2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷(文科)

内蒙古呼和浩特市2020届高三数学质量普查调研考试试题 文注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题时，考生各必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，答题时间120分钟.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干浄后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本武卷无效. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数z 满足(1i)2i Z +=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】试题分析：由(1)2i Z i +=得()()22(1)1111i i i Z i i i i -===+++-，所以复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选A.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.2.已知集合{}2|60A x x x =--<，集合{}|10B x x =->，则A B =U （ ）A. ()1,3B. ()2,3-C. ()1,+∞D. ()2,-+∞【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A,B ，根据并集的定义运算即可.【详解】由条件得{}|23A x x =-<<，{}|1B x x =>， 所以{}|2A B x x =>-U ，即：A B =U ()2,-+∞.故选：D【点睛】本题主要考査了集合之间的基本运算，不等式的解法，解题关键在于正确求解不等式，并用数轴表示集合之间的关系，属于容易题. 3.已知2sin 3α=，则3sin 22πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A. 53-B. 19-C.53D.19【答案】B 【解析】 分析】利用诱导公式及余弦的二倍角公式即可求解.【详解】()22321sin 2cos 212sin 12239πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--=--⨯=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式，三角恒等变换求值，选择合理的二倍角公式是求解的关键，属于中档题.4.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4724a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 8 B. 4C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和与等差数列的性质，等差数列的通项公式，化简即可求解. 【详解】由等差中项得475624a a a a +=+=， 因为()()1663463482a a S a a +==+= 所以3416a a +=，所以()()563448a a a a d +-+== 所以d =2. 故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，等差中项，等差数列的性质，属于中档题. 6.已知a 是函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =（ ） A. -4 B. -16C. -2D. 2【答案】D【解析】 【分析】求导并化简可得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，列表即可求出极小值点，得解. 【详解】因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+- 所以可得x ，()f x '和()f x 如下表由表知函数的极小值点为2. 故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于容易题.7.若函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()x f x e m =+，则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. -2 B. -3C. -4D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可知0(0)0f e m =+=解得1m =-，利用奇函数可知()()1ln ln 3ln 33f f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】∵()f x 为R 上的奇函数， ∴0(0)0f e m =+=，解得1m =-， ∴0x ≥时，()1x f x e =-；∴()()()ln31ln ln 3ln 31(31)23f f f e ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，对数的运算，属于中档题. 8.函数sin 2y x =的图像向左平移2π个单位以后，得到的图像对应的函数解析式为（ ） A. sin 2y x = B. cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. cos 2x y =-【答案】B 【解析】 【分析】函数sin 2y x =的图像向左平移2π个单位以后得sin 2()2y x π=+，化简即可求解.【详解】sin 2y x =左移2π个单位，得到()sin 2sin 2sin 22y x x x ππ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，四个选项中，首先排除A 和D ， 选项B 中，cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数图象的变换，诱导公式，属于中档题.9.若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设命题甲为集合A ，命题乙为集合B ，命题丙为集合C ，命题丁为集合D ，转化为集合之间的包含关系，可探求命题之间的关系，判断命题丁能否推出命题甲，及命题甲能否推出命题丁，即可得出结论. 【详解】设命题甲为集合A ，命题乙为集合B ，命题丙为集合C ，命题丁为集合D ；命题甲是命题乙的充分非必要条件A B ≠⇔⊂；命题丙是命题乙的必要非充分条件⇔命题乙是命题丙的充分非必要条件B C ≠⇔⊂，命题丁是命题丙的充要条件C D ⇔=，综上得到A B C D ≠≠⇔⊂⊂=，可知A D ≠⊂，及命题甲是命题丁的充分非必要条件⇔命题丁是命题甲的必要非充分条件， 故选：B【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，真子集，属于中档题.10.已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则3523n a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）A. ()1621n +-B. ()2621n-C. 63n-D. ()621n-【答案】A 【解析】 【分析】根据数列为等比数列可得22q =，可证明3523,,,n a a a +⋅⋅⋅是以36a =为首项，22q =为公比的新等比数列{}n b ，根据等比数列前n 项和计算即可.【详解】∵22313a a q q =⋅=，44513a a q q =⋅=，∴2413533321a a a q q ++=++=， 整理得4260q q +-=及()()22230q q-+=解得22q =或-3（舍）,对于3523n a a a +++⋅⋅⋅+， 设21n n b a +=，则13b a =，25b a =，123n n b a ++=其本质是以36a =为首项，22q =为公比的新等比数列{}n b 的前1n +项和, ∴()()11352361262112n n n a a a +++-++⋅⋅⋅+==--故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式与前n 项和公式，考查了等比数列基本量的运算，属于中档题. 11.已知ABC 的三边a ，b ，c 满足：333a b c +=，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】由题意∠C 为三角形ABC 中的最大角，只需分析∠C 即可，由333a b c +=可得01a c ＜＜，01b c＜＜，从而由余弦定理得变形可知∠C 为锐角，即可求解.【详解】333a b c +=可知，∠C 为三角形ABC 中的最大角，且331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以01a c ＜＜，01b c＜＜亦即32a a c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，32b bc c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ 将两式相加得：22331a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+＞ 所以∠C 为锐角，三角形ABC 为锐角三角形， 故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，不等式的性质，放缩法，属于中档题 . 12.已知函数()f x 满足()()1'x f x f x e +=，且()01f =，则函数()()()2132g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦零点的个数为（ ） A. 4个 B. 3个C. 2个D. 0个【答案】B 【解析】 【分析】根据()()1'x f x f x e +=，可得()'1x e f x ⎡⎤=⎣⎦，即有()xe f x x c =+，可推出()1xx f x e +=，解方程()0g x =，得()0f x =或()16f x =，判断零点个数即可. 【详解】()()()()1''1x xx f x f x e f x e f x e +=⇔+=()'1x e f x ⎡⎤⇔=⎣⎦，∴()x e f x x c =+，()xx c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e +=. ()()()()213002g x f x f x f x =-=⇒=⎡⎤⎣⎦或()16f x =， ()1001x x f x x e +=⇒=⇒=-；()()1116166x x x f x e x e +=⇒=⇒=+， 如图所示，函数x y e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个， 故选：B【点睛】本题主要考查了导数公式的逆用，以及函数与方程问题，函数的零点个数，数形结合，属于难题.第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.)13.已知()1,4a =r ，()2,b k =-r，且()2a b +r r ∥()2a b -r r ，则实数k =___________.【答案】8- 【解析】 【分析】根据向量坐标的运算可得()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，根据向量平行即可求出k . 【详解】由己知得，()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，由于()2a b +r r ∥()2a b -r r ,所以3(8)4(42)k k --=⨯+ 得8k =-. 故答案为：8-【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件，属于中档题.14.已知实数,x y 满足约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为________.【答案】5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图，由1010x y y +-=⎧⎪⎨⎪+=⎩可得21x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩， 将3z x y =+变形为3y x z =-+， 平移直线3y x z =-+，由图可知当直3y x z =-+经过点()2,1C -时， 直线在y 轴上的截距最大，所以z 的最大值为()3215⨯+-=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为___. 【答案】【解析】【详解】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则1455100,2a d ⨯+= （a 3+a 4+a 5）×17=a 1+a 2，即111(39)27a d a d +⨯=+，解得a 1=53，d=556．最小一份为a 1， 故答案为．16.下列命题：①若等差数列{}n a 的公差d 不为0，则给n ，对于一切()k N k n *∈<，都有2n k n k n a a a -++=；②若等差数列{}n a 的公差d <0.且38S S =，则5S 和6S 都是{}n S 中的最大项；③命题P ：(),0,1x y ∀∈，2x y +<，的否定为：()00,0,1x y ∃∉，002+≥x y ；④若函数()3x f x =，则()3ln x f x x '=.其中真命题的序号为____________. 【答案】①②. 【解析】 【分析】由等差中项的概念可判断①的正误；根据数列项的符号变化及60a =可判断②；由命题的否定的定义可确定③的正误；根据求导公式可知④的正误.【详解】①根据等差中项可知，是正确的；②对于d <0，38S S =，可得60a =，所以5S 和6S 都是数列中的最大项；③命题P 的否定为：()00,0,1x y ∃∉，002+≥x y ，所以③错；对于④因为()3ln 3x f x '=所以④错误. 故答案为：①②【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的前n 项和，命题的否定，求导公式，属于中档题. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程) 17.己知函数()ln f x x =.(1)若()f x 在x t =处的切线过原点，求切线的方程； (2)令()()f x g x x =，求()g x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）1y x e =（2）最大值1e，最小值e - 【解析】 【分析】（1）求函数()f x 的导数，()k f t '=，点斜式写出切线方程即可（2）利用导数判断函数的单调性，确定极值，即可求出函数的最大值,最小值. 【详解】(1)设切线的方程为y kx = 1()f x x '=，则1()k f t t'== x t =，则()ln f t t =切线方程为1ln ()y t x t t -=-1ln 1y x t t=+-ln 10t -=则t e =∴切线的方程为1y x e=. (2)21ln ()xg x x -'=， 当1x e e<<时，()0g x '>；2e x e <<时，()0g x '<， 所以最大值1(e)g e=∵1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，221()g e e =，且22e e -<所以最小值1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.18.已知函数()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭，()22sin 2x g x =.（1）若α是第二象限角，且()fα=，求()g α的值； （2）求()()f x g x +的最大值，及最大值对应的x 的取值. 【答案】（1）()95g α=（2）()()f x g x +的最大值为3，此时()223x k k Z ππ=+∈ 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简()f x =x =，()22sin1cos 2x g x x ==-，由()f α=求sin α，根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知()()f x g x +=2sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数性质求解即可. 【详解】（1）()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭sin coscos sin cos cos sin sin 6633x x x x ππππ=-++11cos cos 22x x x x =-+x =，()22sin 1cos 2xg x x ==-，则()fαα==3sin 5α=，∵α是第二象限角，∴4cos 5α=-， ∴()49155g α⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.（2）()()cos 1f x g x x x +=-+2sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.当sin 16x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()()f x g x +取得最大值3，此时()262x k k Z πππ-=+∈，即()223x k k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图像求最值,属于中档题.19.已知n S 为数列n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+，且1n n a b =.(1)求数列{}n b 的通项公式n b ； (2)求满足122311...7n n b b b b b b ++++<的n 的最大值. 【答案】（1）121n b n =+（2）n 的最大值为9. 【解析】 【分析】（1）根据n a 与n S 的关系可推出12n n a a --=，写出等差数列的通项公式即可（2）利用裂项相消法求和，解不等式即可.【详解】(1)当1n =时，13a =； 当2n ≥时，2243n n n a a S +=+①2111243n n n a a S ---+=+②①-②整理得12n n a a --=21n a n =+，所以121n b n =+. (2)设111(21)(21)n n n c b b n n --==-+所以122311111111......235572121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭1112321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭令1111023217n ⎛⎫--< ⎪+⎝⎭，解得10n < 所以n 的最大值为9.【点睛】本题主要考查了n a 与n S 的递推关系，裂项相消法，等差数列的定义，属于中档题. 20.（1）当()k k z απ≠∈时，求证：1cos tan2sin ααα-=；（2）如图，圆内接四边形ABCD 的四个内角分别为A 、B 、C 、D .若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =.求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【答案】（1）证明见解析（2410【解析】 【分析】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD 为圆的内接四边形可知sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由（1）结论原式可化为22sin sin A B+，连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理即可求解.【详解】（1）证明21cos 22sin 1cos 22sin sin 22sin cos 222ααααααα-⋅-==⋅⋅tan 2α=.（2）因为ABCD 为圆的内接四边形，所以sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由此可知：tantan tan tan 2222A B C D+++ 1cos 1cos 1cos 1cos sin sin sin sin A B C DA B C D ----=+++22sin sin A B=+ 连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理可得：22536cos 256y A +-=⨯⨯，2916cos 234y C +-=⨯⨯， 2369cos 263x B +-=⨯⨯，22516cos 254x D +-=⨯⨯， 解得281919x =，22477y =， 那么3cos 7A =，1cos 19B =，sin A =，sin B =.所以原式=【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题. 21.己知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-(1)设2a >时，判断函数()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点的个数； (2)当()()(1)ln g x f x a x x =++-，是否存在实数a ，对()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有1212()()g x g x a x x -+>-恒成立，若存在，求出a 的范围：若不存在，请说明理由.【答案】（1）()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点（2）存在，a 的取值范围是[2，+∞)【解析】 【分析】（1）利用导数可知函数()f x 在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，1a -)上递减，可得()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增且1(1)02f a =-<可知无零点（2）化简得21()(2)ln 2g x x a x x =+-+，由1212()()0g x g x a x x -+>-可得1122()()g x ax g x ax +>+（120x x >>）恒成立，构造函数()()h x g x ax =+，需有()()0h x g x a ''=+≥恒成立，分离参数求解即可.【详解】(1)()f x 的定义域是(0，+∞)2a >，211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-'=-+==令()0f x '=得到：11x =，21x a =-，且21x x >所以函数()f x 在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，1a -)上递减 因为()21,10,1e ⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦所以()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，因为1(1)02f a =-<， 所以()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点. (2)因为()()(1)ln g x f x a x x =++-，所以21()(1)ln 2g x x ax a x x =-++- 化简得21()(2)ln 2g x x a x x =+-+ 不妨设120x x >>可化为1122()()g x ax g x ax +>+； 考查函数()()h x g x ax =+则()()0h x g x a ''=+≥即210a x a x -+++≥，整理可得2221x x a x +-≥+ 令222()1x x G x x +-=+，则2223()(1)x x G x x ++'=-+， 因此()G x 单调递減，所以()()2G x G x <- 所以2a ≥综上：a 的取值范围是[2，+∞)【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，极值，零点，利用导数证明不等式恒成立，属于难题. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时清写清题号. 22.在极坐标系中，直线过点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线()3R πθρ=∈垂直. （1）设直线上的动点M 的极坐标为(),ρα，用ρ表示cos 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）在以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴的直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数），若曲线C 与直线()3R πθρ=∈交于点Q ，求点Q 的极坐标及线段PQ 的长度.【答案】（1）cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】（1）点M 的极坐标为(),ρα代入直线的极坐标方程即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点Q 的极坐标，利用两点间距离公式求PQ 的长度即可. 【详解】（1）由已知条件可得：直线的极坐标方程为：3sin cos 230ρθρθ+-=， ∵动点(),M ρα在直线上，∴cos 33πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴3cos 3παρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（2）曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=， 联立曲线C 与直线()3R πθρ=∈解得：3,3Q π⎫⎪⎭或()0,0Q ， ∴①当3,3Q π⎫⎪⎭时：()2223223cos16PQ π=+-⨯⨯⨯=，②当()0,0Q 时：2PQ =. ∴1PQ =或2PQ =.【点睛】本题主要考查了极坐标方程的应用，以及极径的几何意义，属于中档题. 23.已知函数()f x x x 1=++.（1）若()f x m 1≥-恒成立，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立的条件下，正数a,b 满足22a b M +=，证明：a b 2ab +≥. 【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】 【分析】（1）由题意可得()1min f x =，则原问题等价于11m -≤，据此可得实数m 的最大值2M =. （2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知1ab ≤，结合均值不等式的结论有ab a b ≤+，据此由综合法即可证得2a b ab +≥.法二：利用分析法，原问题等价于()2224a b a b +≥，进一步，只需证明()2210ab ab --≤，分解因式后只需证1ab ≤，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以()1min f x =，所以只需11m -≤，解得111m -≤-≤， ∴02m ≤≤，所以实数m 的最大值2M =. （2）证明：法一：综合法 ∵222a b ab +≥， ∴1ab ≤，1≤，当且仅当a b =时取等号，①2a b +≤12≤，∴ab a b ≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，∴12ab a b ≤+，所以2a b ab +≥. 法二：分析法 因为0a >，0b >，所以要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，∵22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥， 即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 因为2222a b ab =+≥，所以1ab ≤成立， 所以2a b ab +≥.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2020年高考全国二卷文科数学试卷(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2020年普通高等学校招生全国统一考试（II 卷）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1. 已知集合},3||{Z ∈<=x x x A ，},1||{Z ∈>=x x x B ，则=B AA. ∅B. }3,2,2,3{--C. }2,0,2{-D. }2,2{-2. =-4)i 1( A. -4B. 4C. -4iD. 4i3. 如图，将钢琴上的12个键依次记为1221,,,a a a ，设121≤<<≤k j i ，若3=-j k 且4=-i j ，则称k j i a a a ,,为原位大三和弦；若4=-j k 且3=-i j ，则称k j i a a a ,,为原位小三和弦。

用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 A. 5 B. 8 C. 10 D. 154. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订 单量大幅增加，导致订单积压。

为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某 日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为。

志愿者每人每天能 完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少 需要志愿者A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名5. 已知单位向量a 、b 的夹角为︒60，则在下列向量中，与b 垂直的是A. a + 2bB. 2a + bC. a - 2bD. 2a - b 6. 记n S 为等比数列}{n a 的前n 项和。

若1235=-a a ，2446=-a a ，则=nna S A. 12-nB. n --122C. 122--nD. 121--n7. 执行右面的程序框图，若输入的k = 0，a = 0，则输出的k 为A. 2B. 3C. 4D. 58. 若过点)1,2(的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为A.55B.552 C.553 D.5549. 设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点。

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷（理科）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 若复数z 满足(1+i)z =|√3+i|，则z 的虚部为（ ） A.−2 B.−1 C.−2i D.−i2. 设U ={−1, 0, 1, 2}，集合A ={x|x 2<1, x ∈U}，则∁U A =( ) A.{−1, 1, 2} B.{0, 1, 2} C.{−1, 0, 2} D.{−1, 0, 1}3. 已知α为第三象限角，且sin α+cos α＝2m ，sin 2α＝m 2，则m 的值为（ ） A.−√33B.√33C.−√23D.−134. 已知AB →+AD →=AC →，且AC →=a →，BD →=b →，则AB →=( ) A.12(a →+b →) B.12(a →−b →)C.12a →−b →D.12(b →−a →)5. 每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调査了部分市民（问卷调査表如表所示），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表（如表） 治理杨絮--您选哪一项？（单选）A ．减少杨树新增面积，控制杨树毎年的栽种量B ．调整树种结构，逐渐更换现有杨树C ．选育无絮杨品种，并推广种植D ．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮E ．其他由两个统计图表可以求得，选择D 选项的人数和扇形统计图中E 的圆心角度数分别为（ ）A.250，28.6∘B.500，28.8∘C.250，28.8∘D.500，28.6∘6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A.53 B.32C.85D.1387. 设m ，n 是空间的两条直线，α，β是空间的两个平面，当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的（ ）A.充分不必要条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件8. 函数y =tan (2x +π3)的图象向右平移π3个长度单位后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝g(x)，则下面四个判断：①g(x)在x ∈[5π12,11π12]上单调递增；②g(x)在x ∈[−π4,π4]上单调递增；③g(11π6)=−√3；④(π6,0)是g(x)的一个对称中心．其中正确的判断有（ ） A.3个 B.4个C.1个D.2个9. 已知实数m 是给定的常数，函数f(x)＝mx 3−x 2−2mx −1的图象不可能是（ ）A.B.C. D.10. 已知点P(1, m)在椭圆x 24+y 2=1的外部，则直线y =2mx +√3与圆x 2+y 2=1的位置关系为（ ）A.相交B.相离C.相交或相切D.相切11. 已知定义在R 上的函数f(x)满足①f(x)+f(2−x)＝0，②f(x)−f(−2−x)＝0，③在[−1, 1]上表达式为，f(x)={√1−x 2x ∈[−1,0]1−x;x ∈(0,1]则函数f(x)与函数g(x)={2x ,x ≤0log 12x ,x >0 的图象在区间[−3, 3]上的交点个数为（ ） A.6 B.5 C.8 D.712. 已知A ，F ，P 分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若∠PFA =2∠PAF 恒成立，则双曲线的离心率为( ) A.√3 B.√2 C.1+√3 D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）∫ 20(x −1)dx ＝________．将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子A ，B ，C ，D ，E 中，则恰有两个小球放入同一个盒子的概率为________．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120∘的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，且AM ＝AN ＝2千米，若要求观景台P 与两接送点所成角∠MPN 与∠BAC 相等，记∠PMA ＝α，观景台P 到M ，N 建造的两条观光线路PM 与PN 之和记为y ，则把y 表示为α的函数为y ＝________；当两台观光线路之和最长时，观景台P 到A 点的距离PA ＝________千米．已知正方体的棱长为2，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写岀文字说明，证眀过程或演算步骤.）如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点． (Ⅰ)证明：BC 1 // 平面A 1CD ；(Ⅱ)若△ABC 是边长为2的正三角形，且BC ＝BB 1，∠CBB 1＝60∘，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ．求平面A 1CD 与侧面BB 1C 1C 所成二面角的正弦值．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N ∗)． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n ＝(n +1)log 2a n ，求数列{1b n}的前n 项和T n ．已知一条曲线C 在y 轴右侧，曲线C 上任意一点到点F(1, 0)的距离减去它到y 轴的距离都等于1． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)直线l:x ＝my +1(m ∈R)与轨迹C 交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点M(a, 0)(a ≠0)，使得直线MA 与MB 关于x 轴对称而与直线l 的位置无关，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组学生人数的比为3:2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36．(Ⅰ)估计该样本校学生体能测试的平均成绩； (Ⅱ)求该样本校40名学生测试成绩的标准差s ；(Ⅲ)假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布N(μ, σ2)，用样本平均数x ¯作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？（注：①本题所有数据的最后结果都精确到整数；②若随机变量z服从正态分布，则P(μ−σ<Z<μ+σ)＝0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)＝0.9544，P(μ−3σ<Z<μ+3σ)＝0.9974)．已知函数f(x)＝e x−m(x+1)+1(m∈R)．(Ⅰ)若函数f(x)的极小值为1，求实数m的值；(Ⅱ)若函数y=f(x)+m2ln(x+1)在x∈(0, +∞)时，其图象全部都在第一象限，求实数m的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知极点为O，点A的极坐标为(4,π3)，动点P满足OP→⋅AP→=0．(Ⅰ)写出动点P的轨迹C的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线θ=2π3(ρ∈R)和θ=π6(ρ∈R)与轨迹C分别交于异于极点O的点，并分别记为M、N，点D是线段OA的中点，求出△OMN与△ADM的面积．[选修4-5：不等式选讲]（10分）(Ⅰ)已知A＝a2+b2+5，B＝2(2a−b)(a, b∈R, a≠b)，比较A与B的大小；(Ⅱ)已知a，b，c∈(0, 1)，求证：(1−a)b，(1−b)c，(1−c)a中至少有一个不大于14．参考答案与试题解析2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷（理科）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】一元二次正等式的解且补集体其存算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】平面向水明基本定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】二倍角验把切公式双曲根气离心率斜率三州算公式直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）【答案】此题暂无答案【考点】定积分微积因基本丙理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】解都还形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写岀文字说明，证眀过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】直线体平硫平行二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正态分来的密稳曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利来恰切研费函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]（10分）【答案】此题暂无答案【考点】反证使碳放缩法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(1+i)z=|√3+i|，i为虚数单位，则z等于()A. 1−iB. 1+iC. 12−12i D. 12+12i2.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,5}，则C U A=()A. {1,5}B. {3,4}C. {3,5}D. {1,2,3,4,5}3.已知sin(α+π4)=√23，则sinα⋅cosα=()A. −518B. 518C. 59D. −594.在△ABC中，BN=14BC，设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，则AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 14a⃗−34b⃗ B. 34a⃗−14b⃗ C. 14a⃗+34b⃗ D. 34a⃗+14b⃗5.某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动．为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下：你最喜欢的社团类型是什么?——您选哪一项(单选)A体育类，如：羽毛球、足球、毽球等B科学类，如：数学建模、环境与发展、电脑等C艺术类，如：绘画、舞蹈、乐器等D文化类，如：公关演讲、书法、文学社等E其他由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为()A. 500，28.8°B. 250，28.6°C. 500，28.6°D. 250，28.8°6.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为()A. 5315B. 154C. 6815D. 2327.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.函数f(x)=tan(x+π6)的图象的一个对称中心是()A. (π3,0) B. (π4,0) C. (π2,0) D. (π6,0)9.已知函数f(x)=a⋅2x−1与函数g(x)=x3+ax2+1(a∈R)，下列选项中不．可．能．是函数f(x)与g(x)图象的是()A. B. C. D.10. 点P(1,0.7)与椭圆x 22+y 2=1的位置关系为( )A. 在椭圆内B. 在椭圆上C. 在椭圆外D. 不能确定 11. 已知函数f(x)={log 2x,x ≥2,log 2(4−x),x <2,若函数y =f(x)−k 有两个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (−∞,1)C. (2,+∞)D. (1,+∞) 12. 已知点A ，F ，P 分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若∠PFA =2∠PAF 恒成立，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. 1+√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. ∫(103x 2−12)dx 的值是______ ．14. 将A ，B ，C 三个小球放入甲、乙两个盒子中，则A ，B 放入同一个盒子中的概率为________．15. 如图，在△ABC 中，AC =15，M 在边AB 上，且CM =3√13，cos∠ACM =3√1313，sin α=2√55(α为锐角)，则△ABC 的面积为____.16. 已知棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1，平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，AA 1=AB =2，∠A 1AB =60°，AC =BC =√2，O ，E 分别是AB ，CC 1中点．(Ⅰ)求证：OE//平面A1C1B；(Ⅱ)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的大小．18.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1−a n(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log2a n，求数列{1b n b n+119.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1．(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，｜AB｜=8，求直线l的方程．20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．(1)求这4000名考生的竞赛平均成绩x−(同一组中数据用该组区间中点作代表)；(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x−和考生成绩的方差s2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).(精确到0.001)附：①s2=204.75，√204.75=14.31；②z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<z<μ+2σ)=0.9544；③0.84134=0.501．21.已知函数f(x)=(x−m)lnx(m≤0)．(1)若函数f(x)存在极小值点，求m的取值范围；(2)证明：f(x+m)<e x+cosx−1．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. (1)比较a 2+b 2与2(2a −b)−5的大小；(2)已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾8-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．解：(1+i)z=|√3+i|=√3+1=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，故选：A．2.答案：B解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．根据补集定义求出A的补集即可．解：因为U={1,2，3，4，5}，集合A={1,2，5}，∴∁U A={3,4}，故选B．3.答案：A解析：本题考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．展开两角和的正弦，可得cosα+sinα=23，两边平方后得答案．解：由，得√22(cosα+sinα)=√23，即cosα+sinα=23，两边平方可得：1+2sinαcosα=49，∴sinαcosα=−518．故选A ．4.答案：D解析：本题主要考查了向量的加法，减法，数乘运算，属于基础题．由向量的三角形法则以及数乘运算，向量的减法得出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．解：AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ 故选D ．5.答案：A解析：本题考查频率和扇形统计图中圆心角的度数的求法，考查条形统计图、扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．根据调查结果条形图中选择A 的人数，结合调查结果的扇形统计图中选择A 的人数比例，求出接受调查学生的总人数，从而能求出选择D 的人数，再根据调查结果扇形统计图求出E 的圆心角度数． 解：设接受调查的学生的总人数为x ，由调查结果条形图可知：选择A 的人数为300，通过调查结果扇形统计图可知：选择A 的人数比例为15%，所以15%=300x ，解得x =2000，所以选择D 的人数为：2000×25%=500，扇形统计图中E 的圆心角度数为：(1−15%−12%−40%−25%)×360∘=28.8°．故选A ．6.答案：C解析：。

2020年普通高等学校招生全国统一考试(2卷）文科一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ） A. ∅B. {–3，–2，2，3）C. {–2，0，2}D. {–2，2}2.（1–i ）4=（ ） A. –4 B. 4 C. –4iD. 4i3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A. 5B. 8C. 10D. 154.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A. 2a b +B. 2a b +C. 2a b -D. 2a b -6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ）A. 2n –1B. 2–21–nC. 2–2n –1D. 21–n –17.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） 5 2535D.4559.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4B. 8C. 16D. 3210.设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减11.已知△ABC 93且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） 3B. 32C. 1 312.若2233x y x y ---<-，则（ ） A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x =-，则cos2x =__________．14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y=+的最大值是__________．16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ； （2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程. [选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.。

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72}D. {x|0<x ≤72}2. 欧拉公式e ix =cos x +isin x(e 是自然对数的底数，i 是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie − π 6i =( )A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i 3. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =( )A. 4B. 1C. −1D. −44. 已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则sin2α=A. 35 B. 45 C. √1010D. 3√10105. 已知函数f (x )满足f (2x +1)=x 2−3，则f (0)的值为( )A. −3B. 3C. −114D. −726. 已知双曲线C:y 2a 2−x 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±12xC. y =±√5xD. y =±23x7. 从装有大小相同的3个白球和2个红球(所有的球除颜色不同外，其余均相同)的不透明袋中，随机抽取2个球，则抽出2个球的颜色相同的概率为( )A. 35B. 25C. 720D. 3108. 已知f(x)={x −5,(x ≥6)f(x +1),(x <6)，则f(5)为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 执行如图所示程序框图，若输出的S 值为−20，在条件框内应填写( )A. i >3?B. i <4?C. i >4?D. i <5?10. 从半径为6cm 的圆形纸片上剪下一个圆心角为120°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )A. 2√2cmB. 3√5cmC. 2√5cmD. 4√2cm11. 设函数f(x)=sinx ，x ∈R ，将f(x)的函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移π2个单位得到g(x)的函数图象，则g(x)是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为4π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为4π的偶函数12. 过点P(1,√3)作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. 2C. 32D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=ax 3−3x +2016的图象在(1,f(1))处的切线平行于x 轴，则a = ______ ． 14. 已知x ，y 满足不等式组{x ≤2x −y +1≥03x +2y −6≥0，则z =3x +y 的最大值为_____________． 15. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，AB =1，PD =，若点E 为PB 的中点，则四面体EPCD 外接球的体积是________．16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA =23，sinB =√5cosC ，并且a =√2，则△ABC 的面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 17. 已知在等差数列{a n }中，a 3=5，a 17=3a 6．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =1n (an +3)，求数列{b n }的前n 项和S n ．18. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是边长为2的正方形，且平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1=π3，BC =1，D 为CC 1的中点(1)证明：平面A 1B 1D ⊥平面ABD ；(2)求点A1到平面AB1D的距离．19.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生抽样调查了100人，统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人．(Ⅰ)根据所给样本数据完成下面2×2列联表；附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)的饮食习惯方面有差异”？20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12且经过点P(1,32)．(1)求椭圆C的方程；(2)过定点Q(−2,−3)的直线与椭圆C交于两点M、N，直线PM、PN的斜率为k1、k2，求证：k1+k2为定值．21. 设函数f(x)=(x −1)e x − k2x 2．(Ⅰ)当k =e 时，求f(x)的极值；(Ⅱ)当k >0时，讨论函数f(x)的零点个数．22. 以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N 的极坐标为(2,π2)，m 是曲线C ：ρ2cos2θ+1=0上任意一点，点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设点P 的轨迹为曲线Q (1)求曲线Q 的直角坐标方程；(2)若直线l ：{x =−2−ty =2−√3t(t 为参数)与曲线Q 的交点为A 、B ，求|AB|的长．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|x +1|−2．(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥a2−a−2在R上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={0,1，2，3}，B={x|−1≤x≤4}；∴A∩B={0,1，2，3}．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．【解答】解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查平面向量垂直的坐标运算，属于基础题．【解答】解：因为向量a⃗=(1,2),b⃗ =(2,m)，若a⃗⊥b⃗ ，所以1×2+2m=0，即m=−1．故选C．4.答案：A解析：【分析】根据直线方程可知直线斜率，即k =tanα=3，根据同角三角函数的基本关系及正弦的二倍角公式求解即可． 【详解】由直线方程可知k =tanα=3， 所以sinα=3√1010,cosα=√1010， sin2α=2sinαcosα=35， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角，同角三角函数的基本关系，二倍角，属于中档题．5.答案：C解析： 【分析】本题考查了函数的解析式的求法，属于基础题．利用换元法，设t =2x +1，得到f(t)=(t−12)2−3，代入t =0即可．【解答】解：∵f (2x +1)=x 2−3， 设t =2x +1，即x =t−12，∴f(t)=(t−12)2−3，即f(0)=(0−12)2−3=−114，故选C ．6.答案：B解析： 【分析】此题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.由题意得ca =√5，可得b 2a 2=4，由此可得答案；解：由双曲线y 2a2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，可得ca =√5， 即a 2+b 2a 2=5，可得b 2a 2=4，则该双曲线的渐近线方程为：y =±ab x =±12x ． 故选B ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查概率的求法，古典概型等基础知识，属于基础题．基本事件总数n =C 52=10，抽出两个球的颜色相同包含的基本事件个数m =C 32+C 22=4，由此能求出抽出两个球的颜色相同的概率． 【解答】解：记“从装有大小相同的3个白球和2个红球(所有的球除颜色不同外，其余均相同)的不透明袋中，随机抽取2个球，抽出2个球的颜色相同”为事件A ，则基本事件总数n =C 52=10，抽出2个球的颜色相同包含的基本事件个数m =C 32+C 22=4，∴抽出2个球的颜色相同的概率为P(A)=m n=410=25．故选：B ．8.答案：A解析： 【分析】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 推导出f(5)=f(6)，由此能求出结果． 【解答】解：∵f(x)={x −5,(x ≥6)f(x +1),(x <6){x −5,(x ≥6)f(x +1)(x <6), ∴f(5)=f(6)=6−5=1． 故选：A ．9.答案：D【分析】本题考查程序框图及循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．【解答】解：由程序框图可得，第一次循环，S=10−2=8，i=2；第二次循环，S=8−4=4，i=3；第三次循环，S=4−8=−4，i=4；第四次循环，S=−4−16=−20，i=5，结束循环，故条件框内应填写“i<5？”．故选D．10.答案：D解析：【分析】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．根据扇形的弧长等于底面圆的周长求出底面圆半径r，再利用勾股定理求圆锥的高．【解答】解：设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为l=6cm，如图所示；由120°=2π，3×6=2πr，解得r=2(cm)；所以扇形的弧长为2π3所以圆锥的高为ℎ=√62−22=4√2(cm)．故选：D．11.答案：A解析：解：函数f(x)=sinx，x∈R，将f(x)的函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，可得y=sin2x的图象；个单位得到g(x)=sin(2x−π)=−sin2x的函数图象，再向右平移π2=π的奇函数，则g(x)是周期为2π2故选：A ．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象的周期性和奇偶性，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的周期性和奇偶性，属于基础题．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题．根据直线与圆相切的性质可求出切线长PA =PB ，及∠APB ，然后代入向量数量积的定义可求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：连接OA ，OB ，PO则OA =OB =1，PO =2，OA ⊥PA ，OB ⊥PB ， Rt △PAO 中，OA =1，PO =2，PA =√3． ∴∠OPA =30°，∠BPA =2∠OPA =60°，．故选C ．13.答案：1解析： 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a =1．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．【解答】解：函数f(x)=ax 3−3x +2016的导数为f′(x)=3ax 2−3，由图象在(1,f(1))处的切线平行于x 轴，可得f′(1)=3a −3=0，解得a =1．故答案为1．14.答案：9解析：【分析】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，解题的关键是画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可【解答】解：作出约束条件的可行域，如下图，因为z =3x +y ，所以y =−3x +z ，所以z 为斜率为−3的直线在y 轴上的截距，平移直线y =−3x ，由图知，当直线过A 时直线在y 轴上的截距最大，由{x =2x −y +1=0，解得A(2,3)时， 所以z 取得最大值9．故答案为9．15.答案：4π3解析：【分析】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，证明BC ⊥平面PDC ，确定四面体EPCD 外接球的球心位置，求出外接球半径，则答案可求．【解答】解：连结BD ，∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BD ，PD ⊥BC ，又ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥BC ，∴△PBD 与△PBC 都是直角三角形，又E 是PB 的中点，∴ED =PE =EB =EC ，又AB =1，PD =√2， 易以求得ED =PE =EB =EC =1，取PC 的中点F ，则EF//BC ，EF ⊥平面PCD ，球心在EF 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，可求得PC =√3，PF =√32，EF =12， PO 2=PF 2+OF 2，即R 2=(√32)2+(R −12)2，解得R =1， ∴四面体E −PCD 的外接球的体积为．故答案为4π3．16.答案：√52解析：解：∵cosA =23，A 为三角形的内角，∴sinA =√1−cos 2A =√1−49=√53， ∵sinB =√5cosC ，且sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ，∴sinAcosC +cosAsinC =√5cosC ，则√53cosC +23sinC =√5cosC ，即23sinC −2√53cosC =0， 由{sinC −√5cosC =0sin 2C +cos 2C =1得，sinC =√56，cosC =√16， ∴sinB =√5cosC =√56，又a =√2，由正弦定理得a sinA =c sinC ，则c =a⋅sinCsinA =√2×√56√53=√3，∴△ABC 的面积S =12acsinB =12×√2×√3×√56=√52， 故答案为：√52． 由cos A 的值和平方关系求出sin A ，利用诱导公式、内角和定理得到sinB =sin(A +C)，利用两角和与差的正弦函数公式化简：sinB =√5cosC ，利用同角三角函数间的基本关系列出方程组，求出sin C 与cos C 的值，由正弦定理求出c 的值，代入三角形的面积公式求出△ABC 的面积．本题考查正弦定理、余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.答案：解：(1)等差数列{a n }中，a 3=5，a 17=3a 6，则{a 1+2d =5a 1+16d =3(a 1+5d ), 解得{a 1=1d =2, ∴a n =1+(n −1)×2=2n −1；(2)b n =1n (an +3)=12n (n+1)=12(1n −1n+1)， 所以S n =12(1−12+12−13+⋯…+1n −1n+1)=12(1−1n+1)=n 2(n+1)．解析：本题考查等差数列的通项，考查“裂项法”求数列的前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题．(1)利用等差数列的通项公式得出关系式求出首项及公差得出通项；(2)由(1)得出b n ，利用裂项相消法求出前n 项和．18.答案：(1)证明：∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∠BCD =60°，D 是CC 1的中点，∴CD =CC 1=1，∠DC 1B 1=120°，又BC =B 1C 1=1，∴BD =1，B 1D =√12+12−2×1×1×cos120°=√3，∴BD 2+B 1D 2=BB 12，∴B 1D ⊥BD ，∵四边形ABB1A1是正方形，∴AB⊥BB1，又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，∴AB⊥平面BCC1B1，又DB1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥B1D，又AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD=B，∴B1D⊥平面ABD.又B1D⊂平面A1B1D，∴平面A1B1D⊥平面ABD．(2)解：由(1)知AB⊥平面BCC1B1，故AB⊥BD，∴AD=√AB2+BD2=√5，由(1)知B1D⊥平面ABD，故B 1D⊥AD，∴S△AB1D =12⋅AD⋅B1D=12×√5×√3=√152．设A1到平面AB1D的距离为h，则V A1−AB1D =13×√152×ℎ=√15ℎ6．过D作DE⊥BB1，交BB1于E，∵平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，∴DE⊥平面ABB1A1，且DE=BCsin∠BCD=√32，∴V D−AA1B1=13S△AA1B1⋅DE=13×12×2×2×√32=√33．∴√15ℎ6=√33，解得ℎ=2√55．∴点A1到平面AB1D的距离为2√55．解析：(1)利用勾股定理证明B1D⊥BD，根据面面垂直和线面垂直的性质得出AB⊥B1D，故而B1D⊥平面ABD，于是平面A1B1D⊥平面ABD；(2)根据V A1−AB1D =V D−AA1B1列方程求出点A1到平面AB1D的距离．本题考查了面面垂直的判定，考查棱锥的体积计算与空间距离的计算，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)K2=100×(60×10−20×10)270×30×80×20=10021≈4.762．由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．解析：(Ⅰ)根据统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人，由此可得列联表；(Ⅱ)计算出K 2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：(1)由已知可得{c a=121a 2+94b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3． ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；证明：(2)由题意可知，直线斜率存在，设直线方程为y +3=k(x +2)，即y =kx +2k −3．联立{y =kx +2k −33x 2+4y 2−12=0， 消去y 并化简得：(3+4k 2)x 2+8k(2k −3)x +4(2k −3)2−12=0．由△=64k 2(2k −3)2−4(3+4k 2)[4(2k −3)2−12]>0，解得k >12．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−16k 2−24k3+4k 2，x 1x 2=16k 2−48k+243+4k 2．∴k 1+k 2=y 1−32x 1−1+y 2−32x 2−1=2kx 1x 2+(k −92)(x 1+x 2)−(4k −9)x 1x 2−(x 1+x 2)+1 =2k⋅16k 2−48k+243+4k 2+(k−92)⋅(−16k 2−24k 3+4k 2)−(4k−9)16k 2−48k+243+4k 2−(−16k 2−24k 3+4k 2)+1=36k 2−72k+2736k 2−72k+27=1．解析：本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；(2)由题意可知，直线斜率存在，设直线方程为y +3=k(x +2)，与椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合斜率公式即可证明k 1+k 2为定值．21.答案：解：(Ⅰ)当k =e 时，f(x)=(x −1)e x −12kx 2，f′(x)=xe x −ex =x(e x −e)， 当x <0或x >1时，f′(x)>0；当0<x <1时，f′(x)<0．所以，函数f(x)的极大值为f(0)=−1，极小值为f(1)=−e 2；(Ⅱ)①当0<k <1时，令f′(x)>0，解得x <lnk 或x >0，f(x)在(−∞,lnk)和(0,+∞)上单调递增，在(lnk,0)上单调递减，当k =1时，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增．所以，当0<k ≤1时，当x <0时，=−k 2[(1nk −1)2+1]<0， 此时，函数f(x)无零点；当x ≥0时，f(0)=−1<0，f(2)=e 2−2k ≥e 2−2>0，又f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以，f(x)在[0,+∞)上有唯一的零点，故函数f(x)在定义域R 上有唯一的零点；②当k >1时，令f′(x)>0，解得x <0或x >lnk ，f(x)在(−∞,0)和(lnk,+∞)上单调递增，在(0,lnk)上单调递减，当x <lnk 时，f(x)≤f(x)max =f(0)=−1，此时，f(x)无零点；当x ≥lnk 时，f(lnk)<f(0)=−1<0，f(k +1)=ke k+1k(k+1)22=k[e k+1−(k+1)22]，令g(t)=e t −12t 2，t =k +1>2， 则g′(t)=e t −t ，令ℎ(t)=g′(t)=e t −t ，所以，ℎ′(t)=e t −1，∵t >2，ℎ′(t)>0，g′(t)在(2,+∞)上单调递增，得g′(t)>g′(2)=e 2−2>0，则g(t)在(2,+∞)上单调递增，所以，g(t)>g(2)=e 2−2>0，即f(k +1)>0，所以，f(x)在[lnk,+∞)上有唯一的零点，故函数f(x)在定义域R 上有唯一的零点．综合①②知，当k >0时，函数f(x)在定义域上有且只有一个零点．解析：本题考查了利用导数研究函数肚饿极值以及导数中的零点问题，属于难题．(Ⅰ)代入k =e 求导讨论即可得到其极值；(Ⅱ)分0<k <1和k >1两种情况讨论即可，注意求导讨论函数单调性．22.答案：解：(1)由已知曲线C ：ρ2cos2θ+1=0得ρ2(cos 2θ−sin 2θ)+1=0所以直角坐标方程为x 2−y 2+1=0，又点N 的直角坐标为(0,2)，设P(x,y)，M(x 1,y 1)，由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得(x,y)=(x 1,y 1)+(0,2) 所以{x 1=x y 1=y −2代入x 12−y 12+1=0得x 2−(y −2)2+1=0 所以曲线Q 的直角坐标方程为x 2−(y −2)2+1=0(2)把直线l ：{x =−2−t y =2−√3t(t 为参数)和曲线x 2−(y −2)2+1=0联立得2t 2−4t −5=0， ∴|AB|=2|t 1−t 2|=2√14．解析：(1)利用x =ρcosθ，y =ρsinθ，即可得出C 的直角坐标方程；利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，确定坐标之间的关系，即可求曲线Q 的直角坐标方程；(2))把直线l ：{x =−2−t y =2−√3t(t 为参数)和曲线x 2−(y −2)2+1=0联立，利用参数的几何意义，即可求|AB|的长．本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，属于中档题．23.答案：解：(1)原不等式等价于{x ≤−1−2x ≥3或{−1<x ≤12≥3或{x >12x ≥3解得：x ≤−32或x ≥32，∴不等式的解集为{x|x ≤−32或x ≥32}． (2)∵f(x)=|x −1|+|x +1|−2≥|(x −1)−(x +1)|−2=0，且f(x)≥a 2−a −2在R 上恒成立，∴a 2−a −2≤0，解得−1≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是−1≤a ≤2．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f(x)≥3的解集；(2)f(x)=|x −1|+|x +1|−2≥|(x −1)−(x +1)|−2=0，利用关于x 的不等式f(x)≥a 2−a −2在R 上恒成立，即可求实数a 的取值范围．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（II 卷）答案详解一、选择题1.（集合）已知集合A ={}3,x x x Z <∈，B ={}1,x x x Z >∈，则A B =A.∅B.{}3,2,2,3-- C.{}2,0,2- D.{}2,2-【解析】∵{}2,1,0,1,2A x =--，∴{2,2}A B =- .【答案】D2.（复数）41i -=（）A.－4 B.4C.－4iD.4i【解析】[]224221(1)244i i i i ⎡⎤=-=-=-⎣⎦-=（）.【答案】A3.（概率统计）如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.15【解析】原位大三和弦：1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===；共5个.原位小三和弦：1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===；共5个.总计10个.【答案】C4.（概率统计）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B5.（平面向量）已知单位向量a ,b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A.2a b+ B.2a b+ C.2a b- D.2a b -【解析】解法一（待定系数法）：设()ma nb b +⊥，则有21()02ma nb b ma b nb m n +⋅=⋅+=+=，即2m n =-，故选D.解法二：2o(2)2211cos6010a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-= ，故选D.特殊法：如图A5所示，画单位圆，作出四个选项的向量，只有2a b -与b 垂直.图A5【答案】D6.（数列）记n S 为等比数列{n a }的前n 项和.若5a －3a =12,6a －4a =24，则nnS a =A ．21n -B ．122n-- C.122n --D ．121n --【解析】设{}n a 的公比为q ，∵6453()1224a a a a q q -=-==，∴2q =，∵22253311(1)(1)1212a a a q a q q a -=-=-==，∴11a =，∴111111(1)2111=22222n n n n n n n n a q S q a a q -------==-=-.【答案】B7.（算法框图）执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A.2B.3C.4D.5【解析】①输入00k a ==，，得211a a =+=，11k k =+=，10a >否，继续；②输入11k a ==，，得213a a =+=，12k k =+=，10a >否，继续；③输入23k a ==，，得217a a =+=，13k k =+=，10a >否，继续；④输入37k a ==，，得2115a a =+=，14k k =+=，10a >是，程序退出循环，此时4k =.【答案】C8.（解析几何）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A．5B.5C.5D.5【解析】如图A8所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵圆过点（2,1）且与两坐标轴都相切，∴222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===，即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=5或=5.图A8【答案】B9．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】如图A9所示，双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的渐近线为b y x a =±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴1282ODE S a b ab ∆=⋅==，∴焦距2248c ==≥⨯=，当且仅当a =等号成立.故C 的焦距的最小值为8.图A9【答案】B10.（函数）设函数331()f x x x =-，则()f x A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【解析】∵333311()()()()f x x x f x x x-=--=-+=--，∴()f x 是奇函数，243()3f x x x'=+，当x >0，()0f x '>，∴()f x 在(0,+∞)单调递减.【答案】A11.（立体几何）已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D ．32【解析】由题意可知244ABC S AB ∆==，∴3AB =，如图A11所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心，故1232O A =⨯=，∴O 到平面ABC 的距离11OO ==.图A11【答案】C12.（函数）若2233x y x y ---<-，则A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【解析】2233xyxy---<-可化为2323xxyy---<-，设1()2323xxxxf x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，若复数z满足z+z⋅i=2，则z的虚部为()A. iB. 1C. −iD. −12.设U={−1,0，1，2}，集合A={x|x2<1,x∈U}，则C U A=()A. {0,1，2}B. {−1,1，2}C. {−1,0，2}D. {−1,0，1}3.cos(−103π)=()A. −√32B. −12C. 12D. √324.椭圆x225+y2169=1的焦点坐标为()A. (5,0)，(−5,0)B. (0,5)，(0,−5)C. (0,12)，(0,−12)D. (12,0)，(−12,0)5.在△ABC中，BN=14BC，设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，则AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 14a⃗−34b⃗ B. 34a⃗−14b⃗ C. 14a⃗+34b⃗ D. 34a⃗+14b⃗6.某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍.图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的折线图，则下列结论中错误的是()A. 从2013年至2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增加B. 从2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本C. 从2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本D. 从2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量后三年的总和是前三年总和的2倍7.在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x≥0)，f(x)=log a x的图像可能是()A. B.C. D.8.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.设f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数，f′(x)为其导函数，已知f(1−2x)=f(2x−1)，f(−2)=0，当x>0时，−xf′(x)<f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A. (−2,0)∪(0,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−∞,−2)∪(0,2)D. (0,2)∪(2,+∞)10.函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是()A. 4πB. 2πC. πD. π211.已知数列√2，√5，2√2，…，则2√5是该数列的()A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项12.已知F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线相交于A、B两点，当△F2AB为等腰直角三角形时，此双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{x−2≥0y+2≥0x+2y−6≤0，则z=x+y的最小值是________．14.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．15.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=________m．16.若正方体的棱长为√2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为___．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a5=5，S5=15．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设a n=log2b n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，点D为AB的中点．(1)证明：AC1//平面B1CD；(2)求三棱锥A1−CDB1的体积．19.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92．(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据；(2)计算所抽到的10个样本的均值x和方差s2；(3)在(2)条件下，若用户的满意度评分在(x−s,x+s)之间，则满意度等级为“A级”.试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？(参考数据：√30≈5.48，√33≈5.74，√35≈5.92)20.已知平面内一动点M到点F(1,0)距离比到直线x=−3的距离小2.设动点M的轨迹为C．(1)求曲线C的方程；(2)若过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，过点B作直线：x=−1的垂线，垂足为D，设A(x1,y1)，B(x2,y2).求证：①x1⋅x2=1，y1⋅y2=−4；②A、O、D三点共线(O为坐标原点)．21.已知函数f(x)=e x(e x−a)−a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ． (1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. (1)已知a >0，b >0，比较a+b 2,2ab a+b两数的大小．(2)设a ，b ，c ∈R ，证明：a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：复数z满足z+z⋅i=2，可得z=21+i=1−i．则z的虚部为−1．故选：D．利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的除法的运算法则，复数的基本概念，是基础题．2.答案：B解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．化简集合A，求出A的补集即可．解：设U={−1,0，1，2}，集合A={x|x2<1,x∈U}={0}，∴C U A={−1,1，2}，故选B．3.答案：B解析：解：cos(−103π)=cos(−103π+4π)=cos2π3=−cosπ3=−12，故选：B．由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．4.答案：C解析：本题考查椭圆的标准方程，注意先分析椭圆的焦点位置．根据题意，由椭圆的方程分析可得焦点位置以及a 、b 的值，计算可得c 的值，即可得答案． 解：根据题意，椭圆的方程为x 225+y 2169=1，其焦点在y 轴上， 且其中a =√169=13，b =√25=5，则c =√169−25=12， 则焦点坐标为(0,12)或(0,−12)． 故选C ．5.答案：D解析：本题主要考查了向量的加法，减法，数乘运算，属于基础题．由向量的三角形法则以及数乘运算，向量的减法得出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．解：AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b⃗ 故选D ．6.答案：D解析：本题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键． 利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．解：A 、从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增，故A 正确； B 、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是43.3+50.12=46.7本，故B 正确；C 、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是60.8−15.5=45.3本，故C 正确；D 、2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的60.8+50.1+58.443.3+38.5+15.5≈1.74≠2倍，故D 错误．故选D ．7.答案：D解析：本题考查幂函数、对数函数的图象和性质.对于对数函数，当底大于1时，图象单调递增，当0<a<1时，图象单调递减，而当a>0时，幂函数在(0,+∞)都是增函数．解：当a>1时，幂函数和对数函数都递增，但幂函数图象下凸，没有符合的；当0<a<1时，D符合，故选D．8.答案：C解析：本题考查了空间线面关系及充分必要条件，属于基础题．由空间线面关系及充分必要条件得：因为m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”⇔“α⊥β”，即“m⊥n”是“α⊥β”的充要条件，得解．解：因为m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”⇔“α⊥β”，即“m⊥n”是“α⊥β”的充要条件，故选：C．9.答案：B解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．由f(1−2x)=f(2x−1)可判断函数的奇偶性，构造函数g(x)=xf(x)，利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性，根据函数的单调性以及奇偶性求出不等式的解集即可．解：由f(1−2x)=f(2x−1)，可知f(x)为偶函数，构造新函数g(x)=xf(x)，则g′(x)=xf′(x)+f(x)，当x>0时g′(x)>0．所以g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(2)=0，即g(2)=0．。

2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ）A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A.36B.423C.433D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年内蒙古自治区呼和浩特市托县第二中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 现从甲、乙、丙、丁、戌5名同学中选四位安排参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作有一人参加。

甲不会开车、乙不会翻译，但都能从事其他三项工作，而丙丁戌能胜任全部四项工作，则不同安排方案的种数是A．108 B．78 C．72 D．60参考答案：B略2. 不等式所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N.向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．参考答案：A不等式表示的区域M是对角线为4的正方形，其面积为8；函数的图象与x轴所围成的区域N是半径为的半圆，面积为π；则向M内随机投一个点，则该点落到N内的概率为．3. 已知则（）A．B．C．D．参考答案：C4. 已知函数为偶函数，且当时，，则A． B．2 C．1 D．0参考答案：B略5. 已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点( )A．（0，0）B．（2，1.8）C．（3，2.5）D．（4，3.2）参考答案：C【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上，得到线性回归方程一定过的点．【解答】解：∵==3，==2.5∴这组数据的样本中心点是（3，2.5）根据线性回归方程一定过样本中心点得到线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（3，2.5）故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的性质，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题．6. 集合，，则A．B．C．D．参考答案：B7. 已知a＞0，b＞0，且2a+b=ab，则a+2b的最小值为( )A．5+B．C．5 D．9参考答案：D【考点】基本不等式．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】a＞0，b＞0，且2a+b=ab，可得a=＞0，解得b＞2．变形a+2b=+2b=1++2（b ﹣2）+4，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且2a+b=ab，∴a=＞0，解得b＞2．则a+2b=+2b=1++2（b﹣2）+4≥5+2×=9，当且仅当b=3，a=3时取等号．其最小值为9．故选：D．【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 若函数在区间上的值域为，则的值是（）A.0B. 1C. 2D. 4参考答案：D【知识点】函数综合【试题解析】故答案为：D9.集合,若时，，则运算可能是（）A.加法B.除法C.减法D.乘法参考答案：答案：D10. 函数的零点个数为( )(A) (B)(C) (D)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列中，当整数时，都成立，则＝．参考答案：由得，,即，数列{}从第二项起构成等差数列，1+2+4+6+8+…+28=211.12. 如图，已知△ABC 中，点D 在边BC 上，为的平分线，且.则的值为_______，△ABC 的面积为_______________.参考答案：1 【分析】在△ABD 和△ADC 中,分别由正弦定理可得和,进而可求得; 设,分别表示出和△ADC 的面积,再由二者面积之和为△ABC 的面积,可求得的值,进而可求出答案.【详解】在△ABD 中，由正弦定理得:,在△ADC 中，由正弦定理得:,因为,,所以.设,则, ,,则,解得,即.故.故答案为:;1.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的运用,考查了三角形面积公式的运用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.13.的最大值为.参考答案：14. 设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1a 2=35，a 1a 3=45，则S 10= ．参考答案：140【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设各项均为正数的等差数列{a n }的公差为d ＞0，∵a 1a 2=35，a 1a 3=45， ∴a 1（a 1+d ）=35，a 1（a 1+2d ）=45， 解得a 1=5，d=2． 则S 10=10×5+=140．故答案为：140．15. 已知命题p:.若命题且是真命题,则实数的取值范围为 ． 参考答案：16. =___________．参考答案：略17. 若a ＞0，b ＞0，ab=4，当a+4b 取得最小值时，= ．参考答案：4【考点】基本不等式．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由于a ＞0，b ＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b ，运用基本不等式，即可得到最小值，求出等号成立的条件，即可得到．【解答】解：由于a ＞0，b ＞0，ab=4， 则a=，a+4b=+4b≥2=8，当且仅当b=1，a=4，即=4时，取得最小值8． 故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。