蚂蚁爬行的最短路径
1．一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5，-3，+10，-8 ，-9，+12， -10．
回答下列问题：
（1）蚂蚁最后是否回到出发点 0；
（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0； （2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|
）×2=114 粒
2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点
B 的
最短距离是 .
3．（2006?茂名）如图，点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从
点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm
解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 AB= 22 12 5 ．
AB 即为最短路线．
B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4．
4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短
路线是（）
A．A? P? B B ．A? Q? B C ．A? R? B D ．A? S? B
解：根据两点之间线段最短可知选A．
故选A．
5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，
蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是（）
解：如图，AB= 1 2 2 12 10 ．故选C．
6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为（）
解：展开正方体的点M所在的面，
∵BC的中点为M，
1
所以MC= BC=1，
2
在直角三角形中AM= = ．
7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向 B 处爬行，所走最短路程是cm 。
故选C．
8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离
解：将正方体展开，连接M、D1，
根据两点之间线段最短，
MD=MC+CD=1+2，=3
MD1= MD 2 DD1232 2213
9．如图所示一棱长为 3cm 的正方体， 把所有的面均分成 3×3个小正方形． 其边长都为 1cm ，
假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟
解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线．
（ 1）展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm ；
（2）展开底面右面由勾股定理得 AB=
=5cm ；
所以最短路径长为 5cm ，用时最少： 5÷2=2.5 秒．
10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是 。
11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C 1处（三
条棱长如图所示） ，问怎样走路线最短？最短路线长为 .
A 、
B ，
AB=
=25．
解：正面和上面沿A1B1 展开如图，连接AC1，△ABC1 是直角三角形，
∴AC1= AB2 BC1242 1 2 242 32 5
12．如图所示：有一个长、宽都是 2 米，高为 3 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B
路径一：AB= = ；
路径二：AB= =5；
路径三：AB= = ；
∵ >5，
∴5米为最短路径．
13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点 A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
解：（1）AB的长就为最短路线．
然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；
若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为
2) 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30，cm
最长路程是 30cm ．
14．如图，在一个长为 50cm ，宽为 40cm ，高为 30cm 的长方体盒子的顶点 A 处有一只蚂蚁，
它要爬到顶点 B 处去觅食，最短的路程是多少？
解：图 1 中， cm ． 图 2 中， cm ． 图 3 中，
cm ．
∴采用图 3 的爬法路程最短，为 cm
15．如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm ， 8cm ， 4cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。
解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是 12cm 和 6cm ，
或
（ cm ）
所以蚂蚁经过的最短路程是 cm ．
（cm ），
则所走的最短线段是 =6 cm ；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是 10cm 和 8cm ， 所以走的最短线段是 =
cm ；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是
14cm 和 4cm ， 所以走的最短线段是 =2 cm ；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20cm 、3cm 、2cm ．A 和 B 是这
个
台阶上两个相对的端点， 点 A 处有一只蚂蚁， 想到点 B 处去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶 面爬行到点 B 的最短路程为 cm
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20cm ，宽为（ 2+3）× 3cm ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xcm ， 由勾股定理得： x 2=202+[ （ 2+3）×3] 2=252， 解得 x=25． 故答案为 25．
17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于
这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短线路是 cm
所以 AB=13（ cm ）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为 13cm ．
答：蚂蚁爬行的最短线路为 13cm ．
18．（2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm
5cm ， 3cm 和 1cm ， A 和 B
是这个台阶的两个相对的端点， A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物 . 请你想一想， 解：将台阶展开，如下图， 因为 AC=3×3+1×3=12， BC=5，
2cm 和 4cm ，高为 5cm ．若一只蚂蚁从
所以
AB 2=AC 2+BC 2=169 ，
