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三角恒等变形【学习目标】1•进一步掌握三角恒等变换的方法2会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式.对三角函数式进行化简、求值和证明.Q知识梳理----------------------------i.两角和与差的正弦、余弦、正切公式COS(a— 3 = _____________________ .COS(a+ 3 = ______________________ .sin( a+ 3= ________________________ .sin( a— 3= ________________________ .tan( a+ 3 = ________________________ .tan( a— 3 = _______________________ .2•二倍角公式sin 2 a= ______________________ .COS 2 a= ________________ = ____________________ = ________________________ . tan 2 a= ___________________ .3 •升幕公式1 + COS2 a= _________________ .1 —COS2 a= _________________ .4 •降幕公式. 2sin XCOS x= _______________ ,COS x= __________ ,.2sin x= ___________________ .5. 和差角正切公式变形tan a+ tan 3= ________________________ ,tan a—tan 3= _______________________ .6. 辅助角公式y= asi n wx+ bcos wx= ________________________ .题型探究类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用4 1例 1 已知a, B为锐角，cos a= -, tan( a— 3 =——，求cos B 的值.5 3反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，女口a= 2 ^2 I,a= ( a+ 3 —3 a= 3—( 3— a),1 1a= 2【(a+ 3 + ( a— , = 2【(a+ 3)—( a— 3］等.跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐F'角a, 3它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点，已知A, B的横坐标分别为10 5(1)求tan( a— 3 的值;⑵求a+ 3的值.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f(x)= sin x+ cos x+ sin x c os x, x € R的最值及取到最值时x的值.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个 “元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来. 跟踪训练2 求函数y = sin x + sin 2x — cosx(x € R )的值域. 类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用 例 3 已知函数 f(x) = 2y[3s in(x — 3 n )sirix —扌片 2sin 2卜 + 字—1, x € R . (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 0,扌上的最大值和最小值； ⑵若 f(x o ) = 5, x o € n ，尹求 cos 2x o 的值. 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型 (余弦型) 函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和 (差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类 和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和 性质.跟踪训练3 17 n 7 n r 石<x<‘求 sin 2x + 2sin 2x 1 — tan x 的类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4 已知sin x + 2cos y = 2，求2sin x + cos y 的取值范围.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或 三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4 已知关于B 的方程 3cos 0+ sin 0+ a = 0在区间(0,2 n 上有两个不相等的实数解a, 求 COs( a+ 3 的值.5 .已知函数 f(x)= cos x sin(x + 3)— . 3cos 2x + 丁，x € R .⑴求f(x)的最小正周期;n n⑵求f(x)在闭区间［—4, 4】上的最大值和最小值.当堂训练5 1 .若 a 是第三象限角，且 sin( a+ 3cos 3— sin 3cos( a+ 3)=— 13,则tan 扌等于( 2 .已知 2 .2 A. 32C.33 .已知5 12B .—石 C.石 D . 50是第三象限角，且 sin 40+ cos 4 0= 5」sin 2 0等于( 1 1 ntsin a+ cos 3= 3, sin 3- cos a=夕 贝U sin( a- 3 =4 .设a 为锐角，若cos a+ 6 = 4 5，贝U sin 2 a+ 的值为「-规律与方法-------------------------------- )本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确, 快速化到最简，再进一步研究函数的性质.知识梳理 tan a+ tan 3 tan a — tan 3 sin ocos 3— cos a sin 3 ----------------- -----------------1 — tan O an 3 1 + tan %tan 32 . 23. 2cos a 2sin a 6「J a 2 + b 2s in( 3X+ 0)题型探究4例1 解 T a 是锐角，cos a= 4,5••• tan 3= tan[ a — (a — 3)]tan a — tan a — 3 ] 131 + ta n dtan a — 3 9跟踪训练1解（1）由题可知，cos a= ^y 10, cos 3=纠5. 10 5答案精析由于a, 3为锐角，则 sin a= 1^0, sin 3=中，故 tan 1 1a= 3, tan 3= 2,17.⑵因为tan(a+ 3)= =1,sin a= 10 2 sin 3= 1. cos a cos 3+ sin osin 3cos a cos 3— sin o sin 3 sin 久cos 3+ cos asin 32. 2sin ocos a2.2 2 cos a — Sin a 2COS a — 1 1 — 2si n 2 a 2ta n a 1 — tan a 4. sin 2x 2 1 + cos 2x 1 — cos2x5. tan( a+ 3)(1 — tan atan 3) tan( a — 3)(1 + tan a an 3 3a = 5, tan a= 3. 43是锐角, 二 cos 3= 9 .'1050即 0< a+ 仟2，故 a+ 3= 4. 例 2 解设 sin x + cos x = t ,二 t € [ — ■■,.：1 2, 2], 2 2 (s in x + cos x ) — 1 t — 1 /• sin x cos x = = ---- 2 2 ■/ f(x) = sin x + cos x + sin x cos x , 1f(x)取得最大值 2 + -.跟踪训练2 解 令sin x — cos x = t ,则由 t = 2sin x — n 知，t € [ — 2, 2].2 2又 sin 2x = 1 — (sin x — cos x) = 1 — t , 二 g （t ）=t +亍=抽 1）2-1, t € [ — 2,,2]. 贝U t = sin x + cos x当 t =— 1，即卩 sin x + cos x =— 此时，由sin x + =— 卡，解得 x = 2k n — n 或 x = 2k n — 2, 1当 th, 2,即 卩 sin x + cos x = . 2时，f(x)max =, 2 + 2， 此时，由 72sin y+ n =72即 sin x + = 1,n解得 x = 2k n+ 4, k € Z .nn 综上，当 x = 2k n — n 或 x = 2k n — 3, k € Z 时，f(x)取得最小值一 1 ;当 x = 2k n+ — , k € Z 时,1 时，f(X )min =— 1 , k € Z .2• y = (sin x — cos x) + sin 2x = t + 1 — t当 t = — • 2时，y min = —— 1. 例 3 解 ⑴ 因为 f(x) = 3(2sin xcos x)+ (2cos 3x — 1) = 3sin2x + cos 2x = 2sin 2x + g , 所以f(x)的最小正周期为 n.又因为x € [o , n ,所以 2x + [g, 77], 所以f(x)的最大值为2，最小值为—1.(2)由(1)可知, f(x o )= 2sin 2x o + 才.又因为f(x o ) = 6,所以 sin [2x 0+ n= |. 由X 。
(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
《数乘向量》教学设计一设计思路本节内容是在学生掌握向量加减法的基础上，学习实数与向量的积的运算。
首先通过分析，让学生认识到现实世界中存在着大量数与向量积的实际背景，从而引入数乘向量运算，引导学生理解数乘向量即是求几个相同向量的和。
其次讨论它们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后过渡到一般的向量数乘运算的定义。
引入向量数乘运算后，考察这种运算的运算律。
在介绍完数乘运算的定义和运算律之后，接着分析在数乘向量的定义中实际上已经蕴含了向量共线的判定定理和性质定理。
本节课总共设计了三个例题，例1是要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律。
例2给出了利用定理证明向量共线的发法。
例3属于课后探究题，这节课不予解答，让学生自我探究，相互交流，下节课予以探讨，得出判断三点共线的一个方法。
二教学目标1知识与技能:⑴掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义。
⑵掌握实数与向量积的运算律。
⑶理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行。
2过程与方法:能熟练地运用数乘运算的定义、律进行有关计算，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3 情感态度与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
三教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：正确的运用法则、运算律，进行向量的线性运算，向量共线定理的应用。
四教学准备认真阅读教材，分析教材、教参，了解学生的学情，制作课件。
五教学过程（一）复习回顾（采用提问方式）问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新知探究探究一：向量的数乘运算及其几何意义【探究活动1】已知非零向量a，作出aa+和（学生先自我作答，再找一名学生将自己的答案展示在黑板上）问题1：→a2和→-a2的大小和方向与→a有什么关系？)()(→→-+-aa问题2：你能说出→a 2和→-a 2的几何意义？（学生讨论交流，选出代表予以作答，教师作适当点评。
数乘向量教学目标一、知识与技能1、掌握向量数乘运算概念及运算定律，理解向量共线定理。
2、会运用定义、运算律进行有关计算。
二、过程与方法深入对定理的理解，会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
三、情感态度与价值观由情景引入，由抽象到具体，由难到易，激发学生的数学兴趣，培养学生独立自主，自我发现，自我概括的能力，使得学生在以后的数学学习上能够自由，自主去探索去发现。
教学重点与难点1.重点：向量数乘运算概念及运算定律，向量共线定理的运用。
2.难点：向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。
教学准备多媒体课件、电脑画板教学过程一、情景引入活动一：体会实际，感受新知在疾风骤雨，雷电交加的晚上，我们都是先看到闪电，后来听到雷声？（展示所找到的关于雷电的影像进行播放）这是因为在同一方向上光速远远大于声速。
经测量,光速大小约为声速的5107.8⨯倍。
活动二：自我实验，学会新知教师让学生准备小皮筋，自己进行拽拉，固定一边，朝同一方向，两边同时，朝不同方向，看看会发生什么有趣的现象（可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论）。
组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案，进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。
（学生自由在电脑面板进行发言，老师进行总结。
）由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量，他们是共线，而且大小之间存在倍数关系。
因此，有必要定义实数与向量积的运算。
二、讲述新知，感悟理解例如，对于向量3a ，我们都知道3个a 相加（可进行画图讲解），即3a =a +a +a .由向量的加法的意义可知，3a 仍是一个向量，它的长度为a 的三倍，方向与a 相同；向量-3a 是3a 的相反向量，他的长度与3a 相同，也是a 的3倍，它的方向与a 的方向相反。
三、新知概括，深入探究1、a 请大家画出非零向量a ，并且做出3a 与0a ,-2a ,. a 。
(按照学生的编号，让5-10号码的同学进行回答。
宝宝宝宝嘻嘻嘻椭圆的简单性质[A. 基础达标 ]x 2 y 2所截得的线段的中点坐标是 ()1．直线 y ＝ x ＋1 被椭圆＋ ＝ 1422 547 A. 3， 3B. 3，3C. 2 1D. － 13 11－ ，，－ 23 32y ＝ x ＋ 1，分析：选 C. 设截得线段两头点坐标为 ( x 1， 1) ，( x 2， 2) ，中点为 ( x 0， 0) ，由 x 2 y 2yyy4＋ 2＝1，代入消元整理得 32x2x 1＋4xx 1＋ x 22 0＋ 4－ 2＝0， ＝4 ＋4×6>0，2＝－ ，因此0＝＝－ ，xx32y31＝x 0＋ 1＝ 3.x2y22．已知直线 l 过点 (3 ，－ 1) ，椭圆 C 的方程为 25＋36＝ 1，则直线l 与椭圆 C 的公共点的个数为 ( )A ． 1B ．1或2C ． 2D ．0x 2y 2 32 （－1）2分析：选 C. 把点 (3 ，－ 1) 代入 25＋ 36＝1 得 25＋36<1，因此点 (3 ，－ 1) 在椭圆内部，故直线 l 与椭圆有两个公共点．2x23．已知直线l ： x － y ＋ m ＝ 0 与椭圆 C ： ＋ y ＝ 1 交于不一样的两点A ，B ，且线段 AB 的225中点不在圆 x ＋ y ＝ 9内，则 m 的取值范围为 ()A ． ( －∞，－ 1] ∪[1 ，＋∞)B ．[ － 3，－1] ∪[1 ， 3]C ． [ －1， 1]D ．( － 3，－1] ∪[1 ， 3)分析：选 D. 联立 x － y ＋m ＝ 0，得：3x2＋ 4 ＋2 2－2＝0，由 >0 得 ∈(－ 3，3) ，x 2＋ 2y 2＝ 2 mx mm4m1 2，2m2m mx ＋ x ＝－ 32y 1＋ y 2＝ x 1＋ m ＋ x 2＋ m ＝ ，故 AB 中点坐标为 ( － ， ) ，因为 AB 中点2－ 23 3 312m，x x＝32252m 2m 2 52不在圆 x ＋y ＝内，因此 (－) ＋()≥，即m ≥1，9 3 39故 m ∈( － 3 ，－ 1] ∪[1 ， 3) ．x 2 y 24．直线 y ＝－ 3x 与椭圆 C ： a 2 ＋ b 2＝ 1( a >b >0) 交于 A 、 B 两点，以线段 AB 为直径的圆13 A. 2 B. 3－1 C.3－ 1 D ．4－ 2 32分析：选 B. 设 A 在 y 轴左边，其坐标设为A ( x 0，－ 3x 0) ，则B ( － x 0， 3x 0) ，设 F 1，1 12 3x－ 2 F 为椭圆的左、 右焦点， O 为坐标原点， 则 c ＝2| AB ＝2（ x ＋ x ） ＋（－ 3x ） ＝20 02| x | ，因此 F 2( －2x 0， 0) ， F 1(2 x 0，0) ， | AF 2| ＝ 2 3| x 0| ， | AF 1| ＝ 2| x 0| ，因为 | AF 1| ＋ | AF 2| ＝c 2| x 0|2a ，因此 a ＝ (3 ＋1)| x ，因此 e ＝ a ＝（3＋1） | x |＝ 3－1.x 2y 2x ＋2y －5．椭圆 16＋ 4 ＝ 1 上的点到直线 2＝ 0 的最大距离为 ()A ． 3 B.11C. 10D ．2 2分析：选 C. 易判断直线 x ＋ 2y －x 2 y 2x ＋ 2y －2＝ 0 与椭圆 16＋ 4 ＝ 1 订交，令与直线 2＝x 2 y 2220 平行的直线方程为 x ＋ 2y ＋ C ＝0 代入 16＋ 4 ＝ 1，化简整理得 8y ＋ 4Cy ＋ C －16＝ 0，则＝ 16C 2－ 32( C 2－16) ＝ 0，C ＝±4 2.由图 ( 图略 ) 可知 C ＝ 4 2. 切线 x ＋ 2y ＋ 4 2＝ 0 与直线 x ＋ 2y － 2＝ 0 间的距离为4 2＋ 2＝ 10.5x 2 y 21 1M 在 y 轴上，6．椭圆 12＋ 3 ＝ 1 的一个焦点为F ，点 P 在椭圆上．假如线段 PF 的中点 那么点 M 的纵坐标是 ________．32（ 2 0） 2分析：设 M 的纵坐标为 y 0，F 1 为其左焦点， 则 F 1( － 3，0) ，可得 P (3 ，2y 0) ，故 12＋y33＝1，解得 y 0＝± 4 .3答案：± 4x 2 y 2＝ 1( a >b >0) 的离心率为 2y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，7．椭圆 a 2＋ b 2 2 ，若直线 则 k 的值为 ________．x 2 y 2b 2 k 2b 22分析：由题意知，交点坐标为( b ， kb ) ，代入 a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 得a 2 ＋ b 2 ＝ 1，因此kb 2c 2＝1－ a 2＝ a 2，2因此 k ＝± e ＝± 2 .2答案：± 2x 2 y 2＝ 1( a >b >0) 的离心率为 6M 作直线 MA ，MB 分别交椭8．已知椭圆 a 2 ＋ b 2 3，过椭圆上一点 圆于 A ， B 两点，且斜率分别为k ， k ，若点A ，B 对于原点对称，则 k ·k ＝ ________．12122 22 222b x2 2 b x 1分析：设点 M ( x ， y ) ， A ( x 1， y 1) ， B ( － x 1，－ y 1) ，则 y ＝ b － a 2， y 1＝ b － a 2，y － y 1 222211 y ＋ y 1 y － y 1b c2－2－1＝－因此 k 1·k 2＝·＝ 22 ＝－ 2＝1＝ e ，即 k 1· k 2的值为－ .x － x 1 x ＋ x 1 x － x 1a a331答案：－ 39．椭圆 ax 2＋ by 2＝ 1 与直线 x ＋ y －1＝ 0 订交于 A ，B 两点， C 是 AB 的中点，若 | AB |＝2 2 2， OC 的斜率为，求椭圆的方程．2解：法一：设 A ( x 1， y 1) 、 B ( x 2 ，y 2) ，代入椭圆方程并作差得， a ( x 1＋ x 2)( x 1－ x 2) ＋ b ( y 1＋ y 2)( y 1－ y 2) ＝ 0.而 y－ y 2 ＝－ 1， y ＋ y ＝k OC ＝ 2 ，11 2x 1－ x 2x 1＋ x 2.再由 | 21＋ ·|1|＝ 2|1|＝2 2，此中代入上式可得＝ 2a| ＝2 x2－x 2－ x 1 、 2bABkxxx 是方程 ( a ＋b ) x 2－ 2bx ＋b － 1＝ 0 的两根，故 2b2－4· － 1＋ b b ＝ 4，a a ＋ b1 2将 b ＝ 2a 代入得 a ＝ 3，因此 b ＝ 3 ，x 22 y 2因此所求椭圆的方程是 3 ＋3 ＝ 1.ax 2＋ by 2＝ 1，法二：由 得( a ＋ b ) x 2－2bx ＋ b － 1＝ 0.x ＋y ＝ 1，设 A ( x 1，y 1) 、 B ( x 2，y 2) ，则| |＝（ k 2＋ 1）（ x1－ 2） 2ABx＝ 2·4b 2－ 4（ a ＋ b ）（ b － 1）.（ a ＋b ） 2＋ － ab因为 | AB | ＝2 2，因此 a ba ＋b ＝1. ①设 (， ) ，则 ＝ x ＋ x＝b，C xyx 122a ＋ bay ＝ 1－x ＝ a ＋ b ，2a2 1 2x 2因为 OC 的斜率为 2 ，因此 b ＝ 2 . 代入①，得 a ＝3，b ＝ 3 . 因此所求椭圆的方程为3＋2 2 3y＝ 1.2x 2 y 210．已知离心率为2 的椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 过点 M (6，1)．(1) 求椭圆的方程；228(2) 已知与圆 x ＋ y ＝3相切的直线 l 与椭圆 C 订交于不一样两点 A ，B ，O 为坐标原点，求 → → OA · OB 的值．解： (1) 因为 ＝ 2，e 2又椭圆 过点 ( 6，1)，3a 2 －b 21a 2 ＝2，a 2＝ 8，因此1 解得6b 2＝ 4.a 2 ＋b 2＝ 1，x 2 y 2因此椭圆方程为 8＋ 4＝1.(2) 设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，2当直线 l 的斜率不存在时， l ： x ＝± 3 6，则 x ＝ x2 6， y ＝－ y ， ＝± 3121 2→ → 22因此 OA · OB ＝ x 1－ y 1＝ 0. 当直线 l 的斜率存在时，设 l ：y ＝ kx ＋ m ，因为 l 与圆相切得：| m |＝ 2 2k 2，2－ 82－ 8＝ 0. ＋ 13因此 3mk将 l 的方程代入椭圆方程得： (1 ＋2 2) 2 ＋ 4 ＋ 2 2－ 8＝ 0，k x kmx m 2因此 x 1 2 4km 1 2 2m － 8＋x ＝－ 1＋ 2 2，x x ＝ 1＋ 2 k 2，k22→ →2＋km ( x ＋ x23m － 8k － 8因此 OA · OB ＝ x x ＋ y y ＝(1 ＋ k ) x x) ＋ m ＝1＋ 2k 2 ＝0，1 2121 212综上， →· → ＝ 0.OA OB[B. 能力提高 ]1．已知点 ( ， )在椭圆 8 2＋ 3 2＝ 24 上，则 2 ＋ 4 的取值范围是 ()mnx ymA ．[4 － 2 3，4＋ 2 3]B ．[4 － 3， 4＋ 3]C ．[4 － 2 2，4＋ 2 2]D ．[4 － 2， 4＋ 2]22分析：选 A. 该椭圆的标准方程为 x ＋ y＝ 1，故 x ∈[ － 3， 3] ，故 ∈[－ 3， 3] ，3 8 m因此 2 ＋4∈[4 － 2 3， 4＋2 3] ．m2．以 F 1( －1，0) 、F 2(1 ，0) 为焦点且与直线 x － y ＋3＝ 0 有公共点的椭圆中，离心率最 大的椭圆方程是 ( )x 2 y 2x 2 y 2 A. 20＋ 19＝ 1B.9＋8＝1x 2 y 2＝1x 2 y 2C. ＋4D. ＋＝ 15x2y232分析：选 C. 设椭圆方程为 a 2＋ a 2－ 1＝ 1( a >1) ，22y2x 2＋＝ 1，由aa － 1x － y ＋ 3＝ 0，2－1) x 2224＝ 0，得 (2 a ＋ 6a x ＋(10 a － a ) 由 Δ≥0，得 a ≥ 5，c 1 5e ＝ a ＝ a ≤ 5 ，此时 a ＝ 5，x 2 y 2故椭圆方程为 5＋ 4＝1.x223．已知椭圆＋y 21， 2 ，点 ( 0，x 0 2，则 |1|＋：＝ 1 的两焦点为0) 知足 0<2＋ 0<1C 2F FP x yyPF| PF | 的取值范围为 ________．22x 02分析：因为 0< ＋y 0<1，因此 P ( x 0， y 0) 在椭圆内部．2因此 | F 1F 2| ≤ | PF 1| ＋ | PF 2|<2 a ，即 2≤|PF | ＋ | PF |<2 2.12答案： [2 ，22)24. 如下图，在平面直角坐标系xOy 中， 1， 2， 1， 2 为椭圆x2AAB Bay 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 的四个极点， F 为其右焦点， 直线 A 1B 2 与直线 B 1F 订交 于点 T ，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离 心率为 ________．222x分析：设 F ( c ，0) ，则 c ＝ a － b . 由题意，得直线 A 1B 2 的方程为 － ay 的方程为 x y ＝1. 将两个方程联立， 解得 (2ac b （ a ＋c ）ac＋ ＝1，直线 1 ＋ ， a － c )，则 ( ，b BFc － b T a －cMa － c（ ＋ c ） x 2y 2b a2（ a － c ）) ．又点 M 在椭圆 a 2＋b 2＝1( a >b >0) 上，c 22＋ （a ＋ c ） 22－ 322因此2＝ 1，整理，得c＋ 10a＝ 0，即e ＋ 10 － 3＝ 0，解得（a － c ） 4（ a － c ）acee ＝ 2 7 －5 或 e ＝－ 2 7－5( 舍去 ) ．答案： 2 7－55．已知△ ABC 的周长为 12，极点 A ， B 的坐标分别为 ( － 2， 0) ， (2 ， 0) ， C 为动点．(1) 求动点 C 的轨迹 E 的方程；(2) 过原点作两条对于 y 轴对称的直线 ( 不与坐标轴重合 ) ，使它们分别与曲线 E 交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．解：(1) 由题意知 | | ＋ | | ＝12－ 4＝ 8>| | ，因此动点 C 的轨迹是椭圆的一部分． 因CA CB AB为 a ＝ 4， c ＝ 2，因此 b 2＝ 12，x 2 y 2因此曲线 E 的方程为 16＋ 12＝ 1( x ≠± 4) ．(2) 设两直线的方程为 y ＝kx 与 y ＝－ kx ( k >0) ，记 y ＝kx 与曲线 E 在第一象限的交点为 ( x 0， y 0) ，x 2 y 2 248 y ＝ kx 与 16＋ 12＝1 联立得 x 0＝ 3＋ 4k 2 ，2192k 1923，当且仅当 33因此 S ＝ 4kx 0＝ 3＋4 2，因为 k >0，因此 S ＝3≤ 16 ＝ 4k ，即 k ＝2 时，kkk ＋ 4k等号建立．因此 k ＝3时四边形面积的最大值为16 3.2C 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x 轴上，椭圆6．( 选做题 ) 如图，已知椭圆1C 2 的短轴为 MN ，且 C 1，C 2 的离心率都为 e . 直线 l ⊥MN ， l 与 C 1 交于两点，与 C 2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小挨次为，，，.A B C D宝宝宝宝嘻嘻嘻1(1) 设 e ＝ 2，求 | BC | 与 | AD | 的比值；(2) 当 e 变化时，能否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明原因．解： (1) 因为 C 1， C 2 的离心率同样，故依题意可设x 2 y 2b 2y 2 x 2C 1： a 2＋ b 2＝ 1， C 2： a 4 ＋ a 2＝1( a >b >0) ．设直线 l ： x ＝ t (|1 2t |< a ) ，分别与 C，C 的方程联立，求得a22b 22A ( t ，b a － t ) ，B ( t ， a a － t ) ．132| y B | b 2当 e ＝ 2时， b ＝ 2 a ，分别用 y A ，y B 表示 A 、B 的纵坐标，可知 | BC | ∶|AD | ＝ 2| y A | ＝ a 2＝3 .4(2) 当 t ＝0时的 l 不切合题意，当t ≠0时，∥当且仅当的斜率k OB与的斜BOANOBAN率 k AN 相等，即ba 2－2a2－ 2atbatt＝t － a ，ab 2 1－ e 2解得 t ＝－ a 2－ b 2＝－ e 2 · a .1－ e 2 2因为 | t |< a ， 0<e <1，因此e2<1，解得 2 <e <1.2因此当 0<e ≤ 2 时，不存在直线l ，使得 BO ∥ AN ；2当 2 <e <1 时，存在直线l ，使得 BO ∥ AN .。
一、三角恒等变形公式 1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系：tan α＝sin αcos α.(2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin 2α＋cos 2α＝1；切化弦；sin α±cos α平方整体代换．2．和(差)角公式(1)公式C α－β，C α＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式S α－β，S α＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；T α±β的符号规律为“分子同，分母反”．(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．3．二倍角公式(1)分别令公式C α＋β，S α＋β，T α＋β中的α＝β，即得公式C 2α，S 2α，T 2α.(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．(3)公式变形升幂公式：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.4．半角公式半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由α2所在的象限确定相应三角函数值的符号．二、公式的应用途径(1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的．(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开．(3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论．如 ①1－sin 2α＝cos 2α，1－cos 2α＝sin 2α；②tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， 1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan （α＋β）；③sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α；④sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2；⑤2tan α＝tan 2α(1－tan 2α)等． 三、常见的三角恒等变形(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型． (2)应用公式进行三角函数式的化简． (3)应用公式进行三角函数式的证明． 注意的问题 (1)“1”的代换在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”．例如，1＝sin 2α＋cos 2α，1＝tan π4，1＝cos 2α＋2sin 2α，1＝2cos 2α－cos 2α等．(2)辅助角公式辅助角公式几乎高考必考，即a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(tan φ＝ba)．常见的有以下几个：sin α±cos α＝2sin(α±π4)，3sin α±cos α＝2sin(α±π6)，sin α±3cos α＝2sin(α±π3)．四、三角恒等变形技巧常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化．[典例1] (江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．[解析] 因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝22×1725＝17250. [答案]17250[借题发挥] 1.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．2．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝α＋(α－β)，β＝α＋β2－α－β2，(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，(α＋π4)＋(β－π4)＝α＋β，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细地观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程．[对点训练]1．已知sin(π4－α)sin(π4＋α)＝26(0<α<π2)，求sin 2α的值．解：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎦⎥⎤π4＋α，∴26＝sin(π4－α)sin(π4＋α)＝sin(π4＋α)cos(π4＋α) ＝12sin(π2＋2α) ＝12cos 2α， ∴cos 2α＝23.∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴sin 2α＝73.[典例2] 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.[解] ∵0°<α<90°，且tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝17，sin α＝437.∵cos(α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°，∴sin(α＋β)＝1－（－1114）2＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0°<β<90°，∴β＝60°.[借题发挥] 1.“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角．2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．[对点训练]2．在△ABC 中，如果4sin A ＋2cos B ＝1，2sin B ＋4cos A ＝33，则角C 的大小为________． 解析：由4sin A ＋2cos B ＝1， 2sin B ＋4cos A ＝33， 两边平方相加得sin(A ＋B )＝12.如果A ＋B ＝π6，则B <π6，∴cos B >12与条件4sin A ＋2cos B ＝1矛盾．∴A ＋B ＝5π6，C ＝π6.答案：π6[典例3] 化简：2cos 2α－12tan （π4－α）sin 2（π4＋α）.[解] 法一：原式＝2cos 2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·sin 2（π4＋α）＝2cos 2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·cos 2（π4－α）＝2cos 2α－1sin （π2－2α）＝cos 2αcos 2α＝1.法二：原式＝cos 2α2×1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. [借题发挥]1．三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方、去根号．2．由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中， 应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数式的化简与证明．[对点训练]3．求证：tan （α＋β）－tan α1＋tan βtan （α＋β）＝sin 2β2cos 2α.证明：tan(α＋β)－tan α＝sin （α＋β）cos （α＋β）－sin αcos α＝sin （α＋β）cos α－sin αcos （α＋β）cos （α＋β）cos α＝sin βcos （α＋β）cos α.1＋tan βtan(α＋β)＝1＋sin βcos β·sin （α＋β）cos （α＋β）＝cos βcos （α＋β）＋sin βsin （α＋β）cos βcos （α＋β）＝cos （α＋β－β）cos βcos （α＋β）＝cos αcos βcos （α＋β）.∴左边＝sin βcos βcos （α＋β）cos 2αcos （α＋β）＝sin 2β2cos 2α＝右边．[典例4] (山东高考)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．[解] (1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A (32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]． [借题发挥]1．以向量为背景，综合考查向量、三角恒等变形、三角函数的性质是近几年高考的热点问题．解决此类问题要注意三角恒等变形中由于消项、约分、合并等原因，可能使函数定义域发生变化，所以要在变换前注意三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．2．三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．[对点训练]4．(广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．计算sin 21°cos 9°＋sin 69°sin 9°的结果是( )A.32 B.12C ．－12D ．－32解析：选B 原式＝sin 21°cos 9°＋sin(90°－21°)sin 9° ＝sin 21°cos 9°＋cos 21°sin 9° ＝sin 30°＝12.2．(辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A ∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2， ∴sin 2α＝－1.3．(重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－2＝－3.4．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.54C ．1 D.34解析：选D 原式＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. 5．(山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45 C.74 D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.6．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625 C.1425 D.1925解析：选A sin 2x ＝cos(π2－2x ) ＝cos 2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－1825＝725.7．若α，β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β的值为( )A.255B.2525C.255或2525 D ．－2525解析：选B 由sin α＝255，α为锐角知cos α＝55.∵sin α＝255>sin(α＋β)＝35，∴α＋β∈(π2，π)，∴cos(α＋β)＝－45.∴cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin αsin (α＋β)＝2525.8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x 的图像的一个对称中心是( ) A ．(π3，－32) B ．(2π3，－32)C ．(2π3，32)D ．(π3，32)解析：选D y ＝12sin 2x ＋3（1＋cos 2x ）2＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32 ＝sin(2x ＋π3)＋32，当x ＝π3时，sin (2×π3＋π3)＝0.∴(π3，32)是函数图像的一个对称中心．9．(江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.10．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x cos x sin 65π的递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π10，k π＋35π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π20，k π＋720π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π10，2k π＋35π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－25π，k π＋π10(k ∈Z ) 解析：选D y ＝cos 2x cos π5＋sin 2x sin π5＝cos(2x －π5)．∴2k π－π≤2x －π5≤2k π，k ∈Z .∴k π－25π≤x ≤k π＋π10，k ∈Z .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，则tan(π4＋α)等于________．解析：由已知得tan α＝－34，所以tan(π4＋α)＝1－341＋34＝17.答案：1712．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么cos 2θ的值为________．解析：(sin θ2＋cos θ2)2＝1＋sin θ＝43，sin θ＝13，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79.答案：7913．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos A ＋2cos B ＋C2取得最大值，且这个最大值为________．解析：cos A ＋2cosB ＋C2＝cos A ＋2sin A2＝1－2sin 2A 2＋2sin A2＝－2sin 2A 2＋2sin A2－1 ＝－2(sin A 2－12)2＋32，当sin A 2＝12，即A ＝60°时，得(cos A ＋2cos B ＋C2)max ＝32. 答案：60° 3214．已知α是第二象限角，且sin α＝154，则sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝________．解析：∵α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－14.sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）2cos α（sin α＋cos α）＝222cos α＝－ 2.答案：－ 2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)化简sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：法一：原式＝sin[（α＋β）＋α]sin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α＋cos （α＋β）sin αsin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos αsin α－cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α.法二：原式＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－2（cos αcos β－sin αsin β）sin αsin α＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－sin 2αcos β＋2sin 2αsin βsin α.＝（1－2sin 2α）sin β＋2sin 2αsin βsin α＝sin βsin α. 16．(本小题满分12分)已知sin(5π＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，tan β＝12.(1)求tan(α－β)的值； (2)求sin(2α＋π3)的值．解：(1)由条件得sin α＝35.又α∈(π2，π)，所以tan α＝－34.故tan (α－β)＝－34－121＋（－34）×12＝－2.(2)由条件得sin α＝35.又α∈(π2，π)，得cos α＝－45.所以sin 2α＝2×35×(－45)＝－2425，cos 2α＝(－45)2－(35)2＝725.故sin(2α＋π3)＝－2425×12＋725×32＝73－2450.17．(本小题满分12分)(北京高考)已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{}x ∈R |x ≠k π，k ∈Z . 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．18．(安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α的值等于( )A ．－35 B.35C.45 D ．－45 解析：选C sin α＝4（－3）2＋42＝45. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝ 3.3．已知cos α＝35，0＜α＜π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.15B.17C ．－1D ．－7解析：选D 因为cos α＝35＞0，0＜α＜π，所以0＜α＜π2，sin α＞0，所以sin α＝45，故tan α＝43，所以tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan α·tan π4＝43＋11－43＝－7. 4．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位后即变成y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝cos(2x ＋1)的图像．5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同夹角为0°，所以要使a与b 的夹角为锐角，则有a ·b ＞0且a ，b 不共线．由a ·b ＝2＋k ＞0得k ＞－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.7．函数y ＝sin (ωx ＋φ)(x∈R ，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4解析：选C ∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4.又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.8．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( )A.225 B ．－25 C.25 D ．－225解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.10．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．πD ．411．设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减 C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增 D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 解析：选A y ＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin (ωx ＋φ＋π4)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减．.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 13．已知cos x ＝2a －34－a ，x 是第二、三象限的角，则a 的取值范围为________．解析：－1＜cos x ＜0，－1＜2a －34－a ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧2a －34－a ＜0，2a －34－a ＞－1.∴－1＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 14．已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54. 答案：5415．y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的定义域为________． 解析：∵2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6≥0，∴2k π－π2≤3x ＋π6≤2k π＋π2，∴23k π－2π9≤x ≤23k π＋π9(k ∈Z )，函数的定义域为{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }．答案：{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }16．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin(π2－x )＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)化简：sin （540°－x ）tan （900°－x ）·1tan （450°－x ）tan （810°－x ）·cos （360°－x ）sin （－x ）.解：原式＝sin （180°－x ）tan （－x ）·1tan （90°－x ）tan （90°－x ）·cos x sin （－x ）＝sin x －tan x·tanx ·tan x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x .18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()α＋π·tan （α－π）cos （3π－α）的值．解：(1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1，∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上， ∴由已知得cos α＝45，∴原式＝54. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin(2x －π6)＋2cos 2x . (1)求f (x )的最小值及最小正周期；(2)求使f (x )＝3的x 的取值集合．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x ＝sin 2x ·cos π6＋cos 2x sin π6＋sin 2x ·cos π6－cos 2x ·sin π6＋cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴f (x )min ＝2×(－1)＋1＝－1，最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)∵f (x )＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴使f (x )＝3的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，整理得x ＋2y ＝0.∴y ＝－12x .即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，由(1)知x ＝－2y ，将其代入上式，整理得y 2－2y －3＝0.解得y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，21．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图像与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间；(3)求使y ≥1的x 的集合．解：(1)因为函数图像过点(0，1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6. (2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6， ∴当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin(πx ＋π6)是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12， ∴π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ， 即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ， ∴y ≥1时，x 的集合为{x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z }． 22．(本小题满分12分)已知M (1＋cos 2x ，1)，N (1，3sin 2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，且y ＝ (O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图像可由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像经过怎样的变换而得到； (3)函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求y ＝g (x )的表达式，并比较g (1)和g (2)的大小．解：(1)y ＝f (x )＝＝(1＋cos 2x ，1)·(1，3sin 2x ＋a )＝3sin 2x ＋cos 2x＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a . (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 所以f (x )的最大值为3＋a ＝4，解得a ＝1，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2，其图像可由y ＝2sin(x ＋π6)的图像经纵坐标不变横坐标缩小为原来的12倍，再将所得图像向上平移2个单位得到． (3)设M (x ，y )为y ＝g (x )的图像上任一点，由函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，得M (x ，y )关于x ＝1的对称点M ′(2－x ，y )在y ＝f (x )的图像上，所以y ＝g (x )＝f (2－x )＝2sin[2(2－x )＋π6]＋1＋a ＝2sin(－2x ＋4＋π6)＋1＋a ，g (1)＝2sin(2＋π6)＋1＋a ，g (2)＝2sin π6＋1＋a ＝2sin 5π6＋1＋a . ∵π2＜2＋π6＜5π6＜π， ∴g (1)＞g (2)．。
北师大版高中数学必修四全册导学案目 录第一章 三角函数 (1)§1.1周期现象 (1)§1.2角的概念的推广 (1)§1.3弧度制 (3)§1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义 (5)§1.4.3 单位圆与诱导公式(1) (7)§1.4.3三角函数的诱导公式(2) (9)§1.4.3三角函数的诱导公式(3) (12)§1.5.1.2正弦函数图像 (14)§1.5.3 正弦函数的性质 (16)§1.6.1余弦函数的图像 (18)§1.6.2 余弦函数的性质 (20)§1.7.1 正切函数的定义 (22)§1.7.2 正切函数的图像与性质 (24)§1.7.3 正切函数的诱导公式 (26)§ 1.8.1 )sin(ϕω+=x A y 的图像(第1课时) (28)§ 1.8.2 )sin(ϕω+=x A y 的图像(第2课时) (30)§ 1.8.3 )sin(ϕω+=x A y 的图像 (32)§ 1.9 三角函数的简单应用 (35)§ 1.10 三角函数复习 (37)第二章 平面向量 (39)§ 2.1 从位移、速度、力到向量 (39)§ 2.2.2 向量的减法 (43)§ 2.3.1 数乘向量 (45)§ 2.3.2 平面向量基本定理 (47)§ 2.4.1 平面向量的坐标表示 (49)§ 2.4.2 平面向量的坐标运算 (51)§2.5 从力做的功到向量的数量积 (53)§2.6 平面向量数量积的坐标表示 (55)§2.7.1 向量应用----点到直线的距离公式 (57)§2.7.2 向量应用----物理应用 (59)§2.8.1 章末小结一 (61)§2.8.2 章末小结二 (63)第三章 三角恒等变形 (65)§3.1.1 同角三角函数的基本关系 (65)§3.1.2 同角三角函数的基本关系式 (67)§3.2.1 两角和与差的余弦公式 (69)§3.2.2 两角和与差的正弦公式 (71)§3.2.3 两角和与差的正切公式 (73)§3.3.1 二倍角的三角函数 (75)§3.3.2 二倍角公式的应用 (77)§3.4.1 章末小结一 (79)§3.4.2 章末小结二 (81)第一章三角函数§1.1周期现象§1.2角的概念的推广这当中一些角有什么共同特征？，300，420，780，§1.3弧度制4§1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义§1.4.3 单位圆与诱导公式(1)：先将不是))（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到⎡)内的角的三角函数为锐角的三角函数．“负化正，大化小，小化锐”§1.4.3三角函数的诱导公式(2)§1.4.3三角函数的诱导公式(3)§1.5.1.2正弦函数图像§1.5.3 正弦函数的性质§1.6.1余弦函数的图像§1.6.2 余弦函数的性质§1.7.1 正切函数的定义§1.7.2 正切函数的图像与性质§1.7.3 正切函数的诱导公式§ 1.8.1)sin(ϕω+=x A y 的图像(第1课时)§ 1.8.2)sin(ϕω+=x A y 的图像(第2课时)§ 1.8.3)sin(ϕω+=x A y 的图像§ 1.9 三角函数的简单应用§ 1.10 三角函数复习第二章平面向量§ 2.1 从位移、速度、力到向量§ 2.2.1 向量的加法§ 2.2.2 向量的减法§ 2.3.1 数乘向量§ 2.3.2 平面向量基本定理提示：欲证A，B，线，只需证明共起点的两个向量。
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式．对三角函数式进行化简、求值和证明．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝________________________.cos(α＋β)＝________________________.sin(α＋β)＝________________________.sin(α－β)＝________________________.tan(α＋β)＝________________________.tan(α－β)＝________________________.2．二倍角公式sin 2α＝________________________.cos 2α＝__________________＝____________________＝________________________.tan 2α＝____________________.3．升幂公式1＋cos 2α＝____________________.1－cos 2α＝____________________.4．降幂公式sin x cos x＝______________，cos2x＝____________，sin2x＝____________________.5．和差角正切公式变形tan α＋tan β＝________________________，tan α－tan β＝________________________.6．辅助角公式y＝a sin ωx＋b cos ωx＝________________________.类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1 已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·⎝⎛⎭⎫α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等．跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，255.(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值．类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值．反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．跟踪训练2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域．类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3 已知函数f (x )＝23sin(x －3π)sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π2－1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．跟踪训练3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sin x ＋2cos y ＝2，求2sin x ＋cos y 的取值范围．反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决．跟踪训练4 已知关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值．1．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2等于( )A ．－5B ．－513 C.1213D ．52．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ等于( )A.223B ．－223C.23D ．－233．已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝________.4．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 5．已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．答案精析知识梳理1．cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin βtan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α3．2cos 2α 2sin 2α 4.sin 2x 2 1＋cos 2x 2 1－cos 2x25．tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α－β)(1＋tan αtan β) 6.a 2＋b 2sin(ωx ＋θ) 题型探究例1 解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139.∵β是锐角，∴cos β＝91050.跟踪训练1 解 (1)由题可知，cos α＝31010，cos β＝255.由于α，β为锐角，则sin α＝1010，sin β＝55，故tan α＝13，tan β＝12， 则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－121＋16＝－17.(2)因为tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，sin α＝1010<22，sin β＝55<22， 即0<α＋β<π2，故α＋β＝π4.例2 解 设sin x ＋cos x ＝t ， 则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x ＋22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12.∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，∴g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]．当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1， 此时，由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， 解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z .当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12，此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1， 解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z .综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值2＋12.跟踪训练2 解 令sin x －cos x ＝t ， 则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4知，t ∈[－2，2]． 又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2， ∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2 ＝－⎝⎛⎫t －122＋54. 当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－2－1，54. 例3 解 (1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π. 又因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以f (x )的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知， f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45， cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6·sin π6 ＝3－4310. 跟踪训练3 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－43. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. ∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4－sin π4· cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝725，tan x ＝7.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－2875.例4 解 设2sin x ＋cos y ＝a .由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋2cos y ＝2，2sin x ＋cos y ＝a ， 解得⎩⎨⎧ sin x ＝2a －23，cos y ＝4－a3，从而⎩⎨⎧－1≤2a －23≤1，－1≤4－a3≤1，解得1≤a ≤52.故2sin x ＋cos y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，52. 跟踪训练4 解 设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＋a ＝0，消去y ，并整理得4x 2＋23ax ＋a 2－1＝0.① 由已知得cos α，cos β是①的两个实数解，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧cos α＋cos β＝－32a ，cos αcos β＝a 2－14.∴sin αsin β＝(3cos α＋a )(3cos β＋a ) ＝3cos αcos β＋3(cos α＋cos β)a ＋a 2 ＝a 2－34.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝a 2－14－a 2－34＝12.当堂训练1．A 2.A 3.－5972 4.172505．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减少的，在区间[－π12，π4]上是增加的，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14， 所以函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。
2017-2018学年高中数学北师大版必修4全册同步学案目录第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广第一章 3 弧度制第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性第一章 4.1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）第一章 5.1 正弦函数的图像第一章 5.2 正弦函数的性质第一章 6 余弦函数的图像与性质第一章7 正切函数第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）第一章9 三角函数的简单应用第一章章末复习课第二章 1 从位移、速度、力到向量第二章 2.1 向量的加法第二章 2.2 向量的减法第二章 3.1 数乘向量第二章 3.2 平面向量基本定理第二章 4.1 平面向量的坐标表示-4.2 平面向量线性运算的坐标表示第二章 4.3 向量平行的坐标表示第二章 5 从力做的功到向量的数量积（一）第二章 5 从力做的功到向量的数量积（二）第二章 6 平面向量数量积的坐标表示第二章向量应用举例第二章章末复习课第三章 1 同角三角函数的基本关系第三章 2.1 两角差的余弦函数第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第三章 2.3 两角和与差的正切函数第三章 3 二倍角的三角函数（一）第三章 3 二倍角的三角函数（二）第三章疑难规律方法第三章章末复习课学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． 由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°， 解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°， 解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝lr.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理(1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 梳理类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可． 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( )A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或45．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学 知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关． 梳理 (1)度 弧度 弧度 知识点二思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π3 2π35π6 知识点三思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－29π6；当k ＝－2时，γ＝－17π6；当k ＝－1时，γ＝－5π6.跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.例3 (1)A (2)D跟踪训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ， 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.C 5.－34．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义．知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？梳理(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数，记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数，记作________．(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？梳理正弦、余弦函数在各象限的符号知识点四周期函数思考由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个，称为____________，简称为周期．类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ的值．反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b 2，cos α＝aa 2＋b 2. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值．类型二 正弦、余弦函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能类型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－1f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x)．(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝1f(x)，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．跟踪训练4若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值．1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于()A.45B.35 C ．－35D ．－452．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23．设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，则f (72)的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－34．点P (sin 2 016°，cos 2 016°)位于第________象限． 5．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点． 2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．答案精析问题导学 知识点一思考1 sin α＝y r ，cos α＝xr .思考2 不会．思考3 sin α＝y ，cos α＝x .梳理 (1)纵坐标v v ＝sin α 横坐标u u ＝cos α 知识点二思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义． 知识点三思考 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u ，v )，则sin α＝v ，cos α＝u .当α为第一象限角时，v >0，u >0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号． 知识点四思考 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．梳理 非零实数T 任意一个 f (x ＋T )＝f (x ) T 最小 最小正周期 题型探究例1 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010. 跟踪训练1 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.例2 解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ， r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.例3 (1)D(2)解 ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0. 跟踪训练3 B例4 证明 (1)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． (2)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． 跟踪训练4 解 由f (x )＝f (x －a )＋f (x ＋a )，① 得f (x ＋a )＝f (x )＋f (x ＋2a )．② ①＋②，得f (x －a )＋f (x ＋2a )＝0， 即f (x －a )＝－f (x ＋2a )， ∴f (x )＝－f (x ＋3a )， 即f (x ＋3a )＝－f (x )，∴f (x ＋6a )＝－f (x ＋3a )＝f (x )． ∴T ＝6a 为函数y ＝f (x )的一个周期， ∴f (14a )＝f (6a ×2＋2a )＝f (2a )＝1. 当堂训练1．D 2.C 3.B 4.三5．解 在直线y ＝2x 上任取一点P (x,2x )(x ≠0)， 则r ＝x 2＋(2x )2＝5|x |. ①若x >0，则r ＝5x ， 从而sin α＝2x 5x＝255，cos α＝x 5x ＝55， ∴cos α＋sin α＝355.②若x <0，则r ＝－5x ， 从而sin α＝2x－5x＝－255，cos α＝x －5x ＝－55，∴cos α＋sin α＝－355.4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题．知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？梳理正弦、余弦函数的性质类型一 正弦余数、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为_________________________________________． 类型二 正、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域．(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值．反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析．(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论．跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈(－π3，2π3]的值域为________．类型三 正、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( ) A ．(－π2，π2)B ．(0，π)C ．(π2，3π2)D ．(π，2π)反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．跟踪训练3 求下列函数的单调区间．(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．1．函数y ＝sin x ，x ∈[－π4，π4]的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，22 C.22，－22D ．1，－222．不等式2sin x －1≥0的解集为____________________________________________． 3．函数y ＝2cos x －1的定义域为_____________________________________________． 4．求y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域．利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识．答案精析问题导学 知识点思考1 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是增加的． 梳理 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π]题型探究例1 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练1 [－π6＋2k π，7π6＋2k π]，k ∈Z例2 解 (1)∵y ＝cos x 在区间[－π3，0]上是增加的，在区间[0，5π6]上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域是[－32，1]．(2)当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1； 当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 跟踪训练2 [32，3]例3 D跟踪训练3 解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π2，π2]，递减区间为[－π，－π2]，[π2，π]． (2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π]． 当堂训练1．C 2.{x |π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z }3.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 4．解 由x ∈[－π6，π]，得sin x ∈[－12，1]，∴y ＝[－2,1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域为[－2,1]．4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？思考22kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α(1.9)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α(1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°)．反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1求下列各三角函数式的值．(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6.类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(π6－α)＝22，则cos(5π6＋α)＝________.反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． 跟踪训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 类型三 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式． (1)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若本例(1)改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )。
