初中数学二次函数图像二次函数解法练习题(附答案)

完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)1.抛物线$y=-3x^2+2x-1$与坐标轴的交点情况是(A)没有交点。

(C)有且只有两个交点。

(D)有且只有三个交点。

2.已知直线$y=x$与二次函数$y=ax^2-2x-1$的一个交点的横坐标为1，则$a$的值为(C)3.3.二次函数$y=x^2-4x+3$的图象交$x$轴于$A$、$B$两点，交$y$轴于点$C$，则$\triangle ABC$的面积为(B)4.4.函数$y=ax^2+bx+c$中，若$a>0$，$b<0$，$c<0$，则这个函数图象与$x$轴的交点情况是(D)一个在$x$轴的正半轴，另一个在$x$轴的负半轴。

5.已知$(2,5)$、$(4,5)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是(B)$x=3$。

6.无法正确反映函数$y=ax+b$图象的选项已删除。

7.二次函数$y=2x^2-4x+5$的最小值是$4.5$。

8.某二次函数的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$，$(4,0)$，且它的形状与$y=-x$形状相同。

则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{25}(x-1)(x-4)$。

9.若函数$y=-x+4$的函数值$y>0$，则自变量$x$的取值范围是$(-\infty,4)$。

10.某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个） 80 100 110 100 80 60.为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为120元。

11.函数$y=ax^2-(a-3)x+1$的图象与$x$轴只有一个交点，那么$a$的值和交点坐标分别为$(a,0)$和$(\frac{a-3}{2},0)$。

12.某涵洞是一抛物线形，它的截面如图3所示，现测得水面宽$AB=1.6m$，涵洞顶点$O$到水面的距离为$2.4m$，在图中的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的解析式为$y=-\frac{5}{6}(x-2)^2+2.4$。

初中数学：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象及特征练习（含答案）一、选择题1．关于二次函数y＝12x2的图象,下列说法中错误的是链接学习手册例1归纳总结( )A．它的形状是一条抛物线B．它的开口向上,且关于y轴对称C．它的顶点在原点处,坐标为(0,0)D．它的顶点是抛物线的最高点2．已知二次函数y＝－2x2,则下列各点不在该函数图象上的是( ) A．(1,－2) B．(0,0)C．(－2,2) D．(2,－4 2)3．若抛物线y＝(2m－1)x2的开口向下,则m的取值范围是( )A．m<0 B．m<1 2C．m>12D．m>－124．抛物线y＝2x2,y＝－2x2,y＝12x2的共同特征是链接学习手册例1归纳总结( )A．开口向上B．对称轴是y轴C．都有最高点D．图象不是位于x轴上方就是位于x轴下方5．若抛物线y＝ax2经过点P(1,－2),则它也经过点( )A．P1(－1,－2) B．P2(－1,2)C．P3(1,2) D．P4(2,1)6．在同一直角坐标系中,函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax(a≠0)的大致图象可以是图K－2－1中的( )图K－2－17．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图K－2－2所示的平面直角坐标系,其函数表达式为y＝－125x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度AB为( )图K－2－2A．－20 m B．10 mC．20 m D．－10 m二、填空题8．抛物线y＝4x2的开口方向________,顶点坐标是________,对称轴是________；抛物线y＝－14x2的开口方向________,顶点坐标是________,对称轴是________.9．若抛物线y＝ax2与y＝2x2的形状相同,则a＝________．10．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图K－2－3所示,则k的取值范围为________．图K－2－311．请写出与二次函数y＝－5x2的图象关于x轴对称的图象的函数表达式：________．12．已知二次函数y＝13x2的图象如图K－2－4所示,线段AB∥x轴,交抛物线于A,B两点,且点A的横坐标为2,则△AOB的面积为________．图K－2－413．如图K－2－5,边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是________．图K －2－514．如图K －2－6,垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ,B 两点,过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ,D ,过点B 作EF ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ,F ,则S △OFB S △EAD＝________．图K －2－6三、解答题15．已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象经过点(－2,4)． (1)求a 的值,并写出这个二次函数的表达式；(2)画出这个二次函数的图象,并直接写出它的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置．16．已知一个正方形的周长为C cm,面积为S cm2.(1)求S与C之间的函数表达式；(2)画出所求函数的图象；(3)求当S＝4时该正方形的周长．17．某涵洞是抛物线形,它的横断面如图K－2－7所示．现测得水面宽AB＝1.6 m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m.(1)在图中直角坐标系内,求涵洞所在抛物线的函数表达式；(2)有一艘宽为1 m,高为1 m的小舟,问该小舟能否通过这个涵洞？请通过计算说明理由．图K－2－7综合探究如图K－2－8,在平面直角坐标系中,A是抛物线y＝12x2上的一个动点,且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E,点B的坐标为(0,2),直线AB交x轴于点C,点D与点C关于y轴对称,直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为m,△BDE的面积为S.(1)当m＝2时,求S的值．(2)求S关于m(m≠2)的函数表达式．(3)①若S＝3时,求AFBF的值；②当m＞2时,设AFBF＝k,猜想k与m的数量关系并证明．图K－2－8[课堂达标]1．[解析] D ∵抛物线y＝12x2中二次项系数为12,∴此抛物线开口向上,顶点坐标为(0,0),它的顶点是抛物线的最低点．2．[解析] C 分别把四个选项中的坐标代入函数表达式检验．3．[解析] B ∵抛物线的开口向下,∴2m－1<0,∴m<1 2 .4．[答案] B5．[答案] A6．[全品导学号：63422188][解析] C 在同一直角坐标系中,a值的正、负情况应保持一致．根据图象知：A中直线不是y＝ax的图象,B和D中两个函数的a的符号不一致,故不正确．只有C中两个函数的a值相同,都为负数．故选C.7．[解析] C 根据题意知点B的纵坐标为－4.把y＝－4代入y＝－125x2,得x＝±10,∴A(－10,－4),B(10,－4),∴AB＝20.即水面宽度AB为20 m．故选C.8．[答案] 向上(0,0) y轴向下(0,0) y轴9．[答案] 2或－210．[答案] k＞－1[解析] 由抛物线的开口方向向上,可得k＋1＞0,解得k＞－1.故答案是k＞－1. 11．[答案] y＝5x212．[答案] 8 3[解析] 由抛物线的对称性可知AB＝4,令x＝2,则y＝13×22＝43,所以S△AOB＝12×4×43＝83.13．答案] 2[解析] 根据抛物线的轴对称性可知图中阴影部分的面积＝12×2×2＝2.14．[答案] 1 6[解析] 设点A,B的横坐标为a,则点A的纵坐标为a2,点B的纵坐标为a2 4.∵BE∥x轴,∴点F的纵坐标为a2 4.∵F是抛物线y＝x2(x≥0)上的点,∴点F的横坐标为x＝y＝12 a.∵CD∥x轴,∴点D的纵坐标为a2.∵D是抛物线y＝x24(x≥0)上的点,∴点D的横坐标为x＝4y＝2a,∴AD＝a,BF＝12a,CE＝34a2,OE＝14a2,∴S △OFBS △EAD ＝12BF·OE 12AD·CE＝18×43＝16.15．解：(1)把(－2,4)代入y ＝ax 2,得4＝(－2)2·a, ∴a ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2.(2)画图略,这个二次函数图象的顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴,开口方向向上,除顶点外图象位于x 轴的上方．16．[解析] (1)由该正方形的周长求出其边长,然后求出其面积的表达式；(2)根据函数表达式画出图象；(3)当S ＝4时,根据函数表达式求出该正方形的周长,从而得解．解：(1)S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫C 42＝116C 2.(2)如图所示．(3)当S ＝4时,由S ＝116C 2,得4＝116C 2,解得C ＝8或C ＝－8(不合题意,舍去),∴C ＝8, ∴该正方形的周长为8 cm.17．[解析] 由于抛物线的顶点为原点,可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2.由于水面宽AB ＝1.6 m,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m,因此A(－0.8,－2.4),B(0.8,－2.4),把其中一个点的坐标代入,可求得a 的值,即得函数表达式．解：(1)∵抛物线的顶点为原点,∴可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2.∵水面宽AB ＝1.6 m,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m, ∴A(－0.8,－2.4),B(0.8,－2.4)．将点A 或点B 的坐标代入函数表达式,得－2.4＝0.82a,解得a ＝－154,∴抛物线的函数表达式为y ＝－154x 2.(2)当x ＝0.5时,y ＝－1516.∵2.4－1516＝11780(m)＞1 m,∴该小舟能通过这个涵洞．[素养提升]解：(1)∵点A 在抛物线y ＝12x 2上,AE ⊥y 轴且AE ＝m,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2.当m ＝2时,A(2,1)．又B(0,2),∴直线AB 的函数表达式为y ＝－22x ＋2, ∴C(22,0),∴OC ＝2 2.∵点D 与点C 关于y 轴对称,∴OD ＝OC ＝22,∴S ＝12BE·OD＝ 2.(2)(Ⅰ)当0<m<2时(如图①),同(1)得过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2,B(0,2)的直线的函数表达式为y ＝m 2－42m x ＋2,∴OC ＝4m4－m 2＝OD,∴S ＝12BE·OD＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12m 2·4m4－m 2＝m ；(Ⅱ)当m>2时(如图②),同(Ⅰ)得S ＝12BE·OD＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－2·4mm 2－4＝m.由(Ⅰ)(Ⅱ)得S ＝m(m>0,m≠2)．(3)①连结AD,如图③.∵S ＝3＝m,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. 设S△ADF S △BDF ＝S△AEF S △BEF＝AFBF ＝k,∴S △ADF ＝kS △BDF ,S △AEF ＝kS △BEF , ∴S △ADE S △BDE ＝S△ADF －S △AEF S △BDF －S △BEF ＝k （S △BDF －S△BEF ）S △BDF －S △BEF＝k,∴AFBF＝k＝S△ADES△BDE＝12×3×323＝34.②k与m之间的数量关系为k＝14m2.证明：连结AD,如图④.∵S△ADF S△BDF ＝S△AEFS△BEF＝AFBF＝k,∴S△ADF ＝kS△BDF,S△AEF＝kS△BEF,∴S△ADE S△BDE ＝S△ADF＋S△AEFS△BDF＋S△BEF＝k（S△BDF＋S△BEF）S△BDF＋S△BEF＝k,∴k＝S△ADES△BDE ＝12m·12m2m＝14m2.。

初中数学二次函数图像综合练习题一、单选题1.若关于x 的一元二次方程()21220k x x -+-=有不相等实数根,则k 的取值范围是( ) A. 12k >B. 12k ≥C. 12k >且1k ≠ D. 12k ≥且1k ≠ 2.已知函数()273m y m x -=-是二次函数，则m 的值为( )A ．3-B ．3±C ．3D ．3.当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是( )A. B. C. D.4.下列关于二次函数()2231y x =--的说法，正确的是( ) A.对称轴是直线3x =-B.当3x =时，y 有最小值，是1-C.顶点坐标是(3)1,D.当3x >时，y 随x 的增大而减小5.若二次函数2y a x bx c =++的图象经过1(,)(0,)(3,)A m n B y C m n -、、、23)(2)D y E y 、，,则123y y y 、、的大小关系是( )A.123y y y <<B.132y y y <<C.321y y y <<D.231y y y <<6.抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．211t ≤<B ．2t ≥C ．611t <<D ．26t ≤<7.已知一个二次函数,当1x =时,y 有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线22y x =-相同,则这个二次函数的表达式是( ) A.223y x x =--+B.224y x =-+C.2248y x x =-++D.2246y x x =-++8.抛物线267y x x =++可由抛物线2y x =如何平移得到( ) A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位9.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表:下列结论:①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线1x =；③当1x <时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于4，其中正确的结论有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个10.一次函数5y ax a =+（0a ≠）与二次函数22y x x b =+-(0)b ≠交于x 轴上一点，则当23x -≤≤时二次函数22(0)y x x b b =+-≠的最小值为( )A.15B.-15C.-16D.011.当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（ ）A.74-或74- 二、解答题12.如图,已知抛物线2y x bx c =-++与y 轴相交于点(0,3)A ,与x 轴正半轴相交于点,B 对称轴是直线1x =.(1)求此抛物线的解析式以及点B 的坐标;(2)动点M 从点O 出发,以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动,同时动点N 从点O 出发,以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动,当点N 到达点A 时,,M N 同时停止运动.过动点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点,Q 交抛物线于点,P 设运动的时间为t 秒. ①当t 为何值时,四边形OMPN 为矩形?②当0t >时,BOQ △能否为等腰三角形?若能,求出t 的值;若不能,请说明理由.1.求该抛物线的函数解析式；2.将抛物线212y x bx c =++平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的图象所对应的函数表达式。

二次函数图像与系数关系70题1．（2020·湖南茶陵·初三零模）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，直线x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c ＜0；③a-b+c=-9a ；④若（-3，y 1），（32，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）如图，直线1y kx =与抛物线22y ax bx c =++交于A 、B 两点，则2()y ax b k x c =+-+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a +b ＝0；②4a ﹣2b +c ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞2．其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2020·福建省连江第三中学初三月考）在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx＋2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C． D．5．（2020·福建省连江第三中学初三月考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①3a＋b＜0；②a﹣b＋c＜0；③c＞0；④a＋b＞0．其中正确的结论有（）A．仅①②③B．仅②③④C．仅①②④D．①②③④6．（2020·辽宁新宾·初三其他）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝()()a b c a b cx++-+在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．7．（2020·湖南茶陵·初三期末）反比例函数kyx=-与二次函数2y kx k=-(0)k≠在同一直角坐标系的图像可能是（）A．B．C．D．8．（2020·兰西县红星乡第一中学校初二月考）在同一直角坐标系中，函数y mx m=+和函数222y mx x=-++(m是常数，且0m≠)的图象可能是( )A．B．C．D．9．（2020·福建省福州第十九中学初三其他）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③﹣1＜a＜﹣12；④方程x2﹣2x+1c＝0有实数根，结论正确的个数（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2020·内蒙古海勃湾·初三期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．（2020·湖北武汉·初三月考）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴正半轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C ．若点(4,0)B ，则下列结论中：①0abc >；②40a b +>；③()11,M x y 与()22,N x y 是抛物线上两点，若120x x <<，则12y y >；④若抛物线的对称轴是直线3x =，m 为任意实数，则(3)(3)(3)a m m b m -+-；⑤若3AB ≥，则430b c +>，正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．212．（2020·陕西师大附中初三一模）已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2＋k （a ≠0）经过A （m ﹣4，0），B （m ﹣2，3），C （4﹣m ，3）三点，其中m ＜3，则下列说法正确的是（ ）A ．a ＞0B ．h ＜0C ．k ≥3D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 13．（2019·四川邛崃·初三三模）如图，是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④a ﹣2b +c ＞0．其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③④14．（2019·陕西渭滨·初三二模）如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；②a+b+c ＞0；③方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，x 2=3； ④b 2﹣4ac ＞0；⑤当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；正确的说法有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个15．（2020·长沙市长郡梅溪湖中学初二期末）二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b ＝0；②若m 为任意实数，则a+b≥am 2+bm ；③a ﹣b+c ＞0；④3a+c ＜0；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＝2．其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．（2020·四川阿坝·初三期末）如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中:①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=③ 0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 的增大而增大；⑤20a b -=；⑥240b ac ->，正确的说法有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．（2020·湖南雨花·初二期末）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b ，④4ac﹣b 2＜0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2020·湖南雨花·初二期末）同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝ax +a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．19．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学初三一模）已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中 y 与 x 的部分对应值如表：下列结论正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．4a ＋2b ＋c ＞0C ．若 x ＜－1 或 x ＞3 时，y ＞0D ．方程 ax 2＋bx ＋c ＝5 的解为 x 1＝－2，x 2＝3 20．（2020·湖南湘潭·初三期末）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，则下列结论正确的是（ ）①0b <；②240b ac ->；③a c b +<；④0c >A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④21．（2020·甘肃肃州·初三期末）已知二次函数y=2ax bx c ++（a≠0）的图像如图所示，对称轴为x= -1，则下列式子正确的个数是（ ）（1）abc ＞0（2）2a+b=0（3）4a+2b+c ＜0（4）b 2-4ac ＜0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．（2019·黑龙江甘南·初三期末）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴是x ＝1，现有结论：①abc ＞0 ②9a ﹣3b +c ＝0 ③b ＝﹣2a ④﹣1）b +c ＜0，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个23．（2020·湖南天心·长郡中学初二期末）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c -+<D ．240b ac -<24．（2020·全国初三课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋b 与y ＝ax ＋b （ab ≠0）的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．25．（2020·陕西旬阳·初三期末）已知二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个26．（2019·无锡市南长实验中学初三月考）在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =-与y bx a =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．27．（2020·长沙麓山国际实验学校初三期末）如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，则下列说法：①0a >；②20a b +=；③0a b c ++>；④0>；⑤420a b c -+<，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．428．（2020·全国初三课时练习）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0abc <；②20a b +<；③420a b c -+>；④30a c +>，其中正确的结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个29．（2020·云南昆明三中初二期末）下列图像中，当0ab >时，函数2y ax =与y ax b =+的图象时（ ）A ．B ．C ．D ．30．（2021·全国初三专题练习）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数2b y cx a =+与反比例函数ab y x=在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．31．（2020·全国初三单元测试）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ．若点A 坐标为(4,0)-，对称轴为直线1x =-，则下列结论错误的是（ ）A ．二次函数的最大值为a b c -+B ．0a b c ++>C ．240b ac ->D ．20a b +=32．（2020·甘肃兰州·中考真题）如图，已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列5个结论 abc 0>①；b a c ->②；4a 2b c 0++>③；3a c >-④；()a b m am b (m 1+>+≠⑤的实数).其中正确结论的有( )A ．①②③B ．②③⑤C ．②③④D ．③④⑤33．（2019·四川雁江·初三其他）如图中实线所示，函数y=|a （x ﹣1）2﹣1|的图象经过原点，小明同学研究得出下面结论：①a=1；②若函数y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围一定是x ＜0；③若方程|a （x ﹣1）2﹣1|=k 有两个实数解，则k 的取值范围是k ＞1；④若M （m 1，n ），N （m 2，n ），P （m 3，n ），Q （m 4，n ）（n ＞0）是上述函数图象的四个不同点，且m 1＜m 2＜m 3＜m 4，则有m 2+m 3﹣m 1=m 4．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个34．（2020·安徽初三其他）如图，已知函数y ＝﹣3x 与y ＝ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程ax 2+bx +3x＝0的解为（ ）A．x＝3 B．x＝1 C．x＝﹣3 D．无解35．（2020·广东福田·深圳实验学校初三三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个36．（2020·黑龙江甘南·初三期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．37．（2020·山西浑源·初三期末）在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），对称轴是直线x= -1．则下列结论正确的是（）A ．ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．a －b ＋c ＜0D ．当-3＜x ＜1时，y ＞038．（2020·四川广安二中初三期末）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac －b 2＜0；②2a －b ＝0；③a ＋b ＋c ＜0；④点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在抛物线上，若x 1＜x 2，则y 1＜y 2 .正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．439．（2020·福建闽侯·初三一模）抛物线y ＝ax 2+bx+c 与直线y ＝ax+c （a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．40．（2020·宁夏金凤·初三其他）已知二次函数214y x bx c =-++的图象如下，则一次函数124y x b =--与反比例函数c y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．41．（2020·安徽铜陵·）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()4,0A ，其部分图象如图所示．下列叙述中：①24b ac <；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是122,4x x =-=；③20a b +=；④0a b c ++<；⑤当04x <<时，y 随x 增大而增大．正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．142．（2020·全国初三课时练习）如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >；②0a b c -+<；③210ax bx c +++=有两个相等．．的实数根；④4a 2a b -<<-.其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④ 43．（2020·全国初三课时练习）如图是抛物线()210y ax bx c a =++≠图象的一部分，抛物线的顶点坐标()1,3A ，与x 轴的一个交点()4,0B ，直线()20y mx n m =+≠与抛物线交于A ，B 两点，下列结论： ①20a b +=；②0abc >；③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0-；⑤当14x <<时，有21y y <．其中正确结论的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．244．（2020·广东初三一模）如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()5,0A -，对称轴为直线2x =-，给出四个结论：①0c >；②抛物线与轴的另一个交点坐标为()3,0；③40a b -=；④若()13,M y -与21,2N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y <．其中，正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．445．（2020·北京八中初三月考）a≠0，函数y＝ax与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．46．（2020·山东菏泽·初三月考）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个47．（2020·内蒙古扎鲁特旗·初三月考）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b +c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m （am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A ．①②③B ．①③④C ．③④⑤D ．②③⑤ 48．（2020·全国初三课时练习）已知，二次函数y ＝ax 2+bx+c 满足以下三个条件：①2b a＞4c ，②a ﹣b+c ＜0，③b ＜c ，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．49．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．450．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0，②b ﹣2a ＜0，③b 2﹣4ac ＜0，④a ﹣b+c ＜0，正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④51．（2020·全国初三课时练习）抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③8>0+a c ；④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，则12125x x x x ++⋅=-.其中正确的个数有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个52．（2020·全国初三课时练习）已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论中：①0abc >；②20a b +<；③()a b m am b +>+（1m ≠的实数）；④22()a c b +<；⑤1a >，其中正确的是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个53．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，有下列5个结论：①0abc >；②b a c >+；③420a b c ++>；④23c b >；⑤()a b m am b +>+（1m ≠的实数）．其中正确结论的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．②③⑤54．（2020·广西南宁·三美学校初三学业考试）如图是抛物线()20y ax bx c a =++≠，其顶点为()1,n ，且与x轴的个交点在点()3,0和()4,0之间，则下列结论正确的个数是（ ）个①若抛物线与x 轴的另一个交点为(),0k ，则21k -<<-；②c a n -=；③若x m <-时，y 随x 的增大而增大，则1m ≥-．A ．0B ．1C ．2D ．355．（2020·辽宁铁岭·初三月考）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，其对称轴为直线1x =，下面结论中正确的是（ ）A ．0abc ＞B ．20a b -=C ．420a b c ++＜D ．930a b c ++=56．（2020·山东枣庄·初三其他）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =．下列结论：①0abc <；②30a c +>；③()220a c b +-<；④()a b m am b +≤+(m 为实数)．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个57．（2019·黑龙江铁锋·初三三模）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则以下结论：①0abc >，②230b a +=，③0a b c -+<，④520a c +<．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个58．（2020·广东潮南·初三其他）平面直角坐标系中，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc <；②20c a +>；③930a b c -+=；④2a b am bm -≤+（m 为实数）；⑤240ac b -<．其中正确的结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．559．（2020·山东历下·初三三模）如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ） ①对称轴为直线x ＝﹣1；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx+c ＝0的解是x 1＝﹣3，x 2＝1；④不等式ax 2+bx+c ＞3的解为﹣2＜x ＜0．A ．4B ．3C ．2D ．160．（2020·全国初三课时练习）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤61．（2020·全国初三课时练习）在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．62．（2020·全国初三课时练习）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a ﹣b+c ＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b ）；⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的是（ ）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤63．（2020·全国初三课时练习）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个64．（2020·湖北广水·初三期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（12，y1），点N（52，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣35＜a＜﹣25；⑤c-3a＞0其中正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个65．（2020·河南太康·初三期末）如图，抛物线y ＝2ax ＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和B ，与y 轴的正半轴交于点C ．下列结论：①abc ＞0；②4a －2b ＋c ＞0；③2a －b ＞0；④3a ＋c ＞0.其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个66．（2020·湖北广水·初三其他）二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b +＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤67．（2020·甘肃张掖·初三其他）小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面四条信息：①230a b +=；②24b ac -＜0；③0a b c -+>；④方程20ax bx c ++=必有一个根在－1到0之间．你认为其中正确信息的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个68．（2020·湖北广水·初三其他）如图，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于()2,0A -和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB OC =，下列结论：①0a b c +<；②40a c +>；③12a =；④1acb +=； 其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个69．（2020·重庆市荣昌区宝城初级中学初三其他）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，交y 轴的正半轴于点C ，对称轴交抛物线于点D ，交x 轴与点E ，则下列结论：①2a+b=0；②b+2c>0；③a+b>am 2+bm （m 为任意实数）；④一元二次方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根；⑤当△BCD为直角三角形时，a 的值有2个；⑥若点P 为对称轴上的动点，则PB PC -有最大值，．其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个70．（2020·内蒙古呼伦贝尔·初三二模）如图所示的抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，则下列结论中错误的是（ ）A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．9a+3b+c＝0参考答案1．C【解析】【分析】①根据直线x=-1是对称轴，确定b-2a 的值；②根据x=-2时，y ＞0确定4a-2b+c 的符号；③根据x=-4时，y=0，比较a-b+c 与-9a 的大小；④根据抛物线的对称性，得到x=-3与x=1时的函数值相等判断即可．【详解】解：①∵直线x=-1是对称轴，∴-2b a=-1，即b-2a=0，①正确； ②x=-2时，y ＞0，∴4a-2b+c ＞0，②错误；∵x=-4时，y=0，∴16a-4b+c=0，又b=2a ，∴a-b+c=-9a ，③正确；④根据抛物线的对称性，得到x=-3与x=1时的函数值相等，∴y 1＞y 2，④正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系．2．B【解析】【分析】根据题目所给的图像，首先判断1y kx =中k ＞0，其次判断22y ax bx c =++中a ＜0，b ＜0，c ＜0，再根据k 、b 、的符号判断2()y ax b k x c =+-+中b-k ＜0，又a ＜0，c ＜0可判断出图像．【详解】解：由题图像得1y kx =中k ＞0，22y ax bx c =++中a ＜0，b ＜0，c ＜0，∴b -k ＜0，∴函数2()y ax b k x c =+-+对称轴x=2b k a --＜0，交x 轴于负半轴， ∴当12y y =时，即2kx ax bx c =++，移项得方程2()0ax b k x c +-+=，∵直线1y kx =与抛物线22y ax bx c =++有两个交点， ∴方程2()0ax b k x c +-+=有两个不等的解，即2()y ax b k x c =+-+与x 轴有两个交点，根据函数2()y ax b k x c =+-+对称轴交x 轴负半轴且函数图像与x 轴有两个交点， ∴可判断B 正确．故选：B【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断k 、a 、b 、c 的正负号，再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像．3．B【解析】【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】∵二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为x ＝1， ∴﹣2b a＝1，得2a+b ＝0，故①正确； 当x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b+c ＜0，故②正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确；∵二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为x ＝1，点B 坐标为（﹣1，0），∴点A （3，0），∴当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞3，故④错误；故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．4．D【解析】【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．【详解】解：由一次函数解析式为：y=kx+2可知，图象应该与y 轴交于正半轴上，故A 、B 、C 错误；D 符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，得出直线交y 轴的正半轴是解题关键． 5．D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：抛物线开口方向向下，则a ＜0，∵对称轴是直线x=2b a=1，则b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ＜0，故①正确；当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，故②正确；抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，故③正确；∵b=-2a ，∴a+b=a-2a=-a ，∵a ＜0，∴-a ＞0，∴a+b ＞0，故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．故选：D ．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，掌握“数形结合”数学思想的应用．6．D【解析】【分析】根据二次函数开口方向，可以判断出a 的正负，根据对称轴的位置和a 的正负，可以判断出b 的正负，再根抛物线与y 轴的交点，可以判断出c 的正负，然后根据a 、b 、c 的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可.【详解】∵二次函数图象开口向上，∴a ＞0，∵对称轴为直线x ＝﹣2b a＞0， ∴b ＜0，当x ＝﹣1时，a ﹣b +c ＞0，当x ＝1时，a ﹣b +c ＜0，∴（a +b +c ）（a ﹣b +c ）＜0，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图像与系数的关系，根据二次函数抛物线求出a 、b 、c 的正负是解决本题的管家.7．C【解析】【分析】先根据反比例函数图象确定k 的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可【详解】A 、由反比例函数图象知：k ＞0，因此二次函数图象应开口向上，且与y 轴交于负半轴，故此选项错误；B 、由反比例函数图象知：k ＜0，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；C 、由反比例函数图象知：k ＜0，因此二次函数图象应开口向下，且与y 轴交于正半轴，故此选项正确；D 、由反比例函数图象知：k ＞0，因此二次函数图象应开口向上，故此选项错误； 故选Ｃ．【点睛】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质，比较基础．8．D【解析】【分析】先根据一次函数图像确定m 的符号，在依据二次函数y=ax 2+bx+c 图像性质进行判断，当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下．对称轴为x=2b a -，与y 轴的交点坐标为（0，c ）． 【详解】解：A 、由函数y ＝mx+m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝﹣mx 2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A 选项错误；B 、由函数y ＝mx+m 的图象可知m ＜0，对称轴为x ＝2b a -＝212m m -=＜0，则对称轴应在y 轴左侧，与图象不符，故B 选项错误；C 、由函数y ＝mx+m 的图象可知m ＞0，即函数y ＝﹣mx 2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C 选项错误；D 、由函数y ＝mx+m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝﹣mx 2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x ＝2b a -＝﹣212m m-= ＜0，则对称轴应在y 轴左侧，与图象相符，故D 选项正确； 故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m 的正负的确定，9．D【解析】【分析】①．函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝1，即可求解；②．新抛物线表达式为：y ＝ax 2+bx ＝ax 2﹣2ax ＝ax （x ﹣2），即可求解；③．x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，即220b a a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪-+<⎩，即可求解；④．∆＝4a 2﹣4a ＝4a （a ﹣1），而﹣1＜a ＜﹣12，故∆＞0，即可求解．【详解】解：①．函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝1，解得：b ＝﹣2a ；故①正确； ②．此抛物线向下移动c 个单位后，新抛物线表达式为：y ＝ax 2+bx ＝ax 2﹣2ax ＝ax （x ﹣2）， 则x ＝2时，y ＝0，故抛物线过点（2，0），故②正确；③．x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，即220b a a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪-+<⎩，解得：﹣1＜a ＜﹣12，故③正确； ④．∵c ＜0，∴x 2﹣2x +1c＝0变形为cx 2﹣2cx +1＝0， ∵∆＝4c 2﹣4c ＝4c （c ﹣1），而1＜c ＜2， ∴∆＞0，故方程x 2﹣2x +1c ＝0有实数根，故④正确； 故选：D ．【点睛】此题考查的是二次函数图象及性质,掌握二次函数图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．10．A【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；当x ＝﹣1时图象在x 轴上得到y ＝a ﹣b +c ＝0，即a +c ＝b ；对称轴为直线x ＝1，可得x ＝2时图象在x 轴上方，则y ＝4a +2b +c ＞0；利用对称轴x ＝﹣2b a＝1得到a ＝﹣12b ，而a ﹣b +c ＜0，则﹣12b ﹣b +c ＜0，所以2c ＜3b ；开口向下，当x ＝1，y 有最大值a +b +c ，得到a +b +c ＞am 2+bm +c ，即a +b ＞m （am +b ）（m ≠1）．【详解】解：开口向下，a ＜0；对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，c ＞0，则abc ＜0，所以①不正确；当x ＝﹣1时图象在x 轴上，则y ＝a ﹣b +c ＝0，即a +c ＝b ，所以②不正确；对称轴为直线x ＝1，则x ＝2时图象在x 轴上方，则y ＝4a +2b +c ＞0，所以③正确； x ＝﹣2b a＝1，则a ＝﹣12b ，而a ﹣b +c ＝0，则﹣12b ﹣b +c ＝0，2c ＝3b ，所以④不正确； 开口向下，当x ＝1，y 有最大值a +b +c ；当x ＝m （m ≠1）时，y ＝am 2+bm +c ，则a +b +c ＞am 2+bm +c ，即a +b ＞m （am +b ）（m ≠1），所以⑤正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a -，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．11．B【解析】【分析】根据图像得出a ＜0，c ＜0，b ＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得22b a->，可判断②；再根据二次函数在y 轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出6b a =-，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A 的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=416b c +-，代入，可得4b+5c≥0，结合c 的符号可判断⑤.【详解】解：如图，抛物线开口向下，与y 轴交于负半轴，对称轴在y 轴右侧，∴a ＜0，c ＜0，02b a ->， ∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点B （4，0），点A 在x 轴正半轴，∴对称轴在直线x=2右侧，即22b a->， ∴42022b a b a a++=<，又a ＜0， ∴4a+b ＞0，故②正确；∵()11,M x y 与()22,N x y 是抛物线上两点，120x x <<，可得：抛物线2y ax bx c =++在02b x a<<-上，y 随x 的增大而增大， 在2b x a>-上，y 随x 的增大而减小， ∴12y y >不一定成立，故③错误；若抛物线对称轴为直线x=3，则32b a-=，即6b a =-， 则(3)(3)(3)a m m b m -+--=()()()3363a m m a m -++-=()()336a m m -+-=()23a m -≤0，∴(3)(3)(3)a m m b m -+≤-，故④正确；∵AB≥3，则点A 的横坐标大于0且小于等于1，当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，当x=4时，16a+4b+c=0，∴a=416b c+-，则416b cb c+++≥-，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥-2c，又c＜0，-2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.12．D【解析】【分析】利用对称性得到抛物线对称轴为直线x＝1，根据点的坐标确定开口向下，最大值大于3，根据二次函数的性质即可判断D正确．【详解】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）经过A（m﹣4，0），B（m﹣2，3），C（4﹣m，3）三点，其中m＜3，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝242m m-+-＝1，即a＜0，h＝1，∴k＞3，当x＜1时，y随x的增大而增大，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是关键．13．C【解析】【分析】根据二次函数的性质逐一进行判断即可【详解】解：∵x ＝1时，y ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，所以①正确；∵x ＝2b a＝－1，∴b ＝2a ，所以②错误； ∵点(1，0)关于直线x ＝－1对称的点的坐标为(－3，0)，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)，∴ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1，所以③正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∵a ＋b ＋c ＝0，b ＝2a ，∴c ＝－3a ，∴a －2b ＋c ＝－6a ，∵a ＞0，∴－6a ＜0∴a －2b ＋c ＜0，所以④错误．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式.14．A【解析】【分析】由抛物线开口方向及与y 轴的交点位置可判断①；令y=1可判断②；由图像与x 轴的交点可判断③和④；由图像与x 轴的两个交点可求得对称轴，结合图像的开口方向，则可判断⑤；则可求得答案．【详解】抛物线开口方向、与y 轴的交点在x 轴的下方，∴00a c ><，，0ac <，故①正确；由图像可知当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故②不正确；由图像可知抛物线与x 轴交与(−1,0)和(3,0)两点，∴方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=,且240b ac ->，故③、④正确；抛物线与x 轴交与(−1,0)和(3,0)两点，∴抛物线对称轴为直线1312x -+==，且抛物线开口向下， ∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，故⑤正确；综上可知正确的结论有4个，故选A.【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题关键是利用数形结合得出各项符号． 15．C【解析】根据抛物线开口方向得a ＜0，由抛物线对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，得到b ＝﹣2a ＞0，即2a+b ＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x ＝1时，函数有最大值a+b+c ，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x ＝﹣1时，y ＜0，所以a ﹣b+c ＜0，即可判断③；把b ＝﹣2a 代入a ﹣b+c ＜0可对④进行判断；把ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2先移项，再分解因式得到（x 1﹣x 2）[a （x 1+x 2）+b]＝0，而x 1≠x 2，则a （x 1+x 2）+b ＝0，即x 1+x 2＝﹣b a ，然后把b ＝﹣2a 代入计算得到x 1+x 2＝2可对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1， ∴b ＝﹣2a ＞0，即2a+b ＝0，所以①正确；∵抛物线对称轴为直线x ＝1，∴函数的最大值为a+b+c ，∴a+b+c≥am 2+bm+c ，即a+b≥am 2+bm ，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x ＝﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b+c ＜0，所以③错误；∵b ＝﹣2a ，a ﹣b+c ＜0，∴a+2a+c ＜0，即3a+c ＜0，所以④正确；∵ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，∴ax 12+bx 1﹣ax 22﹣bx 2＝0，∴a （x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+b （x 1﹣x 2）＝0，∴（x 1﹣x 2）[a （x 1+x 2）+b]＝0，而x 1≠x 2，∴a （x 1+x 2）+b ＝0，即x 1+x 2＝﹣b a， ∵b ＝﹣2a ，∴x 1+x 2＝2，所以⑤正确．综上所述，正确的有①②④⑤共4个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与解析式系数关系，与方程和不等式关系是解题的关键．16．D【解析】【分析】根据抛物线开口向上得出a ＞0，根据抛物线和y 轴的交点在y 轴的负半轴上得出c ＜0，根据图象与x 轴的交点坐标得出方程ax 2+bx+c=0的根，把x=1代入y=ax 2+bx+c 求出a+b+c ＜0，根据抛物线的对称轴和图象得出当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，2a=-b ，根据图象和x 轴有两个交点得出b 2-4ac ＞0．【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线和y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，∴ac ＜0，∴①正确；∵图象与x 轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax 2+bx+c 得：a+b+c ＜0，∴③错误；根据图象可知：当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴④正确；∵-2b a=1， ∴2a=-b ，∴2a+b=0，不是2a-b=0，∴⑤错误；∵图象和x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，∴⑥正确；正确的说法有：①②④⑥．故答案为：D ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性．17．C【解析】【分析】【详解】根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误； 根据对称轴可得：－2b a =－32，则b=3a ，根据a<0，b<0可得：a>b ；则③正确； 根据函数与x 轴有两个交点可得：2b －4ac>0，则④正确.故选C.【点睛】本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a ，b ，c 的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a ，b ，c 之间的关系是解题关键.18．D【解析】【分析】先根据一次函数的图象判断 , ,a b 的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误.【详解】A.由一次函数y ＝ax+a 的图象可得: a<0且a>0 ,两者矛盾,故A 错误;B ．由一次函数 y ＝ax+a 的图象可得: a<0,此时二次函数 y ＝(x －a)2的顶点(a, 0)的位置可推出a>0 ,两者矛盾,故B 错误;C.由一次函数 y ＝ax+a 的图象可得: a<0且a>0,两者矛盾,故C 错误;D.由一次函数y ＝ax+a 的图象可得:a>0 ,此时二次函数 y ＝(x －a)2的顶点(a, 0)的位置可推出a>0 ,故D 正确;故选:D.。

2020中考数学函数复习：二次函数及其图像（含答案）一、选择题1.抛物线（是常数）的顶点坐标是（）A．B．C．D．2.根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴（）x …－1 0 1 2 …y …－1 －2 …A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点3.函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）4.二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定22()y x m n=++m n，()m n，()m n-，()m n-，()m n--，cbxaxy++=247-47-cbxaxy++=221yy<21yy=21yy>B．C．D．1111xoyyo xyo xxoy5.将函数的图象向右平移a 个单位，得到函数的图象，则a 的值为 A ．1 B ．2C ．3D ．46.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ． B ．C. D ．7.把二次函数用配方法化成的形式A. B. C. D. 8.某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/sD ．5 m/s二、填空题1.若把代数式化为的形式，其中为常数，则=.2.已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 3.抛物线的顶点坐标为__________．4.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．5.抛物线的图象如图所示， 则此抛物线的解析式为 ．2y x x =+(0)a >232y x x =-+22y x x =+-x y 22y x x =--+22y x x =-+-22y x x =-++22y x x =++3412+--=x x y ()k h x a y +-=2()22412+--=x y ()42412+-=x y ()42412++-=x y 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 2120y x =223x x --()2x m k -+,m k m k +12-14-23(1)5y x =--+2y ax bx c =++x (20)-，1(0)x ，112x <<y (02)，420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>2y x bx c =-++yx =16.函数取得最大值时，______． 三、解答题1.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．2.已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．（1）求点的坐标（用表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，试证明：为定值．3.已知二次函数过点A （0，），B （，0），C （）．（1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M （1，）是否在直线AC 上？ （3）过点M （1，）作一条直线与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．4.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(2)(3)y x x =--x =ABC ∆90ACB ∠=︒AC BC =A C x B 3m 0m >AB y D P B D A m Q P B PQ BC E BQ AC F ()FC AC EC +2-1-5948，1212l yxQPFE DC BA O(－1，2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．5.新星电子科技公司积极应对世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？6.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．7.如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过B、C两点的直线是，连结．（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线的顶点坐标是]【参考答案】 选择题 1. B 2. B 3. C 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C 填空题 1. -32. ，3. （1，5）4. 45. 6. 解答题1. 解：设这个二次函数的关系式为得：解得：∴这个二次函数的关系式是，即2. （1）由可知，，又△ABC 为等腰直角三角形，∴，，所以点A 的坐标是（）. （2）∵ ∴，则点的坐标是（）. 又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得：解得 ∴抛物线的解析式为 2y x x =+21133y x =-+223y x x =-++52(3,)B m 3OC =BC m =AC BC m ==3OA m =-3,0m -45ODA OAD ∠=∠=︒3OD OA m ==-D 0,3m -(1,0)P B D 2(1)y a x =-22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩14a m =⎧⎨=⎩221y x x =-+（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.∵ ∴∽ ∴ 即，得 ∵ ∴∽ ∴ 即，得 又∵ ∴ 即为定值8.3. （1）设二次函数的解析式为（）， 把A （0，），B （，0），C （）代入得解得 a =2 ， b =0 ， c =－2， ∴（2）设直线AC 的解析式为 ，把A （0，－2），C （）代入得， 解得 ，∴ 当x =1时， ∴M （1，）在直线AC 上（3）设E 点坐标为（），则直线EM 的解析式为 由 化简得，即，∴F 点的坐标为（）．Q QM AC ⊥M Q QN BC ⊥N Q 2(,21)x x x -+2(1)QM CN x ==-3MC QN x ==-//QM CE PQM ∆PEC ∆QM PM EC PC =2(1)12x x EC --=2(1)EC x =-//QN FC BQN ∆BFC ∆QN BN FC BC =234(1)4x x FC ---=41FC x =+4AC =444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++()FC AC EC +c bx ax y ++=20a ≠2-1-5948，2092558164c a b c a b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩222y x =-(0)y kx b k =+≠5948，29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩522k b ==-，522y x =-511222y =⨯-=121322--，4536y x =-2453622y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩2472036x x --=17()(2)023x x +-=713618，第3题过E 点作EH ⊥x 轴于H ，则H 的坐标为（）． ∴ ∴，类似地可得 ， ， ∴，∴△BEF 是直角三角形．4. 解：（1）过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ， 则AF ＝2，OF ＝1．∵OA ⊥OB ，∴∠AOF+∠BOE ＝90°． 又 ∵∠BOE+∠OBE ＝90°， ∴∠AOF ＝∠OBE ． ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ． ∴． ∴BE ＝2，OE ＝4． ∴B(4，2)．（2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax 2+bx+c ． ∴解之，得∴所求抛物线的表达式为． （3）由题意，知AB ∥x 轴．设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ，102-，3122EH BH ==，2223110()()224BE =+=22213131690845()()186324162BF =+==222401025001250()()186324162EF =+==2221084512504162162BE BF EF +=+==2===OAOBAF OE OF BE ⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.0,2416,2c c b a c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.0,23,21c b a x x y 23212-=则S △ABP ＝． ∴d ＝2．∴点P 的纵坐标只能是0或4． 令y ＝0，得，解之，得x ＝0，或x ＝3． ∴符合条件的点P 1(0，0)，P 2(3，0)． 令y ＝4，得，解之，得． ∴符合条件的点P 3(，4)，P 4(，4)． ∴综上，符合题意的点有四个： P 1(0，0)，P 2(3，0)，P 3(，4)，P 4(，4)． （评卷时，无P 1(0，0)不扣分） 5.解：（1）当时，线段O A 的函数关系式为;当时，由于曲线AB 所在抛物线的顶点为A （4，－40），设其解析式为在中，令x=10，得；∴B （10，320）∵B （10，320）在该抛物线上 ∴解得∴当时，=综上可知，(2) 当时, 当时,当时,AF AB d AB ⋅=⋅2121023212=-x x 423212=-x x 2413±=x 2413-2413+2413-2413+(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.6. 解：（1）根据题意得解得．所求一次函数的表达式为．（2），抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，当时，．当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由，得，整理得，，解得，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．7. （1）（4，0），．．（2）是直角三角形．证明：令，则．．．解法一：．．是直角三角形．解法二：，．．，．即．是直角三角形．（3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．，．．解法一：设，则，，．=．当时，最大．．，．，．解法二：设，则．．当时，最大．．，．，．当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，，．．解法一：设，，．=．当时，最大．，．解法二：设，，，，．．=∴当时，最大，．．∴综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为。

一、选择题1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0，其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④A解析：A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x＝3122ba-=-，则2a+b＝0，故说法正确；②由图示知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故说法正确；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1<y2，故说法错误；④由图示知，当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7C 解析：C【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝13；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝13，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．3．如图等边ABC的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发点，Q沿AC以1cm/s 的速度向点C运动，点P沿A B C--以2cm/s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若APQ的面积为()2cmS，点Q的运动时间为()s t，则下列最能反映S与t之间大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．D解析：D 【分析】当点P 在AB 边运动时，S=12AQ×APsinA ，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，S=12×AQ×PCsinC ，即可求解． 【详解】解：当点P 在AB 边运动时，21133sin 22222S AQ AP A t t t =⨯=⨯⨯⨯=， 图象为开口向上的抛物线， 当点P 在BC 边运动时，如下图，1133sin 2(6)(6)2222S AQ PC C t t t t =⨯⨯=⨯⨯-⨯=-，图象为开口向下的抛物线， 故选：D ． 【点睛】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 4．下列函数关系式中，属于二次函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．21y x x=+C ．()()221y x x x=+-- D ．21y x =-D解析：D 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意； 故答案为：D ． 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．5．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根． 其中正确的结论个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0A解析：A 【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断．解：如图：①如图所示，函数图象关于y 轴对称，故①符合题意． ②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意． ③如图所示，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故③符合题意．④如图所示，当-2＜a ＜-1时，关于x 的方程x 2-2|x|-1=a 有4个实数根，故④符合题意． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：A ． 【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．6．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C 【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下 ∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确；【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值43c =；其中正确的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．1C解析：C 【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a 得到c=-3a ，则可对③④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a=1， ∴b=-2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确； ∵当x=-1时，y=0， ∴a-b+c=0， 而b=-2a ，∴a+2a+c=0，即c=-3a ， ∴a+2b-c=a-4a+3a=0，即a+2b=c ，所以③正确； a+4b-2c=a-8a+6a=-a ，所以④错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y >> B ．213y y y >> C ．231y y y >> D ．312y y y >>C解析：C 【分析】由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小． 【详解】∵222(1)1y x x m x m =++=++-， ∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上， ∴231y y y >>． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．1或2个C解析：C 【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数． 【详解】解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，∴3a-2＞a+2， 即a ＞2，令y=0，21(3)4x x a --+-=0，△=（-1）2-4×（a-3）×（-14）=a-2，∵a ＞2， ∴a-2＞0，∴函数图象与x 轴的交点个数为2． 故选：C ． 【点睛】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．10．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ） A ．3a 1-<<- B ．2a 1-<< C ．1a 0-<< D ．2a 4<<C解析：C 【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】 解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题11．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．【分析】先把配成顶点式再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式【详解】此抛物线的顶点坐标为()把点()向下平移个单位长度再向左平移个单位长度所得对应点的坐标为()即()所以平移后得到的抛物线的解析式为 解析：2710y x x =++【分析】先把2y x x =+配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】2211()24y x x x =+=+-，此抛物线的顶点坐标为(12-，14-)，把点(12-，14-)向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 所得对应点的坐标为(132--，124--)，即(72-，94-)， 所以平移后得到的抛物线的解析式为279()24y x =+-，即2710y x x =++． 故答案为：2710y x x =++． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 12．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是______．表格给出的信息可看出对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向上与x 轴交于（−10）（30）两点则y>0时x 的取值范围即可求出【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向解析：1x <-或3x > 【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则y>0时，x 的取值范围即可求出． 【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则当函数值y>0时，x 的取值范围是x<-1或x>3．故答案为：x<-1或x>3． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，正确掌握才能灵活运用．13．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．【分析】首先求出点A 和点B 的坐标然后求出解析式分别求出直线过抛物线顶点时m 的值以及直线过原点时m 的值结合图形即可得到答案【详解】令解得：或则A （20）B （-20）∵与关于y 轴对称：顶点为(12)∴的 解析：02m <<【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线顶点时m的值以及直线y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案． 【详解】令2240y x x =-+=， 解得：0x =或2x =， 则A （2，0），B （-2，0），∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；当直线y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点． 故答案为：02m <<． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．14．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口解析：②③【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵-2b a =12， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，所以②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），而抛物线的对称轴为直线x=12， ∴点（-2，0）关于直线x =12的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；故答案为②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么()b a b c a ++的值为______．＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线 解析：6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以b a＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算b a （a ＋b ＋c ）的值．【详解】解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−2b a ＝−1， ∴b a＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等，∵x ＝−3时，y ＝3，∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3，∴b a（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6． 故答案为：6．【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．16．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_______________．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x 轴分别交于AB 两点可以令y=0求得点AB 的坐标从而可以求得AB 的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线解析：7【分析】根据抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，可以令y=0求得点A 、B 的坐标，从而可以求得AB 的长．【详解】解：∵y=x 2-5x-6，∴y=0时，x 2-5x-6=0，解得，x 1=-1，x 2=6．∵抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，∴点A 的坐标为(-1，0)，点B 的坐标为(6，0)，∴AB 的长为：6-(-1)=7．故答案为：7．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．17．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，则代数式a 2﹣ab +b 2的最小值为_____．【分析】由韦达定理得出ab 与m 的关系式由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b 和ab 整体代入化简然后再配方结合m 的取值范围可得出答案【详解】∵关于x 的 解析：916【分析】由韦达定理得出a ，b 与m 的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围，再对代数式a 2﹣ab +b 2配方并将a +b 和ab 整体代入化简，然后再配方，结合m 的取值范围可得出答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，∴a +b ＝2m +1，ab ＝m 2﹣1，△≥0，∴△＝[﹣(2m +1)]2﹣4×1×(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣4m 2+4＝4m +5≥0，∴m ≥54-． ∴a 2﹣ab +b 2 ＝(a +b )2﹣3ab＝(2m +1)2﹣3(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣3m 2+3＝m 2+4m +4＝(m +2)2，∴a 2﹣ab +b 2的最小值为：2592416⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 故答案为：916． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及利用二次函数的性质求解代数的最值，灵活利用韦达定理及根的判别式，是解决本题的关键，熟悉用函数的思想解决最值问题也是关键点．18．已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出 一组满足条件的,a b 的值：a =__________，b =_________________【分析】根据判别式的意义得到△=b2-4a=0然后a 取一个不为0的实数再确定对应的b 的值【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x 轴只有一个交点∴△=b2-4a=0若a=1则b 可解析：12【分析】根据判别式的意义得到△=b 2-4a=0，然后a 取一个不为0的实数，再确定对应的b 的值．【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象与x 轴只有一个交点，∴△=b 2-4a=0，若a=1，则b 可取2．故答案为1，2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故；解析：①②【分析】根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．【详解】解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确 由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==- 当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误故答案为①②【点睛】本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，20．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．其中结论正确的是_________．①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（30）∵对称轴为x=−＝1从而可知：2a+b=0故①正确；∵抛物线与x解析：①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（3，0）∵对称轴为x=−2b a＝1， 从而可知：2a+b=0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点（-1，0），（3，0）∴△=b 2-4ac ＞0，而②b 2-4ac ＜0，故②错误；由图象可知：当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故③正确；由图象可知：当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故④错误；若t 为任意实数，x=1时，函数取得最大值，故a+b+c≥at 2+bt+c ，∴a+b≥at 2+bt ，故⑤正确，所以，结论正确的是①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，……，n A 和1C ，2C ，3C ，……，n C 均在抛物线2y x 上，点1B ，2B ，3B ，……，n B 在y 轴的正半轴上，若四边形111OA B C ，四边形1222B A B C ，四边形2333B A B C ，……，四边形1n n n n B A B C 都是正方形.（1）分别写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）分别求出正方形2333B A B C 和正方形1n n n n B A B C -的面积.解析：（1）1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)（2）223⨯ ，22n ⨯．【分析】（1）直接根据图象以及二次函数的解析式求出点的坐标即可；（2）表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律即可；【详解】解：（1）∵四边形111A OC B 是正方形且关于y 轴对称，∴ ∠11AOB =45°，又∵点1A 在二次函数图象上， 设1A (x ，x)，∴2x x = 且x ＞0，∴x=1即点1A (1，1)，∴1OA 2 ，12OB = ，∴1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)；（2）根据正方形的性质，1OA 与y 轴的夹角为45°，故直线1OA 解析式为y x =，∵1B (0，2)，求得直线11C B 的解析式为2y x =+，进而求得2A (2，4)，2C (-2，4)，2B (0，6)，同时求得3B (0，12) ，于是12OB =，124B B =，236B B =，正方形111OA B C 面积=12222⨯⨯=，正方形1222B A B C 面积=21448=222⨯⨯=⨯， 正方形2333B A B C 面积=216618=232⨯⨯=⨯， 正方形1n n n n B A B C -的面积=212222n n n ⨯⨯=⨯； 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律是解题的关键；22．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10600 y x =-+．（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？解析：（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出利润与销售单价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为多少；（2）根据（1）中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，可以得到当单价为30时，才能获得最大利润．【详解】解：（1）设该厂每天获得的利润为w 元，2810600106804800W x x x x210x 346760 当x 34=时，W 有最大值6760元因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元． （2）由（1）可知210346760W x∴函数图像开口向下，对称轴为34x =，∵最高销售单价不得超过30元，∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时210303467606600W， 因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23．已知二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；（2）当m 的值变化时，该函数图象的顶点在下列哪个函数的图象上? ． A ．y ＝x ﹣1 B ．y ＝﹣x ﹣1 C ．y ＝﹣（x+1）2 D ．y ＝﹣（x ﹣1）2解析：（1）见解析；（2）D【分析】（1）根据已知函数解析式得到抛物线与x 轴的两点交点横坐标：x 1=1，x 2=m ，据此证得结论；（2）根据顶点式先得到抛物线的顶点坐标为（-m ，m ），然后分别代入四个解析式中看是否满足解析式，再进行判断．【详解】（1）证明：当y ＝0时，（x ﹣1）（x ﹣m ）＝0．解得x 1＝1，x 2＝m ．当m ＝1时，方程有两个相等的实数根；当m≠1时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）由二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）＝（x ﹣12m +）2+m ﹣2(1)4m +得到该抛物线的顶点坐标是（12m +，m ﹣2(1)4m +）， 而点（12m +，m ﹣2(1)4m +）满足y ＝﹣（x ﹣1）2，不满足y ＝x ﹣1，y ＝﹣x ﹣1，y ＝﹣（x+1）2，∴点（12m +，m ﹣2(1)4m +）在函数y ＝﹣（x ﹣1）2上． 故答案是：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识点，需要掌握二次函数与一元二次方程间的关系，二次函数三种形式．24．如图，Rt △OAB 中,∠OAB=90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移2个单位长度后得△11AA B ．(1)求以A 为顶点，且经过点1B 的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D 、 C 的坐标．解析：（1）()2122y x =-；（2）()0,2D ，(35,35C 【分析】（1）根据三角形的边长求出点A 和点1B 的坐标，设抛物线解析式为()22y a x =-，代入点1B 坐标求出解析式；（2）令0x =，求出y 的值，得到点D 的坐标，再求出直线OB 的解析式和抛物线联立求出点C 的坐标．【详解】解：∵2OA =，∴()2,0A ，∵14OA =，112A B =，∴()14,2B ，设抛物线解析式为()22y a x =-，把点()14,2B 代入，得42a =，解得12a =， ∴()2122y x =-； （2）令0x =，得1422y =⨯=， ∴()0,2D ，设直线OB 解析式为y kx =，把点()2,2B 代入，得到22k =，解得1k =，∴直线OB 解析式为y x =，联立直线和抛物线的解析式，得()2122x x -=，解得35x =±， 根据点C 的位置，取35x =-，∴()35,35C --．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握求二次函数的解析式的方法，求抛物线和直线交点的方法．25．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23922S t t =-+；②最大值928，此时P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．【详解】解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形=22111(233)(3)(23)33222t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -+(t ＞0)；②由S=23922t t -+= 23327()228t --+，且32-＜0，得： 当t= 32时，S 有最大值，最大值为278， ∵OB=3，OC=3，∴BC= 2232OB OC +=，∵当t=32时，223t t -++=23315()23224-+⨯+= ∴点P 到直线BC 的距离的最大值为272928832⨯=，此时，点P 的坐标为（32，154）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223=+-y mx mx 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，4AB =．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A 的坐标为___．（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线223=+-y mx mx 沿x 轴方向平移()0n n >个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC 恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n 的取值范围是______．②若向右平移，则n 的取值范围是______．解析：（1）1x =-，()3,0-；（2）223y x x =+-；（3）①04n <≤，②02n <≤ 【分析】（1）由对称轴为直线x=-2b a，可求解； （2）将点B 坐标代入可求解； （3）设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，利用特殊点代入可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx -3的对称轴为直线x =22m m=-1，AB=4， ∴点A （-3，0），点B （1，0），故答案为：x =-1，（-3，0）；（2）∵抛物线y =mx 2+2mx -3过点B （1，0），∴0=m +2m -3，∴m =1，∴抛物线的解析式：y =x 2+2x -3，（3）如图，∵y =x 2+2x -3=（x +1）2-4，∴设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，把x =-3，y =0代入解析式可得：0=（-3+1+n ）2-4，∴n =0（舍去），n =4，∴向左平移，则n 的取值范围是0＜n ≤4；设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，把x =0，y =-3代入解析式可得：-3=（1-n ）2-4，∴n =0（舍去），n =2，∴向右平移，则n 的取值范围是0＜n ≤2，故答案为：0＜n ≤4；0＜n ≤2．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．27．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货。

一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；④9a +3b +c ＝0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④ 2．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知()()()112233,,,,,x y x y x y 是抛物线245y x x =--+图像上的任意三点，在以下哪个取值范围中，分别以1y 、2y 、3y 为长的三条线段不一定能围成一个三角形的是（ ） A ．5122x -<< B ．7122x -<<- C ．30x -<< D ．41x -<<- 4．当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．如图，在ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ △的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ）A ．直线2x =-B ．直线3x =C ．直线1x =D ．直线2x = 7．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（ ）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)8．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ） A ．m ＜p ＜q ＜nB ．m ＜p ＜n ＜qC ．p ＜m ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n9．抛物线2(3)y a x k =++的图象如图所示．已知点()15,A y -，()22,B y -，()36.5,C y -三点都在该图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．231y y y >> 10．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤ 11．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,1 12．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．开口方向向上B ．顶点坐标为()1,2-C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是直线1x =-13．把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =-+ 14．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ）A ．x =－3B ．x =－1C ．x =－2D ．x =4 15．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间满足函数解析式y 112=-x 223+x 53+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米 二、填空题16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x 2=--分别交y 轴，x 轴于点A ，B ，动点E 在抛物线上，EF x ⊥轴，交直线AB 于点F ．则EF 的长为______（用含字母x 的式子来表示）．17．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是______．18．将抛物线2y x 向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是__________．19．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M 平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为______．20．抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为________21．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．22．小明从如图所示的二次函数()20y ax bx c a =++≠图象中，观察得出了下面五条信息：①32a b =；②240b ac -=；③ 0ab >；④0a b c ++<；⑤20b c +>．你认为正．确．信息的有_______________．（请填序号）23．抛物线y ＝x 2+2x-3与x 轴的交点坐标为____________________．24．如图，将抛物线y=−12x 2平移得到抛物线m ．抛物线m 经过点A （6，0）和原点O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=−12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为______．25．设A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （12，y 3）是抛物线y ＝（x+1）2－m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______．（用“＞”连接）26．若函数21y mx x =++的图象与x 轴只有一个公共点，则m 的值是_______．参考答案三、解答题27．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△ACM 的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．28．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设每件涨价(0)x x ≥元．（1）写出一周销售量y （件）与x （元）的函数关系式．（2）设一周销售获得毛利润w 元，写出w 与x 的函数关系式，并确定当x 在什么取值范围内变化时，毛利润w 随x 的增大而增大．（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得纯利润（纯利润=毛利润－经营费用）最大，超市对该商品售价为______元，最大纯利润为______元．29．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为y 平方米．（1）求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB 为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？30．有这样一个问题：探究函数243y x x =-+的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数243y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数243y x x =-+的自变量x 的取值范围是_______．（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数243y x x =-+的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面的函数243y x x =-+，下列四个结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当2x >时，y 随x 的增大而增大，当2x <-时，y 随x 的增大而减小；④函数图象与x 轴有2个公共点．所有正确结论的序号是_____．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程243x x k -+=有4个不相等的实数根，则k的取值范围是____．。

练习一1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 4．在抛物线上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 5．对于抛物线与下列命题中错误的是（ ） A ．两条抛物线关于轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线各自关于轴对称 D ．两条抛物线没有公共点 6．抛物线y=－b ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。

7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

8．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，3）C ．（1，3）D ．（1，3）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A ．y=3－2 B ．y=3＋22y ax =213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-x y 2x 21(2)2x +22(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C ．y=3－2D ．y=－3－210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）A ．y=a ＋3B ．y=a －3C ．y=a ＋3D ．y=a －3 11．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ） A ．抛物线的形状相同 B ．抛物线的顶点相同 C ．抛物线对称轴相同 D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）14．化为y=为a 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

二次函数经典题一、选择题61．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,则正确的结论是（ ）A ．abc>0B ．3a +c ＜0C ．4a+2b+c ＜0D ．b 2 -4ac ＜062．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）~A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④63．如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ）A ．21y x x 4B ．2y x xC ．21y x x 4D ．21y x x 4 64．如右图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象过A （－3，0），对称轴为直线x=－1，下列结论：①b 2>4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a<b ；⑤a －b>m(am ＋b)(m ≠－1)其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个?65．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．2b a>1 D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 66．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴的交点在(0,2)的下方，与x 轴的交点为（x 1，0）和（2，0），且-2＜x 1＜-1，则下列结论正确的是（ ）A 、0abc >B 、0a b c -+<C 、210a b ++>D 、0a b +>67．给出下列命题及函数y x =，2y x =和1y x =的图象 ：①如果21a a a>>，那么0a 1<<； ②如果21a a a>>，那么a 1>； ③如果21a a a>>，那么1a 0-<<； ④如果21a a a>>时，那么a 1<-. 则（ ）A. 正确的命题是①④B. 错误．．的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误．．的命题只有③ -68．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列结论：①a<0，②b<0，③c<0，④4a-2b+c<0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个69．二次函数)0(2≠++=a c bx x a y 图像如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +=，③930a b c ++>，④方程20ax bx c ++=的解是-2和4，⑤不等式20ax bx c ++>的解集是24x -<<，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个<70．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32ab ． 你认为其中正确信息的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个71．已知二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图象关于直线1x =对称B ．函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大…D ．-1和3是方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根72．给出下列四个命题：（1）将一个n （n≥4）边形的纸片剪去一个角，则剩下的纸片是n+1或n-1边形；（2）若31x x --=，则x=1或x=3；（3）若函数32(23)k y k x x-=-+是关于x 的反比例函数，则32k =；（4）已知二次函数2y ax bx c =++，且a ＞0，a-b+c ＜0,则240b ac -≤。

初中数学：二次函数y ＝a (x －m )2＋k (a ≠0)的图象及特征练习（含答案） 知识点1 二次函数y ＝a (x －m )2＋k (a≠0)的图象 及特征1．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)2．对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2，下列说法中，正确的是( )A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是(－1，2)C ．图象最高点的坐标是(1，2)D ．图象与y 轴的交点坐标为(0，2)3．二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为()图1－2－104．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－3 5．填写下表：知识点2 抛物线的平移6．二次函数y＝－12(x－3)2＋1的图象可以由二次函数y＝－12x2的图象先向________(填“左”或“右”)平移________个单位，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位得到．7．将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) A．y＝3(x－2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1C．y＝3(x＋2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋18．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是( ) A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位知识点3 根据二次函数的顶点式求表达式9．已知抛物线的顶点坐标是(2，1)，且抛物线经过点(3，0)，则这条抛物线的函数表达式是( )A．y＝－x2－4x－3 B．y＝－x2－4x＋3C．y＝x2－4x－3 D．y＝－x2＋4x－310．某抛物线的顶点坐标为(2，1)，它的形状和开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个抛物线的函数表达式为__________．11．在体育测试时，九年级的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分(如图1－2－11所示)．如果这名男同学出手处A点的坐标是(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标是(6，5)．求这个二次函数的表达式．图1－2－1112．若抛物线y＝(x－m)2＋m＋1的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )A．m>1 B．m>0C．m>－1 D．－1<m<013．已知二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图1－2－12所示，图1－2－12则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限14．二次函数y ＝x 2＋1的图象过A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为(a ，294)，(b ，294)，则线段AB 的长度是( )A.254B.292 C ．5 D.29215．把二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数表达式为__________．16．已知某抛物线以点A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)将该抛物线向下平移几个单位，可使抛物线经过原点？17．如图1－2－13，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴的对称点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．图1－2－1318．如图1－2－14，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－3，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1，3)处．(1)求原抛物线的函数表达式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型图案．请你计算这个“W”型图案的高与宽CD的比．图1－2－14详解详析1．A 2.C3．D [解析] 因为a＝1＞0，所以抛物线开口向上，由表达式可知对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，－1)．4．C5．解：填表如下：6.右 3 上 17．C8．D [解析]9.D [解析] 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －2)2＋1， 把(3，0)代入得a ×(3－2)2＋1＝0， 解得a ＝－1，所以抛物线的函数表达式为y ＝－(x －2)2＋1＝－x 2＋4x －3. 故选D.10．y ＝－2(x －2)2＋111．解：依题意设这个二次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋5(a ≠0)， ∵点A (0，2)在此二次函数的图象上，∴36a ＋5＝2，解得a ＝－112， ∴这个二次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋5. 12．B [解析] ∵抛物线的顶点坐标为(m ，m ＋1)，而它在第一象限，∴⎩⎨⎧m >0，m ＋1>0，∴m >0.故选B.13．C [解析] ∵抛物线的顶点在第四象限，∴－m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第二、三、四象限．14．C15．y ＝－(x ＋1)2－2 [解析] 二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象的顶点坐标为(1，2)，图象绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，所以旋转后的新图象的函数表达式为y ＝－(x ＋1)2－2.16．解：(1)设该抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋1)2＋4. ∵抛物线过点B (2，－5)， ∴－5＝a ·(2＋1)2＋4，得a ＝－1.∴该抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4.(2)设平移后的抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4－k ，将(0，0)代入函数表达式，得0＝－(0＋1)2＋4－k ，解得k ＝3.∴将该抛物线向下平移3个单位，可使抛物线经过原点． 17．解：(1)由题意，得 (1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1， ∴二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1. 当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3， ∴C (0，3)．∵点B 与点C 关于直线x ＝2对称， ∴B (4，3)．将点A ，B 的坐标代入y ＝kx ＋b ， 可得⎩⎨⎧0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1，∴一次函数的表达式为y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.18．解：(1)∵点P 与P ′(1，3)关于x 轴对称， ∴点P 的坐标为(1，－3)．∵抛物线y ＝a (x －1)2＋c 过点A (1－3，0)，顶点是P (1，－3)， ∴⎩⎨⎧a ·（1－3－1）2＋c ＝0，a ·（1－1）2＋c ＝－3， 解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝－3.则抛物线的函数表达式为y ＝(x －1)2－3， 即y ＝x 2－2x －2.(2)∵CD 平行于x 轴，点P ′(1，3)在CD 上， ∴C ，D 两点的纵坐标均为3.由(x －1)2－3＝3，得x 1＝1－6，x 2＝1＋6，∴C ，D 两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)，∴CD ＝2 6， ∴“W ”型图案的高与宽CD 的比为32 6＝64.。

二次函数图像性质1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，OA ＝OC ，①abc ＜0；②24b ac <；③1-=-b ac ；④02<+b a；⑤ac OB OA -=⋅； ⑥024<+-c b a 。

其中正确的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个2、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ） （A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c;（C ）bc+1=a; （D ）以上都不是3，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a －b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分；图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的是________________．(填序号)5．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 中，值小于0的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）47.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于点（-2，0）（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在（0，2）下方。

初中数学：二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征练习（含答案）一、选择题1．抛物线y＝(x－1)2－2的顶点坐标是( )A．(－1,－2) B．(－1,2)C．(1,－2) D．(1,2)2．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位,再向下平移5个单位,得到的抛物线的函数表达式为链接学习手册例1归纳总结( )A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－53．如图K－3－1所示,在平面直角坐标系中,抛物线的函数表达式为y＝－2(x－m)2－k,则下列结论正确的是( )图K－3－1A．m>0,k>0 B．m<0,k>0C．m<0,k<0 D．m>0,k<04．在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)25．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是链接学习手册例1归纳总结( )A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位6．如图K－3－2,抛物线y＝x2与直线y＝x相交于点A,沿直线y＝x平移该抛物线,使得平移后的抛物线的顶点恰好为点A,则平移后抛物线的函数表达式是( )图K－3－2A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－17．如图K－3－3,将函数y＝12(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A′,B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是( )图K－3－3A．y＝12(x－2)2－2 B．y＝12(x－2)2＋7C．y＝12(x－2)2－5 D．y＝12(x－2)2＋4二、填空题8．抛物线y＝－(x－8)2＋3的开口方向________,对称轴为直线________,顶点坐标为________．9．如图K－3－4,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为________．图K－3－410．若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位后,得到函数y＝2(x＋h)2的图象,则h＝________．11．将一条抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为y＝2x2,则原抛物线的函数表达式为______________.12.2017·上海已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,－1),那么这个二次函数的表达式可以是________．(只需写一个) 13．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是________(写出一个即可)．三、解答题14．已知抛物线y＝(x－1)2－1.(1)求该抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)选取适当的数据填入下表,并在图K－3－5中的直角坐标系内描点画出该抛物线．图K－3－515．二次函数图象的顶点坐标是(－2,4),与x轴的一个交点坐标是(－3,0)．(1)求该二次函数的表达式；(2)根据抛物线的对称性,请直接写出抛物线与x轴的另一个交点坐标为________；(3)请你给出一种平移方案,使平移后的抛物线经过原点．16．已知一条抛物线与抛物线y＝2(x－3)2＋1关于x轴对称,求这条抛物线的函数表达式.17．如图K－3－6,抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连结BD.已知点A的坐标为(－1,0)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求梯形COBD的面积．图K－3－6思维拓展如图K－3－7所示,已知直线y＝－12x＋2与抛物线y＝a(x＋2)2相交于A,B两点,点A在y轴上,M为抛物线的顶点．(1)请直接写出点A的坐标及该抛物线的函数表达式；(2)若P为线段AB上一个动点(A,B两端点除外),连结PM,设线段PM的长为l,点P的横坐标为x,请求出l2与x之间的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围．图K－3－7详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[答案] C2．[答案] A3．[解析] D ∵抛物线y＝－2(x－m)2－k的顶点坐标为(m,－k),由图可知抛物线的顶点坐标在第一象限,∴m＞0,k<0.4．[解析] A 二次函数y＝(x＋2)2的图象的对称轴为直线x＝－2,A正确；二次函数y ＝2x2－2的图象的对称轴为直线x＝0,B错误；二次函数y＝－2x2－2的图象的对称轴为直线x ＝0,C错误；二次函数y＝2(x－2)2的图象的对称轴为直线x＝2,D错误．5．[答案] D6．[解析] C ∵抛物线y＝x2与直线y＝x相交于点A,∴x2＝x,解得x1＝1,x2＝0(舍去),∴A(1,1),∴平移后抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2＋1.7．[解析] D 如图,连结AB,A′B′,则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知,AA′＝BB′,AA′∥BB′,所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A,B′B交x轴于点M,N.因为A(1,m),B(4,n),所以MN＝4－1＝3.因为S▱ABB′A′＝AA′·MN,所以9＝3AA′,解得AA′＝3,即沿y轴向上平移了3个单位,所以新图象的函数表达式为y＝12(x－2)2＋4.8．[答案] 向下x＝8 (8,3)9．[答案] 直线x＝210．[答案] 211．[答案] y＝2(x＋1)2－3[解析] 因为一条抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为y＝2x2,所以将抛物线y＝2x2向左平移1个单位,向下平移3个单位即可得到原抛物线,其函数表达式为y＝2(x＋1)2－3.12．[答案] 答案不唯一,形如y＝ax2－1(a>0)即可13．[答案] 答案不唯一,如314．解：(1)∵抛物线的函数表达式是y＝(x－1)2－1,∴该抛物线的对称轴是直线x＝1,顶点坐标为 (1,－1)．(2)列表：描点、连线15．解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋4.把(－3,0)代入得a＋4＝0,解得a＝－4,所以二次函数的表达式为y＝－4(x＋2)2＋4.(2)(－1,0)(3)答案不唯一,如向右平移3个单位或向右平移1个单位或向上平移12个单位等．16．解：∵抛物线y ＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是(3,1),抛物线y ＝2(x －3)2＋1关于x 轴对称的图象的顶点坐标为(3,－1),∴这条抛物线的函数表达式为y ＝－2(x －3)2－1. 17．解：(1)将A(－1,0)代入y ＝a(x －1)2＋4中, 得0＝4a ＋4,解得a ＝－1,则抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋4. (2)对于抛物线的函数表达式y ＝－(x －1)2＋4, 令x ＝0,得到y ＝3,即OC ＝3. ∵抛物线的对称轴为直线x ＝1, ∴CD ＝1. 又∵A(－1,0), ∴B(3,0),即OB ＝3, 则S 梯形COBD ＝（1＋3）×32＝6.[素养提升]解：(1)把x ＝0代入y ＝－12x ＋2,得y ＝2,即点A 的坐标是(0,2)．把点A(0,2)代入y ＝a(x ＋2)2,得a ＝12,∴抛物线的函数表达式是y ＝12(x ＋2)2.(2)如图,P 为线段AB 上任意一点,连结PM,过点P 作PD⊥x 轴于点D, 点P 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫x ，－12x ＋2,则在Rt △PDM 中,PM 2＝DM 2＋PD 2,即 l 2＝(－2－x)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋22＝54x 2＋2x ＋8,x 的取值范围是－5<x<0.。

一、简答题1、已知抛物线y = ax2－x + c经过点Q（－2，），且它的顶点P的横坐标为－1．设抛物线与x轴相交于A、B 两点，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．2、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B．⑴求该抛物线的解析式；⑵若点C(m，)在抛物线上，求m的值．3、如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．(3) 若抛物线的顶点为D，在轴上是否存在一点P，使得⊿PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，－3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？5、如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．（1）求三点的坐标；（2）证明为直角三角形；（3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．6、已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）。

①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积.7、如图，抛物线=与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3.(1) 求抛物线的解析式. (2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.注：二次函数（≠0）的对称轴是直线= -8、已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）若把图象沿轴向下平移5个单位，求该二次函数的图象的顶点坐标.9、如图，二次函数的图象与轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数的图象经过该二次函数图象上点A（1,0）及点B.（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足≥的的取值范围.10、已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）。

初中数学二次函数图像性质练习题(附答案)1、函数y=a(x-h)²的图像与性质：顶点坐标为(h,0)，当x=h时，y有最小值。

2、抛物线y=3x²经过下列平移后得到的抛物线的解析式及对称轴和顶点坐标：1）y=3(x-2)²，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,0)；2）y=3(x+1)²，对称轴为x=-1，顶点坐标为(-1,0)；3）y=3(x-3)²+1，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,1)。

3、函数y=(x+1)²和y=x²+1具有的共同性质：对称轴都为x轴，顶点坐标都为(-1,1)。

4、已知a=1/2，OA=OC，抛物线的解析式为y=1/2(x-1)²。

5、抛物线y=3(x-3)²与x轴交点为(3,0)，与y轴交点为(0,27)，△AOB的面积为27.6、二次函数y=a(x-4)²，当自变量x由增加到2时，函数值y增加6.解得a=3/4，关系式为y=3/4(x-4)²，函数值y随x值的变化情况为随着x的减小而增加。

7、顶点在坐标轴上的抛物线y=x²-(k+2)x+9的顶点坐标为(1,k+6)，由对称性可知对称轴为x=1，即k+2=2，解得k=0.22、y=a(x-h)²+k的图像与性质：顶点坐标为(h,k)，开口方向由a的正负决定，当x=h时，y有最小值或最大值。

1、以(2,3)为顶点，开口向上的二次函数为y=a(x-2)²+3.2、二次函数y=(x-1)²+2，当x=1时，y有最小值为2.3、函数y=(x-1)²+3，当x增大时，y也随之增大。

4、函数y=(x+3)²-2的图像可由函数y=x²的图像向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到。

5、已知抛物线顶点坐标为(2,1)，过点(3,5)，则抛物线的关系式为y=(1/2)(x-2)²+1.6、抛物线顶点坐标为P(1,3)，函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是x<1.7、函数y=-3(x-2)²+9的开口方向向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,9)；当x=2时，抛物线有最值9；当x增大时，y随之减小；当x减小时，y随之增大。

二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表 例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。

一、选择题1．函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋a ，在第一象限内y 随x 的减小而减小，则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．B解析：B【分析】先根据二次函数y ＝ax 2的增减性确定出 a >0，然后判断出二次函数的开口方向，再根据一次函数的性质确定出一次函数图象经过的象限与 y 轴的交点，然后判断即可．【详解】解：∵函数y ＝ax 2在第一象限内y 随x 的减小而减小，∴a ＞0，∴y ＝ax 2的图象经过原点且开口方向向上，y ＝ax ＋a 经过第一三象限，且与y 轴的正半轴相交．A ． 二次函数开口向上，一次函数与y 轴的负半轴相交，不符合题意B ．二次函数开口向上，一次函数与y 轴的正半轴相交，符合题意C ．二次函数开口向下，一次函数与y 轴的负半轴相交，不符合题意D ．二次函数开口向下，一次函数与y 轴的正半轴相交，不符合题意故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，是基础题，根据二次函数的增减性确定出 a 是正数是解题的关键．2．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ） ①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<；④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④B 解析：B【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a =-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④．【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确； ②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a --=-=-==-， 当11222a <-<时，解得102a <<， ∴12a >， 为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大， 由此1222x a =-≤， 解得10a>即0a >， 为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确． 故选择：B ．【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．3．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③B解析：B【分析】 先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键4．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．B解析：B【分析】根据两个函数图象与y 轴交于同一点可排除选项A ，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故A 不符合题意；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而减小，故C 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．5．下列函数关系式中，属于二次函数的是（ ）A ．21y x =+B ．21y x x =+C ．()()221y x x x =+--D ．21y x =-D 解析：D【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意；故答案为：D ．【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．6．已第二次函数()2240y ax ax a =-+->图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．132y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．213y y y <<B解析：B【分析】把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可．解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4；当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4；当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4；∵a ＞0∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4∴312y y y <<故选B【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．7．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(,)A ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C解析：C【分析】 根据图像判断二次函数的系数a 、b 、c 的正负性，即可求得．【详解】∵二次函数图像开口向下∴a ＜0又∵二次函数图形与y 轴交点在y 正半轴上∴c ＞0∵对称轴在y 轴左侧 ∴02b a-< ∴b ＜0 ∴ac ＜0，bc ＜0∴点(,)A ac bc 在第三象限故选C【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题关键． 8．抛物线28y x x q =++与x 轴有交点，则q 的取值范围是（ ）A ．16q <B ．16q >C ．16q ≤D ．16q ≥C解析：C根据抛物线与x 轴的交点情况可得到方程280x x q ++=根的情况，进而得到根的判别式大于等于0，即可得到关于q 的不等式，最后解不等式即可得到答案．【详解】解：∵抛物线28y x x q =++与x 轴有交点∴方程280x x q ++=有实数根∴2248416440b ac q q ∆=-=-⨯⋅=-≥∴16q ≤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象性质与一元二次方程根的情况的关系、解一元一次不等式等，体现了数形结合的思想．9．已知二次函数22236y x ax a a =-+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<D解析：D【分析】根据判别式的意义得到△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x=a ，根据二次函数的性质得到a≥-1，从而得到实数a 的取值范围是-1≤a ＜2．【详解】解∵抛物线22236y x ax a a =-+-+与x 轴没有公共点， ∴△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，∵抛物线的对称轴为直线x=-22a -=a ，抛物线开口向上， 而当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，∴a≥-1，∴实数a 的取值范围是-1≤a ＜2．故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．C解析：C【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点． 对照四个选项可知C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．二、填空题11．已知点()12,A y -，()23,B y -在二次函数22y x x c =--+的图象上，则1y 与2y 的大小关系为1y ______2y ．（填“>”“<”或“=”）【分析】抛物线开口向下且对称轴为直线x=-1根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大判断即可【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x2-2x+c=-（x+1）2+1+c ∴该抛物线开口解析：>抛物线开口向下，且对称轴为直线x=-1，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，y 随x的增大而增大判断即可．【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x2-2x+c=-（x+1）2+1+c，∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x=-1．∵点A（-2，y1），B（-3，y2）在二次函数y=-x2-2x+c的图象上，且-3＜-2＜-1，∴y1＞y2．故答案为＞．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．12．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+3的图象上，则y1_____y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．＞【分析】根据抛物线y＝﹣（x+1）2+3得到开口向下对称轴为直线x＝﹣1然后根据二次函数的性质判断函数值的大小【详解】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下对称轴为直线x＝﹣1∴当x＞﹣1时解析：＞【分析】根据抛物线y＝﹣（x+1）2+3得到开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．【详解】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵1＜2，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质是解题的关键．13．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB两点，拱顶C到AB的距离为4m，AB=12m，DE为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到AB的距离为5cm，则DE的长度为______________ m．18【分析】先建立平面直角坐标系以直线DE为x轴y轴为经过点C且垂直于AB的直线设AB与y轴交于H求出OC的长然后设该抛物线的解析式为：根据条件求出解析式再令y=0求出x的值即可得到DE的长度【详解解析：18先建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，设AB 与y 轴交于H ，求出OC 的长，然后设该抛物线的解析式为：2y ax k =+，根据条件求出解析式，再令y =0，求出x 的值，即可得到DE 的长度．【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，设AB 与y 轴交于点H ，∵AB=12，∴AH=BH=6，由题可知：OH=5，CH=4，∴OC=5+4=9，∴B （6，5），C （0，9）设该抛物线的解析式为：2y ax k =+，∵顶点C （0，9），∴抛物线29y ax =+，代入B （6，5）得5=36a +9，解得19a =-， ∴抛物线解析式为2199y x =-+， 当y=0时，21099x =-+， 解得x =±9， ∴E （9，0），D （-9，0），∴OE=OD=9，∴DE=OD+OE=9+9=18，故答案为：18．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用问题，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，是一道非常典型的试题．14．将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3绕着点A （2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为_____．y ＝﹣2(x ﹣3)2﹣3【分析】由题意根据抛物线的顶点变换规律得到新抛物线解析式的顶点坐标进而由此写出旋转后的抛物线所对应的函数表达式即可【详解】解：抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3的顶点为（13）设绕解析：y ＝﹣2(x ﹣3)2﹣3【分析】由题意根据抛物线的顶点变换规律得到新抛物线解析式的顶点坐标，进而由此写出旋转后的抛物线所对应的函数表达式即可．【详解】解：抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3的顶点为（1，3），设绕着点A （2，0）旋转180°得到（x ，y ）， ∴12x +＝2，32y +＝0， 解得x ＝3，y ＝﹣3，∴绕着点A （2，0）旋转180°得到（3，﹣3），故旋转后的抛物线解析式是y ＝﹣2（x ﹣3）2﹣3．故答案为：y ＝﹣2(x ﹣3)2﹣3．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 15．如图所示为抛物线223y ax ax =-+，则一元二次方程2230ax ax -+=两根为______．【分析】先求得对称轴再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标即可求解【详解】抛物线的对称轴由图象得抛物线与轴的一个交点的坐标为(30)∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为(-10)∴元二次解析：11x =-，23x =【分析】先求得对称轴1x =，再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，即可求解．【详解】抛物线的对称轴212a x a-=-=， 由图象得抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(3，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(-1，0)，∴元二次方程2230ax ax -+=两根为1213x x =-=，．故答案为：1213x x =-=，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，理解方程20ax bx c ++=的根就是函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象与x 轴的交点的横坐标是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____． 24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查解析：24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【详解】抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x =过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．17．二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表：_______．（填序号即可）①0abc <；②若点()12,C y -，()2,D y π在该拋物线上，则12y y <；③4n a < ；④对于任意实数t ，总有()2496at bt a b +≤+．①②④【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解【详解】解：由图表知当x=0时y=3当x=3时y=3∴对称轴为且∴①∵∴异号故①正确；②对称轴为解析：①②④【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=32，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：由图表知，当x=0时，y=3，当x=3时，y=3∴对称轴为0+33=222b x a =-=，且3c =，3b a =- ∴23y ax bx =++①∵3b a =-，3c =∴a b ，异号，0abc <，故①正确；②对称轴为32x =，且当1x =-时，.y n = 将(1)n -，代入23y ax bx =++中得3a b n -+=， ∴3a b n -=-又∵0n <∴-0a b <又∵a b ，异号，∴0a ＜，0.b >∴23y ax bx =++的图象开口向下，∵33|2|||22π-->-∴12y y <，故②正确；③∵3b a =-， 3.a b n -=-∴(3)3a a n --=-∴4 3.a n =-∴4.a n <，故③错误；④当32x =时，y 有最大值， ∴最大值为3492a b c ++ ∴对任意实数t ，总有29342at bt c a b c ++≤++， ∴24()96at bt a b +≤+，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．18．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B 的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故；解析：①②【分析】根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．【详解】解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确 由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==- 当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误故答案为①②【点睛】本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，19．二次函数2y x bx =+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是________．-4≤t<5【分析】先由对称轴求b 的值则二次函数关于的一元二次方程（为实数）在＜＜的范围内有解△=16+4t≥0在＜＜在x=-1时y=5当x=4时y=0用y=t 与有交点t 的范围即可求出【详解】∵二次解析：-4≤t<5．【分析】先由对称轴求b 的值，则二次函数2-4y x x =，关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解，△=16+4t≥0，在1-＜x ＜4()22-424y x x x ==--在x=-1时，y=5，当x=4时，y=0，用y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，t 的范围即可求出．【详解】∵二次函数2y x bx =+的对称轴为直线2x =， ∴222b b x a =-=-=， ∴b =-4，∴二次函数2-4y x x =，∵关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解， ∴△=16+4t≥0，∴t≥-4，∵()22-424y x x x ==--，在x=-1时，y=5，当x=4时，y=0，∴y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，t 满足条件为-4≤t<5， 则t 的取值范围是-4≤t<5．故答案为：-4≤t<5．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质，与一元二次方程的解的条件，利用对称轴会求b 的值，关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）有解，会用△=16+4t≥0，会用y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，求t 满足条件是解决问题的关键．20．如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x ﹣m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D 的横坐标最大值为_____． 8【分析】根据题意当点C 的横坐标取最小值时抛物线的顶点与点A 重合进而可得抛物线的对称轴则可求出此时点D 的最小值然后根据抛物线的平移可求解【详解】解：∵点AB 的坐标分别为（14）和（44）∴AB=3由解析：8【分析】根据题意当点C 的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A 重合，进而可得抛物线的对称轴，则可求出此时点D 的最小值，然后根据抛物线的平移可求解．【详解】解：∵点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），∴AB=3，由抛物线y=a （x ﹣m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），可得：当点C 的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A 重合，∴抛物线的对称轴为：直线1x =，∵点()3,0C -，∴点D 的坐标为()5,0，∵顶点在线段AB 上移动，∴点D 的横坐标的最大值为：5+3=8；故答案为8．【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题21．已知抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9．（1）求它的对称轴；（2）求它与x 轴，y 轴的交点坐标．解析：（1）x ＝1；（2）与x 轴的交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，与y 轴的交点坐标为(0，9)【分析】（1）根据对称轴公式，可以求得该抛物线的对称轴；（2）令x=0求出相应的y 值，再令y=0，求出相应的x 的值，即可得到该抛物线与x 轴，y 轴的交点坐标．【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a ＝﹣62(3)⨯-＝1， 即该抛物线的对称轴为直线x ＝1；（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，∴当x ＝0时，y ＝9，当y ＝0时，x ＝﹣1或x ＝3，即该抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y 轴的交点坐标为（0，9）【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 22．已知二次函数21122y x kx k =++-． （1）求证：不论k 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴总有公共点；（2）若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点A ，B ，且A 点坐标为()3,0，求B 点坐标．解析：（1）见解析；（2）B （1-，0）【分析】（1）令y=0得到关于x 的一元二次方程，再用k 表示出该方程的判别式，可判断出其根的情况，可证得结论；（2）把A 点坐标代入可求得抛物线的解析式，再令0y =，可求得方程的解，可得出B 点坐标．【详解】（1）证明：令0y =可得：211022x kx k ++-=， ∵12a =，b k =，12c k =-， ∵22114422b ac k k ⎛⎫=-=-⨯⨯- ⎪⎝⎭221k k =-+()210k =-≥，∴不论k 为任何实数，方程211022x kx k ++-=， 二次函数21122y x kx k =++-的图象与x 轴总有公共点； （2）解：∵A （3，0）在抛物线21122y x kx k =++-上， ∴21133022k k ⨯++-=，解得1k =-， ∴二次函数的解析式为21322y x x =--， 令0y =，即213022x x --=， 解得3x =或1x =-，∴B 点坐标为（1-，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标为对应一元二次方程的两根是解题的关键．23．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OB OC =．点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值．（2）如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN 与APM △的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．解析：（1）2b =-，3c =-；（2）点F 坐标为(0,2)-；（3）存在，Q 的坐标为115,24⎛⎫- ⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB=OC ，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；（2）可设F （0，m ），则可表示出F′的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F′坐标代入直线BE 解析式可得到关于m 的方程，可求得F 点的坐标；（3）设点P 坐标为（n ，0），可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR ⊥PN ，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt △QRN 中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，【详解】解：（1）∵CD//x 轴，2CD =，∴抛物线对称轴为直线:1l x =， ∴12b -=，即2b =-， ∵OB OC =，(0,)C c ，∴B 点坐标为(,0)c -， ∴202c c c =++，解得3c =-或0c（舍去）； ∴3c =-．（2）设点F 坐标为(0,)m ，∵对称轴是直线:1l x =，∴点F 关于直线l 的对称点F '的坐标为(2,)m ，由（1）可知抛物线解析式为y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，∴E （1，-4），∵直线BE 经过点(3,0)B ，(1,4)E -，∴直线BE 的表达式为26y x =-，∵点F '在BE 上，∴2262m =⨯-=-，即点F 坐标为(0,2)-．（3）存在点Q 满足题意．设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++， 如解图，连接QN ，过点Q 作QR PN ⊥，垂足为R ，∵PQN APM SS =， ∴1(1)(3)2n n +- ()21232n n QR =-++⋅， ∴1QR =，①点Q 在直线PN 的左侧时，Q 点坐标为()21,4n n n --，R 点坐标为()2,4n n n -，N点坐标为()2,23n n n --，∴()2242323RN n n n n n =----=-+∴在Rt QRN 中，221(23)NQ n =+-，∴当3n 2=时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为115,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点坐标为()21,4n n +-，同理21RNn =-，221(21)NQ n =+-， ∴当12n =时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述：满足题意的点Q 的坐标为115,24⎛⎫-⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．24．某商店销售一种商品，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；如果调整价格，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．已知该商品的进价为每件50元．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 解析：（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为160件；（2）当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【详解】解：()1当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为()200106460160-⨯-=（件）.()2设每件商品的售价为x 元，销售该商品每天获得的利润为W ，则()()502001060W x x ⎡⎤=---⎣⎦221013004000010(65)2250x x x =-+-=--+，∵100-<，∴当65x =时，W 取得最大值，最大值为2250.答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．25．疫情期间，某防疫物晶销售量y （件）与售价x （元）满足一次函数关系，部分对应值如下麦，当售价为70元时，每件商品能获得40%的利润．（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？解析：(1) y=-10x+1000；(2)售价为75元时有最大利润为6250元【分析】(1)设一次函数的解析式为y=kx+b ，然后再代入点(70,300)和点(65,350)即可求解；(2)由售价为70元时，每件商品能获得40%的利润求出商品的成本为50元，进而得出商品的单个利润为(x-50)，再乘以销售量y 即得到关于x 的二次函数，再利用二次函数求出最大利润即可．【详解】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b ，代入点(70,300)和点(65,350)，∴3007035065k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得101000k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为：y=-10x+1000；(2)∵售价为70元时，每件商品能获得40%的利润求出商品的成本为50元，∴商品的成本为：70÷(1+40%)=50元，∴商品的单个利润为：(x-50)元，设销售额为w 元，则w=(x-50)y=(x-50)(-10x+1000)=-10x²+1500x-50000，此时w 是关于x 的二次函数，且对称轴为x=75，∴当x=75时，w 有最大值为：-10×75²+1500×75-50000=6250元，故答案为：售价为75元时有最大利润为6250元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常常利函数的增减性来解答，我们首先要读懂题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．26．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=．（1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．解析：（1）12；（2）27y -≤< 【分析】 （1）把2b =、2x =代入方程可得()()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；（2）根据根的判别式的意义可得()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()210ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．【详解】解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根∴()()22212222210a a +⋅-+⋅++= ∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴1212a a ==∴a 的值为12． （2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根∴()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()210ab -≤ ∴10ab -=∴1ab =。

专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。