MATLAB 符号运算

s=log(2*x/y);
simplify(s)
ans =
log(2)+log(x/y)
s=(-a^2+1)/(1-a)
simplify(s)
ans =
a+1
函数simple试用几种不同的化简工具，然后选择在结果中含有最少字符的那种形式。如下例：
syms x y;
syms x y;
V=3*x^2-5*y+2*x*y+6
V =
3*x^2-5*y+2*x*y+6
二．基本的符号运算
1．四则运算：
符号表达式的加减乘除可以分别利用函数symadd、symsub、symmul、symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
例：
f=‘2*x^2+3*x-5’ %定义符号表达式
④limit(f,x,a,’right’)，求极限，’right’表示变量x从右边趋近于a。
⑤limit(f,x,a,’left’)，求极限，’left’表示变量x从左边趋近于a。
例：求下列极限
syms a m x;
f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
g=‘x^2-x+7’
U=symadd(f,g) %求f+g
V=symsub(f,g) %求f-g
W=symmul(f,g) %求f*g
X=symdiv(f,g) %求f/g
Y=sympow(f,’3*x’) %求f^(3x)
另外，与数值运算一样，也可以用+ - * / ^运算符来实现符号运算。如：
①limit(f,x,a)求符号函数f(x)的极限。当x趋向于a时，f(x)的极限值。

六大常见符号运算
因式分解、展开、合并、简化及通分等
计算极限 limit(f,x,a): 计算 lim f ( x )
xa
limit(f,a): 计算默认自变量趋向于a时f的极限 limit(f): 计算 a=0 时的极限 limit(f,x,a,’right’)：右极限 limit(f,x,a,’left’)：左极限
1 2 n 1 n

，以及其前10项的部分和。
>> syms n >> S=symsum(1/n^2,n,1,inf) >> S10=symsum(1/n^2,n,1,10)
x 2 n 1 n

S=1/6*pi^2 S10=1968329/1270080
例：求函数级数
S
>> syms n x >> S=symsum(x/n^2,n,1,inf)
符号矩阵中元素的引用和修改
>> A=sym(’[1+x, sin(x); 5, exp(x)]’) >> A(1,2) >> A(2,2)=sym(’cos(x)’)
Matlab 符号运算（二）
符号矩阵的基本运算
符号矩阵的基本运算与数值矩阵的基本运算相类似。
1) 基本运算符：+、-、*、\、/、
ans=10
ans=2*x+y
ans=10 ans=[2+y,4+y,6+y] ans=[7 10 13]
ans=3*a+b
?
Matlab 符号运算（二）
符号矩阵
使用sym函数直接生成
>> A=sym(’[1+x, sin(ห้องสมุดไป่ตู้); 5, exp(x)]’)

>> k1=polyder([2,-1,0,3]); >> k2=polyder([2,-1,0,3],[2,1]); >> [k2,d]=polyder([2,-1,0,3],[2,1]);
多项式的值
计算多项式在给定点的值
代数多项式求值
y = polyval(p,x): 计算多项式 p 在 x 点的值
p( x) ( x x1 )(x x2 )( x xn )
多项式运算小结
poly2sym(p,’x’) k = conv(p,q) [k,r] = deconv(p,q) k = polyder(p) [k,d] = polyder(p,q) [k,d] = polyder(p,q) y = polyval(p,x) Y = polyvalm(p,X) x = roots(p)
例如：A = sym('[a , 2*b ; 3*a , 0]') A= [ a, 2*b] [3*a, 0] 这就完成了一个符号矩阵的创建。 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方 括号，这是与 matlab数值矩阵的 一个重要区别。
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms
syms 命令用来建立多个符号变量，一般调用格式

f (v)
v a
b
symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
1 例：计算级数 S 2 及其前100项的部分和 n 1 n >> syms n; f=1/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf) >> S100=symsum(f,n,1,100) x 例：计算函数级数 S 2 n 1 n

二、符号表达式的代数运算
符号运算与数值运算的区别主要有以下几点： 1. 传统的数值型运算因为要受到计算机所保留的有效位数的 限制，它的内部表示法总是采用计算机硬件提供的 8位浮 点表示法，因此每一次运算都会有一定的截断误差，重复 的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差。符号运算 不需要进行数值运算，不会出现截断误差，因此符号运算 是非常准确的。 2. 符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。
三、 符号表达式的操作和转换

符号表达式中自由变量的确定
1. 自由变量的确定原则 MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
(1) 小写字母i和j不能作为自由变量。 (2) 符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序 选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则 选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离， 则在x后面的优先。 (3) 大写字母比所有的小写字母都靠后。

符号矩阵
用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。
例如，使用syms命令创建相同的符号矩阵：
syms a b c d A=[a b; c d] A =[ a, b] [ c, d] 例3 比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。 A=sym('[a,b; c,d]') %创建符号矩阵 A =[ a, b] [ c, d] B='[a,b;c,d]' %创建字符串矩阵 B =[a,b; c,d] A*2 v.s. B*2
例9 三种形式的符号表达式的表示。

符号表达式的化简
同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式，例 如以下的f(x)就可以分别表示为：
(1) 多项式形式的表达方式：f(x)=x3-6x2+11x-6 (2) 因式形式的表达方式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) (3) 嵌套形式的表达方式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6

3.1 算术符号操作命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’功能符号矩阵的算术操作用法如下：A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。

若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。

A*B 符号矩阵乘法。

A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。

按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。

即：若A n*k*B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m=C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。

A.*B 符号数组的乘法。

A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。

A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。

即：A n*m.*B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

A\B 矩阵的左除法。

X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。

我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。

若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。

矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。

A.\B 数组的左除法。

A.\B为按对应的分量进行相除。

若A与B为同型阵列时，A n*m.\B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。

A/B 矩阵的右除法。

X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。

我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。

若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。

>>p0 = sym(‘(1+sqrt(5))/2’)
p0 = (1+sqrt(5))/2 >>pr = sym((1+sqrt(5))/2,'r') pr =7286977268806824*2^(-52) >>e32r = vpa(abs(p0-pr),16) e32r = 0
%广义有理表示
Matlab程序设计
Matlab程序设计
2.2 符号数字 sc = sym(‘Num’) %符号常数sc的值精确等于Num 例：a = pi + sqrt(5) %a为数值类常量 sa = sym(‘pi + sqrt(5)’) %sa为符号数字常量
% sa = pi + sqrt(5), sym型; eval(sa) 为5.3777, double型
k = sym('k','positive');
Matlab程序设计
2.4 符号变量
符号变量与符号参数的创建方法相同，但表达式或 方程中作用不同. 确定自由符号变量： findsym(EXPR , N) %确认EXPR中距离x最近的N个自由符号变
量, 略去N表示全部
例2.1-1 用符号计算研究方程uz2+vz+w=0的解 syms u v w z Eq=u*z^2+v*z+w; %符号方程 r_1=solve(Eq) %一个方程只能解一个未知数w(离x最近) findsym(Eq,1) %只找一个自由符号变量,则找到w r_2=solve(Eq,z)
3.3 符号表达式的操作 例：化简 S=(x2+y2)2+(x2-y2)2 syms x y; S=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2 simple(S) %系统自动试探各种函数化简 simple(ans) %使用多次找到最少字母的简化式 例2.2-3：对符号矩阵进行特征向量分解. syms a b c d W [V,D]=eig([a b;c d]) [RVD,W]=subexpr([V;D],W)

ans=[2+y,4+y,6+y]
>> subs(f,x,[1:3]) >> subs(f,{x,y},{[1:3],[5:7]})
ans=[7 10 13]
>> subs(f,{x,y},{a+b,a-b}) >> subs(f,{x,y},{x+y,x-y})
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Matlab的符号运算
符号对象建立时可以附加属性： real、positive 和 unreal
>> x=sym('x','real') >> k=sym('k','positive') >> x=sym('x','unreal')
表明 x 是实的 表明 k 是正的 去掉 x 的附加属性
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Matlab的符号运算
符号表达式的建立
>> syms x >> f1=sin(x)+cos(x)
推荐！
>> f2=sym(’sin(x)+cos(x)’)
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Matlab的符号运算
相关函数
➢ findsym: 查找符号表达式中的符号变量
findsym(f) 按字母顺序列出符号表达式 f 中的所有自由变量 findsym(f,N) 列出 f 中距离 x 最近的 N 个自由变量（i，j 除外）
Matlab的符号运算
其它运算

MATLAB符号运算前⾔有时候，你可能会遇到较复杂的⽅程(组)，希望⽤MATLAB来求解。

MATLAB的符号运算正好可⽤于求解⽅程(组)。

此外，它还有许多其他功能。

例如，展开和简化、因式分解以及微积分运算等。

MATLAB的符号运算虽然是数值运算的补充，但是它仍然是科学计算研究中不可替代的重要内容。

与数值运算相⽐，符号运算不需要预先对变量赋值，其运算结果以标准的符号形式表达。

⽐如说计算sin(π)，数值运算的结果是1.2246e-16，符号运算的结果是0。

前者是近似的，后者是精确的。

正⽂MATLAB符号运算功能⾮常强⼤，本⽂只介绍⼤部分常⽤的符号运算功能。

注：本⽂代码的运⾏环境是MATLAB R2016b。

1. 创建符号数、符号变量和符号矩阵这⼀步骤是符号运算的第⼀步，后⾯的步骤都是在此基础上进⾏的。

%创建符号数 (只能⽤sym函数)s0 = 1 / sym(7) %符号数，不适合⼤型符号数s1 = sym('1/7') %符号数s2 = sym('3 + 4i') %符号复数%创建符号变量 (sym函数和syms函数都⾏)%--sym函数s3 = sym('x') %符号变量%--syms函数syms a b c %创建多个符号变量，值为本⾝syms(sym('[d e; e d]')) %⽤已存在的符号变量矩阵创建多个符号变量%创建符号矩阵 (sym函数和syms函数都⾏)s4 = sym('[2 5 6; 9 8 6]') %符号数矩阵s5 = sym('x', [2 3]) %符号变量矩阵，矩阵内的元素不会被创建为符号变量A = [a b c; c b a] %⽤已存在的符号变量创建符号变量矩阵% syms A B [2 3] %仅2017及以上版本⽀持，同时创建多个符号矩阵代码运⾏结果如下。

可以看到s5是⼀个2x3的符号变量矩阵，但矩阵内元素不会被创建成符号变量。

>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') >> syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2)
f2=2*(u+2)
ans=14 ans=2*((a+2)+2) f3=2*x+2*y ans=6
符号矩阵
使用 sym 函数直接生成 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]') 将数值矩阵转化成符号矩阵 >> B=[2/3, sqrt(2); 5.2, log(3)]; >> C=sym(B) 符号矩阵中元素的引用和修改 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]'); >> A(1,2) % 引用 >> A(2,2)=sym('cos(x)') % 重新赋值
符号对象的基本运算
基本函数
三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等
sin、cos、tan、cot、sec、csc、… asin、acos、atan、acot、asec、 acsc、…
exp、log、log2、log10、sqrt abs、conj、real、imag
rank、det、inv、eig、lu、qr、svd
How 中记录的为简化过程中使用的方法。
f
2*cos(x)^2sin(x)^2
(x+1)*x*(x-1)
R
HOW
3*cos(x)^2-1 simplify
x^3-x combine(tri g)

提问： sym(‘sqrt(3)’) 和 sym(sqrt(3))区别是什么？
第四章 MATLAB的符号运算
五、符号运算 2 sym函数 例如： sym(1/3,'f') sym(1/3,'e') sym(1/3,'r') sym(1/3,'d')
第四章 MATLAB的符号运算
五、符号运算 2 sym函数 例如：
第四章 MATLAB的符号运算
三、符号表达式的定义 MATLAB自变量确定原则: （1） x被视为默认的自变量。 （2）字母位置最接近x的小写字母； （。。。u,v,w,x,y,z。。。）
第四章 MATLAB的符号运算
三、符号表达式的定义 默认自变量实例
（1） sin（a*x+b*y） （2）a*x^2+b*x+c （3）1/（4+cos（t）） （4）4*x/y （5）2*a+b （6）2*i+4*j
符号表达式：包含数字、函数和变量的字符串， 不要求字符串中的变量有预先确定的值。 调用命令： sym 调用格式： f=sym（‘符号表达式’） 定义符号表达式，并将它赋值给变量f。
第四章 MATLAB的符号运算
三、符号表达式的定义
建立符号表达式有以下2种方法： (1)用sym函数建立符号表达式。 >> f=sym('a*x^2+b*x+c'); (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 >> syms x y a b c >> f=a*x^2+b*x+c (?)利用单引号来生成符号表达式。 >> f='a*x^2+b*x+c'

3.1 算术符号操作命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’功能符号矩阵的算术操作用法如下：A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。

若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。

A*B 符号矩阵乘法。

A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。

按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。

即：若A n*k*B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m=C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。

A.*B 符号数组的乘法。

A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。

A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。

即：A n*m.*B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

A\B 矩阵的左除法。

X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。

我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。

若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。

矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。

A.\B 数组的左除法。

A.\B为按对应的分量进行相除。

若A与B为同型阵列时，A n*m.\B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。

A/B 矩阵的右除法。

X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。

我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。

若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。

第2章符号运算- Presentation Transcript1.第二章符号运算o MA TLAB 的数学计算＝数值计算＋符号计算o其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。

2. 1. 符号变量、符号表达式和符号方程的生成o使用sym 函数定义符号变量和符号表达式o使用syms 函数定义符号变量和符号表达式3. 2 、用syms 创建符号变量o使用syms 命令创建符号变量和符号表达式o语法：o syms(‘arg1’, ‘arg2’, …, 参数) % 把字符变量定义为o% 符号变量o syms arg1 arg2 …, 参数% 把字符变量定义为符号变量的简洁形o% 式o说明：syms 用来创建多个符号变量，这两种方式创建的符号对象是相同的。

参数设置和前面的sym 命令相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。

4.使用syms 函数定义符号变量和符号表达式▪>> syms a b c x▪>> f = a*x^2 + b*x + c▪ f =▪a*x^2 + b*x + c▪>> g=f^2+4*f-2▪g =▪(a*x^2+b*x+c)^2+4*a*x^2+4*b*x+4*c-2▪>>ex02015.符号方程的生成▪>> % 符号方程的生成▪>> % 使用sym 函数生成符号方程▪>> equation1='sin(x)+cos(x)=1'▪equation1 =▪sin(x)+cos(x)=1▪>>6. 2.2 符号形式与数值形式的转换o 1 、将符号形式转换为数值形式：o eval 与numerico例：a1='2*sqrt(5)+pi'o a1 =o2*sqrt(5)+pio b2=numeric(a2) % 转换为数值变量o b2 =o7.6137o b3=eval(a1)o b3 =o7.61377. 2.2 符号形式与数值形式的转换▪ 2 、数值形式转换为符号形式▪p=3.1416;▪q=sym(p)▪执行后屏幕显示：▪q=3927/1250▪numeric(q)▪屏幕显示：▪ans =▪ 3.14168. 2.2 符号形式与数值形式的转换3 、多项式与系数向量之间的转换3.1 sym2poly: 将多项式转化为对应的系数向量例：syms x p; p=x^3-4*x+5; sym2poly(p) 执行后屏幕显示：ans= 1 0 -4 5 9. 2.2 符号形式与数值形式的转换o 3 、多项式与系数向量之间的转换o 3.2 poly2sym: 将向量转化为对应的多项式o例o a=[1 0 -4 5];o poly2sym(a)o执行后屏幕显示o ans=o x^3-4*x+510. 3. 符号表达式( 符号函数) 的操作o(1) 符号表达式的四则运算o syms xo f=x^3-6*x^2+11*x-6;o g=(x-1)*(x-2)*(x-3);o h=x*(x*(x-6)+11)-6;o f+g-ho执行后输出：o ans =o x^3-6*x^2+11*x+(x-1)*(x-2)*(x-3)-x*(x*(x-6)+11)11.(1) 符号表达式的四则运算▪>> syms x y a b▪>> fun1=sin(x)+cos(y)▪fun1 =▪sin(x)+cos(y)▪>> fun2=a+b▪fun2 =▪a+b▪>> fun1+fun2▪sin(x)+cos(y)+a+b▪>>fun1*fun2▪ans =▪(sin(x)+cos(y))*(a+b)12.o(1) 将表达式中的括号进行展开: expando(2) 将表达式进行因式分解：factoro(3) 将一般的表达式变换为嵌套的形式：hornero(4) 将表达式按某一个变量的幂进行集项：collecto(5) 化简表达式：simplifyo(6) 化简表达式，使之成为书写长度最短的形式：simple13.o同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式，例如以下的f(x) 就可以分别表示为：o多项式形式的表达方式：o f(x)=x^3+6x^2+11x-6o因式形式的表达方式(factor) ：o f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)o嵌套形式的表达方式(horner) ：o f(x)=x(x(x-6)+11)-614.集项－合并符号表达式的同类项o>> syms x y▪>> collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x)▪ans =▪(y-1)*x^2+(y-2)*xo>> syms x y▪>> collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x,y)▪ans =▪(x^2+x)*y-x^2-2*x15.符号多项式的嵌套(horner )▪>> syms x▪>> fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40▪fun1 =▪2*x^3+2*x^2-32*x+40▪>> horner(fun1)▪ans =▪40+(-32+(2+2*x)*x)*x▪>> fun2=x^3-6*x^2+11*x-6▪fun2 =▪x^3-6*x^2+11*x-6▪>> horner(fun2)▪ans =▪-6+(11+(-6+x)*x)*x16.符号表达式的化简(simplify)▪>> syms x▪>> fun1=(1/x+7/x^2+12/x+8)^(1/3)▪fun1 =▪(13/x+7/x^2+8)^(1/3)▪>> sfy1= simplify (fun1)▪sfy1 =▪((13*x+7+8*x^2)/x^2)^(1/3)▪>> sfy2= simple (sfy1)▪sfy2 =▪(13/x+7/x^2+8)^(1/3)17.subs 函数用于替换求值▪>> syms x y▪ f = x^2*y + 5*x*sqrt(y)▪ f =▪x^2*y+5*x*y^(1/2)▪>> subs(f, x, 3)▪ans =▪9*y+15*y^(1/2)▪>> subs(f, y, 3)▪ans =▪3*x^2+5*x*3^(1/2)▪>>subs(f,{x,y},{1,1})ex0202 ex0203 ex020418. 4 、反函数的运算(finverse )▪>> syms x y▪>> f = x^2+y▪ f =▪x^2+y▪>> finverse(f,y)▪ans =▪-x^2+y使用格式： 1 、g=finverse(f):f,g 均为单变量x 的符号函数； 2 、g=finverse(f,t) 返回值g 的自变量取为t ；19. 5 复合函数的运算(compose)▪>> syms x y z t u▪>> f = 1/(1 + x^2);▪>> g = sin(y);▪>> h = x^t;▪>> p = exp(-y/u) ;▪>> compose(f,g)▪ans =▪1/(1+sin(y)^2)▪>> compose(f,g,t)▪ans =▪1/(1+sin(t)^2)使用格式：Compose(f,g) % 返回当f=f(y) 和g=g(x) 时的复合函数f(g(x)) Compose(f,g,t) % 返回的复合函数以t 为自变量，即有f(g(t))20. 6 函数的极限、导数与积分o（1 ）函数极限－limit 函数的使用o（2 ）函数求导－diff 函数的使用o（3 ）符号积分－int 函数的使用21.o符号极限(limit)假定符号表达式的极限存在，Symbolic Math Toolbox 提供了直接求表达式极限的函数limit ，函数limit 的基本用法如下表所示。

③符号计算指令的调用简单，和经典教科书公式相近。
④计算所需的时间较长。
• Symbolic Math Toolbox——符号运算工具包通过调用
Maple软件实现符号计算的。
• Maple软件——主要功能是符号运算，它占据符号软件
的主导地位。
2. 字符串与符号变量、符号常量
字符串对象 f = 'sin(x)+5x'
由符号变量构成的符号函数和 符号方程
• 符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函
数运算符以及专用函数连接起来的符号对象。
• 包括：符号函数和符号方程。判断看带不带等
号。 例：syms x y z; f1=x*y/z;
f2=x^2+y^2+z^2; f3=f1/f2;
e1=sym('a*x^2+b*x+c')
factor(x^3-y^3)
• simplify( ) 该函数是一个强有力的具有
普遍意义的工具，它利用Maple化简规则 对表达式进行简化。
例：S=sym('[(x^2+5*x+6)/(x+2);sqrt(16)]')
simplify(S)
• simple( ) 用几种不同的算术简化规则对
符号表达式进行简化，使其用最少的字 符来表示。
行是自变量 x 的取值范围和常数 a 的值。
• 第四行只对 f 起作用，如求导、积分、简
化、提取分子和分母、倒数、反函数。
• 第五行是处理 f 和 a 的加减乘除等运算。
• 第六行前四个进行 f 和 g 之间的运算，后
三个分别是：求复合函数；把 f 传递给 ； swap是实现 f 和 g 功能的交换。

2013年8月6日12时46
10
③ 符号对象与数值对象的转换
将数值对象转化为符号对象 函数调用格式：sym(A) A=[1/3,2.5;1/0.7,2/5]
A=
0.3333 2.5000 1.4286 0.4000
sym(A)
ans = [ 1/3, 5/2] [10/7, 2/5]
2013年8月6日12时46
4
2. 符号变量与符号表达式
syms v1 v2 v3 … vn
—— 定义符号变量 名
syms x f = sin(x)+5*x
f —— 符号变量(矩阵) sin(x)+5*x —— 符号表达式
2013年8月6日12时46
5
3.符号对象的创建
数值矩阵A=[1,2;3,4] A=[a,b;c,d] —— 不识别
11
将符号对象转化为数值对象
函数调用格式： numeric(A) A= [ 1/3, 5/2] [10/7, 2/5]
numeric(A)
ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000
2013年8月6日12时46
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二、符号运算
1.符号对象运算 数值运算中，所有对象运算操作指 令都比较直观、简单。例如：a=b+c; a=a*b ；A=2*a^2+3*a-5等。
ans = cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x)
x=pi/4;subs(ans)
ans = 1.4142 2013年8月6日12时46
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例1 f= 2*x^2+3*x-5; g= x^2+x-7;
syms x f=2*x^2+3*x-5; g= x^2+x-7; h=f+g h= 3*x^2+4*x-12 例2 f=cos(x);g= sin(2*x); syms x f=cos(x);g=sin(2*x); f/g+f*g ans = cos(x)/sin(x)+cos(x)*sin(x)

MATLAB符号计算MATLAB是一种强大的数值计算和科学计算工具，不仅可以进行数值计算，还可以进行符号计算。

符号计算是一种基于数学符号的计算方法，它可以处理复杂的代数表达式、方程、微分、积分等数学问题。

MATLAB 中的符号计算将这些问题转化为代数表达式，然后通过符号工具箱进行求解。

使用MATLAB进行符号计算需要用到符号工具箱。

可以通过输入`syms`命令来定义符号变量，例如`syms x`可以定义符号变量x。

在定义完符号变量之后，就可以使用这些变量进行符号计算了。

1.代数表达式的化简符号计算可以对代数表达式进行化简。

MATLAB提供了许多函数可以实现化简操作，如`simplify`、`collect`、`expand`等函数。

其中`simplify`函数可以将符号表达式化简为最简形式；`collect`函数可以将符号表达式按照指定的变量进行整理；`expand`函数可以将符号表达式展开为多项式形式。

例如，对于表达式`(x+1)^2`，可以使用`simplify`函数进行化简：```matlabsyms xexpr = (x + 1)^2;result = simplify(expr);```2.解方程符号计算可以解析地求解方程。

MATLAB提供了`solve`函数用于解方程。

`solve`函数可以通过指定的变量来解析地求解方程，并获得方程的解。

例如，对于方程`x^2 - 1 = 0`，可以使用`solve`函数求解：```matlabsyms xeqn = x^2 - 1;sol = solve(eqn, x);````sol`将得到方程的解，即`x = -1`和`x = 1`。

3.求导和积分符号计算可以对函数进行求导和积分。

MATLAB提供了`diff`函数用于求导，提供了`int`函数用于积分。

这些函数可以对符号表达式进行求导和积分，并获得结果。

例如，对于函数`f(x) = x^2`，可以使用`diff`函数求导：```matlabsyms xf=x^2;df = diff(f, x);```求导结果为`df = 2*x`。

命令 10 符号表达式的展开 函数 expand
X=real(X)+i*imag(X)，则 conj(X)=real(X)-i*imag(X)
命令 5 符号复数的实数部分 函数 real
格式 real(Z)%返回符号复数 z 的实数部分 命令 6 符号复数的虚数部分 函数 imag 格式 imag(Z)%返回符号复数 z 的虚数部分 命令 7 余弦函数的整函数
计算结果为：
C1= 1/(1+sin(y)^2*y) C2= 1/(1+sin(t)^2*y) C3= sin(z)^t C4= x^sin(z) C5= ((-z/u)^(1/2))^t C6= x^((-y/z)^(1/2))
命令 4 符号复数的共轭 函数 conj 格式 conj(X)%返回符号复数 X 的共轭复数 例 3-5
格式 Y=cosint(X)%计算余弦函数在点 X 处的整函数值。其中 X 可以是数值 矩阵，或符号矩阵。余弦函数的整函数定义为：，其中为 Euler 常数，…i=1,2,…,size(X)。Euler 常数可以通过命令 vpa('eulergamma')获得。
例 3-6
>>cosint(7.2) >>cosint([0:0.1:1]) >>symsx; >>f=cosint(x); >>diff(x)
>>z=1.0e-16%z 为一很小的数 >>x=1.0e+2%x 为较大的数 >>digits(14) >>y1=vpa(x*z+1)%大数 1“吃掉”小数 x*y >>digits(15) >>y2=vpa(x*z+1)%防止“去掉”小数 x*y

再通过命令 sym 可直接将数值矩阵转换为符号矩阵 S=sym(M) 如果数值矩阵的元素为小数，则函数 sym()采用有理分式表示。如果元素是无理数，用 符号浮点数表示。 A=[sin(1) cos(2)] sym(A) [例 3] 用类似创建普通数值矩阵的方法创建符号矩阵 syms a b c d e f g h A=[a b;c d],B=[e f;g h] 对符号矩阵的操作同第 2 章讲的相同。 5.2 符号算术运算 Matlab 的符号算术运算主要是针对符号对象的加减、乘除运算，其运算法则和运算符 号同第 2 章介绍的数值运算相同， 其不同点在于参与运算的对象和运算所得结果是符号的而 非数值的。 5.2.1 符号对象的加减 若符号矩阵 A、B 为同型矩阵时，对应元素相加减；若 A、B 中至少有一个为标量，则 把标量扩大为数组，其大小与相加的另一数组同型，再按相对应的元素进行加减。 [例 1] 求两个符号表达式的和与差 f=2x2+3x-5 g=x2-x+7 syms x fx=2*x^2+3*x-5 sym('') gx=x^2-x+7 fx+gx fx-gx [例 2] 求两个符号矩阵的加减运算 syms a b c d e f g h A=[a b;c d],B=[e f;g h] A+B,A-B,a+A 5.2.2 符号对象的乘除 符号矩阵乘除：A*B、A/B，符号数组乘除：A.*B、A./B [例 1] 符号矩阵与数组的乘除示例 syms a b c d e f g h A=[a b;c d] B=[e f;g h] A.*B,A./B,A.\B A*B,A/B,A\B syms a11 a12 a21 a22 b1 b2 A=[a11 a12;a21 a22] B=[b1 b2]