也确定,选D. 40．【2010·崇文一模】已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥【答案】D【解析】A 中，垂直于同一平面的平面可能平行或者相交；B 中，平行于同一直线的平面可能平行或者相交；C 中，平行于同一平面的直线可能是任意关系；D 中，垂直于同一平面的直线平行,正确．41．【2010·上海市长宁区二次模】已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据是平面与平面垂直的判定定理知：由m⊥β⇒α⊥β，反之不成立.故选B.42．【2010·河北省衡水中学一模】正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，体积为2E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为( )A ．6π B ．3π C ．4πD ．2π【答案】B 【解析】由V=22=13×3×h，所以h=22，从而侧棱长PA=2，取AC 中点O ，连OE ，则OE∥PA，且OE=22，于是∠OEB 为异面直线PA 与BE 所成的角或其补角.在直角三角形BOE 中，BO=62，所以tan∠OEB=3，所以∠OEB=3π. 43．【2010·湖北省襄樊五中5月调研测试】如图，正三棱锥A-BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上．并且AE EB =CFFD =λ（0＜λ<＋∞)，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF与BD 所成的角，则α＋β的值是（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．与λ的值有关【答案】C【解析】利用特殊化思想，当λ=1，即E 、F 分别为AB 、CD 中点时，取BC 中点M ，则EM∥AC,FM∥BD,又AC⊥BD，所以三角形EMF 为直角三角形，所以α＋β=π2.44．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】二面角3a l πβ--为，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在平面,αβ内，AC⊥l ，BD⊥l ，且AC=AB=1，BD=2，则CD 的长等于 （ ）A ．2BC ．D【答案】A【解析】过B 作BE∥AC，且BE=1，则∠DBE=60°，从而DE=12+22-2×1×2×cos60°=3，在三角形CDE 中，CD=12+3=2.45．【2010·泸州二诊】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =.若二面角1C AB C --的大小为60，则点C 到平面1C AB 的距离为（ ）A.34 B.12C.2D. 1【答案】A【解析】取AB 中点D ，连结CD ，1C D ，则1CDC ∠是二面角1C AB C --的平面角.∵1AB =，∴2CD =，∴在1Rt DCC ∆中，133tan 6022CC CD =⋅==，C 1111cos CDC D CDC ==∠C 到平面1C AB 的距离为h ，则由11C CAB C ABC V V --=得，1111311323222⨯⨯=⨯⨯⨯，解得34h =，选A. 46．【2010·湖 北 省年普通高等学校招生全国统一考试模拟训练（二）】 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC D ，E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】A【解析】取AC 中点F ，连DF ，BF ，则易知BF∥DE，过F 作FH⊥BC 于H ，则FH⊥平面BCC 1B 1，则角∠FBH 为所求，在直角三角形FHB 中，FH=12,BF=12AC=1，所以∠FBH=30°.47．【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为侧棱AA 1上一动点，已知△BCM 面积的最大值是M―BC―A 的最大值是3π，则该三棱柱的体积等于（ ）A.B.D. 【答案】A【解析】当点M 与点A1重合时，△BCM 的面积为最大值，此时二面角M―BC―A 也为最大. 由已知可得，ABC S ∆=33cos =π，所以底面正三角形ABC 的边长为2，高为3，从而正三棱柱的高AA 1＝33tan3=π.所以正三棱柱的体积V =，故选A.48．【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学（八）】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M,N 分别为AB,DC 中点，则直线MC 与1D N 所成角的余弦值为（ ） A.12 B.15 C. 15- D. 13- 【答案】B【解析】连NA ，D 1A ，则∠D 1NA 为所求，在三角形D 1NA 中由余弦定理可求得cos∠D 1NA=15.49．【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学（四）】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是,332π那么这个三棱柱的体积是（）A.【答案】DM A B CDA 1D 1C 1B 1N【解析】因为球的体积为323π，柱体的高为2r=4，又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球半径相等，r=2，所以底面边长a=43,所以V 柱=34×(43)2×4=48350.【2010·内蒙古赤峰市四月统一考试】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A.63 B.43 C.22D.23【答案】A【解析】设底面边长AB=1，则侧棱长SA=2，过顶点S 作底面的垂线，垂足O 为底面中心，连结AO ，则∠SAO 为所求，因为AO=33,所以cos∠SAO=AO SA =36. 51．【2010·上海市奉贤区4月调研】已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为2π3,则线段AB 的长度为（ ）A.1B. 3C.2D. 2 3 【答案】C【解析】由l=αR=α×2=2π3得，α=π3，从而知∠AOB=π3，即△AOB 为正三角形，所以AB=OA=R=2.52．【2010·石家庄市教学质量检测（二）】如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是（ ） A.122 B.242C.123D.243【答案】B【解析】EF∥AC，所以AC⊥DE，又AC⊥BD，所以AC⊥平面ABD ，所以侧面三角形为等腰直角三角形，AB=AC=AD=22，V=16×(22)3=224. 53.【2010·甘肃省部分普通高中高三第二次联合考试】如图，在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ︒∠==， 球心O 到平面ABC 32，则B C 、两点的球面距离是（ ） A ．3πB ．πC ．43πD ．2π【答案】BO.AC【解析】取AC 中点H ，连OH ，则OH 垂直于平面ABC ，又OA=3，所以AC=2AH=CH=2×322=32,又90,ABC BA BC ︒∠==，BC=3，从而三角形OBC 为正三角形，∠BOC=60°，所以球面距离为l=π3×3=π.54．【2010·成都石室中学高三“三诊”模拟考试 】如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱,32=SA 则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（ ） A ．12π B ．32π C ．36π D ．48π【答案】C【解析】因为MN⊥AM，所以SB⊥AM，又SB⊥AC，所以侧面三角形为等腰直角三角形，所以SA=SB=SC=23，所以2R=3×(23)=6，所以S=π(2R)2=36π.55．【河南省郑州市2010年高中毕业班第二次质量预测】过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的（ ） A ．116B ．316 C ．112D ．18【答案】B【解析】易求得截面圆半径为球半径的32倍，所以S 1S 2=π(32R)24πR 2=316. 56．【2010·唐山三模】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为4π，则球的表面积为( )A.5πB.17πC.20πD.68π 【答案】C【解析】截面圆的半径为2，所以球半径R=12+22=5，所以S=20π.57．【2010·成都市第37中学五月考前模拟】如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ） A.32 B.33 C.34 D.23【答案】A【解析】过A 、B 两点分别作AM 、BN 垂直于EF ，垂足分别为M 、N ，连结DM 、CN ，可证得DM⊥EF、EFABCDCN⊥E F ，多面体ABCDEF 分为三部分，多面体的体积V 为，∵21=NF ，1=BF ，∴23=BN ，作NH 垂直于点H ，则H为BC的中点，则22=NH ，∴4221=⋅⋅=∆NH BC S BNC ，∴24231=⋅⋅=∆-NF S V BNC BNC F ，242==--BNC F AMD E V V ，42=⋅=∆-MN S V BNC BNC AMD ，∴32=ABCDEF V ，故选A ． 58.【2010·内蒙古赤峰市一模】四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD=2，3=AB .在外接球球面上A 、B 两点间的球面距离是（ ） A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 【答案】C【解析】由题意知半径R=1，所以∠AOB=32π，从而球面距离为l=32π×1=32π. 59．【2010·江西赣州十一县（市）第二学期期中联考】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AB 、11A D 的中点，则经过E 、F 的球截面的面积最小值是（ ） A ．38π B ．2πC ．58πD ．78π【答案】C【解析】当截面圆的圆心在直线EF 上时，其面积最小.因为EF=62，可求得球心O 到直线EF 的距离为24，所以截面圆的半径r=R 2－(24)2=(32)2－(24)2=58，所以S=58π. 60.【2010·上海文数】已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 .【答案】96EFABCDM NH【解析】考查棱锥体积公式9683631=⨯⨯=V . 61.【2010·湖南文数】图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm 2的几何体的三视图，则h= cm.【答案】462.【2010·浙江理数】若某几何体的三视图（单位：cm ）如上图（右）所示，则此几何体的体积是___________3cm . 【答案】144【解析】图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题. 63.【2010·辽宁理数】如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为___ ___.【答案】23【解析】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力.由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为222222223++=64.【2010·江西理数】如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ,分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为 . 【答案】 321S S S <<【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得321S S S <<.65.【2010·北京文数】如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点p （x ，y ）的纵坐标与横坐标的函数关系是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴 所围区域的面积为 . 【答案】4 1π+ 【解析】“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动.66.【2010`四川理数】如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .3【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线.垂足为D ，连结AD ，由三垂线定理可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60°，又由已知，∠ABD ＝30°，连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角，设AD ＝2，则AC 3，CD ＝1，AB ＝sin 30AD＝4，∴sin ∠ABC ＝3AC AB =. 67.【2010·天津文数】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的α•AB•βC Dα•AB•β计算，属于容易题. 正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半.由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为1+=2⨯⨯（12）213. 68.【2010·天津理数】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 【答案】103【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题.利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉13哦.由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为144133⨯⨯=，所以该几何体的体积V=2+43= 103. 69.【2010·湖北文数】圆柱形容器内盛有高度为3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是__ __cm. 【答案】4【解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224863r r r r πππ⨯+⨯=⨯,解得r=4.70.【2010·湖南理数】图3中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm ．71.【2010·福建理数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．【答案】6+23【解析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为324234⨯=3216⨯⨯=，所以其表面积为6+23. 72．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知S —ABC 是正四面体，M 为AB 之中点，则SM 与BC 所成的角为 .【答案】arccos 36【解析】设正四面体边长为1，取AC 中点N ，则MN∥BC，∠SMN 为异面直线SM 与BC 所成的角或其补角，且MN=12，SM=SN=32，由余弦定理可得cos∠SMN=36. 73．【2010·石家庄市质量检测（二）】如图，在底面边长为2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若二面角C 1-AB-C 的大小为600，则点C 到平面ABC 1的距离为 ．【答案】32【解析】过点C 作CD⊥AB 交AB 于D ，连结C 1D ，则由三垂线定理知∠CDC 1为二面角的平面角，则∠CDC 1=60°.过点C 作CH⊥C 1D ，交C 1D 于H ，则CH⊥平面ABC 1，故CH 为所求，在三角形CC 1D中，CD=3,从而CC 1=3，从而CH=32. 74．【2010·云南曲靖一中高考冲刺卷六】正四面体ABCD 外接球的体积为3π，则点A 到平面BCD 的距离为__________________.。

SAT数学冲刺之常用公式之面积和体积虽然SAT数学公式都会写在卷面上，但是熟练记忆和应用会为大家节省很多时间，在冲刺阶段，同学们一定要把常用的公式熟练记忆。

下面为大家整理的是SAT数学冲刺之常用公式之面积和体积。

我们一起来看看详细内容吧。

圆柱体：表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)圆锥体：表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高,平面图形周长C和面积S正方形 a—边长 C=4a S=a2长方形 a和b-边长 C=2(a+b) S=ab三角形 a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2·sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)四边形 d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·s inα平行四边形 a,b-边长h-a边的高α-两边夹角 S=ah=absinα菱形 a-边长α-夹角D-长对角线长d-短对角线长 S=Dd/2=a2sinα梯形 a和b-上、下底长h-高m-中位线长 S=(a+b)h/2=mh圆 r-半径 d-直径 C=πd=2πr S=πr2=πd2/4扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360)弓形 l-弧长S=r2/2·(πα/180-sinα)b-弦长 =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2h-矢高 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2r-半径 =r(l-b)/2 + bh/2α-圆心角的度数≈2bh/3圆环 R-外圆半径 S=π(R2-r2)r-内圆半径 =π(D2-d2)/4D-外圆直径d-内圆直径椭圆 D-长轴 S=πDd/4d-短轴二维图形下面是一些二维图形的周长与面积公式。

[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考 了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).1.多以选择题或填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查．2.常以三视图为载体考查几何体的表面积或体积，如2012年安徽T12，广东T6，浙江T11等．也可以给出几何体的棱、面满足的条件来计算表面积或体积，如2012年江苏T7，山东T13.解答题(其中的一问)一般给出相关条件来判断几何体形状特征(特别是几何体的高)并计算体积或表面积，如2012年湖南T18(2)，湖北T19(2)等. [归纳·知识整合] 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2.空间几何体的表面积和体积公式 名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋) h球S＝4πR2V＝πR3[探究]　1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？ 提示： 2．如何求不规则几何体的体积？ 提示：常用方法：分割法、补体法、转化法．通过计算转化得到基本几何体的体积来实现． [自测·牛刀小试] 1．棱长为2的正四面体的表面积是( ) A. B．4 C．4 D．16 解析：选C　正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S＝4××22＝4. 2．(2012·上海高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________． 解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S表＝S侧＋2S底＝cl＋2πr2＝2π×2＋2π＝6π. 答案：6π 3．(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的______倍；体积扩大为原来的______倍． 解析：设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3， 则S1＝4π，S2＝4π×32＝36π，即＝9，所以表面积扩大为原来的9倍．由V1＝π，V2＝π×33＝12π，即＝27，所以体积扩大为原来的27倍． 答案：9　27 4．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π＋4×3×1＝12＋π. 答案：12＋π 5．(教材习题改编)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________． 解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半径为r，则得2π＝2πr，解得r＝1，又圆锥的母线长为2，所以高为，所以这个圆锥筒的容积为π×12×＝π. 答案：π 几何体的表面积 [例1]　(2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ) A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12 D．60＋12 [自主解答]　该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且ABC＝90°， 据正视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4， 据侧视图知，BC＝4. 综上所述，BC平面PAB，PB＝＝5， PC＝＝＝， AC＝＝， PA＝＝2. PC＝AC＝，PAC的边AP上的高为 h＝ ＝6. S△PAB＝AB·PD＝10，SABC＝AB·BC＝10， SPBC＝PB·BC＝10，SAPC＝AP·h＝6. 故三棱锥的表面积为SPAB＋SABC＋SPBC＋SAPC＝30＋6. [答案]　B ——————————————————— 由三视图求几何体表面积的方法步骤 →→ 1．(2013·马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( ) A．4π B. C．5π D. 解析：选D　由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，故表面积为·4π·12＋3··π·12＝π. 几何体的体积 [例2]　(1)(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B．3π C. D．6π (2)(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________． [自主解答]　(1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V＝π×12×2＋×π×12×2＝3π. (2)据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形(两底边长分别为2、5，直腰长为4，即梯形的高为4)，高为4.该几何体的体积为V＝×4×4＝56. [答案]　(1)B　(2)56 ——————————————————— 由三视图求解几何体体积的解题策略 以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解． 2．(2012·新课标全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 解析：选B　由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱锥，其体积为××6×3×3＝9. 3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A．8－ B．8－ C．8－2π D. 解析：选A　圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝23－×π×12×2＝8－π. 与球有关的切、接问题 [例3]　(2012·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( ) A. B. C. D. [自主解答]　ABC的外接圆的半径r＝，点O到平面ABC的距离d＝＝.SC为球O的直径，故点S到平面ABC的距离为2d＝，故棱锥的体积为V＝SABC×2d＝××＝. [答案]　A ——————————————————— 与球有关的切、接问题的解题策略 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的． ．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A．12π B．36π C．72π D．108π 解析：选B　依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为 ＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π. 3个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤 3种方法——求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算． (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等． (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体． 1种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 创新交汇——空间几何体中体积的最值问题 1．求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查． 2．求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值． [典例]　(2012·湖北高考(节选))如图1，ACB＝45°，BC＝3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC＝90°(如图2所示)．当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？ [解]　如图1所示的ABC中，设BD＝x(0<x<3)，则CD＝3－x. 由ADBC，ACB＝45°知ADC为等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3－x. 由折起前ADBC知，折起后(如图2)，ADDC，ADDC，且BD∩DC＝D，所以AD平面BDC， BDC＝90°，所以SBCD＝BD·CD＝x(3－x)． 于是VA－BCD＝AD·SBCD＝(3－x)·x(3－x)． 法一：VA－BCD＝(x3－6x2＋9x)． 令f(x)＝(x3－6x2＋9x)． 由f′(x)＝(x－1)(x－3)＝0，且0<x0；当x(1,3)时，f′(x)<0， 所以当x＝1时，f(x)取得最大值，即BD＝1时， 三棱锥A－BCD的体积最大． 法二：VA－BCD＝·2x(3－x)(3－x)≤·3＝， 当且仅当2x＝3－x，即x＝1时，取“＝”． 故当BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大． 解答此题的关键是恰当引入变量x，即令BD＝x，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题． 如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( ) 解析：选B　显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D，选B. 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( ) A．7 B．6 C．5 D．3 解析：选A　设圆台较小底面半径为r， 则另一底面半径为3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7. 2．(2013·长春模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( ) A.π B．2π C．3π D．4π 解析：选A　依题意知，该几何体是一个底面半径为、高为1的圆柱，则其全面积为2π×2＋2π××1＝π. 3．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( ) A．72π B．48π C．30π D．24π 解析：选C　此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V＝×π×33＋π×32×＝30π. 4．(2013·广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于( ) A. B. C. D. 解析：选D　设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝a2，即a＝R，则＝＝. 5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80 解析：选C　由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧面贴在地面上)，直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底长为4，高为4， 两底面积和为2××(2＋4)×4＝24， 四个侧面的面积为4×(4＋2＋2)＝24＋8， 几何体的表面积为48＋8. 6．已知正方形ABCD的边长为2，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是( ) 解析：选B　由平面ABC平面ACD，且O为AC的中点可知，BO平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N－AMC的高为ON＝2－x，SAMC＝MC·AD＝x，故三棱锥N－AMC的体积为y＝f(x)＝·(2－x)·x＝(－x2＋2x)(0<x<2)，函数f(x)的图象为开口向下的抛物线的一部分． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________． 解析：由三视图可知此几何体为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积S＝(4＋2＋5＋5)×4＋2××(2＋5)×4＝92. 答案：92 8．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3. 解析：由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则ACBD.由面面垂直的性质定理，可证AO平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为3×2＝6，从而VA－BB1D1D＝×OA×S长方形BB1D1D＝6. 答案：6 9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________． 解析：该棱锥的直观图如图，取CD的中点E，BD的中点F，由三视图知，AE平面BCD，AF＝5，AE＝＝4，CBD＝90°.设O为该棱锥外接球的球心，半径为R，由题知BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(3)2＋(R－4)2，解得R＝，故球的表面积为S＝4×π×2＝. 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2013·杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，DAB＝90°，ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积． 解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5， S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝×4－π×22×2＝π. 11．(2013·郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的表面积S. 解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为. 所以V＝1×1×＝. (2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， 所以S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2. 12．如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B、C在线段AD上，且AB＝3，BC＝4，作BB1AA1分别交A1D1、AD1于点B1、P，作CC1AA1分别交A1D1、AD1于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A1B1C1. (1)求证：AB平面BCC1B1； (2)求多面体A1B1C1－APQ的体积． 解：(1)由题知，在图2中，AB＝3，BC＝4，CA＝5， AB2＋BC2＝CA2，AB⊥BC. 又AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，AB⊥平面BCC1B1. (2)由题易知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为×3×4×12＝72. 在图1中，ABP和ACQ都是等腰直角三角形， AB＝BP＝3，AC＝CQ＝7， VA－CQPB＝×S四边形CQPB×AB＝××(3＋7)×4×3＝20. 多面体A1B1C1－APQ的体积V＝VABC－A1B1C1－VA－CQPB＝72－20＝52. 1．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( ) A．24 B．12 C．8 D．4 解析：选B　依题意知，该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的部分，因此其体积等于2×3×4－×2×3×4＝12. 2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( ) A．32 B．16＋16 C．48 D．16＋32 解析：选B　该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为2，故其表面积是4×4＋4××4×2＝16＋16. 3．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________． 解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝. 答案： 4．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm. 解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13 (cm)． 答案：13。

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第7章立体几何7-2空间几何体的表面积和体积模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2016·全国卷Ⅰ]如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( ) A．17πB．18πC．20πD．28π答案A解析由三视图知该几何体为球去掉了所剩的几何体(如图)，设球的半径为R，则×πR3＝，故R＝2，从而它的表面积S＝×4πR2＋×πR2＝17π.故选A.2．[2017·江西南昌联考]已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A．108 cm3B．100 cm3C．92 cm3D．84 cm3答案B解析由三视图可知原几何体是一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体切去一个三棱锥，因此该几何体的体积＝6×3×6－×4××4×3＝108－8＝100(cm3)，故选B.3．某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为( )A．92＋14πB．82＋14πC．92＋24πD．82＋24π答案A解析由三视图可知，此几何体上半部分是半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为5，下半部分是一个长方体，长、宽、高分别为5、4、4，故此几何体的表面积为4×4×2＋4×5×3＋＋4π＝92＋14π，故选A.4．[2015·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( ) A．2＋B．4＋C．2＋2 D．5答案C解析由三视图还原几何体如图．故S表面积＝S△BCD＋2S△ACD＋S△ABC＝×2×2＋2×××1＋×2×＝2＋＋＝2＋2.5．已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为2∶1，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为，则此三棱柱的侧面积为( )A. B.C．8 D．6答案D解析如图，根据球的表面积可得球的半径为r＝，设三棱柱的底面边长为x，则2＝x2＋2，解得x＝1，故该三棱柱的侧面积为3×1×2＝6.6．[2016·天津高考]已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.答案2解析四棱锥的底面是平行四边形，由三视图可知其底面积为2×1＝2 (m2)，四棱锥的高为3 m，所以四棱锥的体积V＝×2×3＝2 (m3)．7．[2017·江苏模拟]某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．答案2(π＋)解析由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋)．8．[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.答案72 32解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，∴该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32 (cm3)，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 (cm2)．9．[2016·南宁二模]一个空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的外接球的表面积．解依题意，题中的几何体是三棱锥A－BCD，如图所示．其中底面△BCD是等腰直角三角形，BC＝CD＝，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝，BD＝2，AC⊥CD.取AD的中点M，连接BM，CM，则有BM＝CM＝AD＝＝，该几何体的外接球的半径是，该几何体的外接球的表面积为4π×2＝6π.10．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．解解法一：如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.四棱锥D－MNEF的体积为：V2＝×S梯形MNEF×DN＝××(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为：V＝V1＋V2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.[B级知能提升](时间：20分钟)11．[2016·全国卷Ⅲ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A．18＋36B．54＋185D．81C．90答案B解析由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为3的平行六面体，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×3＋2×3×6＝54＋18，故选B.12．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. B. C. D.533答案C解析如图所示，由题意知该几何体为四棱锥P－ABCD，底面面积S＝2×2＝4，高h＝，故体积VP－ABCD＝Sh＝×4×＝. 13．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为________．答案9π解析该三棱锥的直观图如图所示，其中底面ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，侧面PAB⊥底面ABC，顶点P在底面上的射影为AB的中点O′.该三棱锥的外接球的球心一定在PO′上，且满足OP＝OA＝r.在Rt△OO′A中，O′A＝1＝，OO′＝2－r，所以r2＝2＋(2－r)2，2解得r＝，所以其外接球的表面积为4π×2＝9π.14. [2016·江苏高考]现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO1＝2知，O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，则0<h<6，O1O＝4h.如图，连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，所以2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0<h<6，从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍)．当0<h<2时，V′>0，V是单调递增函数；当2<h<6时，V′<0，V是单调递减函数．故h＝2时，V取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．。