黑龙江省大兴安岭地区数学高考复习专题03：函数的应用

黑龙江大兴安岭地区2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）摸底(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.我们一般听到的声音的函数是，对于函数，下列说法正确的是（）A ．是的一个周期B．关于对称C．是的一个极值点D．关于中心对称第(2)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(3)题已知为正整数，则“是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的（）条件.A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要第(4)题半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，则下列说法错误的是（）A．该几何体外接球的表面积为B．该几何体外接球的体积为C．该几何体的体积与原正方体的体积比为D．该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为第(5)题已知实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．3C．D．5第(6)题若实数满足不等式，且的最大值为9，则实数A．B．C．1D．2第(7)题直线l与平面成角为，点P为平面外的一点，过点P与平面成角为，且与直线l所成角为的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．4条第(8)题复数（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是两个单位向量，若，，则（）A．三点共线B．C．D．第(2)题中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.给出下列命题，其中正确的命题为（）A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个B．函数可以是某个圆的“太极函数”C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形第(3)题已知一个四面体中，任意两条异面的棱，长度相等．则下列结论中，正确的有（）A．该四面体任意两条异面的棱一定垂直B．该四面体任意两组异面的棱，中点连线围成的四边形都是菱形C．以该四面体任意两条棱中点为端点的线段，长度小于所有棱长中的最大值D．该四面体的任何一个面都是锐角三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______．第(2)题在中，，，，则_________．第(3)题已知|，是线段上异于，的一点，△，△均为等边三角形，则△的外接圆的半径的最小值是________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）若，求函数的极小值；（2）设，证明：.第(2)题在直角坐标平面内有线段，已知点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，……，点是线段（，）上靠近的三等分点，设点的横坐标为.(1)求证：数列为等比数列；(2)若，，求的通项公式.第(3)题在前项和为的等比数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)记，将数列和数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求数列的前50项的和.第(4)题已知椭圆(，)的左､右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，的面积为，点为椭圆的下顶点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过抛物线的焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.第(5)题某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审．若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位专家初审的概率均为，复审的稿件能通过各位专家复审的概率均为，且每位专家的评审结果相互独立．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X表示投到该杂志的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．。

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.3 函数的应用【学习目标】能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义.（2）能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题。

（3）能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。

【重点】1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题3.了解数学知识来于生活，又服务于生活.【难点】1、增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。

【典型例题】例1 为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。

解（1）不难看出，f（x）是一个分段函数，而且：当0<x≤220时，有f（x）=3.45x；当220<x≤300时，有f（x）=220×3.45+（x-220）×4.83=4.83x-303.6；当x>300时，有f（x）=220×3.45+（300-220）×4.83+（x-300）×5.83=5.83x-603.6.因此=3.45x，0<x≤220，f（x）=14.83x-303.6，220<x≤300，=5.83x-603.6，x>300.（2）因为220<260≤300，所以f（260）=4.83×260-303.6=952.2，因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。

由例1可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容.例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。

黑龙江省大兴安岭地区2021届新高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,2,3,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】解：{1,3,5}A =Q ，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =， 则(){1,3}{2,3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ⋂⋃=⋃= 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 【答案】C 【解析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础． 3．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120C ．-15D ．15【答案】C 【解析】 【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．4．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、C ，再判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上函数值与0的大小，即可得出答案. 【详解】解：因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以()()111()cos cos cos 111x x x x x xe e ef x x x x f x e e e --⎛⎫----=-===- ⎪+++⎝⎭， 所以函数()f x 是奇函数，可排除A 、C ； 又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，可排除D ； 故选：B. 【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.5．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D 【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．6．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r（ ）A ．2132AB AC +u u ur u u u rB ．1124AB AC +u u ur u u u rC ．1123AB AC +u u ur u u u rD ．2133AB AC +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312xy +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线， 所以21x y +=，312x y +=，所以12x =，14y =.故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.7．52mx⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C 【解析】 【分析】利用通项公式找到5x 的系数，令其等于-10即可. 【详解】二项式展开式的通项为15552222155()()r rrr rr r TC x mx m C x---+==，令55522r -=，得3r =， 则33554510T m C x x ==-，所以33510m C =-，解得1m =-. 故选：C 【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩ ，得5sin 25cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5254sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 9．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【详解】2()626()3af x x ax x x '=-=-，若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ， ()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03ax f x x f x ''∈<∈+∞>，()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A. 【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.10．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为123n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121133n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项. 【详解】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为()1223n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是()()111,23n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即11133n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232nn P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，1010111232P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式. 【详解】解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2142ωπ==π， 图中的点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π，所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=，故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.12．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π【答案】D 【解析】 【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23333BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江大兴安岭地区2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（）A．B．C．2D．3第(2)题在中，，则（）A．B．C．D．第(3)题若在复数范围内分解为，则在复数平面内，复数对应的点位于（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限第(4)题的展开式中的系数为（）A．3712B．C．1920D．第(5)题已知复数z满足，则其共轭复数（）A．B．C．D．第(6)题已知 D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则A．B．C．D．第(7)题已知偶函数在上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，，分别交y轴于M、N两点，若△的周长为8，则取得最大值时该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（）A．B．C．D．第(2)题对于函数，下列结论中正确的是（）A．任取，都有B．，其中；C．对一切恒成立；D．函数有个零点；第(3)题若函数在处取得极值，则（）A．B．为定值C．当时，有且仅有一个极大值D．若有两个极值点，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题为的导数，若函数在区间上存在，（），满足，则称为区间上的“对视数”，函数为区间上的“对视函数”．下列结论正确的有____（写出所有正确结论的序号）①函数在任意区间上都不可能是“对视函数”；②函数是上的“对视函数”；③函数是上的“对视函数”；④若函数为上的“对视函数”，则在上单调．第(2)题若实数t是方程的根，则的值为____________.第(3)题在中，已知边上的高等于，当角时，_____；当角时，的最大值为_____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%，均创造了同档期新的纪录．2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）．(1)求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；(2)估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；(3)设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看，影片的概率分别为，，乙观看，影片的概率分别为，，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这两名观影者中当天观看影片的人数为，求的分布列及期望．第(2)题如图，已知直四棱柱，底面是菱形，，，，是和的交点，是的中点.(1)证明：平面；(2)求直线平面的距离.第(3)题某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上､下班乘车所用时间，得下表所用时间(分钟)人数公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率：（1）估算公司每月用于路途补贴的费用总额(元)；（2）以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少有两名路途补贴超过300元的概率．第(4)题已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围.第(5)题已知在平面直角坐标系中，动点与两定点，连线的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过原点且斜率为的直线与曲线交于两点（点在第一象限），求四边形面积的最大值.。

黑龙江大兴安岭地区2024年数学（高考）部编版测试(培优卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A．42B．30C．20D．12第(2)题已知公比大于1的等比数列满足，，则（）A．4B．8C．12D．16第(3)题下列函数中，在上单调递增的是（）A．B．C．D．第(4)题设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（）A．B．C．D．第(5)题定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（）A．B．C．D．第(6)题已知是直线与函数图象的两个相邻交点，若，则（）A．4B．4或8C．2D．2或10第(7)题已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法错误的是（）A．B．必为奇函数C．D．若，则第(8)题已知向量，满足，在方向上的投影向量为，且，则的值为（）A．4B．C．16D．48二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知随机变量，，，，记，其中，，则（）A ．若，则B．C．D．若，则第(2)题定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（）A．B ．的值是C．函数有一个零点D．过可以作三条直线与图象相切第(3)题已知直线：与圆：交于，两点，线段的中点为，则（）A．直线恒过定点B．的最小值为C．面积的最大值为2D．点的轨迹所包围的图形面积为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年黑龙江大兴安岭高中数学人教B 版 必修一第三章 函数专项提升(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 设函数f （x ）定义在实数集上，当x≥1时，f （x ）=3x﹣1，且f （x+1）是偶函数，则有（）A. B. C. D.偶函数奇函数非奇非偶无法判断2. 函数f （x ）=x 3+x 的奇偶性是（ ）A. B. C. D. 充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件3. 对于函数，， “”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数对任意的 ，恒成立，则 的取值范围（ ）A. B. C. D.与a 无关，且与b 无关与a 有关，且与b 有关与a 有关，且与b 无关与a 无关，且与b 有关5. 设函数（a ， ， 且），则函数的奇偶性（ ）A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为R ，且是奇函数，是偶函数，则（）A. B. C. D.(ln 2)2ln(ln 2)l ln 27. 下列四个数中最大的是( )A. B. C. D. 8. 已知函数 ， 且 ， 则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.9. 函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D.10. 已知函数的值域为 ， 则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.y=sinx y=ln （﹣x ）y=e x y=ln11. 下列函数为偶函数的是（ ）A. B. C. D. 12. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. B. C. D. 13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式.①的最大值为2；② ， ；③是周期函数．14. 设函数 为奇函数，则k= ．15. 写出一个同时满足下列三个性质的函数.①是奇函数；②在单调递增；③有且仅有3个零点. 16. 已知 是奇函数，当 时， ，则 时， .17. 已知函数 (e 为自然对数的底数)有两个零点．(1) 若，求在处的切线方程；(2) 若的两个零点分别为，证明：．18. 已知函数为定义在上的奇函数.(1) 求的值；(2) 根据单调性的定义证明函数在上单调递增；(3) 若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.19. 已知， .(1) 求的解析式；(2) 求的值域.20. 设函数 .(1) 求f（x）的单调区间；(2) 若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；(3) 若关于x的方程f（x）＝x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．21. 已知函数f（x）=x3+e x-e-x．(1) 判断此函数的奇偶性，并说明理由；(2) 判断此函数的单调性（不需要证明）；(3) 求不等式f（2x-1）+f（-3）＜0的解集．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)(3)。

黑龙江大兴安岭地区（新版）2024高考数学统编版（五四制）能力评测(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则A．B．C．D．第(2)题已知向量，满足，，则（）．A．B．C．D．第(3)题复数的虚部为（）A．6B．C．8D．第(4)题如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（）A．B．C．D．第(5)题已知，则（）A．0.64B．C．0.36D．第(6)题2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（）A．2017年至2022年该省年生产总量逐年增加B．2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元C．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低D．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%第(7)题已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（）A．B．C．D．第(8)题已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)以下说法正确的是（）A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95B．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点C．相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强D．已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥第(2)题如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（）A．若点为的中点，则过P、Q、三点的截面为四边形B．若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为C．不存在点，使D．与平面所成角的正切值最小为第(3)题已知椭圆的左､右焦点分别为是圆上且不在x轴上的一点，且的面积为.设C的离心率为e，，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知所在平面内的两点，满足：，，是边上的点，若，，，，则__________.第(2)题记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.第(3)题已知为虚数单位，复数，，那么__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，平面ABP，平面ABP，，，，平面与平面的交线为．(1)证明：；(2)若为上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份201220132014201520162017年份代码123456年产量（万吨）6.6 6.777.17.27.4（I）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．（参考数据：，计算结果保留小数点后两位）第(3)题如图，在四棱锥中，，，侧面是边长为8的等边三角形，，.(1)证明：平面.(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.第(4)题在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角B的大小；(2)求的取值范围．第(5)题已知．（1）若是的极值点，讨论的单调性；（2）当时，证明：在定义域内无零点．。

黑龙江省大兴安岭地区2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数12i2i+=-（ ）． A ．i B ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 2．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．3．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】考虑当0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解，令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k 的取值范围. 【详解】因为()f x 的图象上关于原点对称的点有2对， 所以0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解.令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 在()0,∞+有两个不同的零点. 又()1kxh x x-'=， 当0k ≤时，()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上为增函数，()h x 在()0,∞+上至多一个零点，舍.当0k >时，若10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k ，则()0h x '>，()h x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数； 若1,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x k ，则()0h x '<，()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；故()max 11ln h x h k k ⎛⎫==⎪⎝⎭， 因为()h x 有两个不同的零点，所以1ln 0k>，解得01k <<. 又当01k <<时，11e k <且10k h e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()h x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点.又22ln +122ln e e e h t et k k k ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，其中11t k =>. 令()22ln g t t et =+-，则()2etg t t-'=， 当1t >时，()0g t '<，故()g t 为()1,+∞减函数， 所以()()120g t g e <=-<即20e h k ⎛⎫<⎪⎝⎭. 因为2211e k k k >>，所以()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上也存在一个零点. 综上，当01k <<时，()h x 有两个不同的零点. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题. 4．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式化简函数为cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，要想在括号内构造2π变为正弦函数，至少需要向左平移4π个单位长度，即为答案. 【详解】由题可知，22cos 1cos 2cos 28284x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对其向左平移4π个单位长度后，cos cos sin 442y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图像关于坐标原点对称故m 的最小值为4π故选：B 【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题. 5．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值. 【详解】依题意，()1 51,2323111,13x xf x x xx x⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩，作出函数()f x的图象如下所示；由函数图像可知，当13x=-时，()f x有最大值23-，当2x=-时，()f x有最小值9-.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.6．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE14SB=.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A．222B．5C．1316D．113【答案】D【解析】【分析】可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出3210SC SF CF===，tan∠CSF的值.【详解】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵14SE SB=，∴13SE BE=，又OB＝3，∴113OF OB==，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴32SC=；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴10SF=；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴10CF=，∴等腰△SCF中，2232(10)()1123322tan CSF∠-==.故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.7．已知在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x=+++-存在极值，则角B的取值范围是（）A．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭C．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】求出导函数()f x'，由()0f x'=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论．【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-Q ，()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值，则()2221404b ac ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<πQ ． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键． 8．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.9．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C 【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ．10．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x|x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2},{|(5)(1)0}{|15}A B x x x x x =--=-+<=-<<{}{}{}2,1,0,1,2|150,1,2A B x x ∴⋂=--⋂-<<=，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.11．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键. 12．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学一轮复习知识点讲解专题3.9 函数的实际应用【考纲解读与核心素养】1. 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 3. 高考预测：（1）从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解； （2）函数的综合应用.（3）常与二次函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇． 4.备考重点（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型. （2）函数的综合应用.【知识清单】1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0). (2)反比例函数模型：y ＝k x(k ≠0).(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0). (4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b >0，b ≠1，a ≠0). (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a >0，a ≠1，m ≠0).2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质【重点总结】解答函数应用题的一般步骤：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．【典例剖析】高频考点一 ：一次函数与分段函数模型【典例1】（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ） A ．1800 B ．1000 C ．790 D ．560【答案】C 【解析】李某月应纳税所得额（含税）为：1800050001000200010000---=元， 不超过3000的部分税额为30003%90⨯=元，超过3000元至12000元的部分税额为()10000300010%700010%700-⨯=⨯=元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90700790+=元． 故选：C ．【典例2】（2019·山西高三期末（文））为响应低碳绿色出行,某市推出“新能源分时租赁汽车”,其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费得标准由以下两部分组成：（1）根据行驶里程数按1元/公里计费;（2）当租车时间不超过40分钟时,按0.12元/分钟计费;当租车时间超过40分钟时,超出的部分按0.20元/分钟计费;（3）租车时间不足1分钟,按1分钟计算.已知张先生从家里到公司的距离为15公里,每天租用该款汽车上下班各一次,且每次租车时间t∈[20,60]（单位:分钟）.由于堵车,红绿灯等因素,每次路上租车时间t 是一个随即变量.现统计了他50次路上租车时间,整理后得到下表:租车时间t（分钟）[20，30] （30，40] （40，50] （50，60]频数 2 18 20 10将上述租车时间的频率视为概率.(1)写出张先生一次租车费用y(元)与租车时间t(分钟)的函数关系式;(2)公司规定,员工上下班可以免费乘坐公司接送车,若不乘坐公司接送车的每月(按22天计算)给800元车补.从经济收入的角度分析,张先生上下班应该选择公司接送车,还是租用该款新能源汽车?【答案】(1)；(2)应该选择公司接送车.【解析】（1）由题可得：当时，，当时，，；（2）张先生租用一次租用新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间：，每次上下班租车的费用约为（元）一个月山下班租车费用约为，估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源汽车租赁汽车用，所以应选择公司接送车.【规律方法】1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．2.分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)． 【变式探究】1.（2020·广东省高三其他（理））某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：（1）若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；（3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠. 某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元； 方案二：一次性付款购买.若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元 A ．540 B ．620C ．640D ．800【答案】C 【解析】依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，因为28802000>，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为288032000.9=元； 第二次付款4850元时，因为48504500>，所以其原来的价格为48504500500055000.7-+=元.所以分两次购买饲料的原价为320055008700+=元.方案二：若一次性付款，则应付款为：()870050000.750000.97090-⨯+⨯=元， 所以节省()288048507090640+-=元. 故选：C2.（2018届广东省深圳中学高三第一次测试）中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下：（I ）写出“套餐”中方案1的月话费y （元）与月通话量t （分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；（II ）学生甲选用方案1，学生乙选用方案2，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；（III ）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由.【答案】(1) 30,048,{ 0.6 1.2,48.t y t t ≤≤=-> （2）98元. （3）见解析【解析】(1)由题意得，当048t ≤≤时， y 30=;当48t >时， ()300.6480.6 1.2y t t =+⨯-=-。