吉林省东北师大附中2020届高三数学二模试卷 文(含解析)

东北师大附中2020学年度上学期高三年级第二次质量检测数学(理)试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．第Ⅰ卷的答案用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试题卷上的无效． 2．答题前，考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上． 3．考试结束后，只交答题卡和答题纸．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合},0|{2<-=x x x M }2{<=x x N ，则 （ ） A ．=N M IB ．M N M =IC ．M N M =YD ．=N M Y R2．已知函数)10()(≠>=a a a x f x 且，且1)3(1=-f ，则a 的值等于（ ） A ．3B ．31C ．9D ．913．数列{}n a 满足)2(3,111≥==-n a a a n n , 则=7a （ ）A ．9B ．81C ．243D ．729 4．=++2)3(31i i（ ）A ．41B ．21C ．i 4341--D ．i 4321--5．设函数1)(,1,1,11)(2=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=x x f x a x x x x f 在若处连续，则a 等于（ ）A ．21B ．41C ．31-D ．－216．已知函数)(x f )(R x ∈满足),()(x f x f --=且当21<<x 时，恒有0)(>x f ，则)5.1(-f 一定不等于 （ ） A ．5.1- B ．2- C ．1- D ．17．已知),3,(a P 则“0=a ”是“点P 的坐标满足不等式01≥-+y x ”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．数列{}n a 的前n 项的和,)1(2+=n S n 数列{}n b 满足)(*1N n a b n n ∈=+，则下面说法正确的是 （ ） A ．数列{}n b 是等差数列 B ．数列{}n a 是等差数列C ．数列{}n b 是等比数列D ．数列{}n a 是等比数列9．已知函数)1(1)(2>-=x x x x f ，则)(x f 的最小值等于 （ ） A ．22+B ．8C ．4D ． 010．已知函数)(x f (R x ∈)，且不论,αβ为何实数，恒有(sin )0f α≥， (2cos )0f β+≤，则=)1(f （ ）A ．2B ．0C ．4D ． 111．已知函数)362(log )(223+-+-=m mx x x f 在区间[)2,3-上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3-≤mB ．4-≥mC ．34-≤≤-mD ． 23<≤-m12．已知函数a x x f a x x a x f x f =-+='在若的导数)(),)(1()()(处取到极大值，则下面的结论正确的是（ ）A ．函数)(x f 在区间)1,(-a 上是增函数，在)0,1(-上是减函数.B ．函数)(x f 在区间),1(a -上是增函数，在)0,(a 上是减函数.C ．函数)(x f 在区间),1(a -上是减函数，在)0,(a 上是增函数.D ．函数)(x f 在区间)1,(-a 上是减函数，在)0,1(-上是增函数.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．若函数)log 2(log 221x y -=的值域是)0,(-∞14．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角的度数为____ ___ ___.15．已知n n f +++=Λ21)(，则 ________)()]([lim 22=∞→n f n f n .16．曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为 .三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)某地区出台了一项机动车驾照考试规定：每位参加考试人员在一年内最多有三次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则一直考到第三次为止.王先生决定参加驾照考试，如果他参加第一、二、三次考试能通过的概率依次为6.0、7.0、8.0，求王先生在一年内能领取驾照的概率.18．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 中，.185,8102==S a （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若从数列}{n a 中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第n3项，…，按原来的顺序排成一个新数列}{n b ，试求}{n b 的前n 项和.n A19．(本小题满分12分)已知函数b a x f x+⋅=2)(的图像经过点)25,2(),23,1(B A ，)(1x f-是函数)(x f 的反函数.)1(求b a ,的值； )2(若函数,22)()(21+=-x f x g 试确定)(x g 的单调递减区间.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，侧棱P A ⊥底面ABCD ， AD ∥BC ，∠ABC =2π， a AD PA AB ===31，52arccos=∠ADC ．（Ⅰ） 求点D 到平面PBC 的距离； （Ⅱ） 求二面角A PD C --的大小．21．(本小题满分12分)已知函数).()(,)(R a a x x g x x f ∈+==（1）当6-=a 时，解不等式).()(x g x f > （2）若关于x 的不等式15)()()(≥-x f x ag x f 恒成立，求正实数a 的最小值.22．(本小题满分14分)已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. （Ⅰ） 求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有4)()(21≤-x f x f ；（Ⅲ）若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题CB DAACB BADBA二、填空题13.( 0,2 ) ； 14.030； 15..21 16. y=3x -11. 三、解答题17．解法一：记“王先生第一次参加考试通过”为事件1A ；“第一次考试未通过，而第二次考试通过”为事件2A ；“第一、二次考试都未通过，而第三次考试通过”为事件3A . 则6.0)(1=A P ；………………………………………………4分 28.07.04.0)(2=⨯=A P ；…………………………………7分 .096.08.03.04.0)(3=⨯⨯=A P …………………………10分∴王先生在一年内能领取驾照的概率为976.0096.028.06.0=++.答：王先生在一年内能领取驾照的概率为976.0.……………………12分解法二：记“王先生在一年内能领取驾照”为事件A ，则A 为“王先生连续三次参加考试都没有通过”.∵024.0)8.01()7.01()6.01()(=-⨯-⨯-=A P ，……………………6分 ∴976.0024.01)(1)(=-=-=A P A P .答：王先生在一年内能领取驾照的概率为976.0.…………………………12分18．解：（1）设}{n a 的首项为1a ,公差为d ,∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,3,5 ,1852)92(10,8111d a d a d a 解得…………………………4分 ∴)1(35-+=n a n ，即.23+=n a n …………………………6分（2）设31a b =，92a b =，273a b =，.2333+⨯==nn n a b …………………7分∴)233()233()233(21+⨯+⋅⋅⋅++⨯++⨯=nn An n 2)3333(332++⋅⋅⋅+++⨯=…………………………10分n n 231)31(33+--⨯=.2)13(29n n+-=…………………………12分19．解:.21254232)1(==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+b a b a b a 由已知得 …………………………4分 )21()12(log )(),12(21)()1()2(21>-=∴+=-x x x f x f x 得由……………6分 .122222)(2)12(log )(2221+=+=+=∴--x x g xx f…………………………8分所以此函数的图像是开口向上,对称轴是0=x 的抛物线. 又.2222,0122>-<∴>-x x x 或Θ…………………………10分 )(x g ∴的单调减区间是).22,(--∞…………………………12分 20．解：（Ⅰ）如图，在四棱锥ABCD P -中，∵BC ∥AD ，从而点D 到平面PBC 间的距离等于点A 到平面PBC 的距离.∵∠ABC =2π，∴AB ⊥BC ， 又P A ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面 P AB ，………………2分 ∴平面P AB ⊥平面PBC ，交线为PB ，过A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，则AE ⊥平面PBC ， ∴AE 的长等于点D 到平面PBC 的距离．而a PA AB ==，∴a AE 22=．………………5分 即点D 到平面PBC 的距离为a 22．………………6分 （Ⅱ） ∵P A ⊥底面ABCD ，∴平面P AD ⊥底面ABCD ，引CM ⊥AD 于M ，MN ⊥PD 于N ，则CM ⊥平面P AD ，∴MN 是CN 在平面P AD 上的射影， 由三垂线定理可知CN ⊥PD ，∴∠CNM 是二面角A PD C --的平面角．…………9分依题意52arccos=∠ADC ，a AD PA AB ===31，∴213tan =-=-=∠BC a a BC AD AB ADC ，∴a BC =，可知AD DM 32=，∴a a a a a PA AD PA AD MN 529332322222=+⋅=+⋅=，21052tan ===a a MNCMCMN ， ∴二面角A PD C --的大小为210arctan．……………… 12分 解法二：如图, 以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. （Ⅰ）依题意52arccos=∠ADC ，a AD PA AB ===， ∴213tan =-=-=∠BC a a BC AD AB ADC ∴a BC =. 则)0,,(a a C ，)0,,0(a B ，)0(a P ，)0,0,3(a D ，∴),,0(a a -=，)0,0,(a =，=设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎩⎨⎧==-+.0,0ax az ay x 令1=z ，得)1,1,0(=， 则点D 到平面PBC ==2a a 22．……………6分 （Ⅱ） ∵AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥底面PDA ，∴平面PDA 的一个法向量为)0,1,0(1=n . 设平面PDC 的一个法向量为),,(2z y x n =，∵)0,,2(a a -=，),0,3(a a -=，∴⎩⎨⎧=-=+-.03,02az ax ay ax令1=x ，得)3,2,1(2=n ，∴7141412,cos 21=⨯>=<n n . ∵二面角A PD C --是锐二面角， ∴二面角A PD C --的大小为714arccos．……………… 12分 21．解：(1) 当6-=a 时，由)()(x g x f >得,6->x x .06<--x x 即 ……2分.0)2)(3(<+-∴x x 30<≤∴x ΛΛΛ4分 ∴不等式的解集是[).9,0ΛΛΛΛΛΛ5分（2）(解法一) 由15)()()(≥-x f x ag x f 得 1512≥-+xa x a ΛΛΛΛΛΛ7分 所以要使不等式15)()()(≥-x f x ag x f 恒成立，只需使1512≥-+xa x a 恒成立ΛΛΛ8分即15115122-≤-+≥-+xa x a xa x a 或ΛΛΛΛΛΛ9分.151.11,0,022≥-+∴->-+∴>>xa x a xa x a x a Θ162≥+∴xa x a 只需使，因为322a xa x a ≥+，所以只需1623≥a 即可.ΛΛΛΛΛΛ11分解得.4≥a 所以a 的最小值是4. ΛΛΛΛΛΛ12分.（解法二） 由162≥+xa x a 得(),01622≥+-a x xa设()a a a x a a x x ax h 64816)(2222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=.∴>,08a Θ只需使0642≥-aa 即可.解得.4≥a 所以a 的最小值是4. 22．（Ⅰ）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ⎩⎨⎧=--=-+03230323b a b a ， 解得0,1==b a ．∴x x x f 3)(3-=．……………………………………………………4分 （Ⅱ）∵x x x f 3)(3-=，∴)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ， 当11<<-x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间]1,1[-上为减函数，2)1()(,2)1()(min max -===-=f x f f x f∵对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ， 都有)()()()(min max 21x f x f x f x f -≤-4)2(2)()()()(min max 21=--≤-≤-x f x f x f x f ………………8分（Ⅲ）)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，∵曲线方程为x x y 33-=，∴点),1(m A 不在曲线上．设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03003x x y -=．因)1(3)(200-='x x f ，故切线的斜率为13)1(3003020---=-x mx x x ，整理得03322030=++-m x x ．∵过点),1(m A 可作曲线的三条切线，∴关于0x 方程03322030=++-m x x 有三个实根，设332)(20300++-=m x x x g ，则020066)(x x x g -='，由0)(0='x g ，得00=x 或10=x ．∴函数332)(20300++-=m x x x g 的极值点为00=x ，10=x ．∴关于0x 方程03322030=++-m x x 有三个实根的充要条件是0)0()1(<g g ，即0)2)(3(<++m m ，解得23-<<-m ．故所求的实数a 的取值范围是23-<<-m ．……………………………………14分。

2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题一、选择题：（本题8小题，每小题5分，共计40分，在每小题中给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，则（）A．f（x）的最小值为2B．∃x∈R，＜2C．f（x）的最大值为2D．∀x∈R，＞24．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤4B．a＜4C．a≤D．a＜5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在[0，]的值域为（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，] 6．（5分）若tan（α﹣）＝，则sin2α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）已知a＝e0.1，b＝+1，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则3x1﹣x2+3x3的最大值为（）A．1+ln B．1+ln C．3﹣ln3D．3+ln3二.选择题：（本题4小题，每小题'5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）的一条对称轴为x＝C．f（|x|）的最小正周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+）（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），则下列命题正确的有（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）为偶函数C．若x＞1，则f（x）＞1D．若0＜x1＜x2，则＞f（）11．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到h（x）的图象，若对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，则正数ω的最大值为（）A．3B．C．D．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx若＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．若x f（x1）＜x f（x2）B．x1+＜x2+C．＜0D．当＜x1＜x2时，＞三.填空题：（（本题4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）求值＝．14．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），设g（x）＝f（x）+f﹣1（x），则不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0的解集是．15．（5分）在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝；AB 点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ+3+4＝（λ≠0），则λ＝．16．（5分）已知函数f（x）＝sin|x|﹣cos x，若关于x的方程f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是．四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）＝•（+），其中向量＝（sin x；﹣3cos x），＝（sin x，﹣cos x），＝（﹣cos x，sin x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心和单调减区间．（Ⅱ）不等式|f（x）﹣m|＜3在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知f（x）＝x2﹣x+a sin x．（1）若在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，求当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立时的λ的取值范围；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1），当x∈（0，π）时g（x）有唯一零点，求a的取值范围．20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：使用年限x（单位：年）24568失效费y（单位：万元）34567（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式和数据：r＝＝，＝＝，＝﹣．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝在[0，]上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1，x2，⋯，x n．求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．22．（12分）已知函数f（x）＝1+﹣ae x+，a≥．（1）当x+lnx＞0时，求证f（x）＜0；（2）求证：++⋯++＞ln（n∈N*）．2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题：（本题8小题，每小题5分，共计40分，在每小题中给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．【解答】解：A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|0＜x＜1}．故选D．【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．2．（5分）“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：函数f（x）＝tan x的对称中心为（，0）（k∈Z），所以“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，则（）A．f（x）的最小值为2B．∃x∈R，＜2C．f（x）的最大值为2D．∀x∈R，＞2【分析】先求得f（x），然后结合二次函数的性质确定正确选项．【解答】解：因为2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，（i），所以用﹣x代换x得：2f（﹣x）+f（x）＝3x2﹣2x+6，（ii），（i）×2﹣（ii）得：3f（x）＝3x2+6x+6，即f（x）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，从而f（x）只有最小值，没有最大值，且最小值为1，＝＝2﹣＜2，＝＝2+＞2，故选：D．【点评】本题主要考查根据函数解析式求最值，属于中档题．4．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤4B．a＜4C．a≤D．a＜【分析】由复合函数的单调及对数函数的性质可得关于a的不等式组，即可求解．【解答】解：函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，由复合函数的性质可得y＝x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，且函数值为正，所以，解得a＜．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在[0，]的值域为（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，]【分析】首先利用三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式为g （x）＝2sin（4x﹣），进一步利用函数的定义域求出函数的值域．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝2sin（2x﹣）的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）的图象；由于，故，故，故g（x）∈[﹣1，2]．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（5分）若tan（α﹣）＝，则sin2α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】利用二倍角公式，即可解出．【解答】解：sin2α＝cos2（）＝＝＝﹣，故选：C．【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．7．（5分）已知a＝e0.1，b＝+1，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】直接利用构造函数的应用和函数的导数与函数的单调性的关系判断a、b、c的大小关系．【解答】解：设函数f（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），则f′（x）＝e x﹣1，当x＝0时，f′（0）＝0，故函数在（0，+∞）上单调递增，即f（x）＞f（0）＝0，即e x＞x+1，故e0.2＞1.2，进一步整理得，所以a＞c；设g（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），所以，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，1）上单调递增，所以g（x）≤g（1）＝0；所以lnx≤x﹣1，故，即，故，即，故b≤c，综上所述：a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：构造函数，函数的导数和函数的单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则3x1﹣x2+3x3的最大值为（）A．1+ln B．1+ln C．3﹣ln3D．3+ln3【分析】作出f（x）的图象，然后对F（x）＝0中的f（x）换元，结合f（x）的图象以及题意，找到三个不同的零点x1，x2，x3之间的关系，最终将3x1﹣x2+3x3表示为x2的函数，利用导数求其最大值即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象：令f（x）＝t，则方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点，只需g（t）＝﹣t2+2t ﹣m＝0有两个实数根t1，t2，且t1∈（0，1]，t2∈（1，+∞），t1+t2＝2，故结合f（x）图象可知，＝t1，3x3＝t2，所以3x1＝ln3x2，3x3＝2﹣3x2，所以3x1﹣x2+3x3＝ln3x2﹣x2+2﹣3x2＝ln3x2﹣4x2+2，x2＞1，令h（x）＝ln3x﹣4x+2，x＞1，则，显然该函数递减，令h′（x）＝0，得x＝是h（x）的极大值点，也是h（x）的最大值点，故h（x）max＝h（）＝，即3x1﹣x2+3x3的最大值为．故选：A．【点评】本题考查函数的零点与方程的根、函数图象间的关系，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．二.选择题：（本题4小题，每小题&#39;5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）的一条对称轴为x＝C．f（|x|）的最小正周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+）【分析】首先利用关系式的变换和函数的最小正周期以及函数所经过的定点求出函数的解析式，进一步利用函数的性质和函数的图像的平移变换的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝，由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2，故f（x）＝；由于函数的图象经过点（0，），且|φ|≤，所以：φ＝；故f（x）＝＝．对于A：函数在时，2x∈（0，π），故函数在该区间上单调递减，故A正确；对于B：当x＝时，f（）＝0，故B错误；对于C：f（|x|）＝＝cos2x，故函数的最小正周期为π，故C正确；对于D：函数的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+），故D错误．故选：AC．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式的确定，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），则下列命题正确的有（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）为偶函数C．若x＞1，则f（x）＞1D．若0＜x1＜x2，则＞f（）【分析】由已知求出幂函数的解析式，即可判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断选项A，B，C，画出图象，进而判断出D的正误．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），∴＝3a，解得a＝﹣2，∴f（x）＝x﹣2＝，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，为偶函数，x＜1时，f（x）＜f（1）＝1．可知：A不正确，B正确，C正确．画出图象，可知：0＜x1＜x2，则＞f（），因此D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到h（x）的图象，若对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，则正数ω的最大值为（）A．3B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的变换，平移变换和伸缩变换的应用求出函数h（x）的关系式进一步利用整体思想的应用和余弦函数的性质求出结果．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度，得到y＝+，向下平移个单位长度后，得到h（x）＝的图象，所以h（ωx）＝ωx+），令2kπ﹣π≤4ωx+（k∈Z），解得（k∈Z），由于对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，所以：（k∈Z），所以，解得，当k＝1时，ω．故ω的最大值为．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx若＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．若x f（x1）＜x f（x2）B．x1+＜x2+C．＜0D．当＜x1＜x2时，＞【分析】对于A：令F（x）＝＝＝lnx，求导分析单调性，即可判断A是否正确；对于B：令G（x）＝x+＝x+xlnx，求导分析单调性，即可判断B是否正确；对于C：求导分析f（x）的单调性，即可判断C是否正确；对于D：由上可知x1f（x1）+x1f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f （x2）＝（x1﹣x2）（f（x1）+f（x2）），即可判断D是否正确．【解答】解：对于A：令F（x）＝＝＝lnx，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，因为＜x1＜x2，所以F（x1）＜F（x2），所以＜，所以x22f（x1）＜x12f（x2），故A正确；对于B：令G（x）＝x+＝x+xlnx，G′（x）＝1+x•+lnx＝2+lnx，令G′（x）＝0，得x＝，所以在（0，）上，G′（x）＜0，G（x）单调递减，在（，+∞）上，G′（x）＞0，G（x）单调递增，因为＜x1＜x2，所以G（x1）＜G（x2），所以x1+＜x2+，故B正确；对于C：f′（x）＝2xlnx+x2•＝2xlnx+x＝x（2lnx+1），令f′（x）＝0，得x＝，所以在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因为＜x1＜x2，所以f（x1）＜f（x2），所以＞0，故C正确；对于D：x1f（x1）+x1f（x2）﹣2x2f（x1）＝x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f（x1）＞x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f（x2）＝（x1﹣x2）f（x1）+（x1﹣x2）f（x2）＝（x1﹣x2）（f（x1）+f（x2）），由上可知当当＜x1＜x2时，﹣＜f（）＜f（x1）＜f（x2），所以f（x1）+f（x2）符号无法确定，故D错误，故选：ABC．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．三.填空题：（（本题4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）求值＝．【分析】将正切化成正弦与余弦的比，再利用二倍角公式，即可解出．【解答】解：原式＝＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），设g（x）＝f（x）+f﹣1（x），则不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0的解集是[]．【分析】根据反函数的定义得出f（x）的图象过点（2，4），由此即可求出a的值，再根据反函数的定义即可求出g（x）的解析式，由此得出函数的单调性，然后根据单调性建立不等式组，由此即可求解．【解答】解：因为函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），所以函数f（x）的图象过点（2，4），即a2＝4，解得a＝2或﹣2（舍去），所以f（x）＝2x，则f﹣1（x）＝log2x，所以g（x）＝2x+log2x，且函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0转化为：，解得，所以不等式的解集为[]，故答案为：[]．【点评】本题考查了反函数的定义的应用，涉及到求解函数不等式，属于中档题．15．（5分）在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝；AB 点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ+3+4＝（λ≠0），则λ＝8．【分析】将等式中的向量都用，，来表示，最后利用M，O，N三点共线列出λ满足的方程求解．【解答】解：M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝，＝﹣＝﹣，＝﹣＝3﹣，代入λ+3+4＝（λ≠0），得λ+3（3﹣）+4（﹣）＝，整理得＝+，因为M，O，N三点共线，故+＝1，解得λ＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平面向量的线性运算以及三点共线的条件，属中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝sin|x|﹣cos x，若关于x的方程f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是[﹣，0]．【分析】易知该函数是偶函数，然后画出x＞0时，f（x）的图象，再结合对称性得到整个函数图象，将问题转化为y＝m与y＝f（x）的交点问题求解．【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|﹣cos（﹣x）＝sin|x|cos x＝f（x），故函数f（x）是偶函数，当x≥0时，＝，画出f（x）的图象如图：当y＝m与y＝f（x）产生三个不同交点时，f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同实根，故只需即可．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象之间的关系，属于中档题．四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用等比中项和等差数列的通项公式，即可求解；（Ⅱ）利用裂项相消求和即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，所以，即，解得a1＝1，所以{a n}的通项公式为a n＝n；（Ⅱ）∵＝＝﹣，∴T n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝•（+），其中向量＝（sin x；﹣3cos x），＝（sin x，﹣cos x），＝（﹣cos x，sin x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心和单调减区间．（Ⅱ）不等式|f（x）﹣m|＜3在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）先根据向量的数量积的坐标运算，三角函数公式化简f（x）的解析式，再根据三角函数的性质即可求解；（Ⅱ）先求出f（x）在[，]上的值域，再将恒成立问题转化为最值，从而建立不等式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝•（+）＝（sin x，﹣cos x）•（sin x﹣cos x，sin x﹣3cos x）＝sin2x﹣sin x cos x﹣sin x cos x+3cos2x＝1﹣2sin x cos x+2cos2x＝cos2x﹣sin2x+2＝cos（2x+）+2，令2x+＝，可得x＝，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（，2），k∈Z，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵x∈[，]，，∴cos（2x+）∈[﹣1，0]，∴cos（2x+）∈[﹣，0]，∴f（x）∈[2﹣，2]，又根据题意可得：∀x∈[，]，﹣3＜f（x）﹣m＜3，∴∀x∈[，]，m﹣3＜f（x）＜m+3，∴，解得﹣，∴实数m的取值范围为（﹣1，）．【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算，三角函数公式，三角函数的性质，恒成立问题，属中档题．19．（12分）已知f（x）＝x2﹣x+a sin x．（1）若在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，求当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立时的λ的取值范围；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1），当x∈（0，π）时g（x）有唯一零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x）＝x﹣1+a cos x，则k切＝f′（π）＝π﹣1﹣a，解得a，分析f（x）的单调性，进而只需λ≤f（x）min，即可得出答案．（2）根据题意可得g（x）＝x+a sin x﹣ln（x+1），求导得g′（x）＝1+a cos x﹣，分两种情况：当a≥0时，当a＜0时，分析g（x）的单调性，最值，即可得出答案．【解答】解：（1）f′（x）＝x﹣1+a cos x，所以k切＝f′（π）＝π﹣1+a cosπ＝π﹣1﹣a，因为在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，所以π﹣1﹣a＝π﹣2，所以a＝1，所以f（x）＝x2﹣x+sin x，f′（x）＝x﹣1+cos x，令μ（x）＝x﹣1+cos x，μ′（x）＝1﹣sin x≥0，所以μ（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞0时，μ（x）＞μ（0）＝0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上的单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，若当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立，则λ≤f（x）min，所以λ≤0，所以λ的取值范围为（﹣∞，0]．（2）g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1）＝x2﹣x+a sin x﹣x2+2x﹣ln（x+1）＝x+a sin x ﹣ln（x+1），g′（x）＝1+a cos x﹣，当a≥0时，由x∈（0，π）得g（x）≥x﹣ln（x+1），令h（x）＝x﹣ln（x+1），h′（x）＝1﹣＝，所以当x∈（0，π）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）＞h（0）＝0，所以g（x）＞0在（0，π）上恒成立，所以g（x）在（0，π）上无零点，不满足题意，当a＜0时，g′（x）在（0，π）上单调递增，g′（0）＜0，g′（π）＝1﹣a﹣＞0，所以存在x0∈（0，π）使得g′（x0）＝0，所以在（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（x0，π）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝0，g（π）＝π﹣ln（π+1）＞0，所以存在唯一的t∈（x0，π），使得g（t）＝0，满足题意，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0）．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：使用年限x（单位：年）24568失效费y（单位：万元）34567（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式和数据：r＝＝，＝＝，＝﹣．【分析】（Ⅰ）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可；（Ⅱ）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可．【解答】解：（Ⅰ）由表知，，，，，故0.75＜r＜1，认为y与x线性相关性很强；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，故y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+1.5，当x＝10时，y＝0.7×10+1.5＝8.5，即10年的失效费用为8.5万元．【点评】本题利用相关性计算公式及回归方程参数求解公式求解参数及估算预测值，属于中档题．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝在[0，]上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1，x2，⋯，x n．求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．【分析】（1）函数的解析式化简，换元，由均值不等式的性质可得函数的最小值；（2）利用sin（x+）对称性，周期性计算可求解．【解答】解：（1）f（x）＝＝＝，设t＝sin x+cos x，x∈R，t＝sin（x+），t∈[﹣，]，则g（t）＝＝＝（t+2）+﹣4≥2﹣4＝2，当且仅当t+2＝，即t＝1时等号成立，∴g（t）的最小值为2，又g（﹣）＝＝7+，g（）＝＝7﹣，故g（t）的值域是[2，7+]，即f（x）的值域是[2，7+]；（2）由（1）得g（t）＝，t∈[﹣，]，则f（x）＝，即＝，化简得3t2﹣8t﹣1＝0，解得t＝（4﹣）或t＝（4+）（不合题意，舍去）；∴sin x+cos x＝（4﹣），得sin（x+）＝（4﹣），解得sin（x+）＝，∵x∈[0，]，∴x+∈[，10π]由x+＝kπ+，得x＝kπ+（k∈Z），得函数y＝sin（x+）图象在[0，]区间且确保sin（x+）＝成立，对称轴为x＝kπ+，（k∈N*，k≤10），sin（x+）＝在区间[0，]内有10个根x1，x2⋯，x10，数列{x i+x i+1}（i∈N*，i≤10）构成以x1+x2＝为首项，2π为公差的等差数列，x1+2x2+2x3+⋯+2x9+x10＝（x i+x i+1）＝×10+×9×8•2π＝97π．【点评】本题考查利用换元法求函数的值域，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键，考查方程的解，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）＝1+﹣ae x+，a≥．（1）当x+lnx＞0时，求证f（x）＜0；（2）求证：++⋯++＞ln（n∈N*）．【分析】（1）问题转化为证明恒成立，令t＝xe x，进一步转化为当t＞1时，，设，再利用导数即可得证；（2）由（1）可得当时，恒成立，再令，由此可得，再通过累加即可得证．【解答】证明：（1）函数的定义域为（0，+∞），要证f（x）＜0，即证x2+xlnx﹣ax2e x+ae﹣x＜0，即证，即证，令t＝xe x，由于x+lnx＝ln（xe x）＞0，则t＝xe x＞1，即证当t＞1时，，设，则，又，则方程﹣at2+t﹣a＝0中Δ＝1﹣4a2≤0，则h′（t）≤0在[1，+∞）上恒成立，所以h（t）在[1，+∞）上单调递减，则，即，即得证；（2）由（1）可知，当时，恒成立，令，则，所以，则，，……，以上各式相加可得，，所以，又，则，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于较难题目．。

2020届东北师大附中等六校高三联合模拟考试数学（文）试卷及解析2020届东北师大附中等六校高三联合模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|60A x x x =--<,集合{}2|log 1B x x =<,则A B =（）A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】D【解析】先解不等式求出集合A ,B ,再根据交集的定义求解即可．【详解】解：由260x x --<即()()320x x -+<解得23x -<<,则()2,3A =-,由2log 1x <解得02x <<,则()0,2B =,∴()0,2A B =,故选：D ．2.已知复数1iz i -=（i 为虚数单位）,则复数z 的虚部是（）A. 1B. -1C. iD. i -【答案】B【解析】先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数z ,再根据虚部的定义即可求出答案．【详解】解：∵1i z i -=11i +=-1i =--,∴复数z 的虚部是1-,故选：B ．3.已知()4cos 5πα-=,且α为第三象限角,则sin 2α的值等于（） A. 725 B. 725- C. 2425 D. 2425-【答案】C【解析】先根据诱导公式得4cos 5α=-,再同角的平方关系得3sin 5α=-,再根据二倍角的正弦公式求解即可．【详解】解：∵()4cos 5πα-=,∴4c os 5α=-,又α为第三象限角,∴3sin 5α=-, ∴24sin 22sin cos 25ααα==,故选：C ．4.已知向量()2,3a =,(),5b x =,若()a a b ⊥-,则x =（） A. 38 B. 1- C. 12 D. 2【答案】B【解析】先求出a b -的坐标,再根据平面向量垂直的坐标表示计算即可．【详解】解：∵()2,3a =,(),5b x =,∴()2,2a b x -=--,又()a a b ⊥-,∴()()22320x -+?-=,解得1x =-,故选：B ．5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,286a a +=-,则n S 的最小值等于（） A. -34 B. -36 C. -6 D. 6【答案】B【解析】由题意先求出数列{}n a 的公差,再根据前n 项和公式求出n S ,再计算最小值即可．【详解】解：设数列{}n a 的公差为d ,。