地图数学基础

第二章地图的数学基础【教学目的】通过本章教学，使学生理解并掌握地图投影的概念、投影变形及分析方法，主要投影类型、构成、变形分布及其应用，地图投影选择等。

为学生正确地阅读和使用地图投影奠定扎实的理论基础。

【重点难点】教学重点：地图投影的概念、主要投影类型、变形分析及其应用，地图投影的选择等。

教学难点：地图投影的概念、投影变形分析等。

第一节地球椭球体一、地球的自然表面地球的自然表面十分不规那么。

地球表面约有71％的面积为海洋，29%的面积是大陆与岛屿。

陆地上最高点珠穆朗玛峰海拔高度为，海洋中最深处在马里亚纳海沟为-11034米，两者相差近20公里。

地球的自然表面无法用数学公式表达，在量测与制图时，必须找一个规那么的曲面来替代它。

二、地球的物理表面当海洋静止时，它的自由水面必定与该面上各点的重力方向（铅垂线方向）成正交，我们把这个面叫做水准面。

水准面有无数多个，但其中必然存在一个静止的、平均的海水面。

设想这个静止的平均海水面穿过大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面（图2-1）。

大地水准面所包围的形体，叫大地球体。

由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重力方向的变化，导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规那么的、仍然是不能用数学表达的曲面。

三、地球的数学表面大地水准面形状虽然十分复杂，但从整体来看，起伏是微小的。

它是一个很接近于绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。

所以在测量和制图中就用旋转椭球来代替大地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体，简称椭球体。

地球椭球体表面是一个规那么的数学表面，它是测量与制图的基础。

其大小、形状取决于长半轴，即赤道半径（a）、短半轴，即极半径（b）、扁率（f）。

a、b、f也称为地球椭球体的元素值。

其中：a ba f -=由于推求年代、所用的方法以及测定的地区不同，地球椭球体的元素值有很多种。

现将几个常用的地球椭球体元素值列于表2-1中。

表2-1椭球体名称及元素值表我国在1952年以前采用海福特（Hayford ）椭球体，从1953年到1980年采用克拉索夫斯基椭球体。

3.地图数学基础
3.1地理坐标系
地理坐标系<Geographic Coordinate Systems），指地表实体经度面、纬度面与地心夹角，可理解为经纬度坐标。

在Geographic Coordinate Systems目录中，我们可以看到已定义的许多坐标系信息，典型的如Geographic Coordinate Systems\Asia目录下的Beijing 1954.prj，里面所定义的坐标参数描述了地理坐标系的名称、大地基准面、椭球体、起始坐标参考点、单位等。

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3.2投影坐标系
投影坐标系<Projected Coordinate Systems），可称为大地坐标系，指将地表弧面投影到平面坐标系的坐标值，可理解为公里网坐标。

在Projected Coordinate Systems目录中，我们可以看到已定义的许多坐标系信息，典型的如Projected Coordinate Systems\Gauss Kruger\Beijing1954目录下的Beijing 1954 GK Zonep1EanqFDPw
18N，里面所定义的坐标参数描述了投影坐标系的名称、地理坐标系、大地基准面、椭球体、起始坐标参考点、单位等。

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3.3 两大坐标系区别
关于地理坐标系和投影坐标系的区别，投影坐标系＝地理坐标系＋投影过程。

注意：详见压缩包“10-9.RAR、10-10.rar”中的视频RTCrpUDGiT
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第一章导论习题及参考答案习题一、判断题（对的打“J”，错的打“X”）1.比例尺、地图投影、各种坐标系统就构成了地图的数学法则。

（J）2.地图容纳和储存了数量巨大的信息，而作为信息的载体，只能是传统概念上的纸质地图（X）3.地图的数学要素主要包括地图投影、坐标系统、比例尺、控制点、图例等。

（X）4.实测成图法一直是测制大比例尺地图最基本的方法。

（J）5.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。

以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。

（X）6. 一般情况下真方位角（A）、磁偏角（6八磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+6 （X）。

7.大规模的三角测量和地形图测绘，其成为近代地图学的主流。

（J）8.城市规划、居民地布局、地籍管理等需要以小比例尺的平面地图作为基础图件。

（X）9.实地图即为“心象地图”，虚地图即为“数字地图”（J）10.方位角是由标准方向线北端或者南端开始顺时针方向到某一直线的夹角。

（X）11.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。

（X）12.目前我国各地高程控制点的绝对高程起算面是1956黄海平均海水面。

（X）13.磁偏角只随地点的不同而不同。

（X）14.南京紫金山最高点对连云港云台山最高点的高差为正。

（X）15.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。

（X）二、名词解释1.地图2.直线定向3.真子午线4.磁子午线5.磁偏角6.子午线收敛角7.磁坐偏角8.方位角9.象限角10.地图学11.三北方向12.1956年黄海高程系三、问答题1.地图的基本特性是什么？2.我国地图学家把地图学分为哪几个分支学科组成？3.结合自己所学地图知识谈谈地图的功能有哪些？四、计算题1.已知某地的磁偏角为-5° 15,,直线AB的磁方位角为134° 10,,试求AB直线的真方位角。

2.已知某地的R=59° 20/ SE, a =?3.已知某目标方向线OA的真象限角为24° SW, OA的磁方位角为206° 30,,求其真方位角和磁偏角各为多少？并分别画出草图。

§3 常见地图投影一.方位投影以平面为投影面，使平面与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线网投影到平面上形成方位投影。

1、变形分布规律其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。

投影中心是没有变形的点，从投影中心向四周变形逐渐增大。

在投影平面上，由投影中心向各方向的方位角保持不变。

2、正轴方位投影切点在北极或南极，又叫极地投影。

经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。

在正轴投影中，因为经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。

一般用于绘制南、北半球地图或北极、南极区域地图。

按变形性质又可以分为等积、等角、等距投影等。

1）正轴等角方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。

经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。

在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大；经线夹角等于相应的经差。

投影变形情况：①无角度变形，任一点长度比相同，极值长度比相等（a=b），经纬线长度比相等(m=n)。

②微分圆投影后保持正圆性质。

③极点为投影中心，是无变形点，距投影中心愈远长度变形和面积变形愈大, 在投影边缘面积变形是中心的四倍。

2）正轴等距方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。

经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。

经线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。

投影变形情况：①经线方向没有长度变形（m=1），各纬圈间的距离与实地相等。

②极点为投影中心，为无变形点。

③等变形线是以极点为中心的同心圆，距投影中心愈远角度变形和面积变形愈大。

等距切方位投影亦称波斯托等距方位投影。

3）正轴等积方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。

经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。

在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。

投影变形情况：①没有面积变形，面积比等于1，但角度变形较大②沿经线长度比大于1，沿纬线长度比小于1，两者互为倒数，面积比等于1。