河北唐山2019高三9月摸底考试-数学(理)扫描版

河北省唐山市2019届高三数学下学期第三次模拟考试试卷（A）理（扫描版）唐山市2018—2019学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DCADA BABCBDA B 卷：BCADA BADCBDC 二．填空题：13．214．3 2 15．34 16．4 三．解答题：17．解：（1）由1，a n ，S n 成等差数列得1＋S n ＝2a n ，①特殊地，当n ＝1时，1＋S 1＝2a 1，得a 1＝1．当n ≥2时，1＋S n －1＝2a n －1，②①－②得a n ＝2a n －1，a n a n －1＝2(n ≥2)，可知{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 则a n ＝2n －1，S n ＝2a n －1＝2n －1．…6分 （2）n ≥2时，1S n ＝12n －1＜12n －1，则 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜1＋12＋122＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1＜2． …12分18．解：（1）取AB 1的中点E ，连接EM ，EN ，在△ABB 1中，E ，M 分别是AB 1，AB 的中点，则EM ∥BB 1，且EM ＝ 1 2BB 1，又N 为CC 1的中点，CC 1∥BB 1，所以NC ∥BB 1，NC ＝ 1 2BB 1，从而有EM ∥NC 且EM ＝NC ，所以四边形EMCN 为平行四边形，所以CM ∥NE ．又因为CM 平面B 1AN ，NE平面B 1AN ， 所以CM ∥平面B 1AN ．…5分 （2）因为AC ＝BC ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，由AA 1⊥平面ABC ，得AA 1⊥CM ，又因为AB ∩AA 1＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1，从而A 1M ⊥CM ，又因为A 1M ⊥B 1C ，B 1C ∩CM ＝C ，所以A 1M ⊥平面B 1MC ，从而有A 1M ⊥B 1M ， 因为AC ＝BC ＝4，AB ＝4 3 ，AM ＝MB ，所以AA 1＝AM ＝2 3 ． 由（1）知EM ∥BB 1，所以EM ⊥平面ABC ．以M 为坐标原点，MB →，MC →，ME →为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系M -xyz ，则A (－23，0，0)，A 1(－23，0，23)，B 1(23，0，23)，C (0，2，0)，N (0，2，3)．所以A 1M →＝(23，0，－23)，AB 1→＝(43，0，23)，AN →＝(23，2，3)． 设平面B 1AN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1→·n ＝0，AN →·n ＝0，即⎩⎨⎧43x ＋23z ＝0，23x ＋2y ＋3z ＝0， 取x ＝1，则n ＝(1，0，－2)，平面B 1MC 的法向量为A 1M →＝(23，0，－23)，A 1M →，n ＝31010， 所以平面B 1AN 与平面B 1MC 所成锐二面角的余弦值为31010．…12分19．解：（1）因为X ＝Y ∈(300，600]，所以g (X )＝g (Y )，当X ∈(300，400]时，f (X )－g (X )＝(1800＋4X )－(2100＋3X )＝X －300＞0，当X ∈(400，600]时，f (X )－g (X )＝(1800＋4X )－(2100＋4X )＝－300＜0， 故当X ∈(300，400]时，f (X )＞g (X )，当X ∈(400，600]时，f (X )＜g (X )．…4分（2）（ⅰ）送餐量x 的分布列为! 送餐量y 的分布列为! 则E (x )＝13×115＋14× 1 5＋16× 2 5＋17× 1 5＋18×115＋20×115＝16，E (y )＝11×215＋13× 1 6＋14× 2 5＋15×110＋16× 1 6＋18×130＝14． …10分（ⅱ）E (X )＝30E (x )＝480∈(300，600]，E (Y )＝30E (y )＝420∈(400，＋∞)， 美团外卖配送员，估计月薪平均为1800＋4E (X )＝3720元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2100＋4E (Y )＝3780元＞3720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员．…12分 20．解：（1）因为抛物线Г：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F (0，1)，所以抛物线Г的方程为x 2＝4y ．由直线l 1的斜率为k 1，且过F (0，1)，得l 1的方程为y ＝k 1x ＋1，代入x 2＝4y 化简得x 2－4k 1x －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋2＝4k 21＋2，|AB |＝y 1＋y 2＋2＝4k 21＋4．因为k 1＝3，所以|AB |＝16．…5分 （2）设P (x 0，x 204)，将Г的方程x 2＝4y 化为y ＝x 24，求导得y ＝ x 2，因为斜率为k 2的直线l 2与Г相切于点P ，所以k 2＝x 02，则P (2k 2，k 22)，由（1）知x 1＋x 2＝4k 1，且Q 为AB 的中点，易得Q (2k 1，2k 21＋1)，因为直线PQ 过(0，2)，所以k 22－22k 2＝2k 21－12k 1， …10分整理得(k 1k 2＋1)(k 2－2k 1)＝0，因为l 2与l 1不垂直，所以k 1k 2＋1≠0，则k 2－2k 1＝0，即k 1k 2＝ 1 2． …12分21．解：（1）g (x )＝fx )＝ln x ＋1－ 1 2x －a ，g x )＝ 1 x － 1 2＝2－x 2x ，当x ∈(0，2)时，gx )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，g x )＜0，g (x )单调递减； 故当x ＝2时，g (x )的最大值为g (2)＝ln 2－a ．若a ＝ln 2，g (x )取得最大值g (2)＝0．…4分 （2）（ⅰ）若a ＝ln 2，由（1）知，当x ∈(0，＋∞)时，f x )≤0，且仅当x ＝2时，fx )＝0． 此时f (x )单调递减，且f (2)＝0，故f (x )只有一个零点x 0＝2．…5分 （ⅱ）若a ＞ln 2，由（1）知，当x ∈(0，＋∞)时，fx )＝g (x )＜0，f (x )单调递减．此时，f (2)＝2(ln 2－a )＜0，注意到x 1＝14a ＜1，我们知道，(x ln x ＝ln x ＋1，故x ln x ≥－ 1 e ， f (x 1)＝x 1ln x 1－ 1 4x 12＋ 3 4＞－ 1 e － 1 4＋ 3 4＝ 1 2－ 1 e ＞0，故f (x )仅存在一个零点x 0∈(x 1，2)． …8分 （ⅲ）若0＜a ＜ln 2，则g (x )的最大值g (2)＝ln 2－a ＞0，即f ＞0，注意到f 1 e )＝－12e －a ＜0，f＝ln 8－3－a ＜0， 故存在x 2∈( 1 e ，2)，x 3∈(2，8)，使得fx 2)＝f x 3)＝0． 则当x ∈(0，x 2)时，fx )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，x 3)时，f x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(x 3，＋∞)时，f x )＜0，f (x )单调递减．故f (x )有极小值f (x 2)，有极大值f (x 3)．由f x 2)＝0得ln x 2＋1－ 1 2x 2－a ＝0，故f (x 2)＝( 1 2x 2－1)2＞0，则f (x 3)＞0．存在实数t ∈(4，16)，使得ln t － 1 4t ＝0，且当x ＞t 时，ln x － 1 4x ＜0，记x 4＝max{t ， 1 a }，则f (x 4)＝x 4(ln x 4－ 1 4x 4)－ax 4＋1≤0，故f (x )仅存在一个零点x 0∈(x 3，x 4]．综上，f (x )有且仅有一个零点．（另见附注）…12分22．解：（1）曲线C 的普通方程为：x 24＋y 23＝1，直线l 的直角坐标方程为：x －y －1＝0． …4分 （2）由题意知：A (1，0)，B (4，3)，所以|AB |＝32．设点P (2cos φ，3sin φ)，则点P 到AB 的距离为d ＝|2cos φ－3sin φ－1|2＝|7cos(φ＋)－1|2，所以△PAB 的面积S ＝ 1 2·|AB |·d ＝ 3 2|7cos(φ＋)－1|≤3(7＋1)2， 即△PAB 的面积S 的最大值为3(7＋1)2．…10分 23．解：（1）∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ， ∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)＝9.∴|a ＋b ＋c |≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1或a ＝b ＝c ＝－1时，取等号. 故|a ＋b ＋c |的最大值为3.…5分 （2）不能成立.理由如下：由柯西不等式，得(ax ＋by ＋cy )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋y 2)＝3，当且仅当a x ＝b y ＝c y 时取等号，故ax ＋(b ＋c )y ≤3，故ax ＋(b ＋c )y ＝2不能成立. …10分附注：21题（2）的一个解法解：因为f (x )＝x ln x － 1 4x 2－ax ＋1 ， a ＞0，x ＞0有且仅有一个零点， 所以a ＝ln x － 1 4x ＋ 1 x ，令h (x )＝ln x － 1 4x ＋ 1 x ， h x )＝ 1 x － 1 4－ 1 x 2＝－x 2＋4x －44x 2＝－(x －2)24x 2≤0， h (x )在(0，＋∞)单调递减，h (e 3)＝3－e 3 4＋ 1 e 3＜0， x →0，h (x )→＋∞， 因为a ＞0，所以y ＝a 与h (x )＝ln x － 1 4x ＋ 1 x 有唯一的交点，所以f (x )有且仅有一个零点． （酌情扣1－2分）。

试卷类型：A唐山市2019~2020学年度高三年级摸底考试理科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{x |x －1＜0}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∩B ＝A ．{x |x ＜0}B ．{x |x ＜1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜2}2．已知p ，q ∈R ，1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p ·q ＝ A ．－4 B ．0 C ．2 D ．4 3．已知a ＝ln 3，b ＝log 310，c ＝lg 3，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c ＜b ＜a B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b4．函数f (x )＝x 2－1|x |的图像大致为CD A ．B5．右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M ．在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为P (A )，取自M 区域的概率记为P (M )，则 A ．P (A )＞P (M ) B ．P (A )＜P (M )C ．P (A )＝P (M )D ．P (A )与P (M )的大小关系与半径长度有关6．右图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入x ＝1900，x ＝2400，则输出的结果分别是（注：x MOD y 表示x除以y 的余数）A ．1900是闰年，2400是闰年B ．1900是闰年，2400是平年C ．1900是平年，2400是闰年D ．1900是平年，2400是平年7．若sin 78°＝m ，则sin 6°＝A ．m ＋12B ．1－m2 C ．m ＋12D ．1－m 28．已知等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 27成等比数列，则S 9S 3＝A ．3B ．6C ．9D ．129．双曲线C ：x 2a2－y 2＝1（a ＞0）的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则S △OPF 的最小值为A ． 1 4B ． 12 C ．1 D ．210．在(x ＋y )(x －y )5的展开式中，x 3y 3的系数是 A ．－10 B ．0 C ．10D ．2011．直线x －3y ＋3＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若FC →＝2CA →，则该椭圆的离心率是 A ．3－1 B ．3－12C ．22－2D ．2－112．设函数f (x )＝(e x －m－ax )(ln x －ax )，若存在实数a 使得f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是A ．(－∞，0]B ．[0，2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y ＋1≤0，x －2y ＋2≤0，则z ＝3x －y 的最大值为____．14．已知e 1，e 2是夹角为60︒的两个单位向量，a ＝e 1－e 2，b ＝e 1－2e 2，则a ·b ＝___． 15．已知函数f (x )＝sin (ωx ＋π4)（ω＞0），若f (x )在[0，2π]上恰有3个极值点，则ω的取值范围是________．16．在三棱锥P −ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC ＝3，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ＝ 16b 2tan A ．（1）证明：b ＝3c cos A ；（2）若tan A ＝2，a ＝22，求S ．18．（12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对A ，B 两位选（1）体值，得出结论即可）；（2事件发生的概率，求事件C 发生的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）若直线BD 与平面PBC 所成的角为30︒，求二面角C −PB −D 的大小．20．（12分）已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 相交于A ，B 两点． （1）若k ＝1，求|F A |＋|FB |的值；（2）点C (－3，－2)，若∠CF A ＝∠CFB ，求直线l 的方程． 21．（12分）已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈(0，π)，f '(x )为f (x )的导数，且g (x )＝f '(x )． 证明：（1）g (x )在(2，2π3)内有唯一零点t ；（2）f (x )＜2． （参考数据：sin 2≈0.9903，cos 2≈－0.4161，tan 2≈－2.1850，2≈1.4142，π≈3.14．）（二）选考题：共10分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C ：ρ＝4cos θ．以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点M (－1，－33)且倾斜角为α． （1）求圆C 直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与圆C 交于A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|． （1）画出y ＝f (x )的图象；（2）若f (x )≤m |x |＋n ，求m ＋n 的最小值．ABCEDPxyO 1 1唐山市2019~2020学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：CADDC CBCBB AD B 卷：CABDCCDCBBAD 二．填空题： （13）0（14）32（15）[98，138) （16）6三．解答题： 17．解：（1）由S ＝ 1 2bc sin A ＝ 16b 2tan A 得3c sin A ＝b tan A ．因为tan A ＝sin A cos A ，所以3c sin A ＝b sin Acos A，又因为0＜A ＜π，所以 sin A ≠0， 因此b ＝3c cos A ． …4分（2）因为tan A ＝2，所以cos A ＝55，由（1）得2bc cos A ＝2b 23，c ＝5b3． …8分由余弦定理得8＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以8＝b 2＋5b 29－2b 23＝8b 29， 从而b 2＝9．故S ＝ 16b 2tan A ＝3． …12分18．解：（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． …4分 （2）记C A 1表示事件：“A 选手直接晋级”， C A 2表示事件：“A 选手复赛待选”； C B 1表示事件：“B 选手复赛待选”， C B 2表示事件：“B 选手淘汰出局”． 则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C A 1与C A 2互斥，C ＝(C A 1C B 1)∪(C A 1C B 2)∪(C A 2C B 2)． P (C )＝P (C A 1C B 1)＋P (C A 1C B 2)＋P (C A 2C B 2) ＝P (C A 1)P (C B 1)＋P (C A 1)P (C B 2)＋P (C A 2)P (C B 2)．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为820，1120，1020，320，故P (C A 1)＝820，P (C A 2)＝1120，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝320，P (C )＝820×1020＋820×320＋1120×320＝137400． …12分19．解：（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，∴P A ∥EO ，又P A ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ， ∴P A ∥平面BED ． …4分 （2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，设PD ＝CD ＝1，AD ＝a ，则A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，C (0，1，0)， P (0，0，1)，DB →＝(a ，1，0)， PB →＝(a ，1，－1)，PC →＝(0，1，－1) 设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧PB →·n ＝0，PC →·n ＝0，得⎩⎨⎧ax ＋y －z ＝0，y －z ＝0，取n ＝(0，1，1)． …7分直线BD 与平面PBC 所成的角为30︒，得|cos 〈DB →，n 〉|＝|DB →·n ||DB →||n |＝1a 2＋1×2＝ 1 2，解得a ＝1．…9分 同理可得平面PBD 的法向量m ＝(－1，1，0)，…10分cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12×2＝ 12，∵二面角C −PB −D 为锐二面角，∴二面角C −PB −D 的大小为60°． …12分 20．解：（1）由已知可得F (0，1)，设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，y ＝kx ＋2与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －8＝0，x 1＋x 2＝4k ， ① x 1x 2＝－8． ② …2分|F A |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 24＋2． …4分当k ＝1时，由①②得|F A |＋|FB |＝10 …5分（2）由题意可知，FA →＝(x 1，x 214－1)，FB →＝(x 2，x 224－1)，FC →＝(－3，－3).∠CF A ＝∠CFB 等价cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，…8分 又|F A |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1则F A →·FC→|F A →||FC →|＝FB →·FC→|FB →||FC →|，整理得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0， 解得k ＝－ 32，…11分所以，直线l的方程为3x＋2y－4＝0．…12分21．解：（1）g (x )＝f '(x )＝x cos x ＋sin x ，所以x ∈(0，π2]时，g (x )＞0，即g (x )在(0，π2]内没有零点．…2分x ∈(π2，π)时，g '(x )＝2cos x －x sin x ，因为cos x ＜0，x sin x ＞0，从而g '(x )＜0， 所以g (x )在(π2，π)上单调递减，又g (2)＝(2＋tan 2)cos 2＞0，g(2π3)＝－π3＋32＜0，所以g (x )在(2，2π3)内有唯一零点t ．…6分（2）由（1）得，x ∈(0，t )时，g (x )＞0，所以f '(x )＞0，即f (x )单调递增； x ∈(t ，π)时，g (x )＜0，所以f '(x )＜0，即f (x )单调递减， 即f (x )的最大值为f (t )＝t sin t ．由f '(t )＝t cos t ＋sin t ＝0得t ＝－tan t ， 所以f (t )＝－tan t ·sin t ， 因此f (t )－2＝－sin 2t －2cos tcos t＝cos 2t －2cos t －1cos t＝(cos t －1)2－2cos t．…9分因为t ∈(2，2π3)，所以cos t ∈(－ 12，cos 2)，从而(cos 2－1)2－2＝(－1.4161)2－(2)2＞0， 即(cos t －1)2－2cos t＜0，所以f (t )－2＜0， 故f (x )＜2． …12分22．解：（1）由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2＝4ρcos θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4．直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝－33＋t sin α（t 为参数，0≤α＜π）．…5分（2）设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，将直线l 的方程代入C 并整理，得t 2－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0， 所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32． 又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ，因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin (α＋ π 6)，t B ＝8sin (α＋ π6)，…8分所以t A ·t B ＝32sin 2(α＋ π 6)＝32，即sin 2(α＋ π6)＝1．因为0≤α＜π，所以 π 6≤α＋ π 6＜7π6，从而α＋ π 6＝ π 2，即α＝ π3．…10分23．解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤ 12，3x ，x ＞ 12．…3分…5分，解得n ≥2． m |x |＋n ≥3|x |．（※）若m ≥3，（※）式明显成立；若m ＜3，则当|x |＞n3－m时，（※）式不成立．…8分 另一方面，由图可知，当m ≥3，且n ≥2时，f (x )≤m |x |＋n ． 故当且仅当m ≥3，且n ≥2时，f (x )≤m |x |＋n ． 因此m ＋n 的最小值为5． …10分。

唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合,由集合交集的定义可得结果.【详解】由一元二次不等式的解法可得集合，因为，所以,故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.设，则（）A. B. 2 C. D. 1【答案】D【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算法则化简，再由复数模的公式求解即可．【详解】，则，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.等差数列的前项和为，若，则（）A. 13B. 26C. 39D. 52【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的下标性质可得，结合等差数列的求和公式可得结果.【详解】，，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，等差数列求和公式的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于简单题.4.随机变量服从正态分布，若，，则（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】直接根据正态曲线的对称性求解即可.【详解】，，，即，，故选B.【点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，5.=A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式化简，即可求解.【详解】由题意，可知，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，合理作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.已知某几何体的三视图如图所示俯视图中曲线为四分之一圆弧，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体的表面公式，即可得到答案. 【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积为，底面周长为，柱体的高为1，所以该柱体的表面积为.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积公式求解.7.设函数，则（）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是增函数C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是减函数【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用单调性的定义判断单调性，结合选项可得结果.【详解】，是奇函数；任取，则，，，，在上递增，故选A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.8.已知是两个单位向量，时，的最小值为，则（）A. 1B.C. 1或D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知,当有最小值，可得，从而可得，进而可得结果.【详解】,，即当有最小值，此时，而，，即为，，即为1，故选C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9.已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A. 求的值B. 求的值C. 求的值D. 求的值【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出结果. 【详解】输入，；；；，,退出循环，输出，故选A.【点睛】本题考查的是程序框图.对于算法与流程图的考查，一般会侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且离心率之积为1，为两曲线的一个交点，则的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标以及双曲线的离心率求出椭圆的方程，利用双曲线与椭圆的定义求出，利用勾股定理可得结论【详解】的焦点坐标为，离心率为，，椭圆，，，得，，为直角三角形，故选B.【点睛】本题综合考查双曲线与椭圆的方程、双曲线与椭圆的离心率、双曲线与椭圆定义的应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于难题. 11.已知函数，，则的所有零点之和等于（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】两角和的正弦公式以及二倍角公式化简,函数的两点就是方程或的根，求出方程的根，即可得结果.【详解】,或，在上的所有零点为，，，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.12.已知三棱锥的四个顶点都在半径为3的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是（ ）A.B.C.D. 32【答案】B 【解析】 【分析】设，则，外接圆直径为，体积最大值为，利用基本不等式，结合换元法，根据导数可得结果.【详解】设，则，外接圆直径为，如图，体积最大值为，设，则，，令，得，在上递增，在上递减，，即该三棱锥体积的最大值是，故选B.【点睛】本题主要考球的截面的性质棱锥的体积公式以及导数的应用，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知满足，则的最大值为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，目标函数，化为，结合图象可知，直线过点A时，目标函数取得最大值，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，化为，结合图象可知，直线过点A时，目标函数取得最大值，由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最小值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.14.在的展开式中，的系数为5，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于4 ,求得的值，即可求得展幵式中的系数,再根琚的系数为5，求得的值.【详解】的展开式的通项公式为，令，求得,故展开式中的系致为,则实数,故答案为.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15.已知直线与圆相交于两点，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先求得直线过定点，判断在圆内，利用圆的几何性质可得结果.【详解】，化为，直线过定点，在圆内，当是中点时，最小，由得，圆心，半径，，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与简单性质以及直线过定点问题，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.16.的垂心在其内部，，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】作，，，设，利用直角三角形的性质，将表示为，利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性可得结果.【详解】如图所示，，，，，，设，，，，，因为所以，，，故答案为.【点睛】求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和，.（1）求；（2）若，且数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，，所以2，两式相减化为为，可得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可得结果；（2）结合（2）可得，利用错位相减法可得结果.【详解】（1）由已知可得，2S n＝3a n－1，①所以2S n－1＝3a n－1－1（n≥2），②①－②得，2(S n－S n－1)＝3a n－3a n－1，化简为a n＝3a n－1（n≥2），即在①中，令n＝1可得，a1＝1，所以数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n＝3n－1．（2）b n＝(n－1)·3n－1，T n＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n－1)·3n－1，③则3T n＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n．④③－④得，－2T n＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)·3n，所以，【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18.甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在（单位：）内的零件为一等品，其余为二等品，测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：（1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品，由古典概型概率公式可得结果；（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，的可能取值为结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品，所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率（2）X可取0，1，2，3．X的分布列为∴随机变量X的期望【点睛】本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.在直角三角形中，，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，结合，可得平面，从而得，又，利用线面垂直的判断定理可得结果；（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出的方向向量，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥PD，又∵AD⊥BD，∴PD⊥BD．又因为BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD．（2）以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则,设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，由,得,取n＝(1，－1，－1)．∴直线P A与平面PBC所成角的正弦值为．【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.斜率为的直线与抛物线交于两点，为坐标原点. （1）当时，求；（2）若，且，求.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，，两式相减化简可得直线的斜率；（2）先求得，，由，可得，解得，从而可得结果.【详解】（1）由已知可得，所以此时，直线l的斜率（2）因为OB⊥l，所以又因为所以，又由（1）可知，从而有，所以，因为|AB|＝3|OB|，所以化简得，|k3＋2k|＝3，解得，k＝±1，所以，【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数（且）.（1）当时，曲线与相切，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）求得，设切点为，曲线与相切，得，解得，所以切点为，进而可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性可得当时，取得最小值，设，利用导数可得，即，进而可得满足题设的的取值范围．【详解】（1）当a＝e时，所以设切点为(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)与y＝m相切，得f'(x0)＝0，解得x0＝1，所以切点为（1，1）．所以m＝1．（2）依题意得，所以从而a≥e．因为，所以当0＜x＜ln a时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln a时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝ln a时，f(x)取得最小值设g(x)＝eln x－x，x≥e，则所以g(x)在[e，＋∞)单调递减，从而g(x)≤g(e)＝0，所以e ln x≤x．又a≥e，所以e ln a≤a，从而当且仅当a＝e时等号成立．因为ln a≥1，所以log a(ln a)≥0，即综上，满足题设的a的取值范围为[e，＋∞)．【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线（为参数，）.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简所给极坐标方程，利用互化公式可得曲线的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入并整理得，，根据直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，由辅助角公式和三角函数的有界性可得结果.【详解】（1）由得，ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6．（2）将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4＜0．因为0≤α＜ ，所以从而有所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，2]．【点睛】本题主要考查直线的参数方程，以及极坐标方程化为直角坐标方程，属于中档题.利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．选修4-5：不等式选讲23.[选修4-5：不等式选讲]已知.（1）求不等式的解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意得|，可得，整理可得，利用一元二次不等式的解法可得结果不；（2），将写出分段函数形式，利用单调性可得时，取得最大值1，所以的取值范围是．【详解】（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|,所以|x＋1|2＞|2x－1|2,整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（2）由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，设g(x)＝f(x)－x，则,由g(x)的单调性可知，x＝时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是[1，＋∞）．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想；④转化法，转化为一元二次不等式或对数、指数不等式.。

2019年9月河北省唐山市2019~2020学年度高三年级摸底考试理科数学试题一．选择题(60分)1.已知集合{}=|10A x x -<,{}2|20B x x x =-<,则AB = A.{}|0x x < B.{}|1x x <C.{}|01x x <<D.{}|12x x << 2.已知,p q R ∈,1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根,则p q ⋅=A.4-B.0C.2D.43.已知ln3a =,3log 10b =,lg3c =,则a ,b ,c 的大小关系为A.c b a <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<4.函数()21x f x x-=的图象大致为A. B. C. D.5.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由一个半圆和一个四分之一圆构成,两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点,此点取自A 区域的概率记为()P A ,取自M 区域的概率记为()P M ,则A.()()P A P M >B.()()P A P M <C.()()P A P M =D.()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关6.右图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图,若先后输入1900x =,2400x =,则输出的结果分别是(注：xMODy 表示x 除以y 的余数)A.1900是闰年,2400是闰年B.1900是闰年,2400是平年C.1900是平年,2400是闰年D.1900是平年,2400是平年7.若sin 78m =,则sin 6=8.已知等差数列{}n a 的公差不为零,其前n 项和为n S ,若3S ,9S ,27S 成等比数列,则93S S = A.3B.6C.9D.12 9.双曲线)0(1:222>=-a y ax C 的右焦点为F ,点P 为C 的一条渐近线上的点,O 为坐标原点,若PF PO =,则OPF S ∆的最小值为 A.41 B.21 C.1 D.210.在5))((y x y x -+的展开式中,33y x 的系数是A.10B.0C.10D.2011.直线033=+-y x 经过椭圆()012222>>=+b a by a x 的左焦点F ,交椭圆于B A ,两点,交y 轴于C 点,若2=,则该椭圆的离心率是 A.13-B.213-C.222-D.12-12.设函数))(ln ()(ax x ax ex f m x --=-,若存在实数a 使得0)(<x f 恒成立,则m 的取值范围是A.(]0,∞-B.[)2,0C.()∞+，2D.()2,∞-二、填空题(共20分)13.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤+-≥+-02201202y x y x y x ,则y x z -=3的最大值为______.14.已知21,e e 是夹角为60°的两个单位向量,21212,e e b e e a -=-=,则=⋅b a _____.15.已知函数()04sin )(>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f ,若)(x f 在[]π2,0上恰有3个极值点,则ω的取值范围是______.16.在三棱锥ABC P -中,,3,90,60==︒=∠=∠︒=∠PC PB PCA PBA BAC 点P 到底面ABC 的距离为2,则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为________.三．(解答题,共70分)17.(12分)ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC △的面积为A b S tan 612=. (1)证明：A c b cos 3=(2)若,22,2tan ==a A 求S18.(12分)某音乐院校举行“校园之星”评选活动,评委由本校全体学生组成,对B A ,两位选手,随机调查了20个学生的评分,得到下面的茎叶图：(1)通过茎叶图比较B A ,两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可)；(2)校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：记事件:C “A 获得的分流等级高于B”,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件C 发生的概率.19.(12分)如图,在四棱锥A B C D P -中,底面A B C D 是矩形,侧棱⊥PD 底面A B C D,DC PD =,点E 是PC 的中点. （1）求证：//PA 平面BDE ；（2）若直线BD 与平面PBC 所成角为︒30,求二面角D PB C --的大小.20.(12分)已知F 为抛物线y x T 4:2=的焦点,直线2:+=kx y l 与T 相交于B A ,两点.(1)若1=k ,求FB FA +的值；(2)点)2,3(--C ,若CFB CFA ∠=∠,求直线l 的方程.21.(12分)已知函数()sin f x x x =,(0,)x π∈,()f x '为()f x 的导数,且()()g x f x '=.证明：(1)()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t ；(2)()2f x <.(参考数据：sin 20.9903≈,cos20.4161≈-,tan 2 2.1850≈- 1.4142≈, 3.14π≈.)(二)选考题：共10分.请考生在第(22),(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修44-：坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中,圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ,直线l 经过点(1,M --且倾斜角为α.(1)求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)已知直线l 与圆C 交与A ,B ,满足A 为MB 的中点,求α.23.[选修45-：不等式选讲](10分) 设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图像；(2)若()f x m x n ≤+,求m n +的最小值.。

唐山市2019届高三第一次模拟考试数学理试题2019.3注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，则A∩B＝A、∅B、[－2，2)C、(2，3]D、(3，＋∞)（2）设复数z 满足(1＋i)z＝2i（其中i 为虚数单位），则下列结论正确的是A、|z|＝2B、z 的虚部为iC、z2＝2D、z 的共轭复数为1－i（3）若函数f (x)＝110,1lg,1x xx x-⎧≤⎨>⎩，则f (f (10))＝A、9B、1C．110D、0（4）《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．实际上，这是一种开平方的近似计算，即用7 近似表示2，当内方的边长为5 时，外方的边长为，略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为A．12B．22C．57D．2549（5）在等比数列{a n}中，若a6＝8a3＝8a22，则a n＝A、a n＝2n－1B、a n＝2nC、a n＝3n－1D、a n＝3n（6）为计算T＝，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A、W＝W×iB、W＝W×(i＋1)C、W＝W×(i＋2)D、W＝W×(i＋3)（7） 椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为 F 1， F 2，过F 2 垂直于 x 轴的直线交 C 于 A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为 A ．12 B 3 C ．13D 3（8）二项式x3x )6的展开式中的常数项为 A 、－540 B 、135 C 、270 D 、540（9） 如图， 直线 2x ＋2y －3＝0 经过函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0，|φ|＜π） 图象的最高点 M 和最低点 N ，则A 、ω＝2π， φ＝4πB 、ω＝π， φ＝0C 、ω＝2π， φ＝－4πD 、ω＝π， φ＝2π（10） 已知双曲线C ：2221(0)16x y b b -=> ，F 1，F 2分别为 C 的左、右焦点，过F 2的直线 l 交 C 的左、 右支分别于 A ，B ，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝ A 、4 B 、8 C 、16 D 、32（11） 设函数 f (x )＝a e x －2sin x ，x ∈ [0，π]有且仅有一个零点，则实数 a 的值为A 4πB 42eπ-C 22e πD 22eπ-（12） 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为A 、1 BCD二、 填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．（13） 已知向量 a ＝(1，－3)， b ＝(m ，2)， 若 a ⊥(a ＋b )，则 m ＝_____．（14） 若 x ，y 满足约束条件3301010x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则 z ＝2x ＋y 的最大值为_____．（15）在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1， AC 2，且 AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为_____． （16）已知 O 为坐标原点，圆 M ：(x ＋1)2＋y 2＝1， 圆 N ：(x －2)2＋y 2＝4．A ，B 分别为圆 M 和圆 N 上的动点，则 S △OAB 的最大值为_____．三、 解答题： 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)， (23)题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． （17）（12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， 且 a 1n S n ＋1． （1） 求 S n ， a n ； （2） 若 b n ＝(－1)n －1•1n n a S n++， {b n }的前 n 项和为T n ，求 T n ．（18）（12 分）如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝4， ∠ABC ＝90°，E ，F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把△AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PB ＝BE ． （1） 证明： BC ⊥平面 PBE ；（2） 求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值．（19）（12 分）抛物线C：y2＝2px（p＞0），斜率为k 的直线l 经过点P(－4，0)，l 与 C 有公共点A，B，当k＝12时，A 与B 重合．（1）求 C 的方程；（2）若 A 为PB 的中点，求|AB|．（20）（12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50 家企事业单位，150 家个体经营户，（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X，写出X 的分布列，并求X 的期望值．附：（21）（12 分）已知函数f (x)＝ax－ln xx，a∈R．（1）若f (x)≥0，求a的取值范围；（2）若y＝f (x)的图像与y＝a 相切，求a的值．（二）选考题：共10 分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，0＜α＜π）． 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρsi n 2θ＝4cos θ． （1）求 l 和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A ，B 两点，且|AB |＝8，求 α．（23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 a ，b 是正实数，且a ＋b ＝2， 证明： （1）a ＋b ≤2；（2）(a ＋b 3)(a 3＋b )≥4．理科数学参考答案一．选择题：A 卷：CDBAA CDBACBCB 卷： 二．填空题： （13）－4（14）7（15）2π（16）332三．解答题： （17）解：（1）令n ＝1，得a 1＋a 1＝2，(a 1＋2)(a 1－1)＝0，得a 1＝1， 所以S n ＝n ，即S n ＝n 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1适合上式， 所以a n ＝2n －1．…6分 （2）b n ＝(－1)n －1•a n ＋1S n ＋n ＝(－1)n －1•2n ＋1n 2＋n＝(－1)n －1•(1 n ＋1n ＋1) …8分当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…－(1 n ＋1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1，当n 为奇数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋( 1 n ＋1n ＋1)＝1＋1n ＋1＝n ＋2n ＋1，综上所述，T n ＝⎩⎨⎧nn ＋1，(n 为偶数)，n ＋2n ＋1，(n 为奇数)． …12分PF ABCEx y zOM另解：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(－1)n －1•(1 n ＋1n ＋1)＝1＋(－1)n －1•1n ＋1＝n ＋1＋(－1)n －1n ＋1. …12分（18）解：（1）因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EF ∥BC ， 因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ， 又因为BE ∩PE ＝E ， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ． …5分 （2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB ＝BE ＝PE ， 所以PO ⊥BE ，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ， 所以PO ⊥平面BCFE ， …7分过O 作OM ∥BC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0，0，3)，C (1，4，0)，F (－1，2，0)．PC →＝(1，4，－3)，PF →＝(－1，2，－3)，设平面PCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧PC →·m ＝0，PF →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3z ＝0，－x ＋2y －3z ＝0，则m ＝(－1，1，3)，易知n ＝(0，1，0)为平面PBE 的一个法向量， cos 〈m ，n 〉＝－1⨯0＋1⨯1＋3⨯0(－1)2＋12＋(3)2＝ 1 5＝5 5， 所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值55． …12分（19）解：（1）当k ＝1 2时，直线l ：y ＝12(x ＋4)即x －2y ＋4＝0.此时，直线l 与抛物线C 相切，由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0y 2＝2px得y 2－4py ＋8p ＝0，由∆＝0即16p 2－32p ＝0，得p ＝2， 所以C 的方程为y 2＝4x . …5分（2）直线l ：y ＝k (x ＋4)，(k ≠0) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋4)y 2＝4x得：y 2－4k y ＋16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝16，…① 又A 为PB 的中点，得：y 1＝12y 2，…②由①②得：k 2＝29，所以|AB |＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝4(1＋k 2)(1－4k 2)k 2＝211. …12分 （20）解：（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）.…2分 （2）将列联表中的数据代入公式计算得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(40×50－100×10)2140×60×50×150≈3.175＞2.706，所以，有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． …6分 （3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为 4 5，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 23．X 可取0，1，2，3，4． P (X ＝0)＝1 5×(1 3)3＝ 1135，P (X ＝1)＝4 5×(1 3)3＋1 5×C 13×2 3×(1 3)2＝ 10135， P (X ＝2)＝4 5×C 13× 2 3×(1 3)2＋1 5×C 23×(2 3)2×1 3＝ 36 135，P (X ＝3)＝4 5×C 23×( 2 3)2×1 3＋1 5×(2 3)3＝ 56 135， P (X ＝4)＝4 5×( 2 3)3＝ 32 135．X 的分布列为：X 01 23 4 P1 135 10 135 361355613532135 E (X )＝0× 1 135＋1× 10 135＋2× 36 135＋3× 56 135＋4× 32 135＝145．…12分（21）解：（1）由f (x )≥0得ax －ln xx≥0，从而ax ≥ln x x ，即a ≥ln xx2．…2分设g (x )＝ln xx 2，则g '(x )＝1－2ln x x 3，（x ＞0）所以0＜x ＜e 时，g '(x )＞0，g (x )单调递增；x ＞e 时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值g (e)＝12e，故a 的取值范围是a ≥12e ．…6分（2）设y ＝f (x )的图像与y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎨⎧f (t )＝a ，f '(t )＝0．因为f '(x )＝a －1－ln xx 2，所以⎩⎨⎧at －ln tt＝a ，a －1－ln tt2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0． …9分令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h '(t )＝1－(2t －1)·1t －2ln t ＝1t－2ln t －1，显然h '(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h '(1)＝0，所以0＜t ＜1时，h '(t )＞0，h (t )单调递增； t ＞1时，h '(t )＜0，h (t )单调递减， 所以当且仅当t ＝1时h (t )＝0． 故a ＝1． …12分（22）解：（1）当α＝π2时，l ：x ＝1；当α≠π2时，l ：y ＝tan α(x －1)．由ρ(1－cos2θ)＝8cos θ得2ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 的直角坐标方程y 2＝4x ． …4分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得： (sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0,则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α，因为|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＝8，所以sin α＝22或－22，因为0＜α＜π，所以sin α＝22，故α＝π4或3π4．…10分（23）解：（1）∵a ，b 是正实数，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤1，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤4， ∴a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时，取“＝”． …4分（2）∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b ) 2＝4， ∴a 2＋b 2≥2，∴(a ＋b 3)(a 3＋b )＝a 4＋b 4＋a 3b 3＋ab ≥a 4＋b 4＋2a 2b 2＝(a 2＋b 2) 2≥4， 当且仅当a ＝b ＝1时，取“＝”． …10分。

2019届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求A,再求补集即可【详解】,则故选：D【点睛】本题考查集合运算，描述法，指数不等式解法，是基础题2．已知复数满足，则的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由复数代数形式除法运算求z,再求其共轭复数【详解】=1-i,故故选：A【点睛】本题考查复数代数形式除法运算，共轭复数，熟记定义，准确计算是关键，是基础题3．在等差数列中，，，则（）A．10 B．12C．14 D．16【答案】C【解析】由题列出关于的方程组求解，即可求得【详解】由题知,解得,故故选：C【点睛】本题考查等差数列通项公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三角函数定义得tan再利用同角三角函数基本关系求解即可【详解】由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去）故选：A【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数基本关系式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题5．已知双曲线：的焦距为4，为上一点，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题2c=4,将代入方程，得a,b方程组求解即可【详解】由题2c=4,即c=2,又为上一点，则,解得，故故渐近线方程为【点睛】本题考查渐近线方程，准确计算是关键，是基础题6．已知直线，和平面，，有如下三个命题：①若存在平面，使，，则；②若，是两条异面直线，，，，，则；③若，，，则.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】对每个序号逐项判断即可【详解】对①，若存在平面，使，，则或与相交，故①错误；对②，假设与不平行,则与相交,设交线为n,∵，,∩=n,∴同理，,与，异面矛盾，故假设不成立，所以正确对③，若，，则,又，则，故③正确【点睛】本题考查命题真假及空间线面关系，准确推理是关键，是中档题7．已知函数的最小正周期为，把的图像向左平移个单位后，所得函数图像的一条对称轴为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式；再利用函数y ＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴方程．【详解】∵函数的最小正周期为π，∴ω＝1，f（x）＝sin（2x）．若将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得y＝sin（2x）＝sin（2x）令2x kπ，求得x，k∈Z，令k＝0，可得所得函数图象的一条对称轴为x，故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性和它的图象的对称性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．已知函数为奇函数，则在处的切线斜率等于（）A．6 B．-2C．-6 D．-8【答案】B【解析】先求在时的解析式，再求切线方程即可【详解】设，则,又为奇函数，则则故选：B【点睛】本题考查函数奇偶性性质，切线斜率，熟记函数奇偶性，准确计算是关键，是基础题9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将三视图还原，再求表面积即可【详解】半径r=1,由题母线长为2，则该几何体的表面积S=故答案为：C【点睛】本题考查三视图及组合体的表面积，球和圆锥的表面积公式，准确计算是关键，是基础题10．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.在内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题求得“盈”部分的面积，利用几何概型求解即可【详解】由题“盈”部分的面积为又的面积为则该点落在标记“盈”的区域的概率为=故选：B本题考查几何概型，数学文化知识，仔细审题，熟练计算是关键，是基础题11．已知抛物线：的焦点为，点在上，以为半径的圆与轴交于，两点，为坐标原点，若，则圆的半径（）A．2 B．3C．4 D．5【答案】D【解析】设P（）,得圆的方程，进而求得与y轴交点A,B坐标，利用，求解即可【详解】设P（）,则圆的方程为,令x=0，则,又，则，又,联立得则r=故选：D【点睛】本题考查抛物线综合，圆的方程，抛物线的定义，转化思想，熟练计算是关键，是中档题12．已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用作差法比较a,c大小，再分别比较b,c与的关系即可求解【详解】a-c==<0,故又故3>,故,即b>,故选：B【点睛】本题考查比较对数值的大小，对数函数性质，作差法，插入中间值，准确计算是关键，是难题二、填空题13．已知向量，满足，，且，则__________．【答案】9【解析】由平方得，再求值即可【详解】平方得故故答案为9【点睛】本题考查数量积运算，熟记数量积运算律是关键，是基础题14．设变量，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】【解析】画出可行域，再由z的几何意义求解即可【详解】画出可行域，如图阴影部分所示:表示（x,y）与A（-2，0）连线的斜率，由题可知当经过点B时斜率最大，此时点B为方程组的解，，解得B（1，2），故的最大值为故答案为【点睛】本题考查线性规划问题，明确z的几何意义是关键，注意计算的准确，是基础题15．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有__________种．（用数字作答）【答案】660【解析】分情况讨论每个学校分配人数即可求解【详解】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有则不同的分配方案共有+种故答案为660【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题16．各项均为正数的数列满足，，则__________．【答案】27【解析】先求得数列周期再计算即可【详解】由知,,两式相除得又故答案为27【点睛】本题考查数列递推关系求值，数列的周期性，推理数列的周期为6是突破点，准确计算是关键，是难题三、解答题17．在中，角，，的对边分别为，，，.（1）求角；（2）若，，求.【答案】（1）B＝（2）b＝．【解析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式求得B;（2）由正弦定理求得a,再由余弦定理求b即可【详解】（1）由已知及正弦定理可得：2sinC＝sinA＋2sinBcosA，所以2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋2sinBcosA，即2sinAcosB＝sinA，因为sinA≠0，所以cosB＝．又0＜B＜π，故B＝．（2）在△ABC中，由正弦定理可得，所以asinB＝bsinA＝，由（1）知B＝，所以a＝2，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB＝19，所以b＝．【点睛】本题考查正余弦定理，三角恒等变换，熟练运用正余弦定理是关键，是基础题18．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，证明BD⊥A1C即可求解；（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，得∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，求平面的法向量，再由线面角的向量公式求解即可【详解】（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，从而OA1⊥BD，OC⊥BD，又因为OA1∩OC＝O，所以BD⊥平面A1OC，因为A1C 平面A1OC，所以BD⊥A1C，所以异面直线A1C与BD所成角的大小为90°．（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，所以∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则B(4，0，0)，D(－4，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，2，6)，E(0，3，3)．所以＝(－4，3，3)，＝(4，2，6)，＝(4，4，0)．设平面A1DC的法向量为＝(x，y，z)，则即sin＝，所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为．【点睛】本题考查异面直线成的角，空间向量求线面角，线面垂直判定定理，熟记定理，准确计算是关键，是基础题19．苹果可按果径（最大横切面直径，单位：.）分为五个等级：时为1级，时为2级，时为3级，时为4级，时为5级.不同果径的苹果，按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果.某果园采摘苹果10000个，果径均在内，从中随机抽取2000个苹果进行统计分析，得到如图1所示的频率分布直方图，图2为抽取的样本中果径在80以上的苹果的等级分布统计图.（1）假设服从正态分布，其中的近似值为果径的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值代替），，试估计采摘的10000个苹果中，果径位于区间的苹果个数；（2）已知该果园今年共收获果径在80以上的苹果，且售价为特级果12元，一级果10元，二级果9元.设该果园售出这苹果的收入为，以频率估计概率，求的数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】（1）8186（个）（2）见解析【解析】（1）由平均值公式计算均值，进一步求得P(59.85＜M＜77.7)的值，即可求解；（2）确定特级果、一级果、二级果的概率，即可列出分布列求解【详解】（1）＝62.5×5×0.03＋67.5×5×0.05＋72.5×5×0.06＋77.5×5×0.04＋82.5×5×0.02＝71.75．所以M服从正态分布N(71.75，35.4)．从而有P(59.85＜M＜77.7)＝P(μ－2σ＜Z＜μ＋σ)＝[P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＋P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)]＝0.8186，故采摘的10000个苹果中，果径位于区间(59.85，77.7)的苹果个数约为10000×0.8186＝8186（个）．（2）由图2可知，果径在80以上的苹果中，特级果、一级果、二级果的概率分别为，，，设出售1kg果径在80以上苹果的收入为Y，则Y的分布列为：故E(Y)＝12×＋10×＋9×＝10.1，所以E(X)＝800E(Y)＝8080元．【点睛】本题考查正态分布，频率分布直方图的均值，离散型随机变量的分布列，准确计算是关键，是基础题20．已知，，当，分别在轴，轴上滑动时，点的轨迹记为.（1）求曲线的方程；（2）设斜率为的直线与交于，两点，若，求.【答案】（1）（2）k＝±．【解析】（1）设M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，列x,y关于m,n的表达式，利用m,n的关系式，即可求解E的方程；（2）设MN：y＝kx＋m，与椭圆联立求得MN中点横坐标，利用MN和PQ的中点重合，列方程求解即可【详解】（1）设M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，由|MN|＝1得m2＋n2＝1．由＝3得(x，y－m)＝3(n，－m)，从而x＝3n，y－m＝－3m，所以n＝，m＝－，所以曲线E的方程为．（2）设MN：y＝kx＋m，所以n＝－．①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将MN代入到E的方程并整理，可得(4＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－36＝0，所以x1＋x2＝．因为|PN|＝|MQ|，所以MN和PQ的中点重合，所以＝，②联立①②可得k2＝，故k＝±．【点睛】本题考查轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，准确计算是关键，是中档题21．已知.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若有两个极值点，，，证明：（i）；（ii）.【答案】（1）a≤6（2）见解析【解析】（1）f’(x)＝4e x＋2e－2x－a，转化为≥0求解，构造g(x)＝4e x＋2e－2x －a，求导求g(x)的最小值即可；（2）（ⅰ）由（1）设g(x)的两个零点为，，＜0＜，且a＞6．令h(x)＝g(x)－g(－x)，证明h(x)在(0，＋∞)上单调递减，当x＞0时，h(x)＜h(0)＝0，进而证明g()－g(－)＜0，从而g()＜g(－)，，得＋＞0；（ⅱ）证明f(x)＋f(－x)＝－(e x＋e－x－2)2＋6≤6．可得f()＜f(－)，所以＜6．【详解】（1）f’(x)＝4e x＋2e－2x－a，令g(x)＝4e x＋2e－2x－a，则g’(x)＝4e x－4e－2x，显然g’(x)在(－∞，＋∞)单调递增，且g (0)＝0，所以当x∈(－∞，0)时，g’(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，g’(x)＞0，g(x)单调递增．所以g(x)的最小值为g(0)＝6－a，即f’(x)的最小值为6－a，要使f(x)为单调增函数，则有f’(x)≥0，所以6－a≥0，故a≤6．（2）证明：（ⅰ）由（1）得g(x)的两个零点为，，＜0＜，且a＞6．f(x)在(－∞，)和(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减．令h(x)＝g(x)－g(－x)，则h’(x)＝g’(x)＋g’(－x)＝4e x－4e－2x＋4e－x－4e2x＝4[－(e x＋e－x)2＋(e x＋e－x)＋2]＝4[2－(e x＋e－x)][1＋(e x＋e－x)]＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，当x＞0时，h(x)＜h(0)＝0．所以g()－g(－)＜0，从而g()＜g(－)，又g)＝g()＝0，所以g()＜g(－)，因为g(x)在(－∞，0)上单调递减，，－∈(－∞，0)，所以＞－，故＋＞0．（ⅱ）f(x)＋f(－x)＝4e x－e－2x＋4e－x－e2x＝－(e x＋e－x)2＋4(e x＋e－x)＋2 ＝－(e x＋e－x－2)2＋6≤6．由（ⅰ）得＋＞0，所以＞－＞0，由f(x)在(，)上单调递减，可得f()＜f(－)，从而有f()＋f()＜f()＋f(－)≤6，所以f()＋f()＜6．【点睛】本题考查导数与函数的单调性，利用导数证明不等式，构造函数的思想，转化化归能力，是难题22．在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆，的极坐标方程；（2）设，分别为，上的点，若为等边三角形，求.【答案】（1）C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ（2）．【解析】（1）由直角坐标方程与极坐标方程的互化即可求解；（2）设A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜，由ρA＝2cosθ=ρB＝－4cos(θ＋)，得tanθ，则可求ρA【详解】（1）依题意可得，圆C1：(x－1)2＋y2＝1；圆C2：(x＋2)2＋y2＝4．所以C1：x2＋y2＝2x；C2：x2＋y2＝－4x，因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，所以C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ．（2）因为C1，C2都关于x轴对称，△OAB为等边三角形，所以不妨设A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜．依题意可得，ρA＝2cosθ，ρB＝－4cos(θ＋)．从而2cosθ＝－4cos(θ＋)，整理得，2co sθ＝sinθ，所以tanθ＝，又因为0＜θ＜，所以cosθ＝，|AB|＝|OA|＝ρA＝．【点睛】本题考查极坐标方程，ρ的几何意义的应用，三角函数，利用ρA＝ρB求得θ是突破点，是中档题23．已知.（1）若，求的取值范围；（2）若，的图像与轴围成的封闭图形面积为，求的最小值.【答案】（1）a≤－1（2）4＋8．【解析】（1）由绝对值三角不等式求的最小值即可求解；（2）去绝对值化简f(x)，得到与轴围成的封闭图形为等腰梯形，再利用题型面积公式及基本不等式求解即可【详解】（1）因为|ax＋1|＋|ax－1|≥|(ax＋1)－(ax－1)|＝2，等号当且仅当(ax＋1)(ax－1)≤0时成立，所以f(x)的最小值为2－2a－4＝－2a－2．依题意可得，－2a－2≥0，所以a≤－1．（2）因为a＞0，f(x)＝|ax＋1|＋|ax－1|－2a－4，所以f(x)＝所以y＝f(x)的图像与x轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD，如图所示且顶点为A(－1－，0)，B(1＋，0)，C(，－2a－2)，D(－，－2a－2)从而S＝2(1＋)(a＋1)＝2(a＋)＋8．因为a＋≥2，等号当且仅当a＝时成立，所以当a＝时，S取得最小值4＋8．【点睛】本题考查绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，第二问的关键是确定图形形状，准确计算是关键，是中档题。

2019-2020学年河北省唐山市高三9月摸底考试数学(理)试题2019-2020学年河北省唐山市高三9月摸底考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1.若集合A、B、C、D满足A∩B=C∩D，则D为（）。

A。

A∪B。

B。

A∩D。

C。

B∩D。

D。

A∪C2.设命题：p:∣x∣>1，q:x2>1，则下列命题的否定命题是（）。

A。

p∨q。

B。

p∧q。

C。

¬p∧¬q。

D。

¬p∨¬q3.已知∠A、∠B、∠C的内角和为180°，且∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c，则（）。

A。

ab>c。

C。

ac。

D。

a>b<c4.已知△ABC中，∠B=120°，AB=√3，BC=1，则AC=（）。

A。

1.B。

√3.C。

2.D。

2√35.已知函数f(x)=x3+3x2-3x-5，则f(-2)的值为（）。

A。

1.B。

-1.C。

0.D。

26.在平面直角坐标系中，直线2x-y+1=0与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则点P(1,2)关于直线AB的对称点为（）。

A。

(-1,0)。

B。

(-1,2)。

C。

(1,0)。

D。

(3,2)7.函数y=2x-3在直线x=k上的截距为5，则k的值为（）。

A。

-1.B。

1.C。

2.D。

38.已知两个单位向量的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是（）。

A。

(1/2,√3/2)。

B。

(-1/2,√3/2)。

C。

(1/2,-√3/2)。

D。

(-1/2,-√3/2)9.已知函数f(x)=x3-3x，则f(x)在x=1处的切线斜率为（）。

A。

2.B。

3.C。

1.D。

-310.已知函数f(x)=xlnx，在(1,∞)上单调递增，其图象关于直线y=x对称，则“f(x)在x=1处有极值”是“f'(x)在(0,1)上存在间断点”的（）。

A。

充要条件。

B。

必要不充分条件。

C。