高中数学人教a版选修2-1课时作业：第3章 习题课2 含解析

第三章 习题课(1)一、选择题1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A ．(，1,1) B ．(－1，－3,2)13C ．(－，，－1)　D ．(，－3，－2)123222解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ⇔a ＝λb ，a ＝(1，－3,2)＝－2，故选C.(－12，32，－1)答案：C 2．[2014·河南省固始一中期末考试]若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )PA → PB → PC→ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件　D. 既不充分也不必要条件解析：本题主要考查空间中三点共线的充要条件．若α＋β＝1，则－＝β(－)，PA → PB → PC→ PB → 即＝β，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有＝λ，故－BA → BC → AB → BC → PB → ＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，即α＋β＝1，故选C.PA → PC → PB → PA → PB → PC→ 答案：C 3．已知a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(x,2，x ＋2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．0B ．－143C ．－6　D ．±6解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝(－1，－5，－2)·(x,2，x ＋2)＝－x －10－2x －4＝－3x －14＝0，所以x ＝－，故选B.143答案：B 4．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( )A.　B ．－3232C ．±　D ．132解析：由a ·b ＝0及(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，得3λa 2＝2b 2，又|a |＝2，|b |＝3，所以λ＝，32故选A.答案：A 5．[2014·安徽省合肥一中期末考试]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且＝＋m －n ，则m ，n 的值分别为( )AF → AD → AB → AA1→ A. ，－　B. －，－12121212C. －，　D. ，12121212解析：本题主要考查空间向量的线性表示．由于＝＋＝＋(＋)＝AF → AD → DF → AD → 12DC→ DD 1→ ＋＋，所以m ＝，n ＝－，故选A.AD → 12AB → 12AA 1→ 1212答案：A 6．[2014·清华附中月考]已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45°解析：本题主要考查空间向量在求角中的应用．由于＝＋＋，则AB→ AC → CD → DB → ＝＋＋⇒·＝(＋＋)·＝＝1.cos 〈，〉AB → AC → CD → DB → AB → CD → AC → CD → DB → CD → CD 2→ AB→ CD → ＝＝⇒〈，〉＝60°，故选B.AB → ·CD →|AB → ||CD → |12AB→ CD → 答案：B 二、填空题7．已知A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则在上的投影为__________．AB→ AC → 解析：∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．AB→＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，AC→ ∴cos 〈，〉＝AB→ AC → 0－20＋042＋(－5)242＋(－3)2＝－，20541在上的投影为||cos 〈，〉AB → AC → AB → AB→ AC → ＝×＝－4.42＋(－5)2(－20541)答案：－48．[2014·广东省中山二中期末考试]已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则λ＋μ＝________.解析：本题主要考查向量共线问题．由于＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)，AB → AC→ 由＝－＝知，λ＝0，μ＝0，于是λ＋μ＝0.λ－1212λ－2μ－36答案：09．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C －AB －D 的余弦值为，33M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于__________．解析：设AB ＝2，作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C －AB －D 的平面角，CH ＝，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1，结合等边△ABC 与正方形ABDE 3可知此四棱锥为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝，＝(＋)，＝－，·3AN → 12AC → AB → EM → 12AC→ AE → AN → ＝(＋)·(－)＝，故EM 、AN 所成角的余弦值＝.EM → 12AB → AC → 12AC → AE → 12AN → ·EM →|AN → |·|EM → |16答案：16三、解答题10．如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 为AC ′的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．(1)－；AA ′→ CB → (2)＋＋；AB ′→ B ′C ′→ C ′D ′→ (3)＋－12AD → 12AB → 12A ′A →解：(1)－＝＋＝＋＝.AA ′→ CB → AA ′→ BC → AA ′→ A ′D ′→ AD ′→ (2)＋＋＝.AB ′→ B ′C ′→ C ′D ′→ AD ′→ (3)＋－＝＋＋＝(＋＋)＝＝.12AD → 12AB → 12A ′A → 12AD → 12AB → 12AA ′→ 12AD → AB → AA ′→ 12AC ′→ AM → 向量、如图所示．AD ′→ AM→11．[2014·河北省衡水中学月考]平行四边形ABCD 中，AB ＝2AC ＝2且∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求点B ，D 间的距离．解：由已知得AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，折叠后AB 与CD 所成角为60°，于是，·＝0，·＝0，AC → CD → BA→ AC → 且〈，〉＝60°或120°.BA→ CD → ||2＝(＋＋)BD → BA→ AC → CD →2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋22＋2×2×2cos 〈，〉，故BA → AC → CD → BA → AC → AC → CD → BA → CD → BA → CD → ||2＝13或5，BD→ 解得||＝或，BD→ 135即B ，D 间的距离为或.13512．如右图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝2，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝.25(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；(2)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．解：如下图，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意得A (2，0,0)，B (0,0,0)，2C (，－，)，A 1(2，2，0)，B 1(0,2，0)，C 1(，，)．225222225(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，AC → 225A 1B 1→ 2于是cos 〈，〉＝＝＝.AC → A 1B 1→ AC → ·A 1B 1→|AC → ||A 1B 1→ |43×2223所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为.23(2)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (，，)．设M (a ，b,0)，则2232252＝(－a ，－b ，)．MN→ 2232252由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得Error!，即Error!，解得Error!.故M (，，0)，因此＝(，，0)．2224BM →2224所以线段BM 的长||＝.BM→ 104。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．1．空间向量基本定理(1)设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O ，那么，对于空间任一向量p ，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p 在i 、j 、k 上的分向量．(2)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得________________．(3)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个________，a ，b ，c 都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示若e 1、e 2、e 3是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1、e 2、e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作____________．一、选择题1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32.已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a 、b 不能构成空间基底的是( )A. OA → B ．OB → C.OC → D.OA →或OB →3．以下四个命题中，正确的是( )A.若OP ＝12OA →＋13OB →，则P 、A 、B 三点共线 B ．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底C ．|(a·b )c |＝|a|·|b|·|c |D. △ABC 是直角三角形的充要条件AB →·AC →＝04.设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3G ,G 1若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34) C ．(13，13，13) D ．(23，23，23) 5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)6.已知空间四边形OABC 中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N为BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 二、填空题7．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是____________．8.已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF →＝____________.9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO ＝xAB →＋yBC →＋zCC 1→，则x ＋y ＋z ＝______.三、解答题10.四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO 平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.11.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA=AD,求MN 、DC →的坐标．能力提升12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F 1，F 2，F 3，若i 、j 、k 是空间中的三个不共面的基向量，F 1＝i ＋2j ＋3k ，F 2＝－2i ＋3j －k ，F 3＝3i －4j ＋5k ，则这三名工人的合力F ＝x i ＋y j ＋z k ，求x 、y 、z .13.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2. OP ＝xOA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．3．对于基底{a ，b ，c }除了应知道a ，b ，c 不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示知识梳理1．(1)有序实数组{x ，y ，z } p ＝x i ＋y j ＋z k x i y j z k (2)不共面 p ＝x a ＋y b ＋z c(3){p |p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R } 基底 基向量 不共面2．单位正交基底 p ＝(x ，y ，z )作业设计1．C [命题①，②是真命题，命题③是假命题．]2．C [∵OC →＝12(a －b )，OC →与a 、b 共面， ∴a ，b ，OC →不能构成空间基底．]3．B [A 中若OP →＝12OA →＋12OB →，则P 、A 、B 三点共线，故A 错； B 中，假设存在实数k 1，k 2，使c ＋a ＝k 1(a ＋b )＋k 2(b ＋c )＝k 1a ＋(k 1＋k 2)b ＋k 2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1；k 1＋k 2＝0；k 2＝1.方程组无解，即向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，故B 正确．C 中，a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉≤|a|·|b |，故C 错．D 中，由AB →·AC →＝0⇒△ABC 是直角三角形，但△ABC 是直角三角形，可能角B 等于90°，则有BA →·BC →＝0.故D 错．]4．A [因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 而OG →＝x OA →＋y OB →＋z OC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.] 5．A [设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．]6．B [MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c .] 7．(3,2，－1)，(－2,4,2)8．3a ＋3b －5c解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF →，∴两式相加得2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)．∵E 为AC 中点，故EA →＋EC ＝0，同理BF →＋DF →＝0，∴2EF →＝AB →＋CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )＝6a ＋6b －10c ，∴EF →＝3a ＋3b －5c . 9.32 解析 AO →＝12A C 1→＝12(AB →＋BC →＋CC 1→)． 故x ＝y ＝z ＝12，∴x ＋y ＋z ＝32. 10．解 BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →) ＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →) ＝－a －12b ＋12c . AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →) ＝－a ＋c ＋12(－c ＋b ) ＝－a ＋12b ＋12c . EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .11．解∵P A ＝AD ＝AB ，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.以e 1、e 2、e 3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示．∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC → ＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2) ＝－12e 1＋12e 3， ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC →＝AB →＝e 2＝(0,1,0)． 12．解 由题意，得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(i ＋2j ＋3k )＋(－2i ＋3j －k )＋(3i －4j ＋5k )＝2i ＋j ＋7k .又因为F ＝x i ＋y j ＋z k ，所以x ＝2，y ＝1，z ＝7.13．证明 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→) ＝12(AA 1→＋BD →) ＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )， AB 1→＝AB →＋EB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2－a·b ＋a·b ＋c·a ＋c·b ) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C .又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

选修2-1第3章-2.1课时作业一、选择题1．抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－1，则实数a的值是()A.14 B.12C．－14D．－12【解析】x2＝1a y，∴准线方程为y＝－14a，∴－14a＝－1，∴a＝1 4.【答案】 A2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4 B．6C．8 D．12【解析】由抛物线的方程得p2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.【答案】 B3．抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离是10，则点P的坐标是()A．(±6,9) B．(9，±6)C．(9,6) D．(6,9)【解析】设P(x0，y0)，则|PF|＝x0－(－1)＝x0＋1＝10，∴x0＝9，∴y20＝36，∴y0＝±6.【答案】 B4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x【解析】设动圆的半径为r，圆心为O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.【答案】 A5．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8xC．y2＝－8x D．x2＝－8y【解析】点P在第四象限，故该抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．则(－2)2＝8p，∴p＝1 2，∴抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．则42＝4p，p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y.【答案】 A二、填空题6．抛物线x2＝－12y的焦点坐标是________．【解析】由抛物线方程得p＝122＝6，故焦点坐标为(0，－3)．【答案】(0，－3)7．已知抛物线的准线方程是x＝1，则该抛物线的标准方程是________．【解析】由题意知，p2＝1，∴p＝2，∴抛物线标准方程为y2＝－4x.【答案】y2＝－4x8．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．【解析】 设抛物线方程为y 2＝2px ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2⇒(y 21－y 22)＝2p (x 1－x 2)， 即y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝2p ⇒2p ＝1×4⇒p ＝2. 故y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x三、解答题9．分别求符合下列条件的抛物线方程：(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.【解】 (1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny .将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，∴m ＝92或n ＝43.∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .10．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．【解】 由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得其焦点坐标为F (－p 2，0)，准线方程为x＝p2，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴点M(－9,6)或(－9，－6)．11．设P是曲线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求|PB|＋|PF|的最小值．【解】(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离，于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为22＋1＝ 5.(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，此时，|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

第三章 3.1 3.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应点的点在第二象限，故选B.答案： B2．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，5)C ．(1,3)D ．(1,5)解析： |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)．答案： B3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i 解析： 由题意知AB →＝(2,1)，CB →＝(－1，－3)．CA →＝CB →＋BA →＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，∴CA →对应的复数为－3－4i.答案： D4．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆解析： 设z ＝x ＋y i ，∵|z －i|＝|3＋4i|， ∴x 2＋(y －1)2＝5.则x 2＋(y －1)2＝25，∴复数z 对应点的轨迹是圆．答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数为________．解析： 由题意可知A (2,3)，B (3,2)，C (－2，－3)，设D (x ，y )，则AD →＝BC →，即(x －2，y －3)＝(－5，－5)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.故D 点对应的复数为－3－2i. 答案： －3－2i6．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是________．解析： ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4＜5，∴－1＜a ＜1.答案： (－1,1)三、解答题(每小题10分，共20分)7．写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边长为1)．解析： 如题图所示，点A 的坐标为(4,3)，则点A 对应的复数为4＋3i.同理可知点B ，C ，F ，G ，H ，O 对应的复数分别为：3－3i ，－3＋2i ，－2,5i ，－5i,0.8．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i.则当m 为何值时， (1)z ∈R?(2)z 是纯虚数？(3)z 对应的点位于复平面第二象限？(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上？解析： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，z ∈R ；当且仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；当a ＜0，b ＞0时，z 对应的点位于复平面的第二象限；复数z 对应的点的坐标是直线方程的解，则这个点就在这条直线上．(1)由m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，得m ＝－3.故当m ＝－3时，z ∈R .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0，或m ＝－2.故当m ＝0，或m ＝－2时，z 为纯虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)m －1＜0，m 2＋2m －3＞0，解得m ＜－3.故当m ＜－3时，z 对应的点位于复平面的第二象限．(4)由m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0， 解得m ＝0或m ＝－2.故当m ＝0或m ＝－2时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上． 尖子生题库 ☆☆☆ (10分)已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 解析： (1)|z 1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2，|z 2|＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， ∴|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．。

3.1.5 空间向量运算的坐标表示课时目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．1．空间向量的直角坐标运算律设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝______________；(2)a－b＝________________；(3)λa＝____________(λ∈R)；(4)a·b＝________________；(5)a∥b⇔________________；(6)a⊥b⇔________________.2．几个重要公式(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则AB→＝________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．(2)模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝______________，|b|＝b·b＝________________.(3)夹角公式：cos〈a，b〉＝________________＝________________________ (a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．- 1 -- 1 -(4)两点间的距离公式：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)．则AB ＝2AB =_________.一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1,2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( )A.AB →＝(－1,2,1) B .AB →＝(1,3,4)C..AB →＝(2,1,3) D .AB →＝(－2，－1，－3)2．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4 C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1 3．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C.35 D.755．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( )A.65B.652C ．4D ．8 6．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( )A.55B.555C.355D.115。

第3章(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出嘚四个选项中，只有一项是符合题目要求嘚)1．设a ＝(x,2y,3)，b ＝(1,1,6)，且a ∥b ，则x ＋y 等于( ) A.12 B.34 C.32D ．2解析： ∵a ∥b ，∴x ＝2y ＝36， ∴x ＝12，y ＝14. ∴x ＋y ＝34. 答案： B2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb)⊥a ，则实数λ嘚值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－2 解析： a ＋λb ＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)， 因为(a ＋λb)·a ＝(λ，1＋λ，－1)·(0,1，－1) ＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0， 所以λ＝－2. 答案： D3．若向量(1,0，z)与向量(2,1,0)嘚夹角嘚余弦值为25，则z 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 解析： 由题知1，0，z ·2，1，01＋z 2·5＝25，21＋z 2·5＝25，1＝1＋z 2，∴z ＝0.答案： A4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1－e 2，d ＝3e 1＋2e 2＋e 3({e 1，e 2，e 3}为空间嘚一个基底)，且d ＝xa ＋yb ＋zc ，则x ，y ，z 分别为( )A.52，32，－1 B.52，12，1 C ．－52，12，1D.52，－12，1解析： d ＝xa ＋yb ＋zc ＝x(e 1＋e 2＋e 3)＋y(e 1－e 2－e 3) ＋z(e 1－e 2)．∴{x ＋y ＋z ＝3，x －y －z ＝2，x －y ＝1，∴{x ＝52，y ＝32，z ＝－1答案： A5．若直线l 嘚方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α嘚法向量为u ＝(－2,2，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析： ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ， ∴l ⊥α，故选B. 答案： B6．在平行六面休ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →＋3zC ′C →，则x ＋y ＋z 等于( ) A ．1 B.76 C.56D.23 解析： 如图，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→ ＝AB →＋BC →－C ′C →，所以x ＝1,2y ＝1,3z ＝－1，所以x ＝1，y ＝12，z ＝－13， 因此x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76. 答案： B7．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1嘚中点，则异面直线BE 与CD 1所成嘚角嘚余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35解析： 以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D 1(0,0,2)．∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→＝(0，－1,2)．∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝BE →·CD 1→|BE →||CD 1→|＝32×5＝31010.故选C.答案： C8．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)， D(－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成嘚角为( ) A ．60° B ．45° C ．30°D ．90°解析： 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 嘚一个法向量． ∵AB →＝(－5，－1,1)，AC →＝(－4，－2，－1)， ∴{－5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0，∴{x ＝12，y ＝－32，∴n ＝()12，－32，1.又AD →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成嘚角为θ， 则sin θ＝|AD →·n||AD →||n|＝727＝12，∴θ＝30°.故选C.答案： C9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角嘚余弦值为( ) A.12B.13C.32D.33解析：以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体嘚棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)．又可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD ，又cos 〈AC 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角嘚余弦值为13.故选B.答案： B10.如右图所示，在棱长为1嘚正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1嘚中点，G 为棱A 1B 1上嘚一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 嘚距离为( )A.3B.22C.23D.55解析： 因为A 1B 1∥EF ，G 在A 1B 1上，所以G 到平面D 1EF 嘚距离即为A 1到平面D 1EF 嘚距离， 即是A 1到D 1E 嘚距离，D 1E ＝52，由三角形面积可得所求距离为1×1252＝55.故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b|＝________. 解析： 因为a －2b ＝(8，－5,13)， 所以|a －2b|＝82＋－52＋132＝258.答案：25812．设a ＝(2，－3,1)，b ＝(－1，－2,5)，d ＝(1,2，－7)，c ⊥a ，c ⊥b ，且c·d ＝10，则c ＝________. 解析： 设c ＝(x ，y ，z)， 根据题意得{2x －3y ＋z ＝0，x －2y ＋5z ＝0，x ＋2y －7z ＝10.解得{x ＝6512，y ＝154，z ＝512.答案：()6512，154，51213．直角△ABC 嘚两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB 嘚距离是________． 解析：以C 为坐标原点，CA 、CB 、CP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示嘚空间直角坐标系． 则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P ()0，0，95， 所以AB →＝(－4,3,0)， AP →＝()－4，0，95，所以AP →在AB 上嘚投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165，所以P 到AB 嘚距离为 d ＝|AP|2－()1652＝16＋8125－25625＝3.答案： 314．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1嘚夹角都是60°，则AC 1→·BD 1→＝________.解析： AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，BD 1→＝BC →＋BA →＋BB 1→， AC 1→·BD 1→＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·(BC →＋BA →＋BB 1→) ＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·(AD →－AB →＋AA 1→)＝AB →·AD →－|AB →|2＋AB →·AA 1→＋|AD →|2－AD →·AB →＋AD →·AA 1→＋AA 1→·AD 1→－AA 1→·AB →＋|AA 1→|2 ＝2×1×cos 60°－4＋1－2×1×cos 60°＋1×2×cos 60°×2＋4＝3.答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要嘚文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体． (1)化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 嘚中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上嘚34分点， 设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ嘚值． 解析：(1)如图所示，取AA 1嘚中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，则 EF →＝12AA 1→＋BC →＋23AB →. (2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC 1→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA 1→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34.16．(本小题满分12分)如图，在底面是矩形嘚四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4.求点B 到平面PCD 嘚距离．解析： 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在嘚直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)， P(0,0,2)，PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，BC →＝(4,0,0)， 设面PCD 嘚一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则{ n·CD →＝0n·PD →＝0⇒{－2y ＝04x －2＝0⇒{y ＝0，x ＝12， 所以面PCD 嘚一个单位法向量为n |n|＝⎝⎛⎭⎫55，0，255，所以||BC →·n |n|＝⎪⎪⎪⎪4，0，0·⎝⎛⎭⎫55，0，255＝455， 则点B 到平面PCD 嘚距离为455.17．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1嘚中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成嘚角嘚正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你嘚结论． 解析： 设正方体嘚棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系． (1)依题意，得B(1,0,0)， E ()0，1，12，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以BE →＝()－1，1，12，AD →＝(0,1,0)， 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1嘚一个法向量， 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成嘚角为θ， 则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成嘚角嘚正弦值为23. (2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12)， 设n ＝(x ，y ，z)是平面A 1BE 嘚一个法向量， 则由n·BA 1→＝0，n·BE →＝0， 得{－x ＋z ＝0－x ＋y ＋12z ＝0， 所以x ＝z ，y ＝12z. 取z ＝2，得n ＝(2,1,2)． 设F 是棱C 1D 1上嘚点， 则F(t,1,1)(0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)， 面B 1F ⊄平面A 1BE ， 于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0 ⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0 ⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1嘚中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F 使B 1F ∥平面A 1BE.18．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1.D 是棱CC 1上嘚一点，P 是AD 嘚延长线与A 1C 1嘚延长线嘚交点，且PB 1∥平面BDA 1.(1)求证：CD ＝C 1D ；(2)求二面角A －A 1D －B 嘚平面角嘚余弦值； (3)求点C 到平面B 1DP 嘚距离．解析： 如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0，1,0)，B(1,0,1)．(1)证明：设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1， ∴C 1P AC ＝C 1D CD ＝x 1－x.由此可得D(0,1，x)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋x1－x ，0. ∴A 1B →＝(1,0,1)，A 1D →＝(0,1，x)，B 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1＋x1－x ，0. 设平面BA 1D 嘚一个法向量为n 1＝(a ，b ，c)，令c ＝－1，得n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BDA 1， ∴n 1·B 1P →＝1×(－1)＋x·⎝⎛⎭⎪⎫1＋x1－x ＋(－1)×0＝0.由此可得x ＝12.故CD ＝C 1D.(2)由(1)知，平面BA 1D 嘚一个法向量n 1＝()1，12，－1. 又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 嘚一个法向量， ∴cos 〈n 1·n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11×32＝23.故二面角A －A 1D －B 嘚平面角嘚余弦值为23.(3)∵PB 1→＝(1，－2,0)，PD →＝()0，－1，12， 设平面B 1DP 嘚一个法向量为n 3＝(a 1，b 1，c 1)．令c 1＝1，可得n 3＝()1，12，1. 又DC →＝()0，0，12，∴C 到平面B 1DP 嘚距离d ＝|DC →·n 3||n 3|＝13.。

课时分层作业(三) 充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [∵A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]2．设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 C [|a －3b |＝|3a ＋b |⇔|a －3b |2＝|3a ＋b |2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2⇔2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.]3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1 A [由函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称可得－m 2＝1，即m ＝－2，且当m ＝－2时，函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，故选A.]4．设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件．s 是r 的充要条件，则s 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由题可知，p ⇒q ⇒r ⇔s ，则p ⇒s ，s p ，故s 是p 的必要不充分条件．] 5．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1，1]D [由x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件得(－1，4)(2m 2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]二、填空题 6．设集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．充分不必要 [A ＝{x |x (x －1)<0}＝{x |0<x <1}B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．]7．“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的________条件．充分不必要 [当a >0时，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2＋1－14a ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，此时y ＝x ＋1 在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．]8．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．[3，＋∞) [由x (x －3)<0得0<x <3，由2x －3<m 得x <12(m ＋3)， 由p 是q 的充分不必要条件知{x |0<x <3}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12（m ＋3）， 所以12(m ＋3)≥3，解得m ≥3.] 三、解答题9．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围．[解] 设q 、p 表示的范围分别为集合A 、B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6 ，即a 的取值范围为[－1，6]．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究数列{a n }是等差数列的充要条件．[解] 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c .∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2，∴c ＝－1.反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，∴{a n }为等差数列，∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.[能力提升练]1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( )A ．a ≥b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3A [由a ≥b ＋1>b ，从而a ≥b ＋1⇒a >b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a >b a ≥b ＋1，故A 正确．]2．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <1C [一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a<0，即a <0，则充分不必要条件的范围应是集合{a |a <0}的真子集，故选C.]3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件． 充分不必要 [∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2.∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0. 反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．]4．已知f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )<2}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________．(3，＋∞) [因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4，f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件， 所以2－t <－1，即t >3.]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p ， 即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．因为p ≠0，且p ≠1， 所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p . 因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p 2－p p ＋q＝p . 所以－p ＝pq ，即q ＝－1.所以数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。

选修2-1第3章2.2课时作业一、选择题1．抛物线x 2＝－4y 的通径长为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 由题意知p ＝2，所以通径长为2p ＝4.【答案】 C2．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p 等于( )A.32B ．52C ．4D ．8【解析】 抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，∴3＋p 2＝5，∴p ＝4.【答案】 C3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48【解析】 不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p 2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36. 【答案】 C4．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3 D ．π2【解析】 抛物线的焦点为(32，0)．设直线方程为y ＝k (x －32)，与方程y 2＝6x 联立得：4k 2x 2－(12k 2＋24)x ＋9k 2＝0.设直线与抛物线交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2，∴x 1＋x 2＋3＝3k 2＋6k 2＋3＝12.∴k 2＝1，∴k ＝±1.故弦所在直线的倾斜角是π4或34π.【答案】 B5．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)【解析】 由于直线x ＋2＝0为准线，所以该圆必过焦点．又焦点坐标为(2,0)．故选B【答案】 B二、填空题6．已知抛物线的离心率为e ，焦点为(0，e )，则抛物线的标准方程为________．【解析】 由e ＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .【答案】 x 2＝4y7．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.【解析】 ∵y 2＝4x ，∴p ＝2，F (1,0)，又∵|AF |＝2，∴x A ＋p 2＝2，∴x A ＋1＝2，∴x A ＝1.即AB ⊥x 轴，F 为AB 的中点，∴|BF |＝|AF |＝2【答案】 28．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．【解析】 由题意，得x 2＝14y ，∴准线方程为y ＝－116.设点M (x 0，y 0)，则y 0－(－116)＝1，得y 0＝1516【答案】 1516三、解答题9．若抛物线y 2＝2px (p >0)上有一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M 的横坐标．【解】 ∵点M 到对称轴的距离为6，∴设点M 的坐标为(x ，±6)．∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎨⎧ x ＋p 2＝10，(±6)2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.即点M 的横坐标为1或9. 10．已知点A (2,0)，B (4,0)，点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，求AP →·BP→取得最小值时的点P 的坐标．【解】 设点P (x 0，y 0)，则y 20＝－4x 0(x 0≤0)，∴AP →·BP →＝(x 0－2，y 0)·(x 0－4，y 0)＝x 20－6x 0＋8＋y 20＝x 20－10x 0＋8＝(x 0－5)2－17.∵x 0∈(－∞，0]，∴当x 0＝0时，AP →·BP→取最小值，此时点P 的坐标为(0,0)． 11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)． 设O C →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均不对【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.应选A.【答案】 A2．已知A (0，1，1)，B (2，－1，0)，C (3，5，7)，D (1，2，4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( )A.52266 B ．－52266 C.52222D ．－52222【解析】 AB→＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，∴直线AB ，CD 所成角的余弦值为52266. 【答案】 A3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．于是AD→＝(0，1，0)．取PD 中点为E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，易知AD →是平面P AB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos AD→，AE →＝22，∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B4．如图3-2-28，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，则二面角B 1­A 1B ­E 的余弦值为( ) 【导学号：18490121】图3-2-28A ．－33 B ．－32 C. 33D. 32【解析】 设AD ＝1，则A 1(1，0，2)，B (1，2，0)，因为E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，所以E (0，1，2)，F (1，1，1)，所以A 1E →＝(－1，1，0)，A 1B →＝(0，2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则⎩⎨⎧A 1E →·m ＝0，A 1B →·m ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝z ，取x ＝1，则y ＝z＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1，1，1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，所以DA →＝(1，0，0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝m ·DA →|m ||DA →|＝13＝33，又二面角B 1­A 1B ­E 为锐二面角，所以二面角B 1­A 1B ­E 的余弦值为33，故选C.【答案】 C5.如图3-2-29，空间正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )图3-2-29A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建系，则A 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，DN →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN →|A 1M →||DN →|＝0.∴〈A 1M →，DN →〉＝π2. 【答案】 D 二、填空题6．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是________．【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1，0，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，C (0，1，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，∴cos 〈AM→，CN →〉＝1252·52＝25， 故异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 【答案】 257．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，0)，B (2，1，6)，则向量AB→与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________． 【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t ，0)(t ≠0)，AB →＝(1，3, 6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB →|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB→〉∈[0，π]，所以sin 〈n ，AB→〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4|t |2＝74. 【答案】 748．已知点E ，F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．【解析】 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0，0，1)，平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．所以A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23，所以AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，13，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，13，则⎩⎨⎧n 2·AE→＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1，3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，所以tan α＝23.【答案】 23 三、解答题9.如图3-2-30所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2. 【导学号：18490119】图3-2-30(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：连接OC ，由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD ， ∴AO ⊥BD .又BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3， 又AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD . (2)以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，0，0)，C (0, 3，0)，A (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，∴BA→＝(－1，0，1)，CD →＝(－1，－3，0)， ∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →|·|CD →|＝24.∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10．四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．【解】 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，D (0，0，0)，P (0，0，h )， (1)∵AC→＝(－a ，a ，0)，DP →＝(0，0，h )，DB →＝(a ，a ，0)， ∴AC→·DP →＝0，AC →·DB →＝0， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ， ∴AC ⊥平面PDB ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，P (0，0，2a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，－22a ，∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO →|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.[能力提升]1．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不对【解析】 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1，0，2)，E (1，1，1)，D 1(0，0，2)，A (1，0，0)，所以A 1E →＝(0，1，－1)，D 1E →＝(1，1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)．设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0. 令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0，1，1)，cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1. 所以〈n ，EA→〉＝180°. 所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 【答案】 B2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )图3-2-31A.55 B.53 C.255D.35【解析】 不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2， 则AB 1→＝(－2，2，1)，C 1B →＝(0，－2，1)， 所以cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝（－2）×0＋2×（－2）＋1×19×5＝－55.因为直线BC 1与直线AB 1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55.【答案】 A3．在空间中，已知平面α过(3，0，0)和(0，4，0)及z 轴上一点(0，0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________．【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1. 而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a216＋1＝22， 又∵a ＞0，∴a ＝125.【答案】 1254.如图3-2-32，在直三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．图3-2-32(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.【导学号：18490120】【解】 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4) ，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD→＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝29×1＝23， 得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算课时目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．2．几类特殊向量(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________． (2)单位向量：________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________．3．空间向量的加减法与运算律空间向量 的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________. 加法运 算律(1)交换律：a ＋b ＝________(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.；一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A. 向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A. OA →＋OB →＝AB →B. OA →＋OB →＝BA →C. AO →－OB →＝AB →D. OA →－OB →＝CD →3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于( )A. OB →B. OC →C. OD→ D .2OD→4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A. AB →＝AC →＋BC →B. AB →＝－AC →－BC →C. AC →与BC →同向D. 与AC →与CB →同向5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( )A. BD 1→B. 1D B u u u u rC.1B D u u u u rD. 1DB u u u u r6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF→＋GH →＋PQ →＝0 B.EF→－GH →－PQ →＝0C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0二、填空题7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B u u u u u r的模相等的向量有________个．8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG u u u r ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为________． 三、解答题10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．能力提升12.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由b 的终点指向a 的终点的一条有向线段．第三章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算知识梳理1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段 ②AB →2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等 (4)相等 相反 －a3．a ＋b a －b (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D [OA →－OB →＝BA →＝CD →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →， ∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．] 5．A[如图所示， ∵DD 1→＝AA 1→，DD →1－AB → ＝AA 1→－AB →＝BA 1→， BA 1→＋BC →＝BD →1， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.]6．A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF →＋GH →＋PQ →＝0.] 7．7解析 |D'C'→|＝|DC →|＝|C'D'→|＝|CD →|＝|BA →| ＝|AB →|＝|B'A'→|＝|A'B'→|. 8．重心 解析如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC→＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心． 9．3解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解 (1) AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．12．D [AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]13．证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点， 则AO →＝12AC'→＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD'→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋B B'→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA'→)＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)AN →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。