电动力学数学基础

对称张量：
Aij Aji
Aji
反对称张量：Aij
任何张量均可分解为一个对称张量与一个反对称张量：
A=As+Aa
(A12 A21 )/2 (A13 A31 )/2 A11 As : (A21 A12 )/2 A22 (A23 A32 )/2 (A31 A13 )/2 (A32 A23 )/2 A33 (A12 A21 )/2 0 Aa :(A21 A12 )/2 0 (A31 A13 )/2 (A32 A23 )/2 (A13 A31 )/2 (A23 A32 )/2 0
3) 矢量与并矢的点积——不对易，结果为矢量
2) 并矢间二次点积——对易，结果为标量
a (cd )=(a c )d ;
(ab ) c a (b c )

张量：张量在并矢基
e1e1 e2 e1 e3 e1
e1e2 e2 e2 e3 e2
e1e3 e2 e3 e3 e3
下的9个分量，有一个 矩阵A与之对应，记作:
A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33
称为3维2阶张量，可记作:
(e1 , e2 , e3 ) (i , j , k ) 注意：一般来说，并矢本身不对易 ab ba
并矢的运算： 1) 并矢间一次点积——不对易，结果仍为并矢
(ab ) (cd ) a (b c )d
(ab )： ) (a d )(b c );(cd )： ) (b c )(a d ) (cd (ab
每一点的物理量，均可用矢量 A( x , y , z ) 来表示。 A( x , y , z ) Ax ( x , y , z )i Ay ( x , y , z ) j Az ( x , y , z )k
注：每个分量均是(x,y,z)的函数 1) 矢量场的梯度是张量 2) 通量：矢量A 沿有向曲面S 的面积分 通量的大小判断闭合面内源的性质:
ˆ n
p
等量面 等量面
是 = C 的 ˆ n 1
等量面上p点法 线方向的单位 矢量，指向 增加的方向。
C1 C2
C1 < C2
梯度是在P点的最大方向导数，也即在P点梯度给出， 在P点沿哪个方向增长最快，及增长最快的速率。
矢量场：若物理场的物理量是矢量，则为矢量场。矢量场中
I e1e1 e2e2 e3e3
A :I =I :A TrA
一般情况下可通过并矢来定义张量，但并非所有张量均 可用并矢来表示。
并矢与张量的区别：给定一并矢必有一张量与之对应，即并矢是 张量的一种特殊情形；而任一张量则需视其诸分量构成的特点， 或等于一个并矢，或等于两个并矢之和，或等于3个并矢之和。
1 矢量的非法运算： , lnB, A
C , eD

并矢：两个矢量并列，不做任何运算所构成的量
ab (a1e1 +a2e2 a3e3 )(b1e1 b2e2 b3e3 ) a1b1e1e1 a1b2 e1e2 a1b3 e1e3 a2 b1e2 e1 a2 b2 e2 e2 a2b3e2e3 9个分量 a3 b1e3 e1 a3 b2 e3 e2 a3b3e3e3
量A、B为邻边的平行 四边形面积.

A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k ) ( Ay Bz B y Az )i ( Az Bx Bz Ax ) j ( Ax B y Bx Ay )k



矢量的导数和积分：
A( t ) Ax ( t )i Ay ( t ) j Az ( t )k
dA( t ) dAx ( t ) dAy ( t ) dAz ( t ) i j k dt dt dt dt
A(t )dt
A (t )dt
T f Tij ei e j fl el Tij fl ei jl Tij f j ei
张量和矢量的点乘——书P280
ij l
f T fiTij e j
ij
ijl
ij
张量和矢量点乘：结果仍为矢量
单位张量：
a I =I a a ; A I =I A A ;




平行六面体体积
把三个矢量进行轮换，其积不变； 只把两矢量对调，其积差一负号。 三矢量共面充要条件：上式=0
Βιβλιοθήκη Baidu
c a b c b a c a b a (b c ) b (c a ) c (a b ) 0
A Aij ei e j
上述可推广到n 维 m 阶张量，其分量为：
Aj1 , j2 ,... jm ; j1 , j2 , ... jm : 1 n
分量个数为nm。以下不作特殊说明，均指3维2阶张量。
0阶张量即标量；n维1阶张量即n维矢量
A11 A12 A13 A: A21 A22 A23 A31 A32 A33
x
i
Ay (t )dt j

Az (t )dt k

矢量的导数和积分的结果仍为矢量，但这些新
矢量与原矢量的方向是否相同？
d ( A B ) dB dA A B dt dt dt d ( A B ) dB dA A B dt dt dt
A B B A
A
A B C
C
A B
练习：判断矢量C的方向
A B C
B
B
A
B
A
A
c a b a b c b c a
两个重要公式：书P275 混合积与双叉乘
在其它形式的坐标系，如柱坐标、球坐标，梯度的表达式不同。
2）梯度运算公式：类似求导规则
F (u) F (u)u u 1 2 (vu uv ) v v
( )
3）梯度的几何意义：在P点处的梯度方向与通过P点的等量面 （量值相等的点构成的面）在P点的法线n的方向相同，且指向 增加的方向；梯度的模等于在此法线方向的方向导数。
4）旋度(rotation)：设想将闭合曲线缩小到其内某 点P附近，则以闭合曲线L为界的面积 S 逐渐缩 小，环量也将逐渐减小，两者比值的极限记作 该极限与闭合曲线的形状无关，而依赖于以 闭合曲线L为界的面积 S 的法线n 的方向。 矢量场A在P点的旋度 rot A 通过下式定义：

S
A dS
称矢量 A 沿有向曲面S 的通量。若S 为闭合曲面，则可据
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
正源
负源 无源
3）散度(divergence)：在矢量场中，围绕 P点做一闭合面，所围 体积为V，若垂直穿过闭合面的通量与体积之比的极限存在， 则称该极限为矢量场A在 P 点的散度。
V P
lim

S
A dS V
div (A )P A Ax Ay A x y z z
散度的物理意义：矢量的散度是通量的体密度，是标量。它是空 间坐标点的函数，代表了矢量场内某点的源的分布特性。 • A> 0 表示点P是流出的源，其值表示源的强度或源密度 • A< 0 表示点P是吸收的洞，其值表示洞的强度
( A) A A
3）环量：矢量场A沿一条有向闭合曲线L （取定正方向的闭合曲线）的线积分， 称为A沿该曲线L的环量 c A dl 或流量。 L

通常规定：以闭合曲线L为边界的面积 S 的法线为n ，而L 的正
向要与法线 n 的方向满足右手螺旋法则。
电动力学中的数学基础
矢量、张量、积分变换、 坐标系、数理方程
标量 矢量 张量

标量（数量）：温度T，密度 特点1）：只有大小没有方向的物理量 特点2）：用正实数或负实数来表示 矢量（向量） 3维矢量：r x i y z k x , y , z j
"张量"一词最初由哈密尔顿在1846年引入，一些物理量如弹性体 的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。爱 因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 1)应力是某点A的坐标的函数，即受力 体内不同点的应力不同。
2)应力是某点A在坐标系 中方向余弦的函数，即同 一点不同方位的截面上的 应力是不同的。
（以下不作特殊说明，均指三维矢量） 矢量运算： 标量积（点积）：一个矢量在另一个矢量上的投影
A B Ax Bx Ay B y Az Bz A B cos
结果为标量，平行模相乘；垂直积为0
A 0 or A B 0 B 0 or A B

A Ax i Ay j Az k Ax , Ay , Az
单位矢量——大小（长短）为1的矢量。直角坐标系中 三个坐标轴方向的单位矢量表示为 ( i , j , k )
任意方向的单位矢量一般表示为 e A / A ˆ
4维矢量： X t x , y, z p E , p x , p y , pz
( x, t )
4 0 V
1
1）标量场的梯度(gradient) ：标量函数的梯度是一个矢量， 直角坐标系中—— 注：矢量微分（哈密顿） u u u grad u i j k u 算符，同时具有矢量特性 x y z 和微分特性，但不是真正 意义的矢量，须对一个函 i j k x y z 数实施作用才有意义。
• A = 0
(正源)
• A = 0 (负源)
• A=0 表示点P是既不是源也不是洞，称矢量场A为无源场
高斯公式：矢量场通过封闭曲面S的流量，等于此封闭曲面包围 的体积V上每一点的散度对V的体积分

S
A dS ( A)dV
V
——面（积分）化体（积分）
场的微分运算
物理场：空间区域D的每个点，都对应某个物理量的
一个确定的值（可随时间变化），则称在D上确定了
该物理量的一个场。若场中物理量在各点处的值不随 时间变化，则称稳定场，反之为不稳定场。 标量场：若物理场的物理量是标量，则为标量场。标 量场中每一点的物理量，均可用标量来表示。
0 ( x, t r c ) dV r
B

2 A A A 0
A
矢量积（叉积）：结果为矢量；平行积为0，垂直模 相乘. 大小： C A B sin , (0 )
A B C
方向：右手螺旋定则 C A,C B C C矢量的大小等于以矢 B